一阶常微分方程初等解法

3 2 2 4
因此，方程的通解为
x 3x y y c,
3 2 2 4
这里 c 是任意常数.
往往在判定方程式恰当微分方程后，并不需要按照
先把那些本身已构成全微分的项分出，再把剩下的 项凑成全微分，这种方法要求熟记一些简单的二元 函数的全微分，如 ydx xdy x ydx xdy d x, y , d , y y
在上一张我们已经了解了微分方程的一些基本特点， 下面我们来看一个题来回忆一下微分方程：
dx x 例 求解方程 dy y .
解 可以变化为：ydy xdx ， y x c 两边积分，即得 2 2 2 ，
2 2
因而，通解为 x y c .
2 2
1.1变量分离方程
形如
c dx a by
k
方程还有特解 y 0 .并考虑到条件 x 0, y 0,
于是方程的通解为 x e y e k , 这里 k 0 为
c dx a by
任意常数.
如果考虑方程的满足初值条件的解， 可将初值条件
t 0 时， x(0) x , y (0) y , 代如得
2 2
2 2
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2.线性微分方程与常数变易法
dy 一阶线性微分方程 dx P x y Q x , 其中 P x , Q x 在考虑的区间上是 x 的连续函数. dy 若 Q x 0, 方程变为 P x y, dx 称为一阶齐次线性微分方程.
Q x 0, 称为一阶非齐次线性微分方程.
这里 c 是一个任意常数，此外，y 0 也是方程的 解，它可以被包含在通解中（取 c 0 ）.
例2 解
dy y(c dx) , x 0, y 0. dx x(a by ) c a 方程可变量分离为 ( d )dx ( b)dy, x y
积分得 c ln x dx a ln y by k , 这里 k 为任意 常数，上式可化为 x e y e k , 其中 k e .因
dy f ( x) ( y ) dx
( 2.1)
的方程，称为变量分离方程，这 f ( x ), ( x ) 里 x, y 分别是 连续函数. 如果 ( y ) 0, 我们可将（2.1）改写成 dy f ( x)dx, ( y) 这样，变量就“分离”开来了.两边积分， 得到 dy f ( x)dx c. （ c 为常数） ( y)
~ c
代入原来的变量，得到原来方程的通解为 y sin cx. x
dy 例4 求解方程 x dx 2 xy y ( x 0). dy y y x 0 , 解 将方程改写为 2 dx x x dy du y 这是齐次微分方程.以 u 及 x u 代入 dx dx x du 则原方程变为 x 2 u . 分离变量，得到 dx du dx , 两边积分，得到通解 u ln x c. 2 u x 当 ln x c 0 时，u [ln x c] ,
这里只介绍两种简单的情形 dy y g ( ) 的方程，称为齐次微分方程， 1 形如 dx x 这里 g (u ) 是 u 的连续函数. y 作变量变换 u , 于是 dy x du u. x dx dx du g (u ) u . 原方程变为 dx x 这是一个变量分离方程，这样就可以用前面 的方法求解.
P x dx
P x dx
c x P x e
.
这样就可以得到 dc x e c x P x e P x c x e dx dc x Q x e , 即 dx
P x dx
P x dx
Q x ,
du y y 例3 tan . 求解方程 dx x x y 解 这是齐次微分方程，以 u 及 x dy du x u 代入，则原方程变为 dx dx du tan u du . x u u tan u , 即 dx x dx dx 两边积分有 将上式变量分离，有 cot udu , x ~, ln sin u ln x c 令 e c, 得到 sin u cx.
P x dx
积分后得到
c x Q x e
P x dx
~, dx c
~ 这里 c 是任意常数，将上式代入到原方程得到通解 ~ . y e Q x e dx c
P x dx P x dx
这种将常数变易为待定函数的方法，我们通常称 为常数变易法.常数变易法实际上也是一种变量变换 的方法，通过变换可将方程化为变量分离方程.
0 0
kxe y e ,
c dx0 a by0 0 0
即解为
xe ye y e x e ,
c dx a by a by0 c dx0 0 0
或写成
x ( )e x
c 0
d ( x x0 )
y ( )e y
a 0
b ( y y0 )
Байду номын сангаас 1.
1.2 可化为变量分离的方程类型
2
换化为变量分离方程，这里 a , b , c , a , b , c 均为常数. 我们分三种情形来讨论： a b c （常数）情形. k a b c
1 1 1 2 2 2
这是方程化为
dy k, dx
y kx c,
有通解为
其中 c 为任意常数.
a b c k a b c
容易验证，原方程的通解就是
u x, y c,
（ c 是任意常数）.
2 2 3
例7
3x 6 xy dx 6 x y 4 y dy 0 的通解.
2
解 这里 M 3x 6 xy , N 6 x y 4 y , 这时 M N 12 xy, 12 xy, 因此方程是恰当微分方程. y x 现在求 u, 是它同时满足如下两个方程： u u 3x 6 xy , 6 x y 4 y . x y 前一个式子，对 x 积分，得到 u x 3x y y ,
2
x y 3 0,
得 x 1, y 2.
2
2
则
y 2 2 x 1 y 2 x 1 c .
2 2 1
此外 Y 2 XY X 0 也是解 原方程的通解为 y 2 xy x 6 y 2 x c, 其中 c 为任意常数.
dy 例6 求方程 x 1 ny e x 1 的通解， dx 这里n为常数. dy n y e x 1 . 解 将方程改写为 dx x 1 dy n y 0 的通解， 首先，求其次线性微分方程 dx x 1 为 y c x 1 .
2 2
因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量 即可的原方程的解. 上述方法也适用于如下方程： axbyc dy f , yf xy dx xg xy dy 0, dx a xb y c dy dy y x f xy , xf , dx dx x M x, y xdx ydy N x, y xdy ydx 0.
现在讨论非齐次线性微分方程通解的求法. 我们知道 y ce , 是齐次线性微分方程的通解. 将常数 c 变易为 x 的待定函数 c x .
P x dx
令 y c x e
dy dc x e dx dx
P x dx
P x dx
,
微分之，得到
下面具有对称形式的一阶微分方程 M x, y dx N x, y dy 0. 如果方程的左端恰好是某个二元函数 u x, y 的全微分，即 u u M x, y dx N x, y dy du x, y dx dy, x y 则称方程为恰当微分方程.
2
此外，方程还有解 u 0, 代回原来的变量，原方程 的通解为 y x[ln x c] , ln x c 0 即 y 0.
2
2
dy a x b y c 形如 dx a x b y c
1 1 2 2
1
的方程也可以经变量变
1 1 1 2 2 2
1 2
1
1
1
2
2
2
代表 Oxy 平面上两条相交的直线，设交点为 , .
若令
X x , Y y ,
则上式化为
1 1
a X bY 0,
1 1
a X b Y 0,
2 2
Y 从而方程变为 dY a X bY g . dX a X b Y X
1 1 1 2 2 2
2 2
例5 解 令
求解方程 解方程组 x X 1,
dy x y 1 . dx x y 3 x y 1 0,
dY X Y y Y 2, 代入方程，有 dX X Y . dX 1 u Y du, 再令 u , 则化为 X 1 2u u X ~, ln X ln u 2 u 1 c 两边积分，得
x n 1 x n
n
其次应用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解. 把上式中的 c 看成 x 的待定函数 c x , 即 y c x x 1 , 微分得 dy dc x x 1 n x 1 c x . dx dx
n
n n 1
将其代入到前式中，可得到 dc x e, dx
2 2 2 3
2
2
2
3
3
2
2
将得到的方程对 y 求导，并使它满足上一个方程，即得 u d y 6x y 6x y 4 y , 于是 y dy d y 4 y , 积分后可得 y y , dy
2 2 3
4
3

u x 3x y y .
下面来做几道题来来练习一下变量分离方程， 例1
dy ln xdx ( y 0). 解 将方程变量分离，得到 y 两边积分得 ln y x ln x x c ,
1
dy y ln x. dx
这里 c 是任意常数，从上式解出 y 可得显 示通解为 y c e ,
1
x ln x x
一阶常微方程的初等解法

变量分离方程与变量变换 线性微分方程与常数变易法
恰当微分方程与积分因子
一阶隐式微分方程与参数表示
重点：变量分离方程、线性微分方程、常数变易法、恰当微分方
程、积分因子、一阶隐式微分方程与参数解法；
难点：变量变换、积分因子、分项组合法、建立微分方程模型.
总 结
1：变量分离方程与变量变换
1 1 2 2
2 2
1
2
令 u a x b y, 这时有 du dy ku c a b a b 是变量分离方程. dx dx uc
1 2 2 2 2 2

a b a b
1 2
1
2
如果方程中 c , c 不全为零，方程右端分子、分母 a x b y c 0, x, y 的一次多项式，因此 a x b y c 0,
x
积分之，得到
~. c x e c
x
因此，将所求的 c x 代入原方程， 其通解为
~ , y x 1 e c
n x
~ 是任意常数. 这里 c
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3.恰当微分方程与积分因子
3.1 恰当微分方程
dy f x, y 写成微分的形式 我们把一阶方程 dx f x, y dx dy 0, 或把 x, y 平等看待，写成