分类计数原理与分步计数原理PPT优秀课件2
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第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件(共40张PPT)
数为A45＝120. 故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)． 答案：1 080
角度 涂色、种植问题 [例3] (1)如图，图案共分9个区域，有6 种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能 涂1种颜色的涂料，其中2和9同色，3和6同 色，4和7同色，5和8同色，且相邻区域的颜色不相同， 则不同的涂色方法有( ) A．360种 B．720种 C．780种 D．840种
1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红 会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动， 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12
D．9
解析：从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点 的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝ 18(条)，故选B.
4．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不 同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是______．
解析：从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两数 和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种 方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类 加法计数原理得共有N＝3＋3＝6(种)．
考点1 分类加法计数原理
1.如图，某货场有两堆集装箱，一
堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每
次只能取其中一堆最上面的一个集装箱，则在装运的过
程中不同取法的种数是( )
A．6
B．10
C．12
D．24
解析：将题图中左边的集装箱从上往下分别记为
1，2，3，右边的集装箱从上往下分别记为4，5.分两种
情况讨论：若先取1，则有12345，12453，12435，
答案：D
3．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值
角度 涂色、种植问题 [例3] (1)如图，图案共分9个区域，有6 种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能 涂1种颜色的涂料，其中2和9同色，3和6同 色，4和7同色，5和8同色，且相邻区域的颜色不相同， 则不同的涂色方法有( ) A．360种 B．720种 C．780种 D．840种
1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红 会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动， 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12
D．9
解析：从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点 的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝ 18(条)，故选B.
4．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不 同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是______．
解析：从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两数 和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种 方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类 加法计数原理得共有N＝3＋3＝6(种)．
考点1 分类加法计数原理
1.如图，某货场有两堆集装箱，一
堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每
次只能取其中一堆最上面的一个集装箱，则在装运的过
程中不同取法的种数是( )
A．6
B．10
C．12
D．24
解析：将题图中左边的集装箱从上往下分别记为
1，2，3，右边的集装箱从上往下分别记为4，5.分两种
情况讨论：若先取1，则有12345，12453，12435，
答案：D
3．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值
分类计数原理与分步计数原理-课件
提供一些实际应用的例子， 让大家亲自尝试使用分步 计数原理解决问题，加深 理解和掌握。
相互排斥原理与相互独立原理
相互排斥原理
通过相互排斥原理，我们可以解决一些带有条 件限制的计数问题，有效地减少计数。
相互独立原理
相互独立原理用于解决同时发生多个独立事件 的计数问题，了解如何将问题分解为独立的部 分进行计数。
鼓励学生运用所学知 识，解决更多实际问 题，提高计数能力。
分类计数原理与分步计数 原理-PPT课件
欢迎来到本次演示，我们将一起探索分类计数原理和分步计数原理的奥秘， 了解它们在数学中的应用以及相互之间的联系。
分类计数原理
1 了解基本概念
2 掌握应用技巧
3 举例说明
分类计数原理是一种 用于计算和统计的基 本原理，可以帮助我 们解决各种实际问题。
学习分类计数原理的 技巧和方法，掌握如 何将问题分解和分类， 有效地解决复杂的计 数问题。
通过实际案例，展示 分类计数原理在实际 问题中的应用，帮助 大家更好地理解和掌 握。
分步计数原理
原理解析
分步计数原理通过将一个 复杂的计数问题分解为多 个简单的步骤，逐步求解， 从而得到最终结果。
流程示例
通过一个实际问题的例子， 详细展示分步计数原理的 具体流程和解题步骤，帮 助大家理解和掌握。
应用实践
排列与组合的关系
1
组合
2
深入掌握组合的原理和计算方法，
探索组合与排列的不同之处，以及
它们在实际问题中的应用。
3
排列
学习排列的概念和计算方法，了解 排列与组合的关系及其应用。
综合运用
通过实际问题，综合运用排列和组 合的知识，解决更复杂的计数问题。
应用实例
相互排斥原理与相互独立原理
相互排斥原理
通过相互排斥原理，我们可以解决一些带有条 件限制的计数问题，有效地减少计数。
相互独立原理
相互独立原理用于解决同时发生多个独立事件 的计数问题，了解如何将问题分解为独立的部 分进行计数。
鼓励学生运用所学知 识，解决更多实际问 题，提高计数能力。
分类计数原理与分步计数 原理-PPT课件
欢迎来到本次演示，我们将一起探索分类计数原理和分步计数原理的奥秘， 了解它们在数学中的应用以及相互之间的联系。
分类计数原理
1 了解基本概念
2 掌握应用技巧
3 举例说明
分类计数原理是一种 用于计算和统计的基 本原理，可以帮助我 们解决各种实际问题。
学习分类计数原理的 技巧和方法，掌握如 何将问题分解和分类， 有效地解决复杂的计 数问题。
通过实际案例，展示 分类计数原理在实际 问题中的应用，帮助 大家更好地理解和掌 握。
分步计数原理
原理解析
分步计数原理通过将一个 复杂的计数问题分解为多 个简单的步骤，逐步求解， 从而得到最终结果。
流程示例
通过一个实际问题的例子， 详细展示分步计数原理的 具体流程和解题步骤，帮 助大家理解和掌握。
应用实践
排列与组合的关系
1
组合
2
深入掌握组合的原理和计算方法，
探索组合与排列的不同之处，以及
它们在实际问题中的应用。
3
排列
学习排列的概念和计算方法，了解 排列与组合的关系及其应用。
综合运用
通过实际问题，综合运用排列和组 合的知识，解决更复杂的计数问题。
应用实例
分类计数原理与分步计数原理PPT教学课件
两个原理的不同之处： 分类计数用于分类，各类间独立、
互斥．各类中任何一种方法都能够独 立完成这件事．
分步计数原理用于分步，步步相扣， 缺一不可，只有各个步骤都完成了，才 算完成这件事．
讲授新课
例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书， 第2层放有3本不同的文艺书，第三层放有 2本不同的体育书． ⑴从书架上任取1本书，有多少种不同的 取法？ ⑵从书架的第1、2、3层各取1本书，有多 少种不同的取法？
的道路有2条，从A村经B村去C村，不同走
法的种数是
．
讲授新课
课堂练习 1．填空： ⑴一件工作可以用2种方法完成，有5人会 用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法 完成，从中选出1人来完成这件工作，不同 选法的种数是有 9 种 ．
(分类计数原理) 5＋4=9
⑵从A村去B村的道路有3条，从B村去C村 的道路有2条，从A村经B村去C村，不同走 法的种数是 6 种 ．
实例引入
1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以 乘汽车.一天里火车有3班，汽车有2班. 那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地 到乙地共有多少种不同的走法？
甲地
乙地
实例引入
1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以 乘汽车.一天里火车有3班，汽车有2班. 那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地 到乙地共有多少种不同的走法？
N＝m1×m2×…×mn 种不同的方法．
讲授新课
对于分步计数原理，注意以下几点：
讲授新课
对于分步计数原理，注意以下几点：
⑴分步计数原理与“分步”有关，各个步骤 相互依存，只有各个步骤完成了，这件事 才算完成；分步计数原理又叫乘法原理．
讲授新课
对于分步计数原理，注意以下几点：
⑴分步计数原理与“分步”有关，各个步骤 相互依存，只有各个步骤完成了，这件事 才算完成；分步计数原理又叫乘法原理．
互斥．各类中任何一种方法都能够独 立完成这件事．
分步计数原理用于分步，步步相扣， 缺一不可，只有各个步骤都完成了，才 算完成这件事．
讲授新课
例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书， 第2层放有3本不同的文艺书，第三层放有 2本不同的体育书． ⑴从书架上任取1本书，有多少种不同的 取法？ ⑵从书架的第1、2、3层各取1本书，有多 少种不同的取法？
的道路有2条，从A村经B村去C村，不同走
法的种数是
．
讲授新课
课堂练习 1．填空： ⑴一件工作可以用2种方法完成，有5人会 用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法 完成，从中选出1人来完成这件工作，不同 选法的种数是有 9 种 ．
(分类计数原理) 5＋4=9
⑵从A村去B村的道路有3条，从B村去C村 的道路有2条，从A村经B村去C村，不同走 法的种数是 6 种 ．
实例引入
1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以 乘汽车.一天里火车有3班，汽车有2班. 那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地 到乙地共有多少种不同的走法？
甲地
乙地
实例引入
1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以 乘汽车.一天里火车有3班，汽车有2班. 那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地 到乙地共有多少种不同的走法？
N＝m1×m2×…×mn 种不同的方法．
讲授新课
对于分步计数原理，注意以下几点：
讲授新课
对于分步计数原理，注意以下几点：
⑴分步计数原理与“分步”有关，各个步骤 相互依存，只有各个步骤完成了，这件事 才算完成；分步计数原理又叫乘法原理．
讲授新课
对于分步计数原理，注意以下几点：
⑴分步计数原理与“分步”有关，各个步骤 相互依存，只有各个步骤完成了，这件事 才算完成；分步计数原理又叫乘法原理．
分类计数原理与分步计数原理-PPT课件_OK
分类计数原理 与 分步计数原理
1
§10.1 分类计数原理与分步计数原理(1)
分类计数原理：做一件事，完成它可 以有n类办法，在第1类办法中有m1种不 同的方法，在第2类办法中有m2种不同的 方法，……，在第n类办法中有mn种不同 的方法．那么完成这件事共有
N＝m1十m2十…十mn种不同的方法． 因为此计数原理运用加法运算，所以又叫 加法原理。
【引申2】A集合中有4个元素，B集合中有10 个元素，问：可以建立多少个从A到B的映射？
【引申3】运动会上4位同学报名参加10个项目， 每人必须且只能报一项，有多少种报名方法？
6பைடு நூலகம்
【变式1】若用0到9这些数字组成四位数， 则有多少个？
【引申4】现要排一份5天的值班表，总共 有5个人，每天有一个人值班，每个人都可 以值多天班或不值班，但相邻两天不准由 同一个值班，问此值班表共有多少种不同 的排法？
9
2
§10.1 分类计数原理与分步计数原理(1)
分步计数原理：做一件事，完成它需要分 成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法，……，做第n 步有mn种不同的方法．那么完成这件事共 有 N＝m1 m2…mn种不同的方法． 因为此计数原理运用加法运算，所以又叫 乘法原理。
你能再举几个生活中的需要用到分类或分步 计数原理的问题吗？
3
【例1】温州中学高一（11）班有男生30人， 女生24人，要从中选一人参加学校会议，问： 总共有多少种选法？
【变式1】若要分别从男，女生中各选一 人参加学校会议，问：有多少种选法？
【变式2】若要分别从男生中选两人，女 生中一人参加学校会议，问：有多少种选 法？
4
【变式3】若市级会议和学校会议同时召开 （即参加市级会议和学校会议的不能是同一 个人），若要从全班同学中选一人参加市级 会议，又要分别从男女生中各选一人参加学 校会议，问：有多少种选法？
1
§10.1 分类计数原理与分步计数原理(1)
分类计数原理：做一件事，完成它可 以有n类办法，在第1类办法中有m1种不 同的方法，在第2类办法中有m2种不同的 方法，……，在第n类办法中有mn种不同 的方法．那么完成这件事共有
N＝m1十m2十…十mn种不同的方法． 因为此计数原理运用加法运算，所以又叫 加法原理。
【引申2】A集合中有4个元素，B集合中有10 个元素，问：可以建立多少个从A到B的映射？
【引申3】运动会上4位同学报名参加10个项目， 每人必须且只能报一项，有多少种报名方法？
6பைடு நூலகம்
【变式1】若用0到9这些数字组成四位数， 则有多少个？
【引申4】现要排一份5天的值班表，总共 有5个人，每天有一个人值班，每个人都可 以值多天班或不值班，但相邻两天不准由 同一个值班，问此值班表共有多少种不同 的排法？
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2
§10.1 分类计数原理与分步计数原理(1)
分步计数原理：做一件事，完成它需要分 成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法，……，做第n 步有mn种不同的方法．那么完成这件事共 有 N＝m1 m2…mn种不同的方法． 因为此计数原理运用加法运算，所以又叫 乘法原理。
你能再举几个生活中的需要用到分类或分步 计数原理的问题吗？
3
【例1】温州中学高一（11）班有男生30人， 女生24人，要从中选一人参加学校会议，问： 总共有多少种选法？
【变式1】若要分别从男，女生中各选一 人参加学校会议，问：有多少种选法？
【变式2】若要分别从男生中选两人，女 生中一人参加学校会议，问：有多少种选 法？
4
【变式3】若市级会议和学校会议同时召开 （即参加市级会议和学校会议的不能是同一 个人），若要从全班同学中选一人参加市级 会议，又要分别从男女生中各选一人参加学 校会议，问：有多少种选法？
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理2课件(人教版)
步可由子模块4、子模块5中任何一个来完成，
因此，分析一条指令在整个模块的执行路径
需要用到两个计数原理
解：由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为
18+45+28=91;子模块4、子模块5中的子路径条数共为38+43=81.又由分步乘法
计数原理，整个模块的执行路径条数共为91×81=7371.
1,2,…，9的九宫格中的9个小正方形（如图）,使得
任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不
相同，且标号为“1,5,9”的小正方形涂相同的颜
色，则符合条件的所有涂法有 108 种.
解:分三步：第一步，先给标号1.5.9的正方形涂色，有3种涂法第二步，给标号2,3.6的小正方形涂色，又分两类：一是标号3
同方法数N2=3×4×6=72. .故这三人出游的不同方法数N= N1 +N2 =102
若选择①③④,则三人出游的不同方法数N=4×5×5=100
若选择②③④,则三人出游的不同方法数N=5×5×5=125.
巩固练习 排队问题:
汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎上的五个螺栓，记为A、B、
C、D、E(在正五边形的顶点上）,紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，
当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1,2步都是从24个字母中选1
个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有
10种选法，根据分步乘法计数原理，号牌张数为24×24×10×10×10=576000.同样，其余九个子类号
同的方法……做第n步有mn种不同的方法.
那么完成这件事共有N=m1× m2× …× mn种不同的方法.
因此，分析一条指令在整个模块的执行路径
需要用到两个计数原理
解：由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为
18+45+28=91;子模块4、子模块5中的子路径条数共为38+43=81.又由分步乘法
计数原理，整个模块的执行路径条数共为91×81=7371.
1,2,…，9的九宫格中的9个小正方形（如图）,使得
任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不
相同，且标号为“1,5,9”的小正方形涂相同的颜
色，则符合条件的所有涂法有 108 种.
解:分三步：第一步，先给标号1.5.9的正方形涂色，有3种涂法第二步，给标号2,3.6的小正方形涂色，又分两类：一是标号3
同方法数N2=3×4×6=72. .故这三人出游的不同方法数N= N1 +N2 =102
若选择①③④,则三人出游的不同方法数N=4×5×5=100
若选择②③④,则三人出游的不同方法数N=5×5×5=125.
巩固练习 排队问题:
汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎上的五个螺栓，记为A、B、
C、D、E(在正五边形的顶点上）,紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，
当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1,2步都是从24个字母中选1
个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有
10种选法，根据分步乘法计数原理，号牌张数为24×24×10×10×10=576000.同样，其余九个子类号
同的方法……做第n步有mn种不同的方法.
那么完成这件事共有N=m1× m2× …× mn种不同的方法.
分类计数原理与分步计数原理课件
决策分析
在决策分析中，分步计数原理可以帮助我们分析问题并制定最优策略。例如，在制定一个 计划或方案时，可以将整个任务分解成若干个步骤，然后根据分步计数原理计算每一步的 成本和效益，最终确定最优方案。
分步计数原理的实例解析
例子1
工厂生产线上有3个工人分别负责3个不同的工序，每个工人完成自己的工序需要1小时。求完成整条生产线需要 多少小时？根据分步计数原理，最终需要的时间是每个工人完成工序所需时间的乘积，即1小时 × 1小时 × 1小 时 = 1小时。
在软件测试中，分类计数原理可以 用于确定不同测试用例的数量和覆 盖范围。
在物理学中的应用
粒子运动
在研究粒子在封闭容器内的运动 时，分步计数原理可以用于计算 粒子在不同状态下的数量和分布
情况。
原子结构
在研究原子结构时，分类计数原 理可以用于确定不同电子层和亚
层的电子数量和分布情况。
量子力学
在量子力学中，分类计数原理和 分步计数原理可以用于描述微观
在某些情况下，分类计数原理和 分步计数原理可以相互转化。
两者都基于组合数学的基本思想， 即从n个不同元素中取出m个元
素的所有组合方式。
原理之间的区别
分类计数原理
考虑的是完成一件事情的不同类的方式，各类方式之间是相 互独立的，即不论采取哪一类方式，都能独立完成这件事情 。计算方法是各类方式数之和。
分步计数原理
04
分类计数原理与分步计数原理的实际
应用
在日常生活中的应用
购物选择
在超市购物时，我们常常面临多种品 牌和种类的选择。分类计数原理可以 帮助我们快速计算出不同品牌和种类 商品的数量。
旅行计划
社交活动
在组织社交活动时，我们可以使用分 类计数原理来安排不同类型的人员参 与活动，以满足不同的需求和期望。
在决策分析中，分步计数原理可以帮助我们分析问题并制定最优策略。例如，在制定一个 计划或方案时，可以将整个任务分解成若干个步骤，然后根据分步计数原理计算每一步的 成本和效益，最终确定最优方案。
分步计数原理的实例解析
例子1
工厂生产线上有3个工人分别负责3个不同的工序，每个工人完成自己的工序需要1小时。求完成整条生产线需要 多少小时？根据分步计数原理，最终需要的时间是每个工人完成工序所需时间的乘积，即1小时 × 1小时 × 1小 时 = 1小时。
在软件测试中，分类计数原理可以 用于确定不同测试用例的数量和覆 盖范围。
在物理学中的应用
粒子运动
在研究粒子在封闭容器内的运动 时，分步计数原理可以用于计算 粒子在不同状态下的数量和分布
情况。
原子结构
在研究原子结构时，分类计数原 理可以用于确定不同电子层和亚
层的电子数量和分布情况。
量子力学
在量子力学中，分类计数原理和 分步计数原理可以用于描述微观
在某些情况下，分类计数原理和 分步计数原理可以相互转化。
两者都基于组合数学的基本思想， 即从n个不同元素中取出m个元
素的所有组合方式。
原理之间的区别
分类计数原理
考虑的是完成一件事情的不同类的方式，各类方式之间是相 互独立的，即不论采取哪一类方式，都能独立完成这件事情 。计算方法是各类方式数之和。
分步计数原理
04
分类计数原理与分步计数原理的实际
应用
在日常生活中的应用
购物选择
在超市购物时，我们常常面临多种品 牌和种类的选择。分类计数原理可以 帮助我们快速计算出不同品牌和种类 商品的数量。
旅行计划
社交活动
在组织社交活动时，我们可以使用分 类计数原理来安排不同类型的人员参 与活动，以满足不同的需求和期望。
【高中数学】分类加法计数原理与分步乘法计数原理(2) 课件 高二数学人教A版2019选择性必修第三册
3. 从1, 2, ‧‧‧, 19, 20中任选一个数作被减数，再从1, 2, ‧‧‧, 10中任选一个数
作减数，然后写成一个减法算式，共可得到多少个不同的算式?
解：20×10＝200 (个).
课本P7
4. 在1, 2, ‧‧‧, 500中，被5除余2的数共有多少个?
解1：被5除余2的正整数的个位是2或7.
数字的记数法，即二进制. 为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编
码，每个字符可以用1个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储
的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.
(1) 1个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符?
(2) 计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这
满足条件的k值有100个， 所以满足条件的数共有100个.
5. 由数字1, 2, 3, 4, 5可以组成多少个三位数(各位上的数字可以重复)?
解：满足条件的三位数有5×5×5＝ 125 个 .
课本P11
1. 乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4+c5) 展开后共有多少项?
也是最容易控制的两种状态. 因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种
数字的记数法，即二进制. 为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编
码，每个字符可以用1个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储
的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.
(1) 1个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符?
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第十章 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件(共30张PPT)
主，难度将会变小．
学科素养： 数学建模、数学抽象．
知识·分步落实
⊲学生用书 P165
两个计数原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
条 完成一件事有两__类__不__同__方__案__，在第 1 完成一件事需要两__个__步__骤__，做
件 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 第 1 步有 m 种不同的方法，做
法，所以由分步乘法计数原理得直线有 5×4＝20(条).]
4．书架的第 1 层放有 4 本不同的语文书，第 2 层放有 5 本不同的数学书， 第 3 层放有 6 本不同的体育书．从第 1，2，3 层分别各取 1 本书，则不同的 取法种数为________．
解析： 由分步乘法计数原理知，从第 1，2，3 层分别各取 1 本书，不 同的取法共有 4×5×6＝120(种).
(2)区域 3 有 4 种选法，区域 1 有 3 种选法，区域 2 有 2 种选法，区域 4 从区域 1，2 所选颜色中选有 2 种选法，区域 5 可选剩下的一种和区域 1，2 所选被区域 4 选剩下的一种，有 2 种选法，共有 4×3×2×2×2＝96 种．
答案： 144；96
用分步乘法计数原理解决问题的三个步骤
类方案中有 n 种不种的方法
第 2 步有 n 种不同的方法
结 完成这件事共有 N＝m__＋__n_种不同的 完成这件事共有 N＝_m_·_n_种不
论 方法
同的方法
[注意] 分类的关键在于要做到“不重不漏”；分步的关键在于要正确 设计分步的程序，即合理分类，准确分步．在分类与分步之前要确定题目中 是否有特殊条件限制．
1．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于 其中一类．
2．分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立， 分步完成”．
学科素养： 数学建模、数学抽象．
知识·分步落实
⊲学生用书 P165
两个计数原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
条 完成一件事有两__类__不__同__方__案__，在第 1 完成一件事需要两__个__步__骤__，做
件 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 第 1 步有 m 种不同的方法，做
法，所以由分步乘法计数原理得直线有 5×4＝20(条).]
4．书架的第 1 层放有 4 本不同的语文书，第 2 层放有 5 本不同的数学书， 第 3 层放有 6 本不同的体育书．从第 1，2，3 层分别各取 1 本书，则不同的 取法种数为________．
解析： 由分步乘法计数原理知，从第 1，2，3 层分别各取 1 本书，不 同的取法共有 4×5×6＝120(种).
(2)区域 3 有 4 种选法，区域 1 有 3 种选法，区域 2 有 2 种选法，区域 4 从区域 1，2 所选颜色中选有 2 种选法，区域 5 可选剩下的一种和区域 1，2 所选被区域 4 选剩下的一种，有 2 种选法，共有 4×3×2×2×2＝96 种．
答案： 144；96
用分步乘法计数原理解决问题的三个步骤
类方案中有 n 种不种的方法
第 2 步有 n 种不同的方法
结 完成这件事共有 N＝m__＋__n_种不同的 完成这件事共有 N＝_m_·_n_种不
论 方法
同的方法
[注意] 分类的关键在于要做到“不重不漏”；分步的关键在于要正确 设计分步的程序，即合理分类，准确分步．在分类与分步之前要确定题目中 是否有特殊条件限制．
1．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于 其中一类．
2．分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立， 分步完成”．
高中第二册(下A)数学分类计数原理与分步计数原理(ppt)
m
1
A
m2 …… m
B A
m1 m2 …... mn
B
分类计数原理与分步计数原理应用
例1、 一种号码锁有4个拨号盘， 每个拨号盘上有从0到9共10个数 字，这4个拨号盘可以组成多少个 四位数字的号码？
练习： 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位 上的数字允许重复)？首位数字不为0的密码数是多少？ 首位数字是0的密码数又是多少？ 分析: 按密码位数,从左到右依次设置第一位、第二 位、第三位, 需分为三步完成; 第一步,m1 = 10;第二步,m2 = 10;第三步,m2 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 10×10×10 = 1000 种三位数的密码。 答:首位数字不为0的密码数是N =9×10×10 = 900 种, 首位数字是0的密码数是N = 1×10×10 = 100 种 由此可以看出, 首位数字不为0的密码数与首位数字 是0的密码数之和等于密码总数
问题3.从甲地到乙地，要从甲地先乘火 车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙 地。一天中，火车有3 班， 汽车有2班 。那么两天中，从甲地到乙地共有多少 种不同的走法? 问题4.一个书架共有三层，第1层放有 4本不同的计算机书，第2层放有3本 不同的文艺书，第3层放有2本不同的 体育书。从书架的第1、2、3层各取1 本书，有多少种不同的取法？
火车2——汽车2
火车3——汽车1
火车3——汽车2
问题4.一个书架共有三层，第1层放有 4本不同的计算机书，第2层放有3本 不同的文艺书，第3层放有2本不同的 体育书。从书架的第1、2、3层各取1 本书，有多少种不同的取法？
分析：分三步： 第一步：从第1层取，有4种方法； 第二步：从第2层取，有3种方法； 第三步：从第3层取，有2种方法。 所以从书架的第1、2、3层各取1本 书，共有4×3× 2 =24 种不同的取法
1
A
m2 …… m
B A
m1 m2 …... mn
B
分类计数原理与分步计数原理应用
例1、 一种号码锁有4个拨号盘， 每个拨号盘上有从0到9共10个数 字，这4个拨号盘可以组成多少个 四位数字的号码？
练习： 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位 上的数字允许重复)？首位数字不为0的密码数是多少？ 首位数字是0的密码数又是多少？ 分析: 按密码位数,从左到右依次设置第一位、第二 位、第三位, 需分为三步完成; 第一步,m1 = 10;第二步,m2 = 10;第三步,m2 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 10×10×10 = 1000 种三位数的密码。 答:首位数字不为0的密码数是N =9×10×10 = 900 种, 首位数字是0的密码数是N = 1×10×10 = 100 种 由此可以看出, 首位数字不为0的密码数与首位数字 是0的密码数之和等于密码总数
问题3.从甲地到乙地，要从甲地先乘火 车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙 地。一天中，火车有3 班， 汽车有2班 。那么两天中，从甲地到乙地共有多少 种不同的走法? 问题4.一个书架共有三层，第1层放有 4本不同的计算机书，第2层放有3本 不同的文艺书，第3层放有2本不同的 体育书。从书架的第1、2、3层各取1 本书，有多少种不同的取法？
火车2——汽车2
火车3——汽车1
火车3——汽车2
问题4.一个书架共有三层，第1层放有 4本不同的计算机书，第2层放有3本 不同的文艺书，第3层放有2本不同的 体育书。从书架的第1、2、3层各取1 本书，有多少种不同的取法？
分析：分三步： 第一步：从第1层取，有4种方法； 第二步：从第2层取，有3种方法； 第三步：从第3层取，有2种方法。 所以从书架的第1、2、3层各取1本 书，共有4×3× 2 =24 种不同的取法
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字母 A
树形图
数字
1 2 3 4 5 6 7 8 9
得到的号码
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9
问题 2. 如图,由A村去B村的道路有3条，
由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去 C村，共有多少种不同的走法?
北
北
A村
中 南
B村 南 C村
分析: 从A村经 B村去C村有2步,
第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有3种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种 不同的方法。
所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。
一、分类计数原理 完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有
m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的 方法，……，在第n类方法中有mn种不同的方法， 则完成这件事共有
说明 N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要 计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原 理又称加法原理
2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分 类标准下进行分类，然后对每类方法计数.
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两 所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
A大学 生物学 化学 医学 物理学
B大学 数学 会计学 信息技术学 法学
工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
解：这名同学在A大学中有5种专业选择，在B大学中有4种专业选择。 根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+4＝9种。
思考？
用前6个大写英文字母和1～9九个阿 拉伯数字，以A1，A2，···，B1， B2，···的方式给教室里的座位编号， 总共能编出多少个不同的号码？
分析:由于前6个英文字母中的任意一个都能 与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且 它们各个不同，因此共有6×9＝54个不同的 号码。
甲地
乙地 N1=2×3=6
N2=4×2=8
丙地
N= N1+N2 =14
丁地
2.如图,该电
路,从A到B共 有多少条不 同的线路可 通电？
A
B
解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类,
第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 2×2 = 4, 条 所以, 根据分类原理, 从A到B共有
26+10=36
问题 1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也
可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火 车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一 天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 多少种不同的走法?
分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法;
区别二
每类办法都能独立完成
这件事情。
每一步得到的只是中间结果，
任何一步都不能能独立完成 这件事情，缺少任何一步也
不能完成这件事情，只有每 个步骤完成了，才能完成这 件事情。
各类办法是互斥的、
区别三 并列的、独立的
各步之间是相关联的
课堂练习
如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地 有3条路；从甲地到丙地有4条路可以走，从丙 地到丁地有2条路。从甲地到丁地共有多少种 不同地走法？
3、将4封信投入3个不同的邮筒，有多少种不 同的投法？
4、已知 a { 3 ,4 ,6 } ,b { 1 ,2 ,7 ,8 } ,r { 8 ,9 }
则方程 (xa)2(yb)2r2可表示不同的圆的 个 yax2bxc. 若
a ,b ,c { 3 , 2 ,0 ,1 ,2 ,3 } .则可以得到多少个
二、分步计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1 种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……， 做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有
N= m1×m2×… ×mn种不同的方法
说明
1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事 才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 方法总数,又称乘法原理
05798415
10×10× 10× 10=104 分析: 10× 9 × 8 × 7=5040
变式: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同 的电话号码?
例4、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育杂志.
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?
2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准， 然后对每步方法计数.
例2、设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出 男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不 同的选法？
例3、浦江县的部分电话号码是05798415××××,后 面每个数字来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同
的电话号码? 分析:
7.1分类计数原理
与分步计数原理
2004年夏季在德国举行的第十 八届世界杯足球赛共有32支队伍参 加。他们先分成八个小组进行循环赛， 决出16强，这16强按确定的程序进 行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外 还决出了三、四名。
问：一共安排了多少场比赛？
思考？
用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯 数字给教室里的座位编号，总共能够编出多 少种不同的号码？
不同的二次函数？其中图象过原点的二次函 数有多少个？图象过原点且顶点在第一象限 的二次函数又有多少个？
分类计数与分步计数原理的区别和联系：
联系
区别一
加法原理
乘法原理
分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于
完成一件事情的不同方法的种数的问题。 完成一件事情共有n类 完成一件事情,共分n个 办法，关键词是“分类” 步骤，关键词是“分步”
N＝4＋3+2＝9
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同取法?
N＝4 ×3×2＝24
例5、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅， 分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多 少种不同的挂法？
课堂练习
1、在所有的两位数中，个位数字比十位数 字大的两位数有多少个？
2、8本不同的书，任选3本分给3个同学，每 人1本，有多少种不同的分法？