参数及参数方程

= =
������ 2������
+
2
其中t 为参数，那么动点 P 可计为（������，2������ + 2）
例题 3.1：一次函数������＝5������ + 2的图像上有一动点 P，如下图，求当 OP 为最短时 P 点的坐标。
解析：一次函数������＝5������ + 2参数方程可列为：
2
4
(−1 <t< 2)
因此，当������＝
1时，
2
PE大＝
9 4
③可设 G 点为(������ + 1，������2 − 4)，A(-1，0)，C(2，-3)，F 点可设为（m，0）
可能出现的平行四边形有：如下图
G
G
A
F
F
A
A
F
F
A
G
C
图①
G
C
图②
C 图③
C 图④
由图①可解得 F(1，0) 图②可解得 F(-3，0) 由图③可知 GF//AC，AG//CF，由斜率相等可得������＝±√7，可算得 F(4+√7，0) 由图④同理可得 F(4-√7，0)
= =
������ + ������ 2
1 −
4
即 E(������ + 1，������2 − 4)
由题意可得：������＝������ + 1 PE＝|(−������ − 1)-( ������2 − 4)|,化简可得：
PE＝−������2 + ������ + 2 =-(������ − 1)2 + 9
①当平行四边形 OEAF 的面积为 24 时，请判断平行四边形 OEAF 是否为菱形？
②是否存在点 E，使平行四边形 OEAF 为正方形？若存在，求 出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由。
B(0,4)
O E
F A(6,0)
例题 4.3：如图，已知与������轴交于点 A(1,0)和 B(5,0)的抛物线ℓ1的顶
13 13
F
D
例题 3.2：如图在直角三角形 ABC 中，AC=4，BC=3，D 是斜边 AB 上一动点，
DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别是 E、F，当 EF 的长最小时，求 cos ∠������������������的值。
解析：可将直角三角形看成在直角坐标系中，以 C 为原点。
C
E
B
那么直线 AB 经过点（0，4）和（3，0）两点，其中 D 点为动点。
可列
AB
的解析式为：������
4
+
������ 3
＝1，可设参数方程为：*������������==34������
−
4������
（t 为参数,0<t<1）
即可设动点 D 的坐标为（3������，4 − 4������）
由勾股定理可得 EF＝√(3������)2 + (4 − 4������)2
这个过程有点像设方程（未知数）一样，其步骤为：设未知数，用未知数，解出未知数。
譬喻说一次函数������＝3������ + 5来说可以设以下参数：
*������������
= =
������ 3������
+
5
其中 ������为参数，那么此时点（������，3������ + 5）表示的是点（������, ������）,也就是该一次函数。
∠DAE=105°,试确定 y 与 x 之间的函数解析式。
A
D
E
B
C图2Leabharlann 四、参数方程在二次函数中的应用
譬喻，将二次函数������＝������2 + 2������ + 2用参数方程表示。 首先将二次函数化成顶点式：������＝(������ + 1)2 + 1，令������ + 1＝������，即可列参数方程如下： *������������==������������−2 +1 1 （t 为参数）
（������ + 2，3������ + 11）、（2������，6������ + 5）均表示的是点（������, ������）,也就是该一次函数。因此该一次函数
图像上的动点均可以用以上点来表示。对于该一次函数设参的基本要求是，消去参数������后得到的是
������＝3������ + 5即可。
例题 2.1 列出一次函数������＝8������ + 1的参数方程。
例题
2.2
一方程的参数方程为*������������
= =
2������ − 1 3������ + 5
其中t 为参数，求出原方程的解析式。
例题
2.3
一方程的参数方程为*������������
= =
2 3
+ +
sin ������ cos ������
= √25������2 − 32������ + 16
，当 t=16时，EF 最小。
25
此时cos
∠������������������＝������������
������������
=
4−4������ √25������2−32������+16
＝
3 5
例题 3.3：如图 2,在△ABC 中,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC 上运动.设 BD= x, CE= y ,如果∠BAC=30°,
在代数中我们所说的“设未知数”和在解析几何中我们所说的“设参数”的内涵基本上是一个
意思。在代数中表示的是未知的数，即变数。而在解析几何中它是表示的是点，即为动点。一个是
一维的，而另一个是二维的。其中，“一维”好比一条数轴，而“二维”好比是一个坐标系（两条
坐标轴，即横轴和纵轴）。
二、参数应用步骤
①设参 ②用参 ③消参
例题 4.2：如图，对称轴为直线 x 7 的抛物线经过点 A（6，0）和 B（0，4）。 2
（1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点 E(������, ������)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形 OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形。求平行四边形 OEAF 的面积 S 与 x 之 间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
参数及参数方程专题
一、参数在数学中作用 参数在数学中起桥梁作用。 下面两幅图是研究速度与力的图像：物体甲在 F 作用力下速度变化情况。
由上图可知，时间是力和速度的桥梁，是参数。
数学中，参数思想贯彻于解析几何中。对于几何变量，人们用含有字母的代数式来表示变量，
这个代数式叫作参数式，其中的字母叫做参数。
当然还可设参数如下：
*������������
= =
������ + 1 3������ +
8
，*������������
= =
������ + 2 3������ + 11
，*������������
= =
2������ 6������
+
5
等等，其中 ������为参数。那么点（������ + 1，3������ + 8）、
大值；
（3）点 G 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F，使 A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四
边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由．
解析：①求出 C 点坐标为：（2，-3），A 点坐标为：（-1，0）
即 AC 的表达式为：������＝ − ������ − 1
*������������
= =
������ 5������
+
2
（t 为参数）即动点 P 的坐标可设为（������，5������ + 2）
yℓ P
又因为当 OP⊥ ℓ时 OP 最短，所以直线 OP 的斜率为：− 1
5
可得：5������+2＝− 1
������
5
O
x
������＝ − 5
13
A
因此，可求出 P 点的坐标为（− 5 ， 1 ）
例题 4.1：如图，抛物线������＝������2 − 2������ − 3与 x 轴交 A、B 两点（A 点在 B 点左侧），直线ℓ与抛物线交
于 A、C 两点，其中 C 点的横坐标为 2。
（1）求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；
（2）P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最
（3）在ℓ2上是否存在点 M，使 AB 是以 AB 为斜边且一个角为 30 的
直角三角形？若存，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由．
其中 ������为参数，求出原方程的解析式。
三、动点问题在一次函数中的应用
解决方法：设动点所在图像的参数方程，可得参数点即为动点。
譬喻说，一次函数������＝2������ + 2的图像上有一动点 P，列出动点 P 的一组表达式。
一次函数������＝2������
+
2参数方程可列为*������������
点为 C(3,4)，抛物线ℓ2与ℓ1关于 x 轴对称，顶点为 C ．
5
（1）求抛物线ℓ2的函数关系式；
4
（2）已知原点 O，定点 D(0,4)，ℓ2上的点 P 与ℓ1上的点 P’始终关
3
于 x 轴对称，则当点 P 运动到何处时，以点 D,O,P,P’为顶点的四边