第1篇运动学习题解答

第1章运动学1-1在质点运动中：已知

，

，

（k为常数），求质点的轨迹方程。

解由

，得

，考虑初始条件积分

得

即

又因为

，从

和

的表达式消去时间

，得到轨迹方程

1-2 已知某光点在示波器荧屏上的运动方程为

，式中

、

、

和

均为已知非负常量，设

，试求轨迹方程并就

、

和

分别讨论光点的运动轨迹。

解由题意知

、

，消去时间

，可得光点的轨迹方程。因为

（1）

（2）式（1）左右两边同乘

得

（3）

式（2）变形可得

（4）

式（3）的平方加式（4）的平方，可消去时间

，即得光点轨迹

（5）

可见，光点的轨迹一般情况下为椭圆,与

值有很大关系。讨论如下：

（1）当

时，式（5）简化为

，光点的运动范围为

、

，轨迹为通过原点在第一、三象限的线段。

（2）当

时，式（5）为

，可以按此方程逐点描图绘出光点的轨迹曲线，这是一个斜椭圆，如图。光点的运动速度

在

、

方向的分量为

当

时，

、

，光点沿斜椭圆作逆时针方向运动。

习题1-2 解用图

（3）当

时，式（5）简化为

，光点的轨迹为以坐轴为主轴的正椭圆。同样，当

时，

、

，光点仍沿椭圆作逆时针方向运动。

1-3质点的运动方程为

。试求(1)它的轨迹方程;(2)它在前三秒内的位移；(3) 它在5秒末的速度与加速度。

解 (1) 由于

，消去

，得到轨迹方程

，

即为在

的平面内

抛物线的右侧。

(2)

，

前三秒内质点的位移

(3)

1-4质点的运动方程为

，式中

为已知正常量。试求

时的速度和加速度。

解

，

，

*1-5 在习题1-2中，当

时光点的运动轨迹是椭圆，试由运动速度判断该光点是顺时针运动还是逆时针运动。

解当

时，式（5）简化为

，光点的轨迹为以坐轴为主轴的正椭圆。

光点的运动速度

在

、

方向的分量为

当

时，

、

，光点沿椭圆作逆时针方向运动。

习题1-6 解用图

1-6 路灯距地面的高度为

，身高为

的人以速率

在路上沿通过路灯杆的直线行走。求(1) 头顶在地面影子移动速度的大小和加速度的大小；(2) 人在地面上影子增长速度的大小。

解 (1) 建立如图的坐标系，设人的坐标为

，头顶影子的坐标为

，设人移动速度为

，头顶影子移动速度为

，则

考虑到几何关系有

解得

头顶影子移动速度

(1)

加速度的大小

(2)

式（2）说明人加速行走，影子也将加速运动。

(2) 从图中可以看出，影子在地面上的长度为

，影子增长速度的大小

1-7 质点作圆周运动，

时刻角位置

，求

时刻的角速度和角加速度。

解

1-8 质点以

为半径做圆周运动，质点沿圆周所经历的路程的表达式为

，其中

为常数，求质点在

时刻的速率

及总加速度

。

解

或

与

的夹角

满足

1-9 已知质点沿半径为

的圆周运动，其角位置

,求（1）

时，质点法向加速度和切向加速度各是多少？（2）当切向加速度的大小正好是总加速度大小的一半时，角位置

的值是多少？

解

(1)

(2) 总加速度大小

当切向加速度的大小正好是总加速度的一半时，即

，解得

角位置

1-10 质点沿半径为

的圆周运动，总加速度

与速度

两者之间的夹角

保持不变,已知

时速率为

,试求质点速率

随时间的变化规律。

解切向加速度

，法向加速度

，两式两边分别相比并分离变量得

由题意知

为常数, 考虑初始条件并积分得

积分得

或

1-11 一铁饼以20m/s的速度，450的仰角抛出，若把铁饼当作质点，求铁饼在飞行过程中任意时刻的曲率半径。

解设

为抛射角，抛体任意时刻的速度

加速度的大小恒为

由法向加速度

得

代入

与

值得

1-12质点沿

轴运动，已知加速度

，

时，

,

，求（1）质点的运动方程；（2）质点在前2秒内的位移和路程。

解 (1)由

得

，考虑初始条件,积分得

即

由

，得

考虑初始条件,积分得

质点的运动方程