《基本不等式第二课时》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
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设计意图：考查学生利用基本不等式的模型解决实际问题的能力．
参考答案：
1．设底面的长为a，宽为b，则由题意得2ab=32，即ab=16．所以用纸面积为 ，当且仅当a=b=4时取等号．
即当底面的长和宽均为4时，用纸最少．
2．设矩形的长为a，宽为b，则由题意得a+2b=30，所以 ，当且仅当a=2b=15时取等号．
因此，当这个矩形菜园是边长为9 m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2．
设计意图：本例是典型的能够用基本不等式求最值的问题．通过本例的教学，可以帮助学生理解如何用基本不等式模型解决实际最值问题，进一步加强学生的逻辑思维能力．
问题3：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800 m2，深为3 m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
四、目标检测设计
1．做一个体积为32 m2，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长取什么值时，用纸最少？
2．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m．当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
3．已知一个矩形的周长为32 cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？
三、归纳反思、布置作业
问题4：通过本单元的学习，你能说说你学到了哪些知识和方法？有什么体会？
师生活动：学生交流发表自己的体会，教师帮助梳理本单元的学习内容和方法，及学习过程中的体会．
设计意图：从单元的角度对知识进行梳理，有助于建构学生对基本不等式内容的认知结构，提升学生的数学素养．
作业布置：教科书习题2.2第3，6，7，8题．
师生活动：学生回答解题思路和理由，教师肯定后，学生独立书写求解过程．
预设的答案：z ，由容积为4800 m3，可得3xy=4800，因此xy=1600．所以 ，当 时，上式等号成立，此时z=297600．所以将贮水池的池底设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元．
追问2：通过对两个例子的分析与解答，你能总结出用基本不等式解决生活中实际问题要经历哪些步骤？
师生活动：学生自主反思总结，并回答问题，教师帮助梳理：先从实际问题中抽象出数量关系，列出代数式；思考问题是否与基本不等式的数学模型相匹配；然后，根据“一正、二定、三相等”的方法运算求解；最后，用求得的结果解释实际问题．
设计意图：通过本题的分析，培养学生从较为复杂的实际问题情境中抽象出数学问题，并将能将问题转化为所掌握的基本不等式模型求解，体会解决实际问题的方法，形成解决问题的一般思路，提升学生数学建模的素养．
预设学生回答：基本不等式能解决以下两类最值问题：（1）如果正数x，y的积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；（2）如果正数x，y的和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值．用基本不等式求最值时要注意满足三个条件：一正、二定、三相等．
设计意图：本节课的重点是用基本不等式解决生活中的最值问题．通过回顾知识，初步了解解决问题的思路和方向．有助于学生严密的逻辑思维、良好的认知结构的建立和完善．
师生活动：学生独立阅读题目，理解题意，教师提出问题：（1）水池的总造价和什么有关？（2）怎样设元，得到水池的总造价表达式？学生合作进行讨论，得到总造价的表达式．
预设的答案：设贮水池池底相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为z元，则 ．
追问1：此问题可以用基本不等式的数学模型求解吗？为什么？
一、复习引入
问题1：基本不等式的内容是什么？它有何作用？
师生活动：学生根据教师提出的问题回顾梳理上节课的知识．
预设学生回答：基本不等式； （a，b≥0），利用基本不等式可用求最值．
追问：基本不等式能解决哪几类最值问题？用基本不等式求最值时要注意哪些条件？
师生活动：学生结合书上例二来回答，教师适当引导，强调利用基本不等式求最值时，两个变量均为正数是前提，发现“定值”是关键，验证等号成立是求最值的必要条件．
故当矩形的长为15 m，宽为7.5 m时，菜园的面积最大，最大面积为112.5 m2．
3．设矩形的长为a，宽为b，则由题意得2（a+b）=36，即a+b=18．
因为旋转形成的圆柱的侧面积为：2πab，所以要求侧面积最大，即求ab的最大值，由基本不等式得： ，当且仅当a=b=9时取等号．
故当矩形的长宽都为9时，旋转形成的圆柱的侧面积最大．
预设的答案：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，篱笆的长度为2(x+y) m
（1）由已知 及 ，可得 ，所以 ，
当且仅当 时，上式等号成立．
因此，当这个矩形菜园是边长为10 m的正方形时，所用ຫໍສະໝຸດ 笆最短，最短篱笆的长度为40 m．
（2）由已知得 ，矩形菜园的面积为xym2
由 ，可得 ，当且仅当 时，上式等号成立．
《基本不等式(第二课时)》教学设计
1．运用基本不等式解决生活中的最值问题，发展数学建模素养；
2．能将某些生活中的最值问题转化为基本不等式两种最值模型中的一种，提高用模型思想解决问题的能力．
教学重点：用基本不等式解决生活中的最值问题．
教学难点：判断生活中的最值问题是否属于能够用基本不等式最值模型解决的两类最值问题．
二、合作探究
问题2：（1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
师生活动：学生独立阅读题目，理解题意后，师生共同分析，第（1）题可以转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短，实际上是已知两个正数的积为定值，求当这两个数取什么值时，它们的和有最小值的问题．故第（1）题可以转化为数学模型（1）求解；第（2）题可以转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大，实际上是已知两个正数的和为定值，求当这两个数取什么值时，它们的积有最大值的问题．第（2）题可以转化为数学模型（2）求解．教师让学生独立书写解答过程，针对过程中的问题进行纠正．
参考答案：
1．设底面的长为a，宽为b，则由题意得2ab=32，即ab=16．所以用纸面积为 ，当且仅当a=b=4时取等号．
即当底面的长和宽均为4时，用纸最少．
2．设矩形的长为a，宽为b，则由题意得a+2b=30，所以 ，当且仅当a=2b=15时取等号．
因此，当这个矩形菜园是边长为9 m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2．
设计意图：本例是典型的能够用基本不等式求最值的问题．通过本例的教学，可以帮助学生理解如何用基本不等式模型解决实际最值问题，进一步加强学生的逻辑思维能力．
问题3：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800 m2，深为3 m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
四、目标检测设计
1．做一个体积为32 m2，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长取什么值时，用纸最少？
2．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m．当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
3．已知一个矩形的周长为32 cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？
三、归纳反思、布置作业
问题4：通过本单元的学习，你能说说你学到了哪些知识和方法？有什么体会？
师生活动：学生交流发表自己的体会，教师帮助梳理本单元的学习内容和方法，及学习过程中的体会．
设计意图：从单元的角度对知识进行梳理，有助于建构学生对基本不等式内容的认知结构，提升学生的数学素养．
作业布置：教科书习题2.2第3，6，7，8题．
师生活动：学生回答解题思路和理由，教师肯定后，学生独立书写求解过程．
预设的答案：z ，由容积为4800 m3，可得3xy=4800，因此xy=1600．所以 ，当 时，上式等号成立，此时z=297600．所以将贮水池的池底设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元．
追问2：通过对两个例子的分析与解答，你能总结出用基本不等式解决生活中实际问题要经历哪些步骤？
师生活动：学生自主反思总结，并回答问题，教师帮助梳理：先从实际问题中抽象出数量关系，列出代数式；思考问题是否与基本不等式的数学模型相匹配；然后，根据“一正、二定、三相等”的方法运算求解；最后，用求得的结果解释实际问题．
设计意图：通过本题的分析，培养学生从较为复杂的实际问题情境中抽象出数学问题，并将能将问题转化为所掌握的基本不等式模型求解，体会解决实际问题的方法，形成解决问题的一般思路，提升学生数学建模的素养．
预设学生回答：基本不等式能解决以下两类最值问题：（1）如果正数x，y的积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；（2）如果正数x，y的和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值．用基本不等式求最值时要注意满足三个条件：一正、二定、三相等．
设计意图：本节课的重点是用基本不等式解决生活中的最值问题．通过回顾知识，初步了解解决问题的思路和方向．有助于学生严密的逻辑思维、良好的认知结构的建立和完善．
师生活动：学生独立阅读题目，理解题意，教师提出问题：（1）水池的总造价和什么有关？（2）怎样设元，得到水池的总造价表达式？学生合作进行讨论，得到总造价的表达式．
预设的答案：设贮水池池底相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为z元，则 ．
追问1：此问题可以用基本不等式的数学模型求解吗？为什么？
一、复习引入
问题1：基本不等式的内容是什么？它有何作用？
师生活动：学生根据教师提出的问题回顾梳理上节课的知识．
预设学生回答：基本不等式； （a，b≥0），利用基本不等式可用求最值．
追问：基本不等式能解决哪几类最值问题？用基本不等式求最值时要注意哪些条件？
师生活动：学生结合书上例二来回答，教师适当引导，强调利用基本不等式求最值时，两个变量均为正数是前提，发现“定值”是关键，验证等号成立是求最值的必要条件．
故当矩形的长为15 m，宽为7.5 m时，菜园的面积最大，最大面积为112.5 m2．
3．设矩形的长为a，宽为b，则由题意得2（a+b）=36，即a+b=18．
因为旋转形成的圆柱的侧面积为：2πab，所以要求侧面积最大，即求ab的最大值，由基本不等式得： ，当且仅当a=b=9时取等号．
故当矩形的长宽都为9时，旋转形成的圆柱的侧面积最大．
预设的答案：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，篱笆的长度为2(x+y) m
（1）由已知 及 ，可得 ，所以 ，
当且仅当 时，上式等号成立．
因此，当这个矩形菜园是边长为10 m的正方形时，所用ຫໍສະໝຸດ 笆最短，最短篱笆的长度为40 m．
（2）由已知得 ，矩形菜园的面积为xym2
由 ，可得 ，当且仅当 时，上式等号成立．
《基本不等式(第二课时)》教学设计
1．运用基本不等式解决生活中的最值问题，发展数学建模素养；
2．能将某些生活中的最值问题转化为基本不等式两种最值模型中的一种，提高用模型思想解决问题的能力．
教学重点：用基本不等式解决生活中的最值问题．
教学难点：判断生活中的最值问题是否属于能够用基本不等式最值模型解决的两类最值问题．
二、合作探究
问题2：（1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
师生活动：学生独立阅读题目，理解题意后，师生共同分析，第（1）题可以转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短，实际上是已知两个正数的积为定值，求当这两个数取什么值时，它们的和有最小值的问题．故第（1）题可以转化为数学模型（1）求解；第（2）题可以转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大，实际上是已知两个正数的和为定值，求当这两个数取什么值时，它们的积有最大值的问题．第（2）题可以转化为数学模型（2）求解．教师让学生独立书写解答过程，针对过程中的问题进行纠正．