第06节 建立函数关系式举例
简单函数关系的建立
,680
【1-7-3】
二、经济学中常见的函数关系 1、总成本函数、总收入函数和总利润函数 （1）常用经济变量 成本（cost）： C 利润（profit）： L 收入（revenue）： R 单价（price）： P
一般以产量或销量为自变量x
（2）函数 总成本函数=变动成本＋固定成本=单位产品变动成本×产量＋固定成本
),出租房总收入为R, 则
x 180 套 10
租不出去的公寓有
x 180 套 10
租出去的公寓有50-
所以房地产公司的总收入为
x 180 x R R( x) ( x 20) 50 ( x 20)(68 ) 10 10
x 180,190, 200,
(1)将每台的实际售价P表示为订购量x的函数 (2)将利润L表示为订购量x的函数
（3）当一商场订购1000台时，厂家可获利润多少？ 解：（1）求售价与订购量的关系式
当x 100时, 售价P 90
因为最低售价为75, 所以有90 ( x 100) 0.01 75,即x 1600
【1-7-1】
解： 设圆柱的体积为y, 高为x, 则用一过球心且平行于圆柱母线的平面
与圆柱相交成一长方形, 该长方形的对角线长为2a,因此圆柱底直径为 4a 2 x 2
所以圆柱的体积为
4a 2 x 2 y 2
2 2 x x(4a x ),0 x 2a 4
【1-7-8】
例4 某种产品每台售价500元时，每月可销售1500台，每台售价降为 450元时，每月可增售250台，试求该产品的线性需求函数。
解：
线性需求函数为Qd a bP,因此依所给资料有
06 第六节 多元函数的极值及其求法
第六节 多元函数的极值及其求法在实际问题中，我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题. 与一元函数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值密切的联系. 下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题.分布图示★ 引例 ★ 二元函数极值的概念 例1-3★ 极值的必要条件 ★ 极值的充分条件★ 求二元函数极值的一般步骤 ★ 例4 ★ 例5★ 求最值的一般步骤 ★ 例6 ★ 例7★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 条件极值的概念 ★ 拉格郎日乘数法 ★ 例12★ 例 13 ★ 例 14 ★ 例 15 ★ 例 16*数学建模举例★ 线性回归问题 ★ 线性规划问题★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题6-6内容要点一、二元函数极值的概念定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 对于该邻域内异于),(00y x 的任意一点),(y x , 如果),,(),(00y x f y x f <则称函数在),(00y x 有极大值；如果),,(),(00y x f y x f >则称函数在),(00y x 有极小值; 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.定理1 (必要条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数, 且在点),(00y x 处有极值, 则它在该点的偏导数必然为零，即.0),(,0),(0000==y x f y x f y x (6.1)与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点.定理2 (充分条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有直到二阶的连续偏导数，又,0),(00=y x f x .0),(00=y x f y 令.),(,),(,),(000000C y x f B y x f A y x f yy xy xx === (1) 当02>-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处有极值，且当0>A 时有极小值),(00y x f ；0<A 时有极大值),(00y x f ；(2) 当02<-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处没有极值;(3) 当02=-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处可能有极值，也可能没有极值.根据定理1与定理2，如果函数),(y x f 具有二阶连续偏导数，则求),(y x f z =的极值的一般步骤为：第一步 解方程组,0),(,0),(==y x f y x f y x 求出),(y x f 的所有驻点；第二步 求出函数),(y x f 的二阶偏导数，依次确定各驻点处A 、 B 、 C 的值，并根据2B AC -的符号判定驻点是否为极值点. 最后求出函数),(y x f 在极值点处的极值.二、二元函数的最大值与最小值求函数),(y x f 的最大值和最小值的一般步骤为:（1）求函数),(y x f 在D 内所有驻点处的函数值;（2）求),(y x f 在D 的边界上的最大值和最小值;（3）将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值, 最小者即为最小值. 在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，可以判断出函数),(y x f 的最大值（最小值）一定在D 的内部取得，而函数),(y x f 在D 内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是函数),(y x f 在D 上的最大值（最小值）.三、条件极值 拉格朗日乘数法前面所讨论的极值问题，对于函数的自变量一般只要求落在定义域内，并无其它限制条件，这类极值我们称为无条件极值. 但在实际问题中，常会遇到对函数的自变量还有附加条件的的极值问题. 对自变量有附加条件的极值称为条件极值.拉格朗日乘数法设二元函数),(y x f 和),(y x ϕ在区域D 内有一阶连续偏导数，则求),(y x f z =在D 内满足条件0),(=y x ϕ的极值问题，可以转化为求拉格朗日函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=（其中λ为某一常数）的无条件极值问题.于是，求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为：(1) 构造拉格朗日函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=其中λ为某一常数;(2) 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧===+==+=0),(,0),(),(,0),(),(y x L y x y x f L y x y x f L y y y x x x ϕλϕλϕλ解出λ,,y x , 其中x , y 就是所求条件极值的可能的极值点.注：拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件, 因此按照这种方法求出来的点是否为极值点, 还需要加以讨论. 不过在实际问题中, 往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形:四、数学建模举例例题选讲二元函数极值的概念例1 (E01) 函数2232y x z +=在点(0, 0)处有极小值. 从几何上看，2232y x z +=表示一开口向上的椭圆抛物面，点)0,0,0(是它的顶点.（图7-6-1）.例2 (E02) 函数22y x z +-=在点(0,0)处有极大值. 从几何上看，22y x z +-= 表示一开口向下的半圆锥面，点)0,0,0(是它的顶点.（图7-6-2）.例3 (E03) 函数22x y z -= 在点(0,0)处无极值. 从几何上看，它表示双曲抛物面（马 鞍面）（图7-6-3）例4 (E04) 求函数x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值.解 先解方程组解得驻点为),0,1(),2,1(),0,3(-).2,3(-再求出二阶偏导数),(y x f xx ,66+=x ),(y x f xy ,0=),(y x f yy .66+-=y在点 (1, 0) 处, ,06122>⋅=-B AC 又,063),(0963),(22⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=y y y x f x x y x f y x ,0>A 故函数在该点处有极小值;5)0,1(-=f在点 (1, 2) 处, )0,3(-处，,06122<⋅-=-B AC 故函数在这两点处没有极值;在点)2,3(-处，,0)6(122>-⋅-=-B AC 又,0<A 故函数在该点处有极大值.31)2,3(=-f例5 证明函数 y y ye x e z -+=cos )1(有无穷多个极大值而无一极小值.二元函数的最大值与最小值.证 由⎪⎩⎪⎨⎧=--='=+-='0)1(cos 0sin )1(y x e z x e z y y y x).(1)1(Z k y k x k ∈⎩⎨⎧--==π 又,cos )1(x e z A y xx +-=''=,sin x e z B y xy -=''=).2(cos y x e z C y yy--=''= 在点))(0,2(z n n ∈π处,,2-=A ,0=B ,1-=C ,022>=-B AC又,0<A 所以函数z 取得极大值;在点))(2,)12((z n n ∈-+π处,,12-+=e A ,0=B ,2--=e C ,0422<--=---e e B AC 此时函数无极值.证毕.二元函数的最大值与最小值例6 求函数y xy x y x f 22),(2+-=在矩形域 |),{(y x D =}20,30≤≤≤≤y x上的最大值和最小值.解 先求函数),(y x f 在D 内驻点.由,022=-=y x f x 022=+-=x f y 求得f 在D 内部的唯一驻点 (1, 1),且.1)1,1(=f 其次求函数),(y x f 在D 的边界上的最大值和最小值.如图所示.区域D 的边界包含四条直线段.,,,4321L L L L在1L 上,0=y ,)0,(2x x f =.30≤≤x 这是x 的单调增加函数,故在1L 上f 的最大值为,9)0,3(=f 最小值为.0)0,0(=f同样在2L 和4L 上f 也是单调的一元函数,易得最大值、最小值分别为,9)0,3(=f 1)2,3(=f (在2L 上),,4)2,0(=f 0)0,0(=f (在4L 上),而在3L 上,2=y ,44)2,(2+-=x x x f ,30≤≤x 易求出f 在3L 上的最大值,4)2,0(=f 最小值.0)2,2(=f将f 在驻点上的值)1,1(f 与4321,,,L L L L 上的最大值和最小值比较,最后得到f 在D 上的最大值,9)0,3(=f 最小值.0)2,2()0,0(==f f例7 求二元函数)4(),(2y x y x y x f z --==在直线6=+y x , x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的最大值与最小值.解 先求函数在D 内的驻点，解方程组 ,0)4(),(0)4(2),(222⎩⎨⎧=---='=---='y x y x x y x f y x y x xy y x f xx 得唯一驻点),1,2(且,4)1,2(=f 再求),(y x f 在D 边界上得最值，在边界6=+y x 上，即,6x y -=于是),2)(6(),(2--=x x y x f由,02)6(42=+-='x x x fx 得4,021==x x ,264=-==x x y 而,64)2,4(-=f 所以4)1,2(=f 为最大值，64)2,4(-=f 为最小值.例8 求函数 32233),(x y x y x f -+=在区域16:22≤+y x D 上的最小值.解 先求),(y x f 在D 内的极值.由,36),(2x x y x f x -=',6),(y y x f y =' 解方程组⎩⎨⎧==-060362y x x 得驻点(0, 0), (2, 0). 由于,6)0,0(=''xxf ,0)0,0(=''xy f ,6)0,0(=''yy f ,6)0,2(-=''xxf ,0)0,2(=''xy f .6)0,2(=''yy f 所以, 在点 (0, 0) 处,0362<-=-AC B ,06>=A 故在 (0, 0) 处有极小值.0)0,0(=f 在点 (2, 0) 处,0362>=-AC B 故函数在点 (2, 0)处无极值.再求),(y x f 在边界1622=+y x 上的最小值.由于点),(y x 在圆周1622=+y x 上变化,故可解出),44(1622≤≤--=x x y 代入),(y x f 中，有z ),(y x f =32233x y x -+=348x -=),44(≤≤-x这时z 是x 的一元函数,求得在]4,4[-上的最小值.164-==x z 最后比较可得,函数32233),(x y x y x f -+=在闭区间D 上的最小值.16)0,4(-=f例9 求 122+++=y x yx z 的最大值和最小值.解 x z 22222)1()(2)1(+++-++=y x y x x y x ,0=y z 22222)1()(2)1(+++-++=y x y x y y x ,0=解得驻点 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21和,21,21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 因为,01lim 22=+++∞→∞→y x y x y x 即边界上的值为零.又 ,2121,21=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z ,2121,21-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--z 所以最大值为,21最小值为.21-例10 (E05) 某厂要用铁板做成一个体积为32m 的有盖长方体水箱. 问当长、宽、高各 取怎样的尺寸时, 才能使用料最省.解 设水箱的长为,xm 宽为,ym 则其高应为./2xym 此水箱所用材料的面积 A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+=xy x xy y xy 222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=y x xy 222).0,0(>>y x 此为目标函数.下面求使这函数取得最小值的点).,(y x 令,0222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y A x .0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y x A y 解这方程组,得唯一的驻点,23=x .23=y根据题意可断定,该驻点即为所求最小值点. 因此当水箱的长为m 32、宽为m 32、高为=⋅33222m 32时，水箱所用的材料最省.注: 体积一定的长方体中,以立方体的表面积为最小.例11 (E06) 设1q 为商品A 的需求量, 2q 为商品B 的需求量, 其需求函数分别为,10420,4216212211p p q p p q -+=+-=总成本函数为2123q q C +=，其中21,p p 为商品A 和B 的价格, 试问价格21,p p 取何值时可使利润最大?解 按题意，总收益函数为),10420()42216(2122112211p p p p p p q p q p R -+++--=+=于是总利润函数为)2()3(2211-+-=-=p q p q C R L).10420)(2()4216)(3(212211p p p p p p -+-++--=为使总利润最大，求一阶偏导数，并令其为零：,08414211=+-=∂∂p p p L )2(10)10420()3(422111---++-=∂∂p p p p p L ,02082821=-+=p p由此解得 ,14,26321==p p 又因 .0)20)(4(8)(22<---=''⋅''-''yy xx xy L L L 故取价格14,26321==p p 时利润可达最大，而此时得产量为.6,921==q q例12 求函数xyz u =在附加条件a z y x /1/1/1/1=++ ()0,0,0,0>>>>a z y x (1)下的极值.解 作拉格朗日函数),,,(λz y x L )./1/1/1/1(a z y x xyz -+++=λ由.3.3/.0)/1/1/1(30/0/0/222a x y x a xyz z y x xyz z xy L y xz L x yz L zy x ===⇒=⇒=++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-==-==-=λλλλλ故)3,3,3(a a a 是函数xyz u =在条件(1)下唯一驻点.把条件(1)确定的隐函数记作),,(y x z z =将目标函数看作),,(),(y x F y x z xy u =⋅=再应用二元函数极值的充分条件判断,知点,3,3(a a )3a 是函数xyz u =在条件(1)下的极小值点.而所求极值为.273a条件极值 拉格朗日乘数法例13 (E07) 求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积.解 设长方体的三棱长为,,,z y x 则问题就是在条件 ),,(z y x ϕ2222a xz yz xy -++=0=(1) 下, 求函数)0,0,0(>>>=z y x xyz V 的最大值.作拉格朗日函数),,,(λz y x L ),222(2a xz yz xy xyz -+++=λ 由..,0)(20)(20)(2z y x z x y x z y z y z x y x x y xy L z x xz L z y yz L zy x ==⇒++=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++==++==++=λλλ代入 (1) 式,得唯一可能的极值点:,6/6a z y x ===由问题本身意义知,此点就是所求最大值点.即,表面积为2a 的长方体中,以棱长为6/6a 的正方体的体积为最大,最大体积.3663a V =例14 在经济学中有个Cobb-Douglas 生产函数模型,),(1a a y cx y x f -=式中x 代 表劳动力的数量, y 为资本数量(确切地说是y 个单位资本), c 与)10(<<a a 是常数, 由各工厂的具体情形而定. 函数值表示生产量.现在已知某制造商的Cobb-Douglas 生产函数是=),(y x f ,1004143y x 每个劳动力与每单位资本的成本分别是150元及250元. 该制造商的总预算是50000元. 问他该如何分配这笔钱用于雇用劳动力与资本，以使生产量最高.解 这是个条件极值问题，求函数4143100),(y xy x f =在条件50000250150=+y x 下的最大值. 令)25015050000(100),,(413y x y x y x L --+=λλ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--==-==-=--0250150500000250250150754343141y x L yx L y x L xx x λλ 中的第一个方程解得,21411y x -=λ将其代入第二个方程中，得 ,0125254141343=---y x y x 在该式两边同乘,4341y x 有,012525=-y x 即.5y x =将此结果代入方程组的第三个方程得,50,250==y x 即该制造商应该雇用250个劳动力而把其余得部分作为资本投入，这时可获得最大产量.16719)50,250(=f例15 (E08) 设销售收入R (单位:万元)与花费在两种广告宣传的费用y x ,(单位:万元) 之间的关系为yy x x R +++=101005200 利润额相当五分之一的销售收入, 并要扣除广告费用. 已知广告费用总预算金是25万元, 试问如何分配两种广告费用使利润最大?解 设利润为,z 有 z y x R --=51.1020540y x y y x x --+++=,限制条件为.25=+y x 这是条件极值问题.令),,(λy x L )25(1020540-++--+++=y x y x yy x x λ 从,01)5(2002=+-+=λx L x 01)10(2002=+-+=λy L y22)10()5(y x +=+又,25x y -=解得,15=x .10=y 根据问题本身的意义及驻点的唯一性即知,当投入两种广告的费用分别为15万元和10万元时,可使利润最大.例16 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c , 每台电视机的销售价格为p , 销售量为x .假设该厂的生产处于平衡状态, 即电视机的生产量等于销售量. 根据市场预测, 销售量x 与销售价格为p 之间有下面的关系:ap Me x -= )0,0(>>a M (1) 其中M 为市场最大需求量, a 是价格系数. 同时, 生产部门根据对生产环节的分析, 对每台电视机的生产成本c 有如下测算: x k c c ln 0-= (1,0>>x k ), (2) 其中0c 是只生产一台电视机时的成本, k 是规模系数. 根据上述条件, 应如何确定电视机的售价p , 才能使该厂获得最大利润?解 设厂家获得的利润为,u 每台电视机售价为,p 每台生产成本为,c 销售量为,x 则.)(x c p u -=于是问题化为利润函数x c p u )(-=在附加条件(1)、(2) 下的极值问题.利用拉格朗日乘数法,作拉格朗日函数:),,,,(μλc p x L ).ln ()()(0x k c c Me x x c p ap +-+-+-=-μλ令x L x k c p /)(μλ++-=,0=p L ap aMe x -+=λ,0=c L μ+-=x .0=将 (1) 代入 (2),得 ).(ln 0ap M k c c --= (3)由 (1) 及0=p L 知 ,1-=a λ即./1a -=λ (4)由0=c L 知,μ=x 即 .1/=μx将 (3)、(4)、(5) 代入,0=x L 得,0/1)(ln 0=+--+-k a ap M k c p由此得 *p .1/1ln 0akk a M k c --+-=由问题本身可知最优价格必定存在,故这个*p 就是电视机的最优价格.数学建模举例1．最小二乘法数理统计中常用到回归分析，也就是根据实际测量得到的一组数据来找出变量间的函数关系的近似表达式. 通常把这样得到的函数的近似表达式叫做经验公式. 这是一种广泛采用的数据处理方法. 经验公式建立后，就可以把生产或实践中所积累的某些经验提高到理论上加以分析，并由此作出某些预测. 下面我们通过实例来介绍一种常用的建立经验公式的方法.例17 (E09) 测定刀具的磨损速度，按每隔一小时测量一次刀具厚度的方式，得到如下 实测数据：8.243.257.251.263.265.268.260.27)(76543210)(76543210毫米刀具厚度小时时间顺序编号i i y t i试根据这组实测数据建立变量y 和t 之间的经验公式).(t f y =解 观察散点图，易发现所求函数)(t f y =可近似看作线性函数，因此可设,)(b at t f +=其中a 和b 是待定常数，但因为图中各点并不在同一条直线上，因此希望要使偏差)7,,2,1,0()(Λ=-i t f y i i 都很小.为了保证每个这个的偏差都很小，可考虑选取常数,,b a 使∑=+-=702)]([i i i b at yM 最小.这种根据偏差的平方和为最小的条件来选择常数b a ,的方法叫做最小二乘法.求解本例：可考虑选取常数,,b a 使∑=+-=702)]([i i i b at yM 最小.把M 看成自变量a和b 的一个二元函数，那么问题就可归结为求函数),(b a M M =在那些点处取得最小值.令,0)]([20)]([2707⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=∂∂=+--=∂∂∑∑==i i i i i i i b at y b M t b at y a M即 .0)]([0)]([77⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-∑∑==i i i i i i i b at y t b at y 整理得.871717171712⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====i i i i i i i i i i i y b t a t y t b t a (1) 计算，得.0.717,5.208,140,28717171271====∑∑∑∑====i ii i i iii ity ytt代入(1)，得 ⎩⎨⎧=+=+5.20882871728140b a b a.125.27,3036.0=-=b a于是，所求经验公式为 .125.273036.0)(+-==t t f y (2) 根据上式算出的)(i t f 与实测的i y 有一定的偏差，见下表：注：偏差的平方和,108165.0=M 其平方根.392.0=M 我们把M 称为均方误差，它的大小在一定程度上反映了用经验公式近似表达原来函数关系的近似程度的好坏.注：本例中实测数据的图形近似为一条直线，因而认为所求函数关系可近似看作线性函数关系，这类问题的求解比较简便.有些实际问题中，经验公式的类型虽然不是线性函数，但我们可以设法把它转化成线性函数的类型来讨论.2．线性规划问题求多个自变量的线性函数在一组线性不等式约束条件下的最大值最小值问题，是一类完全不同的问题，这类问题叫做线性规划问题. 下面我们通过实例来说明.例18 (E10) 一份简化的食物由粮和肉两种食品做成, 每份粮价值30分, 其中含有4单位醣, 5单位维生素和2单位蛋白质; 每一份肉价值50分, 其中含有1单位醣, 4单位维生素和4单位蛋白质. 对一份食物的最低要求是它至少要由8单位醣, 20单位维生素和10单位蛋白质组成, 问应当选择什么样的食物, 才能使价钱最便宜.解 设食物由x 份粮和y 份肉组成，其价钱为.5030y x C +=由食物的最低要求得到三个不等式约束条件，即：为了有足够的醣，应有;84≥+y x 为了有足够的维生素，应有;2045≥+y x为了有足够的蛋白质，应有;1042≥+y x 并且还有.0,0≥≥y x 上述五个不等式把问题的解限制在平面上如图的阴影区域中，现在考虑直线族.5030y x C +=当C 逐渐增加时，与阴影区域相交的第一条直线是通过顶点S 的直线，S 是两条直线 2045=+y x 和1042=+y x 的交点，所以点S 对应于C 的最小值的坐标是),65,310(即这种食物是由313份粮和65份肉组成. 代入y x C 5030+=即得到所要求的食物的最低价格32141655031030min =⨯+⨯=C 分.下面的例子是用几何方法来解决的.例19 (E11) 一个糖果制造商有500g 巧克力, 100g 核桃和50g 果料. 他用这些原料生产三种类型的糖果. A 类每盒用3g 巧克力, 1g 核桃和1g 果料, 售价10元. B 类每盒用4g 巧克力和1g 核桃, 售价6元. C 类每盒是5g 巧克力, 售价4元. 问每类糖果各应做多少盒, 才能使总收入最大?解 设制造商出售C B A ,,三类糖果各为z y x ,,盒，总收入是z y x R 4610++=(元). 不等式约束条件由巧克力、核桃和果料的存货限额给出，依次为 .50,100,500543≤≤+≤++x y x z y x当然，由问题的性质知，y x ,和z 也是非负的，所以 .0,0,0≥≥≥z y x 于是，问题化为：求R 的满足这些不等式的最大值.上述不等式把允许的解限制在Oxy 空间中的一个多面体区域之内(如图).在平行平面R z y x =++4610中只有一部分平面和这个区域相交，随着R 增大，平面离原点越来越远.显然，R 的最大值一定出现在这样的平面上，这种平面正好经过允许值所在多面体区域的由图可见，R 的最大值是920元，相应的点是，)30,50,50(所以A 类50盒，B 类30盒，C 类30盒时收入最多.课堂练习1.求函数)(2)(),(22222y x y x y x f --+=的极值.2.求函数)sin(sin sin ),(y x y x y x f z +-+==在由x 轴, y 轴及直线π2=+y x 所围成三角形中的最大值.3.某工厂生产两种产品A 与B, 出售单价分别为10元与9元, 生产x 单位的产品A 与生产y 单位的产品B 的总费用是:)()33(01.03240022元y xy x y x +++++求取得最大利润时, 两种产品的产量各多少?。
高一数学素材：《函数关系的建立》沪教版
函数关系的建立的案例一、案例背景分析建立函数关系式，是将实际问题抽象成数学问题的第一步，也是函数应用极其重要的关键的一步。
教材中着重研究分析了两类问题：一类是根据几何图形的性质建立函数关系，这类问题往往学生容易接受，较易上手。
另一类问题是需要通过阅读理解分析出函数关系，这类问题往往需要学生具有较高的理解分析能力，需要加强训练。
在本节中，学生经常会遇到二次函数、分段函数等，所以需要熟练掌握列表达式的能力，并能正确求得函数的定义域。
二、案例过程：当我们要用数学方法解决实际问题时，首先要把问题中的有关变量及其关系用数学的形式表示出来。
通常，这个过程叫做建模。
而实践中的大量问题是变量之间的关系问题，因此建立变量之间的函数关系是很重要的。
例1 如图，一动点P 自边长为1的正方形ABCD 的顶点出发， 沿正方形的边界运动一周，再回到A 点。
若点P 运动的路程为x ，点P 到顶点A 的距离为y 。
求A 、P 两点间的距离y与点P 的路程式 x 之间的函数关系式。
（1）首先要求学生进行阅读、理解题意，分析条件和要求的结论，然后去尝试建模。
（2）小组进行讨论，并且给出建模的函数。
第一小组：22)3(122+-=-+=x x x y第二小组：这个结论不对，因为当点P 在AB 边上时，y=x教师：第二小组同学讲得对。
但是还不完整。
第三小组：根据点P 的不同位置，A 、P 两点间的距离变化分段表示。
（1）当点P 在AB 边上，即0≤x≤1，时，AP=x ，∴y=x;(2)当点P 在BC 边上，即1<x≤2时,AB=1,BP=x-1,由勾股 定理得222DP AB AP +=.∴22)3(122+-=-+=x x x y ;(3)当点P 在 CD 边上,即2<x≤3时,AD=1,DP=3-x 由勾股定理得222DP AD AP += ∴106)3(122+-=-+=x x x y ;(4)当点P 在AD 边上,即3<x≤4时,AP=4-x, ∴ y=4-x .教师：我们同学通过自己的自主实践，通过与同学的相互讨论、合作，逐步完善结论，从而使问题得到解决。
第06节_微分方程应用举例
y2 2 x C。 y
利用初始条件，最后得所求曲线为
y2 x2 | y2 2 |。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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3．解 由题设有
dM kM （k>0） dt
M | t t 0 M 0
e kt，再利用初始条件 M |t t M 0 ， 其通解M＝C 得 C M 0 e kt ，从而得
一、微分方程的建立与应用
二、几何问题的简单方程模型 三、力学问题的简单方程模型
华南理工大学数学科学学院 杨立洪 博士
一、微分方程的建立与应用
1．用微分方程解决实际问题的一般过程： （1）建立微分方程，并根据实际问题提出 相应的初始条件； （2）求解微分方程；
（3）利用求得的解说明它所反映的事实。
2．建立微分方程的常用方法： （1）直接法：利用有关的科学定律直接写出 微分方程； （2）间接法：通过微元分析或数学运算确定 微分方程。
y | x 0 0
2( x 1) Ce x 由 y | X 0 0 得 C 2 ，故所求曲线为
y 2( x 1) 2e x 。
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2．解 由题意有
x
1
2x ydx 2 y
y | x 1 1
方程两边求导得
2 y 2 ( y xy' ) y
可见，在下落阶段，降落伞是加速运动，但随着 时间推移，而逐渐接近于匀速运动。
例4 设在海平面上每平方厘米大气压力为9.8N， 海拔高度为500m时，每平方厘米大气压力为9N， 求大气压力与海拔高度的关系。
解 设在海拔 h 米处每平方厘米的大气压力为P。 取一底面积为单位面积，高为 dh的空气柱， 根据力的平衡条件知，大气压力的改变量 ______________ 等于该空气柱的重量，即 ________________ dP gdh ， 其中 为大气密度，又由于大气压力与大气密 成正比，即 ＝k1 P（ k 1为比例常数），
函数关系建立
函数的运算与函数关系的成立一、知识梳理＆方法总结( 一 ) 函数关系的成立1.解函数应用问题的步骤（四步八字）(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数目关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转变为数学语言，将文字语言转变为符号语言，利用数学知识，成立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)复原：将数学识题复原为本质问题的意义。
2.以上过程用图表示以下剖析、联想本质问题成立函数模型抽象、转变答复原本质结果数学结果( 二 ) 函数的运算3.和函数与积函数的观点① 定义一般的，函数 f x x D1 与 g x x D2 ，设 D D1 D2并且D 不是空集，我们把 y f x g x x D 叫做函数 f x 与g x 的和；把 y f x g x的积叫做 f x 与g x ②分析式函数 f x 与g x 的和 F x 或积G x 的分析式由 f x 与g x 的分析式的和（ F x f x g x ）或积（ G x f x g x ）表示注意：①如果 f x 的定义域与 g x 的定义域的交集是空集，那么 f x g x ，f xg x 无心义② 两个函数的和与积，都是在两函数的公共定义域中定义的，在这个公共定义域 D 中，任取x D ，f x g x , f x g x 都有独一的一个值和它对应，所以，这样的和与积都是函数。
③ 近似可定义两函数的差函数与商函数4.和函数与积函数的图像与应用和函数的图像能够看做是由若干个函数的图像在其对应的地点上的叠加而成的，的图像一般只好用列表描点法达成。
积函数比如：函数y ax ba, b R 是由y ax 和yb两个函数相加获得的和函数。
x x二、典型例题剖析【例一】等腰三角形周长为20（1）若底边是x，腰长是y，将y表示成x的函数（2）若腰长是x，底边长是y，将y表示成x的函数变式练习某工厂今年 1 月， 2 月， 3 月分别生产某产品 1 万件， 1.2 万件， 1.3 万件，为了估测此后每个月的产量，以这三个月的产品数目为依照，用一个函数模拟该产品的月产量 y 与月份数x的关系，模拟函数可选函数y ab x c （此中a, b,c 为常数）或二次函数。
高等数学基础PPT第一章
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1.1函数的概念与特性—函数
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1.1函数的概念与特性—函数的几种简单性态
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1.2初等函数与建立函数关系式—初等函数
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1.2初等函数与建立函数关系式— 建立函数关系式举例
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高等数学基础
第一章 函数及其图形
主讲:
函数及其图形
函数的概念与特性
集合与区间 函数 函数的几种简单性态
初等函数与建立函数关系式
初等函数 建立函数关系式举例
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1.1函数的概念与特性--集合与区间
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1.1函数的概念与特性--集合与区间
函数关系的建立
课题3.2：（1）函数关系的建立教学目标1. 会对一些简单的实际问题建立两个变量之间的函数关系式，并确定函数的定义域。
2. 通过函数关系式的建立，提高实际问题转化为数学问题的能力。
3. 培养数学应用意识和理论联系实际的观点。
教学重点及难点1．建立实际问题中两个变量之间的函数关系式；2．实际问题转化为数学问题教学过程一、复习：1、若函数f(x)＝3x 2－2x ，则f [f (2)]＝ 。
2、函数1|x |13x 2x 4y 2-++⋅-=的定义域是 。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈--∞∈+=时，当时，当时，当),2[x ,x 2)2,1(x ,x ]1,(x ,2x )x (f 2那么当=x 时，f(x)＝3。
4、有下列四组函数中，表示同一函数的有 组。
①55x y =与33x y = ②x 3x y -=与x3x y -= ③1x )2x )(1x (y 22+-+=与y ＝x －2 ④|x |)x (f =与2t )t (g = 二、新课讲授：例1、如图，一个边长为a ，b(a ＞b)的长方形被平行于边的两条直线所分割，其中长方形的左上角是一个边长为x 的正方形，试用解析式将图中阴影部分的面积S 表示成x 的函数。
解：分析：右下阴影部分的长为a －x ，宽为b －x ，面积为(a －x)(b －x)；左上阴影部分面积为x 2得S ＝x 2＋(a －x)(b －x)＝2x 2－(a ＋b)x ＋ab解析式容易求，定义域容易忘！x 取值范围：0＜x ≤b则S ＝2x 2－(a ＋b)x ＋ab ，0＜x ≤b注：求函数解析式不能忘记函数定义域。
例2、等腰三角形周长为20。
(1) 若底边长为x ，腰长为y ，将y 表示成x 的函数；(2) 若腰长为x ，底边长为y ，将y 表示成x 的函数。
解：(1) ∵x ＋2y ＝20 ∴y ＝20x 2－，0＜x ＜10 (2) ∵2x ＋y ＝20 ∴y ＝20－2x ，5＜x ＜10注：函数定义域的确定需要仔细分析。
函数关系的建立
函数的概念——函数关系的建立这个过程是认识函数的初级阶段。
【示范例题】例5 如图，为使长24cm ，宽16cm 的长方形绿地的造型更加美观，计划在它的四个角建造四个相同的边长为x (cm)的小正方形艺术花坛.试将绿地面积y 表示成x 的函数.解 大长方形的面积为：()21624384m ⨯=，一个小正方形艺术花坛的面积为：2x所以， 23844y x =- ()08x <≤ 例6 上海长江大桥跨江段全长10000米，老王的轿车以时速60千米驶入跨江段，行驶4000米后轿车遇故障停车.老王立刻检修，排除故障，耗时15分钟.然后，以同样的时速驶离跨江段.试根据这一情景，将老王行驶距离S(米)表示成时间t (分钟)的函数，并画出这个函数图像.解 1000,04400019100015000,25t t S t t t ⎧≤≤⎪=≤⎨⎪-≤⎩当时；，当4<时；当19<时.【巩固练习】1. 一轮船在甲地出发，航行15千米后，以每小时20千米的速度匀速前进，由原方向航行了x 小时，船离出发点的距离为y 千米.试写出y 与x 的函数解析式.2. 体育课上，老师指导小王进行中长跑训练，要求：前3分钟平均速度为每秒5米；后213分钟平均速度为每秒6米.假设小王跑的距离y (米)是时间x (秒)的函数.(1)试画出这个函数的图像；(2)试写出这个函数关系式.3.某集装箱码头6月份装卸情况如下：上旬每天完成3000箱；中旬进行装卸机械维修；下旬为把中旬因机修而耽误的生产任务抓回来，每天完成6000箱.假设这个月的装卸箱数y是时间x(天数)的函数.(1)试画出这个函数的图像；(2)写出这个函数关系式.六课堂小结1. 学会建立简单的函数模型：当我们要用数学方法解决实际问题的时候，首先要把问题中的变量及其关系用到数学的形式表示出来。
2. 函数关系建立的一般步骤(1) 阅读理解题意；(2) 列出等量关系；(3) 等式变形得出函数解析式；(4) 根据实际意义给出函数的定义域.3、函数关系式的建立需要对具体问题进行深入的分析，有一个循序渐进的过程，要多加强训练。
函数关系的建立
x 24 x x V
26-2x
24-2x
V= x(26-2x)(24-2x) 考虑 x 的取值范围： 26-2x>0 ∴0<x<12 24-2x>0 答案： V= x(26-2x)(24-2x) （0<x<12）
x
26 x
巩固练习 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部 是边长分别为x、y（单位：m）的矩形，上部是 等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8m2， 试用解析式将 y 表示成 x 的函数。
x
小结：
(1)分析题意; (2)列出等量关系;
(3)等式变形得出函数关系;
(4)根据问题的实际意义给出函数的定义域.
作业： 把截面直径 d = 40厘米的圆形木料锯成 1、 矩形木料，设矩形的一边长是 x 厘米， 另一边长是 y 厘米，试用解析式将 y 表 示成 x 成圆的 周长C的函数
思考：问 x、y 分别为多少(精确到0.001m)时用料最省？ 1 x 分析： x • y + x 8 x 2 2 2 8 x 整理得： y x ( 0 x 4 2 ) x 4 y 解： x y 1 x x 8
8 x y x 4
2 2
(0 x 4 2 )
x 的函数.
x x
a
b
S=x2+(a-x)(b-x)=2x2-(a+b)x+ab, x 0, b
例2.如图,有一圆柱形的无盖杯子,它的内表面积是
100cm2 ，试用解析式将杯子的容积 V (cm3 )
建立函数关系式的方法
建立函数关系式的方法1.根据问题的实际背景和已知条件建立函数关系式很多问题都可以通过实际背景和已知条件来建立函数关系式。
首先，需要分析问题中的各个要素，明确各个要素之间的关系。
根据问题的描述，可以将其中的一些要素作为自变量，另一个要素作为因变量，然后建立它们之间的函数关系式。
举例：假设一个问题是：甲乙两人同时从同一地点出发，甲向东走，乙向北走，甲每小时走7千米，乙每小时走5千米。
问他们在多长时间后，两人离开出发地点的距离为10千米。
根据这个问题，可以设定甲的行走时间为x小时，乙的行走时间为y小时。
由于甲向东走，乙向北走，所以两人的行走路程满足勾股定理，可以建立方程式x^2+y^2=10^2、这样就建立了甲乙两人行走距离的函数关系。
2.根据已知数据点建立函数关系式有时候，问题中已经给出了一些具体的数据点，可以通过这些数据点来建立函数关系式。
首先要观察这些数据点是否满足其中一种规律，如果满足，则可以将自变量和因变量对应起来，然后根据这些对应关系建立函数关系式。
举例：假设问题是：已知正方形的周长和面积的关系式为C=4s，其中C表示周长，s表示边长。
现在给出了一个正方形的面积为16平方米，请问这个正方形的周长是多少？根据已知数据点的关系，可以把面积16对应到边长4，进而建立正方形周长和面积的函数关系式C=4s。
根据这个关系式，可以计算出周长为163.根据已知函数关系式进行变换和组合有时候，问题中已经给出了其中一种函数关系式，可以通过对其进行变换和组合来建立新的函数关系式。
这种方法常见的变换和组合有线性变换、平移变换、反函数、复合函数等。
举例：已知函数y=f(x)表示一些物体的高度随时间的变化关系，现在问题是求该物体的速度随时间的变化关系。
根据物体运动学的定义，速度是位移对时间的导数，所以可以将已知函数关系式y=f(x)对x求导，可以得到速度随时间的变化关系v=f'(x)。
这样就建立了速度和时间的函数关系。
解析“函数的应用”中“函数关系式”的建立
解析“函数的应用”中“函数关系式”的建立“探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能运用函数进行描述和解决问题”，这是《新课标》关于函数目标的一段描述。
因此，“函数建模及其应用”类试题，在全国各地中考试卷中备受青睐。
而建模的首要是建立函数关系式。
但在不同类型题目面前,不少同学往往感到手足无措,不能迅速找到解题思路.本文就近几年各地中考精典试题为例，着重系统解析“函数关系式”的建立方法I. 待定系数法所谓待定系数法，就是先设出函数解析式的一般形式，通过给定的函数图象上的点的坐标，将其代入函数解析式，求出待定系数的值，最后写出函数的解析式。
一般包括四个步骤：一设二代三解四写，这种方法适用于已知了函数类型（或函数图象）的一类函数建模问题，(2011江苏南京，22，7分)小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50 min才乘上缆车，缆车的平均速度为180 m/min．设小亮出发x min后行走的路程为y m．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系．⑴小亮行走的总路程是____________㎝，他途中休息了________min．⑵①当50≤x≤80时，求y与x的函数关系式；②当小颖到达缆车终点为时，小亮离缆车终点的路程是多少？【答案】解：⑴3600，20．⑵①当时，设y与x的函数关系式为．根据题意，当时，；当，．所以，y与x的函数关系式为．②缆车到山顶的路线长为3600÷2=1800（），缆车到达终点所需时间为1800÷180＝１0（）．小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10＋50＝60（）．把代入，得y=55×60—800=2500．所以，当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是3600-2500=1100（）．点评：根据函数图象，确定函数的类型为一次函数，通过图象上的两点坐标，（50,1950）和（80,3600），代入函数关系式求出待定系数，从而求解出本题。
建立函数关系式的方法
建立函数关系式的方法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
建立函数关系式的方法
1、待定系数法
先设出函数的表达式，再根据已知条件构造关于表达式中系数的方程（组），求出这些系数的值，进而获得函数关系式．这种建立函数关系式的方法称为待定系数法．
待定系数法通常是在明确（或猜想出）函数类型的情况下运用；
待定系数法多用于借助函数图象上点的坐标（或变量的对应值）来求关系式的问题；
一般地，表达式中有几个待定的系数，就需要几个相关的条件；
对于表达式形式多样的函数，有时需要结合题目中的具体条件选择恰当的形式来表示．
2、直接列式法：像这样，根据问题中的已知条件和数量关系，直接将因变量表示成自变量的代数式形式，从而使函数关系式得以建立的方法称为直接列式法．
直接列式法多用于含有大量文字叙述的实际问题中；
运用好这种方法的关键是，要善于抓住题目中各个数量之间的逻辑关系，并能利用数学运算将其合理的连接起来．
3、等式变形法：有时，自变量和因变量间的函数关系不易直接表示出来，我们可以根据条件先建立包含自变量和因变量的等式，再由这个等式通过变形，导出函数关系式，这种建立函数关系式的方法称为等式变形法．
等式变形法多见于由几何图形中的运动元素建立函数关系的问题中；
等式变形法实际上是一种间接列式的方法，运用这种方法需要我们正确认识函数关系式与多元方程的内在联系，从而在两种数学形式间进行转化．
2。
函数关系的建立ppt 人教课标版
P
C
10km
O
A
20km
B
(1)为确定点 满足条件的点 O，可以取在哪里？ (2) O的位置，你可设什么为变量 x？ 点O 在线段AB的中垂线上（矩形内或在其边界上的 并根据你所设的 x，建立S与x的函数关系式. 一段）
小结
1、函数关系建立的基本步骤：
（1）审题并明确自变量与应变量
（2）弄清自变量与应变量之间的关系并列式
知识点回顾：
什么是函数？
对于x在某个实数集合内的每一个确定的 值，按照某个对应法则 f，y都有唯一确定的 实数值与它对应，那么y就是x的函数。
函数三要素：
定义域 对应法则 值域
知识点回顾：
我们学过哪些函数呢？ y=t
y=kx+b(k≠0)
y=ax2+bx+c(a≠0) k y (k 0) x
（3）确定定义域
记忆与时间的函数关系 价格与需求之间的函数关系 红绿灯时间与车流量的函数关系 人口数与时间的函数关系
小结
2、解决实际问题的一般步骤：
实际问题
建立函数关系
数学问题
解决实际问题
还原
解决数学问题
.
D
P O
C
10km
A
20km
B
思考：若只限制点O在矩形区域内（含边界）， 不要求AO＝BO
（1）审题并明确自变量与 应变量
（2）弄清自变量与应变量 之间的关系并列式 （3）确定定义域
(0 x
10
)
例3. 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B 及CD的中点P处，已知AB=20km，CB=10km，为了处理三 家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界）， 且与A,B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设 排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为S km.
3.2函数关系的建立(1)
13
x
x
x
13
13 2 x
13 2 x
练习1. 把直径是 d = 40 厘米 的圆形木料锯成矩形木料， 设矩形的一边是 x 厘米，另 一边是 y 厘米，试用解析式 将y表示成 x 的函数。 练习2.
h
d = 40
y
x
x a
一个装有液体的圆柱形容器, 它的底面直径是 a ,高是h ，试 用解析式将容器内液体的体积 V 表示成液面的高度 x 的函数。
3.2 函数关系的建立
Formulation of functional relationships
数学建模
用数学方法解决实际问题时,首先需 用数学方法解决实际问题时 首先需 要把问题中的有关变量用数学形式表示 出来,这个过程叫做数学建模， 这个过程叫做数学建模 出来 这个过程叫做数学建模，结果叫做 数学模型。 数学模型。 实际问题中的大量问题可归结为变量间 的关系问题。因此,建立变量间的关系的数 的关系问题。因此 建立变量间的关系的数 学模型是解决问题的关键。 学模型是解决问题的关键。
把半径为8 例3.把半径为8 cm 的半圆形铁皮锯成一个等 腰梯形 ABCD ,梯形下底 AB的长等于半圆的 直径, 的端点在圆周上, 直径,上底 CD 的端点在圆周上,设周长为 y cm , 的函数式。 腰长为 x cm ，写出 y关于x的函数式。
D
C
A
E
B
练习3. 某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2米，渠深 0 1.8米,边坡的倾角是45 ,试用解析式将横断面中有 水面积 A (平方米)表示成水深 h（米）的函数。
例1 汽车的油箱是长方体形状的容器，它的长是 a 厘
米，宽是 b 厘米，高是 厘米。汽车开始行使时油箱内 装满汽油，已知汽车的耗油量是每小时 n 立方厘米，试 用解析式将汽车行驶的时间 y （小时）表示成油箱内剩 余油量的液面高度 （厘米）的函数。
函数关系式的建立
例1、中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金 、中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、 所得不超过1600元的部分不必纳税，超过 元的部分不必纳税， 所得不超过 元的部分不必纳税 超过1600元的部分为 元的部分为 应纳税收入。此项税款按下表分段累进计算： 应纳税收入。此项税款按下表分段累进计算： 应纳税收入（元） 不超过500元的部分 超过500元至2000元的部分 超过2000元至5000元的部分 税率 5% 10% 15%
这种函数叫做阶梯函数. 这种函数叫做阶梯函数
练习、邮局规定：当邮件的重量不超过100克时，每20克收邮费 练习、邮局规定：当邮件的重量不超过 克时， 克收邮费0.8 克时 克收邮费 且不足20克时按 克计算；超过100克时，将超过部分 克时按20克计算 克时， 元，且不足 克时按 克计算；超过 克时 的邮费按每100克2元计算，且不足 元计算， 克按100克计算，并规 克计算， 的邮费按每 克 元计算 且不足100克按 克按 克计算 定每个邮件的重量不得超过2000克. 定每个邮件的重量不得超过 克 请写出邮费关于邮件重量的函数解析式， 请写出邮费关于邮件重量的函数解析式，并用图表示上述函 数；计算50克和 计算 克和500克重的邮件分别收多少邮费。 克重的邮件分别收多少邮费。 克和 克重的邮件分别收多少邮费
例2、如图，有一圆柱形的无盖杯子，它的内表面积是100cm 2 ， 、如图，有一圆柱形的无盖杯子， 2 试用解析式将杯子的容积V (cm 3 ) 表示成底面内半径 x (cm ) 的函数. 的函数
V = 50x −
π
2
10 π x ， ∈(0 x ) ，
3
π
米的圆形喷水池， 例3、新世纪花园要建造一个直径为 米的圆形喷水池，计划 、新世纪花园要建造一个直径为20米的圆形喷水池 在池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头， 在池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，要求喷出 的水柱在离池中心4米的地方达到最高 高度为6米 米的地方达到最高， 的水柱在离池中心 米的地方达到最高，高度为 米，还 要在池中心的上方设计一个装饰物， 要在池中心的上方设计一个装饰物，使各方向喷来的水 柱在此处汇合，问这个装饰物的高度应如何设计？ 柱在此处汇合，问这个装饰物的高度应如何设计？
3.2函数关系的建立2014.10
例4.设圆柱形的无盖杯子， 它的表面积是 2 3 100cm ， 试用解析式将杯子的容积V (cm ) 表示成半径x(cm)的函数。
解： 设杯子的高为hcm， 依题意， 有 2 100 x 2 100 x 2 xh， 则h 2 x 3 x 2 于是，V x h 50 x 2 根据实际意义，x 0且 x 2 100 3 x 10 所以V 50 x ， x (0， ) 2
解： (1)依题意， 所求的函数是 15 6.5 h 0 h 11 T 56.5 11 h 80 (2)该函数图像如右图： T( C) (3)飞机在10km高空时， 15 h 10 11,得T 50 11 所以飞机在10km高空 0 飞行时周围空气的温 o 度是 50 C .
3
c x a
b
例3.一块边长是13cm的正方形金属薄片， 在四个角上都剪去一个边长是xcm的小 3 正方形， 折成一个容积是Vcm 的无盖长 方体盒子(如图)，试用解析式将V 表示 成x的函数。
x x
13 2 x
13
x x
13
13 2 x
x
解题的一般步骤
1.审清题意 2.设适当变量 3.寻找等量关系 4.化简为函数式 5.确定实际问题的定义域
例2.汽车的油箱是长方体形状的容器， 它的长是acm，宽是bcm，高是ccm (如图). 汽车开始行驶时油箱内装满 汽油，已知汽车每行 驶千米耗油量是ncm 3. c 试用解析式将汽车行 驶的路程 y(km)表示 成油箱内剩余油量的 x b 液面高度x(cm)的函数.
a
解： 汽车的油箱的体积是abc(cm) 3 汽车行驶的路程 y(km)耗油yn(cm) 3 于是yn ab(c x)(cm) ab(c x) y h(km)
高等数学-函数
用以表示函数关系，称为表格法.
解析法 自变量和因变量之间的关系用数学表达式表
示，这种表示函数的方法称为解析法（也叫公式法）.
16
03 函数的表示方法
注
用解析法表示函数，不一定总是用一个式子表示，
也可以分段用几个式子来表示一个函数.
分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则
上式称为函数 = ()的反函数.习惯上写为 = −1 ().
注 反函数的定义域等于直接函数的值域，反函数的值域
等于直接函数的定义域.
32
05 反函数
定理1.1
如果直接函数 = ()， ∈ 是
y = x , x∈[0, +
y
2
1
)
y = x , x∈[0, + )
的奇偶性.
解 因为 ∈ (−∞， + ∞)，且 (−) = ( − + 2 + 1)
=
(− + 2 + 1)( + 2 + 1)
+
2
+1
=
1
+ 2 + 1
= ( + 2 + 1)−1 = − ( + 2 + 1) = −()，
周期.
30
01 预备知识
02 函数的定义
本节内容
03 函数的表示方法
04 函数的几种特性
05 反函数
06 初等函数
07 建立函数关系举例
31
05 反函数
定义1.4 设函数 = ()的定义域为 ，值域为 .如
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因变量（即函数）的关系式． 例1 设直角三角形 ABC的顶点 A 为 (a, 0) ，
x y 顶点 B 在椭圆 2 2 1 上，直角顶点 C a b 在 x 轴上，试把三角形 ABC 的面积 S 表示
成点横坐标 x 的函数关系式． 解 如图1—51所示，直角三角形 ABC 的三顶
2
2
b 坐标分别为 A(a, 0) ，B ( x, a
第六节 建立函数关系式举例
在解决工程技术问题、经济问题等实际应用 然后再利用有关的数学知识、数学方法去分析、
中，经常需要先找出问题中变量之间的函数关系，
研究、解决这些问题．由于客观世界中变量之间
的函数关系是多种多样的，往往要涉及到几何、 物理、经济等各门学科的知识，因此建立函数 关系式没有一般规律可知可循，只能具体问题
当 x 5 时，S ( x) 3 2 2 2 10.
综上所述，得
x 0, 0, 3 x, 0 x 2, S ( x ) 6, 2 x 3, 2 x, 3 x 5, x 5. 10, 这是一个分段函数．于是
S (2) 0, S (e) 6, S (4) 8, S (6) 10.
解 如图1—53所示. 当 x 0 时， S ( x) 0,
y
当 0 x 2 时，
3
2பைடு நூலகம்
1
A
S ( x) 3x,
当 2 x 3时，
o
1
2
3
4
5
S ( x) 6,
当 3 x 5时，
x
x
B
图1--53
S ( x) 2 3 2( x 3) 2 x,
150元 / t ，销售量在不超过 800 t 时，按原
价出售，超过 800 t 时，超过部分按八折出
售. 试求销售收入与销量之间的函数关系．
解 按题意，设销售量为 x ，销售收入为 R ， 当 0 x 800时，R 150 x ；
当 800 x 1600 时，收入由两部分组成：
0 x 800, 800 x 1600.
例3 长为 l 的弦两端固定，在点 ( a, 0)处
将弦向上拉起到点 ( a, h) 处后呈图1—52中
的形状. 假设当弦向上拉起过程中，弦上各
点只是沿着垂直于两端连线方向移动，以 x 表示弦上各点的位置， y 表示点 x上升的 高度，试建立 x与 y 的函数关系．
800 t 部分的收入为150 800 ；
从而 R 150 800 150 0.8( x 800)
超过 800 t 部分的收入为 150 0.8( x 800),
24000 120 x .
于是 R 与 x 之间的函数关系如下：
150 x, R 24000 120 x,
a2 x2 ) ,
C ( x, 0) , 则直角三角形
ABC 的面积
1 S | AC | | BC | 2
1 b ( x a) 2 a
y
B
C
A
(a, 0)
o
x
x
a2 x2
图1--51
b ( x a) a 2 x 2 ,| x | a. 2a
例2 某厂生产某种产品 1600t ，定价为
具体分析． 一般可以这样解决：
第一步 应先把题意分析清楚，有时也可以 画出草图，借助草图帮助分析和理解题意； 第二步 应根据题意确定哪个是自变量，哪 个是因变量，如果总体变量多于两个，还要进
一步分析，找出除因变量以外的其他若干个变
量之间的关系． 因为我们在这里是建立的一元函 数的关系式，最终应归结为一个自变量和一个
0 x a, a x l.
例4 如图1—53所示，有两个矩形，其高
2 分别等于 3 m ， m ，其底皆为 2 m ，假定
x 在 (, ) 内连续变动（如图中直线
AB 连续地平行移动），试将阴影部分的
面积表示为距离 x 的分段函数 S ( x) ，并求
S (2), S (e), S (4), S (6).
解 如图1—52所示， y
当 0 x a 时， y x h , h a o ( a, 0) h 则 y x, 图1—52 a y lx , 当 a x l 时， h l a h (l x ) . 则有 y la
( a, h)
l x
用分段函数表示为
h x, a y h (l x), l a