对”r(A)=r, 则其基础解系V,dim(V)=n-r.”的浅显证明
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对”r(A)=r, 则其解空间V ，dim(V)=n-r.”的浅显证明 蒋尚师 撰稿
对如下的方程组：
○1 11112
213312112222332112233000n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++++=⎛⎫ ⎪++++= ⎪
⎪ ⎪++++=⎝⎭
可以写成：
○2112233n n x x x x o αααα+++= ()1234
d i m ,,,,n ααααα =r 设 1234
,,,,r
ααααα 线性无关，所以有：
11111221331r r r
k k k k ααααα+=+++
22112222332r r r k k k k ααααα+=+++
,11,22,33,n n r n r n r n r r r k k k k ααααα----=+++
带入○2：
()111121231311r r r n r n x k x k x k x k x α+++-+++++
()2
121222323,22r r r n r n x k x k x k x k x α+++-++++ +
()112233,r
r r r r r r n r r n r x
k x k x k x k x α+++-++++ =0
由于1234,,,,r ααααα 线性无关，所以有
11112123131r r r n r n x k x k x k x k x o +++-++++=
2121222323,2r r r n r n x k x k x k x k x o +++-++++=
112233,r r r r r r r n r r n x k x k x k x k x o +++-++++=
则有：
112131,11
122232
,2
23
123,10000100100000
1n r n r r
r
r
n r r n
k k k k x k k k k x x o k k k k x ---⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭
有：
11
2131,111122232
,2
2
2
31123,n r r n r r n r
r
r
n r r n r k k k k x x k k k k x x x x k k k k x x -+-+--⎛⎫⎛
⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
⎝⎭
扩展一下得到：
11
21,11222,2
1122
1,2,,3110001000
1n r n r r r r r n r r n n n k k k k k k x x x
x k k k x x x x --++--⎛⎫
⎪ ⎪⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
设 ：
11
21,1
1222
,2
1,2,,
10001000
1n r n r r r n r r k k k k k k k k
k ---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
=B B 为方程组的基础解系，显然
()r B n r
=-
即等价于dim(V)=n-r
于是命题得证！