一阶常微分方程初等解法
一阶常系数线性微分方程组“对称型”的初等解法再讨论
［ ］ 。 ＝ ［ 二 兰 ］ ［ ］ ＋ ［ ］ ， ［ ： ； ］ ＝ ［ ］ ｃ 口 ≠ 。
项目（ ２ ０ １ ２ － ４ ）阶段 性 成 果
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（ ９ ）
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当ａ ｂ≠０时，解 为：
（ １ ０ ）
（ ｔ ） ｅ － （ ａ ＋ ｂ ） ｔ ｄ ｔ ＋ Ｃ １ ］ ＋ ｅ （ ａ － ｂ ） ｔ ［ 』 Ｑ ２ （ ｔ ） ｅ － （ ａ － ｂ ） ｔ ＋ 】 ） （ ｔ ） ｅ － （ ａ ＋ ｂ ） ｔ ｉ ｔ ｔ ＋ ｑ ］ － ‘ 蛳 ［ 』 Ｑ ２ （ ） ｅ － （ ａ － ｂ ） ｔ ｄ ｔ ＋ Ｃ ２ ］ ｝
ｆ ｘ ｘ ＋ ＝ Ｐ ［ ｆ ａ ｌ （ ｔ ） ｅ － ￣ ａ － ｉ ｂ ） ｔ ｉ ｔ ｔ ＋ ｑ ］ Ｉ 一 ＝ Ｐ ‘ 叶 ［ ｆ Ｑ ２ （ ） ｅ － （ ａ ＋ ｉ ｂ ） ｔ ｄ ｔ ＋ Ｃ ２ ］
于是 ，有结论 （ ８ ） ． 定理 ３ 对于二 元一阶线性微分方程细 ：
常微分方程第二章一阶微分方程的初等解法
一阶微分方程的初等解法， 一阶微分方程的初等解法，即把微分方程的求 解问题化为积分问题。 解问题化为积分问题。用数学方法经过有限次 代数运算和作有限次不定积分，将微分方程的 代数运算和作有限次不定积分， 解用初等函数或初等函数的待积式来表达， 解用初等函数或初等函数的待积式来表达，这 种方法，习惯上称为初等积分法或求积法。 种方法，习惯上称为初等积分法或求积法。能 初等积分法或求积法 用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。 用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。 可积方程
内江师范学院数学与信息科学学院 ( x , y ) 中几类可积方程的求解
同时， 问题 。同时，对一阶隐式方程和高阶方程中的某些特 殊可积函数类型的求解问题，也作适当的介绍。 殊可积函数类型的求解问题，也作适当的介绍。 主要内容
一、变量分离方程与变量替换 待定函数法) 二、线性方程与常系数变易法(待定函数法 线性方程与常系数变易法 待定函数法 三、恰当方程与积分因子（全微分方法） 恰当方程与积分因子（全微分方法） 四、一阶隐方程与参数表示 五、小结
转化” 这是数学学习的精髓。 基本思想：“变”或“转化”，这是数学学习的精髓。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
初等积分法的实质， 初等积分法的实质，就是尽可能设法把所遇到的 的实质 微分方程的求解问题转化为积分（求原函数） 微分方程的求解问题转化为积分（求原函数）问 转化为积分 题。应当指出，只有少数特殊类型的微分方程， 应当指出，只有少数特殊类型的微分方程， 才可能用初等积分法求解，在多数情况下，初等 才可能用初等积分法求解，在多数情况下， 积分法是不适用的。因此， 积分法是不适用的。因此，对于微分方程中常见 的类型在什么情况下能用初等积分法求解， 的类型在什么情况下能用初等积分法求解，是一 个很重要而又有实际意义的问题。 个很重要而又有实际意义的问题。
一阶微分方程解法
y x0 4
的特解.
解 分离变量, 得 sinydy sinxdx
cos y cosx
两边积分,得 ln c o sy ln c o s x ln c
于是原方程的通解为 c o sy c c o sx
3
又将初始条件
y x0 4
代入通解中, 得 c
2 2
故满足初始条件的特解为 cosy 2cosx
12
将 y与y’代入方程, 并整理, 得 c'(x) ex
两端积分, 得 c(x)ex c
故原方程的通解为 y = ex + c (x+1)2
例8 求方程 sin2y + xcoty dy = dx 的通解及满足初始 条件 y|x=1 = π / 2 的特解.
解 将方程改写为 dx xcot y sin2 y
dx
解 将方程恒等变形为 dy y ln y
dx x x
令uy, 即yux 则得 dy x du u
x
dx dx
7
代入原方程,
得
du x
u
ulnu
dx
分离变量, 得
du dx u(ln u 1) x
两端积分, 得 ln (ln u 1 ) ln x ln c
即 lnucx1 将 u y代 入 上 式 , 并 化 简 得 方 程 的 通 解 为
x
y xecx1
8
三. 一阶线性微分方程 形如 y’+ pxy = q(x)的方程,称为一阶线性微分方程. 若 qx = 0 , 则称方程 y’+ p(x)y = 0 为一阶齐次线性微分方程 若 qx ≠ 0 , 则称方程 y’+ p(x)y = q(x) 为一阶非齐次线性微分方程. 1.一阶齐次线性微分方程的通解 方程 y’+ pxy = 0 是变量可分离的方程, 其通解为
常微分方程的初等解法
常微分方程的初等解法1．常微分方程的基本概况1.1.定义：自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。
1.2.研究对象：常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。
物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。
如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。
对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。
1.3.特点：常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。
下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。
也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。
1.4.应用：现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。
应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
2.一阶的常微分方程的初等解法一阶常微分的初等解法包括变量分离方程与变量变换﹑可以化为变量分离方程的类型﹑线性微分方程与常数变易法﹑恰当微分方程与积分因子，下面我们就具体分析一阶常微分方程的初等解法。
一阶微分方程的初等解法
第二章一阶微分方程的初等解法教学目的本章主要讨论变量分离的方程、齐次方程、线性方程、伯努利（Bernoulli）方程、恰当方程和一阶隐式方程等方程的解法。
教学要求能够识别方程的类型，熟练掌握各自的解法并能灵活应用。
教学重点分离变量法；一阶线性方程的通解公式；常数变易法；伯努利（Bernoulli）方程；恰当方程的定义、充要条件；积分因子的求法；四类隐式方程通解的求法教学难点用变量替换将某些方程转化为变量分离方程；常数变易法思想的理解；积分因子的求法；求解四类隐式方程的变量替换。
教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
课题导入微分方程的一个主要问题是”求解”,即把微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来,但一般的微分方程无法求解,只能是对某些类型通过相应的方法求解,本章主要介绍一阶微分方程)(=y,F的一些可解类,xy('y,)'xfy=或0型和相应的求解方法------初等解法,即把微分方程求解问题化为积分问题.§2.1 变量分离方程与变量变换教学目的了解变量分离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的类型，熟练掌握变量分离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的解法。
教学要求深刻掌握变量分离的一阶方程的解法，并能利用变量变换方法来解可化为变量分离的一阶方程。
教学重点变量分离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的类型及其求解方法；一阶线性方程的通解公式。
教学难点用变量替换将某些方程转化为变量分离方程。
教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
形如 )()(y x f dxdyϕ= (2.1) 的方程,称为变量分离方程.这里)(),(y x f ϕ分别是x,y 的连续函数. 一. 变量分离方程的求解.当0)(≠y ϕ时,将(2.1)改写成dx x f y dy)()(=ϕ,对上式两边积分得: ⎰⎰+=c dx x f y dy)()(ϕ (2.2)原函数的某一)(1y ϕ↑原函数的某一)(x f ↑由(2.2)所确定的函数),(c x y ϕ=就为(2.1)的通解. 例1. 求微分方程)101(yy dx dy -=的所有解. 解: 方程两边同除以)101(yy -,再积分得1)101(⎰⎰+=-c dx y y dy ,两边积分得110lnc x yy+=-,从上式中解出从上式中解出,再将常数设为c,得,0,110≠+=-c ce y x由0)101(=-yy 求出方程的常数解为y=0和y=10,故方程的所有解为.0,,110=+=-y c ce y x 和为任意常数例2. 求微分方程23y dxdyx =的通解.解:分离变量后得dx xdy y 123=-两边积分得121ln 2c x y +=--整理后得通解为:,,)(ln 4)(ln 41221c e c cx c x y ==+=其中由于函数在x=0无意义,故此解只是在x>0或x<0中有定义.此多此一举这有解y=0,这个解无法从通解中选取常数c 而得到,所以不是解.例3、求方程 y x P dx dy)(= 的通解。
一阶微分方程的初等解法
一阶微分方程的初等解法一阶微分方程的初等解法●一阶微分方程的初等解法：方程的通解能够用初等函数或初等函数的积分表示出来。
●一阶微分方程的一般形式y′=f(x,y)也可写成对称形式（全微分形式）P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0在对称形式方程中，变量x与y是对称的，它即可以看作是以x自变量，y为未知函数的方程dy=−P(x,y)() Q(x,y)≠0也可看作是x为自变量，y为未知函数的方程dy dx=−Q(x,y)P(x,y) P(x,y)≠0●一阶微分方程的常见形式：1.可分离变量的一阶微分方程和齐次方程定义：如果一阶微分方程具有形式dy dx=f(x)g(y)则该方程称为可分离变量微分方程。
不妨设g(y)≠0,则可将方程化为dy g(y)=f(x)dx例求微分方程xdy+2ydx=0，满足初始条件y|x=2=1的特解。
解：由∵ xdy+2ydx =0分离变量dy y=−2dx x两边积分lny=−2lnx+lnC ∴ y=Cx−2是通解。
将初始条件代入C=4，即∴ y=Cx−2为方程的一个特解。
例放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减少，这种现象成为衰变。
由于原子物理学告之，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比。
已知t=0时铀的含量为M0，求在衰变过程中含量M(t)随时间变化的规律。
解：铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数dM dt即dM dt=−λMλ(>0)是衰变常数。
初始条件M|t=0=M0分离变量dM M=−λdt于是M=Ce−λt是方程的通解代入初始条件M=M0e−λt齐次方程：如果一阶微分方程dy dx=f(x,y)中的函数f(x,y)可变形为φ�y x�即dy dx=φ�y x�则称为齐次方程。
求解步骤:变量代换法设u=y x，y=ux，得u+x du dx=φ(u)∴ xdu=(φ(u)−u)dx 可分离变量方程duφ(u)−u=dx x=>�duφ(u)−u= �dx x 得到齐次方程的通解。
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法[摘要]微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法.而一阶微分方程作为微分方程的基础问题，是解决其他问题的重要环节.本文总体分为两个环节：第一部分介绍了一阶显式微分方程的多种解法，深入讨论了可分离变量的方程，可化为变量可分离方程的齐次方程，一阶线性微分方程，恰当方程，积分因子法这些特殊类型.本文的另一部分介绍了一阶隐式微分方程的多种结合，结合可解出y，结合可解出x，不显含y的隐式方程，不显含x的隐式方程这四类特殊的情况进行探讨.文章的最后一部分则是选取了一阶微分方程的四类非常特殊的微分方程，给出了各种通解.[关键词]显式微分方程，可分离变量，一阶线性微分方程，齐次方程，隐式微分方程The Method for First-order Differential EquationsStudent: Wu Tao , School of Information and MathematicsTutor: Wu Haitao , School of Information and Mathematics[Abstract]Differential equations is the most basic mathematical theory and methods to study the natural sciences and the social sciences things, objects and phenomena movement, evolution and variation.The first order differential equations as a basis for the problem, and is an important part of solving other problems.This paper is divided into two areas overall：The first part introduces many kinds of solutions of differential equations of first-order explicit, it discusses the Variable separable equation in depth,The homogeneous equation can be separated equations for variables,First order linear differential equations,The appropriate equations ,Integral factor method,and so on.Another part of the article describes the combination of a variety of first-order differential equations implicit, Y can be solved in conjunction, X can be solved in conjunction, The implicit equation without Y, The implicit equation without X, These four kinds of special cases are discussed in this paper.The last part of the article is selected four kinds of differential equations of first order differential equation is very special, It gives the general solution.[Keywords]Explicit differential equation,Separable variables,First order linear differential equations,Homogeneous equation,Implicit differential equation.一阶常微分方程的解法1前言微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解.后来瑞士数学家欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论.常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的.数学的其他分支的新发展，如复变函数都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律.后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置.这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量.2选题背景2.1研究目的与意义一阶常微分方程解法就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题，能用这种方法求解的微分方程称为可积方程. 随着常微分方程在实际生产、生活中表现出重要的应用性，因此，研究常微分方程的解题方法也变得十分必要.本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量分离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解.而且常微分方程就形式种类而言多不胜举，在涉及具体的常微分方程求解问题时应本着抓住特点、拓宽思路、灵活处理的原则, 找出解题的切入点，逐步推进，一举突破.常微分方程因其广泛的应用性而受到科学技术领域的普遍关注和高度重视．但许多常微分方程教材都存在明显的对各类型方程求解的孤立技巧与方法的汇编倾向，许多内容的联系比较松散．面对这种情况，在教学中特别需要把握好教学方法和切实突出课程中的基本思想和方法，使学生在学习中能得到应有思维训练．尤其是一阶常微分方程是非常重要的一类方程，它作为常微分方程的基础内容之一，具有完整的系统理论和丰富的实际背景，学好该内容对提高学生学习后继内容的积极性和思维能力具有重要奠基作用．2.2国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向本文讨论的求解一阶常微分方程的，在教材体系和知识逻辑上具有较好的承前性．同时，方法的具体运用过程较常数变易法简洁明了，符合学生认知规律．它在思想上很好地体现了变换化归的思想，讲授它对突出课程的思想方法教学具有重要作用．而在方法的功能上，它不仅能解决当前的线性方程问题，而且在解决非线性方程方面同样具有重要作用．讨论这些方法的应用对拓展学生思维能高其数学素养具有很好作用．但在教学实践中，考虑到公共数学课面对的学生基础和教学目的的局限性，当只能讲授常数变易法，其余两法只作说明而不能具体涉及，以此扩大学生知识视野而又不增加教学难度．但对专业教学则可作必要拓展．个人实践是以讲授常数变易法为主，函数变换法为辅，将其列为课堂讨论题目并作具体推导，但讲而不要求．对积分因子法，则只作为学生思考题目给出，并作适当的提示，让有兴趣和学有余力的学生思考．对教材作这样处理，能在不增加教学难度的情况下，既可突出重点又能较好地分化难点，有利于拓展学生知识视野、激发学生学习兴趣和提高学生对数学的理解能力．微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法.微分方程也就成了最有生命力的数学分支.常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法.因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多烦人应用于社会科学的各个领域.常微分方程在很多学科领域内有着重要的作用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等等，这些问题都可以化为求微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题.2.3主要研究内容，重点研究的关键问题及解决思路本文主要解决了三个问题：（1）一阶微分方程的基本知识和性质；（2）一阶微分方程的解法；（3）一阶微分方程解法的应用举例.一阶微分方程的解法，关键和解题思路即把微分方程的求解问题化为积分问题，其解的表达式由初等函数或超越函数表示.3 一阶显式微分方程的解法3.1 可分离变量的方程如果微分方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=中的函数(,)P x y 和(,)Q x y 均可表示为x 的函数与y 的函数的乘积，则称该方程为变量分离的方程.解法 令11(,)()(),(,)()()P x y X x Y y Q x y X x Y y == 于是11()()()()0X x Y y dx X x Y y dy += 若11()()0X x Y y ≠时，有11()()0()()X x Y y dx dy X x Y y += 即11()()()()X x Y y dx dy C X x Y y +=⎰⎰，其中C 为任意常数 当1()0X x =或1()0Y y =时，也是方程的解. 下面结合几种特殊的情况来进行求解[1].1. 形如 )()(y g x f dx dy= 当0)(≠y g 时，得到dx x f y g dy)()(=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解.例1 2dy x dx y=解 由2dy x dx y=可知：3220()032x y x dx ydy d -=⇒-=于是321132x y C -=即3223x y C -=，其中C 为常数. 2. 形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M当0)()(≠y N x P 时，可有dy y N y Q dx x P x M )()()()(=，两边积分可得结果；当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=）x P 时，0x x =为原方程的解. 例2 22(1)(1)0x y dx xydy +-+=解 当2(1)0x y -≠时，用它除方程的两断，即得等价的方程22101x ydx dy x y ++=- 再积分上式，有2221ln ln 1x x y C ++-=，其中1C 为任意常数即2221x x e y C -=1(0)C C e =≠ 而0x =或1y =±都是方程的解于是方程的解为2221x x e y C -=，C 为任意常数.3.2 可化为变量可分离方程的齐次方程如果微分方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=中的函数(,)P x y 和(,)Q x y 都是x 和y 的同（例如m 次）齐次函数，即：(,)(,),(,)(,)m m P tx ty t P x y Q tx ty t Q x y == 则称微分方程为齐次方程.其等价定义为()dy yg dx x=解法 令y ux =，其中u 为新的未知函数，x 仍为自变量，则(,)(,)(,),(,)(,)(,).mmP x y P x xu x P x u Q x y Q x xu x Q x u ⎧==⎪⎨==⎪⎩ 于是1[(1,)(1,)](1,)0m m x P u uQ u dx x Q u du +++=这是一个变量分离方程.下面结合几种具体的类型进行求解[3]：1.形如)(xyg dx dy =解 令x yu =，则udx xdu dy +=代入得到)(u g u dx dux =+为变量可分离方程 得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x xyf =.2.形如)0(),(≠+=ab by ax G dxdy解 令by ax u +=，则bduadx dy +=代入得到)(1u G badx du b =+为变量可分离方程 得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+. 3.形如)(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解 若02211=b a b a ，则121221120a a a b a b b b λ-=⇒== 于是221222()a x b y c dyf dx a x b y c λ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭转化为)(by ax G dxdy+=，下同1； 若02211≠b a b a ，⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a 的解为),(00y x 令⎩⎨⎧-=-=00y y v x x u ，则)()()(22112211u v g u v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv =++=++=，下同2； 4. ()()0yf xy dx xg xy dy +=只需令u xy =，利用上面类似的方法可求； 5. 2()dyx f xy dx= 只需令v xy =，22),(xyw x y xf dx dy ==，利用上面类似的方法可求； 6. (,)()(,)()0M x y xdx ydy N x y xdy ydx ++-=只需令cos ,sin x r y r θθ==，利用上面类似的方法可求； 例325--+-=y x y x dx dy 解 令2--=y x u ，则du dx dy -=，代入得到uu dx du 71+=-，有所以)(722为常数C C x u +-=把u 代入得到)(7222为常数）（C C x y x =+--例41212+-+-=y x y x dx dy 解 由⎩⎨⎧=+-=+-012012y x y x 得到⎪⎩⎪⎨⎧=-=3131y x令⎪⎩⎪⎨⎧-=+=3131y v x u ，有⎩⎨⎧==du dx dv dy 代入得到uvu v v u v u du dv 21222--=--= 令uvt =，有udt tdu dv +=代入得到ttdu dt u t 212--=+，化简得到 )1(2)1(22221222t t t t d dt t t t u du +-+--=+--= 有)(2)1ln(ln 2为常数C C t t u ++--=所以有)(1121C e C t t C u ±=+-=，故代入得到)0(,31313131131121≠⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++--=+C x y x y C x3.3 一阶线性微分方程方程()()dyP x y Q x dx+=叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的).如果()0Q x =，则方程称为齐次的；如果()Q x 不恒等于零，则方程称为非齐次的.解法一（积分因子法） 首先，我们讨论对应的齐次方程()0dyP x y dx+=的通解问题[2].若0y ≠，分离变量得()dyP x dx y=- 两边积分得()P x dxy Ce -⎰=其次，求解非齐次方程()()dyP x y Q x dx+=，则()()dy P x ydx Q x dx += 于是()()()()()P x dxP x dxP x dxe dy e P x ydx e Q x dx ⎰⎰⎰+=则()()()()P x dxP x dxd e y d Q x e dx ⎰⎰=⎰即()()(())P x dxP x dxy e C Q x e dx -⎰⎰=+⎰，其中C 为任意常数解法二（常数变易法） 首先求得齐次方程()0dyP x y dx+=的通解为 ()P x dxy Ce -⎰=于是令()()P x dxy C x e -⎰=为非齐次方程()()dyP x y Q x dx +=的解. 代入得：()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dx dC x e C x P x e P x C x e Q x dx---⎰⎰⎰-+= 于是()()()P x dx dC x Q x e dx⎰= 即()()()P x dxC x Q x e dx C -⎰=+⎰于是非齐次方程()()dyP x y Q x dx+=的解为 ()()()()P x dxP x dxP x dxy Ce e Q x edx ---⎰⎰⎰=+⎰，其中C 为任意常数解法三（利用解的性质）设()P x dxh y Ce -⎰=为齐次方程()0dyP x y dx+=的通解，p y 为对应的非齐次方程()()dyP x y Q x dx+=的一个特解，则方程的通解为 h p y y y =+例6 1)1()1(++=-+n x x e ny dxdyx 解 化简方程为：n x x e y x n dx dy )1(1+=+-，则;)1()(,1)(n x x e x Q x nx P +=+-= 代入公式得到n dxx ndxx P x ee x -1)()1()(+=⎰=⎰=+-μ所以)()()1(])1()1([)1()(为常数C C e x C dx x e x x x y x n n x n n ++=++++=⎰- 例7315dyy dx-= 解 易知方程的一个特解为5y =-对应的齐次方程的通解为3x y Ce =于是方程的通解为35x y Ce =-，其中C 为任意常数3.4 恰当方程考虑对称形式的一阶微分方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=，如果存在一个可微函数(,)x y Φ，使得它的全微分为(,)(,)(,)d x y P x y dx Q x y dy Φ=+ 亦即它的偏导数(,),(,)P x y Q x y x y∂Φ∂Φ==∂∂ 则称该方程为恰当方程或全微分方程.解法 先判断是否是恰当方程： 如果有x y x N y y x M ∂∂=∂∂),(),(恒成立，那么原方程是个恰当方程，找出一个 ),(),(),,(),(.),,(y x N yy x G y X M x y x G ts y x G =∂∂=∂∂, 有)(,),(为常数C C y x G =；例8 0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x解 由题意得到，322246),(,63),(y y x y x N xy x y x M +=+= 由xNxy y M ∂∂==∂∂12得到，原方程是一个恰当方程； 下面求一个),(),(),,(),(.),,(y x N yy x G y X M x y x G t s y x G =∂∂=∂∂ 由2263),(),(xy x y X M xy x G +==∂∂得)(3),(223y y x x y x G ϕ++=，两边对y 求偏导得到32246)(6y y x y y x yG+='+=∂∂ϕ，得到34)(y y ='ϕ，有4)(y y =ϕ， 故42233),(y y x x y x G ++=，由0=dG ， 得到)(,34223为常数C C y y x x =++3.5 积分因子法方程(,)(,)0,(,),..0M x y dx N x y dy x y s t Mdx Ndy μμμ+=∃+=是一个恰当方程，那么称),(y x μ是原方程的积分因子；积分因子不唯一.定理 2.5.1 当且仅当)(x NxNy M ϕ=∂∂-∂∂，原方程有只与x 有关的积分因子，且为⎰=dxx e y x )(),(ϕμ，两边同乘以),(y x μ，化为恰当方程，下同2.4[4].定理2.5.2 当且仅当)(y MxNy M φ=-∂∂-∂∂，原方程有只与y 有关的积分因子，且为⎰=dyy e y x )(),(φμ，两边同乘以),(y x μ，化为恰当方程，下同2.4[4].性质2.5.1 齐次方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=有积分因子1u xP yQ =+证明 作变换y ux =，由(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=是齐次方程，则1(,)(,)()[(1,)(1,)](1,)0m m m P x ux dx Q x ux udx xdu x P u ux Q u dx x Q u du +++=++= 两边同乘111[(1,)(1,)]m xP yQ x P u uQ u +=++，则有 1(1,)(1,)ln 0(1,)(1,)(1,)(1,)Q u Q u dx du d x du x P u uQ u P u uQ u ⎛⎫+=+= ⎪++⎝⎭⎰ 显然为全微分例9 02)3(2=++xydy dx y e x解 由xy y x N y e y x M x 2),(,3),(2=+=得y y y xNy M 426=-=∂∂-∂∂且有xx N x Ny M 2)(==∂∂-∂∂ϕ，有22),(x e y x dx x =⎰=μ 原方程两边同乘2x ，得到,02)3(322=++ydy x dx y e x x 化为0))22((232=++-y x e x x d x得到解为)(,)22(232为常数C C y x e x x x =++-例10 0)(3=+-dy y x ydx解 由题意得到，)(),(,),(3y x y x N y y x M +-==，有2)1(1=--=∂∂-∂∂xNy M 有yy M xNy M 2)(-==-∂∂-∂∂φ，有22)(),(--=⎰=⎰=y e e y x dy y dy y φμ原方程两边同乘2-y ，得到0)2()(22=-=--+yy x d dy y y x y dx 得到原方程的解为)(,22为常数C C y y x =- 例11dy x ydx x y+=- 解 ()()0x y dx x y dy +--=为齐次方程 由性质2.5.1可知：积分因子2211()()u x x y y x y x y ==+--+于是22220xdx ydy xdx ydyx y x y+--=++ 即221ln()arctan ln (0)2yx y C C x+-=>arctanyxCe=，其中C 为任意正常数4 一阶隐式微分方程的概念与求解思路4.1 定义没有就dy dx解出的形如(,,)0dyF x y dx =的方程我们称为一阶隐式微分方程.4.2 求解思路如果能从方程(,,)0dy F x y dx =中解出dydx那么求解方程就可以归纳到一个或者几个一显式微分方程，求解这些解，就可以得到方程(,,)0dyF x y dx=的解.一般来说，很难从方程(,,)0dy F x y dx =中解出dy dx ，或者即使解出dydx，而其表达式也是极其复杂的，下面介绍的就是不解出dydx，采用引进参数的方法使之变成导数已解出的方程类型，这里主要有以下四个类型：1.(,)dy y f x dx =2.(,)dyx f y dx =3.(,)0dy F x dx =4.(,)0dyF y dx=4.3 常见类型[6]4.3.1 可解出y 的隐式方程(,)dyy f x dx= 如果从方程(,,)0dyF x y dx=中可以解出y ，那么就可以得到第一种类型 (,)dyy f x dx=在这里假设函数y =(,)dyf x dx有关于,x y 有连续的偏导数.引入参数dyp dx=，则原方程变为y =(,)f x p将上式两边对x 求导数，并以p 代替dydx，这样可以得到()(),,f x p f x p dpP x p dx∂∂=+∂∂ 该方程是关于,x p 的一阶显方程如果求的该方程的通解为(,)p x C ϕ=将它代入(,)y f x p =，这样得到原方程的通解为(,(,))y f x x C ϕ= （C 为任意常数）如果，方程()(),,f x p f x p dpP x p dx∂∂=+∂∂还有解 ()p u x =把上式代入到(,)y f x p =，那么就得到原方程的相应解(,())y f x u x =如果能求得方程()(),,f x p f x p dpP x p dx∂∂=+∂∂的通解 (,,)0F x p C =将它和(,)y f x p =结合，就能得到原方程参数形式的通解(,,)0(,)F x p C y f x p =⎧⎨=⎩其中p 是参数，C 是任意常数，如果方程()(),,f x p f x p dpP x p dx∂∂=+∂∂还有解(,)0G x p =将它和(,)y f x p =结合，这样得到方程相应的参数形式的解(,)0(,)G x p y f x p =⎧⎨=⎩ 其中p 为参数.根据上面讨论，为了求解方程(,)dy y f x dx =,我们引进参数dyp dx=，通过对x 进行求导数，从而消去y ，把问题简化成求解关于x 与p 的一阶显示方程，我们这种方法称为微分法.例1 解方程：1dyx y dx=++ 解 原方程是就dydx解出的一阶线性方程，当然可以按其解法求解.在这里，可以把它当作可就y 解出的方程来求解. 原方程就y 解出可得1dyy x dx=-- 令dyp dx=，则可得：1y p x =-- 对上式两边关于x 求导，用dyp dx =代入则可得1dp p dx =- 也就是1dp p dx=+1.当10p +≠时，分离变量，可得1dpdx p =+ 两边同时积分可得ln 1ln p x C +=+ （C 为不等于0的常数）或 l n 1p x C +=+ （C 为任意常数） 即1ln 1x p Ce x p C =-=+-或将上面两个式子代入到1y p x =--可得(2)x y Ce x =-+ （C 为不等于0的任意常数）或ln 11y p p c =-++- （c 为任意实数） 2.当10p +=有：1p =-把它代入到1y p x =--可得：(2)y x =-+ 根据1、2即可知，原方程通解为：(2)x y Ce x =-+（C 为任意常数）其参数形式的通解可表示为：ln 1ln 11x p Cy p p C ⎧=+-⎪⎨=-++-⎪⎩（1p ≠，参数；C 为任意常数） 及(2)y x =-+ 例2 求解方程''1y xy y =+解 该方程克莱罗方程，''20p xp p =-，'0p =，21x p =所以该方程有通解：1y Cx C =+ 以及特解： 211x p y p x p ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去参数p ，得到原方程的奇解：24y x = 所以该方程通解是直线族：1y Cx C =+，而奇解是通解的包络：24y x =. 4.3.2 可解出x 的隐式方程(,)dy x f y dx= 对于可解出x 的方程的第二种类型(,)dy x f y dx= 该方程的求解方法和方程(,)dyy f x dx=的求解方法基本完全类似，这里，我们可以假定函数(,)dy x f y dx =有关于,dyy dx 的连续偏导数.引进参数dyp dx= ，则原式可变为 (,)x y p =将上式两边对y 求导数， 并以1dx dy p=代入，可得 1f f dp p y p dy∂∂=+∂∂该方程是联系,y p ，并且可以根据dpdy解出的一阶微分方程，因此可以按照前面的方法来求解.如果求的方程1f f dpp y p dy∂∂=+∂∂的通解形式： (,)p w y C = （C 为任意常数）则原方程(,)dyx f y dx=的通解为： (,(,))x f y w y C = （C 为任意常数）如果求的方程1f f dpp y p dy∂∂=+∂∂的通解形式为：· (,)y v p C =（p 为参数，C 为常数）则原方程(,)dyx f y dx=的通解为： ((,),)(,)x f v p C p y v p C =⎧⎨=⎩（p 为参数，C 为常数） 如果求的方程1f f dpp y p dy∂∂=+∂∂的通解形式为： (,,)0y p C Φ=则方程(,)x y p =的参数形式的通解为：(,)(,,)0x f y p y p C =⎧⎨Φ=⎩（p 为参数，c 为任意常数） 例3 解方程：3220dy dy y x y dx dx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭解 在这里我们可以把原方程当作可就x 解出的方程来求解，因此就有.2222dy y y dx x dy dx⎛⎫ ⎪⎝⎭=-令dyp dx=，则可得： 2222y y p x p =-对上式两边关于y 求导，用11dx dy dy pdx ==代入整理可得 3(12)0dp p yp dy y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭由0dp pdy y+=，可以求得上式的通解 C p y=， 将它代入到方程2222y y p x p =-，整理后可得原方程通解 232y Cx C =+再由312yp +=0可得3(12)0dp p yp dy y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭的特解312y p=-原方程的参数表示的特解为433812x p y p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩4.3.3 不显含y 的隐式方程如果从几何的观点来看，微分方程(,,)0dyF x y dx=的解是平面xOy 的一条曲线，它可以用直角坐标系来表示，同样也可以用参数坐标来表示，微分方程的解也可以用参数坐标来表示.对于方程(,,)0dyF x y dx=，若其左端不显含y ，即第三种类型 (,)0dyF x dx=在方程(,)0dy F x dx =中，记dyp dx=.由于不显含y ，我们不妨把方程看作代表平面'xOy 上的一条曲线，这样就可以用某种适当的参数来表示该曲线：()()x t dyt dxϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩ 这里t 为参数. 而沿方程(,)0dyF x dx=的任意一条积分曲线上均满足积分的基本关系dy dy dx dx =，将()()x t dy t dxϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩代入该基本关系式可得 '()()dy t t dt ψϕ=两边积分可以得到'()()y t t dt C ψϕ=+⎰于是可以得到(,)0dyF x dx=的参数形式通解为 '()()()x t y t t dt Cϕψϕ=⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰ 例4 求解方程2330.dy dy x x dx dx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭解 令dytx dx=，则代入原方程可得 331tx t =+从而可得2331dy t dx t =+ 由dydy dx dx=，可得32339(12)(1)t t dy dt t -=+ 对其积分，可得32333329(12)314(1)2(1)t t t y dt C t t -+==+++⎰ 因此方程的通解的参数形式为3332313142(1)t x t t y C t ⎧=⎪+⎪⎨+⎪=+⎪+⎩4.3.4 不显含x 的隐式方程对于不含x 的隐式方程(,)0dyF y dx= 其求解方法和(,)0dy F x dx =的方法基本类似，在这里记dy p dx=， 引入参数t ，将方程表为适当的参数形式()()y t p t ϕψ=⎧⎨=⎩根据关系式dy pdx =可得'()()t dt t dx ϕψ=由此得''()(),,()()t t dx dt x dt C t t ϕϕψψ==+⎰这样就可以得到方程(,)0dyF y dx=的参数形式通解 '()()()y t t x dt C t ϕϕψ=⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰ 此外，容易验证，若(,0)0F y =有实根,y k y k ==则也是方程的解. 例5 求解隐式方程2211dy y dx ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解法 1 由原方程可解出dydx，有dy dx=± 若210y -≠，分离变量可得dx =对它进行积分，则x C =可得原方程通解为22()1y x C --=同时根据210y -=，可知1y =±也是原方程的解.解法 2 方程是不显含x 的隐式方程，可令cos dyt dx=，将其代入到原方程中可解出csc y t =±，这样在0dy dx ≠的情况下，由'dydx y=可得： 2sec (csccot)csc .dx t dt tdt ==积分可得cot ,x t C =±+原方程通解的参数形式为cot csc x t Cy t =±+⎧⎨=±⎩消去参数t ，则可得方程的隐式解2()1y x C --=. 另外，当0dydx=是，由原方程可得21y =，因此方程的解还有1y =±. 解法 3 令dyp dx=，代入原方程可得y =若0dydx≠，由dy dx dy dx=可得3221.(1)dx dp p =±+-积分可得x C =+,可知原方程同通解的参数方程为x C y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数可得隐式解22()1y x C --=，此外根据0dydx=也可得到解 1.y =±解法 4 令21,dy t dx y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，代入原方程可得1y t =并且同时可以得到dy dx =若0dydx≠， 由dy dx dy dx=可得dx =对其积分可得x C t=±+，则原方程通解为1x C t y t ⎧=±+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 消去参数，则可得到和前面相同两种方法所得到的相同的隐式解.另外，当0dydx=时，有解1y =±.由例题5的几种解法，我们可以知道，根据入参数的方法差异，得到的解的形式一般也有所不同，但他们包含的解却是相同的.通常说来，只需消去参数t 或p ，就可以转化为方法1得到的通解的参数形式.5 几类特殊的一阶微分方程求解5.1 含有周期的一阶线性方程考虑方程()()dyp x y q x dx+=，其中()p x 和()q x 都是以0ω>为周期的连续函数，则1.若()0q x =，则方程()()dyp x y q x dx+=的任一非零解以ω为周期，当且仅当函数 ()p x 的平均值01()0dp p x dx ωω==⎰；2.若()q x 不恒为零，则方程()()dyp x y q x dx+=有唯一的ω周期解，当且仅当0p ≠，且此解可求[7].证明1.当()0q x ≡时，此时方程的任一非零解为0()()(0)xx p s dsy x CeC -⎰=≠以ω为周期，当且仅当00()()()()()x xx x p s dsp s dsy x y x Ce y x Ceωω+--⎰⎰=+===当且仅当000()()()()()x x x xx x x xx xp s dsp s ds p s dsp s dsp s dseeee ωωω+++-----⎰⎰⎰⎰⎰==⋅当且仅当0()()()()()1x x xxp s dsp s ds p s ds p s dsp s dse e e ωωωωω++-----⎰⎰⎰⎰⎰===当且仅当01()0dp p x dx ωω==⎰2.由题可知：方程的通解为0()()0()xxs x p s ds p t dt y Ce q s e ds --⎰⎰=+⎰ 选择常数C 使得()y x 成为ω周期函数，即()()y x y x ω+=下证：对任意的x ，()()y x y x ω+=只需()(0)y y ω= 事实上，由于()y x 是方程的解，且()(),()()p x p x q x q x ωω+=+= 于是()y x ω+是方程的解因此，函数()()()u x y x y x ω=+-是相应齐次方程()0dup x u dx+=的解 由于()(0)y y ω=则(0)0u = 由性质可知：()0u x ≡ 即()()y x y x ω+= 又由于()(0)y y ω=，则0()0()1()1sp t dtp s dsC q s e ds e ωωω--⎰=⎰-⎰则00()()()0()()()1xxss p s ds xp t dtp t dtp s dse y q s e ds q s e ds e ωωω----⎰⎰⎰=+⎰-⎰⎰⇐若0p ≠，令0()0()1()1sp t dtp s dsC q s e ds e ωωω--⎰=⎰-⎰于是00()()()0()()()1xxss p s dsxp t dtp t dtp s dse y q s e ds q s e ds e ωωω----⎰⎰⎰=+⎰-⎰⎰为方程的ω周期解若1y 也是方程的ω周期解，令1z y y =-于是z 为()0dzp x z dx+=的ω周期解 若0z ≠，则z 为()0dzp x z dx+=的非零ω周期解由1可知：0p =矛盾 于是方程的ω周期解的唯一性⇒若0p =，则()0()0sp t dtq s e ds ωω-⎰=⇒⎰C 可以任选于是ω周期解不唯一；()0()0sp t dtq s e ds ωω-⎰≠⇒⎰C 无解于是ω周期解不存在5.2 Bernoulli 方程定义：形如n y x Q y x P dxdy)()(=+称为Bernoulli 方程. 解法：令ny u -=1，有dy y n du n --=)1(，代入得到)()1()()1(x Q n u x P n dxdu-=-+，这是关于u 的一阶线性方程. 例1 26xy xy dx dy -=解 令1-=y u ，有dy y du 2--=，代入得到x u x dx du =+6，则x x Q xx P ==)(,6)(， 有6)()(x e x dx x P =⎰=μ，)(,8][)(6266为常数C x C x C xdx x x x u +=+⋅=⎰-，把u 代入得到)(,8162为常数C x C x y +=5.3 Clairaut 方程定义：一般我们把形如：''()y xy y ϕ=+的方程称为克莱罗方程，它是关于y 可以解出的一阶隐式方程，其中()z ϕ二阶连续可微，且"()0z ϕ≠.解法：可以利用微分法求解该方程，令'y p =，并对x 求导数可得'()dp dp p p xp dx dxϕ=++ 即('())0dpx p dxϕ+= 当0dpdx =时，有p C =，因此通解为 ()y Cx C ϕ=+当'()0x p ϕ+=时，可得克莱罗方程一个特解''()()()x p y p p p ϕϕϕ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩通解()y Cx C ϕ=+是一族直线5.4 里卡蒂方程定义：)()()(2x R y x Q y x P dxdy++= 解法：先找出一个特解)(0x y ，那么令z y y 10+=，有dxdz z dx dy dx dy 201-=，代入原方程得到)()1)(()1)((102020x R z y x Q z y x P dx dz z dx dy ++++=-， 化简得到0)())()(2(0=+++x P z x Q y x P dxdz为一阶线性微分方程，解出为常数C C x x z ),,()(ϕ=那么原方程的通解为为常数C C x y y ,),(10ϕ+=例2 0)2(22=-+'xy y x解 我们可以找到一个特解xy 10=，验证：201x y -='，代入满足原方程.令z x y 11+=，dxdz z x y 2211--=' 代入有0)2)11(()11(2222=-++--zx x dx dz z x x ， 化简得到，12=+z xdx dz ，所以有 为常数C xCx C dx eex z dxx dxx ,3][1)(222+=+⎰⎰=⎰ 所以原方程的解为为常数C xC x x y ,3112++=几类特殊的一阶微分方程求解或 xy 1参考文献[1]张谋，舒永录，张万雄主编.常微分方程[M].重庆市：重庆大学出版社.2011. [2]张晓梅，张振宇，迟东璇主编.常微分方程[M].上海市：复旦大学出版社.2010. [3]张伟年，杜正东，徐冰编.常微分方程[M].北京市：高等教育出版社.2006. [4]肖淑贤.常微分方程[M].武汉市：华中科技大学出版社.2008. [5]王兴涛编.常微分方程[M].哈尔滨市：哈尔滨工业大学出版社.2003. [6]潘家齐主编.常微分方程[M].北京市：中央广播电视大学出版社.2002. [7]丁同仁，李承治编.常微分方程教程[M].北京市：高等教育出版社.2004.[8]黄公瑾.应用变量代换的思想解一阶微分方程[J].课程教育研究(新教师教学),2013,(第2期).[9]白福梅.一类一阶微分方程初等解法的分析研究[J].山西农业大学学报(自然科学版),2012,(第5期).[10]于烊.一阶微分方程的应用研究[J].新课程学习(下),2011,(第2期).[11]何莲花.一阶微分方程的周期解[J].贵州师范大学学报：自然科学版,2011,(第3期). [12]刘连福.一类一阶微分方程的通解及应用[J].黄石理工学院学报,2011,(第4期).。
一阶微分方程的初等解法总结
二、积分因子法
若存在连续可微函数 ( x, y) 0 , 使 为全微分方程, 则称 ( x, y )为原方程的积分因子. 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 积分因子.
1) d x d y d ( x y )
2 2 ( x y )) 3) xd x yd y d ( 1 2
u e
即
P( x) d x
P( x) u e
P( x) d x
P( x) u e
P( x) d x
Q( x)
两端积分得
P( x) d x u Q( x) e dx C
P( x) d x
P( x) d x Q ( x ) e d x C 故原方程的通解 y e P( x) d x P( x) d x P( x) d x e dx y Ce 即 Q( x) e
积分后再用
代替 u, 便得原方程的通解.
y 解法: 令 u , x
dy P( x) y Q( x) 一阶线性微分方程标准形式: dx 若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
3 一阶线性微分方程
1. 解齐次方程
分离变量
dy P( x) y 0 dx
dy f ( x)dx, 这样变量就“分离”开了. y) f ( x)dx C
即得方程的通解.
2 齐次方程
形如 的方程叫做齐次方程 .
du (u ) 代入原方程得 u x dx du dx 分离变量: (u ) u x du dx 两边积分, 得 (u ) u x
5 全微分方程
一阶常微分方程初等解法研究
一阶常微分方程初等解法研究1. 分离变量法：对于形如 dy/dx = f(x)g(y) 的方程，如果可以将变量 x 和 y 分离出来，即可写成 dx/f(x) = dy/g(y)，然后对两边同时积分即可得到方程的解。
2. 齐次方程：对于形如 dy/dx = f(y/x) 的方程，我们可以令 v = y/x，然后通过代换和分离变量的方式将其转化为一阶线性方程，进而求解。
3. 线性齐次方程：对于形如 dy/dx + p(x)y = 0 的方程，我们可以通过乘以一个积分因子来将其转化为可分离变量的形式，进而求解。
4. 一阶线性方程：对于形如 dy/dx + p(x)y = q(x) 的方程，可以通过乘以一个积分因子来将其转化为一阶线性常微分方程组的形式，然后通过求解常微分方程组得到原方程的解。
5. 可分离变量的方程：对于形如 dy/dx = f(x)g(y) 的方程，如果可以将变量 x 和 y 分离出来，即可写成 dx/f(x) = dy/g(y)，然后对两边同时积分即可得到方程的解。
以上是一阶常微分方程的初等解法研究。
这些方法广泛适用于各种类型的一阶常微分方程，能够通过简单的代数运算和积分求解方程，得到解析解。
但对于一些特殊类型的方程，可能需要借助其他方法求解，或者使用数值方法进行求解。
除了初等解法，还有一些其他的方法可以用于求解一阶常微分方程，如变量替换、常数变易法、特解叠加法等。
这些方法在特定情况下可以简化方程的求解过程，提高求解效率。
此外，对于更高阶的微分方程，可以利用一阶常微分方程的解法来进行逐步求解。
总结起来，一阶常微分方程初等解法的研究可以帮助我们理解微分方程的性质和求解方法，掌握这些解法对于解决实际问题和推导其他微分方程的解法都具有重要意义。
因此，研究一阶常微分方程的初等解法有着广泛的应用价值。
2. 初等积分法
z = y1−n
得
dz dx
=
(1 − n)P (x)z
+
(1 − n)Q(x)
(2.18)
这是关于z与x的一阶线性方程。利用线性方程的通解公式求出通解后，再将z = y1−n代
回，便得Bernoulli方程的通解。
注2 如果n > 0，则y = 0也是Bernoulli方程的一个解。
【例12】
求方程
第二章 初等积分法
本章，介绍一阶微分方程的初等积分法。所谓初等积分法，是将微分方程的求解问 题转化为积分问题的方法。
2.1 分离变量法
分离变量法是一种直接求解的方法，是解微分方程的重要方法之一。
定义
2.1
如果一阶微分方程
dy dx
= f (x, y)中的函数f (x, y)可以写成f (x, y) = g(x)h(y)
1 − y2
求解方法：变量替换法 令
u
=
y x
(2.4)
则u是x的函数。为了消去y，将(2.4)变形为y = xu，再两边同时对x 求导，得
dy dx
=
d(xu) dx
=
u
+
x
·
du dx
结合方程(2.3)，有 即
u
+x
·
du dx
=
f (u)
du dx
=
f (u) − u x
(2.5)
这是关于u与x的变量分离方程。按2.1的方法求解，然后再将
dy dx
=
f
(
k(a2x + b2y) + c1 (a2x + b2y) + c2
)
常微分方程第二章 一阶微分方程的初等解法
du dx 1u2 x
两边积分得: ln u 1 u2 ln x ln c
整理后得 u 1 u2 cx
变量还原得 y 1 ( y )2 cx
x
x
du dx 1u2 x
最后由初始条件 y(1) 0,可定出c 1.
故初值问题的解为 y 1 (x2 1) 2
可2、化d为y 变a量1x 分b1 y离 方c1 法
由对数的定义有
y e p( x)dxc1
y e p( x)dxc1
即
y ec1e p(x)dx ce p(x)dx.
此外y 0也是方程的解,若在上式中充许c 0, 即知y 0也包括在上式中,
故方程的通解为
y ce p(x)dx , c为任常数.
例4
求初值问题
dy dx
y2
c os x的特解.
例：
y y sin x 0
并求满足条件的 y( ) 2 特解。
2
线性微分方程
例：
1、cos x dy y sin x cos2 x dx
二 伯努利(Bernoulli )方程
形如 dy p(x) y Q(x) yn dx
的方程,称为伯努利方程. 这里P(x), Q(x)为x的连续函数 。
故对应齐次方程通解为 y c(x 1)n
y
ce p(x)dx
ce
n dx x 1
c(x
1)n
其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,
令y c(x)( x 1)n为原方程的通解 , 代入得
dc(x) (x 1)n nc(x)(x 1)n1 nc(x)(x 1)n1 ex (x 1)n dx
解的步骤:
10
解方程组aa21xx
第二章 一阶微分方程的初等解法(12课时)
如
都是恰当方程.
M ( x , y )dx N ( x , y )dy 0 (1)
①方程(1)是否为恰当方程? ②若(1)是恰当方程,怎样求解? ③若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解?
2. 方程为恰当方程的充要条件 定理1 设函数 M ( x , y ) 和 N ( x , y )在一个区域内连续可微, 则方程
dy a1 x b1 y c1 2.形如 的方程,这里 a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 dx a2 x b2 y c2 均为常数.
分三种情形来讨论:
(1) c1 c2 0
y a1 b1 y dy a1 x b1 y x g( ) x dx a2 x b2 y a b y 2 2 x 为齐次微分方程,可化为变量分离方程.
注:求非齐次线性微分方程(1)的通解可直接用公式
p( x )dx ye (
Q( x )e
p( x )dx
). dx c
dy 3 2 y 4 x 1 例3 求初值问题 dx x 的解. y(1) 1
二、伯努利(Bernoulli)方程
dy P ( x ) y Q( x ) y n , (3) dx 的方程称为伯努利(Bernoulli)方程.这里 P ( x ), Q( x ) 是x
M ( x , y )dx N ( x , y )dy 0
是恰当方程的充分必要条件是
M ( x , y ) N ( x , y ) . y x 注:若 M ( x , y )dx N ( x , y )dy 0为恰当方程,则其通解为 M ( x, y )dx [ N y M ( x, y )dx]dy c, c为任意常数.
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目录• • • 1关键词…… (1)Abstract.................................... . (1)Keywords.................................... ..……… ..10 前..1识 (1)1 预备知识 (1)1. 1 变量分离方程........................................................ .21. 2 恰当微分方程........................................................ .21. 3 积分因子................................................. .... (2)2 基本方法.................................................... ■■ (2)2. 1 一般变量分离……………………………………………………………………… .32. 2 齐次微分方程 (3)2. 2 .1 齐次微分方程类型一………………………………………………………… .32. 2. 2齐次微分方程类型二........................ ........ (4)2. 3 常数变易法.............................. .................... (5)2.3.1常数变易法一 (5)2.3.2常数变易法二……………………… .………………………… ..…………… ..62.4 积分因子求解法....................................... .. (7)2.5 恰当微分方程求解法 (8)3 基本方法的应用 (8)3. 1 一般变量分离方程应用................................. ... . (8)3.1.1应用举例 (9)3.1.2应用举例............................. . (9)3. 2 齐次微分方程应用 (10)3.2.1类型一应用举例 (10)3.2.2类型一应用举例 (11)3.2.3类型二应用举例 (11)3.2.4类型二应用举例 (12)3.3 常数变易法应用 (13)例133.3.1常数变易法应用举0 前言3.3.2伯努利微分方程应用举14例.................3. 4利用积分因子求解............... . .............. ...……........ 1 43. 5 利用恰当微分方程求解……………………………………………. …….. … … 15参考文献…………………………… ...……………… .. …………………16一阶常微分方程初等解法摘要: 本文对一阶微分方程的初等解法进行归纳与总结,同时简要分析了变量分离,积分因子,恰当微分方程等各类初等解法.并且结合例题演示了如何把常微分方程的求解问题化为积分问题,进行求解.关键词: 一阶常微分方程;变量分离;恰当微分方程;积分因子The Fundamental methods of the first-order ordinary differential equation Abstract: In this thesis, we summarize the fundamental methods of the first-order ordinary differential equation. At the same time, we analysis the various types of fundamental methods such as the separation of variables,integrating factor and the exact differential equation. Combined with examples, we show .Key Words: first-order ordinary differential equation; separation of variables; exact differential equation; integrating factor0 前言常微分方程在微积分概念出现后即已出现,对常微分方程的研究也可分为几个阶段.发展初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解,属于“求通解”时代.莱布尼茨曾专门研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解问题,而欧拉则试图用积分因子处理.但是求解热潮最终被刘维尔证明里卡蒂方程不存在一般初等解而中断.加上柯西初值问题的提出,常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代.在20世纪六七十年代以后,常微分方程由于计算机技术的发展迎来了新的时期,从求“求所有解”转入“求特殊解”时代,发现了具有新性质的特殊的解和方程,如混沌(解)、奇异吸引子及孤立子等.常微分方程的研究还与其他学科或领域的结合而出现各种新的分支, 如控制论、种群分析、种群生态学、分支理论、泛函微分方程、脉冲微分方程等.总之,常微分方程属于数学分析的一支,是数学中与应用密切相关的基础学科,其自身也在不断发展中,学好常微分方程基本理论和实际应用均非常重要.因此本文对一阶常微分方程的初等解法进行了简要的分析,同时结合例题,展示了初等解法在解题过程中的应用.1 预备知识1. 1 变量分离方程形如, () 的方程,称为变量分离方程, ,分别是,的连续函数.这是一类最简单的一阶函数.如果,我们可将()改写成,这样变量就分离开来了.两边积分,得到,为任意常数.由该式所确定的函数关系式就是常微分方程()的解.1.2恰当微分方程将方程,写成微分的形式，得到,或把，平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程,如果方程的左端恰好是某个二元函数的全微分，即cu cuM x, y dx N x, y dy =du x, y dx dy,x :y则称方程就是恰当微分方程.1.3积分因子如果存在连续可微函数，使得x, y M x, y d^^1 i：x, y N x, y dy = 0为一恰当微分方程，即存在函数，使,则称为方程的积分因子.2基本方法2.1 一般变量分离，的方程，称为变量分离方程，，分别是，的连续函数■这是一类最简单的一阶函数.3如果，我们可将改写成3这样,变量就分离开来了.两边积分,得到这里我们把积分常数明确写出来,而把,分别理解为,的原函数.常数的取值必须保证有意义,如无特别声明,以后也做这样理解.因式不适合情形.但是如果存在使,则直接验证知也是的解.因此,还必须寻求的解,当不包括在方程的通解中时,必须补上特解2.2 齐次微分方程2.2.1 齐次微分方程类型一形如,的方程,称为奇次微分方程,这里是的连续函数.作变量变换5即,于是代入原方程可得整理后,得到因是一个变量分离方程.则可按照变量分离方法求解,然后代回原来的变量, 即可得到原方程的解2.2.2 齐次微分方程类型二形如的方程不可直接进行变量分离,但是可以经过变量变换后化为变量分离方程，这里,,,,，均为常数.可分为三种情况来讨论：（常数）的情形这时方程可化为3有通解其中为任意常数.的情形.令,这时有屯-a b dy _a b ku Gdx dx u c2是变量分离方程及不全为零的情形因为方程右端分子，分母都是的一次多项式，因此代表平面上两条相交的直线，设交点为，若令则方程可化为从而方程变为因此，求解上述变量分离方程，最后代回原方程，即可得到原方程的解.的情形此时直接变换即可2.3常数变易法2.3.1常数变易法一一阶线性微分方程其中在考虑的区间上是的连续函数，若，方程变为称其为一阶齐次线性微分方程，若称其为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程，易求得它的通解为这里是任意常数.现在讨论非齐次线性方程的通解的求法.不难看出，是特殊情形，两者既有联系又有差别，因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别，现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解，显然，如果中恒保持为常数，它们不可能是的解■可以设想在中将常数变易为的待定函数，使它满足方程，从而求出为此，令两边同时微分，得到理二牡 e PxdX cxPxe PxdX.dx dx代入原方程，得到哼心 +c(x P(x e 怦九p(x cx e 代沖+Q(x) dx即两边同时积分，得到这里是任意常数，求得到y 二e Pxdx Qxe—Pxdx dx y .就是方程的通解.这种将常数变为待定函数的方法通常被称之为常数变易法.2.3.2常数变易法二形如，的方程，称为伯努利方程，这里，为的连续函数，，是常数.利用变量变换可将伯努利微分方程化为线性微分方程■事实上，对于，用乘的3两边，得到3引入变量变换,从而代入方程，得到亠二(1 一 n)P(x)z (1 - n)Q(x)， dx这是线性微分方程，可按照前面介绍的方法来求出它的通解 ，然后代换原来的变量，便得到方程的通解. 此外，当时，方程还有解.2.4积分因子求解法函数为积分因子的充要条件是3即假设原方程存在只与有关的积分因子，则，则为原方程的积分因子的充要条 件是，即仅是关于的函数■此时可求得原方程的一个积分因子为■同样有只与 有关的积分因子的充要条件是是仅为的函数，此时可求得方程的一个积分 因子为2.5恰当微分方程求解对于一阶微分方程N ——- M-XM —=(一 :y若有,则该方程必为恰当微分方程■33下面讨论如何求得该恰当微分方程的解. 把看作只关于自变量的函数，对它积分可得 由此式可得— M (x, y)dx 丄⑶=N .y ；y dy由此可得3又因为L'\ -Tk IL'\ L 、N—[NM(x,y)dx] [ — .M(x,y)dx] :xy x .x y3故等式右边只含有，积分可得M (x, ydx)]dy ,进而可得u = M (x, y)dx 亠 i[N - ' M (x, y)dx]dy .则恰当微分方程的通解为.M (x, y)dx [ N - 一 M (x, y)dx]dy 二c , 这里是任意常数.3■基本方法的应用 3.1 一般变量分离应用举例 3.1.1应用举例例1求解方程3解将变量分离, 得到两边积分,即得, 因而,通解为■这里是任意正常数,或者解出,写出显函数形式的解■3.1.2 应用举例例2 求解方程,的通解,其中的连续函数解将变量分离, 得到,两边积分,即■这里是任意常数.由对数定义,有,即,令,得到,此外,显然也是方程的解,如果允许中允许则也就包括在中,因而的通解为,其中为任意常数.3.2齐次微分方程应用举例3.2.1 类型一应用举例例3 求解方程解这是齐次微分方程,以代入, 则原方程变为即将上式分离变量,既有两边积分,得到■这里是任意常数,整理后,得到得到此外,方程还有解■如果在中允许,则也就包括在中,这就是说,方程的通解为带回原来的变量,得到方程的通解为3.2.2 类型一应用举例例4 求解方程（）解将方程改写为, 这是齐次微分方程.以代入,则原方程变为分离变量,得到两边积分,得到的通解即当时,这里c 时任意常数.此外,方程还有解注意,此解并不包括在通解中. 代入原来的变量,即得原方程的通解为3.2.3 类型二应用举例例5 求解方程.解令,则有代入所求方程整理可得由变量分离得5故所求方程的解为3.2.4 类型二应用举例例6 求解方程解解方程组得令代入上式方程,则有再令则上式可化为5两边积分，得因此记并带回原变量，得(y 一2)22(x-1)(y-2)-(x-1)2此外容易验证,即也是方程的解，因此方程的通解为,其中为任意的常数.3.3常数变易法应用3.3.1常数变易法应用举例例7求方程的通解解原方程可改写为,即I 首先，求出齐次线性微分方程,的通解为其次，利用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解把看成,将方程两边同时微分得代入,得到,两边同时积分,即可求得■从而,原方程的通解为, 这里是任意常数.3.3.2 伯努利微分方程的求解例8 求方程的通解解这是时的伯努利微分方程.令,算得,这是线性微分方程,求得它的通解为■代入原来的变量,得到,或者, 这就是原方程的通解. 此外,方程还有解3.4利用积分因子求解例9 求解方程.解这里M二y, N二y「X,卫=1,上=_1,方程不是恰当的.cy cX因为只与有关，故方程有只与的积分因子3以乘方程两边，得到3或者写成,因而通解为3.5利用恰当微分方程求解例10 求解方程（cosx - —）dx -（丄 _-^2）dy =0. y y y 解因为，故方程是恰当微分方程.把方程重新分项组合，得到1 1 X(cosx )dx ( - 2 )dy 二 0,y y y丄丄ydx — xdyd sin x d In | y | 2 0,y或者写成于是,方程的通解为,这里是任意常数参考文献[1] 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程（第三版）[M]. 北京:高等教育出版社;. [3] 伍卓群,李勇编,常微分方程（第三版）[M], 北京：高等教育出版社,2004.[4] 杨继明,蔡炯辉;常系数非齐次线性微分方程组初值问题的求解公式[J]. 宝鸡文理学院学报（自[5] 胡建伟,汤怀民,常微分方程数值解法[M], 北京：科学出版社.1999.[6] 周义仓.常微分方程及其应用.[M] . 北京:高等教育出版社,1985.[7] 尤秉礼.常微分方程补充教程.[M] . 北京:人民教育出版社,1981.。
一阶常微分方程初等解法
一阶常微分方程初等解法摘 要: 本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量分离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解.关键词: 一阶常微分方程;变量变换;恰当微分方程;积分因子First-order Differential Equation With The PirmaryMethod For NalysisAbstract : Based on the first-order differential equations of the elementary solution of the induction and conclusion, and the separation of variables, integrating factor, equations, etc. summary analysis of various elementary solution, combined with examples the problem of solving ordinary differential equations into integral on the problem solving.Key Words: First-order differential equation;cain declined equations;variable transformation;appropriate differential equation; integrating factor1.预备知识 1. 1 变量分离方程形如()()dyf x y dxϕ= (1) 的方程，称为变量分离方程，()f x ，()y ϕ分别是x ，y 的连续函数.这是一类最简单的一阶函数．如果()0y ϕ≠，我们可将(1)改写成()()dyf x dx y ϕ=，这样变量就分离开来了.两边积分，得到()()dyf x dx c y ϕ=+⎰⎰，c 为任意常数．由该式所确定的函数关系式(,)y y x c =就是常微分方程(1)的解．1. 2 积分因子恰当微分方程可以通过积分求出它的通解．因此能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程就有很大的意义．积分因子就是为了解决这个问题引进的概念．如果存在连续可微函数(),0x y μμ=≠，使得()()()(),,,,0x y M x y dx x y N x y dy μμ+=为一恰当微分方程，即存在函数u ，使Mdx Ndy du μμ+=，则称(),x y μ为方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的积分因子． 函数(),x y μ为()(),,0M x y dx N x y dy +=积分因子的充要条件是()()M N y xμμ∂∂=∂∂， 即()M N NM x y y xμμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂． 假设原方程存在只与x 有关的积分因子()x μμ=，则0xμ∂=∂，则μ为原方程的积分因子的充要条件是()M N x y x μμ∂∂∂=-∂∂∂，即()()M Ny x x Nφ∂∂-∂∂=仅是关于x 的函数．此时可求得原方程的一个积分因子为()x dxe φμ⎰=．同样有只与y 有关的积分因子的充要条件是()()M Ny xy Mϕ∂∂-∂∂=-是仅为y 的函数，此时可求得方程(11)的一个积分因子为()y dye ϕμ⎰=1. 3恰当微分方程考虑微分形式的一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=(11)，如果该式的左端恰好是某个二元函数(),u x y 的全微分，即()()(),,,u u M x y dx N x y dy du x y dx dy x y∂∂+==+∂∂ 则称(11)为恰当微分方程． 对于一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=，若有M Ny x∂∂=∂∂，则该方程必为恰当微分方程．我们接着讨论如何求得该恰当微分方程的解．我们可以把(),uM x y x∂=∂看作只关于自变量x 的函数，对它积分可得()(),u M x y dx y ϕ=+⎰，由此式可得()(),d y u M x y dx x x dyϕ∂∂=+∂∂⎰， 又因为有(),uN x y x∂=∂，故 ()(),d y N M x y dx dy xϕ∂=-∂⎰， 对该式积分可得()(),y N M x y dx dy x ϕ∂⎡⎤=-⎢⎥∂⎣⎦⎰⎰， 将该式代入，得恰当微分方程的通解为()(),,M x y dx N M x y dx dy c x ∂⎡⎤+-=⎢⎥∂⎣⎦⎰⎰⎰． 2.基本方法2. 1一般变量分离 形如()()dyf x y dxϕ= (1) 的方程，称为变量分离方程，()f x ，()y ϕ分别是x ，y 的连续函数.这是一类最简单的一阶函数．如果()0y ϕ≠，我们可将(1)改写成()()dyf x dx y ϕ=，这样变量就分离开来了.两边积分，得到()()dyf x dx c y ϕ=+⎰⎰，c 为任意常数．由该式所确定的函数关系式(,)y y x c =就是常微分方程(1)的解．2. 2齐次微分方程2. 2. 1齐次微分方程类型一 一阶线性微分方程()(),x Q y x P dxdy+= 其中()()x Q x P ,在考虑的区间上是x 的连续函数,若Q ()0=x ,变为(),y x P dxdy= 称为一阶齐次线性微分方程,若(),0≠x Q 称为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为(),⎰=dxx P ce y这里c 是任意常数.2.2.2齐次微分方程类型二有些方程本不是可分离变量微分方程的类型，但经过变量变换可化为分离变量的微分方程．可分为三种情况来讨论:()1021==c c 的情形 这时，有=dx dy =++y b x a y b x a 2211⎪⎭⎫ ⎝⎛=++x y g xy b a x yb a 2211 因此,只要作变换xyu =,则方程就转化为变量分离方程.()22121b b a a =k =的情形. 这时方程可写为()().22222122y b x a f c y b x a c y b x a k dx dy +=++++= 令u y b x a =+22,则方程化为().22u f b a dxdu+= 这是变量分离方程.()32121b b a a ≠及21,c c 不全为零的情形 因为方程右端分子,分母都是y x ,的一次多项式,因此⎩⎨⎧=++=++.0,0222111c y b x a c y b x a 代表Oxy 平面上两条相交的直线,设交点为()βα,,若令⎩⎨⎧-=-=,,βαy Y x X 则化为⎩⎨⎧=+=+,0,02211y b x a y b x a 从而变为.2211⎪⎭⎫⎝⎛=++=XY g Y b X a Y b X a dX dY 因此,求解上述变量分离方程,最后代回原方程,,即可得到原方程的解. 2. 3常数变易法 一阶线性微分方程()(),x Q y x P dxdy+= 其中()()x Q x P ,在考虑的区间上是x 的连续函数,若Q ()0=x ,变为(),y x P dxdy= 称为一阶齐次线性微分方程,若(),0≠x Q 称为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为(),⎰=dxx P ce y这里c 是任意常数.现在讨论非齐次线性方程的通解的求法.不难看出,是的特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中c 恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数c 变易为x 的待定函数,使它满足方程,从而求出(),x c 为此,令()(),dxx P e x c y ⎰=微分之,得到()()()()().dx x P dxx P e x P x c e dxx dc dx dy ⎰+⎰= 以代入得到()()()()()()()()(),x Q e x c x P e x P x c e dxx dc dx x P dx x P dx x P +⎰=⎰+⎰ 即()()(),⎰=-dx x P e x Q dxx dc积分后得到()()(),1c dx e x Q x c dxx P +⎰=-⎰这里1c 是任意常数.将代入得到()()().1⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-c dx e x Q e y dx x P dxx P这就是方程的通解. 3.基本方法的应用3. 1. 一般变量分离应用举例 3.1.1应用举例例1 求解方程dx dy -=xy 解 将变量分离，得到xdx ydy -= 两边积分，即得22222cx y +-= 因而，通解为c y x =+22 这里c 是任意正常数，或者解出y ，写出显函数形式的解2x c y -±=3.1.2应用举例 例2 求解方程y x p dxdy)(= )3.2( 的通解，其中是)(x p x 的连续函数解 将变量分离，得到dx x p ydy)(= 两边积分，即得cdx x p y ~)(||ln +=⎰ 这里c~是任意常数。
一阶微分方程的通解
一阶微分方程的通解各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢§2一阶微分方程的初等解法第二章一阶微分方程的初等解法§变量分离方程与变量替换§线性微分方程与常数变易法§恰当微分方程与积分因子一阶微分方程的初等解法：将微分方程的求解问题化为积分问题。
§变量分离方程与变量替换人口模型dt 求解即当是一个解. dy (2)当两边积分得ln y故一、变量分离方程dy 1.变量分离方程的形式f ( x)是x的连续函数是y的连续函数.dy 2. 变量分离方程的解法先分离变量当再两边积分( x )dxdyG( y)F(P31例1) 例1 求解方程2 yy 解: 先分离变量dy再两边积分,2说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解. 或例2 求解方程解: 先分离变量再两边积分,2dydx2解得故通解为其中c为任意正常数.例3 求解方程例2)解得3即即333解: (1)当是一个解. (a当先分离变量, y xdx 再两边积分解得即( k为任意正常数) 综上, 通解为y a e为任意常数)故通解为其中c为任意常数. ( 此式含分离变量时丢失的解y = 0 )(P33例4) 例4 求解方程( x ) y, 其中P ( x )是x 的连续函数. 解: (1)当是一个解. dy (2)当先分离变量再两边积分,解得ln ydy(P42习题1(2)) 练习解方程y2dx并求满足初值条件的特解. 解当0 : 是一个解.再两边积分解得即为任意常数) 1 综上, 通解为为任意常数), 另有解当先分离变量,P ( x )dx 即为任意非零常数综上, 通解为ce ( c为任意常数): 是P44页节中的一阶齐次线性微分方程.解(2): 将代入上述通解, 可确定1 故特解为1(P34例5) 二、可化为变量分离方程的类型y 1. 齐次微分方程y例5求解方程y dy u 解: 令则故uu du 是变量分离方程. 原方程化为即udyyy解法: 通过变量替换(令化为变量分离方程.:方程中不含未知函数及其导数的项称为自由项.当即是一个解.当先分离变量,u自由项＝0时：齐次自由项≠0时：非齐次再两边积分,解得即为非零任意常数)y 综上, 通解为为任意常数)(P35例6) 例6 求解方程解: 令则故u 原方程化为是变量分离方程.dy2. 形如的方程a b2dyc22常数) 原方程即当即是一个解.当先分离变量, 1 du令此时原方程化为是变量分离方程.只需令不全为与代表两条相交直线, 交点为通过坐标平移可将交点移到原点方程化为y2ab再两边积分,2解得即当(P38例例7 求解方程解: 解方程组x可得dY , 则令化为则式u 当因X , 则2是变量分离方程.原方程化为 d X X两边取微分, 得即故0为(*)式的解. 2 故0为原方程的解当先分离变量即再两边积分,2X再令则是变量分离方程.解得ln c 即X 2 (为非零任意常数) 代回可得为非零任意常数)即则式化为2思考与练习作业习题P42 1.(2)(4)(7)变量分离方程1.(5)2.(1)(3) 可化为变量分离方程§线性微分方程与常数变易法一、一阶线性微分方程 1. 一般形式y与y 之间是线性关系.自由项(与y,y 无关的项)3.一阶非齐次线性微分方程(1)形式解法第一步: 先求对应齐次微分方程的通解为任意常数) 第二步: 将常数c变易为函数c( x ), 代入原方程确定c( x )即可得到原非齐次方程的通解.令P ( x ) dxdy2. 一阶齐次线性微分方程(1)形式为原方程的解,(2)解法分离变量法.见P33例4.通解为P ( x )dxP ( x )dx dy dc( x ) P ( x )dx 则dx代入原方程可得积分得(c为任意常数)(P45例1) dy 例1 求方程的通解. 解: 第一步: 先求对应齐次微分方程的通解.求解方程当且0, 先分离变量再两边积分得对应齐次方程的通解为n得对应齐次方程的通解为dy第二步: 将常数c变易为函数c( x ), 代入原方程确定c( x )即可得到原非齐次方程的通解.dy令为原方程( x的解, dy dc( x ) 则dc( x ) 于是有dy积分得故所求通解为为任意常数: 也可直接套公式,P ( x )dxn也可直接套公式3练习解方程习题1(1))当先分离变量再两边积分dydy练习2t x 解方程习题1(2))解: 第一步: 求解方程dx解: 第一步: 求解方程x : dtx 当先分离变量x 再两边积分得对应齐次方程的通解为得对应齐次方程的通解为第二步: 令为原方程的解,dy dc( x ) dc(x ) 则于是有积分得c( x )dy第二步: 令为原方程的解,dt则3c( t )edc( t )于是有dc( t )5t 积分得故所求通解为为任意常数 2故所求通解为ce , c为任意常数(P46例2) dy 例2 求方程y 的通解注：方程变形为二、伯努利微分方程 1.形式常数当为一阶齐次线性微分方程或变量分离方程. 当为一阶齐次线性微分方程或变量分离方程.dy关于x为非齐次线性微分方程自变量为. yx 2x 解: 第一步: 求解方程 d dyx 2 当先分离变量dyx 2 再两边积分2.解法dy (1)方程两边除以y n , 化为方程Q( x )考虑是如何得到的: 令则 d x dx . dy dy得对应齐次方程的通解为x 2x 第二步: 令为原方程的解,2 dc( y ) x 1 则y 于是有积分得) 方程可化为一阶线性微分方程 d xdc( y )(3)利用常数变易法求得通解之后再变量还原.做变量替换即可化为一阶线性微分方程求解.故所求通解为c为任意常数例如求的通解dx 2 x 2 y此为伯努利方程第一步(P48例3) dy y 例3 求方程的通解. 解: 当是一个解.dy做变量替换则d x dxdyy2当第一步: 做变量替换z则得dx即于是有 d x x第二步一阶线性微分方程常数变易法, 可得第三步第二步: 解一阶线性微分方程 d x x常数变易法, 可得8代回原变量, 得通解x3 2c x 第三步: 变量代回, 得通解 1即通解为824思考与练习作业习题P48 1.(2)(3)(4)常数变易法1.(11)(15) 伯努利方程§恰当微分方程与积分因子一、恰当微分方程 1. 预备知识(1)设u( x , y )是连续可微的函数, 则u( x , y )的全微分为2.恰当微分方程(1)定义若有函数u( x , y ), 使得du( x, y )则称M为恰当微分方程. 通解为(2)若则c .通解为(2)需要考虑的问题如何判别M ( x ,是恰当微分方程? 若是恰当微分方程, 如何求u( x , y )?若不是恰当微分方程, 能否转化?3.方程为恰当微分方程的充要条件设M ( x , y ), N ( x, y )在某矩形域内是x, y的连续函数, 且具有连续的一阶偏导数, 则方程M ( x为恰当微分方程的充要条件为已知0为恰当微分方程, 则存在二元函数u( x, y ), 使于是有y已知于是有需要构造二元函数u( x , y ), 使u于是有u这里是y的任意可微函数下面选择使解于是有于是有与x无关故于是有4. 恰当微分方程的解法(1)不定积分法第一步: 判断方程是否为恰当方程.(若是则下一步)故为恰当微分方程.第二步: 求求第三步:由(2)方法 1 : 不定积分法u( x, y )因即故第四步: 通解为于是有故通解为y练习验证方程为恰当方程, 并求其通解. 解故为恰当微分方程.(2)分组凑微法采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.: 应熟记一些简单二元函数的全微分.(书P54)x2故因即于是有2cos y 故通解为c .(P54例2) 例2 求方程的通解. 解: 方法2 : 分组凑微法方程即d( x 3 ) 3 y 2d( x 2 ) 3 x 2d( y 2 )d( y 4 ) d(3 x 2 y 2 )(P55例3) x 1 例3 求方程的通解.1 x 解故为恰当微分方程.(2)方法1:不定积分法方程即于是有故通解为3 2 2 4故y ) 因即y x 于是有故通解为6(P55例3) 1 x 例3 求方程的通解.1 x 解(P60习题1(1)) 练习验证方程( x2为恰当方程, 并求其通解. 解故为恰当微分方程.故为恰当微分方程.(2)方法2:分组凑微法x 1 方程即xdy 即d x y y2 方程即于是有故通解为(2)方法1:不定积分法因即3 2 于是有故通解为故(P60习题1(1)) 练习验证方程( x2为恰当方程, 并求其通解. 解(3)线积分法《数学分析》中曲线积分与路径无关:P 在单连通域G上连续, 若函数P ( x , y ), Q( x, y )以及则下列命题等价对G内任意一点( x ,y ), 有曲线积分与路线无关,C ( A, B )故为恰当微分方程.(2)方法2:分组凑微法方程即方程即于是有故通解为只与位于G中的始点A与终点B有关在G内存在一个函数u( x , y ), 使: 判别恰当微分方程的充要条件, 其充分性也可使用线积分证明:已知(P53例1) 例4 求方程的通解. 解: 方法3 : 线积分法首先该方程为恰当微分方程.由于M ( x, y), N ( x, y)以及在全平面上连续,则存在函数u( x, y ), 使故N ( x , y)dy 为恰当方程. y 这时, 取则( x , y) ( x, y) u( x , y)y )dy,x0 y0x x0( x0 , y0 ) xy故取则Oy y0x( x, y)故恰当微分方程的通解为线积分法步骤: 第一步: 判断方程是否为恰当方程.(若是则下一步)第二步: 取如原点(0, 0), ( x, y) 求第三步: 通解为N ( x, y)dy, 0(0,0) xy 0y( x, y)3 2 2 43 x2Ox故通解为7(P55例3) 1 x 例5 求方程的通解. 解: 方法3 : 线积分法首先该方程为恰当微分方程.由于M ( x, y), N ( x, y)以及在除去的平面上连续,二、积分因子1. 需要考虑的问题如何判别M是恰当微分方程?已经解决, 利用充要条件故取则( x, y)若是恰当微分方程, 如何求u( x , y )? 已经解决, 三种方法(不定积分法, 分组凑微法, 线积分法). 若不是恰当微分方程, 能否转化?对一些非恰当方程, 乘上一个因子后, 可变为恰当方程.(0,1) xM ( x, y )dxy 1y 1O( x, y )故通解为x2.积分因子的定义如果存在连续可微函数使得( x , y ) 为恰当方程, 则称为方程的一个积分因子.1 , 1 均为方程的积分因子. 例6 验证12 , 12 , xy x y x2书例) y 证明(1)方程两边乘以验证12 , 得已化为恰当方程证明(2)方程两边乘以验证12 , 得 1已化为恰当方程.得证明(3)方程两边乘以验证0,已化为恰当方程方程两边同乘 1 , 得已化为恰当方程.P ( x ) dx 方程两边同乘e 得( x ) dx ,已化为恰当方程3.积分因子的确定是方程的积分因子的充要条件是:由求导的乘法法则, 得是方程的积分因子的充要条件是:若存在仅与x有关的积分因子上式即可变形为仅与x有关仅与x有关是方程的积分因子的充要条件是:(3)方程0有仅与x 有关的积分因子的充要条件是:仅与x有关, 即其积分因子为.8(4)方程0有仅与y 有关的积分因子的充要条件是:仅与y有关, 即例6 求方程的通解. 22解: 首先该方程不是恰当微分方程.y2其积分因子为.然后寻找积分因子.因为Nx故积分因子为y2 原方程两边乘e , 可得( 2 e xy2 利用恰当方程求解方法可得为任意常数.(P58例5) dy x 2 例7 求解方程dxdy 2 2 x 1 解: 因为故方程即(P55例6) 例8 求解方程解法1: 首先该方程不是恰当微分方程.但是注意到即其实是恰当方程的分组凑微法所以说即上式 d( x1 为积分因子12 y 1 , 可得原方程两边乘y 2 y y2 y2故积分因子为即故通解为为任意常数利用分组凑微法可得x d( y ) d(ln | y |)故通解为为任意常数. 另有解(P55例6) 例8 求解方程解法2: 方程可以变形为xdy y(P55例6) 例8 求解方程dy y 关于x 为一阶继续变形为线性非齐次方程y x x 第一步: 求解方程 d dy 先分离变量当y再两边积分y dy 继续变形为当dy解法3: 方程可以变形为y即dyy令则故原方程化为即1 dx 是变量分离方程.y当即是一个解.当两边积分uu2x得对应齐次方程的通解为即x x 第二步: 令为原方程的解, x 1 则d dy于是有积分得c(解得变量还原,即为任意常数)故所求通解为为任意常数另有解另有解9思考与练习作业习题P60 1.(1)用两种方法求解：不定积分法和分组凑微法2.(3)(4)(5)先判别是否恰当方程,然后选取相应做法思考与练习作业习题P69 1.(1)(3)10二阶及高阶微分方程的求解与应用二阶及高阶微分方程的求解与应用学姓班学号名级院2016xxxxxxxxxxxxx摘要：本人认为第三章略微复杂，在课上时感觉自己听懂了，但是课后发现又会出现好多问题。
常微分方程考研讲义第二章 一阶微分方程的初等解法
第二章、一阶微分方程的初等解法[教学目标]1. 理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程），熟练掌握变量分离方程的解法。
2. 理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。
3. 理解恰当方程的类型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。
4. 理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。
[教学重难点] 重点是一阶微分方程的各类初等解法 ，难点是积分因子的求法以及隐式方程的解法。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 14学时[教学内容] 变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型，一阶线性微分方程及其常数变易法，伯努利方程，恰当方程及其积分因子法，隐式方程。
[考核目标]1.一阶微分方程的初等解法：变量分离法、一阶线性微分方程的常数变易法、恰当方程与积分因子法、一阶隐方程的参数解法。
2.会建立一阶微分方程并能求解。
§1 变量分离方程与变量变换1、 变量分离方程1) 变量分离方程形如 ()()dy f x g y dx= (或1122()()()()0M x N y dx M x N y dy +=) （2.1） 的方程，称为变量分离方程，其中函数()f x 和()g y 分别是,x y 的连续函数.2) 求解方法如果()0g y ≠，方程(2.1)可化为，()()dy f x dx g y = 这样变量就分离开了,两边积分,得到 ()()dy f x dx c g y =+⎰⎰ （2.2） 把,()()dy f x dx g y ⎰⎰分别理解为1,()()f x y ϕ的某一个原函数. 容易验证由（2.2）所确定的隐函数(,)y x c ϕ=满足方程（2.1）.因而（2.2）是（2.1）的通解.如果存在0y 使0()0g y =，可知0y y =也是（2.1）的解.可能它不包含在方程的通解（2.2）中，必须予以补上.3) 例题例1 求解方程dy x dx y=- 解 将变量分离，得到ydy xdx =-两边积分，即得 22222y x c =-+ 因而，通解为22x y c += 这里的c 是任意的正常数.或解出显式形式y =例2 解方程 2cos dy y x dx= 并求满足初始条件：当0x =时.1y =的特解.解 将变量分离，得到2cos dy xdx y = 两边积分，即得 1sin x c y -=+ 因而，通解为 1sin y x c=-+ 这里的c 是任意的常数.此外，方程还有解0y =.为确定所求的特解，以0x =.1y =代入通解中确定常数c ，得到 1c =-因而，所求的特解为 11sin y x =- 例3 求方程 ()dy P x y dx= （2.3） 的通解，其中()P x 是x 的连续函数.解 将变量分离，得到()dy P x dx y= 两边积分，即得 ln ()y P x dx c=+⎰ 这里的c是任意常数.由对数的定义，即有 ()P x dx c y e +⎰=即()P x dx c y e e ⎰=±令c e c ±= ，得到()P x dx y ce ⎰= （2.4）此外，0y =也是（2.3）的解.如果在（2.4）中允许0c =，则0y =也就包括在（2.4）中，因而，（2.3）的通解为（2.4），其中c 是任意常数.注: 1.常数c 的选取保证(2.2)式有意义.2.方程的通解不一定是方程的全部解,有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解, 即将遗漏的解要弥补上.3.微分方程的通解表示的是一族曲线，而特解表示的是满足特定条件00()y x y =的一个解，表示的是一条过点00(,)x y 的曲线.2、可化为变量分离方程的类型1）.形如 dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2.5） 的方程，称为齐次方程，这里的()g u 是u 的连续函数.另外,ⅰ)对于方程 (,)(,)dy M x y dx N x y = 其中函数(,)M x y 和(,)N x y 都是x 和y 的m 次齐次函数，即对0t >有(,)(,)m M tx ty t M x y ≡ (,)(,)m N tx ty t N x y ≡ 事实上，取1t x=，则方程可改写成形如(2.5)的方程. (1,)(1,)(1,)(1,)m m y y x M M dy x x y y dx x N N x x== ⅱ)对方程 (,)dy f x y dx= 其中右端函数(,)f x y 是x 和y 的零次齐次函数，即对0t >有(,)(,)f tx ty f x y =则方程也可改写成形如(2.5)的方程(1,)dy y f dx x= 对齐次方程（2.5）利用变量替换可化为变量分离方程再求解.令y u x =（2.6） 即y ux =，于是 dy du x u dx dx=+ （2.7） 将（2.6）、（2.7）代入（2.5），则原方程变为 ()du xu g u dx += 整理后，得到 ()du g u u dx x-= （2.8） 方程（2.8）是一个可分离变量方程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量，所得的解便是原方程（2.5）的解.例4 求解方程dy y y tg dx x x=+ 解 这是齐次方程，以,y dy du u x u x dx dx ==+代入，则原方程变为 du xu u tgu dx +=+ 即du tgu dx x= （2.9） 分离变量，即有 dx ctgudu x=两边积分，得到 ln sin ln u x c=+这里的c是任意的常数，整理后，得到 sin u cx = （2.10）此外，方程（2.9）还有解0tgu =,即sin 0u =. 如果（2.10）中允许0c =，则sin 0u =就包含在（2.10）中，这就是说，方程（2.9）的通解为（2.10）.代回原来的变量，得到原方程的通解为 sin ycx x =例5 求解方程(0).dyx y x dx +=<解 将方程改写为(0)dyyx dx x =< 这是齐次方程，以,ydyduu x u x dx dx ==+代入，则原方程变为dux dx =（2.11） 分离变量，得到dxx =两边积分，得到（2.11）的通解ln()x c =-+即2[ln()](ln()0)u x c x c =-+-+> (2.12) 这里的c 是任意常数.此外，（2.11）还有解0u =注意，此解不包括在通解（2.12）中.代回原来的变量，即得原方程的通解2[ln()](ln()0)y x x c x c =-+-+>及解0y =.原方程的通解还可表为2[ln()],ln()0,0,x x c x c y ⎧-+-+>=⎨⎩它定义于整个负半轴上. 注：1.对于齐次方程dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的求解方法关键的一步是令y u x =后，解出y ux =，再对两边求关于x 的导数得dy du u x dx dx =+，再将其代入齐次方程使方程变为关于,u x 的可分离方程.2.齐次方程也可以通过变换x v y=而化为变量分离方程.这时x vy =，再对两边求关于y 的导数得dx dv v y dy dy =+，将其代入齐次方程dx x f dy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭使方程变为,v y 的可分离方程 小结：这一讲我们主要讲解了一阶微分方程的可分离变量法和齐次方程的dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭形状的解法.而这一齐次方程通过变量替换任然可化为可分离方程，因而，一定要熟练掌握可分离方程的解法.2）形如 111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++ （2.13） 的方程经变量变换化为变量分离方程，这里的121212,,,,,a a b b c c 均为常数.分三种情况来讨论（1）120c c ==情形.这时方程（2.13）属齐次方程，有 1122a x b y dy y g dx a x b y x +⎛⎫== ⎪+⎝⎭此时，令y u x=，即可化为变量可分离方程. （2）11220a b a b =，即1122a b a b =的情形.设1122a b k a b ==，则方程可写成22122222()()()k a x b y c dy f a x b y dx a x b y c ++==+++ 令22a x b y u +=，则方程化为 22()du a b f u dx=+ 这是一变量分离方程.（3）1112220,a b c c a b ≠及不全为零的情形.这时方程（2.13）右端的分子、分母都是,x y 的一次式，因此11122200a xb yc a x b y c ++=⎧⎨++=⎩ （2.14） 代表xy 平面上两条相交的直线，设交点为(,)αβ.显然，0α≠或0β≠，否则必有120c c ==，这正是情形（1）（只需进行坐标平移，将坐标原点(0,0)移至(,)αβ就行了，若令X x Y y αβ=-⎧⎨=-⎩（2.15） 则（2.14）化为112200a X b Y a X b y +=⎧⎨+=⎩ 从而（2.13）变为 1122a X bY dY Y g dX a X b Y X +⎛⎫== ⎪+⎝⎭（2.16） 因此，得到这种情形求解的一般步骤如下：(1)解联立代数方程（2.14），设其解为,x y αβ==；(2)作变换（2.15）将方程化为齐次方程（2.16）；(3)再经变换Y u X=将（2.16）化为变量分离方程； (4)求解上述变量分离方程，最后代回原变量可得原方程（2.13）的解.上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.13）更一般的方程类型 111222a x b y c dy f dx a x b y c ⎛⎫+== ⎪++⎝⎭此外，诸如 ()dy f ax by c dx++ ()()0y xy dx xg xy dy += 2()dy x f xy dx =2dy y xf dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 以及(,)()(,)()0M x y xdx ydy N x y xdy ydx ++-=（其中,M N 为,x y 的齐次函数，次数可以不相同）等一些方程类型，均可通过适当的变量变换化为变量分离方程.例6 求解方程 13dy x y dx x y -+=+- （2.17） 解 解方程组 1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得1, 2.x y == 令12x X y Y =+⎧⎨=+⎩ 代入方程（2.17），则有dY X Y dX X Y-=+ （2.18） 再令Y u X =即 Y uX = 则（2.18）化为2112dX u du X u u +=-- 两边积分，得 22ln ln 21X u u c=-+-+ 因此22(21)c X u u e +-=±记1,c e c ±= 并代回原变量，就得2212Y XY X c +-=221(2)2(1)(2)(1)y x y x c -+----=此外，易验证2210u u +-=即2220Y XY X +-=也就是（2.18）的解.因此方程（2.17）的通解为22262y xy x y x c +---=其中c 为任意的常数. 3、 应用举例例7 电容器的充电和放电如图（2.1）所示的R C -电路，开始时电容C 上没有电荷，电容两端的电压为零.把开关K 合上“1”后，电池E 就对电容C 充电，电容C 两端的电压C u 逐渐升高，经过相当时间后，电容充电完毕，再把开关K 合上“2”，这时电容就开始放电过程，现在要求找出充、放电过程中，电容C 两端的电压C u 随时间t 的变化规律.解 对于充电过程，由闭合回路的基尔霍夫第二定理，c u RI E += （2.19）对于电容C 充电时，电容上的电量Q 逐渐增多，根据C Q Cu =，得到 ()C C du dQ d I Cu C dt dt dt=== （2.20） 将（2.20）代入（2.19），得到c u 满足的微分方程 c c du RC u E dt+= （2.21） 这里R 、C 、E 都是常数.方程（2.21）属于变量分离方程.将（2.21）分离变量，得到C C du dt u E RC =-- 两边积分，得到 11ln C u E t c RC -=-+ 即 1112t t c RC RC C u E e ec e ---=±= 这里12c c e =±为任意常数.将初始条件：0t =时，0C u =代入，得到2c E =-.所以 1(1)t RC C u E e -=- （2.22）这就是R C -电路充电过程中电容C 两端的电压的变化规律.由（2.22）知道，电压C u 从零开始逐渐增大，且当t →+∞时，C u E →，在电工学中，通常称RC τ=为时间常数，当3t τ=时，0.95C u E =，就是说，经过3τ的时间后，电容C 上的电压已达到外加电压的95%.实用上，通常认为这时电容C 的充电过程已基本结束.易见充电结果C u E =.对于放电过程的讨论，可以类似地进行.例8 探照灯反射镜面的形状在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线平行地射出去，以保证照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状.解 取光源所在处为坐标原点，而x 轴平行于光的反射方向，设所求曲面由曲线()0y f x z =⎧⎨=⎩ （2.23） 绕x 轴旋转而成，则求反射镜面的问题归结为求xy 平面上的曲线()y f x =的问题,仅考虑0y >的部分,过曲线()y f x =上任一点(,)M x y 作切线NT ，则由光的反射定律：入射角等于反射角，容易推知12αα=从而 OM ON =注意到 2dy MP tg dx NPα==及,,OP x MP y OM ===就得到函数()y f x =所应满足的微分方程式dy dx = （2.24） 这是齐次方程.由2.12知引入新变量x u y =可将它化为变量分离方程.再经直接积分即可求得方程的解.对于方齐次方程（2.24）也可以通过变换x v y =而化为变量分离方程也可由x yv =得dx dv v y dy dy=+代入（2.24）得到sgn dv v y v y dy+=+于是sgn dy y y =（2.25）积分（2.25）并代回原来变量，经化简整理，最后得2(2)y c c x =+ （2.26）其中c 为任意常数.（2.26）就是所求的平面曲线，它是抛物线，因此，反射镜面的形状为旋转抛物面22(2)y z c c x +=+ （2.27）小结: 本节我们主要讨论了一阶可分离微分方程和齐次微分方程的求解问题.将各种类型的求解步骤记清楚的同时要注意对解的讨论.§2 线性方程与常数变易法1、一阶线性微分方程 ()()()0dy a x b x y c x dx++= 在()0a x ≠的区间上可以写成 ()()dy P x y Q x dx=+ （2.28） 对于()a x 有零点的情形分别在()0a x ≠的相应区间上讨论.这里假设(),()P x Q x 在考虑的区间上是x 的连续函数.若()0Q x ≡，（2.28）变为 ()dy P x y dx= （2.3） 称为一阶齐线性方程.若()0Q x ≠，（2.28）称为一阶非齐线性方程.2、常数变易法（2.3）是变量分离方程，已在例3中求得它的通解为()P x dx y ce ⎰= （2.4）这里c 是任意的常数.下面讨论一阶非齐线性方程（2.28）的求解方法.方程(2.3)与方程(2.28)两者既有联系又有区别,设想它们的解也有一定的联系,在(2.4)中c 恒为常数时,它不可能是(2.28)的解,要使(2.28)具有形如(2.4)的解, c 不再是常数,将是x 的待定函数()c x ,为此令()()P x dx y c x e ⎰= （2.29）两边微分，得到 ()()()()()P x dx P x dx dy dc x e c x P x e dx dx ⎰⎰=+ （2.30） 将（2.29）、（2.30）代入（2.28），得到()()()()()()()()()P x dx P x dx P x dx dc x e c x P x e P x c x e Q x dx ⎰⎰⎰+=+ 即()()()P x dx dc x Q x e dx -⎰= 积分后得到()()()P x dx c x Q x e dx c -⎰=+⎰（2.31） 这里c是任意的常数..将（2.31）代入（2.29），得到()()()()()() =()P x dx P x dx P x dx P x dx P x dx y e Q x e dx c ce e Q x e dx --⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰+⎰⎰（2.32） 这就是方程（2.28）的通解.这种将常数变易为待定函数的方法，通常称为常数变易法.实际上常数变易法也是一种变量变换的方法.通过变换（2.29）可将方程（2.28）化为变量分离方程.注: 非齐线性方程的通解是它对应的齐线性方程的通解与它的某个特解之和.例1 求方程1(1)(1)x n dy x ny e x dx++-=+的通解，这里的n 为常数. 解 将方程改写为(1)1x n dy n y e x dx x -=++ （2.33） 先求对应的齐次方程01dy n y dx x -=+ 的通解，得(1)n y c x =+令 ()(1)n y c x x =+ （2.34）微分之，得到 ()(1)(1)()n dy dc x x n x c x dx dx=+++ （2.35） 以（2.34）、（2.35）代入（2.33），再积分，得()x c x e c=+ 将其代入公式（2.34），即得原方程的通解(1)()n x y x e c=++ 这里c是任意的常数. 例2 求方程22dy y dx x y =-的通解. 解 原方程改写为 2dx x y dy y=- （2.36） 把x 看作未知函数，y 看作自变量，这样，对于x 及dx dy 来说，方程（2.36）就是一个线性方程了.先求齐线性方程2dx x dy y= 的通解为2x cy = （2.37）令2()x c y y =,于是2()2()dx dc y y c y y dy dy=+ 代入（2.36），得到 ()ln c y y c=-+ 从而，原方程的通解为 2(ln )x y cy =- 这里c是任意的常数,另外0y =也是方程的解. 特别的，初值问题00()()()dy P x y Q x dx y x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩ 的解为0000()()()=()x x s x x x P d P d P d x x y cee Q s e ds ττττττ-⎰⎰⎰+⎰例3 试证 （1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；（2）若()y y x =是（2.3）的非零解，而 ()y y x =是（2.28）的解，则（2.28）的通解可表为 ()()y cy x y x =+，其中c 为任意常数.（3）方程（2.3）任一解的常数倍或两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.证 （1）设12,y y 是非齐线性方程的两个不同的解，则应满足方程使 1122()(1)()(2)dy py Q x dx dy py Q x dx=+=+ （1）—（2）有1212()()d y y p y y dx-=- 说明非齐线性方程任意两个解的差12y y -是对应的齐次线性方程的解.（2）因为 (()())()()(()()()()d cy x y x dy x d y x c p cy p y Q x p cy y Q x dx dx dx+=+=++=++ 故结论成立.（3）因为12121212()()()(),(),()d y y d y y d cy p cy p y y p y y dx dx dx+-==+=- 故结论成立. 3、Bernoulli 方程形如 ()()n dy P x y Q x y dx=+ （ 0,1n ≠） （2.38） 的方程，称为伯努利（Bernoulli ）方程，这里(),()P x Q x 为x 连续函数.利用变量变换可将伯努利方程化为线性方程来求解.事实上，对于0y ≠，用n y -乘（2.38）两边，得到 1()()nn dy y y P x Q x dx --=+ （2.39） 引入变量变换1n z y -= （2.40）从而 (1)n dz dy n y dx dx-=- （2.41） 将（2.40）、2.41）代入（2.39），得到 (1)()(1)()dz n P x z n Q x dx=-+- （2.42） 这是线性方程，用上面介绍的方法求得它的通解，然后再代回原来的变量，便得到（2.38）的通解.此外，当0n >时，方程还有解0y =.例4 求方程26dy y xy dx x=-的通解 解 这是2n =时的伯努利方程，令 1z y -=,得2dz dy y dx dx -=- 代入原方程得到 6dz z x dx x=-+ 这是线性方程，求得它的通解为 268c x z x =+ 代回原来的变量y ，得到 2618c x y x =+ 或者 688x x c y -= 这是原方程的通解. 此外，方程还有解0y =.例5 求方程331dy dx xy x y =+的解 解 将方程改写为 33dx yx y x dy=+ 这是一个自变量为y ，因变量为x 的伯努利方程.解法同上.例6 求方程23y dy e x dx x+=的通解 这个方程只要做一个变换，令,y y du dy u e e dx dx==，原方程改写为 22231du x u u dx x x=+便是伯努利方程.小结;这次主要讨论了一阶线性微分方程的解法.其核心思想是常数变易法.即将非齐线性方程对应的齐线性方程解的常数变易为待定函数，使其变易后的解函数代入非齐次线性方程，求出待定函数()c x ，求出非齐次方程的解.我们还讨论了伯努利方程，求解过程为，先变换，将原方程化为非齐线性方程，再求解.§3 恰当方程与积分因子1、恰当方程的定义将一阶微分方程(,)dy f x y dx = 写成微分的形式(,)0f x y dx dy -=把,x y 平等看待，对称形式的一阶微分方程的一般式为(,)(,)0M x y dx N x y dy += （2.43）假设(,),(,)M x y N x y 在某区域G 内是,x y 的连续函数，而且具有连续的一阶偏导数. 如果存在可微函数(,)u x y ,使得(,)(,)du M x y dx N x y dy =+ (2.44)即 (,), (,)u u M x y N x y x y∂∂==∂∂ (2.45) 则称方程(2.43)为恰当方程,或称全微分方程.在上述情形,方程(2.43)可写成(,)0du x y ≡,于是(,)u x y C ≡就是方程(2.43)的隐式通解,这里C 是任意常数(应使函数有意义).2、 恰当方程的判定准则定理1设(,),(,)M x y N x y 在某区域G 内连续可微,则方程(2.43)是恰当方程的充要条件是, (,)M N x y G y x∂∂=∈∂∂ (2.46) 而且当(2.46)成立时,相应的原函数可取为000(,)(,)(,)x y x y u x y M s y ds N x t dt =+⎰⎰ (2.47) 或者也可取为000(,)(,)(,)yxy x u x y N x t dt M s y ds =+⎰⎰ (2.48) 其中00(,)x y G ∈是任意取定的一点.证明 先证必要性.因为(2.43)是恰当方程,则有可微函数(,)u x y 满足(2.45),又知(,),(,)M x y N x y 是连续可微的,从而有 22M u u N y y x x y x∂∂∂∂===∂∂∂∂∂∂ 下面证明定理的充分性,即由条件(2.46),寻找函数(,)u x y ,使其适合方程(2.45).从(2.47)可知 (,)u N x y y∂=∂ 0000(,)(,) =(,)(,) =(,)(,)(,)y y y x y y y y u M x y N x t dt x x M x y N x t dt M x y M x t dt M x y ∂∂=+∂∂++=⎰⎰⎰ 即(2.45)成立,同理也可从(2.48)推出(2.45).例1. 解方程 21()02x xydx dy y++= (2.49)解 这里21, =()2x M xy N y=+,则y x M x N ==,所以(2.49)是恰当方程.因为N 于0y =处无意义,所以应分别在0y >和0y <区域上应用定理2.3,可按任意一条途径去求相应的原函数(,)u x y .先选取00(,)(0,1)x y =,代入公式(2.47)有 22011()ln 22xyx x u xdx dy y y y =++=+⎰⎰再选取00(,)(0,1)x y =-,代入公式(2.47)有22011()()ln()22xyx x u x dx dy y y y -=-++=+-⎰⎰可见不论0y >和0y <,都有2ln ||2x u y y =+故方程的通解为2ln ||2x y y C +=.3、恰当方程的解法上述定理已给出恰当方程的解法,下面给出恰当方程的另两种常用解法. 解法1. 已经验证方程为恰当方程,从(,)x u M x y =出发,有2(,)(,)()()2x u x y M x y dx y y y φφ≡+=+⎰ (2.50)其中()y φ为待定函数,再利用(,)y u N x y =,有221()22x x y yφ'+=+ 从而1()y y φ'=于是有 ()ln ||y y φ=只需要求出一个(,)u x y ,因而省略了积分常数.把它代入(2.50)便得方程的通解为2ln ||2x u y y C =+= 解法2. 分项组合的方法 对(2.49)式重新组合变为21()02x xydx dy dy y++=于是 2()ln ||02x d y d y +=从而得到方程的通解为 2ln ||2x y y C +=4、积分因子的定义及判别对于微分形式的微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += （2.43）如果方程（2.43）不是恰当方程，而存在连续可微的函数(,)0x y μμ=≠，使得 (,)(,)0M x y dx N x y dy μμ+= (2.51) 为一恰当方程，即存在函数(,)v x y ，使(,)(,)M x y dx N x y dy dv μμ+≡则称(,)x y μ是方程（2.43）的积分因子.此时(,)v x y C =是(2.51)的通解，因而也就是（2.43）的通解.如果函数(,),(,)M x y N x y 和(,)x y μ都是连续可微的,则由恰当方程的判别准则知道, (,)x y μ为(2.43)积分因子的充要条件是M Ny xμμ∂∂=∂∂ 即 ()M N N M x y y xμμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂ (2.52) 5、积分因子的求法方程(2.52)的非零解总是存在的，但这是一个以μ为未知函数的一阶线性偏微分方程，求解很困难，我们只求某些特殊情形的积分因子. 定理2 设(,),(,)M M x y N N x y ==和(,)x y ϕϕ=在某区域内都是连续可微的，则方程（2.43） 有形如((,))x y μμϕ=的积分因子的充要条件是：函数(,)(,)(,)(,)(,)(,)y x x y M x y N x y N x y x y M x y x y ϕϕ-- （2.53）仅是(,)x y φ的函数，此外，如果（2.53）仅是(,)x y φ的函数((,))f f x y ϕ=，而()()G u f u du =⎰，则函数((,))G x y e ϕμ= （2.54） 就是方程（2.43）的积分因子.证明 因为如果方程（2.43）有积分因子()μμϕ=，则由（2.52）进一步知()()d M N N M d x y y xμϕϕμϕ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂ 即y x x yM N d d N M μϕμϕϕ-=-由()μμϕ=可知左端是ϕ的函数，可见右端y x x yM N N M ϕϕ--也是ϕ的函数，即()y x x yM N f N M ϕϕϕ-=-，于是，有()d f d μϕϕμ=， 从而 ()()f d G e e ϕϕϕμ⎰==反之，如果（2.53）仅是ϕ的函数，即()y x x yM N f N M ϕϕϕ-=-，则函数（2.54）是方程（2.52）的解.事实上，因为()()()()G x y y x NM N M f e M N x yϕμμϕϕϕμ∂∂-=-=-∂∂ 因此函数（2.54）的确是方程（2.43）的积分因子.为了方便应用这个定理，我们就若干特殊情形列简表如下：例2. 解22(31)()0y xy dx xy x dy -++-= 解 这里2231,M y xy N xy x =-+=-,注意y x M N y x -=-所以方程不是恰当的,但是1y xM N Nx-=它仅是依赖与x ，因此有积分因子1dxx ex μ⎰≡=给方程两边乘以因子x μ=得到2223(3)()0xy x y x dx x y x dy -++-=从而可得到隐式通解22321122u x y x y x C ≡-+= 例3. 解方程2()(1)0xy y dx xy y dy ++++=解 这里2,1M xy y N xy y =+=++方程不是恰当的.但是1y xM N My-=-- 它有仅依赖于y 的积分因子 11dyy eyμ-⎰≡=方程两边乘以积分因子1y μ=得到 1()(1)0x y dx x dy y++++=从而可得到隐式通解21ln ||2u x xy y y C ≡+++= 另外，还有特解0y =.它是用积分因子乘方程时丢失的解. 例4. 解方程 223(2)()0y x y dx xy x dy +++=解 这里2232,M y x y N xy x =+=+，不是恰当方程.设想方程有积分因子()x y αβμμ=，其中α，β是待定实数.于是2112111()(2)y xM N y x x N y M x y y x x y x yαβαβαβαβαβαβ----⋅=⋅=--+- 只须取3,2αβ==.由上述简表知原方程有积分因子32x y μ=从而容易求得其通解为：446313u x y x y C ≡+=六、积分因子的其他求法以例4为例，方程的积分因子也可以这样来求：把原方程改写为如下两组和的形式：223()(2)0y dx xydx x ydx x dy +++=前一组有积分因子11yμ=，并且 21()()y dx xydy d xy y+= 后一组有积分因子21xμ=，并且 2321(2)()x ydx x dy d x y x+= 设想原方程有积分因子211()()xy x y y xαβμ==其中α，β是待定实数.容易看出只须3,2αβ==，上述函数确实是积分因子，其实就是上面找到一个.例5. 解方程 1212()()()()0M x M y dx N x N y dy += 其中1M ，2M ，1N ，2N 均为连续函数.解 这里12()()M M x M y =，12()()N N x N y =.写成微商形式就形式上方程是变量可分离方程，若有0y 使得20()0M y =，则0y y =是此方程的解；若有0x 使得10()0N x =，则0x x =是此方程的解；若21()()0M y N x ≠，则有积分因子211()()M y N x μ=并且通解为1212()()()()M x N y u dx dy N x M y ≡+⎰⎰ 例6、试用积分因子法解线性方程（2.28）.解 将（2.28）改写为微分方程[()()]0P x y Q x dx dy +-= （2.55）这里()(),1M P x y Q x N =+=-，而()M Ny xP x N∂∂-∂∂=- 则线性方程只有与x 有关的积分因子()P x dxe μ-⎰=方程（2.55）两边乘以()P x dxe μ-⎰=，得()()()()()0P x dx P x dx P x dxxP x e ydx e dy Q x e dx ---⎰⎰⎰-+= （2.56） （2.56）为恰当方程，又分项分组法()()()()0P x dx P x dxd ye Q x e dx --⎰⎰-=因此方程的通解为()()()P x dx P x dxye Q x e dx c --⎰⎰-=⎰即()()[()]P x dxP x dxy e Q x e dx c -⎰⎰=+⎰与前面所求得的结果一样.注：积分因子一般不容易求得可以先从求特殊形状的积分因子开始，或者通过观察法进行“分项分组”法求得积分因子.§4 一阶隐方程与参数表示1、一阶隐方程一阶隐式微分方程的一般形式可表示为:(,,)0F x y y '=如果能解出(,)y f x y '=,则可化为显式形式,根据前面的知识求解. 例如方程2()()0y x y y xy ''-++=,可化为y x '=或y y '=但难以从方程中解出y ',或即使解出y ',而其形式比较复杂,则宜采用引进参数的方法求解.一般隐式方程分为以下四种类型:1) (,)y f x y '= 2) (,)x f y y '= 3) (,)0F x y '= 4)(,)0F y y '=2、求解方法Ⅰ）可以解出y （或）x 的方程1) 讨论形如(,)y f x y '= （2.57）的方程的解法，假设函数(,)f x y '有连续的偏导数,引进参数y p '=,则方程(2.57)变为 (,)y f x p = (2.58)将(2.58) 的两边对x 求导数,得到 f f dpp x y dx∂∂=+∂∂ (2.59) 方程(2.59)是关于,x p 的一阶微分方程,而且属于显式形式.若求得(2.59)的通解形式为(,)p x c ϕ=,将其代入(2.58),于是得到(2.57)通解为 (,(,))y f x x c ϕ=若求得(2.59)的通解形式为(,)x p c ψ=,于是得到(2.57)的参数形式的通解为(,)((,),)x p c y f p c p ψψ=⎧⎨=⎩其中p 为参数, c 是任意常数.若求得(2.59)的通解形式为(,,)0x p c Φ=,于是得到(2.57)的参数形式的通解为(,,)0(,)x p c y f x p Φ=⎧⎨=⎩其中p 为参数, c 是任意常数. 例1 求方程3()20dy dyx y dx dx+-= 的解 解 令dyp dx=,于是有32y p xp =+ (2.60) 两边对x 求导数,得到 2322dp dp p p x p dx dx=++ 即 2320p dp xdp pdx ++= 当0p ≠时,上式有积分因子p μ=,从而32320p dp xpdp p dx ++= 由此可知4234p xp c += 得到42223344c pc x p p p -==-将其代入(2.60),即得43342()c p y p p-=+故参数形式的通解为22334(0) 212c x p p p c y p p ⎧=-⎪⎪≠⎨⎪=-⎪⎩当0p =时,由(2.60)可知0y =也是方程的解.例2 求方程22()2dy dy x y xdx dx =-+的解. 解 令dy p dx =,得到222x y p xp =-+ (2.61) 两边对x 求导数,得到2dp dp p px p x dx dx =--+ 或 (2)(1)0dpp x dx--= 由10dpdx -=,解得p x c =+,于是得到方程的通解为222x y cx c =++ (2.62)由20p x -=,解得2xp =,于是得到方程的一个解为24x y = (2.63)特解(2.63)与通解(2.62)中的每一条积分曲线均相切,因此称为方程的奇解.2) 讨论形如(,)dyx f y dx= (2.64) 的方程的求解方法,方程(2.64)与方程(2.57)的求解方法完全类似,假定函数(,)f y y ' 有连续偏导数.引进参数dyp dx=,则(2.64) 变为 (,)x f y p = (2.65) 将(2.65) 的两边对y 求导数,得到1f f dpp y x dy∂∂=+∂∂ (2.66) 方程(2.66))是关于,y p 的一阶微分方程,而且属于显式形式.设其通解为 (,,)0y p c Φ= 则(2.64)的通解为(,,)0(,)y p c x f y p Φ=⎧⎨=⎩Ⅱ）不显含y （或）x 的方程 3) 讨论形如(,)0F x y '= (2.67) 的方程的解法.记dyp y dx'==,此时(,)0F x p =表示的是xp 平面上的一条曲线,设曲线用参数形式表示为()x t ϕ=,()p t ψ= (2.68) 由于dy pdx =,进而()()dy t t dt ψϕ'= 两边积分,得到()()y t t dt c ψϕ'=+⎰ 于是得到方程(2.67)参数形式的解为()()()x t y t t dt c ϕψϕ=⎧⎪⎨'=+⎪⎩⎰c 是任意常数.例3 求解方程3330x y xy ''+-=解 令y p tx '==,则由方程得 331t x t =+, 2331t p t =+ 于是 23339(12)(1)t t dy dt t -=+ 积分得到 23333329(12)314(1)2(1)t t t y dt c c t t -+=+=+++⎰ 故原方程参数形式的通解为： 3332313142(1)t x t t y c t ⎧=⎪+⎪⎨+⎪=+⎪+⎩4) 讨论形如(,)0F y y '= (2.69) 的方程,其解法与方程(2.67)的求解方法类似.记dy p y dx '==,此时(,)0F y p =表示的是yp 平面上的一条曲线,设曲线用参数形式表示为()y t ϕ=,()p t ψ= 由关系式dy pdx =可知 ()()t dt t dx ϕψ'=,于是0p ≠时,有 ()()t dx dt t ϕψ'=, ()()t x dt c t ϕψ'=+⎰ 故方程(2.69)的参数形式的通解 ()()()t x dt c t y t ϕψϕ'⎧=+⎪⎨⎪=⎩⎰c 是任意常数.此外,不难验证,若(,0)0F y =有实根y k =,则y k =也是方程的解. 例4 求解方程 22(1)(2)y y y ''-=-. 解 令2y yt '-=,则有222(1')y y y t -=由此可以得2'1y t =-，1y t t=+ 代入1dx dy p=，得到 222111(1)1dx dt dt t t t=-+=-- 积分,得到1x c t=+ 故原方程参数形式的通解为 11x c t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩其中c 是任意常数.此外, 当0y '=时原方程变为24y =,于是2y =±也是方程的解. 例5求解方程y '=解 令y p '=,则有p =,取,(,)22p tgt t ππ=∈-,则sin sec tgt x t t === 由dy pdx =得到cos sin dy tgt tdt tdt == 所以cos y t c =-+故原方程参数形式的通解为 sin cos x t y t c =⎧⎨=-+⎩其中c是任意常数.。
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dy 例6 求方程 x 1 ny e x 1 的通解， dx 这里n为常数. dy n y e x 1 . 解 将方程改写为 dx x 1 dy n y 0 的通解， 首先，求其次线性微分方程 dx x 1 为 y c x 1 .
容易验证，原方程的通解就是
u x, y c,
（ c 是任意常数）.
2 2 3
例7
3x 6 xy dx 6 x y 4 y dy 0 的通解.
2
解 这里 M 3x 6 xy , N 6 x y 4 y , 这时 M N 12 xy, 12 xy, 因此方程是恰当微分方程. y x 现在求 u, 是它同时满足如下两个方程： u u 3x 6 xy , 6 x y 4 y . x y 前一个式子，对 x 积分，得到 u x 3x y y ,
在上一张我们已经了解了微分方程的一些基本特点， 下面我们来看一个题来回忆一下微分方程：
dx x 例 求解方程 dy y .
解 可以变化为：ydy xdx ， y x c 两边积分，即得 2 2 2 ，
2 2
因而，通解为 x y c .
2 2
1.1变量分离方程
形如
2 2 2 3
2
2
2
3
3
2
2
将得到的方程对 y 求导，并使它满足上一个方程，即得 u d y 6x y 6x y 4 y , 于是 y dy d y 4 y , 积分后可得 y y , dy
2 2 3
4
3
u x 3x y y .
3 2 2 4
因此，方程的通解为
x 3x y y c,
3 2 2 4
这里 c 是任意常数.
往往在判定方程式恰当微分方程后，并不需要按照
先把那些本身已构成全微分的项分出，再把剩下的 项凑成全微分，这种方法要求熟记一些简单的二元 函数的全微分，如 ydx xdy x ydx xdy d x, y , d , y y
0 0
kxe y e ,
c dx0 a by0 0 0
即解为
xe ye y e x e ,
c dx a by a by0 c dx0 0 0
或写成
x ( )e x
c 0
d ( x x0 )
y ( )e y
a 0
b ( y y0 )
1.
1.2 可化为变量分离的方程类型
x n 1 x n
n
其次应用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解. 把上式中的 c 看成 x 的待定函数 c x , 即 y c x x 1 , 微分得 dy dc x x 1 n x 1 c x . dx dx
n
n n 1
将其代入到前式中，可得到 dc x e, dx
~ c
代入原来的变量，得到原来方程的通解为 y sin cx. x
dy 例4 求解方程 x dx 2 xy y ( x 0). dy y y x 0 , 解 将方程改写为 2 dx x x dy du y 这是齐次微分方程.以 u 及 x u 代入 dx dx x du 则原方程变为 x 2 u . 分离变量，得到 dx du dx , 两边积分，得到通解 u ln x c. 2 u x 当 ln x c 0 时，u [ln x c] ,
2 2
因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量 即可的原方程的解. 上述方法也适用于如下方程： axbyc dy f , yf xy dx xg xy dy 0, dx a xb y c dy dy y x f xy , xf , dx dx x M x, y xdx ydy N x, y xdy ydx 0.
P x dx
P x dx
c x P x e
.
这样就可以得到 dc x e c x P x e P x c x e dx dc x Q x e , 即 dx
P x dx
P x dx
Q x ,
2 2
2 2
返回
2.线性微分方程与常数变易法
dy 一阶线性微分方程 dx P x y Q x , 其中 P x , Q x 在考虑的区间上是 x 的连续函数. dy 若 Q x 0, 方程变为 P x y, dx 称为一阶齐次线性微分方程.
Q x 0, 称为一阶非齐次线性微分方程.
P x dx
积分后得到
c x Q x e
P x dx
~, dx c
~ 这里 c 是任意常数，将上式代入到原方程得到通解 ~ . y e Q x e dx c
P x dx P x dx
这种将常数变易为待定函数的方法，我们通常称 为常数变易法.常数变易法实际上也是一种变量变换 的方法，通过变换可将方程化为变量分离方程.
x
积分之，得到
~. c x e c
x
因此，将所求的 c x 代入原方程， 其通解为
~ , y x 1 e c
n x
~ 是任意常数. 这里 c
返回
3.恰当微分方程与积分因子
3.1 恰当微分方程
dy f x, y 写成微分的形式 我们把一阶方程 dx f x, y dx dy 0, 或把 x, y 平等看待，写成
这里只介绍两种简单的情形 dy y g ( ) 的方程，称为齐次微分方程， 1 形如 dx x 这里 g (u ) 是 u 的连续函数. y 作变量变换 u , 于是 dy x du u. x dx dx du g (u ) u . 原方程变为 dx x 这是一个变量分离方程，这样就可以用前面 的方法求解.
du y y 例3 tan . 求解方程 dx x x y 解 这是齐次微分方程，以 u 及 x dy du x u 代入，则原方程变为 dx dx du tan u du . x u u tan u , 即 dx x dx dx 两边积分有 将上式变量分离，有 cot udu , x ~, ln sin u ln x c 令 e c, 得到 sin u cx.
1 1 1 2 2 2
2 2
例5 解 令
求解方程 解方程组 x X 1,
dy x y 1 . dx x y 3 x y 1 0,
dY X Y y Y 2, 代入方程，有 dX X Y . dX 1 u Y du, 再令 u , 则化为 X 1 2u u X ~, ln X ln u 2 u 1 c 两边积分，得
现在讨论非齐次线性微分方程通解的求法. 我们知道 y ce , 是齐次线性微分方程的通解. 将常数 c 变易为 x 的待定函数 c x .
P x dx
令 y c x e
dy dc x e dx dx
P x dx
P x dx
,
微分之，得到
2
此外，方程还有解 u 0, 代回原来的变量，原方程 的通解为 y x[ln x c] , ln x c 0 即 y 0.
2
2
dy a x b y c 形如 dx a x b y c
1 1 2 2
1
的方程也可以经变量变
1 1 1 2 2 2
这里 c 是一个任意常数，此外，y 0 也是方程的 解，它可以被包含在通解中（取 c 0 ）.
例2 解
dy y(c dx) , x 0, y 0. dx x(a by ) c a 方程可变量分离为 ( d )dx ( b)dy, x y
积分得 c ln x dx a ln y by k , 这里 k 为任意 常数，上式可化为 x e y e k , 其中 k e .因
1 1 2 2
2 2
1
2
令 u a x b y, 这时有 du dy ku c a b a b 是变量分离方程. dx dx uc
1 2 2 2 2 2
a b a b
1 2
1
2
如果方程中 c , c 不全为零，方程右端分子、分母 a x b y c 0, x, y 的一次多项式，因此 a x b y c 0,
2
x y 3 0,
得 x 1, y 2.
2
2
则
y 2 2 x 1 y 2 x 1 c .
2 2 1
此外 Y 2 XY X 0 也是解 原方程的通解为 y 2 xy x 6 y 2 x c, 其中 c 为任意常数.
2
换化为变量分离方程，这里 a , b , c , a , b , c 均为常数. 我们分三种情形来讨论： a b c （常数）情形. k a b c
1 1 1 2 2 2
这是方程化为
dy k, dx
y kx c,
有通解为
其中 c 为任意常数.
a b c k a b c
下面来做几道题来来练习一下变量分离方程， 例1
dy ln xdx ( y 0). 解 将方程变量分离，得到 y 两边积分得 ln y x ln x x c ,
1
dy y ln x. dx
这里 c 是任意常数，从上式解出 y 可得显 示通解为 y c e ,
1