第十三章 达朗贝尔原理
理论力学第十三章达朗贝尔原理
aIN第十三章 达朗贝尔原理[习题13-1] 一卡车运载质量为1000kg 的货物以速度h km v /54=行驶。
设刹车时货车作匀减速运动，货物与板间的摩擦因数3.0=s f 。
试求使货物既不倾拿倒又不滑动的刹车时间。
解：以货物为研究对象，其受力如图所示。
图中， 虚加惯性力之后，重物在形式上“平衡”。
货物不滑动的条件是：即货物不滑动的条件是：)(1.5s t ≥…………(1) 货物不倾倒（不向前倾倒）的条件是：)(06.38.93030s g t ==≥…………(2) （1）（2）的通解是)(1.5s t ≥。
即，使货物既不倾拿倒又不滑动的刹车时间是)(1.5s t ≥。
[习题13-2] 放在光滑斜面上的物体A ，质量kg m A 40=，置于A 上的物体B ，质量kg m B 15=；力kN F 500=，其作用线平行于斜面。
为使A 、B 两物体不发生相对滑动，试求它们之间的静摩擦因素s f 的最小值。
解：以A 、B 构成的质点和系为研究对象，其受力如图所示。
在质心加上惯性力后，在形式上构成平面一般“平衡”力系。
以B 为研究对象，其受力如图所示。
由达朗伯原理得：305.05.0191.48.9866.0191.430sin 30cos 00=⨯+⨯=+≥a g a f s ，即： [习题13-3] 匀质杆AB 的质量kg m 4=，置于光滑的水平面上。
在杆的B 端作用一水平推力N F 60=，使杆AB 沿F 力方向作直线平动。
试求AB 杆的加速度a 和角θ的值。
解：以AB 杆为研究对象，其受力与运动分析如图所示。
由达朗伯原理得：[习题13-4] 重为1P 的重物A ，沿光滑斜面D 下降，同时借一绕过滑轮C 的绳子而使重为2P 的重物B 运动，斜面与水平成θ角。
试求斜面D 给凸出部分E 的水平压力。
解：以A 为研究对象，其受力与运动分析如图所示。
由达朗伯原理得：EN D0sin 11=--a gP T P B θ………(1) 以B 为研究对象，其受力与运动分析如图所示。
13第十三章达朗贝尔定理
d dp Fgi mi ai MaC dt ( mi vi ) dt
dLO d M O ( Fgi ) M O (mi ai ) dt M O (mi vi ) dt
第一节 惯性力·达朗贝尔原理
此时惯性力系简化为一惯性力偶。 2、当刚体作匀速转动时， 0 ，若转轴不过质心，惯 性力系简化为一惯性力 Fg ，且 Fg maC ，同时力的作用线
通过转轴O。
3、当刚体作匀速转动，同时转轴通过质心C时， g 0 ， F M gC 0 ，惯性力系自成平衡力系。
第十三章
第十三章
达朗贝尔原理
第一节 惯性力· 达朗贝尔原理
一、质点的达朗贝尔原理 对质点M，由动力学基本方程
Fg
m
即 F FN (ma ) 0 令 Fg ma ，称为惯性力。 则有 F FN Fg 0
ma F FN
FN
达朗贝尔原理
第二节 刚体惯性力系的简化
三、刚体作平面运动 实际工程中，刚体常具有质量对称平面，且平行于该平面 运动，则刚体各点的惯性力组成的空间力系，可简化为在该对 称平面内的平面运动。 以质心C为基点，该平面运动可以 分解为随基点的平移和绕基点的转动， 根据上述结果，则平面运动刚体惯性力 系向质心简化的结果是一个惯性力和一 个惯性力偶并且有 FgC maC
第十三章 达 朗 贝 尔 原 理
山东农业大学水利土木工程学院
第一节 惯性力·达朗贝尔原理
第二节 第三节 刚体惯性力系的简化 达朗贝尔原理应用
第一节 惯性力·达朗贝尔原理
第二节 第三节 刚体惯性力系的简化 达朗贝尔原理应用
达朗贝尔原理
例13-6某传动轴上安装有两个齿轮，质量分别为 m1、m2，偏心距分别为 e1
和 e2。 在图示瞬时， 1D1 平行于 z 轴， 2D2 平行于 x 轴， C C 该轴的转速是 n r/min。 求此时轴承 A、B 的附加动反力。
解：研究 AB 轴，其受力图如图示 Q1 m1e1 2 Q 2 m 2 e 2 2
解得
S B 45.5 N
例13-4图示矩形块质量m1 = 100 kg，b = 0.5 m，h = 1.0 m，置于平台车上。车质量m2 = 50 kg。此车沿光 滑水平面运动。车和矩形块在一起由质量为m3的物体 牵引，使之作加速运动。设物块与车之间的摩擦力足 够阻止相互滑动，求能够使车加速运动的质量m3的最 大值，以及此时车的加速度大小。
解：研究 ABC 杆，由机构可知，ABC 作平移运动，初瞬时＝0， 所以 a n 0, Q AB ma , QBC ma ，受力图如图示，由达朗贝尔原理：
X 0 Q AB Q BC mg sin mg sin 0 解得
a g sin
l l l m B (F ) 0 S A cos l Q AB sin mg Q BC cos 0 2 2 2 解得 S A 5.38 N Y 0 S A S B mg cos mg cos 0
M1、M2的惯性力的方向如图示，大小
在定滑轮上，质量为mi的轮缘质点的虚加切向
惯性力和法向惯性力方向如图示，大小分别为 n 2
qi mi r
qi mi r
根据质点系的达朗贝尔原理，由平衡方程得
X 0
n X O qix qix 0
例 13-1单摆摆长l，摆锤质量m，求单摆的运动规律 及绳的约束力。
第13章理论力学
第十三章达朗贝尔原理(动静法)达朗贝尔原理：用静力学中研究平衡问题的方法来研究动力学问题，因此又称为动静法。
第四篇分析力学基础包含第十三章达朗贝尔原理(动静法)和第十四章虚位移原理()e C i ma F ⎧=∑⎪⎨⎪⎩ ()()e C CJ M F α=∑ 应用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理------刚体平面运动微分方程：()()()()00e i Ii e c i c Ii F M F M F ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩∑∑∑∑ 这是外力系的主矢这是外力系的主矩()()()00e i Ce cc iF ma dL M F dt ⎧∑-=⎪⎨-=⎪⎩∑ IR C F ma ⎧=-⎪⎨⎪⎩Ic c M J α=-称为惯性力系的主矢称为惯性力系的主矩()()()00e i IR e c i Ic F F M F M ⎧-=⎪⎨-=⎪∑∑这就是达朗贝尔原理N§13-1 惯性力·质点的达朗贝尔原理N ma F F =+N F F ma +-=I F ma =-→令称为惯性力。
N I F F F ++= 有：质点的达朗贝尔原理：作用在质点上的主动力、约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡汇交力系。
由牛顿第二定律，有F a =--∑ 为合力，方向与相同这是合成方程形式这是平衡方程形式mamFN F I F非平衡的刚体，产生加速度，产生惯性力。
将惯性力看作外力，加到非平衡力系中，使非平衡力系变成平衡力系．例13-1：已知：60,m 3.0,kg 1.0===θl m 求：, .Tv Fθsin 2l vmma F n n I==0T I mg F F ++= 0,0,b n F F ⎧=⎪⎨=⎪⎩∑∑解得：N96.1cos ==θmgF T s m1.2sin 2==ml F v T θ解：小球作均匀速圆周运动，只有法向惯性力：重力、绳拉力、惯性力形式上组成平衡力系。
列平衡方程：1cos 0sin 0nT I F mg F F θθ-=⎧⎨-=⎩TF IF 就是离心力。
第十三章 达朗贝尔原理
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O
η
θ
mg
dFI A y
η
3. 建立平衡方程：
ω
M
Oxi
l mg sin cosdFI 0 2 0
l
3g arccos 2 2 l
§2 刚体动力学中的达朗贝尔原理
刚体为一个质点系，其上每一个质点加上惯性 力后，成为一个分布力系，此力系应与刚体所受外 力构成平衡力系。
ma a
FW
FI
一、质点的达朗贝尔原理
则有 F FN FI 0
记 FI ma
ma FR F FN F FN ma 0
M
称为质点的惯性力， 与加速度方向相反
a FN
F
FR
F FN FI 0
ω
C i FI FIi FIin
故定轴转动刚体惯性力系简化为：
作用在转轴上，且与质心加速 度方向相反的惯性力FI=maC
在对称平面内，转向与角加速度方 向相反的惯性力偶MIO=JOα
ω α
MIO
O
FI C
aC
主矢和主矩作用在转动轴与对称平面相交的O点处
在对称面内向质心C简化
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FI mi ai maC
主矩
mi ri ri i )
FIit
FIin
若转轴过质心，则惯性力系 简化的结果仅为一力偶，其矩与 角加速度方向相反，MIC=JCα
FI
MIO
《理论力学》--第十三章 达朗贝尔原理(动静法)
例13-7 已知：如图所示,轮盘(连同轴)的质量 m 20kg, 转轴AB与轮盘的质量对称面垂直,但轮盘的质心 C不在转轴上,偏心距 e 0.1mm. 当轮盘以均转速 转动. n 12000 r min 求：轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 2 an e m s 158 m s 2 1000 30
2
FI man 3160 N 1 FNA FNB mg FI 2
1 20 9.8 3160N 1680N 2
(e) Fi 为作用于第i个质点上质点系外部物体的作用力. (i) Fi 为作用于第i个质点上质点系内部的力. (e) (i) Fi Fi Fi 0 i 1,2,, n
例13-2 已知:如图所示,定滑轮的半径为r ,质量为m 均匀分布在轮缘 上,绕水平轴Ｏ转动.垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量 为m1 和m2 的重物(m１>m2),绳与轮间不打滑,轴承摩擦 忽略不计。 求:重物的加速度.
例13-1 已知: 求:
m 0.1kg , l 0.3m , 60
v, FT .
解:
v2 FI man m l sin mg FT FI 0
Fb Fn
0, FT cos mg 0 0, FT sin FI 0
Fs f s FN f s m1 m2 g
Fs 3m1 fs FN 2m1 m2
D
§ 13-4
绕定轴转动刚体的轴承动约束力
F
x
0 FA x FB x FR x FI x 0
F
y
0 FA y FB y FR y FI y 0
哈理力十三章--达朗贝尔原理技巧与应用
理论力学
中南大学土木建筑学院
2
§13-1、2 达朗贝尔原理 13一、惯性力的概念 惯性力的概念 人用手推车
F′ F
a
F ' = − F = − ma
是由于小车具有惯性， 力 F '是由于小车具有惯性，力图保持 原来的运动状态，对于施力物体(人 原来的运动状态，对于施力物体 人) 产生的反抗力。称为小车的惯性力 惯性力。 产生的反抗力。称为小车的惯性力。
∑ F + ∑ F + ∑F = 0 ∑M (F ) + ∑M (F ) + ∑M (F ) = 0
i Ni Ii O i O Ni O Ιi
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∑ F + ∑ F + ∑F = 0 ∑M (F ) + ∑M (F ) + ∑M (F ) = 0
i Ni Ii O i O Ni O Ιi
质点的达朗贝尔原理
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F + FN + FI = 0
即：在质点运动的任一瞬时, 作用于质点上的主动 在质点运动的任一瞬时, 力、约束力和假想加在质点上的惯性力构成形式上 质点的达朗贝尔原理。 的平衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理 的平衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。
方程简化为
Fi (e) + ∑ FI i = 0 ∑ MO (Fi (e) ) + ∑ MO (FI i ) = 0 ∑
对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程， 对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只是质 点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。 点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
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13 达朗贝尔原理
M IC J C
FIC
第十三章 达朗贝尔
例题13-2 均质杆长 l ，质量m，与水平面铰接，杆由与
平面成角位置静止落下，求初始瞬时OA杆的角
加速度及O点支座反力
A
C
O
mg
第十三章 达朗贝尔
例题13-3
绕线轮重为P，半径分别为R 和r ，对质心O的 转动惯量为JO ，在与水平成角的常力T 作用下 作纯滚动，不计滚阻力偶，求轮心O的加速度并
第十三章 达朗贝尔
若将作用于每个质点的力分为内力和外力，则： e i Fi Fi FIi 0 由空间任意力系平衡条件： e i Fi Fi FIi 0 e i M O Fi M O Fi M O FIi 0
它主动力时不论位置如何总能平衡，这叫静平衡 动平衡
若转轴过中心惯性主轴，则刚体转动时不出
现附加约束力，这叫动平衡
•第十三章 达朗贝尔
如图(a)、(b)、(c)、(d)所示定轴转动情形， 哪些情况满足静平衡，哪些情况满足动平衡?
m m
r
r
r
m
2m
r
r
2r
r
m
m m
r
(b)
m
(a )
(c)
(d )
静约束力 附加动约束力
FBz FRz
•第十三章 达朗贝尔
要使附加动约束力为零，则必须有：
FIx FIy 0
M Ix M Iy 0
由定轴转动刚体惯性力计算公式：
FIx maCx FIy maCy 0
M Ix J xz J yz 2 0 M Iy J yz J xz 2 0
达朗贝尔原理(动静法)
Solving it we get
The angle changes with the acceleration a, when a does not change, the angle does not change, too. If we know the angle the acceleration a of the train can be calculated . This is the theory of a pendulum accelerometer.
Ai
a i ain
Bi
FIi
n
FIi FIi FIi
n
FIi mi ai n FIi mi ain
n 2
FIi FIi
FIi mi ri FIi mi ri
类似地，将其它直线 的惯性力系也都简化质量对称 平面合惯性力。—— 变成一平面的惯性力系。 （2） 将平面的惯性力系 ——向轴与对称平面的交点O 简化： 主矢： FIR
FI
W
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
[Example 3] A train is running along a horizontal railway, and a
single pendulum is hanging in the carriage. When the carriage
—— 加在对称平面内
（2） 刚体作匀速转动，则
n FIR maC maC
0
M IO 0 FIR me
2
惯性力系合成为一合力：
( FIR me )
2
达朗贝尔原理综述
第13章 达朗贝尔原理上面几章我们是以牛顿定律为基础研究质点和质点系的动力学问题，给出了求解质点和质点系动力学问题的普遍定理。
这一章我们要学习求解非自由质点系动力学问题的新方法——达朗贝尔原理，它是用静力学平衡的观点解决动力学问题，又称为动静法。
它在解决已知运动求约束力方面显得特别方便，因此在工程中得到广泛的应用。
13.1 达朗贝尔原理13.1.1惯性力·质点的达朗贝尔原理设非自由质点的质量为m ，加速度为a ，作用在质点上的主动力为F ，约束力为N F ，如图13-1所示。
根据牛顿第二定律，有N F F a +=m 将上式移项写为0=m +a F F N - （13-1）引入记号a F I m = （13-2）式（13-1）成为0=++I F F F N （13-3）其中，I F 具有力的量纲，称为质点的惯性力，它是一个虚拟力，它的大小等于质点的质量与加速度的乘积，方向与质点的加速度方向相反。
式（13-3）是一个汇交力系的平衡方程，它表示：作用在质点上的主动力、约束力和虚拟的惯性力在形式上构成平衡力系，称为质点的达朗贝尔原理。
此原理是法国科学家达朗贝尔于1743年提出的。
F图13-1图13-2利用达朗贝尔原理在质点上虚加惯性力，将动力学问题转化成静力学平衡问题进行求解的方法称为动静法。
应当指出：（1）达朗贝尔原理并没有改变动力学问题的性质。
因为质点实际上并不是受到力的作用而真正处于平衡状态，而是假想地加在质点上的惯性力与作用在质点上的主动力、约束力在形式上构成平衡力系。
（2）惯性力是一种虚拟力，但它是使质点改变运动状态的施力物体的反作用力。
例如，系在绳子一端质量为m 的小球，以速度v ，用手拉住小球在水平面内作匀速圆周运动，如图13-2所示。
小球受到绳子的拉力F ，使小球改变运动状态产生法向加速度n a ，即n m =a F 。
小球对绳子的反作用力n m ==a F F --′，这是由于小球具有惯性，力图保持其原有的运动状态，而对绳子施加的反作用力。
理论力学 第十三章 达朗贝尔原理
（2）受力分析，画受力图； （画全部外力，并虚加惯性力系）
（3）列平衡方程； （选取适当的矩心和投影轴）
（4）解方程，求未知量。
[注] FIR ，MIO 的方向及转向已在受力图中标出，建立
方程时，只需按 FIR= maC ，MIO = JOα 代入即可。
26
平面成ϕ0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速
度及支座A的约束力。
解：选杆AB为研究对象
虚加惯性力系：
FIRt
=
mlα
2
FIRn = ma n = 0
MIA
=
J Aα
=
ml 2α
3
根据动静法，有
α
M IA
α
FAt FIRn
FAn
FItR
20
第十三章 达朗贝尔原理
∑ Ft = 0 , FAt + mg cosϕ0 − FIRt = 0
由于
∑ ∑ F (i) i
=
0,
M O (Fi(i) ) = 0
∑ ∑ F (e) i
+
FIi = 0
∑ ∑ M O (Fi(e) ) + M O (FIi ) = 0
表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
11
第十三章 达朗贝尔原理
∑ ∑ F (e) i
+
FIi = 0
∑ ∑ M O (Fi(e) ) + M O (FIi ) = 0
对平面任意力系：
∑ ∑ F (e) ix
+
FI x = 0
∑ ∑ F (e) iy
《理论力学》第十三章 达朗贝尔原理.ppt
O
aCn C
A
Fix FOx－ma2lCn 2 mg sin 0
aCτ α
4.由动能定理计算2，T1-T2=∑Wi
1 2
J O 2
0
mg
l 2
sin
外力只有重力
例4: OB质量不计，AB长l、质量m。试求绳OA剪
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Fix FOx 0 （3）
4.补充方程
aC l / 2
FOx
0;
FOy
1 4
mg ;
3g
2l
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例3: 约束均质杆A端的绳索突然被剪断，试求杆转
到任一位置时的角加速度 、角速度及O处约束力
惯性系中：
0 FR ma FR FI
达朗贝尔原理将动力学加速度问题形 式上转换成静力学中的平衡问题，也 叫动静法
一、质点的达朗贝尔原理
ma FR F FN
FI
F
记
F N
ma
FI ma
0
称为质点的惯性力， 与加速度方向相反
则有 F FN FI 0
MIO MO (FIi ) MO FIi
MO miii miii
mi i2 JO
ω
MIO
FaOICFCρIii
i FIin
故定轴转动刚体惯性力系简化为：
作用在转轴上，且与质心加速 度方向相反的惯性力FI=maC 在对称平面内，转向与角加速度方 向相反的惯性力偶MIO=JOα
13达朗贝尔原理
G
解: 先求物块A的惯性力
P gaP co sagco sF ImP aco
A 以整体为对象，由达朗贝尔原理
a
X 0 : X O FI sin 0
B P
X O P cos sin
Y 0 : YO G FI cos P 0
M O
FIi
0
它有六个空间投影方程用于具体问题的计算. 如果的平面问 题便是三个.
例一. 重P 的物块A ( 不计尺寸) 沿与铅垂面夹角为θ 的悬臂梁下滑. 梁重为G, 均质, 长OB = L . 不计摩擦. 求: 当物块A 滑至距固定端 为S 米时, 固定端的约束反力.
YO
mO O XO FI
D
FS
得:
33 F 2 mAg
3mg
(2)由纯滚动的力学条件: FS FNf
取整体分析 ∑Y = 0:
FN
F N m A g m 0g F N ( m A m ) g
∑X = 0:
3
由 F F 题 I ,A fF 意 IC F SF S03 mA F S2m A g
Ma C
平动刚体上的达朗伯惯性力系向质心简化可得一力. 此力 的大小等于刚体的质量乘以质心或任意一点的加速度, 方 向与加速度相反.
2. 刚体的定轴转动( 刚体有质量对称面, 且转轴垂直于质量对称
面):对于转轴垂直于质量对称面的定轴转动的刚体, 首先其上的达朗
伯惯性力系可以简化成质量对称面上的平面力系. 进而向转轴的O
FN 2(mAm)
例三. 已知均质杆和均质圆盘的质量都是m , 用铰链连接如图所示, 开始静止于铅垂平面内. 今令杆的D 端作用一水平力P. 求: 此力作 用时圆盘和均质杆的角加速度.
第十三章 达朗伯原理
ε
aiτ ain mi Fiτ
ω
Fgi = Fgi + F
τ
n gi
Fin
R 主矢： gi
= ∑ Fgi = ∑ (− mi ai ) = −∑ mi ai = −maC
m z (Fgi ) = ∑ m z F n + ∑ m z F τ ∑
gi gi
Rgi = − MaC
主矩： M gz =
( )
FgA A mAg B mBg A
FgA = m A a
FgB = mB a
三、列方程求解： mBg
图示系统，滑 轮的半径为r， 质量略去不 计。两重物的 质量分别为 mA、mB。求重 物的加速度和 轴承处的约束 反力。
∑ M (F ) = 0
O i
FgB
m A g ⋅ r − mB g + FgA + FgB r = 0
(
)
即： m A g − mB g − (m A + mB )a = 0
∑F
y
=0
FO − m A g − mB g + FgA − FgB = 0
a= m A − mB g m A + mB
FO = 2 m A mB g m A + mB
解得：
§13—3 刚体惯性力系的简化
应用达朗伯原理求解刚体动力学问题时，需要 对刚体内每个质点都加上它的惯性力，这就构成了 一个惯性力系。如果用静力学中力系简化的方法将 惯性力加以简化，对于解题就方便多了。 以下，分别对刚体做平动、绕定轴转动和平 面运动时的惯性力系进行简化。
一、刚体做平动。
a
C
aC
∵刚体平动 ∴ a i = aC
达朗贝尔原理 哈尔滨工业大学理论力学
(2) 达朗贝尔原理中的惯性力:大小ma; 方向与a反向；作用点:实际作用在施力体。
3
*:若已知a、 an
则切向惯性力FI=-m a 法向惯性力FnI=-m an
FI n
FI m a
9
质点系的达朗贝尔原理::在质点系运动的 每一瞬时,作用于质点系上的所有主动力,约 束力与假想地加在质点系各质点上的惯性 力构成一平衡力系.
Fi Ni FiI 0
mo Fi mo Ni mo FiI 0
10
例题1.图示的构架滑轮 机构中,重物 M1和 M2分 别重P1=2kN,P2 =1kN.略 A 去各杆及滑轮 B和 E 的 质量.已知AC =CB = l = D 0.5 m, = 45o. 滑轮B和 E的半径分别为r1和r2且 r1 =2r2 = 0.2m求重物 M1 的加速度 a1和 DC 杆所 受的力.
E
(3)
F2I
P2 g
x2
M13)和(4)式得: x1 = a1 = 6.54 m/s2 x
12
取整体为研究对
象进行受力分析,
YA
并虚加惯性力。
mA F 0
XA A
C
SDC
B
F1I
P1 g
x1
SDC l sin F1I P1 2l r1 F2I P2 2l r2 0
16
解: FI1 m1a, FI 2 m2a
FIit mi r mi a ,
FIin
mi
v2 r
M O 0, m1g m1a m2 g m2a r miar 0
由 miar mi ar mar
第十三章 达朗贝尔原理
第十三章 达朗贝尔原理典型例题例１３．1 汽车连同所载货物的质量是m ，质心C 距地面的高度是h ，汽车的前，后轮轴到通过质心的铅垂线的距离分别是b 和c ，如图所示．如果不计车轮的质量，当汽车以加速度a 沿水平直线道路行驶时，求前，后车轮给路面的铅垂压力．解 取汽车为研究对象，如图所示，汽车实际承受的外力有重力G ，地面铅直反力NA F 和NB F ，摩擦力sA F 和sB F ，其中主动轮B 的摩擦力sB F 水平向前，而被动轮A 的摩擦力sA F 则水平向后．因不计车轮质量，整个汽车做平动，在其质心C 上虚加惯性力系的合力ma F IR -=． 汽车所受的外力和虚加的惯性力构成矢量平衡关系，因而可写出汽车的动态平衡方程0=∑AM ： 0)(=+-+c b F Gb h F NB IR （１） 0=∑BM： 0)(=++-c b F Gc h F NB IR （２）由式（１）和式（２）求得地面对车轮的铅直反力c b ah gc m F NA +-=)( （a ）cb ah gb m F NB ++=)( （b ）前，后车轮给路面的压力与相应的铅直反力NA F 和NB F 大小相等，方向相反． 讨论１．虚加惯性力后，与汽车实际所受外力（包括主动力和约束力）构成矢量平衡关系，因而可任取未知力的交点为矩心，写出力矩平衡方程后简便求解，这正是根据达朗贝尔原理，采用动静法解题的优点．２．由式（a ）和式（b ）知，当加速度a 增大时，前轮的反力NA F 减小，而后轮的反力NB F 增大．因而使阻碍汽车前进的前轮摩擦力A F 减小，同时使驱动汽车前进的后轮摩擦力B F 增大．当gc ah 时，0 NA F ，表明这时汽车的前轮将抬起并脱离路面，0=NA F ；这种情况在赛车比赛时可出现．例１３．２ 复摆的质量为m ，可绕光滑水平轴O 转动，质心C 到转轴O 的距离b OC =，它对通过质心C 并与图面垂直的轴的回转半径为C ρ．开始时0OC 对铅直线的偏角为0ϕ，然后无初速地释放，试根据达朗贝尔原理，用动静法求复摆OC 与铅直线成偏角ϕ时支承O 的约束力．解 复摆作定轴转动，根据达朗贝尔原理，在点O 虚加切向惯性力Ct tIR ma F -=和法向惯性力Cn nIR ma F -=并沿,,ϕ反向虚加矩为,,ϕO J 的惯性力偶后，与真实作用在复摆上的主动力mg 和约束力Ox F 和Oy F 共同构成平面平衡力系，如图１３.２（a ）所示．其中，,,ϕb a Ct =，2,ϕb a Cn =．于是可写出动态平衡方程0)(=∑F M O： 0sin ,,=--ϕϕO J mgb （１）0=∑xF： 0sin cos =+-ϕϕnIR tIR Ox F F F即 0s i n c o s =+-ϕϕCn Ct Ox ma ma F 故 0s i n c o s 2,,,=+-ϕϕϕϕmb mb F Ox （２） 0=∑yF： 0cos sin =---ϕϕnIR t IR Oy F F mg F即 0c o s s i n 2,,,=---ϕϕϕϕmb mb mg F Oy （３）由式（１）得ϕρϕϕsin sin 22,,bbgJ mgb CO+-=-= （４）对上式积分ϕϕρϕϕϕϕϕd bbgd C ⎰⎰+-=0,sin 22,,得)cos (cos 20222,ϕϕρϕ-+=bbgC （５）将式（４）和式（５）代入式（２）和式（３），最后求得支承O 的约束力mgb bF COx )cos 3cos 2(sin 0222ϕϕϕρ-+=mg bbmg F COy )]cos (cos cos 2sin [02222ϕϕϕϕρ-+-++=讨论１．复摆的惯性力系还有如下两种简化方法：（１）复摆的定轴转动也是刚体平面运动的特殊情况，因此，也可按平面运动刚体的类型虚加惯性力系，即在复摆的质心C 上虚加切向惯性力Ct tIR ma F -=和法向惯性力Cn n IR ma F -=，并在复摆上虚加与,,ϕ反向的矩为,,ϕO J 的惯性力偶，如图１３.２（b ）所示．（２）把图１３.２（a ）中的惯性力和惯性力偶进一步合成为作用在图１３.２（c ）点H的惯性力Ct t IR ma F -=和Cn nIR ma F -=，点H 到点O 的距离b bmb b m FJ OH CC t IR O +=+==2,,,,22,,)(ρϕϕρϕ２．本例介绍了定轴转动刚体的惯性力系简化结果的３种方法，其中惯性力恒等于C IR ma F -=或 )()(Cn Ct nIR t IR IR ma ma F F F -+-=+=由于惯性力IR F 的作用点不同，它可虚加在图１３.２中定点O ，质心C 或点H ，相应的惯性力偶矩分别为,,ϕO J ，,,ϕC J 或0，其旋向恒与角加速度,,ϕ反向．。
理论力学13—达朗贝尔原理
(e)
(i)
F i ? F i ? FIi ? 0 (i ? 1,2, ???, n)
质点系中第 i个质点上作用的外力、内力和它的惯性
力在形式上组成平衡力系。由静力学知，空间任意
力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一
点的主矩等于零，即
Σ Fi(e) ? ΣFi(i) ? ΣFIi ? 0
ΣM
O (Fi(e) )
得
FIR ? ΣFIi ? ? ΣFi(e) ? ? maC
此式表明：无论刚体作什么运动 , 惯性力系的主矢都等 于刚体的质量与其质心加速度的乘积 , 方向与质心加速 度的方向相反 。
arccos(
3g
2lw
2
)
例 3 已知：m ，R， w。 求：轮缘横截面的张力。
解： 取上半部分轮缘为研究对象
F?i
?
m
2?R
Rd?
?Rw2
? Fy ? 0 ? F?i sin? ? 2FT ? 0
? FT
?
1 2
?
0
m Rw 2 sin?d? 2?
? mRw 2 2?
R O
w
y
FIi
d?
? O
第十三章 达朗贝尔原理
? 达朗贝尔原理 ? 刚体惯性力系的简化
引言
前面介绍的动力学普遍定理 , 为解决质点 系动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗 贝尔原理为解决非自由质点系动力学问题提 供了另一种普遍的方法。这种方法的特点是： 用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学 的不平衡问题, 因此这种方法又叫动静法。由 于静力学研究平衡问题的方法比较简单 , 也容 易掌握, 因此动静法在工程中被广泛使用。
? FI ?
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⑵ 分析运动，加惯性力 设重物A加速度为a
重物的惯性力
FI 1 m1a FI 2 m2 a
滑轮边缘上质量为mi的质点
t t 切向惯性力 FIi mi ai mi a
mg FI 1 A B a a m1 g m2 g F I2
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FA
O
FB
B x
对于轮缘上dθ对应的微段
m Rd R 2 法向惯性力 FIi m a 2R
n i i
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§13-2
质点系的达朗贝尔原理
FIi
Rm 2 FA FB ; FIi d 2
y
⑶ 取坐标系，由达朗贝尔原 理列平衡方程
FIR maC
C FIR
aC
M IC
绕通过质心轴的转动： M IC J C
FIR maC M IC J C
作用于质心
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§13-3
刚体惯性力系的简化
例13-4 图示均质杆的质量为m，长为2l，绕定轴O转动的角速 度为ω，角加速度为α。求惯性力系向点O简化的结果（方向 在图上画出） 。
M Iz J z
z O x y
FIR maC ; M IO M Iz J z
2、刚体绕过质心的轴定轴转动（刚体有质量对称面） aC 0 FIR 0;
aC
C
M IC
M IC J C
JC ：刚体对过质心且垂直于质 量对称面的轴的转动惯量
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§13-2
质点系的达朗贝尔原理
例13-2 图示滑轮半径为r，质量m均匀分布在轮缘上，可绕水 平轴转动； 绳两端所挂物体质量m1 >m2，绳和滑轮间无相对 滑动，不计绳重和轴承摩擦，求重物的加速度。
解:⑴ 以滑轮与两重物为研究对 象，画受力图
t FIi FOy mi FOx O
质点系的达朗贝尔原理： 质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和虚加 的惯性力在形式上组成平衡力系。
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§13-2
质点系的达朗贝尔原理
设质点系内任一质点i 的质量为 mi ,加速度 ai ,作 用于此质点上的外力的合力为F (e ),内力的合力为 F (i ) i i 质点i 的惯性力 FIi mi ai
O
aC
C
M IO J O ;
FIR
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§13-3
刚体惯性力系的简化
三、刚体作平面运动
假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运 动。此时刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。
刚体平面运动可分解 随质心C的平移：
ai aC
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§13-3
刚体惯性力系的简化
一、刚体作平移
FIR maC M IO mrC aC
FIi
ri
O C rC FIR
各质点惯性力的方向相同，组成 一个同向的平行力系 平行力系向质心简化
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§13-3
刚体惯性力系的简化
3、转轴不过质心匀速转动（刚体有质量对称面） O C F 0 M IO 0; IR FIR maC
4、转轴不过质心变速转动（刚体有质量对称面）
FIR maC
M IO ,
§13-3
刚体惯性力系的简化
一、刚体作平移
FIi mi ai
FIi
ri
O C rC FIR
各质点惯性力的方向相同，组成 一个同向的平行力系 平行力系向任一点O简化
FIR FIi mi ai (mi )aC maC M IO ri FIi ri (mi aC ) (mi ri ) aC mrC aC
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§13-2
质点系的达朗贝尔原理
(e) (i ) Fi Fi FIi 0 (i ) (e) M O ( Fi ) M O ( Fi ) M O ( FIi ) 0
二、质点的达朗贝尔原理
ma F FN F FN ma 0
FI
m
FI ma
F FN FI 0
FN
F ma
质点的达朗贝尔原理： 作用在质点上的主动力、约束力和虚加的惯性力 在形式上组成平衡力系。
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v2
⑶ 取自然坐标系，列方程
mg ; F cos mg 0 F Fib 0, cos
Fin 0, F sin FIn 0 v
Fl sin 2 m
an n mg
F
b
n FI
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M I x mi xi zi mi 2 yi zi
x
t FIi
O
ri m n i FIi
zi yi y
xi
,
O y
i
x
y
n FIi
PAG 16
x
FIit
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§13-3
刚体惯性力系的简化
M I x mi xi zi 2mi yi zi
质点系的内力是成对出现的，彼此反向。 (e) Fi FIi 0 (e) M O ( Fi ) M O ( FIi ) 0 质点系的达朗贝尔原理（另一表述）： 作用在质点系上的外力与虚加在每个质点上的惯性 力在形式上组成平衡力系。
达朗贝尔原理将动力学问题转化为静力学问题。
z
FIin mi ri 2 ; FIit mi ri
惯性力对x轴之矩
M Ix M x ( FIi ) M x ( FIit ) M x ( FIin ) mi ri cos i zi mi ri 2 sin i zi
ri cos i xi ; ri sin i yi
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§13-1
惯性力· 质点的达朗贝尔原理
例13-1 圆锥摆绳长为l，与铅直线夹角θ=60º ，质量为m的小球 在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度，绳的张力。 解:⑴ 以小球为研究对象，画受力图 ⑵ 分析运动，加惯性力
mv 2 v2 FIn man an l sin l sin
第十三章 达朗贝尔原理
1
惯性力 · 质点的达朗贝尔原理
2 3
质点系的达朗贝尔原理 刚体惯性力系的简化 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
4
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§13-1 一、惯性力
惯性力· 质点的达朗贝尔原理
F ma ' F F ma
mi yi zi mi xi zi 2 J yz J xz 2 M Iz M z ( FIit ) M z ( FIin ) mi ri ri J z 主矩 M IO M Ix i M Iy j M Iz k
§13-2
质点系的达朗贝尔原理
设质点系内任一质点i 的质量为 mi ，加速度 ai ， 作用于此质点上的主动力为 F ，约束力为F i Ni 质点i 的惯性力 FIi mi ai
由质点的达朗贝尔原理得 Fi FNi FIi 0
(i 1,2,, n)
质点系的达朗贝尔原理
例13-3 飞轮质量为m，半径为R，以匀角速度ω转动。设轮缘 较薄，质量均匀分布，轮辐质量不计。若不考虑重力的影响， 求轮缘横截面的张力。 解:⑴ 以飞轮一半为研究对象，画受力图 由于轮缘质量均布， 任意截面的张力都相同
FA FB
A y
FIi
d
n ai
⑵ 分析运动，加惯性力
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§13-3
刚体惯性力系的简化
M Ix J xz J yz 2 M Iy J yz J xz 2
1、刚体绕垂直于质量对称面的轴作定轴转动 （x，y轴在质量对称面内）
J xz Σmi xi zi 0; J yz Σmi yi zi 0
FT man ' FT FT man
' F
F
a
FI ma
惯性力大小 ma
O
A
an ' FT A FT
方向 与 a 方向相反，作用在施力物体上
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§13-1
惯性力· 质点的达朗贝尔原理
§13-2
质点系的达朗贝尔原理
n t FIi FIi FOy mi FOx O
FI 1 m1 a; FI2 m a; F mi a 2
t Ii
mi v 2 法向惯性力 F m a r