高中数学向量

平面向量的数量积及平面向量的应用

1.定义及运算律.

两个向量的内积(即数量积),其结果是一个实数，而不是向量.其定义源于物理学中“力所做的功”.

设a 及b 是具有共同始点的两个非零向量,其夹角θ满足:0°≤θ≤180°,我们把|a |²|b |²cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ²b 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ²b =2121y y x x +.

其运算满足“交换律”“结合律”以及“分配律”,即:a ²b =b ²a ，(λ²a )²b =λ(a ²b )，(a ±b )²c =a ²c ±b ²c .

2.平面向量数量积的重要性质.

①|a |=a a ⋅=2||cos ||||a a a =θ⋅;cos θ=

||||)(b a b a ⋅⋅;|a ²b |≤|a |²|b |,当且仅当a ,b 共线时取等号.

②设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则:|a |=2121y x +;cos θ=222221212121)

(y x y x y y x x +⋅++;|x 1x 2+y 1y 2|≤

22

222121y x y x +⋅+

3.两向量垂直的充要条件

若a ,b 均为非零向量,则:a ⊥b ⇔a ²b =0.

若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.

4.向量的模及三角不等式

|a |2=a ²a 或|a |=a a ⋅;|a ²b |≤|a |²|b |;|a |2-|b |2=(a +b )²(a -b );|a ±b |=θ⋅⋅±+cos ||||222b a b a (θ为a ,b 夹角);||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |.

5.三角不等式的推广形式

|a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n |.

小练习一

【例1】计算下列各题:

(1)已知等边三角形ABC边长为1,且=a,=b,=c,求a²b+b²c+c²a;

(2)已知a、b、c是空间中两两垂直的向量,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求r=a+b+c的长度以及它和a,b,c的夹角;

(3)已知(a+3b)与(7a-5b)垂直,且(a-4b)与(7a-2b)垂直,求a、b的夹角;

2π,p=3a-b,q=λa+17b,问系数λ取向值时，p⊥q.

(4)已知|a|=2,|b|=5,a,b的夹角是

3

【例2】在△ABC中,AB=(2,3),AC=(1,k),且△ABC的一个内角为直角，求k的值.

【例3】已知平行四边形以a=(2,1),b=(1,-3)为两邻边.

(1)求它的边长和内角;

(2)求它的两对角线的长和夹角.

小练习二

一、基础夯实

1.已知|a|=1,|b|=2,且(a-b)与a垂直,则a与b的夹角是( )

A.60°

B.30°

C.135°

D.45°

,则向量m=a-4b的模为( )

2.已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为

3

A.2

B.23

C.6

D.12

3.a ,b 是两个非零向量,(a +b )2=a 2+b 2是a ⊥b 的 ( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

4.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |2-4a ²b 等于 ( )

A.23

B.57

C.63

D.83

5.已知a =(λ,2),b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是 ( )

A.λ>310

B.λ≥310

C.λ<310

D.λ≤3

10 6.已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于 ( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛54,53或⎪⎭⎫ ⎝⎛53,54 B ⎪⎭⎫ ⎝⎛53,54或⎪⎭

⎫ ⎝⎛--54,53 C ⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53或⎪⎭

⎫ ⎝⎛-54,53 7.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为 ( ) A.55 B.55- C.565 D.13

13 8.已知A (3,2),B (-1,-1),若点P (x ,-2

1)在线段AB 中垂线上,则x 为 ( ) A.-47 B.4

7 C.2 D.-2 9.已知a =(3,0),b =(k,5),且a 与b 的夹角为4

3π,则k 的值为 ( ) A.-4 B.4 C.5 D.-5

10.已知a =(3,-1),b =(1,2),求满足条件:x ²a =9与x ²b =-4的向量x 为 ( )

A.(2,3)

B.(2,-3)

C.(-2,3)

D.(-2,-3)

二、思维激活

11.已知向量a 、b 的夹角为3

π,|a |=2,|b |=1,则|a +b |²|a -b |= . 12.已知a ⊥b 、c 与a ,b 的夹角均为60°,且|a |=1,|b |=2,|c |=3,则(a +2b -c )2= .

13.已知a =(1,2),b =(1,1),c =b -k a ,若c ⊥a ,则c = .

14.已知点A (1,0),B (3,1),C (2,0),且a =,b =,则a 与b 的夹角为 .

三、能力提高

15.设A 、B 、C 、D 是平面内任意四点,求AB ²CD +BC ²AD +CA ²BD 值.

16.设=(3,1),=(-1,2),⊥,∥,O 是原点，求满足+=时的坐标.

17.已知两单位向量a 与b 的夹角为120°,若c =2a -b ,d =3b -a ,试求:c 与d 的夹角.