2023年高考数学一轮复习提升专练(新高考地区用)7-3 空间角(精讲)(解析版)

7.3 空间角（精讲）（提升版）思维导图

考点呈现例题剖析

考点一 线线角

【例1-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的

正三角形，MA =F 是MC 的中点，则异面直线MB 与AF 所成角的余弦值是（ ）

A ．

3

3

B ．

34

C D ．58

【答案】D

【解析】解法一：设E 为BC 的中点，连接FE ，如图，

∵E 是BC 的中点，

∵FE ∵BM ，4MB =,2FE =,2,AF AE == 在AFE △中，由余弦定理可知222235cos .2228

AFE

∵异面直线BE 与AF 所成角的余弦值为5

8

，

解法二：以A 为坐标原点，AC ，AM 所在直线分别为y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，

易知()0,0,0A ，)B ，(F ，(0,0,M

所以(

3,1,MB =

-，(AF =，

则55

cos ,428

MB AF MB AF MB AF

⋅-=

=

=-⨯⋅， ∵异面直线BE 与AF 所成角的余弦值为5

8

.故选：D

【一隅三反】

1．（2022·新疆·三模（理））在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 的中点，平面11A C B 与平面1CEC 的交线为l ，则l 与AB 所成角的余弦值为（ ）

A ．1

3

B ．23

C ．

3

3 D ．63

【答案】D

【解析】延长1BA ，CE 交直线于点M ，延长111,C E B A 交于点N ，连接11,,MN MC MD ， 则直线1MC 即为交线l ，

又11AB C D ∥，则11MC D ∠即为l 与AB 所成的角，设正方体棱长为1，因为E 为11A D 的中点，

111A E B C BC ∥∥， 所以1A 为MB 的中点，1A 为1NB 的中点，点E 为MC 的中点，E 为1NC 的中点，则1,EM EC EN EC ==，

又1MEN CEC ∠=∠，所以1EMN ECC ≅，所以111,90MN CC MNE CC E ==∠=∠=︒， 则111C D =

，1C M =

1MD

222111111111cos 2C D C M MD MC D C D C M +-∠==⋅

即l 与AB

故选：D. 2．（2022·四川内江·模拟预测（理））如图，在直三棱柱

111ABC A B C -中，BC ⊥面11ACC A ，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）

A ．

22

5

B ．

5

3

C ．55

D ．35

【答案】C

【解析】连接1CB 交1BC 于D ，若E 是AC 的中点，连接,BE ED ，

由111ABC A B C -为直棱柱，各侧面四边形为矩形，易知：D 是1CB 的中点， 所以1//ED AB ，故直线1BC 与直线1AB 夹角，即为ED 与1BC 的夹角BDE ∠或补角，

若1BC =，则1CE =

，BD CD ==

BC ⊥面11ACC A ，EC ⊂面11ACC A ，则CB CE ⊥，

而1EC CC ⊥，又1BC CC C =，1,BC CC ⊂面11BCC B ，故EC ⊥面11BCC B ， 又CD ⊂面11BCC B ，所以CE CD ⊥.

所以3

2

ED =

，BE 在∵BDE

中

2

2

2

592

cos 2BD ED BE BDE BD ED +-+-∠==⋅. 故选：C

3．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥P —ABC 中，P A 、PB 、PC 两两垂直，且P A =PB =PC ，M 、N 分别为AC 、AB 的中点，则异面直线PN 和BM 所成角的余弦值为（ ） A

B

C

D

【答案】B

【解析】以点P 为坐标原点，以PA ，PB ，PC 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角

坐标系，

令2PA =，则()0,0,0P ，()0,2,0B ，()1,0,0M ，()1,1,0N ， 则(1,1,0)PN =，(1,2,1)BM =-，

设异面直线PN 和BM 所成角为θ，则||3

cos 6

||||PN BM PN BM θ⋅=

=.故选：B.

考点二 线面角

【例2-1】（2022·黑龙江）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥平面CDP ，PD CD =，

DE PE =，且30PCD ∠=︒.

(1)求证：平面ADE ⊥平面ABCD ；

(2)若3CD =，2AD =，求直线PB 与平面ADP 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析

【解析】(1)因为PD CD =，所以30PCD DPC ∠=∠=︒，所以120PDC ∠=︒， 又因为DE PE =，所以30PDE EPD ∠=∠=︒，所以90EDC ∠=︒，所以ED DC ⊥， 又因为AD ⊥平面CDP ，DE ⊂平面CDP ，所以AD DE ⊥， 又因为CD

AD D =，CD AD ⊂、平面ABCD ，所以DE ⊥平面ABCD ，

而DE ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面ABCD . 得证.

(2)如图，以D 为坐标原点，分别以DE 、DC 、DA 所在的直线为坐标轴正方向建立空间直角坐标系，则点()0,0,2A ，()0,0,0D

，3,02P ⎫-⎪⎪⎝⎭，()0,3,2B ，则

9(,2)2PB =，(0,0,2)DA =，333

(,0)22

DP =-， 设平面ADP 的法向量为(,,)n x y z =，则·0·0n DA n DP ⎧=⎨=

⎩，即203

02z y =⎧

-=， 令1x =可得平面ADP 的法向量为(1,3,0)n =， 设直线PB 与平面ADP 所成角为θ，则

332sin cos ,31PB n PB

n PB n θ===

直线PB 与平面ADP