带弱奇异核的抛物型积分微分方程的非协调有限元方法
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数学物理学报
ｈｔ：ａｔｍ ．ｉｍ． ． ｔ ／ ｃ ｓ ｐ ａｃ ｐ／ ａ ｗ ｃｎ
带弱奇异核的抛物型积分微分方程的非协调有限元方法
石东 洋 郭城 。王 海红
ｆ 郑州 大 学 数 学 系 郑州 ４ ０５ ； ５ ０ ２ 。郑州 师 范高 等专 科 学 校 数 － 系 ９ 郑州 ４ ０４ ５０４
。河南财经学院数 学与信息科 学系 郑州 ４ ０ ０ ） ５ ０ ２
摘要： 研究了带弱奇异核的抛物型积分微分方程 的非协调有限元方法， 在不需要 Ｒｉ — ｏｔｒａ ｔ Ｖ ｌ ｒ ｚ ｅ 投影的情况下，在半离散和全离散的格式下分别得到 了与协调有限元方法相同的误差估计． 关键词：抛物型积分微分方程；弱奇异核；非协调元；误差估计．
Ｍ Ｒ（ ０ ０ ２ ０ ）主题分类： ５ ５ ６ Ｎ３ 中图分类号： ４ ．１ 文献标识码： ６ Ｎ１ ； ５ ０ ０２２２ Ａ
文章编号：０３ ９８２１）３７４１ １０— ９ （ ００—６—２ ３ ０
１ 引 言
本 文主要研 究下 面这类带 弱奇异核 的抛物型 积分微分 方程
Ｉ ｒ 札 ， Ｊ △ 一／ （一 ） ｕ ） ＝ｆ ，， （， ∈ （ Ｔ， √ ￡ ｒ （ｄ Ａ ｒ ｒ （ ￡ Ｘ ｔ Ｑ×０ ］ Ｘ ） ） ，
７５ ６
２ 单元的构造
为简 单起 见，设 【 是 Ｒ ２ 。中 的一个有 界 凸多边 形 区域 ．其边 界 ａ 平行于 Ｘ轴 或 Ｙ轴 ， Ｑ ｒ 是 Ｑ 的一个 矩形剖 分族 ，即 — Ｕ Ｋ． Ｋ ∈ｒ ， 其 中心点为 （Ｋ，Ｋ） 两边分 别平 Ｖ ｈ设 Ｙ ，
∈Ｆｈ
行 于 轴 和 Ｙ轴 ，两 边长分 别 为 ２ 和 ２ 设 ＝ ［ ，］ 一１１是 一雪平 面上 的参 考 ｈ ｈ． 一１１×［ ，］ 单元 ，其 四个 顶点 分别 为 ｌ （ １一１， ２＝ （， ） ３＝ （，） ＝ 一， ） １一１， １１ 和 ４＝ （ ，）四条 边 一１１，
收 稿 日期 ：２ ０ —３２ ； ０ ８０ —７ 修订 日期 ： ０ ９１ —１ ２ ０ —０２
Ｅ— ｍａｉ：ｓ ＿ ｌ ｈｉｄｙ＠ｚ ｕ． ｄ ｃ ｚ ｅ ｕ．ｎ
基 金项 目：国家 自然科学基金 （０ ７ １ ４ １ ６ １ ８ ）资助
Ｎ． ｏ３
石 东洋 等：带 弱奇异 核 的抛物 型积分 微分 方程 的非协 调有 限元方 法
３ 半离散格式下的收敛性 分析
在这 一节 里我 们主 要讨论 半 离散格 式下 的误 差估计 ．
其 中 ＝ 而 １ ０ § ｉ ， ，， ， ５ ｄ ， ＝１２ ３４ ０ ＝ ０岔 ｄ （）
容易验 证 Ｖ ∈Ｈ ） 其插值 函 数 血 （ ， 可表 示 为
＝ ｓ＋
丢 一） 去 一） 去 ＋ 一ｓ ｓ 一ｓ （ 。 ＋（ 。 ＋（ 。 ２ ） （ ２ ） ｏ（ 西 （ ｚ 岔 。 雪 。 ） ＋ ＋ ）
为 ｆ：
，２ ｆ＝
３ ｆ＝ ４ ｆ＝ ，３ ３ 和 ４
１则存在可逆仿射变换 ： 一 Ｋ， ． 有
在 上 构造 有 限元 （ ， 宝 见文 献 ［ ５） 下 ｐ， ）（ ４ ］如 宝＝ ｛１０，３０， ｝ ，２０，４ ，户 ＝ｓａ ｛，，， ， 雪） ５ ｐ ｎ １岔雪 （） ）， （
一 Ｋ∈ｐ。 ， ∈ Ｖ ］ ． ａ ＿０Ｆ
相 应Fra Baidu bibliotek的有 限元 空间为
这里 ｈ 表 示 ＾跨过 单元 边界 的跳 跃度 ，当 Ｆ ｃＯ ｔ ］ Ｆ 时， 【 】 ｈ ＂ 一Ｖ ， Ｏ ｈ 定义插 值算 子 Ⅱｈ： ＂∈Ｈ ｉ） Ⅱ ｕ∈ ， ：ＨＫ， Ｋｖ＝ （ ） （ 一 ｈ Ⅱ ｌ ２ Ｈ ｎ０ 。
ｔ一
０
ｒ
１ １、
【 ｔ０ ） ， ｆ） （ ０ ＝
Ｘ ×， ∈ （１ Ｑ ０， Ｔ
。 ，
Ｍｔ ， ～
的非协 调有 限元 方法 ，其 中 Ｘ ＝ （， ， 奇异 核 （ ） 弱 ）∈ Ｌ （ ）且满 足 ｌ ｆ （ ）
０＜ ＜１ ｔ ０Ｔ ． ， ∈（， ］ 上述 问题 常出现在带有粘弹性 流体模型 、 带有记忆性 的功能 的热传导物质 以及动力学和 原子 反应等 问题 中．近年来 有很 多人研究 了此类方 程．文献 … 使 用 了 Ｅ ｌ ｕｅ ｒ和二 阶向后 差 分格式 ，空 间方 向采用 Ｇ ｌ ｋｎ有 限元方 法，并 给出 问题 的正则性估 计 ．文 献 ｆ 空间方 向 ａｅ ｉ ｒ ２ １ 采用 线性 有 限元 方法 ，时间采用 Ｅ ｌ 格 式，积分 项使用 内积求积公 式 ，得 到了最佳 的误差 ｕｅ ｒ 估计和解 的正则 性条件 ．文 献 ［ 在 （ 一ｔ 时 ，使用 Ｅ ｌ 和 Ｃ ａ ｋＮ ｃｌ ｎ格式 和一 ３ ］ ） — ｕｅ ｒ ｒｎ ｉ ｓ ｏｏ 阶、二 阶卷积 求积 ，得到 了带权的误 差估计 ．关 于此类方 程在 已有 的有 限元 方法 的研 究 中， 考虑的都 是协调元 的情形 ，而且 Ｒ ｔ— ｏ ｅｒ 投 影是必不 可缺少 的工具 ． ｉ Ｖ ｌ ｒａ ｚ ｔ 本文针对 带弱奇异核 的抛 物型积分 微分方 程，在空 间方 向用 非协调有 限元空 间， 时 间 在 方 向分别 采用 具有 一阶精 度 的 Ｅ ｌｒ 式 以及 具有 二 阶精 度 的 Ｃ ａ ｋＮｉ ｌ ｎＧａ ｒｉ ｕｅ 格 ｒｎ — ｃ ｓ — ｌ ｋ ｏｏ ｅ ｎ格 式，积分 项使用 积分求积公 式，在不用 上述 Ｒｉ — ｏｔｒａ投影的情 况下 ，给 出了空 间半离 散 ｔ Ｖｌ ｒ ｚ ｅ 格式 以及两个全离散格 式下的误 差估计 ，其结果与 以往文献 中协 调元 的情 形完全相 同， 而 从 拓宽 了非协调 元 的应用 范 围．
ｈｔ：ａｔｍ ．ｉｍ． ． ｔ ／ ｃ ｓ ｐ ａｃ ｐ／ ａ ｗ ｃｎ
带弱奇异核的抛物型积分微分方程的非协调有限元方法
石东 洋 郭城 。王 海红
ｆ 郑州 大 学 数 学 系 郑州 ４ ０５ ； ５ ０ ２ 。郑州 师 范高 等专 科 学 校 数 － 系 ９ 郑州 ４ ０４ ５０４
。河南财经学院数 学与信息科 学系 郑州 ４ ０ ０ ） ５ ０ ２
摘要： 研究了带弱奇异核的抛物型积分微分方程 的非协调有限元方法， 在不需要 Ｒｉ — ｏｔｒａ ｔ Ｖ ｌ ｒ ｚ ｅ 投影的情况下，在半离散和全离散的格式下分别得到 了与协调有限元方法相同的误差估计． 关键词：抛物型积分微分方程；弱奇异核；非协调元；误差估计．
Ｍ Ｒ（ ０ ０ ２ ０ ）主题分类： ５ ５ ６ Ｎ３ 中图分类号： ４ ．１ 文献标识码： ６ Ｎ１ ； ５ ０ ０２２２ Ａ
文章编号：０３ ９８２１）３７４１ １０— ９ （ ００—６—２ ３ ０
１ 引 言
本 文主要研 究下 面这类带 弱奇异核 的抛物型 积分微分 方程
Ｉ ｒ 札 ， Ｊ △ 一／ （一 ） ｕ ） ＝ｆ ，， （， ∈ （ Ｔ， √ ￡ ｒ （ｄ Ａ ｒ ｒ （ ￡ Ｘ ｔ Ｑ×０ ］ Ｘ ） ） ，
７５ ６
２ 单元的构造
为简 单起 见，设 【 是 Ｒ ２ 。中 的一个有 界 凸多边 形 区域 ．其边 界 ａ 平行于 Ｘ轴 或 Ｙ轴 ， Ｑ ｒ 是 Ｑ 的一个 矩形剖 分族 ，即 — Ｕ Ｋ． Ｋ ∈ｒ ， 其 中心点为 （Ｋ，Ｋ） 两边分 别平 Ｖ ｈ设 Ｙ ，
∈Ｆｈ
行 于 轴 和 Ｙ轴 ，两 边长分 别 为 ２ 和 ２ 设 ＝ ［ ，］ 一１１是 一雪平 面上 的参 考 ｈ ｈ． 一１１×［ ，］ 单元 ，其 四个 顶点 分别 为 ｌ （ １一１， ２＝ （， ） ３＝ （，） ＝ 一， ） １一１， １１ 和 ４＝ （ ，）四条 边 一１１，
收 稿 日期 ：２ ０ —３２ ； ０ ８０ —７ 修订 日期 ： ０ ９１ —１ ２ ０ —０２
Ｅ— ｍａｉ：ｓ ＿ ｌ ｈｉｄｙ＠ｚ ｕ． ｄ ｃ ｚ ｅ ｕ．ｎ
基 金项 目：国家 自然科学基金 （０ ７ １ ４ １ ６ １ ８ ）资助
Ｎ． ｏ３
石 东洋 等：带 弱奇异 核 的抛物 型积分 微分 方程 的非协 调有 限元方 法
３ 半离散格式下的收敛性 分析
在这 一节 里我 们主 要讨论 半 离散格 式下 的误 差估计 ．
其 中 ＝ 而 １ ０ § ｉ ， ，， ， ５ ｄ ， ＝１２ ３４ ０ ＝ ０岔 ｄ （）
容易验 证 Ｖ ∈Ｈ ） 其插值 函 数 血 （ ， 可表 示 为
＝ ｓ＋
丢 一） 去 一） 去 ＋ 一ｓ ｓ 一ｓ （ 。 ＋（ 。 ＋（ 。 ２ ） （ ２ ） ｏ（ 西 （ ｚ 岔 。 雪 。 ） ＋ ＋ ）
为 ｆ：
，２ ｆ＝
３ ｆ＝ ４ ｆ＝ ，３ ３ 和 ４
１则存在可逆仿射变换 ： 一 Ｋ， ． 有
在 上 构造 有 限元 （ ， 宝 见文 献 ［ ５） 下 ｐ， ）（ ４ ］如 宝＝ ｛１０，３０， ｝ ，２０，４ ，户 ＝ｓａ ｛，，， ， 雪） ５ ｐ ｎ １岔雪 （） ）， （
一 Ｋ∈ｐ。 ， ∈ Ｖ ］ ． ａ ＿０Ｆ
相 应Fra Baidu bibliotek的有 限元 空间为
这里 ｈ 表 示 ＾跨过 单元 边界 的跳 跃度 ，当 Ｆ ｃＯ ｔ ］ Ｆ 时， 【 】 ｈ ＂ 一Ｖ ， Ｏ ｈ 定义插 值算 子 Ⅱｈ： ＂∈Ｈ ｉ） Ⅱ ｕ∈ ， ：ＨＫ， Ｋｖ＝ （ ） （ 一 ｈ Ⅱ ｌ ２ Ｈ ｎ０ 。
ｔ一
０
ｒ
１ １、
【 ｔ０ ） ， ｆ） （ ０ ＝
Ｘ ×， ∈ （１ Ｑ ０， Ｔ
。 ，
Ｍｔ ， ～
的非协 调有 限元 方法 ，其 中 Ｘ ＝ （， ， 奇异 核 （ ） 弱 ）∈ Ｌ （ ）且满 足 ｌ ｆ （ ）
０＜ ＜１ ｔ ０Ｔ ． ， ∈（， ］ 上述 问题 常出现在带有粘弹性 流体模型 、 带有记忆性 的功能 的热传导物质 以及动力学和 原子 反应等 问题 中．近年来 有很 多人研究 了此类方 程．文献 … 使 用 了 Ｅ ｌ ｕｅ ｒ和二 阶向后 差 分格式 ，空 间方 向采用 Ｇ ｌ ｋｎ有 限元方 法，并 给出 问题 的正则性估 计 ．文 献 ｆ 空间方 向 ａｅ ｉ ｒ ２ １ 采用 线性 有 限元 方法 ，时间采用 Ｅ ｌ 格 式，积分 项使用 内积求积公 式 ，得 到了最佳 的误差 ｕｅ ｒ 估计和解 的正则 性条件 ．文 献 ［ 在 （ 一ｔ 时 ，使用 Ｅ ｌ 和 Ｃ ａ ｋＮ ｃｌ ｎ格式 和一 ３ ］ ） — ｕｅ ｒ ｒｎ ｉ ｓ ｏｏ 阶、二 阶卷积 求积 ，得到 了带权的误 差估计 ．关 于此类方 程在 已有 的有 限元 方法 的研 究 中， 考虑的都 是协调元 的情形 ，而且 Ｒ ｔ— ｏ ｅｒ 投 影是必不 可缺少 的工具 ． ｉ Ｖ ｌ ｒａ ｚ ｔ 本文针对 带弱奇异核 的抛 物型积分 微分方 程，在空 间方 向用 非协调有 限元空 间， 时 间 在 方 向分别 采用 具有 一阶精 度 的 Ｅ ｌｒ 式 以及 具有 二 阶精 度 的 Ｃ ａ ｋＮｉ ｌ ｎＧａ ｒｉ ｕｅ 格 ｒｎ — ｃ ｓ — ｌ ｋ ｏｏ ｅ ｎ格 式，积分 项使用 积分求积公 式，在不用 上述 Ｒｉ — ｏｔｒａ投影的情 况下 ，给 出了空 间半离 散 ｔ Ｖｌ ｒ ｚ ｅ 格式 以及两个全离散格 式下的误 差估计 ，其结果与 以往文献 中协 调元 的情 形完全相 同， 而 从 拓宽 了非协调 元 的应用 范 围．