10313平面向量的概念与几何运算(题目)

第13讲：平面向量的概念与向量的几何运算

一、基础概念： 1、向量的的概念

（1）向量：既有大小又有方向的量叫向量。要注意标量与向量的区别：标量只有大小，是个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向和大小的双重性，两个向量不能比较大小：但大小和方向是向量的两个要素，向量的大小称为向量的模。 （2）零向量：模为零的向量叫做零向量（始、终点重合），记作0。 注意：的方向是任意的；与0的区别。 （3）单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量。

（4）相等的向量：长度相等且方向相同的两个量叫做相等的向量。若向量相等，记作：. 任意两相等的向量都可以用一有向线段表示，与起点无关。 （5）负向量：大小相同且方向相反的两个向量称它们互为负向量。 2、平行向量

两个方向相同或相反的向量，记作：//。任意一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。 规定：与任意向量平行。 3．向量的表示方法

（1）始终点法（几何表示法）：如图向量AB ；

（2）单个字母表示法（代数表示法）：小写字母加上箭头，如a

从向量的表示我们可以看到，可以由几何与代数两方面来刻划画向量，使数与形统一于向量之

中，体现了数形结合的思想。 二、向量的加、减法运算 1、向量的加法

求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意：两个向量的和仍是向量（简称和向量）。

（1） 向量加法的平行四边形法则；

（2） 向量加法的三角形法则：将第二个向量的始点与第一个向量的终点相重合，则第一

个向量的始点为始点，第二个向量的终点为终点所组成的向量，即为两向量的和

（3） 对于共线的向量，分别为同向或反向的两种情况。 2、向量加法的性质

B

（1）向量加法的交换律：a b b a +=+；

（2）向量加法的结合律：)()(c b a c b a ++=++； （3）=+=+。 3、向量的减法

向量的减法是向量加法的逆运算（用加法的逆运算定义向量的减法）。

若,=+则叫做与的差，记作-。 4、求作差向量

已知向量与，求作向量-。

作法：在平面内取一点O ，作,,;OA b OB a AB a b ===-

则可以表示

为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量。 三、实数与向量的乘积 1、实数与向量的积

定义：实数λ与非零向量的积是一个向量，记作⋅λ。它的模与方向规定如下： （1

）

=λλ

(2)0,;0,;0,0.

:0,.a a a a a a a λλλλλλλλ>⋅<⋅=⋅=≠⋅

时与方向相同时与方向相反时特点当时与平行

实数与向量积的运算

（1） 结合律：)()(λμμλ=⋅；

（2） 分配律：.)(,)(⋅+⋅=+⋅+⋅=+λλλμλμλ 2、单位向量

定义：长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。

设0a

是非零向量a 同方向的单位向量，则00;.a a a a a a

==

或 3、向量平行的充要条件

C

A

O

b 与非向量a 平行（共线）的充要条件是有且只有一个实数λ使得.a b ⋅=λ

推论：b a //的充要条件是存在实数.,,2121b a ⋅=⋅λλλλ使 四、应用举例：

例1、如图，正六边形ABCDEF 的中心为O ，则与AB 相等的向量

相等的向量是 ，的负向量是

是 。的平行向量是 。

例2、化简++++。

例3、已知,a b

为非零向量，试判断下列各命题的真假？

（1）0λ=是0a λ⋅=

的充要条件；

（2）2a - 与3a 的方向相反，且2a - 的模是3a 的模的2

3

倍。

（3）()a b - 与()b a --

互为负向量；

（4）因为2a 的方向与a 相同，且大小为a 的2倍，所以22a

a

=

；

例4、（1）如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ）

（A ）AB DC = （B ）AD AB AC +=

（C ）AB AD BD -=

（D ）0AD CB +=

（2）如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD =

（ ）

A.12

BC BA -+

B. 12

BC BA --

C. 12

BC BA -

D. 12

BC BA +

A

B

C

D

A

B

C

D F

C

B

A

（3）,a b 是两个非零向量，00,a b 分别是,a b

的单位向量，则下列命题正确的是（ ）。

000000000

()//,()//,1

()1,()1,A a b a b B a b a b C a a a D a b a b a b =-=======- 若则若则若则若则或

例5、（1）已知1,60,,.a b a b a b a b ==+-

且与的夹角为求的值

（2）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===

，M 为BC 的组中

点，则MN =

_______。（用a b 、表示）

例6．如图，CF BE AD ,,分别是ABC ∆的中线，G 为重心，且

,,,AD m BC a m a ==

试用表示。.)4(,)3(,)2(,)1(

例

7、 已知b a =====,,,,，设t 为实数，如果

)(,2,3b a t e d b c a +===，

那么t 为何值时，E D C ,,三点在同一条直线上。

例8、（1） 已知OA 不平行OB

，1,,,OM OA OB A M B λμλμ=++=

设且求证:三点共

线。

B

O

D

C

B

A

M

D

B