第五章-离中趋势测量法

(
xf f
)
2
………（5.9a）


2
x x
f
2
2
2
2
………（5.9b）

(x x ) f

x f f
2
(
xf f
)
2
………（5.10a）
x x
2
………（5.10b）
标准差性质
方差和标准差具有以下主要的数学性质： ⑴变量数列的方差等于其变量值平方 的平均数减去平均数的平方，即：
(
x n
)
2
…………（5.7a）


2
x x
2
2
…………（5.7b）

(x x ) n
2
2

2
x n
2
(
x n
)
2
…………（5.8a）
x x
…………（5.8b）
同理可证，依据分组资料计算标准差和方差
的简单计算公式为：

(x x ) f f
2

x f f
2
简单方差：
2

(x x ) n
2
………（5.3）
加权方差：
2

(x x ) f f
2
………（5.4）
（二）标准差 标准差，又称均方差，是指各变量值与其算术 平均数离差平方的算术平均数的正平方根。 标准差就是方差的正平方根，记作 。 标准差的计量单位与数据原来的计量单位相 同，这样一来，标准差就很容易与平均数以及 其他有相同计量单位的统计指标进行比较。
(8 2 8 0 .0 8 ) 2 0 ( 7 8 .8 8 0 .0 8 ) 3 0 20 30
2 2
2 .4 6
（总方差）
组 内 组 间 2 0 7 .5 2 2 .4 6 2 0 9 .9 8
2 0 9 .9 8 1 4 .4 9 ( 分 )
全 距 系 数 VR R x
平 均 差 系 数 V AD
AD
标 准 差 系 数 V

x
x
例7，甲、乙两班学生的学科考试成绩情况为：
（百分制）， x甲 7 2 .4 分 ， 甲 8 .9 5 分 甲、乙两班考试平均成绩的代表性。
V
V
甲
0 .9 6 分 x乙 3 .8 8 分 ， 乙 （五分制），试比较


2 x
2
Baidu Nhomakorabea
x x
2
2
⑵由于离差平方和为最小值，故据此求得的方 差小于各变量值对其他任意数的方差，即：
＜
2 c
（C为任意常数）
（ 3 ） 假 定 原 变 量 x的 方 差 为 x ， 标 准 差 为 x ，
2
a、b为常数，那么：
若 y x a， 则
若 y a x， 则
甲
x甲 8.95 72.4
0.96 3.88


1 0 0％ =
1 0 0％ =
1 0 0 % 1 2 .3 6 %
1 0 0 % 2 4 .7 4 %
乙
x乙
乙
由标准差系数计算的结果可以判定，甲班 学生考试平均成绩的代表性高于乙班。
（二）偏度与峰度 1、偏度 偏度又称偏态，是指变量数列中次数分布 的非对称程度。 如果次数分布是完全对称的，称为对称分 布；如果不是完全对称的，则称偏态分布。一 般来说有以下几种情形：
AD x x n
…………（5.1）
例1，有两个参赛篮球队队员身高（单位：cm）如下： 甲队：185 191 195 202 217 乙队：190 197 199 200 204 以上述资料为例，计算简单平均差。
⑵加权平均差 在资料已经分组时，平均差采用加 权平均法计算，其计算公式为：
AD
(总 标 准 差 )
（三）标准分（Z分数） 标准分是离差与标准差的比值，即：
Z x x

……………（5.12）
标准分有三个特性：
⑴Z是和X一一对应的变量值。 ⑵Z分数没有单位，是一个不受原资料单位影响 的相对数，因而可以用于不同单位资料的比较。 ⑶Z分数实际表达了变量值距总体均值有几个标准差。 标准分可以为正、负或零值。它的含义是以平均数为标准， 以标准差为单位表示一个数据在团体中的相对位置。
d
o
偏态
X M
o
为了使不同数列的偏态值可比，同样可计算偏态的相 对数，即偏态系数，用α来表示
X Mo 3 (X M d ) S S
由于
0 ， 所 以 的 取 值 为 0、 为 正 、 为 负 由 x M 0 决 定 。
0
（ 1） x M
0， 0， 对 称 分 布 ；
⑴简单标准差 对于未分组资料计算标准差时可 采用简单法，其计算公式为：

(x x ) n
2
例，求26,45,88,62,74这些数字的标准差
⑵加权标准差 按照分组资料（变量数列）计算标准差时可采 用加权法。由组距数列计算标准差时，还应先 求出组中值（开口组的组中值以邻近组的组距 确定），再按加权法计算。其计算公式为：
例2: 1,2,3,4,5, 6,7,8,9,10 10个数从中间(空白部份)切开,右边中央数8=Q3,左边中间数 3=Q1 例3: 1,2,3,4,5,6, 7,8,9,10,11,12 12个数从中间(空白部份)切开,右边中间两数9,10平均9.5=Q3,左 边中间两数3,4平均3.5=Q1
第三节
例1 假设有数组：0，10，20，30，40，50，60，70，80，90， 100，110. 元素共12个，由小到大排列。 则第一四分位为第三位和第四位的中位数，即：Q3=（20+30） /2=25；同理，第三四分位为第九位和第十位的中位数，即：Q1= （80+90）/2=85。 四分位差Q=Q3-Q1/2=(85-26)/2=29.5 如果上面的数组表示12个学生的成绩，Q表示学生得分的分散情形， 若Q值越大，表示学生得分越参差不齐。
一、平均差 平均差是各个标志值与其算术平均 数离差绝对值的算术平均数（平均离 差），一般用AD表示。它反映标志值与 其算术平均数之间的平均差异。 在统计中，把总体中各个标志值与其 算术平均数之差（ x x ）叫做离差。 离差总和等于零，即 ( x x ) 0
⑴简单平均差 在资料未分组时，平均差采用简单平 均法计算，其计算公式为：
y
y
x；
a x；
y
若 y x / a， 则


a
x
；
若 y a b x， 则
y
b
x
⑷方差的分解定理（加法定理）： 一个分组数列的总方差等于其各组组内 方差的平均数与其组间方差之和，即：
总 组内 组间
亦即 (x x ) f f
2
Z分数计算
第四节 相对离势
（一）变异系数（V） 变异系数又称离散系数，是各种变异指 标（全距、平均差、标准差）与其算术 平均数的比率，一般用符号V表示。 它是反映总体中标志值相对差异 程度的指标，是一个无名数。
常用的变异系数有三种，即全距系数、平均 差系数和标准差系数，而其中以标准差系数 的应用最为普遍。相应的计算公式为：
（二）四分位差
四分位差就是第三四分位数和第一四分位数之差的二 分之一,用Q.D表示，即Q.D ＝(Q3-Q1)/2。 1.离散程度的测度值之一 2.也称为内距或四分间距 3.反映了中间50%数据的离散程度不，受极端值的影响 用于衡量中位数的代表性
四分位距（四分差）就是第三四分位数和第一四 分位数之差，用于测定中间50%部分的距离为多少。 即IQR = Q3 －Q1 。
[例] 求74，84，69，91，87，74， 69这些数字 的全距。 [解] 把数字按顺序重新排列： 69，69，74，74，84，87，91， 显然有 R =Xmax– Xmin ＝91—69＝22
对分组资料，不能确知最大值和最小值，求全距： （1）用组值最大组的组中值减去最小组的组中值(偏小) （2）用组值最大组的上限减去最小组的下限（偏大） （3）用组值最大组的组中值减去最小组的下限； 或最大组的上限减去最小组的组中值（接近） 求下表所示资料的全距
变异指标的种类和计算
1、按计算的基准来分有以下两类：
(1)以两数之差来表达的有全距和四分位差等。
(2)以对平均数偏差来表达的有平均差、标准 差等。
2、变异指标如按数量关系来分有以下两类: 凡用绝对数来表达的变异指标，统称绝对离势; 主要有极差、平均差、四分位差、 标准差等。 凡用相对数来表达的变异指标，统称相对离势; 主要有异众比率、标准差系数、平均 差系数和一些常用的偏态系数。
(1)当 x M
e
M 0时 ， 对 称 分 布 ；
⑵当 ⑶当
x x
＞Me ＞ Mo时，右偏分布； ＜Me ＜ Mo时，左偏分布。
(三) 偏态系数
我们在前面讨论统计图时已经对频数分布的正态和 偏态有所认识。我们又看到了算术平均数与中位数、众 数之间存在的关系：当总体呈对称分布时，X 、 M 、 M 三者完全相等；当总体呈不对称的偏态分布时，它们之 间存在着数量(位置)的差异。因此，偏态可由 X 与 M o 的差来表示，即
0
（ 2） 当 x M
解：x xk fk fk
2 k

8 2 2 0 7 8 .8 3 0 20 30
2 2
8 0 .0 8 ( 分 )
组内
组间
2
2

2
fk
fk

2

1 2 .4 2 0 1 5 .6 3 0 20 30
2
2 0 7 .5 2
2
( xk x ) fk fk
x x f f
…………（5.2）
平均差资料分组 (例题分析)
Md
Mi i
1
k
x fi
n
2040 17 (台) 120
含义：每一天的销售量平均数相比， 平均相差17台
平均差性质
二、方差与标准差
（一）方差
总体方差，简称方差，就是各个标志值与 其算术平均数离差平方的算术平均数，一 般用符号 2 表示，其计算公式为：
第五章 离中趋势测量法 离中趋势测量法
离中趋势是指变量数列中变量值 之间的差异程度或离散程度。
本章重点： 1、平均差 2、方差与标准差 3、离散系数 本章难点： 1、方差与标准差 2、是非标志的方差
变异指标的概念和作用
一、变异指标的概念 变异指标又称标志变动度，是反映总体各单位标志值之间差异程度的 综合指标。 二、变异指标的作用 1、是衡量平均指标代表性的尺度 2、可用来研究现象的稳定性和均衡性 3、在抽样调查和相关分析中有着重要作用 变异指标用以反映总体各单位标志值的变动范围或参差程度，与平 均指标相对应，从另一个侧面反映了总体的特征。变异指标不仅可以 综合地显示变量值的离中趋势，还可以用来判别平均数的代表性。
2
2
2
2


2 k
fk
fk

( xk x ) fk fk
2
式 中 ， k为 各 组 的 组 内 方 差 ；
xk为 各 组 的 算 术 平 均 数 ； f k为 各 组 的 次 数 。
例5，某班50名学生考试数学，其中女同学20 名，平均成绩82分，标准差为12.4分；男同学 30名，平均成绩78.8分，标准差15.6分。试确 定全班同学的总平均成绩、方差和标准差。

(x x ) f f
…………（5.6）
2
例，分组单项数列标 准差计算准差计算
用变形式
求下表所示资料的标准差（分组组距数列标准差）
原始式
用变形式
在实际应用中，标准差和方差的计算可采用 下列简单公式计算。 在资料未分组时，简单公式为：

(x x ) n
2

x n
2
常用的变异指标有 全距、平均差、标 准差和变异系数 等几种。
第一节
（一） 全距 全距又称极差（Range），是指一个变量数列中的最 大值与最小值之差，一般用R表示。 优点；计算简单，便于理解 缺点：受极值影响大，无法计算开口组资料； 数据利用率低，信息丧失严重；受抽样变动影响大
计算公式为 R = max(xi) - min(xi) 全距越大，表示变动越大。
四分位数
四分位数是将一组数据由小到大（或由大到小）排序后，用3个 点将全部数据分为4等份，与这3个点位置上相对应的数值称为四 分位数，分别记为Q1（第一四分位数），说明数据中有25%的数 据小于或等于Q1，Q2（第二四分位数，即中位数）说明数据中 有50%的数据小于或等于Q2、Q3（第三四分位数）说明数据中 有75%的数据小于或等于Q3。其中，Q3到Q1之间的距离的差的 一半又称为分半四分位差，记为（Q3-Q1）/2。