高中数学必修五每节课课堂引入(职称评定准备)

1.1.1 正弦定理

在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系．如右图，在Rt △ABC 中，设BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有

c a =sin A ，c

b =sin B ，又sin C =1=

c c ,则c simC c B b A a ===sin sin .从而在直角三角形ABC 中，simC c B b A a ==sin sin .那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

1.1.2 余弦定理

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上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在三角形已知两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决,在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题

1.2 应用举例

1.2.1 解决有关测量距离的问题

前面引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施．如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性．于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的．今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离．

2.1.1 数列的概念与简单表示法(一) 导入新课

师 课本图211中的正方形数分别是多少？

生 1，3，6，10，….

师 图212中正方形数呢？

生 1，4，9，16，25，….

师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？

生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…;

无穷多个数排成一列数：1，1，1，1，….

生 一些分数排成的一列数：32，154，356，638，9910，….

推进新课 ［合作探究］ 折纸问题

师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣

一定很浓).

生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.

师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？

生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；

随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161 ,…,256

1 ,…. 生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分 1[]256式，再折下去太困难了.

师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？

生 均是一列数.

生 还有一定次序.

师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数.

2.2.1 等差数列的概念、等差数列的通项公式

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师 上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本P 41页的4个例子

(1)0，5，10，15，20，25，

(2)48，53，58，63，

(3)18，15.5，13，10.5，8，

(4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，

请你们来写出上述四个数列的第7项

生 第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为

师 我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说 生 这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7项为

师 说得很有道理!我再请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？我说的是共同特征

生1 每相邻两项的差相等，都等于同一个常数

师 作差是否有顺序，谁与谁相减？

生1 作差的顺序是后项减前项，不能颠倒

师 以上四个数列的共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数列 这就是我们这节课要研究的内容

2.3.1 等差数列的前n 项和(一

高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家出道题目：

过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：

教师问：“你是如何算出答案的？

高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；…；50+51=101，所以101×50=5 050.

师这个故事告诉我们什么信息？高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？

生高斯用的是首尾配对相加的方法.也就是：1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，有50个101，所以

师对，高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5 050了

高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果

作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找

出某些规律性的东西

师问：数列1，2，3，…，100是什么数列？而求这一百个数的和1+2+3+…+100相当于什么？

生这个数列是等差数列，1+2+3+…+100这个式子实质上是求这数列的前100项的和.

师对，这节课我们就来研究等差数列的前n项的和的问题

2.4.1等比数列的概念及通项公式

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师现实生活中，有许多成倍增长的实例.如，将一张报纸对折、对折、再对折、…，对折了三次，手中的报纸的层数就成了8层，对折了5次就成了32层.你能举出类似的例子吗？

2.5.1等比数列前n项和公式的推导与应用

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师国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？生知道一些，踊跃发言

师“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格

子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求

师假定千粒麦子的质量为40 g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？

生各持己见.动笔，列式，计算

生能列出式子：麦粒的总数为

1+2+22+…+263

师这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下.

课件展示：

1+2+22+…+2 63=?

3.1.1不等关系与不等式（一）

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师日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？

生实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.

生实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则x a＜x b.

(老师协助画出数轴草图)

生实例3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.

实例4:两点之间线段最短.

实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.

(学生迫不及待地说出这么多,说明课前的预习量很充分,学习数学的兴趣浓,此时老师应给以充分的肯定和表扬)