2020年全国高中物理奥林匹克竞赛数学知识课件★★——数学准备

v(t0 )
lim v
t 0
lim
t 0
s t
gt0 (lim 是limit
的缩写)
当然，可以用同样的方法来讨论一般变速直线运动的速度，
设物体作变速直线运动，其运动方程为 S f (t)
S f (t0 t) f (t0 ),
v S t
v(t0 )
lim
t 0
f
(t0
t) t
f
(t0 )
若函数 y f (x) 在区间（a,b）内的每点都可导，就说函数
y f (x) 在区间（a,b）内可导，这时，函数 y f (x) 对 于每一个 x (a,b)，都有一个确定的导数值与之对应，这就 构成了x的一个新函数，这个新的函数叫做 y f (x) 对x的导 函数。
记为： y, f (x), dy 或 d f (x), y lim f (x x) f (x)
2 瞬时加速度
一般来说，瞬时速度或瞬时速率v也是t的函数：v=v(t) 在许多实际问题中，只有速度或速率的概念还不够， 我们还需要知道速度随时间变化的快慢，即需要建立 “加速度”的概念，
v v(t0 t) v(t0 ),
a v t
举例来说，对于匀变速直线运动 v(t0 ) v0 at0
Qp 应当是T的函数 Qp f (T ) 当温度从 T0 T0 T 时，吸收热量为
Qp f (T0 T ) f (T0 )
则
Qp T
就是该物质在
T0
T0
T
这一温度范围内，温
度每升高一度平均所吸收的热量，即物质在此温度范围内的
平均热容 c ，当 T 0 时， c 就转化为该物质在温
y f x x f x, 如果极限
lim y lim f x x f x
一、微积分初步（思想方法！）
恩格斯指出：“只有微分学才能使自然科学有可能用数 学来不仅仅表明状态，并且也表明过程：运动”。
三国时期魏人刘徽（公元263年）总结前人成果，提出 了“割圆术”，他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割， 以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”（正六，十二， 二 十四…直到正192边形）→“无限细分，无限求和”思想方 法。
g(t)
显然，这个平均速度 v 是随 t 的变化而变化的。在很小
的一段时间 t 内，物体运动的快慢变化不大，可以近似地
看作是等速的。因此当 t 很小时，可用 v 来近似地描述
物体在 t0 时刻的运动快慢，可以想象，t 越小，这种描述
的精确性就越好，若 t 0 时， v 的极限存在，那么这个
极限值就叫做物体在 t0 时刻的速度，用 v(t0 ) 表示
宋朝柳咏 —— 《蝶恋花》 （心甘情愿吃大苦）
第三种境界是：“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯 火阑珊处。”
南宋辛弃疾 —— 《青玉案》 （百折不挠成大业 ）
数学准备知识
数学和物理学是紧密相关的，在一个领域的发现导致了 在另一个领域内的进步。如经典力学与微积分、矢量，统计 物理与概率论，量子力学与算符理论等。较早地掌握一些高 等数学知识，对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解 是大有益处的。
一、导数的基本概念
1.引例
引例子1、如何求出变速直线运动的瞬时速度 平均速度：
t t t
s s tN s tM
s st M N t
o
t t t
v s t
瞬时速度：v t lim v lim s lim s t t s
t 0
t t0
t 0
t
2.导数的定义
设函数y = f (x) 在点x的某一邻域内有定义，当自变量x有增量x时， 对应的函数增量：
dx dx
x0
x
显然，函数 y f (x) 在点 x0 的导数 f (x0 ) 就是导函数 f (x)
在点x=x0的函数值，即
f (x0 )
f (x) x x0
有了导数的定义后，前面几式可写成：
v(t) S(t) dS ; dt
a
dv dt
v(t)
d 2S dt 2
;
Cp
dQ dT
Q(T )
度 T0 的热容
Cp
lim
T 0
Qp T
一般来说，同样的物质在温度不同时其热容也是不同的，亦
即 C p是T的函数。
上面几例都是当自变量的增量趋近于零时，函数的增量与自 变量的增量之比的极限。在自然科学和工程技术问题中，还 有许多其它的量具有这种数学形式。如果抽去这些问题的实 际意义，抓住它们在数量关系上的共性，就得出函数导数的 定义。
力 学——0数学准备
2020年全国高中物理奥林匹克竞 赛数学知识课件★★
学而时习之不亦悦乎
——孔子《论语》
王国维——《人间词话》
古今之成大事业、大学问者，必经过三种之境界： 第一种境界是：“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。”
宋朝晏殊 —— 《鹊踏枝》 （高瞻远瞩立大志 ）
第二种境界是：“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。”
v(t0
t)
v0
a(t0
t)
a
v t
a(常量)
表示
注: a a t0 t0 t
对于一般的变速运动，a 也是与 t 有关的，这时为了反映
出某一时刻速度变化的快慢，必须引入瞬时加速度的概念
a lim v lim v(t0 t) v(t0 )
t0 t t0
t
3 热容（比热）
下面是在压力一定的条件下，对单位质量的物质来讨论的 （定压热容），设物质原来的温度是T0，当温度发生变化 时，就要吸收或放出热量，
年）所设计的，这座跨度达37m的大石拱桥是用一条条长方 形长石砌成的。一段段直的条石却砌成了一整条弧形曲线 的拱圈。
→局部可以“以直代曲”的基本思想。
物理学中的几个实例
1 变速直线运动的速度（瞬时速度）
当物体作等速直线运动时，它在任何时刻的速度为v s t
S为t时间物体所经过的路程，但物体所作的运动往往是变 速的，而上述公式只能反映物体在一段时间内经过某段 路程的平均速度，不能反映物体在某一时刻的速度。现 在我们就来讨论如何精确地刻划物体作变速直线运动在 任一时刻的速度以及它的计算方法。
先讨论自由落体运动 设物体从O点开始下落，经过时间t0落到M0点，当时间由 t0→t0+△t时，物体由M0点落到M点。
S
1 2
g (t0
t)2
1 2
gt02
gt0t
1 2
g(t)2
O
两端除以△t，得物体在△t时间内的 平均速度：
v
s t
gt0
1 2
g(t)
S0
M0
Sห้องสมุดไป่ตู้ S
S
M
S
v
s t
gt0
1 2