第十三章 轴对称章末复习小结(3)基本技能、基本思想方法和基本活动经验 教学设计

第十三章 章末复习小结（3）
基本技能、基本思想方法和基本活动经验教学设计
学习目标：
1. 体会从特殊到一般的学习方法.
2. 以特殊的等腰三角形为例，体会从特殊到一般的数学思想.（重点）
3.在复杂的图形中抽象、构造全等三角形，解决实际问题.（难点）
一、知识梳理
线段的垂直平分线
轴对称的有关性质
二、直击考点
例1 如图，△ABC ，△BDE 是等边三角形，∠CBE=90
°.连接AE ，CD 交于点F ，AE ，BC 交于点G.
（1）求证：△ABE ≌△CBD
（2）求∠DFE 的度数.
（3）若去掉条件
∠CBE=90°，这两个
三角形还全等吗？
（1）证明：∵△ABC ，△BDE 是等边三角形
∴∠ABC=∠DBE=60°，AB=BC ，BE=BD 轴对称 轴对称 画轴对称图形 等腰三角形 最短路径问题 有关概念 画法
成轴对称的点的坐标之间的关系 等腰三角形的性质 等腰三角形的判定 等边三角形 含30°角的直角三角形的性质
又∵∠CBE=90°
∴∠ABE=∠CBD=160°在△ABE和△CBD中，
{
AB=BC
∠ABE=∠CBD BE=BD
∴△ABE≌△CBD
（2）由（1）知，△ABE≌△CBD
∴∠BEA=∠BDC
∵∠EHF=∠DHB ∴∠DFE=∠DBE=60°
（3）全等.
归纳：如果等边三角形共顶点，那么将两条边分配到不同的两个三角形中会得到全等三角形，会发现某些线段在数量和位置上有着特殊的关系.
小试牛刀：
1.如图，△ABC，△BDE是等边三角形，连接AE CD.
（1）求证：△ABE≌△CBD
（2）当点A，C，D共线时，求∠BAE的度数.
（1）证明：∵△ABC
△BDE是等边三角形，
∴∠ABC=∠DBE=60°，AB=BC，BE=BD
∴∠ABE=∠CBD
在△ABE和△CBD中，
{
AB=BC
∠ABE=∠CBD BE=BD
∴ △ABE≌△CBD
（2）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°
由（1）知，△ABE≌△CBD 则：∠BAE=∠BAC
∴∠BAE=180°-∠ACB=120°
例2 如图，△ABC
△ADE 是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，
求证：⑴△ACD≌△AEB；
⑵CD，BE 的关系；
证明：（1）ABC 和△ADE 是等腰直角三角形
∴∠BAC=∠EAD=90°
AB=AC ，AD=AE.
∴∠CAD=∠BAE
在△ACD 和△ABE 中，
{AC =AB ∠CAD =∠BAE AD =AE
∴△ACD ≌△ABE
（2）由（1）知，CD=BE.
如图，延长CD ，交BE 于点F ，
交AB 于点G.
由（1）知，△ACD ≌△ABE
∵∠ACG=∠FBG ，∠AGC=∠BGF
∴ ∠BFC=∠BAC=90°
∴ CD ⊥BE
归纳：如果等腰直角三角形共顶点，那么将两条边分配到不同的两个三角形中会得到全等三角形，会发现某些线段在数量和位置上有着特殊的关系.
小试牛刀：
2. 如图，△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，BE 、CD 交于F ， 求证：⑴BE ＝CD ；⑵BE ⊥CD ；
证明：（1）ABC 和△ADE 是等腰直角三角形
∴∠BAC=∠EAD=90°
AB=AC ，AD=AE.
∴∠CAD=∠BAE
在△ACD 和△ABE 中，
{
AC=AB ∠CAD=∠BAE AD=AE
∴△ACD≌△ABE ∴BE=CD
（2）由（1）知，△ACD≌△ABE
∵∠ACD=∠ABE，∠EGC=∠AGB
∴∠BFC=∠BAC=90°
∴ CD⊥BE
教师引导，归纳总结：
如果特殊的等腰三角形共顶点，那么将两条边分配到不同的两个三角形中会得到全等三角形，会发现某些线段在数量和位置上有着特殊的关系.
拓展提高：
如图，在等边△ABC 中，已知点D在AC上，点E在BA的延长线上，
且DE=DB.
（1）如图1，当点D是AC的中点时，CD和AE有何数量关系，为什么？
（2）如图2，当点D为AC上任意一点时，（1）中的结论还成立吗？为什么？
（3）如图3，在等边△ABC ，点D在直线AC上，点E在BA的延长线上，且DE=DB.
若△ABC 的边长为3，CD=4，
图1
解：（1）CD=AE
∵△ABC是等边三角形∴∠BAC= ∠ABC= 60°∵点D是AC的中点
∴∠ABD=1/2 ∠ABC=30°
CD=AD
∵DE=DB
∴∠E=∠ABD=30°
∴∠ADE=∠BAC−∠E=30°
∴AD=AE ∴ CD=AE
（2）成立
如图2，过点D作DF∥AB，交BC于点F.
∴∠BDF=∠DBE
∵DE=DB
则∠DBE=∠E ∴∠E=∠BDF
∵△ABC是等边三角形
则：∠BAC= ∠C=∠ABC= 60°，AC=BC
∴∠CDF=∠BAC=60°，∠DAE=120°
∴ DF=CF=CD，AD=FB，∠BFD=120°=∠DAE
∴△ADE≌△FBD
∴ AE =DF=CD
∴ CD=AE
（3）如图3，在AE上取一点F，使得AF=AD. ∵△ABC是等边三角形
∴∠DAF=∠BAC=60°
∴△ADF是等边三角形
DE=DA，∠DFE=∠DAB=120°
∵DE=DB
则∠E=∠ABD
∴△DEF≌△DBA
∴EF=AB=3，AF=AD=CD-AC=1
∴BE=7
三、课堂小结
本节课，你学到了什么数学知识？
学会了哪些学习方法？
四、布置作业
见精准作业单
五、板书设计。