最新初中数学知识点梳理(沪教市北综合版)——01数的整除
数的整除知识点总结
一. 数的分类第一种分法 : 树状图 韦恩图整数第二种分法 整数第三种分法：正整数一些关于数的结论:1.0是最小的自然数,-1是最大的负整数,1是最小的正整数2.没有最大的整数,没有最小的负整数,没有最大的正整数3.正整数、负整数、整数的个数都是无限的二．整除1.整除定义（概念）：整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a注意点：一定要看清楚谁被谁整除或谁整除谁，这里的a 相当于被除数，b 相当于除数2.整除的条件：1.除数、被除数都是整数2.被除数除以除数，商是整数而且余数为零注意点：区分整除与除尽：整除是特殊的除尽（如正方形是特殊的长方形一样），即a 能被b 整除,则a 一定能被b 除尽，反之则不一定（即a 能被b 除尽，则a 不一定能被b 整除）。
如4÷2=2, 4既能被2除尽，也能被2整除；4÷5=0.8, 4能被5除尽，却不能说4能被5整除三．因数与倍数1.因数与倍数的定义：整数a能被整数b整除，a 就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（约数）。
注意点：1.因数和倍数是相互依存的，不能简单的说某个数是因数，某个数是倍数。
如：6÷3=2，不能说6是倍数，3是因数；要说6是3的倍数，3是6的因数。
2.因数与倍数是建立在整除的基础上的，所以如4÷0.2=20，一般是不说4是0.2的倍数，0.2是4的因数。
2.因数与倍数的特点：一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数。
因数的个数是有限的，都能一一列举出来，倍数的个数是无限的。
3.求一个数因数的方法：利用积与因数的关系一对一对找，找出哪两个数的乘积等于这个数，那么这两个数就是这个数的因数。
如16=1×16=2×8=4×4，那么16的因数就有1、2、4、8、16，计算时一定不要忘了1和这个数本身都是它的因数，注意按照一定的顺序以防遗漏。
数的整除知识点总结
数的整除知识点总结数的整除是数论中的一个基本概念，也是初等数学中的重要内容。
它与因数、倍数和约数等概念密切相关，对于解题和推理都有着重要的作用。
下面将对数的整除进行详细总结。
一、定义：如果整数a能够被整数b整除，即a/b是整数，那么称a是b的倍数，b是a的因数。
可以用数学表达式a=b*k来表示，其中k是整数。
二、性质：1.任何一个整数都是它自身的倍数，也是它自身的因数，即a是a的倍数，a是a的因数。
2.任何一个正整数都是1的倍数，即对于任何整数a，都有a是1的倍数。
3.任何一个整数都是它自身的因数，即对于任何整数a，都有a是a的因数。
4.如果a是b的倍数，b是c的倍数，那么a也是c的倍数，即若a是b的倍数且b是c的倍数，则a是c的倍数。
5.如果a是b的倍数，b是a的倍数，那么a和b是互为倍数，即a是b的倍数且b是a的倍数，则a和b互为倍数。
6.如果a是b的因数，b是c的因数，那么a也是c的因数，即若a是b的因数且b是c的因数，则a是c的因数。
三、判断一个数能否整除另一个数的方法：1.因式分解法：将被除数和除数都分解成质因数的乘积形式，然后进行比较。
如果被除数的质因数包含除数的质因数，并且对应质因数的指数均大于等于相应的质因数的指数，则被除数能够整除除数。
2.试商法：用除数去除被除数，如果商是整数且余数为0，则被除数能够整除除数，否则不能整除。
四、整除的性质：1.整除关系具有传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，则a 能够整除c。
2.整除关系具有反对称性，即如果a能够整除b，b能够整除a，则a 和b相等或互为相反数。
3.整除关系具有自反性，即任何一个数都能整除它本身。
4.整除关系具有非传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，但a 不能整除c。
例如：2能整除4，4能整除8，但2不能整除8五、整数的混合运算与整除的关系：1.若a整除b，b整除c，则a整除c。
2. 若a整除b，b整除c，则a整除bc。
沪教版(上海)-初中数学七年级、八年级、九年级数学全册章节知识点结构思维导图集
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第二十六章 二次函数的章节知识点结构思维导图 第二十七章 圆与正多边形的章节知识点结构思维导图
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第二十八章 统计初步的章节知识点结构思维导图
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第十四章 三角形的章节知识点结构思维导图 第十五章 平面直角坐标系的章节知识点结构思维导图
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上海市（沪教版）八年级数学全册章节思维导图 共八个章节
第十六章 二次根式的章节知识点结构思维导图
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第十七章 一元二次方程的章节知识点结构思维导图
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第十八章 正比例函数和反比例函数的章节知识点结构思维导图 第十九章 几何证明的章节知识点结构思维导图
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第七章 线段与角的画法的章节知识点结构思维导图 第八章 长方体的再认识的章节知识点结构思维导图
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上海市（沪教版）七年级数学全册章节思维导图 共七章
第九章 整式的章节知识点结构思维导图
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第十章 分式的章节知识点结构思维导图 第十一章 图形的运动的章节知识点结构思维导图
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第十二章 实数的章节知识点结构思维导图 第十三章 相交线 平行线的章节知识点结构思维导图
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第二十章 一次函数的章节知识点结构思维导图 第二十一章 代数方程的章节知识点结构思维导图
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第二十二章 四边形的章节知识点结构思维导图 第二十三章 概率初步的章节知识点结构思维导图
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上海市（沪教版）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ年级数学全册章节思维导图 共五章
第二十四章 相似三角形的章节知识点结构思维导图
上海市（沪教版）初中数学全册思维导图集 共二十八章
初中数学知识点全面梳理(沪教版)--01数的整除
目录六年级上册 (2)第一章数的整除 (2)第一节整数和整除 (2)1.1整数和整除的意义 (2)1.2因数和倍数 (4)1.3能被2、5整除的数 (4)第二节分解质因数 (6)1.4素数、合数与分解质因数 (6)1.5公因数与最大公因数 (6)1.6公倍数与最小公倍数 (7)六年级上册第一章 数的整除第一节 整数和整除1.1整数和整除的意义零和正整数统称为自然数。
正整数、零、负整数统称为整数。
重点题型：1. 在8，－10，0，0.25，－50，73，100，－8.5中，正整数有 ，自然数有 ，整数有 。
2.最小的自然数是。
3、提高（非负整数）----小于3的非负整数有。
4、除0以外的数都是自然数。
( )整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。
注意整除的条件：1、除数、被除数都是整数2、被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
重点题型：(1) 在下列各组数中，如果第一个数能被第二数整除，请在（）内打勾。
72和36； 17和34； 3.5和0.5； 51和17；（）（）（）（）(2) 在上列各组数中，如果第一个数能整除第二数，请在（）内打△。
判断：（1）1能被任何正整数整除. ( )（理由:能整除任何正整数.）（2）因为15÷4=3.75，所以4能被15整除。
( )（理由：商不是整数。
）（3）能够除尽的算式，被除数一定能被除数整除。
( )（理由：整除一定能除尽，除尽不一定能整除。
）填空:1、45÷5= 9， ( ) 能被( ) 整除，( )能整除( )；( )是( ) 的因数，( ) 是( ) 的倍数。
2、一个正整数a的因数的个数是( ) ，其中最小的一个是( )，最大的一个是( )；正整数a的倍数的个数是( )，其中最小的一个是( ) 。
3、一个数的最小倍数是9，那么这个数的最大因数是( )，最小因数是( ) 。
4、有一个数，它既是6的倍数，又是6的因数，这个数是( ) 。
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初中数学知识点汇总第一单元 数与运算一、数的整除1、整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a .（1） 下列算式中表示整除的算式是………………………………………………………（ ） （A ）0.8÷0.4＝2；（B ）16÷3＝5……1；（C ）2÷1＝2；（D ）8÷16＝0.5. （2） 在3和27中， 能整除 ， 能被 整除. 2、整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（也称为约数）. （1）一个整数m 的因数中最小的因数是 ，最大的因数是 .（2）下列说法中正确的是…………………………………………………………………（ ） （A ）任何正整数的因数至少有两个 （B ）1是所有正整数的因数（C ）一个数的倍数总比它的因数大 （D ）3的因数只有它本身3、一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫做质数；如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数.（1）正整数中， 既不是素数，也不是合数. 是最小的素数， 是最小的合数. （2）把48分解素因数，可写成48= .4、几个整数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数. 几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数.（1）有一筐苹果，从中两个两个的拿，或三个三个的拿，或五个五个拿，都正好拿完，这筐苹果最少有 个.（2） 现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？ 第二单元 方程与代数 一、实数1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限循环小数)都是有理数．如：－3，，0.231，0.737373…，，．无限不循环小数叫做无理数．如：π，－，0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)． 有理数和无理数统称为实数．2、绝对值：a ≥0丨a 丨＝a ；a ≤0丨a 丨＝－a ．3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．4、把一个数写成±a ×10n 的形式(其中1≤a ＜10，n 是整数)，这种记数法叫做科学记数法． （1）在实数271,27,64,12,0,23,43--中，共有___ ____个无理数. （2）实数c b a ,,在数轴上对应点的位置如图2所示，下列式子中正确的有（ ）①0>+c b ②c a b a +>+ ③ac bc > ④ac ab >A.1个B.2个C.3个D.4个（3）若0.00000314=3.14⨯10n,则n = .∙-2-1 a 图2∙∙b c二、整式与分式1、同类项：所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项。
初中数学知识点总结沪科
初中数学知识点总结沪科初中数学知识点总结（沪科版）一、数与代数1. 有理数- 有理数的定义：整数和分数统称为有理数。
- 有理数的分类：正整数、负整数、正分数、负分数、零。
- 有理数的运算：加法、减法、乘法、除法、乘方、开方。
2. 整数- 整数的性质：奇数与偶数、质数与合数。
- 整数的四则运算：加法交换律、结合律；减法的性质；乘法交换律、结合律、分配律。
3. 分数与小数- 分数的基本性质：等值分数、分数的加减乘除运算。
- 小数的意义和性质：小数点的位置移动引起大小变化的规律、小数的四则运算。
4. 代数表达式- 单项式与多项式：单项式的定义和性质、多项式的定义和性质。
- 代数式的加减运算：合并同类项、分配律。
- 代数式的乘除运算：单项式乘以单项式、多项式乘以单项式、多项式乘以多项式、单项式除以单项式。
5. 一元一次方程与不等式- 方程与方程的解：一元一次方程的解法、解的性质。
- 不等式及其解集：一元一次不等式的解法、解集的表示。
- 用方程或不等式解决实际问题。
6. 二元一次方程组- 代入法解二元一次方程组。
- 加减法解二元一次方程组。
- 方程组的应用：根据实际问题列出方程组并求解。
二、几何1. 平面图形- 点、线、面的基本性质。
- 角的概念：邻角、对顶角、同位角、内错角。
- 三角形的分类：按边分类（等边、等腰、不等边三角形）、按角分类（锐角、直角、钝角三角形）。
- 四边形的分类：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形。
2. 图形的性质- 三角形的性质：三角形的内角和、外角性质、三角形的中位线定理。
- 四边形的性质：平行四边形的性质、矩形、菱形、正方形的性质。
- 圆的基本性质：圆的定义、圆的直径、弦、弧、切线、圆周角、圆心角。
3. 图形的变换- 平移：图形沿直线移动，保持形状和大小不变。
- 旋转：图形绕一点旋转一定角度，保持形状和大小不变。
- 轴对称：图形关于某条直线对称，对称轴两侧的图形完全重合。
数的整除知识点总结数的整除知识整理
数的整除知识点总结数的整除知识整理数的整除知识点总结如下：1. 除数和被除数：一个数被另一个数整除时，被除数称为整数，除数称为除数。
2. 整除关系：如果一个数a能被另一个数b整除，即a ÷ b = c，则称a能被b整除，或者说b能整除a，记作b｜a。
3. 余数：当一个数a被另一个数b整除时，如果除完后还有剩余部分，即a ÷ b = c 余 r（0 ≤ r < |b|），则r称为数a除以b的余数。
4. 因数：对于一个数a，如果存在一个数b，使得b能整除a，即a = b × c，则称b 是a的因数，c是a的倍数。
a的因数包括1和a本身。
5.倍数：对于一个数a，如果存在一个数b，使得a能整除b，即b = a × c，则称b 是a的倍数，c是a的因数。
a的倍数包括0和任意正负整数。
6.公约数：对于两个数a和b，如果存在一个数c，既能整除a又能整除b，即c｜a 且c｜b，则称c是a和b的公约数。
7.最大公约数：对于两个数a和b的公约数中，最大的一个公约数称为a和b的最大公约数，记作gcd(a, b)。
8.最小公倍数：对于两个数a和b的公倍数中，最小的一个公倍数称为a和b的最小公倍数，记作lcm(a, b)。
9.质数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，无法被其他自然数整除的数称为质数。
质数只有两个因数，即1和该数本身。
10.合数：一个自然数，除了1和它本身外，还有其他因数的数称为合数。
合数有多个因数。
11.互质：两个数的最大公约数为1时，称这两个数互质。
12.互质数性质：互质数的乘积等于它们的最小公倍数。
13.素数分解：将一个合数分解成质数的乘积的过程，这个过程叫做素数分解。
这些是数的整除的基本知识点。
数的整除知识梳理
第一章数的整除一、知识整理1.1整数和整除整除的条件：1．除数、被除数都是整数。
2．被除数除以除数，商是整数，而且余数为零。
除尽的条件：1．除数、被除数不一定是整数。
2．被除数除以除数，商是整数或有限小数，而且余数为零。
☆整除是除尽的一种特殊情况。
1.2整数和整除的意义整数a能整除整数b，b叫做a的倍数。
a叫做b的因数。
☆倍数和因数是相互依存的。
1.3能被2、5整除的数1.4素数、合数与分解素因数正整数素数（2是唯一的偶素数）合数既不是素数也不是合数。
素数：除1与本身外没有其他因数的数。
合数：除1与本身外有其他因数的数。
分解素因数用短除法。
（用等式些写结论，分解的书写在最前。
）1.5公因数与最大公因数求两数的最大公因数：1.定义法2.分解素因数3.短除法a 和b 的最大公因数是c 的表示方法：（a ，b ）=c☆若两数互素，那么它们的最大公因数就是1。
☆若两数是倍数关系，那么它们的最大公因数就是较小数。
1.6公倍数与最小公倍数求两数的最小公倍数：1.定义法2.分解素因数3.短除法a 和b 的最小公倍数是c 的表示方法：[a ，b]=c☆若两数互素，那么它们的最小公倍数就是两数的乘积。
☆若两数是倍数关系，那么它们的最大公因数就是较大数。
总结：一个整数正整数 零 负整数☆任何一个合数都可以分解质因数。
1.整除 “三整一零” 整除是除尽的一种特殊情况。
2.倍数，因数整数间的关系 3.互素（两两互素）4.公因数（最大） 最小公倍数5.公倍数（最小） =最大公因数×各自独有的因数奇数（2n 加1，n 为正整数） 偶数（2n ，n 为正整数）素数：只有1和它本身这两个因数 合数：除了1和它本身还有其它因数二、习题练习1.求下列各数的最大公因数和最小公倍数。
（1）56，108，72 （2）36，28,15三、拓展知识对于“每/每隔/每过”不同情况的区分：。
沪教版初中数学知识点整理
沪教版初中数学知识点整理第一章数的整除1.1整数和整除的意义1．在数物体的时候，用来表示物体个数的数1,2,3,4,5，……，叫做整数2．在正整数1,2,3,4,5，……，的前面添上“—”号，得到的数—1，—2，—3，—4，—5，……，叫做负整数3.零和正整数统称为自然数4．正整数、负整数和零统称为整数5．整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
1.2因数和倍数1．如果整数a能被整数b整除，a就叫做b倍数，b就叫做a的因数2．倍数和因数是相互依存的3．一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身4．一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身1.3能被2,5整除的数1．个位数字是0,2,4,6,8的数都能被2整除2．整数能够分红奇数和偶数，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数3．在正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数4．在正整数中，与偶数相邻的两个数是奇数5．个位数字是0,5的数都能被5整除6. 0是偶数1.4素数、合数与分解素因数1．只含有因数1及本身的整数叫做素数或质数2．除了1及本身还有别的因数，这样的数叫做合数3. 1既不是素数也不是合数4．奇数和偶数统称为正整数，素数、合数和1统称为正整数5．每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，这几个素数都叫做这个合数的素因数6．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数。
7．通常用什么方法分解素因数:树枝分解法,短除法1.5公因数与最大公因数1．几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其最大的一个叫做这几个数的最大公因数2．如果两个整数只有公因数1，那末称这两个数互素数3．把两个数公有的素因数连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数4．如果两个数中，较小数是较大数的因数，那么这两个数的最大公因数较小的数5．如果两个数是互素数，那么这两个数的最大公因数是11.6公倍数与最小公倍数1．几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数2．几个数中最小的公因数，叫做这几个数的最小公倍数3．求两个数的最小公倍数，只要把它们所有的公有的素因数和他们各自独有的素因数连乘，所得的积就是他们的最小公倍数4．如果两个数中，较大数是较小数的倍数，那末这两个数的最小公倍数是较大的那个数5．如果两个数是互素数，那末这两个数的最小公倍数是；两个数的乘积第二章分数2.1分数与除法1．一般地，两个正整数相除的商可用分数表示，即被除数÷除数=被除数除数用字母透露表现为p÷q=p（p、q为正整数）q2．会用数轴上的点透露表现分数2.2分数的基本性质1．分数的分子和分母同时乘以一个不为零的整数，分数的值不变2．分子分母只有公因数1的分数叫做最简分数3．把一个分数化成同它相称，但分子、分母都比力小的分数，叫做约分2.3分数的比较大小1．同分母分数的大小只需要比较分子的大小，分子大的比较大，分子小的比较小2．通分的一般步骤是：（1）求公分母——求分母的最小公倍数；（2）根据分数的基本性质，将每个分数化成分母相同的分数。
沪初中数学知识点总结
沪初中数学知识点总结一、数与代数1. 有理数- 整数和分数的概念- 有理数的加法、减法、乘法、除法运算法则- 绝对值的概念及性质- 有理数的大小比较2. 整数的性质- 奇数和偶数- 质数和合数- 因数和倍数- 公因数和公倍数- 质因数分解3. 代数表达式- 字母表示数- 单项式和多项式- 代数式的加减运算- 乘法公式，如平方差公式和完全平方公式4. 一元一次方程- 方程的概念- 解一元一次方程- 方程的应用问题5. 二元一次方程组- 二元一次方程组的概念- 代入法和消元法解方程组- 三元一次方程组的解法6. 不等式- 不等式的概念- 不等式的解集表示- 一元一次不等式的解法- 一元一次不等式的解集的交集和并集7. 函数- 函数的概念- 函数的表示方法：表格法、图像法、解析法- 线性函数和二次函数的图像及性质- 函数的基本运算：函数的和、差、积、商二、几何1. 平面几何- 点、线、面的基本性质- 角的概念：邻角、对角、同位角等- 三角形的分类与性质：等边、等腰、直角三角形- 四边形的分类与性质：平行四边形、矩形、菱形、正方形 - 圆的基本性质：圆心、半径、直径、弦、弧、切线等2. 几何图形的计算- 三角形、四边形和多边形的面积计算- 圆和扇形的面积计算- 体积和表面积的计算：长方体、立方体、圆柱、圆锥、球体3. 几何变换- 平移、旋转、对称（轴对称和中心对称）的概念- 几何图形的全等变换4. 解析几何- 坐标系的概念：直角坐标系、极坐标系- 点的位置由坐标确定- 直线和曲线的方程表示三、统计与概率1. 统计- 数据的收集和整理- 频数和频率的概念- 统计图表的绘制：条形图、折线图、饼图- 算术平均数、中位数、众数的计算2. 概率- 随机事件的概念- 概率的初步认识- 可能性的判断和概率的简单计算四、综合应用题- 结合实际问题，运用所学的数学知识解决相关的数学应用题。
- 培养解决实际问题的能力，提高数学素养。
数字整除知识点总结
数字整除知识点总结1. 整除的定义设a, b是两个不全为0的整数，当且仅当存在一个整数c使得a = b * c时，称b整除a，记作b | a。
这里c就是整除时的商。
例如，6整除12，记作6 | 12，因为12 = 6 * 2。
整除的定义可以简单总结为：当且仅当存在一个整数c使得b * c = a时，b整除a。
这里c 就是整除时的商。
2. 整除的性质（1）自整除性：任何整数都能被1整除，并且0不能被任何数整除。
（2）传递性：设a, b, c是整数，如果a整除b，b整除c，那么a也整除c。
（3）整除的基本性质：如果a整除b且a整除c，则a整除（mb + nc），其中m, n是任意整数。
（4）偶数与奇数的整除性：如果一个数能被2整除，则称其为偶数；如果一个数不能被2整除，则称其为奇数。
偶数能被2整除，奇数不能被2整除。
另外，如果一个数能被4整除，则称其为4的倍数。
3. 整除的判定方法（1）整除的判定法则：a整除b，当且仅当b是a的倍数。
也就是说，如果存在一个整数c使得b = a * c，那么a整除b。
（2）整除的判定规律：如果一个整数能被另一个整数整除，那么这两个整数的除数一定是其公约数。
（3）整除的判定定理：对于整数a, b, c，如果a整除b且a整除c，则a整除(b + c)和(b - c)。
这是因为b = a * m，c = a * n，则b + c = a * (m + n)，b - c = a * (m - n)。
4. 整除的应用（1）公因数与最大公因数：对于两个整数a, b，a的约数是指能整除a的数，b的约数是指能整除b的数。
a, b的公因数是指既是a的约数又是b的约数的数；a, b的最大公因数是指a, b的公因数中最大的那个数。
（2）互质数与最小公倍数：如果两个整数的最大公因数是1，则这两个数称为互质数。
两个数的最小公倍数是指能同时整除这两个数的最小的正整数。
（3）整除的运算性质：整除运算具有传递性、交换性、结合性等基本运算性质。
数学整除知识点总结
数学整除知识点总结一、整除的基本概念1.1 整数的定义首先，我们需要了解一下整数的概念。
在数学中，整数是指包括正整数、负整数和零在内的所有整数，用…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…来表示。
整数是一个非常宽泛的概念，其中包含了无穷尽的实数，因此整数之间的关系也有着非常复杂的性质。
1.2 整除的定义在整数之间，如果存在一个整数a，使得另一个整数b能够被a整除，那么我们就说a能够整除b，记作a|b。
即如果存在一个整数c，使得b=ac，那么我们就说a能够整除b。
此时，a称为除数，b称为被除数，c称为商。
另外，如果a不等于0，且存在一个整数c，使得b=ac，那么我们就说a能够整除b；如果a等于0，那么b等于0时，我们也说a能够整除b。
1.3 整数除法整数除法是整除概念的具体实现。
在整数除法中，我们需要用到除数、被除数、商以及余数等概念。
具体来说，对于整数a、b（a≠0）、r，如果整数b能够被整数a整除，即a|b，那么一定存在整数q使得b=aq；此时q称为商，r称为余数，并且0≤r<|a|。
1.4 整数的倍数我们知道，整数之间是存在整数除法的，一个整数能够整除另一个整数，那么它们之间是具有一定倍数关系的。
在数学中，如果一个整数a能够整除另一个整数b，也就是a|b，那么我们就说b是a的倍数，a是b的因数。
1.5 整除的运算规律在整数之间的整除运算中，有一些规律是需要引起我们的注意的。
首先，对于任意整数a，0能够整除a；其次，任意整数a，a都能够整除自己，即a能够整除a，且a|a。
以上就是整除的基本概念及其相关内容。
从这些内容中我们可以看到，整除是一个非常基础的概念，但是它对于数学的发展和应用有着非常重要的作用。
下面我们就来具体讨论一下整除的性质。
二、整除的性质整除的性质是整数之间的一种特殊关系，它具有一些特殊的性质。
下面我们将介绍一下整除的性质。
2.1 整数的连通性一个整数a能够整除另一个整数b，那么我们可以得到一个推论：对于任意整数a、b、c （a、b、c≠0），如果a能够整除b，b能够整除c，那么a一定能够整除c。
上海初中数学知识点汇总(全面) (1)
第一章数的整除1.整数和整除的意义零既不是正整数，也不是负整数. 零和正整数统称为自然数. 正整数、零、负整数统称为整数.整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整数. 或者说b 能整除a .整除的条件：① 除数、被除数都是整数. ② 被除数除以除数，商是整数，余数为零.2.因数和倍数整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（或者约数）.一个整数的因数中最小的因数是 1，最大的因数是它本身.一个整数没有最大的倍数，而最小的倍数是它本身.3.能被2、5 整除的数个位上是0 、2 、4 、6 、8 的整数都能被2 整除.能被2 整除的整数叫做偶数，不能被2 整除的整数叫做奇数（这里所说的奇数和偶数是指正奇数和正偶数，当研究的数从正整数范围扩大至整数范围时，… 4 、 2 、0 等也是偶数，…5、3、1等也是奇数）.个位上是0 或者5 的整数都能被5 整除.4.素数、合数与分解素因数一个正整数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫做质数. 如果除了1 和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数.1 既不是素数，也不是合数.这样，正整数又可以分为 1、素数、合数三类.每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数，把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数.在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做短除法.用短除法分解素因数的步骤如下：① 先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除.② 得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止.③ 然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式.5.公因数和最大公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数. 其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数. 如果两个整数只有公因数 1，那么称这两个数互素.求几个整数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数. 两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数，如果这两个数互素，那么它们的最大公因数就是 1.6.公倍数和最小公倍数几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数. 求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数.如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数，如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数.q 等，即 （ ） 第二章 分数1. 分数与除法两个正整数 p 、qp 相除，可以用分数 q表示，即p qp ，其中 p 为分子， q 为分母. p读作q 分之 p ，特别地，当q1 时，p p .qq2. 分数的基本性质分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相aa k a kb 0, k 0 . b b k b k分子与分母互素的分数，叫做最简分数.把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程，称为约分.将分数化成最简分数，可以将分子，分母分别除以它们的最大公因数，也可以不断地约分，直到分子、分母互素为止.3. 分数的大小比较分数大小的比较反映在数轴上，左面的点所表示的数小于右面的点所表示的数. 将异分母的分数分别化成与原分数大小相等的同分母的分数，这个过程叫通分.4. 分数的加减法同分母的分数相加减，分母不变，分子相加减.异分母分数相加减，先通分，然后按照同分母分数加减法的法则进行计算.n q n pp分子比分母小的分数叫做真分数，分子大于或者等于分母的分数叫做假分数，一个正整数与一个真分数相加所成的数叫做带分数.分数加减混合运算的顺序与整数加减混合运算的顺序相同. 分数加法遵循与整数加法一样的运算律：交换律和结合律. 分数运算的结果如果是假分数，一般用带分数表示.带分数的加减运算，可将它们的整数部分和真分数部分分别相加减，再将所得的结果合并起来. 或者将带分数化为假分数再进行加减运算.5. 分数的乘除法p一般地，由于分数 q 的意义是将一个总体等分为q 份而取其中 p 份，于是我们把两个 分数相乘p mp pn 份而取其中q n的意义规定为：在分数 q 的基础上，以 q为总体，再等分为m 份，其结果是 p m ，即 p m p m（ q 0, n 0 ）.q n q n q n两个分数相乘，将分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作积的分母. 整数与分数相乘，整数与分数的分子的积作积的分子，分母不变.1 除以一个不为零的数得到的商，叫做这个数的倒数. a 的倒数是 1（ a 0pa）， q的倒数是 q （ p 0 ， q 0 ）. 互为倒数的两个数的乘积是 1.分数除法的运算法则：甲数除以乙数（0 除外），等于甲数乘以乙数的倒数，用字母表 示就是m p m q（ n 0 ， p 0 ， q 0 ）.6. 分数与小数的互化一个最简分数，如果分母中只含有素因数 2 和 5，再无其他素因数，那么这个分数可以化成有限小数. 否则就不能化成有限小数.一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个小数叫做循环小数. 一个循环小数的小数部分中依次不断重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节.为了书写简便，小数的循环部分只写出第一个循环节，在这个循环节的首位和末位的数字上面各记一个圆点，例如： 0.3 、8.136 .对于一个分数来说，它总可以化成有限小数或循环小数. 反之，有限小数和循环小数也总可以化成分数.7.分数、小数的四则混合运算分数的四则混合运算顺序与整数的四则混合运算顺序相同.分数和小数的加减法混合运算，要将数同时化成小数或分数后再运算，但当分数不能化成有限小数时，则应同时化成分数后运算.8.分数运算的运用② 如果k 0 ，那么a : b : c ak : b k : c k .b db d第三章 比和比例1. 比的意义a 、b 是两个数或两个同类的量，为了把b 和a 相比较，将a 与b 相除，叫做a 与b 的比，记作a : b a，或写成 b，其中 b 0 ，读作a 比b ，或a 与b 的比.a 叫做比的前项，b 叫做比的后项，前项a 除以后项b 所得的商叫做比值.比、分数和除法三者之间的关系是：比的前项相当于分数的分子和除式中的被除数. 比的后项相当于分数的分母和除式中的除数. 比值相当于分数的分值和除式中的商.求两个同类量的比值时，如果单位不同，必须把这两个量化成相同的单位.2. 比的基本性质比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0 除外），比值不变. 三项连比的性质是：① 如果a : b m : n ， b : c n : k ，那么a : b : cm : n : k .a b c: : k k k3. 比例a ,b ,c ,d 四个量中，如果a : b c : d ，那么就说a , b , c , d 成比例，也就是表示两个比相等的式子叫做比例. 其中a , b , c , d 分别叫做第一、二、三、四比例项. 第一比例项a 和第四比例项d 叫做比例外项，第二比例项b 和第三比例项c 叫做比例内项，如果两个比例内项相同，即a : bb :c ，那么把b 叫做a 和 c 的比例中项.比例的基本性质：如果a : b c : d 或 a c，那么ad bc ，反之，如果a , b , c , d 都不为零，且ad bc ，那么a : b c : d 或 a c.总人数产品总数原来的产量 应该出勤人数 成本 成本 成本 成本 消费支出总额4. 百分比的意义把两个数量的比值写成n的形式，称为百分数，也叫做百分比或百分率，记作n % ，100读作百分之n ，符号% 叫做百分号.小数化成百分数，将小数点向右移两位，同时在右面添上百分号. 百分数化成小数，将% 号前数字的小数点向左移两位，同时去掉后面的百分号.将分数化成百分数，通常先把分数化成小数，再把小数化成百分数（本章中遇到除法除不尽时，如果没有注明，一般商保留三位小数）.5. 百分比的应用及格率 及格人数100%合格率合格产品数100%增产率 增加的产量100%出勤率 实际出勤人数100%得票数总投票数100% 增长的数原来的基数100%恩格尔系数食品消费支出总额100%盈利率 盈利100% 售价 成本 100%亏损率 亏损100% 成本 售价 100%利息 本金利率期数6. 等可能事件P发生的结果数所有等可能的结果数得票率 增长率第四章 圆和扇形1. 圆的周长圆的周长 直径圆周率3.14 （本章中，无特殊说明，取 3.14，将计算结果精确到 0.01）圆的周长公式 C d 或 C 2 r ，其中C 表示周长， d 表示直径， r 表示半径.2. 弧长1 圆心角所对弧长1 2 r 1r 360 180 n 圆心角所对弧长 n 2 r n r ，即弧长公式l nr3. 圆的面积360 180 180圆所占平面的大小叫做圆的面积. 圆的面积公式 Sr 2 .4. 扇形的面积由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形.1°扇形面积 1 360r 2 ， n °扇形面积 n 360r 2 .扇形面积公式 Sn r 21 lr . 360 2分数:正分数、负分数第五章 有理数1. 有理数的意义零既不是正数也不是负数，零和正数又可以称为非负数. 整数和分数统称为有理数.有理数整数:正整数、零、负整数如果我们把整数看成是分子为 1 的分数，那么在这个意义下，所有有理数都是分数.2. 数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示.只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，零的相反数是零.在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，并且与原点距离相等.3. 绝对值一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值. 用符号| a | 表示数a 的绝对值.正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.在数轴上，右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大，一个数所表示的点离开原点的距离越远，绝对值越大.距离越近，绝对值越小.两个负数，绝对值大的那个数反而小.4.有理数的加减法有理数的加法法则：同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加.异号两数相加，绝对值相等时和为零.绝对值不相等时，其和的绝对值为较大的绝对值减去较小的绝对值所得的差，其和的符号取绝对值较大的加数的符号.一个数同零相加，仍得这个数.有理数加法的运算律：交换律：a b b a结合律：(a b) c a (b c)三个以上的有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中几个数相加.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，a b a (b)5.有理数的乘除法两数相乘的符号法则：同号得正，异号得负.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与零相乘都得零.几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负. 当负因数有偶数个时，积为正. 几个数相乘，有因数为零，积为零.乘法交换律ab ba乘法结合律(ab)c a(bc)乘法分配律a(b c) ab ac有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.零除以任何一个不为零的数，都得零.a的倒数是1（a0），p的倒数是q（p0,q0）.a q p甲数除以乙数（零除外）等于甲数乘以乙数的倒数.6.有理数的乘方求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方. 乘方的结果叫做幂，在a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数，a n 读作a 的n 次方. a n 看作是a 的n 次方的结果时，读作a 的n 次幂. 特别地，1n1，0n0（n 为正整数）.正数的任何次幂都是正数. 负数的奇数次幂是负数，偶数次幂是正数.7.有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：先乘方、后乘除、再加减. 同级运算从左到右. 如果有括号，先算小括号，后算中括号，再算大括号.括号前带负号，去掉括号后括号内各项要变号，即：(a b) a b ，(a b) a b .8.科学记数法把一个数写成a10n（其中1|a|10，n 是正整数），这种形式的记数方法叫做科学记数法.第六章一次方程与不等式1.方程与方程的解用字母x 、y …等表示所要求的未知的数量，这些字母称为未知数，含有未知数的等式叫做方程. 在方程中，所含的未知数又称为元.为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程.在一项中，数字或者表示已知数的字母因数叫做未知数的系数. 所含有的未知数的指数和称为这一项的次数，不含未知数的项，称为常数项.如果未知数所取的某个值能使方程左右两边值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解.2.一元一次方程只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程.等式性质 1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，所得的结果仍是等式.等式性质 2：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为零的数），所得的结果仍是等式.求方程的解的过程叫做解方程.解一元一次方程的一般步骤是：① 去分母. ② 去括号. ③ 移项. ④ 化成ax b （a 0 ）的形式. ⑤ 两边同时除以未知数的系数，求解.3.一元一次方程的应用列方程解应用题的一般步骤是：① 设未知数. ② 列方程. ③ 解方程. ④ 检验并作答.储蓄存款中的等量关系有：利息＝本金×利率×期数本利和＝本金＋利息税后本利和＝本金＋税后利息税后利息＝利息－利息税4.不等式及其性质用不等号“ ”、“”、“”、“”表示的关系式，叫做不等式.不等式性质 1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等式的方向不变. 即：如果a b ，那么a m b m . 如果a b ，那么a m b m .不等式性质 2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变. 即：如果a b ，且m 0 ，那么am bm . 如果a b ，且m 0 ，那么am bm .不等式性质 3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，即：如果a b ，且m 0 ，那么am bm . 如果a b ，且m 0 ，那么am bm .5.一元一次不等式在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 不等式的解的全体叫做不等式的解集. 求不等式解集的过程叫做解不等式.只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式.解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似，可概括为：①去分母. ②去括号. ③移项. ④化成ax b（或ax b）的形式（其中a0）.⑤ 两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.6.一元一次不等式组由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. 求不等式组的解集的过程叫做解不等式组.解一元一次不等式组的一般步骤：① 求出不等式组中各个不等式的解集.② 在数轴上表示各个不等式的解集.③ 确定各个不等式解集的公共部分，就得到解集.7.二元一次方程组含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程.使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.二元一次方程的解有无数个，二元一次方程的解的全体叫做这个二元一次方程的解集.由几个方程组成的一组方程叫做方程组，如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组.在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解.通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法.通过将两个方程相加减消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做加减消元法，简称加减法.8.三元一次方程组如果方程组中含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做三元一次方程组.解三元一次方程组的思想方法是：三元一次方程组→二元一次方程组→一元一次方程.9.一次方程组的应用有 2 个未知数，列二元一次方程组. 有 3 个未知数，列三元一次方程组.第七章线段与角的画法1.线段的大小比较线段的表示：用两个大写英文字母表示线段端点，或用一个小写英文字母表示线段.通常，把比较两条线段的长短称作两条线段的大小的比较.连结两点的线段的长度叫做两点之间的距离.两点之间，线段最短.2.画线段的和、差、倍两条线段可以相加减，它们的和或差也是一条线段，长度等于两条线段长度的和或差.我们把线段a 乘以一个大于 1 的正整数n 写成na ，na 就是求n 条线段a 相加所得和的意义，当然也可以将na 理解为线段a 的“ n ”倍.将一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点.作图过程中，画图工具只用了直尺（可以无刻度）和圆规，称作“尺规作图”.3.角的概念与表示角是具有公共端点的两条射线组成的图形，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做边.角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.本书中所说的角，除了周角外，未加说明的角是指小于平角的角.角一般用三个大写英文字母表示，其中表示顶点的字母必须放在三个字母的中间.4.角的大小比较类似线段叠合的比较方法，移动一个角，使它的顶点和一条边分别与另一个角的顶点和一条边叠合，另一条边都落在叠合边的同侧，再观察两个角另一条边的位置情况.5.画角的和、差、倍两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角，它的度数等于这两个角的度数的和（或差）.从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.6.余角、补角如果两个角的度数的和是90°，那么这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角称为另一个角的余角.如果两个角的度数的和是 180°，那么这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角称为另一个角的补角.角的度量单位度分秒的关系：160，160.同角（或等角）的余角相等.同角（或等角）的补角相等.第八章长方体的再认识1.长方体的元素长方体有六个面、八个顶点、十二条棱.长方体的每个面都是长方形.长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱长度相等.长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面的形状和大小都相同.正方体是特殊的长方体.2.长方体直观图的画法在数学中，平面是平的，无边无沿，但我们可以画一个平行四边形来表示它，特别地，把水平放置的平面画成一边是水平位置，另一边与水平线所成的角为45°的平行四边形.用斜二测画法画长方体的基本步骤：第一步：画平行四边形ABCD ，使AB 等于长方体的长，AD 等于长方体宽的二分之一，DAB45°.第二步：过A 、B 分别画AB 的垂线AE 、BF ，过C 、D 分别画CD 的垂线CG 、DH ，长度都等于高.第三步：顺次连接E 、F 、G 、H .第四步：将被遮住的线段改用虚线（隐藏线）表示.3.长方体中棱与棱的位置关系直线AB 与直线CD 在同一平面内具有唯一公共点，那么称直线AB 与直线CD 相交. 直线AB 与直线CD 在同一平面内，但没有公共点，那么称直线AB 与直线CD 平行. 直线AB 与直线CD 既不平行，也不相交，那么称直线AB 与直线CD 异面.4.长方体中棱与平面的位置关系直线EF 垂直于平面，记作直线EF ⊥平面，读作直线EF 垂直于平面.检验直线与平面垂直：“铅垂线”检验. “三角尺”检验. “合页型折纸”检验. 直线EF 平行于平面，记作直线EF ∥平面，读作直线EF 平行于平面.检验直线与平面平行：“铅垂线”检验. “长方形纸片”检验.5.长方体中平面与平面的位置关系平面垂直于平面，记作平面⊥平面，读作平面垂直于平面.平面平行于平面，记作平面∥平面，读作平面平行于平面.第九章整式1.整式的概念字母可以表示任意数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之，字母可以简明地将数量关系表示出来.用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.用数值代替代数式里的字母，按照代数式的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值.由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫单项式.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式，在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高项的次数就是这个多项式的次数.单项式、多项式统称为整式.为了计算需要，可以将多项式各项的位置根据加法交换律按照其中某一个字母的指数大小顺序来排列，按字母的指数从大到小排列，叫做把多项式按字母降幂排列，按字母的指数从小到大排列，叫做把多项式按字母升幂排列.2.整式的加减所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项.把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式.合并同类项的法则：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变.去括号法则：括号前面是“＋”号，去掉“＋”号和括号，括号里各项不变号. 括号前面是“－”号，去掉“－”号和括号，括号里各项都变号.整式的加减就是单项式、多项式的加减，可利用去括号法则和合并同类项来完成整式的加减运算.3.整式的乘法a a a…a，即n 个a相乘，可以写成a n（读作a的n 次方），其中a表示底数，正整数n 表示指数，a 的n 次乘方的结果叫做a 的n 次幂.同底数幂相乘有如下法则：底数不变，指数相加，即：a m a n a m n （m 、n 都是正整数）幂的乘方：底数不变，指数相乘，即(a m )n a mn （m 、n 都是正整数）积的乘方：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：(ab)n a n b n （n 为正整数）整式的乘法：1. 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式.2. 单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加.3. 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.4.乘法公式两个数和与这两个数差的乘积等于这两个数的平方差，即(a b)(a b)a2 b2 . 个公式叫做平方差公式.这。
数的整除知识点整理
数的整除知识点整理数的整除是数学中基础而重要的概念之一，常常涉及到算术基本定理、欧几里得算法、最大公因数等其他基本概念。
本文将对数的整除知识点做一个简要的整理和总结，帮助读者更好地掌握这一概念。
一、数的整除的定义在数学中，数的整除被定义为若存在整数q使得a=q*b，则b 被称为a的因数，a被称为b的倍数。
即b能够整除a。
例如，可以说9是3的倍数，因为存在一个整数q=3，使得9=3*3。
因此，3是9的因数，9是3的倍数。
需要注意的是，每个整数都能够被1和它自己整除，因此1和本身也是任何整数的因数。
二、整除的基本性质1. 除数不为0任何数都不能被0整除，即0没有因数，所以任何数除以0都是无意义的。
2. 唯一分解定理为了更好地理解整除，还需要知道数的分解定理。
唯一分解定理，也称为质因数分解定理，指出了任何大于1且不是素数的整数都能够唯一地分解成若干个质数的积。
例如，一个正整数20可以分解成2*2*5。
20的因数可以是1、2、4、5、10和20，而这些因数都是2和5的某种组合。
唯一分解定理是整除的基本性质，它保证了唯一性，即一组因数的乘积只能唯一地分解成若干个质数的积。
这个定理的证明常常采用归纳法的方法，其中用到了欧几里得算法等技巧。
3. 关于最小公倍数在整除中，还经常使用到最小公倍数的概念。
最小公倍数是指一个或多个整数的公共倍数中最小的那个，通常记为lcm(a,b)。
求最小公倍数的方法包括因数分解法、质因数分解法和倍数相减法等多种方法。
这些方法都采用了整除的基本性质，通过确定两个整数的公共因数和公共倍数，最终确定它们的最小公倍数。
例如，最小公倍数lcm(9,15)就是45，因为9和15的公共倍数有：45、90、135等，其中45是最小的。
三、深入了解整除的相关知识1. 余数和模在整除的基础上，还有进一步的概念需要了解，其中包括余数和模。
余数是指一个整数除以另一个整数所得到的余数，也称为“取余数”运算，其符号通常为“%”。
(完整word版)初中数学知识点梳理(沪教市北综合版)——01数的整除(良心出品必属精品)
初中数学知识点梳理（沪教市北综合版）导言《初中数学知识点梳理沪教市北综合版》为编者依据沪教版《初中数学》和市北初级中学资优生培训教材《初中数学》的内容综合编撰而成，既吸取了沪教版《初中数学》侧重基础、知识全面的特点，也吸取了市北版《初中数学》拓展广度、延伸深度的特点，实现了两者内容的有机融合，保证了初中数学知识点梳理的基础性、系统性、全面性、拓展性和概括性，能为初中数学的学习提供较好的知识帮助。
文中带“（★）”部分为市北版的加深内容，练习带“（★）”部分也为市北版内容。
第一章数的整除一、知识结构二、重点和难点重点：会正确地分解素因数，并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。
难点：求两个正整数的最小公倍数。
第一节整数和整除1.1整数和整除的意义⑴正整数：用来表示物体个数的数1，2，3，4，5…叫做正整数。
⑵负整数：在正整数1，2，3，4，5…之前添上“-”，得到的数-1，-2，-3，-4，-5…叫做负整数。
⑷ 整数：正整数、零、负整数统称为整数。
⑸ 整除：设a、b是两个整数，且b≠a，若存在整数q，使a＝bq，则称b整除a，或a被b整除，记作b∣a。
（★）或者说，如果整数a除以整数b(b ≠ 0）所得的商是整数，那么叫做a被b整例1：下列哪一个算式的被除数能被除数整除？28÷7 10÷3 5÷4解：因为28÷7＝4 ，10÷3＝3……1 ，5÷4＝1.25 ，所以被除数能被除数整除的是28÷7。
③若m∣a、m∣b，则m∣（a－b）;④若m∣a，则m∣ab（b为自然－数）;⑤n个连续正整数的积能被n！整除。
（n的阶乘：n！＝1×2×3×…×n）（★）例如：a为整数时，2∣a(a+1)6∣a(a+1)(a+2)24∣a(a+1)(a+2)(a+3)……（★）解：由于4个连续的整数中必有 1个数为4的倍数，还有另一个数为2的倍数，有1个是3的倍数，因为a、a+1、a+2、a+3为4个连续的整数，所以，a、a+1、a+2、a+3中必有一个数为4的倍数，另有一个数为2的倍数，有一个数为3的倍数，即为2×3×4=24的倍数。
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第一章数的整除一、知识结构二、重点和难点重点：会正确地分解素因数，并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。
难点：求两个正整数的最小公倍数。
第一节整数和整除1.1整数和整除的意义⑴正整数：用来表示物体个数的数1，2，3，4，5…叫做正整数。
⑵负整数：在正整数1，2，3，4，5…之前添上“-”，得到的数-1，-2，-3，-4，-5…叫做负整数。
⑶ 自然数：零和正整数统称为自然数。
⑷ 整数：正整数、零、负整数统称为整数。
⑸ 整除：设a、b是两个整数，且b≠a，若存在整数q，使a＝bq，则称b整除a，或a被b整除，记作b∣a。
（★）或者说，如果整数a除以整数b(b ≠ 0）所得的商是整数，那么叫做a被b整除，或b能整除a 。
例1：下列哪一个算式的被除数能被除数整除？28÷7 10÷3 5÷4解：因为28÷7＝4 ，10÷3＝3……1 ，5÷4＝1.25 ，所以被除数能被除数整除的是28÷7。
例如：a为整数时，2∣a(a+1)6∣a(a+1)(a+2)24∣a(a+1)(a+2)(a+3)……（★）解：由于4个连续的整数中必有1个数为4的倍数，还有另一个数为2的倍数，有1个是3的倍数，因为a、a+1、a+2、a+3为4个连续的整数，所以，a、a+1、a+2、a+3中必有一个数为4的倍数，另有一个数为2的倍数，有一个数为3的倍数，即为2×3×4=24的倍数。
练习⑴是否有最小的自然数？⑵是否有最大的整数？⑶把下列各数分别填入相应的括号中。
22－60，12，3.14，0，1，－1，－0.618，—7正整数（），负整数（），自然数（），整数（）。
⑷下列各式中，哪些式子表示整除？12÷4＝3 （） 20÷0.5＝40 （） 35÷7＝5 （）45÷45＝1 （） 4.2÷1.4＝3（） 78÷7.8＝10 （）⑸ 2.6÷1.3＝2，能不能说2.6能被1.3整除？⑹如果a表示一个自然数，且a≥2，写出：①紧挨着它，在它后面的两个连续自然数_______________;②紧挨着它，在它前面的两个连续自然数_______________。
⑺下列算式中，哪些是除尽？哪些是整除？42÷7＝6 （）3÷5＝0.6 （）4÷0.2＝20 （）5÷3＝1……2 （）8.1÷3＝2.7 （）2÷3＝0.66666……（）1.2因数和倍数⑴倍数和因素：如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数(mutiple)，b就叫做a的因数(factor)（或a的约数）。
倍数和因数是相互依存的。
⑵因素的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
⑶倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
例：求18的因素。
①乘积是18的算式有：1×18=18，2×9=18，3×6=18，所以，18的因素有1，2，3，6，9，18。
②18能整除的算式有：18÷1=18，18÷2=9，18÷3=6，所以，18的因素有1，2，3，6，9，18。
练习填空:⑴ 45÷5= 9，( ) 能被( )整除，( )能整除( )；( )是( )的因数，( )是( )的倍数。
⑵一个正整数a的因数的个数是( )，其中最小的一个是( )，最大的一个是( )；正整数a的倍数的个数是( )，其中最小的一个是( )。
⑶一个数的最小倍数是9，那么这个数的最大因数是( )，最小因数是( )。
⑷有一个数，它既是6的倍数，又是6的因数，这个数是( )。
1.3数的整除性⑴ 2的倍数特征：个位是偶数，即个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。
⑵ 3的倍数特征：一个数的各个数位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除。
⑶ 5的倍数特征：个位上是0或5的数，都能被5整除。
⑷ 9的倍数特征：一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，这个数就能被9整除。
⑸ 11的倍数特征：一个数的奇位上的数字之和与偶位上的数字之和的差相等或是11的倍数，这个数就能被11整除。
⑹ 7、11、13的倍数特征：一个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差是7、11、13的倍数，这个数就能被7、11、13整除。
⑺ 4或25的倍数特征：一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。
⑻ 8或125的倍数特征：一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。
例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。
⑼能同时被2,5整除的数的特征: 个位是0。
⑽能同时被2，3，5整除的数的特征: 个位是0，而且各个位上的数字的和能被3整除。
⑾能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。
例1：一年级72名学生课间加餐共交□52.7□元，□处的数字辨认不清，问每个学生交了多少钱？（★）解：由于72＝8×9，因此，□527□要都能被8、9整除，□527□被8整除，即27□被8整除，从而得出个位数字是2。
□527□被9整除，即：□＋5＋2＋7＋2＝□＋7＋9被9整除，从而可得首位是2。
所以每人交了：252.72÷72＝3.51(元)。
答：每人交了3.51元。
例2：要使六位数15ABC6能被36整除，而且所得的商最小，求A、B、C。
（★）解：因为36＝4×9 ，所以C只可能是1，3，5，7，9。
要使商最小，首先A应尽可能小，于是取A＝0，又1＋5＋6＋A＋B＋C＝9＋3＋B＋C能被9整除，即B＋C＋3是9的倍数，C只能是1，3，5，7，9，而B应尽可能小，因此B取1，C取5。
答：A、B、C分别是0、1、5。
练习1.1（★）1、有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把他们平均分成若干小组，有几种分法？有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？2、一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个。
小马虎统计错了吗？为什么？3、不超过100的正整数中，能被25整除的数有哪些？不错过1000的正整数中，能被125整除的数有哪些？1.4奇数与偶数（★）⑴奇数与偶数：能被2整除的数叫做偶数(even number)；不能被2整除的数叫做奇数(odd number)。
◆ 0是偶数。
◆自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。
◆设n是整数，则：2n是偶数，2n-1或2n+1是奇数；设n是正整数，则：2n是正偶数，2n-1是正奇数。
例1：在1，2，…，2008中每个数前面任意添加“＋”、“－”号，最终的运算结果是奇数还是偶数？请说明理由。
(★)解：因为a－b与a＋b的奇偶性相同，所以将算式中每一个数前的“－”号逐一改成“＋”号，其结果的奇偶性不变，故所求的结果与1＋2＋…＋2008＝1004×2009的奇偶性相同，因此，所求算式的结果为偶数。
例2：将1，2，…，99重新排列成a1，a2，…，a99，求证：乘积(a1－1)(a2－1)…(a99－1)一定是偶数。
(★) 解：1，2，…，99中有50个奇数，49个偶数，a1，a2，…，a99中也有50个奇数，49个偶数，所以a1，a3，a5，…，a99这50个数中必有一个是奇数，设其中a k是奇数，则：a k－k是两个奇数之差，因而是偶数，所以（a1－1）（a2－1）…（a99－1）一定是偶数。
练习1.2(★)1、5个连续偶数的和是320，这五个连续偶数分别是几？2、用15、16、17、18、19这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，问乘积中有多少个偶数？3、一次舞会有七名男士和七名女士参加,一名男士和一名女士在一起跳为跳一次舞,会后统计出有8人各跳了6次,有5人各跳了3次,问余下的一人至少跳了几次？4、13个不同的自然数之和等于100,其中偶数最多有几个?偶数最少有几个?第二节分解素因数1.5素数、合数与分解素因数⑴素数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数(prime number)（或质数）。
◆ 100以内的质数表：100以内共有26个质数，具体为：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
熟记20以内的全部素数。
⑵合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数(composite number)。
例1：判断3333334111111是素数还是合数？(★)解：3333334111111＝3333333000000＋1111111＝1111111×3000000＋1111111＝1111111（3000000＋1）＝1111111×3000001所以，3333334111111是合数。
例2：桌子上有一堆石子共1001粒，第一步从中扔去一粒石子，并将余下的石子分成两堆。
以后的每一步，都从某个石子数目多于1的堆中扔去一粒，再把这堆分成两堆，试问：能否在若干步以后，使桌上的每一堆中都刚好有3粒石子？(★)⑴小明：我家的门牌号是最小的质数和最小的合数分别连续写两次。
小丽：我家的门牌号是10以内的奇数从大到小排列。
你知道小明家和小丽家的门牌号分别是多少吗？解：假设结果可能，并设最后剩下n堆，每堆3粒，则在此之前一共进行了（n－1）次操作，而每次操作都扔去一粒，所以一共扔去（n－1）粒，因此3n＋（n－1）＝1001，即4n＝1002因为4n是4的倍数，而1002不是4的倍数，这样就产生了矛盾，所以，假设不成立。
所以，不可能在若干步以后，使桌上的每一堆中都刚好有3粒石子。
⑷分解素因数：把一个合数分解成若干个素因数相乘的形式，即求素因数的过程叫做分解素因数。
把一个合数分解素因数，通常可用“短除法”或“树枝分解法”。