《线性代数》(陈维新)习题答案(第4章)

⇔ 矩阵 [α1 α 2 α 3 ] 的秩是否与矩阵 [α1 α 2 α 3
解 对矩阵 [α1
β ] 的秩相同.
α 2 α 3 β ] 作初等行变换化为阶梯形:
[α1
1 2 3 1 7 1 2 −1 α2 = α 3 β ] 3 7 −6 − 2 → 0 1 −3 − 5 . 5 8 1 a 0 0 0 a − 1 5
证明 设������ ≠ ������ ∈ ������ ，则������，2������， ⋯ ，������������， ⋯ ∈ ������ 。下证当������ ≠ ������时，������������ ≠ ������������。 (反证) 若������������ = ������������，则(������ − ������)������ = ������，因������ ≠ ������，则������ − ������ = 0，这与 ������ ≠ ������矛盾，所以������ 中 至少有无穷多个向量������，2������， ⋯ ，������������， ⋯。
第四章 线性空间和线性变换
习题 4.1
1．检验以下集合关于所指定的运算是否构成实数域������上的线性空间： (1) ������阶实对称矩阵的全体，关于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘； (2) 次数等于������(������ ≥ 1)的实系数一元多项式的全体，关于多项式的加法和实数与多项式 的数乘； (3) 有理数的全体������，关于数的加法和实数与有理数的乘法； ： (4) 平面上全体向量������2 ，关于通常的向量加法和如下定义的数量乘法“∘” 解 (1) 是 因为任意两个������阶实对称矩阵和是������阶实对称矩阵， 任意一个实数乘以������阶实对称矩阵也 是������阶实对称矩阵，所以������阶实对称矩阵的全体关于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘运算是 封闭的。下面验证八条运算规律成立。 记������阶零矩阵为������，显示������是实对称矩阵，且对任意的������阶实对称矩阵������都有������ + ������ = ������。 对任意的������阶实对称矩阵������，显然−������也是������阶实对称矩阵，且������ + (−������) = ������。 其它 6 条运算规律显然成立，这里就不证。 由此可知，������阶实对称矩阵的全体，关于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘否构成实数域 ������上的线性空间。 (2) 否 因为零多项式的次数不是������，所以这个集合不含零向量，因此次数等于������(������ ≥ 1)的实系 数一元多项式的全体，关于多项式的加法和实数与多项式的数乘不能构成实数域������上的线性 空间。 或者说： 因为两个任意的次数等于������(������ ≥ 1)的实系数一元多项式和的多项式次数不一定等于������， 有可能小于������，所以关于多项式的加法不封闭，因此次数等于������(������ ≥ 1)的实系数一元多项式 的全体，关于多项式的加法和实数与多项式的数乘不能构成实数域������上的线性空间。 ������ ∘ ������ = ������，∀������ ∈ ������，∀������ ∈ ������2
T T T
[1,
−6, 1] ．
T
时， β 可经 α1 , α 2 , α 3 线性表示 ? 为什么 ? a 取值为
时， β 不能经
α1 , α 2 , α 3 线性表示? 为什么?
分析 判断向量 β 是否能被向量组 α1 , α 2 , α 3 线性表示 ⇔ [α1
α 2 α3 ] X = β 是否有解
2．在线性空间�������， + ， ∙�中证明：对������，������ ∈ ������，������，������ ∈ ������有 (1) ������ ∙ ������ = ������； (2) ������ ∙ (−������) = −(������ ∙ ������)； (3) −������ = (−1) ∙ ������； (4) ������ ∙ (������ − ������) = ������ ∙ ������ − ������ ∙ ������； (5) (������ − ������) ∙ ������ = ������ ∙ ������ − ������ ∙ ������。 证明 (1) 因为������ ∙ ������ = ������ ∙ (������ + ������) = ������ ∙ ������ + ������ ∙ ������，所以������ ∙ ������ = ������。 (2) 因为 ������ ∙ (−������) + ������ ∙ ������ = ������ ∙ (������ − ������) = ������ ∙ ������ = ������ ，所以 ������ ∙ (−������) 为������ ∙ ������ 的负向量，因 此������ ∙ (−������) = −(������ ∙ ������)。
(3) 否 因为实数与有理数的积不一定是有理数， 所以关于数乘运算不封闭， 因此有理数的全体 ������，关于数的加法和实数与有理数的乘法不能构成实数域������上的线性空间。 (4) 否 因为
则 所以不能构成实数域������上的线性空间。
1 ∘ ������ = ������ 1 ∘ ������ ≠ 1
α 2 α 3 α 4 ] X = β 的解. 由方
所以此时能线性表示, 表达式系数即为线性方程组 [α1 程组得解为
x1= t1 − 2t2 , x =− 2 1 2t1 + t2 , (其中 t1 , t2 为任意常数) x = t , 3 2 x4 = t1.
故表达式为 β = (t1 − 2t2 )α1 + (1 − 2t1 & t1α 4 (其中 t1 , t2 为任意常数). 当 a ≠ −1 时, 秩( [α1
为阶梯形:
1 1 α 2 α3 α 4 β ] [α1 = 1 1
x1 = −1, x = 1, 2 求得解为 所以表达式为 β = −α1 + α 2 + 2α 3 − 2α 4 . x3 = 2, x4 = −2,
2.设 = β 问a=
[7,
α3 −2, a ] , α1 = [ 2, 3, 5] , α 2 = [3, 7, 8] ,=
(2) 向 量 β 表 示 成 向 量 组 的 线 性 组 合 的 表 达 式 系 数 即 为 线 性 方 程 组
[α1
α 2 α 3 α 4 ] X = β 的解, 所以先求解该线性方程组. 为此用初等行变换化系数矩阵
1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 2 → 0 0 0 0 −1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 −1 0 1 , 0 2 1 −2
(1) 当 a = −1 时, b ≠ 0 , 则秩( [α1 秩( [α1
α 2 α 3 α 4 ] )=2,
α 2 α 3 α 4 β ] )=3, 两者不相等, 所以此时不能线性表示.
(2) 当 a = −1 时, b = 0 , 秩( [α1
α 2 α 3 α 4 ] )=2=秩( [α1 α 2 α 3 α 4 β ] ),
(3) 因为 (−1) ∙ ������ + ������ = (−1 + 1) ∙ ������ = 0 ∙ ������ = ������ ，所以 (−1) ∙ ������ 为 ������ 的负向量，因此 −������ = (−1) ∙ ������。 (5) (������ − ������) ∙ ������ = ������� + (−������)� ∙ ������ = ������ ∙ ������ + (−������) ∙ ������ = ������ ∙ ������ − ������ ∙ ������。 (4) ������ ∙ (������ − ������) = ������ ∙ ������� + (−������)� = ������ ∙ ������ + ������ ∙ (−������) = ������ ∙ ������ − ������ ∙ ������。
当 a = 15 时 , 秩 ( [α1
α 2 α 3 ] )= 秩 ( [α1 α 2 α 3 β ] )=2, 所以 β 能被向量组
α1 , α 2 , α 3 线性表示;
当 a ≠ 15 时, 秩( [α1
α 2 α 3 ] )=2, 秩( [α1 α 2 α 3 β ] )=3, 两者不相等, 所以
β 不能被向量组 α1 , α 2 , α 3 线性表示.
综上知第 1 空格填 15, 第 2 空格填不等于 15.
* 3. 设 β =
[1,
1, b + 3, 5] , α1 = [1, 0, 2, 3] , α 2 = [1, 1, 3, 5] ，
T T T T T
+ 2, 1] , α 4 [1, 2, 4, a + 8] ． α 3 =[1, −1, a=
T T T T
[1,
1, −1, −1] ，
T
α3 = [1, −1, 1, −1] , α 4 = [1, −1, −1, 1] ；
(2) β =
[0,
2, 0, −1] ， α1 = [1, 1, 1, 1] ， α 2 = [1, 1, 1, 0] ，
T T T T T
α 3 = [1, 1, 0, 0] ， α 4 = [1, 0, 0, 0] ．
(1) a, b 为何值时， β 不能经 α1 , α 2 , α 3 , α 4 线性表示? (2) a, b 为何值时， β 能经 α1 , α 2 , α 3 , α 4 线性表示? 并写出该线性表示式． 解 (1) 如上题解分析知,可对矩阵 [α1
α 2 α 3 α 4 β ] 作初等行变换化为阶梯形:
1 1 0 1 → 0 b + 3 5 0 1 1 1 1 −1 2 0 a +1 0 0 0 a +1 1 1 b 0
1 0 = [α1 α 2 α 3 α 4 β ] 2 3
1 1 1 1 −1 2 3 a+2 4 5 1 a +8
*3．证明数域������上的一个线性空间������ 如果含有一个非零向量，则������ 一定含有无限多个向量。
习题 4.2
1.试将向量 β 表示成向量 α1 , α 2 , α 3 , α 4 的线性组合： (1) β = [1,
2, 1, 1] ， α1 = [1, 1, 1, 1] ，= α2
解 (1) 向 量 β 表 示 成 向 量 组 的 线 性 组 合 的 表 达 式 系 数 即 为 线 性 方 程 组
[α1
α 2 α 3 α 4 ] X = β 的解, 所以先求解该线性方程组. 为此用初等行变换化系数矩阵
为阶梯形:
1 1 1 1 1 1 −1 −1 α1 α 2 α 3 α 4 β ] [= 1 −1 1 −1 1 −1 −1 1
1 1 0 2 → 0 1 1 0
1 1 0 0
1 1 0 1 1 −1 0 −4
1 0 , 0 1
5 x1 = 4 , x = 1, 2 4 5 1 1 1 所以表达式为 β = α1 + α 2 − α 3 − α 4 . 求得解为 4 4 4 4 x = − 1 , 3 4 1 x4 = − , 4