培优有理数重难题解析(总结)

有理数复习（一）有理数的基本概念

1. 负数

在正数前面加“－”的数。

0既不是正数也不是负数。

2. 有理数

整数和分数统称为有理数

3. 数轴

规定了原点，正方向和单位长度的直线

（1）数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大

（2）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数

（3）所有有理数都可以用数轴上的点表示

4. 相反数

只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数

（1）数a的相反数是（a是任意一个有理数）；

（2）0的相反数是0；

（3）若a、b互为相反数，则a+b=0

5. 倒数

乘积是1的两个数互为倒数。

（1）a的倒数是；

（2）0没有倒数；

（3）若a与b互为倒数，则ab=1

6. 绝对值

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。

（1）a的绝对值记作|a|；

（2）若a>0，则|a|=a

若a=0，则|a|=0

若a<0，则|a|=

（3）对任何有理数a，总有|a|>0

7. 有理数大小的比较

（1）可通过数轴比较

在数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大

正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。

（2）两个负数比较大小，绝对值大的反而小

8. 科学计数法，近似数与有效数字

（1）把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数位只有一位的数，这种记数法叫做科学记数法。

（2）一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。

（3）近似数就是与实际数非常接近的数。

四. 考点分析

对负数意义的理解，绝对值的代数和几何意义，有理数的分类，相反数和倒数的概念，科学记数法，有效数字等都是中考命题的热点，考查学生对概念的把握能力。

【典型例题】

例1. 判断正误

（1）a一定是正数；（2）一定是负数；

（3）一定大于0；（4）0是正整数。

分析：本题主要考查对负数意义的理解

（1）由字母表示数的意义可知，a可是任意的数，既可以是正数，还可以是负数或0，故不正确。

（2）由上题可知，当a是负数或0时，是正数或0，故不正确。

（3）是的相反数，但a可以是一个负数，故不正确。

（4）由定义可知0不是正数也不是负数，不正确。

例2. 若，且x、y都是整数，请写出符合条件的x、y的值。

分析：本题是开放性问题，利用绝对值的几何意义和数轴解决问题，即x对应在数轴上的点到原点的距离，与y对应在数轴上的点到原点的距离之和为3。

解：由题意知，x对应在数轴上的点到原点的距离与y对应在数轴上的点到原点的距离之和为3。

从数轴上可以看出，x、y可以取的数应为从-3到3之间的整数。

∴（1）当x=－3时，y=0

（2）当x=－2时，y=1

（3）当x=－1时，y=2

（4）当x=0时，y=3

（5）当x=1时，y=－2

（6）当x=2时，y=－1

（7）当x=3时，y=0

例3. 数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简。

分析：本题考查数轴上的数的大小及绝对值的代数意义

解：由上图可知

∴

∴

∴

例4. 近似数1.85与1.850的意义相同吗？为什么？

分析：根据近似数的意义，明确1.85和1.850意义是不同的。

解：近似数1.85和1.850表示的意义不相同

1. 精确度不相同，1.85精确到百分位，即0.01，1.850精确到千分位，即0.001；

2. 有效数字不同，1.85有三个有效数字，1.850有四个有效数字；

3. 取值范围不同，1.85的准确值m应满足，而1.850的准确值n的范围是

。

例5. 若，求________________。

分析：本题考查绝对值的非负性

解：∵

∴若

则

∴

∴

∴

有理数复习（二）

（一）运算法则

1. 有理数加法法则

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两数相加得0。

（3）一个数同0相加，仍得这个数。

用数学语言描述有理数加法法则：

（1）同号相加

若，则

若a<0，b<0，则

（2）异号相加

若a>0，b<0，|a|>|b|，则

若a>0，b<0，，则

若a>0，b<0，，则

（3）与0相加

a是任一个有理数，则

2. 有理数的减法法则

减去一个数等于加上这个数的相反数

用数学语言描述为：

3. 有理数的乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同0相乘，都得0。

（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶个时，积为正。

（2）几个数相乘，有一个因数是0，积就为0。

用数学语言描述有理数乘法法则：

（1）同号相乘

若a>0，b>0，则

若a<0，b<0，则

（2）异号相乘

若a>0，b<0，则

若a<0，b>0，则

（3）数与0相乘

a为任一有理数，则

4. 有理数除法法则

法则一：除以一个数等于乘以这个数的倒数

即

法则二：两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0。

用数学语言描述为：

（1）同号相除

若a>0，b>0，则

若a<0，b<0，则