初中数学根与系数的关系经典例题解析

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例１、两个连续奇数的积是483，求出这两个数
思路，可设置未知数
方法一：
解：设较小的奇数为x，则较大的一个奇数为x+2，得如下方程：
x(x+2)=483
x2+2x=483
解方程得：
x1=21 , x2=23 或：x1=−21 , x2=−23
所以，这两个奇数分别是：
21，23或-21，-23。

方法二：
⁄，得如下设较小的奇数为x，则较大的一个奇数为483x
方程：
483x⁄−x=2
解方程得：
x1=21 , x2=23或：x1=−21 , x2=−23
同样可以得出这两个奇数分别是：
21，23或-21，-23。

方法三：
设x为任意整数，则这两个连续奇数分别为：
2x+1和2x-1，根据题意可列如下方程：
(2x-1)(2x+ 1)=483
即：４x2−1=483
4x2=484
x2=121
x=±11
当x=11时，2x+1=23，2x-1=21;
当x= -11时，2x+1= -21，2x-1= -23
所以，这两个奇数分别是：21，23或-21，-23。

方法四：
设两个连续奇数分别为：x-1 ,x+1，根据题意可列如下方程：
(x−1)(x+1)=483
即：x2−1=483
所以：x=±22
当x=22时，x-1=21，x+1=23;
当x= -22时，x-1=-23，x+1=-21
所以，这两个奇数分别是：21，23或-21，-23。

例２、已知方程3x2+2x−3=0的两根是x1和x2求下列代数式的值：
（１）x12+x22（２）1
x1+1
x2
（３）x1−x2
解题思路：
１、已知一元二次方程的两个根，可以利用根与系数的关系，求出两根之和及两根之积是多少，再想方设法对求值的代数式化简为两根之和与两根之积的表达式，再将其代入化简后的代数式即可求出代数式的值。

用到的知识点：
一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠)的两根是x 1和x 2，
则x 1+x 2＝−b a ，x 1x 2＝c
a
２、也可以通过因式解或一元二次方程的求根公式先解出已知方程的两个根，再将求出方程的两个根分别代入题中的三个代数式，从而求出代数式的值。

方法一、利用根与系数的关系求解 解：由已知，由根与系数的关系得：
x 1+x 2＝−b a ＝−２３，x 1x 2＝c a ＝−３３
＝−1 （１） x 12+x 22＝(x 1+x 2)2−2x 1x 2
=(−2
3)2−2×(−1)
=
249
（２） 1x 1
+1x 2
=
x 1+x 2
x 1x 2
=23
（３） 要求x 1−x 2的值，我们可以先求(x 1−x 2)2
(x 1−x 2)2
＝(x 1+x 2)2−４x 1x 2 ＝(−2
3)2−４×(−1)
＝40
9
所以：x 1−x 2＝±√409＝±２√10
３
方法二、先求出已知方程的两个根，再代入所求代数式。

解：3x 2+2x −3=0 利用求根公式：x =
−b±√b 2−4ac
2a
可以求出其方程的根为：x =−2±√4−4×3×(−3)
6
即：=−2±√4−4×3×(−3)
6
＝−2±√40
6
＝−2±2√106
＝
−1±√10
3
将所求的根分别代入所求的代数式，可以分别求出其
代数式的值，这种方法虽然直接，思路简单而且清晰，但由于所求方程的根是无理数，计算复杂，容易出错。

思考：
１）体会配方的解题思想，想法将所求代数式化简成两根之和与两根之积的形式；
２） 利用一元二次方程根与系数的关系求出已知方程两根的和与两根的积；
３） 将两根之和与两根之积分别作为一个整体，分别代入化简后的代数式中。

例三、一元二次方程例题精选，带你走进数学世界
点拨：此题是典型的一元二次方程根与系数关系的灵活应用，根据已知方程给出的条件，利用根与系数的关系求出方程两根之和与两根之积。

对所求代数式则反过来化简成两根之和或两根之积的形式。

这样就利用根与系数的关系，有机地将已经条件和所求代数式完美结合，找出解决问题的关键所在，纯属个人观点，欢迎交流。

例４、已经关于x的方程x2+4x+k=0与2x2−3x+k=0有一个相等的根，求k的值。

{α+β=4 (1)αβ=k (2)
{α+γ=3
2
(3)
αγ=k
2
(4)
由(1)-(3)得：β−γ=5
2
(5)由(2)和(4)可得：αβ=2αγ(6)
方法二。