高等数学：BIT微分方程习题课

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提示: (1) 因e y3 x e y3 ex , 故为分离变量方程:
y2ey3 dy ex dx
通解
1ey3 ex C 3
(2) xy x2 y2 y
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方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分
离变量方程.
y 1 y 2 y
xx
xu 1 u2
x 0 时，y 1 y 2 y
处连续且可微的解.
提示:
解满足
特征根 : r1,2 i ,
D(D 1) pD q y f (et )
例1 求下列微分方程的通解
(1) y y y2 1 0, (2) y 2y 5y sin 2x .
提示: (1) 令
则方程变为
ypdp p2 1 0 , dy
(2) y 2y 5y sin 2x
特征根:
齐次方程通解: Y ex (C1 cos 2x C2 sin 2x )
xx
xu 1 u2
(3)
y
2x
1
y2
调换自变量与因变量的地位 , 化为 dx 2x y2 , dy
用线性方程通解公式求解 .
(4)
y
6x3 3xy2 3x2 y 2y3
这是一个齐次方程 . 令 u y
x
例2. 求下列方程的通解:
(1) xy y y ( ln x ln y ) (2) 2 x ln x dy y ( y2 ln x 1) dx 0 (3) y 3x2 y2 6x 3
f
(x)
逐次积分求解
•
d2y dx2
f
(x, dy) dx
令 p (x) dy dx
d p f (x, p) dx
•
d2y dx2
f
(y, dy) dx
令 p(y) dy dx
2. 二阶线性微分方程的解法
• 常系数情形 • 欧拉方程
齐次 非齐次
x2 y pxy qy f (x) 令 x et , D d dt
一、一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤
2. 一阶非标准类型方程求解 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式
例1. 求下列方程的通解
(1)
y
1 y2
e y3x
0;
(3)
y
1 2x
y2
;
(2) xy x2 y2 y ;
(4)
y
6x3 3xy2 3x2 y 2y3
令y=ut
可分离变量方程求解
例3. 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞)
内满足以下条件: f (x) g(x), g(x) f (x), 且 f (0) 0, f (x) g(x) 2ex.
(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;
(2) 求出F(x) 的表达式 .
例:设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初
始速度v0 0,物体便离开平衡位置,并在平衡位置 附近作上下振动.试确定物体的振动规律x x(t ).
解 1. 恢复力 f cx;
它不包括在平衡位置时与重力
相抵消的那一部分弹性力。
o
2. 阻力 R dx ;与速度成正比
x
由于将平衡位置d取t 为原点，重力与一部分弹x性
F (x) e 2d x 4e2x e 2d x d x C
e2x 4e4x d x C
e2x Ce2x 将 F(0) f (0)g(0) 0 代入上式，得 C 1
于是
F(x) e2x e2x
二、两类二阶微分方程的解法
1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法
•
d2 y dx2
(考研)
解: (1) F(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
g2(x) f 2(x)
[g(x) f (x)]2 2 f (x)g(x)
(2ex )2 2F(x)
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
F(x) 2F(x) 4e2x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
5.伯努利方程
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
待 特征方程的根 定 及其对应项
系 数
法 f(x)的形式及其 特解形式
可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
微分方程解题方法:
一阶方程
作降 变阶 换
高阶方程
分离变量法
常数变易法 特征方程法
待定系数法
1、基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
恢复力相抵消，故不再考虑重力。
F
ma,
m
d2x dt 2
cx
dx dt
,
物体有阻尼自由振动的微分方程
小结
•用常微分方程求解实际问 题的一般步骤;
•特别关注牛顿第二定律， 比例问题，溶液混合问题， 运动路线问题。
微分方程
习题课
一、主要内容
一阶方程
基本概念
高阶方程
标准类型
1.可分离变量 2.齐次方程 3.可化为齐次 方程 4.线性方程
2xy 2y
提示: (1) 原方程化为
令 u = x y , 得 d u u ln u (分离变量方程) dx x
(2) 将方程改写为
d y 1 y y3 (伯努利方程) 令 z y2 d x 2x ln x 2x
(3) y 3x2 y2 6x 3 2xy 2y
化方程为 d y 3(x 1)2 y2 d x 2y (x 1) 令 t = x – 1 , 则 dy dy dt dy dx d t dx d t d y 3t 2 y2 (齐次方程) dt 2ty
令非齐次方程特解为
代入方程可得
A
1 17
,
B
4 17
原方程通解为 y ex (C1 cos 2x C2 sin 2x )
思考
若 (7) 中非齐次项改为
特解设法有何变化 ?
提示:
故 y* Acos 2x B sin 2x D
例3. 求微分方程
y
y
x,
y 4 y 0 ,
x
2
x
2
满足条件
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解．
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解．
初始条件 用来确定任意常数的条件.
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．