论文

齐奥尔科夫斯基公式的分析研究
摘要：
火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具。

火箭的速度是由火箭发动机工作获得的。

齐奥尔科夫斯基推导出单级火箭的理想速度公式Vf=Vi㏑M／M。

被称为齐奥尔科夫斯基公式。

齐奥尔科夫斯基公式是在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下计算火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式。

此公式是现代空间飞行器的基础原理公式，指导了火箭研制的方向：提高推进剂和发动机性能，可以增加射流速度；减轻火箭的结构重量可提高质量比。

二者均能提高理想速度。

通过对此公式两大特点的分析，从而提出如何改善火箭的运载效率的问题，从而提出了多级火箭。

多级火箭的好处，是在每一级的燃料用尽后可以把该级的外壳抛弃，从而减轻下一级所负载的质量。

缺点是航天发射的费用极其高昂。

另外，当喷射物的速度等于光速 (u=c)时，齐奥尔科夫斯基公式衍生出一个普用公式。

最后，我们走入太空，探索太空旅行，对齐奥尔科夫斯基公式进行知识延伸。

关键词：火箭；公式；特点；光速；太空
正文：
嫦娥奔月、万户飞天，人类对空间的向往由来已久，并为此进行着不懈努力。

今天，人类已经向太空轨道发射了2000 多颗人造地球卫星与多艘宇宙飞船，这些都是依靠多级火箭发射升空的。

征服太空的关健是火箭技术。

说到现代火箭，就要提到举世公认的宇航理论先
驱者，前苏联的齐奥尔科夫斯基。

正是他提出利用火箭进行星际航行和发射卫星的可能性。

并建立了火箭结构特点与飞行速度之间的关系式，即著名的齐奥尔科夫斯基公式，它成为人类征服太空的钥匙。

一、齐奥尔科夫斯基公式的来源
早在1883 年，齐奥尔科夫斯基就《自由空间》一文中提出了关于宇宙飞船的最初设计方案，显示了他对宇宙航行的天才设想。

1903 年，齐奥尔科夫斯基发表了《利用火箭喷射仪器研究宇宙空间》一文，这篇论文的发表，在人类的航天科学史上起到了划时代的重要作用。

首先，作者在论文中提出了用什么样的飞行器进入宇宙空间的问题。

现在我们已经知道在宇宙空间的空气极为稀薄，几乎接近真空，所以靠空气浮力为力源的气球与气艇都无法飞出大气层。

齐奥尔科夫斯基也意识到了这一点，所以在他的论文一开始就写道：“装有自动观察仪的无人操纵的小型气球，直到现在它的升限也未能超过22 公里。

很明显，利用气球飞往更高空间的困难将随着高度的增大而不断增加，要利用气球或飞艇飞到大气层范围之外是完全不可能的。

”
随后，齐奥尔科夫斯基又认真地研究了利用大炮炮弹飞向宇宙的可能性。

他通过仔细的计算，最终认为利用炮弹飞往星际空间也是不可能的。

这是因为炮弹由大炮发射出时的初速度非常高，这就会在极短的时间内产生极大的动力加速度，但这种加速度将会造成宇航员的突然死亡以及仪器的彻底损坏。

很显然，大炮的炮弹根本不能用于星际航行。

最后他得出了自己的结论：“我建议使用喷气装置，也就是火箭之类的飞行器去研究外层空间用以代替气球和大炮炮弹。

”
喷气式火箭，离开地面的初始速度并不是需要太高，而是在飞行过程中逐渐加速的，最终达到足以摆脱地球引力，从而飞出地球大气层的速度。

因为宇航火箭的速度是逐渐提升的，加速度远比炮弹小得多，所以就能够保证火箭内乘员的生命安全以及工作仪器的正常运转。

但是，宇宙火箭在宇宙空间是如何飞行的呢？它的构造又应是怎样的呢？通过什么办法才能够计算出宇宙火箭的飞行速度与高度呢？为了解决这些问题，齐奥尔科夫斯基在物体运动力学理论方面进行了新的探索。

他根据已知的力学原理全面地研究了火箭的运动过程，从而创立了牛顿古典力学中新的一章——变质量力学。

他通过自己的研究，提出了著名的火箭推进速度的计算公式——齐奥尔科夫斯基公式：Vf=Vi㏑M／M。

【1】这是单级火箭的理想速度公式。

二、齐奥尔科夫斯基公式
齐奥尔科夫斯基火箭方程是俄国火箭专家康斯坦丁•齐奥尔科夫斯基（英文:Konstantin Eduardovich Tsiolkovsky)独自推导的火箭推动原理，该原理是现代空间飞行器的基础原理。

齐奥尔科夫斯基公式是在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下计算火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式。

用这个公式可以近似地估计火箭需要携带的推进剂的数量以及发动机参数对理想速度的影响。

不考虑空气动力和地球引力的理想情况下计算火箭在发动机工
作期间获得速度增量的公式，即
Vf=Vi㏑M／M。

【1】
M 是火箭加速前的纯质量总合，即初始总质量(该质量指，不含火箭可能携带的弹头或者卫星等附加设施，仅为火箭自身各种子系统的综合，后文中所有初始总质量都是指火箭纯质量的总合）。

M。

是火箭加速后的纯质量的总和。

Vi是火箭排气速度(火箭喷射速度)。

Vf是火箭加速后速度与加速前速度的差值，它是对由且仅由火箭发动机产生的加速度求时间的积分得来。

此公式指导了火箭研制的方向：提高推进剂和发动机性能，可以增加射流速度；减轻火箭的结构重量可提高质量比。

二者均能提高理想速度。

三、齐奥尔科夫斯基公式的特点及应用——火箭
火箭是以热气流高速向后喷出，利用产生的反作用力向前运动的喷气推进装置。

它自身携带燃烧剂与氧化剂，不依赖空气中的氧助燃，既可在大气中，又可在外层空间飞行。

火箭在飞行过程中随着火箭推进剂的消耗，其质量不断减小，是变质量飞行体。

现代火箭可用作快速远距离运送工具，如作为探空、发射人造卫星、载人飞船、空间站的运载工具，以及其他飞行器的助推器等。

如用于投送作战用的战斗部(弹头)，便构成火箭武器。

其中可以制导的称为导弹，无制导的称为火箭弹。

火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具。

火箭的速度是由火箭发动机工作获得的。

由这个公式可知，火箭的速度与发动机的喷气速度成正比，同时随火
箭的质量比增大而增大。

即使使用性能最好液氢液氧推进剂，发动机的喷气速度也只能达到4.3～4.4公里／秒。

因此，单级火箭不可能把物体送入太空轨道，必须采用多级火箭，以接力的方式将航天器送入太空轨道。

从齐奥尔科夫斯基公式中我们可以看到一个重要的特点，那就是火箭所能达到的速度可以高于喷射物的喷射速度。

这一点之所以重要，是因为它表明我们可以通过较低的喷射速度来达到航天器所需要的高速度，这在技术上要远比直接达到高速度来得容易。

但是火箭虽然能够达到比喷射物喷射速度更高的速度，但为此付出的代价却也不小。

因为火箭所要达到的速度 v 越高，其初始质量与推进过程完成后的质量之比 m／m。

就必须越大，从而火箭的有效载荷就必须越小。

这是齐奥尔科夫斯基公式的第二个重要特点。

最糟糕的是，齐奥尔科夫斯基公式是一个对数关系式，这是增长极其缓慢的关系式，它的出现表明燃料数量的增加 (即m／
m。

的增加) 对速度增加所起的作用非常有限。

这一点极大地限制了火箭的运载效率。

那么，有没有什么办法可以改善火箭的运载效率呢？齐奥尔科夫斯基提出了多级火箭的设想。

多级火箭就是把几个单级火箭连接在一起形成的，其中的一个火箭先工作，工作完毕后与其他的火箭分开，然后第二个火箭接着工作，依此类推。

由几个火箭组成的就称为几级火箭，如二级火箭、三级火箭，等等。

多级火箭的优点是每过一段时间就把不再有用的结构抛弃掉，无需再消耗推进剂来带着它和有效载
荷一起飞行。

因此，只要在增加推进剂质量的同时适当地将火箭分成若干级，最终可以使火箭达到足够大的运载能力。

多级火箭的好处，是在每一级的燃料用尽后可以把该级的外壳抛弃，从而减轻下一级所负载的质量。

不过，多级火箭虽然有较高的运载效率，但它在技术上的复杂性也较高。

因此在实际使用时，人们往往在运载效率与技术复杂性之间作折中，三级火箭就是最常见的折中结果。

即便使用多级火箭，为了将几吨的有效载荷送入近地轨道，通常也需要发射质量为几百吨的火箭 (比如发射“神舟号”飞船的长征二号 F 型火箭的发射质量约为四百八十吨，近地轨道的有效载荷则为八吨左右)。

这种巨大的消耗，使得航天发射的费用极其高昂。

如果你想到近地轨道上的国际空间站去遨游一下的话，大约要准备两千万美元的费用。

四、当火箭速度接近光速
人类目前的火箭技术还是相当初级的。

迄今为止最快的航天器的速度也只有每秒几十公里，这样的速度通常还是借助于太阳或其它行星的引力作用而达到的，并不单纯是火箭的功劳。

比方说一九七六年发射的“太阳神二号” (Helios 2) 探测器在近日点的速度约为 67 公里/秒，这一探测器有时被称为是速度最快的航天器。

它的速度就是借助于太阳的引力作用而达到的。

另一方面，在人类迄今发射的航天器中，飞得最远的也不过刚刚飞出冥王星轨道。

用星际空间的标准来衡量，这是很微小的距离。

人类要想走得更远，必须要有更快的航天器。

在齐奥尔科夫斯基公式中，火箭的速度是没有上限的。

通过提高喷射物的喷射速度，以及增加火箭质量中喷射物所占的比例，火箭原则上可以达到任意高的速度。

但我们知道，物体的运动速度不可能超过光速，这是相对论的基本要求。

因此齐奥尔科夫斯基公式显然不能随意外推，尤其是不能外推到火箭速度接近光速的情形。

那么，有没有一个比齐奥尔科夫斯基公式更普遍的公式，在火箭运动速度接近光速时仍然成立呢？答案是肯定的。

事实上，这样的公式也很简单：
v = c tanh[(u/c) ln(m/m。

)] 【1】
这里， c 表示光速， tanh 是双曲正切函数，其它变量的含义与传统的齐奥尔科夫斯基公式相同。

这就是齐奥尔科夫斯基公式在相对论条件下的推广。

对于低速运动的火箭，这一公式会自动退化为齐奥尔科夫斯基公式。

由于双曲正切函数在任何时候都小于 1，因此由上述公式给出的速度在任何情况下都不会超过光速，从而符合相对论的要求。

上述公式的一个特例是喷射物的速度等于光速 (u=c)，即喷射物为光子 (或其它无质量粒子)，的情形。

这种火箭常常出现在科幻小说中，通常是以物质与反物质的湮灭作为动力来源。

这是运载效率最高的火箭。

对于这种火箭来说，如果其 90% 的质量转化为能量作为动力，它的速度可以达到光速的 99%。

显然，这样的火箭既具有很高的运载效率，又能达到普通火箭望尘莫及的速度，是一种非常诱人的技术。

不过，我们目前的技术距离这种火箭的研制
还相差很远。

五、齐奥尔科夫斯基公式的知识延伸-——走向太空【2】
宇宙的浩瀚是星际旅行家们面临的最基本的事实。

即使能够达到接近光速的速度，飞越恒星际空间所需的时间仍然是极其漫长的。

从地球出发，飞到银河系的中心约需要三万年的时间，飞到仙女座星云 (M31 - 河外星系) 约需要二百二十万年的时间，而到室女座星系团 (Virgo - 河外星系团) 则需要约六千万年的时间 ... ... 相对于人类弹指一瞬的短暂生命来说，这些时间显然都太漫长了。

但是幸运的是，所有这些时间都是在静止参照系中测量的。

相对论中有一个著名的时钟延缓效应，它表明运动参照系中的时间流逝会比静止参照系中测量到的慢。

火箭的飞行速度越高，这种时钟延缓效应就越可观，宇航员所感受到的时间流逝也就越缓慢。

考虑到这个因素，宇航员是不是有可能在自己的有生之年，到银河系的中心、仙女座星云、甚至室女座星系团去旅行呢？
答案是肯定的。

我们考虑一个非常简单的情形，即火箭始终处于匀加速过程之中 (不用说，这种火箭耗费的能量将是极其惊人的，不过这里我们姑且把技术上的困难抛在一边，只讨论理论上的可能性)。

同时，我们把火箭的加速度选为与地球表面的重力加速度一样 (这样，宇航员在飞船上感受到的重力环境就与地球表面一样，不会象我们在电视上看到的那样在飞船内随意飘荡)，并且假定火箭在后半程做减速运动 (这样，宇航员才能在目的地着陆)。

在这样的飞行条件下，如果飞行距离非常大 (远远大于一光年)，飞船上的
时间流逝 t 与航程 S 之间的关系大致为：
t ≈ 2ln(S)
这里时间以年为单位，航程则以光年为单位。

这个公式与齐奥尔科夫斯基公式一样，也出现了以增长缓慢著称的对数函数。

只不过，在齐奥尔科夫斯基公式中，对数函数的出现是一件不幸的事情，因为它限制了火箭速度的增加，从而限制了火箭的运载效率；而在现在这个公式中，对数函数的出现却成了一件幸事，因为它延缓了飞船上的时间流逝，从而极大地扩展了宇航员在有生之年可以飞越的距离。

通过这个公式不难看到，假如旅行的目的地是银河系的中心，即S ≈ 30000 光年，飞行时间约为二十年。

这就是说，在宇航员看来，仅仅二十年的时间，他就可以到达银河系的中心。

即使算上返航，前后也只要四十年的时间。

这就是相对论的奇妙结论！只不过，当他回到地球时，地球上的日历已经翻过了整整六万年，他的孙子的孙子的孙子都早已长眠于地下了。

同样，我们可以计算出到达仙女座星云所需的时间约为二十九年；到达室女座星系团所需的时间约为三十六年。

假如一个宇航员二十岁时坐上火箭出发，如果他可以活到八十岁，那么在他的有生之年 (不考虑返航)，他可以到达十万亿光年远的地方。

这个距离已经远远远远地超过了可观测宇宙的范围！唯一的遗憾是，他们只要走得稍远一点，我们就没法分享他们的旅行见闻了。

参考文献
【1】张林.《星际旅行》. /view/74aec300b52acfc789ebc96f.html.2010 年12月.2011年10月
【2】杨丽.王慧华.《中外科学家发明家丛书》./p-583237.html.2010年2月.2011年10月。