第3章 统计假设检验

2 1 2 2
df = n1+ n2－2
当n1＝n2＝n时，
sx1 x
2
S S n
2 1
2 2
df＝2（n－1）
例3， [例4-5]
已知：n＝6，x1 ＝98.467，x2＝132.650 s1＝2.886， s2＝2.288
第一步 建立假设
H0：μ1＝μ2(两种罐头SO2含量无差异) HA：μ1≠μ2(两种罐头SO2含量有差异)
0.545 (6 1) 0.557 (5 1) 1 1 ( ) 0.333 652 6 5
x1 x 2 28 .15 28 .61 t 1.381 s x1 x 2 0.333
第四步 查表找临界值tα，并作统计推断
查表3 得，t0.05（9）＝2.262， t0.01（9）＝3.250
第四步 查表找临界值tα，并作统计推断
查表3 得，t0.05（10）＝2.228， t0.01（10）＝3.169
∵｜t｜＝22.728＞t0.01（10），p＜0.01 ∴否定H0 ，认为差异极显著。即两种罐 头SO2含量有极显著差异。
例4， [例4-6]
已知：n1＝6，x1＝28.150， s1 ＝0.545 n2＝5，x ＝28.610， s2＝0.557
应用条件：两个样本所在总体都服 从正态分布(计量资料)，并且

2 1 2 2
2
x1 x 2 t sx1 x
2
自由度df= n1＋n2－2 其中 差异标准误
S x1 x2
2 e 2 e
样本合并方差
2 1 1 s s 2se 2 se ( ) n1 n2 n n1 n2 n1 n2 n
成对数据平均数的 t 检验：差值的均值 t值公式
d t sd
(d d ) n(n 1)
2
差值的标准差
差异标准误公式
sd sd n d ( d ) n n(n 1)
2 2
自由度公式
df＝n－1
例5， [例4-8]
第一步 建立假设
H0：μd＝0(处理与对照钙离子含量无差异) HA：μd≠0(处理与对照钙离子含量有差异) 第二步 确定显著水准α＝0.05、0.01(两尾)
第三步 计算统计量 u 值
u
均 数 标 准 误
x 0
x

x 0

n
502 .7 500 1.067 8 10
第四步 查表找uα值，并作统计推断
由α＝0.05、0.01查表2得，
u0.05＝1.96， u0.01＝2.58
因|u| ＝1.067＜ u0.05，因而p＞ 0.05，不能
第四步 查表找临界值 tα，并作统计推断
由α＝0.05、0.01和df =15查表3得，
t0.05(15)＝2.131， t0.01(15)＝2.947 ∵｜t｜＝6.667＞ t0.01(15)＝2.947
∴ p＜0.01，否定H0，认为新旧工艺每百 克山楂出果冻量有极显著差异，即采用 新工艺可提高每百克山楂出果冻量。
注：统计假设检验是依据“小概率事件 的实际不可能性原理”来进行统计推 断的，因而有可能犯错误。 统计假设检验中可能犯的两类错误： 第一类错误：否定了本来是正确的H0， 犯此错误的概率是α； 第二类错误：接受了本来是错误的H0， 犯此错误的概率是β。 α与β呈反比关系。减少犯错误概率的有 效办法是增大重复数n。
2
第一步 建立假设
H0：μ1＝μ2(两种工艺茶多糖含量无差异) HA：μ1≠μ2(两种工艺茶多糖含量有差异)
第二步 确定显著水准α＝0.05、0.01(两尾)
第三步 计算统计量 t 值和自由度 df
df＝n1+n2－2＝6 + 5－2＝9
s x1 x 2
2 s12 (n1 1) s2 (n2 1) 1 1 ( ) n1 n2 2 n1 n2 2 2
df＝n－1＝10－1＝9
第四步 查表找临界值tα，并作统计推断
查表3得，t0.05（9）＝2.262，
t0.01（9）＝3.250 ∵｜t｜＝8.356＞t0.01（9），p＜0.01 ∴否定H0 ：μd ＝0，认为差异极显著。即
处理与对照钙离子含量有极显著差异。
第三节 二项百分率的 假设检验
第一节 统计假设检验的 意义与步骤
一、统计假设检验的意义
在食品科学研究中，经常遇到： ①检验某产品是否达到某项质量标准 ②检测某种有害物质含量是否超标 ③比较两种工艺方法的优劣 ④两种食品内含物含量的比较 ⑤两种仪器（方法）测定同一样品 ……
在上述工作中，都可得到两组数据，而这 两组数据的平均数之间存在着差异。
二项变量 X（次数）
x 二项百分率 p （成数、频率）。如 n
合格率、废品率、裂果率等。
一、单个样本百分率的检验（u 检验）
应用条件：n＞30，p不很小，np、nq＞5 在H0：p＝p0下
2 2 2
s x1 s x 2
2
t ( n 1)
㈡成对数据平均数的假设检验（t 检验）
成对数据：来自于配对试验，其数据是成 对获取的，格式如下
样号
处理 甲
乙 d=x1－x2
1
2 … n
均值
x11 x12 … x1n x21 x22 … x2n d1 d2 … d n
x1 x2 d = x1 － x 2
n≥30；
或n＜30，但X～N(μ,σ2)（计量资 料），且σ2已知。
方法步骤 例1， [例4-1] 已知：μ0＝500，σ＝8，n＝10， ＝502.700，X～N x
求：μ－μ0＝0？
解：
第一步 建立假设 H0：μ＝μ0 ＝ 500（该日装罐机每罐平均净
重与标准净重一样）
HA：μ≠μ0 第二步 确定显著水准α＝0.05、0.01(两尾)
二、统计假设检验的步骤
⑴建立假设
统计假设检验是在一定假设下进行统 计量的概率计算，再由概率大小作出 接受或拒绝该假设的推断，进而回答 差异由误差所引起 平均数间差异是否显著。 ——差异不显著 存在本质差异 通常假设有两种： ——差异显著 无效假设H0：μ＝μ0（μ1＝μ2） 备择假设HA：μ≠μ0（μ1≠μ2）
ss ( x x) s df s 2 (n 1 1) s 2 ( n n
2 2
s df1 s df 2 ss1 ss2 s df1 df 2 df1 df 2
2 e 2 1 2 2

1
1
2
2
1)
n1 n2 2
S x1 x2
s (n1 1) s (n2 1) 1 1 n1 n2 2 n1 n2
第二步 确定显著水准α＝0.05、0.01(两尾)
第三步 计算统计量 t 值和自由度 df
df＝2（n－1）＝2（6－1）＝10
s x1 x 2
s s n
2 1
2 2
2.886 2.288 1.504 6
2 2
x1 x 2 98 .467 132 .65 t 22 .728 s x1 x 2 1.504
第二节 样本平均数的 假设检验
单个样本平均数的检验
由问题类型
两个样本平均数的检验
u检验
由统计量
t检验 成组检验 计量资料的检验 成对检验 由资料类型 百分数（二项成数）资料检验
①检验某产品是否达到某项质量标准 一、单个样本平均数的假设检验 ②检测某种有害物质含量是否超标 ㈠单个样本平均数的u检验 应用条件：
∵｜t｜＝1.381＜t0.05（9）， p＞0.05 ∴接受H0 ，认为差异不显著。即两种工 艺的粗提物中茶多糖含量无显著差异。
近似 t 检验
当
， 12和 22应分别由 s12和s22估计，则
2 1 2 2
s1 x 2 x
s s n1 n2
2 1
2 2
x1 x 2 此时的 t 不再准确地服从 t 分布。 s1 x 2 x
因而只能作近似的 t 检验（t检验） 。
近似 t 检验有两种方法：
①对自由度作矫正：
k S
2 x1 2 x1 2 x2
S S
S S n1
2 x1
2 1
S S n2
2 x2
2 2
1 df 2 2 k (1 k ) df1 df 2
df1 n1 1
df 2 n2 1
⑶检验统计量计算 首先要根据样本资料选择适合的统计
量。不同的统计量对应的概率分布
不同，计算公式各异，对样本资料
要求的条件也不一样。
⑷统计推断 U为统计量 根据计算的概率值大小来推断无效假设是 uα叫做临界u值 否被接受。对于常用的显著水平0.05、 0.01，有三种可能结果： ①p＞0.05(｜U｜＜u0.05)，接受H0，推断 “差异不显著” ②0.01＜p≤0.05(u0.05≤｜U｜ ＜u0.01)，否 定H0，推断“差异显著”，记* ③p≤0.01(｜U｜≥u0.01)，否定H0。推断 “差异极显著”，记**
⑵确定显著水平α
因为统计假设检验是根据“小概率事件 小概率事件： 指发生的概率很小的事 的实际不可能性原理”来作出接受或拒 件。小概率如＜0.25、0.2、0.1、0.05、 0.01等。 绝无效假设推断的，故显著水平通常为 小概率。实际中常用0.05、0.01。但也 小概率事件的实际不可能性原理： 指 可以根据试验的目的、要求、条件和试 小概率事件在一次试验中可以被认为 验结论的重要性等因素综合考虑而定。 是不可能事件。
第三步 计算统计量 t 值和自由度df 由资料求差值d，并求其平均、标准差
得
d 35.18 3.518 d
n 10
sd
(d d )
n 1
2
1.331
sd 1.331 sd 0.421 n 10
d 3.518 t 8.356 * * sd 0.421
源自文库
③比较两种工艺方法的优劣 二、两个样本平均数差异的假设检验 ④两种食品内含物含量的比较 ⑤两种仪器（方法）测定同一样品 ㈠成组数据平均数的假设检验（t 检验）
成组数据
甲 x11 , x12 x1n x1
1
乙 x21, x22 , x2 n 其中n1、n2可等可不等。
2
x2
两处理的完全随机试验资料为成组数据。
例如，
①半叶法试验资料 ②不同仪器用两种方法测定同一样品资料
③同一供试单元上作处理前后的对比资料 ④单因素两水平随机区组试验资料
配对试验中，各对试验单位间存在系统误 差，这可以由每对数据求差值来加以消 除。故成对数据资料的统计假设检验不 同于成组数据资料，先要求出各对数据 的差值d（d 值可正、可负、可为零）， 然后由d 值来进行有关统计假设检验计算。 因此，其无效假设与备择假设为 H0：μd＝μ1－μ2＝0 HA：μd≠0
②对临界 t 值作矫正，公式为
t
其中
s x1 t ( df1 ) s x 2 t ( df2 )
2 2
s x1 s x 2
2 2
s s x1 n1
2
2 1
，
s sx2 n2
2
2 2
df1=n1－1，
df2=n2－1
当
n1＝n2＝n ，
t
s x1 t ( n 1) s x 2 t ( n 1)
否定H0，推断该日装罐机每罐平均净重
与标准净重差异不显著，表明该日装罐 机工作属正常状态。
㈡ 单个样本平均数t 检验 应用条件：X～N(μ，σ2)（计量资料）
方法步骤:
例2， [例4-2] 已知：μ0=500, n=16, =520, x s=12
解:
第一步 建立假设 H0：μ＝μ0＝500g，即新旧工艺每百克
山楂出果冻量没有差异。
HA：μ≠μ0，即新旧工艺每百克山楂出
果冻量有差异。
第二步 确定显著水准α＝0.05、0.01(两尾)
第三步 计算统计量 t 值和自由度df
x 0 x 0 520 500 t 6.667 * * s sx 3 n
df = n －1= 16－1=15
这个“差异”可能纯粹是由随机误差引起； 也可能不仅仅是误差引起，更主要是两组 数据有本质的差异，即存在“处理效应”。
要想根据实际数据作出正确判断，须借助 两种牛奶蛋白质含量比较： 统计假设检验方法。如果经检验推断出 甲的15个样品测定值平均为1.35% “差异”仅由随机误差所引起，则为差异 不显著，反之为差异显著（显著性检验）。 乙的15个样品测定值平均为1.32%