直观观察对代数证明思路的启示

ｊ
（ ）＝ 一２ ｃ， （ ＝ 一２ ， ＥＲ，令 ｆ ｘ ＝ ） （ ． ） ｂ （ ） （ ）
．
（） １ 如果函数， ） Ｉ 在 ＝ 处有极限值一 一 试确定 ｂ ｃ ｌ 姜， ， 的值；
ｊ
题 就能 建 起 来 ．需 要 在 教 学 过 程 中 不 断 地积 累． 【 ］ 文 １ 中指 ： 认识 数 学 抽 象 形 式 背 后 的 直 观 背 景 ，对 于 在探 究 中 的发 现 和 仓 Ｉ 造 具 有 重 要 意 义 ．… 照对基 小 关 系和 基 本 概 念有 了深 入 的直 观 认 ＇
一
两数 性 质 的 分 析 不 仅 仪 是 重点 ，也经 常作 为 整套 试 题 中 的难 点 ，
、
得 许 多 学生 望
畏 ．如粜 在 时 的学 习过 程 中 ，注 重 培 养 观 察
例 １ （０ ９年 湖 北 省 高考 数 学理 科 卷 第 ２ 题 ） 在 Ｒ 上定 ２０ ｌ
能 力，提高直观洞察 力，柯很多这样的题 目其实 许非真的那 么难 培养和提 高直 观观察能 力，运用 儿何直 观了解代 数关 系 ．
＝ 或 ＝ ） 刚性 平 便是代数 Ｊ ｆ Ｌ， ｄ￣一种统 一 ；所渭复数 ，其实就是 “ 平而 ｆ 的 准 一 次 函数 Ｙ （ ， 一 的 图象在 坐 标 平 面 上经 过 “
数” ，等等．
移 ”得 到 的 ，在 移 动 过 程 中 ，曲线 的 开 口方 向是 不 变 的 ． 以下 在
一
条 【线 ；带有参数 的函数 ，其 图象可以看作一族 曲线 ，参数 ｌ 扫
一
的变化可能表示 线 的移 动或者变形 （ 具体情 况要 具体 分析） ；
（） １ 一个首项 系数为 １ （ １ 或一 ）的二次 函数 Ｙ＝ 一２ —Ｃ 。 ｂ
，ｃ是多少 ，其图象都是标 某点处 的导数是 ｝线上某 给定点 的切 Ｉ 线斜率 ；解析几 何本身 的罔象 ，无论 数表达式 中的参数 ｂ 抖 ｉ ＃ ｌ
式 是 有 内 容 的 ， 才 Ｉ 能 对 数 学 的 基 本 关 系 和 基 本 概 念 有 更 为 生 １ ｆ
动 、深 入 的理 解 ．
收 稿 日期 ：２ １－ ６ ３ ０００ —０
（） ２ 如果 Ｘ， ： 于二 次函数 ＇ 一２ｘ—ｃ的同一个单调 ， 属 ． ： ｂ
区间，且绝对值 ｌ ｌ ３一 ｝ １ △ ：ｆ ≥ ，则对应函数值增量的绝 ５ 。
图 象 便 是 在一 个带 状 区 域 内 的一 段 曲线 ，这 个 带 状 区域 是 由 ＝
±１ 定的两条 直线所 围的中间部 分 （ 确 参见 图 １ 图 ２ 、 、图 ３ ． ）
的两 条 直 线 所 围 的 区域 ．
２ ．直观 解 读
若 ｂ≤０ 则 ｇＯ ＋ （） （） ｆ（ ）＝ｌ— ｂＩ １ ， （） ｇ１ ≥ １一 ｌ ２ ≥ ， ｏ １
图 １
若 ｂ ，则 ｇ０ ＋ （１ ≥ Ｌ （） 厂 一） ＝Ｉ＋ ｂｌ ， ≥０ （） ｇ一 ） ｒ ０ ＿ １Ｉ １ ２ ≥１ （
二
（） ４ 题中所考虑的函数是定义在闭区间［ １ １上 的，函数 的 可 得 Ｍ ≥ ｍ ｘ ０ ， 一 ） ≥ 一 ，］ ａ｛ ） １ ｝ １ ；
２１ ０ １年 第 １ ２期 —
＼＼ 、
Ｊ ｕｎ １ｏ ｈ ｎ ｓ Ｍａｈ ｍａｉｓ Ｅｄ ｃ “ ｎ ｏ ｒ ａ ｆＣ ｉｅ ｅ ｔｅ ｔ ｕ ａ ０ ｃ
Ｎ ．— ２ １ Ｏ１２ ０ １
摘 要 ： 与 函数 性 质 有 关 的 结 论 ，往 往 有 很 明 确 的 几何 直观
（ ） 曲线 ， 厂 Ｊ斜率为 ｃ的切线 与该 曲线的公 共点 ； ２求 一 （ ：
（ ） ｇ ＝Ｉ （）（ １ ≤ １最大值为 ，若 Ｍ ≥Ｋ ３记 （ ） ｆ ｌ ≤ 一 ）
，Ｃ恒成立 ，试求 Ｋ的最大值 ． 识 ，面 对某 些 较 为 复杂 的 代数 关 系 时 ，通 过 分 析 他会 得 到 清 晰 的 对任 意的 ｂ 由 于前 两 个 问 题 很 简 单 ，本 文 只分 析 最 后 一 个 问题 ．例 行 的 直观认识 ，而这些直观认识 往往会 对代数证明给予重要 的启示．
Ｋ ＝０． ５．
由上 面观察的关 系和结果 ，很 容易给出代数证 明 ，因为剩 下的工作就是直接验证 了．
３ ．代 数 证 明
２所 示 ． 然 ，这 两 条 曲线 上 的点 ，如 果 显
它们 的横坐标相 同 ，那么 它们到横 轴的
距 离 是 完 全 一 样 的 ．因此 ，如 果 仅 仅 考
一
厂 ＼
注 意到 由三角 不等 式 ＩＩ Ｉ Ｉ ｌ ｓｌ ｔ ＋ ≥ ｔ ，可 以推 出 ｓ —
；
：
１ ’ ． １ ｉ ，
：
虑 曲线上 的点 与横 轴之 间距 离 的大 小 ，
则 在 两 种 曲线 上 观 察 的 结果 是 一 致 的．
ｍ ｘ ｌｌ ｊ ≥ １ Ｉ ｓＩ ａ｛ｆ ，Ｉ ｝ ． ｓ 一
ｆ １ 、（ ） ｛ （ ＝ 厂 ） ＝ 先 ，从 理 解 最 基 本 的代 数关 系 开 始 ，就 要 寻 找 对 应 的 几 汁算 之后 ，ｆ（ ） ２ 的解 答 ，可 以得 到 ｇ ） ｌ （ Ｉ
何解 释． 多人以为代数 就是计算 ，使得某 些人 只关注运算技 很
巧 ．事实 ｔ ，在 中 学所 教 的数 学 内 容 中 ，绝 大 部 分 的 代 数 知识 都 有 很 明确 的 何 背 景 ． 果 回想 一 下代 数 知 识 的 教学 内容 ，我 们 Ｌ 如
背景 ．不认 识 这 些 直观 背 景 ， 使很 多结论 的代 教 证 明 显得 十 分 复
最后 ，在具体思考 一些讨论 函数性质 的题 目时 ，如果题 目
比较 复 杂 ，应 该 先 画 出 函 数 图 象 的 草 图 （ 者 在 脑 海 中形 成 其 或
杂．通过对 两道 高考题 的直观分析和代数证 明的 简化 ，说 明对基 基 本 直观 图 示 ） ，时 照 题 同的 文 亨 叙 述 ，弄 清 楚 所要 求 得 的结 果
（） ３ 函数 Ｙ 一 ｂ — 的图象 ，是将函数 Ｙ 一 ｂ — ＝Ｉ ２ｘ ｃｌ ＝ ２ｘ ｃ
图象 中在横轴 下方的那部 分曲线反射 到横轴上方 （ 原来在横 轴
上 方 的 部 分 不 变） 得 到 的 ，见 图 ｌ 图 及
； ；
综合 上述结果 ，可 知那个最小 的 只能是 ０ ，即所 求 的 ． ５
综上可知 Ｋ： ．
４ ．比 较 与 评 注
比较 原 参 考 答 案
（ ｈｔ： ｅｍｉｇ ｏｕｃｍ２ ０ ０ ０／ 见 ｔ ／ ａ ｎ． ｈ ． ／０ ９６ ９ ｐ／ ｌ ｓ ｏ
从 上 述 几 何 直 观 的 分 析 可 以 看 出 ，解 答 该 题 的关 键 是 ：确
ｎ ６４ ４４ ． ｔ１ ，本 文 所 给 答 案 有 如下 优 点 ． ２ ４ ２ ０ ９ｓ ｍ ） ｈ
关 键 词 ：函数 性 质 ；直 观 背 号 ；代 数 证 明
函数性质 的探 讨是数学最 重要的内容之一 在高考试题 中， 到 ，只要能 看清 抽象 代数 符 号背 后 的直 观意 义 ，有 些 所谓 的 “ 难题 ”其实并 不难 ． 至还有可能给 出比参考答 案更为简捷 的 甚 安 排 最 后 … 题 最 后 一 中 ．ｆ 于 很 多 这 样 的 题 目表 述 比较 抽 证 明或 解 法 ． 问 ｝ １ 象 ，所 给 ｝ 的参 考 答 案 也往 往 比较 复 杂 ，并 涉 硬 一 些 技 巧 ，使 ｆ ｊ 直 观 看 出 结果 。有 时可 以 使 验 证 变得 简 明
其次 ，在学 这些 内容 的时候 ，不应该将 这些几何解释 仅 行 史中，我们将这样的曲线称为标准二次 曲线 ，无论它在平面的 ，ｒ的值可以确 定曲线 的位置 ， 仅看做孤立的知识点 ，还应该将其看作概念本身的实际背景．这 什么位 置．我们还 知道 ，由参数 ｂ
样 才能让学生 认以到 ，那些看 去很抽象 的形式 符 号和代数 公 反之 ，知道 曲线 （ 顸点）的位置 ，也可以确定参数 ６ 的值． ，ｃ
Ｚ
线 的位置相关 ，即 Ｍ是随着 ｂ ，Ｃ的变化而变化 的 （ 实际 注：
是 ｂ ，ｃ的 函数 ） ．而题 目 中所 求 的 Ｋ，便 是 所 有 这 些 Ｍ 中 最 小 的一 个 ，对 本 题 而 言这 个 最 小 的 是 存 在 的 （ 则 便 是 所 有 这 否
些 的 下确 界 ） ． ຫໍສະໝຸດ Baidu
并 非 只 是 一 孤 立 的 ，法 或 者 技 巧 ，而 足 一 种 理 念 ，足 埘数 学 个 Ｊ ‘
的 一 认 识 沦 解 渎．这 种 能 力 ．绝 非 通 过 几 句 话 ，或 者 分 析 几道 种
义运算 ＠：Ｐ ｑ＝一１（ ｃ （ Ｐ— １ｑ—ｂ ＋ ｂ （，ｃ为 实常数 ） 记 ） ４ｅ ６ ．
ｊ 一２ ｘ～ ｊ 一 ｂ （ １≤ ≤ １ ． ）
１ ．基础 知 识 与 直 观 认 知 的积 累
解这道题 ，所萤考 虑的是函数 Ｙ： 一 ６ ｃｆ ２ — ．在分析第
二 次 数 的 图 象 以 及基 本 性 质 有 如 下 认识 ．
３问 会 发现 各 种 对 应 的 几 何解 释 ．［￣ ，区 问 【 续 函 数 的 闭 象便 是 （ ） 的 解 题 思路 时 ，我们 假 设 在 此 前 的 学 习 过程 ，学 生 已经 对 －Ｈ Ｌ ＝ 连
（ ）目的性明确． １ 在证 明之前 已经知道结果 ，思路清晰 ，可 以有针对性选择所要计算 的函数值． （） ２ 计算 与验证简单 ．由于验 证时 只需 在几个特 殊点取值 ． 比如说 在 ｂ≥ ０时 ，０与一 同属二 次 函数 的一个 单调 区间 内 ， １
定 曲线 的某一位 置 ，使得该 曲线在带状 区域 中的部分 与横轴所 能达到的最远距离 ，相比其他 曲线 （ 肘）而言是最小的． 的 计算
得 出 这个 距 离 ，并 证 明 这个 距 离 就 是 最 小 的 ． （ ） 察 的结 果 ． 意 到 上 面 提 到 的基 础 知 识 （ ） 在 观 察 ２观 注 ３，
本 关 系和 基 本 概 念 有 了 深入 的 直 观 认 识 ，往 往 会 对代 数 证 明 给 或者关 系有什么直观意义 （ 或几何解释） ，题 中的条件是否足 以
予 重要 的启 示 ．
保证得到这样 的结果或关系． 这样 的直观观察 ，往往会收到事半 功倍 的效果 ．为了说 明这一点 ，本文将具体 分析 两道高考 “ 难 题” ．揭示 几何直观观察对解答代数 问题 的肩 示作用 ．我们会看
横轴 之 间 所 能 达 到 的 最 远 垂 直 距 离 （ 图 １ ． 样 的 距 离 与 曲 见 ）这
又当６ ０ ｃ 时， ＝ ， ＝ 易于计算ｒ （）在区问［ １ ］ ｆ ｆ 一 ，１ 上的
二
带状 区域 中的曲线段 （ Ｙ 一 ｂ — 的 图象）上 的点 ，与 最 大值是 ． 即 ＝Ｉ ２ｘ ｃＩ
为叙述 简便 ，以下所说 的带状区域 ，便是指这个 由 ＝±１确定 同样 可得 Ｍ ≥ ． 综上可知在 区间［ １ ］ ，Ｍ ≥ 一 ，１上 １恒成立．
（） １ 问题 的解 读．当 ｂ ，Ｃ给定 时 ，函数 的图象 （ 一条标 准 二次曲线） 的位置也 就给定 了 ，函数 最大值 的几 何意义 是 ：
作 者 简 介 ：谢 琳 （９ ２ ） 男 ，Ｖ 川 广 汉人 ，教 授 ，主 要 从 事 基 础 数 学理 论 与 数 学思 想 方 面 的 教 学 和 研 究 １５ 一 ， － ５ ＇
７ ６
对值ｉｙｌ ，恰当 ＝ ， ＝ ±Ｉ △ ≥ｌ ｂ ｂ 时， Ｉｙｌ ． 有 △ ＝１