正方形的性质及判定

课题正方形的性质及判定

八年级备课组王福运审核段安波

学习目标：正方形的概念，正方形的性质、判定方法的应用，培养学生分析问题解决问题的能力

重点：掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算

难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用

学习过程：

一、巧设现实情境，引入新课

回顾平行四边形、矩形、菱形的定义和它们的特殊性质．填写下表：

几种特殊四边形的定义及性质

思考：1.矩形怎样变化后就成了正方形呢?

2.菱形怎样变化后就成了正方形呢?

二、自主学习与合作交流

正方形定义：

正方形性质：

正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间的关系：

思考：求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

讨论:正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？

三、巩固与拓展： 1．正方形ABCD 的对角线相交于O ，若AB=2，那么△ABO 的周长是_______，•面积是________． 2．如图，已知E 点在正方形ABCD 的BC 边的延长线上，且CE=AC ，AE 与CD 相交于点F ，•则∠AFC=________．

3．顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的（ ）． A ．

12 B ．13 C ．14 D ．1

5

4．四条边都相等的四边形一定是（ ）

A ．正方形

B ．菱形

C ．矩形

D ．以上结论都不对 5、如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分

的面积为 cm 2．

6、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，正方形DEFG 的顶点D 在边AC 上，点E 、F 在边AB 上，点G 在边BC 上.

（1）求证AE =BF ；

（2）若BC =2cm ，求正方形DEFG 的边长.

A

B

7．如图，把边长为2cm 的正方形剪成四个全等的直角三角形．请拼成尽可能多的四边形．（要求：每次拼四边形全部用上这四个直角三角形，但这些三角形互不重叠且不留空隙）．

8.已知：如图，△ABC 中，∠C =90°，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：四边形CFDE 是正方形． 四、当堂检测：

1、正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．

2、在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）

（A ）AC=BD ，AB ∥CD ，AB=CD （B ）AD ∥BC ，∠A=∠C

（C ）AO=BO=CO=DO ，AC ⊥BD （D ）AO=CO ，BO=DO ，AB=BC

3、如图，过矩形ABCD 的四个顶点作对角线AC 、BD 的平行线，分别相交于E 、F 、G 、H 四点，

则四边形EFGH 为（ ）

A.平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D. 正方形

9.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ． （1）求证：DE=DF ．

（2）只添加一个条件，使四边形EDFA 是正方形，•请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）

10.今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分．若道路的宽度可忽略不计，请设计三种不同的修筑方案.

A

D C

B

H E

F

G

4、下列说法是否正确，并说明理由．

①对角线相等的菱形是正方形；（ ） ②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ） ③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ） ④四条边都相等的四边形是正方形；（ ） ⑤四个角相等的四边形是正方形．（ ）

5、如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连接BE ，将△BCE 绕点C•顺时针方向旋转90°得到△DCF ，连接EF ．若∠BEC=60°， 则∠EFD 的度数为（ ）

（A ）10° （B ）15° （C ）20° （D ）25°

6、已知：如图，四边形ABCD 为正方形，E 、F 分别

为CD 、CB 延长线上的点，且DE ＝BF ．求证：∠AFE ＝∠AEF

五、小结与反思：

六、课外延伸：

1．已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且DE=BF ．

求证：EA ⊥AF ．

A B

C D E F

2．已知：如图，△ABC 中，∠C=90°，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：四边形CFDE 是正方形．

3．已知：如图，正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，AF 平分∠DAE 交CD 于F ，求证：AE=BE+DF ．

4.如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点G ，E 分别是边AB ，BC 的中点，∠AEF =90o ，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ． （1）证明：∠BAE =∠FEC ； （2）证明：△AGE ≌△ECF ； （3）求△AEF 的面积．

5.已知：如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于

点O ；正方形A ’B ’C ’D ’的顶点A ’与点O 重合，A ’B ’交BC 于点E ，A ’D ’交CD 于点F ，E 是BC 的中点。 （1）求证：F 是CD 的中点

（2）若正方形A ’B ’C ’D ’绕点O 旋转某个角度后，OE=OF 吗？ （3）由（1）、（2）可以得到什么结论？

无论正方形A ’B ’C ’D ’绕点O 旋转并与正方形ABCD 分别交BC 、CD 于点E 、F ，总有OE=OF ，BE=CF ，EC=FD ，两个正方形的重叠部分的面积始终等于正方形ABCD 面积的四分之一等等

F

E

O (A')

A

B

C D

B'D'

C'