2018年高考文科数学全国卷(全国ⅠⅡ Ⅲ卷)共三套试卷试题真题含答案

数学试卷 第1页（共46页） 数学试卷 第2页（共46页）
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试全国卷1
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =I （ ） A ．{}02，
B ．{}12，
C ．{}0
D ．{}21012--，，
，， 2．设121i
z i i
-=
++，则z =（ ） A ．0 B ．1
2
C ．1
D ．2
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少
B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．已知椭圆C ：22
214
x y a +
=的一个焦点为()2,0，则C 的离心率（ ） A ．1
3
B ．1
2
C ．
2 D ．
22
5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A ．122π
B ．12π
C ．82π
D ．10π
6．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为（ ）
A ．2y x =-
B ．y x =-
C ．2y x =
D ．y x = 7．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，
E 为AD 的中点，则EB =u u u r
（ ）
A ．3144A
B A
C -u u u r u u u r B ．1344
AB AC -u u u
r u u u r
C ．3144AB AC +u u u r u u u r
D ．1344
AB AC +u u u
r u u u r
8．已知函数()22
2cos sin 2f x x x =-+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3
B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4
C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3
D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4
9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从
M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）
A ．217
B ．25
C ．3
D ．2
10．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为
30︒，则该长方体的体积为（ ）
A ．8
B ．62
C ．82
D ．83
11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1,A a ，
()2,B b ，且2
cos 23
α=，则a b -=（ ）
A ．15
B ．
5 C ．
25
D ．1
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效---
-------------
数学试卷 第3页（共46页） 数学试卷 第4页（共46页）
12．设函数()20
1 0x x f x x -⎧=⎨>⎩
，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）
A ．(]1-∞，
B ．()0+∞，
C ．()10-，
D ．()0-∞，
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数()()
22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．
14．若x y ，满足约束条件220
100x y x y y --⎧⎪
-+⎨⎪⎩
≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．
15．直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，
两点，则AB = ________． 16．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，
已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC △的面积为________．
三、解答题（共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必
考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

） （一）必考题：共60分。

17．（12分）
已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n
n a b n
=． ⑴求123b b b ，，；
⑵判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； ⑶求{}n a 的通项公式．
18．（12分）
如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =︒∠，
以AC 为折痕将ACM △折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥．
⑴证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
⑵Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2
3
BP DQ DA ==，求三棱锥
Q ABP -的体积．
19．（12分）
某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 [)00.1， [)0.10.2， [)0.20.3， [)0.30.4， [)0.40.5， [)0.50.6，
频数
1
5
13
10
16
5
⑴在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
⑵估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m 3的概率；
⑶估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
日用水
量 [)00.1， [)0.10.2， [)0.20.3， [)0.30.4， [)0.40.5， [)0.50.6， [)0.60.7，
频数
1
3
2
4
9
26
5
数学试卷 第5页（共46页） 数学试卷 第6页（共46页）
20．（12分）
设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两
点．
⑴当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； ⑵证明：ABM ABN =∠∠．
21．（12分）
已知函数()ln 1x f x ae x =--．
⑴设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间；
⑵证明：当1
a e ≥，()0f x ≥．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做
的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10）
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=．
⑴求2C 的直角坐标方程；
⑵若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知()11f x x ax =+--．
⑴当1a =时，求不等式()1f x >的解集； ⑵若()01x ∈，
时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效---
-------------
数学试卷 第7页（共46页） 数学试卷 第8页（共46页）
2018年普通高等学校招生全国统一考试全国卷1
文科数学答案解析
一、选择题 1.【答案】A
【解析】}2,0{=B A I ,选A . 2.【答案】C
【解析】()()()i i 22
i 2i 2i 1i 1i 12
=+-=+-+-=z ,则1=z ,选C .
3.【答案】A
【解析】经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,所以建设前与建设后在比例相同的情况下,建设后的经济收入是原来的2倍,所以建设后种植收入为37%相当于建设前的74%,故选A . 4.【答案】C
【解析】844222=+=+=c b a ,所以离心率2
2
222=
==a c e ,故选C . 5.【答案】B
【解析】易得圆柱的母线长与底面圆的直径均为22,所以圆柱的表面积
222
⨯⨯=πS 2222⨯+ππ12=,故选B .
6.【答案】D
【
解
析
】
ax
x a x ax x a x x f x f +-++--+-=+-2323)1()1()()(2)1(2x a -=0=,R x ∈,则1=a ,则x x x f +=3)(,13)(2+='x x f ,所以1)0(='f ,
在点)0,0(处的切线方程为x y =,故选D . 7.【答案】A
【解析】
1111113()()()2222444
BE BA BD BA BC BA AC AB AC AB =+=+=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,
则3144
EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r
,故选A .
8.【答案】B
【解析】2
5
2cos 31cos 32)cos 1(cos 2)(222+=+=+--=x x x x x f ,最小正
周期为π,最大值为4,故选B . 9.【答案】B
【解析】将三视图还原成直观图,并沿点A 所在的母线把圆柱侧面展开成如图所
示的矩形,从点M 到点N 的运动轨迹在矩形中为直线段时路径最短,长度为52,故选B .
10.【答案】C
【解析】1AC 与平面C C BB 11所成的角的平面角为ο
301=∠B AC ,
因为2==BC AB ,所以3260tan 1==ο
AB B C ,则221=BB ,长方体的体
积282222=⨯⨯=V ,故选C . 11.【答案】B
【解析】321cos 22cos 2
=
-=ααΘ,6
5cos 2
=∴α,5
1
tan ,61sin 22==
∴αα.又角α终边上有两点),2(),,1(b B a A ,则)0(2
tan >==ab b a α.555525551422
=-=-⇒==∴b a b a ,故选B .
12.【答案】D
N (B )
M
N
2
16
4
M (A )
数学试卷 第9页（共46页）
数学试卷 第10页（共46页）
【解析】方法1：函数)(x f y =的图像如图所示,
则)2()1(x f x f <+即⎩⎨
⎧+<<1
20
2x x x ,解得0<x .故选D .
方法2：将1-=x 代入)2()1(x f x f <+得)2()0(-<f f ,
显然成立,所以排除B 、D ；将21-=x 代入)2()1(x f x f <+得)1()2
1
(-<f f ,显
然成立,所以排除A ；故选D .
二、填空题 13.【答案】7-
【解析】71)9(log )3(2-=⇒=+=a a f .
14.【答案】6
【解析】可行域为ABC ∆及其内部,当直线2
23z
x y +-
=经过点)0,2(B 时,6max =z .
15.【答案】22
【解析】圆0322
2
=-++y y x 的半径为2=r ,其圆心)1,0(-到直线
1+=x y 的距离为22
2==
d ,所以22222=-=d r AB .
16.【答案】23
【解析】由正弦定理得C B A B C C B sin sin sin 4sin sin sin sin =+,即
2
1sin =
A .由根据余弦定理可得8cos 22
22==-+A bc a c b ,所以0cos >A , 得23sin 1cos 2
=
-=A A ,3
38=bc , 则ABC ∆的面积为3
322133821sin 21=⨯⨯==∆A bc S ABC .
三、解答题
(一)必考题：共60分.
17.【答案】(1)11b =,22b =,34b =. (2)数列{}n b 是为等比数列,首项为1,公比为2.
(3)1
2-⋅=n n n a
【解析】(1)由条件可得12(1)
n n n a a n
++=
. 将1n =代入得,214a a =,而11a =,所以,24a =. 将2n =代入得,323a a =,所以,312a =. 从而11b =,22b =,34b =.
(2){}n b 是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得121n n
a a n n
+=
+,即12n n b b +=,又11b =,所以{}n b 是首项为1,公比为2的等比数列.
(3)由(2)可得12n n
a n
-=,所以12n n a n -=⋅.
18.【答案】(1)见解析. (2)1Q ABP V -=.
【解析】(1)证明：Θ平行四边形ABCM 中
ο90=∠ACM ,
ο90=∠∴BAC ,即AC AB ⊥.
又DA AB ⊥,A DA AC =⊥,⊥∴AB 平面
ACD ,
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⊂AB Θ平面ABC ,∴平面⊥ACD 平面ABC .
(2)DA DQ BP 3
2
=
=Θ, ∴ABC ABP S S ∆∆=
32且点Q 到平面ABC 的距离是点D 到平面ABC 的距离的3
1. Θ3==AC AB 且ο
90=∠ACD , ∴13332
127231929292=⨯⨯⨯⨯=⋅⨯===
∆---AB S V V V ACD ACD B ABC D ABP Q .
19.【答案】(1)见解析. (2)0.48.
(3)一年能节省347.45m 的水. 【解析】解：(1)
(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.353m 的频率为
0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=,
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.353m 的概率的估计值为0.48. (3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
11
(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.48.50
x =
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
21
(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.35.50
x =
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 估计使用节水龙头后,一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m )-⨯=.
20.【答案】(1)直线BM 的方程为1
12
y x =+或112y x =--.
(2)见解析.
【解析】解：(1)当l 与x 轴垂直时,M 为)2,2(或)2,2(-, 则直线BM 的斜率为
21
或2
1-, 直线BM 的方程为)2(21+=
x y 或)2(2
1
+-=x y . (2)方法1：易知直线l 的斜率不为0,
不妨设2:+=my x l 且直线BN BM ,的斜率分别为21,k k .
由⎩⎨⎧=+=x
y my x 222得0422
=--my y ,则4,22121-==+y y m y y ,因为2
1k k +0)
4)(4(88)4)(4()(4244222121212122112211=+++-=++++=+++=+++=
my my m
m my my y y y my my y my y x y x y ,
所以直线BN BM ,的倾斜角互补,得ABN ABM ∠=∠. 方法2：设直线BN BM ,的斜率分别为21,k k .
①当l 与x 轴垂直时,由(1)知21k k -=,即直线BN BM ,的倾斜角互补,所以
ABN ABM ∠=∠；
数学试卷 第13页（共46页） 数学试卷 第14页（共46页）
②当l 不与x 轴垂直时,设),2(:-=x k y l ),(),,(2211y x N y x M . 由⎩⎨
⎧=-=x
y x k y 2)
2(2
得04)24(2
2
2
2
=++-k x k x k ,
则0≠k 且4,2
4212
221=+=
+x x k k x x . 因为21k k +0)
2)(2()
82(2)2(2)2(22212122112211=++-=+-++-=+++=
x x x x k x x k x x k x y x y , 所以直线BN BM ,的倾斜角互补,得ABN ABM ∠=∠. 综合①②所述,得ABN ABM ∠=∠.
21.【答案】(1)221
e
a =,)(x f 的减区间为)2,0(,)(x f 的增区间为),2(+∞..
(2)见解析.
【解析】解：(1)()f x 的定义域为(0,)+∞,1
()e x f x a x
'=-
. 由题设知,(2)0f '=,所以21
2e
a =.
从而21()e ln 12e x f x x =--,211
()e 2e x f x x
'=-.
当02x <<时,()0f x '<；当2x >时,()0f x '>.
所以()f x 在(0,2)单调递减,在(2,)+∞单调递增.
(2)当1e
a ≥时,e ()ln 1e x
f x x --≥.
设e ()ln 1e x g x x =--,则e 1()e x
g x x '=-. 当01x <<时,()0g x '<；当1x >时,()0g x '>.所以1x =是()g x 的最小值点. 故当0x >时,()(1)0g x g =≥.
因此,当1
e
a ≥时,()0f x ≥.
(二)选考题：共10分.
22.【答案】(1)22(1)4x y ++=.
(2)4||23
y x =-+.
【解析】解：(1)由cos x ρθ=,sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为
22(1)4x y ++=. (2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -,半径为2的圆.
由题设知,1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为1l ,
y 轴左边的射线为2l . 由于B 在圆2C 的外面,故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1
l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点,或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点.
当1l 与2C 只有一个公共点时,A 到1l 所在直线的距离为2,
所以
2=,故
43k =-或0k =. 经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点；当4
3
k =-时,1l 与2C 只有一
个公共点,2l 与2C 有两个公共点.
当2l 与2C 只有一个公共点时,A 到2l 所在直线的距离为2,
所以
2=,故
0k =或43k =
. 经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点；当4
3
k =时,2l 与2C 没有公共点.
综上,所求1C 的方程为4
||23
y x =-+.
数学试卷 第15页（共46页） 数学试卷 第16页（共46页）
23.【答案】(1)),1[+∞. (2)20≤<a .
【解析】(1)当1=a 时,11)(--+=x x x f ,则
1-≤x 时,2)(-=x f ,则1)(>x f 无解；
11<<-x 时,x x f 2)(=,则1)(>x f 的解集为)1,2
1
(；
1≥x 时,2)(=x f ,则1)(>x f 的解集为),1[+∞.
综上所述,所求解集为),2
1(+∞.
(2))1,0(∈x 时不等式x x f >)(成立,即x ax x >--+11,则11<-ax 成立. 所以x
a ax 20111<<⇒<-<-. 因为10<<x 时,有),2(2
+∞∈x
,所以20≤<a .
数学试卷 第17页（共46页） 数学试卷 第18页（共46页）
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2
文科数学
本试卷共23题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区
域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，
字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草
稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。

） 1．i(2+3i)=
A ．32i -
B ．32i +
C ．32i --
D ．32i -+ 2．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =则A B =I A ．{}3
B ．{}5
C ．{}3,5
D ．{}1,2,3,4,5,7
3．函数2
e e ()x x
f x x --=的图象大致为
4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3
C ．2
D ．0
5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概
率为
A ．0.6
B ．0.5
C ．0.4
D ．0.3
6．双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为3，则其渐近线方程为
A ．2y x =±
B ．3y x =±
C ．2
y x =±
D ．3y x =±
7．在ABC △中，5
cos 2C =
，1BC =，5AC =，则AB = A ．42
B ．30
C ．29
D ．25
8．为计算11111
123499100S =-+-++-L ，设计了右侧
的程序框图，则在空白框中应填入
A ．1i i =+
B ．2i i =+
C ．3i i =+
D ．4i i =+
9．在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为
A ．2
B ．3
C ．5
D ．
7 10．若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是
A ．
π4 B ．π2 C ．3π4
D ．π 11．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且
2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为
A ．31-
B ．23-
C ．
31
- D ．31-
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------效---
-------------
数学试卷 第19页（共46页） 数学试卷 第20页（共46页）
12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则
(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L
A ．50-
B ．0
C ．2
D ．50
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线方程为__________．
14．若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-⎧⎪
-+⎨⎪-⎩
≥≥≤则z x y =+的最大值为__________．
15．已知51tan 45πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，则tan α=__________．
16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30︒，若
SAB △的面积为8，则该圆锥的体积为__________．
三、解答题（共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必
考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

） （一）必考题：共60分。

17．（12分）
记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．
18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,17L ）建立模型①：ˆ30.413.5y t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,7L ）建立模型②：ˆ9917.5y
t =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
数学试卷 第21页（共46页）
数学试卷 第22页（共46页）
19．（12分）
如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC == 4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．
（1）证明：PO ⊥平面ABC ；
（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．
20．（12分）
设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >点，||8AB =．
（1）求l 的方程；
（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 21．（12分）
已知函数321
()(1)3
f x x a x x =-++．
（1）若3a =，求()f x 的单调区间； （2）证明：()f x 只有一个零点．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23的第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,
4sin ,x θy θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数），直线l 的参数
方程为1cos ,
2sin ,x t αy t α=+⎧⎨=+⎩
（t 为参数）．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
设函数()5|||2|f x x a x =-+--．
（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．
2018年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2
文科数学答案解析
一、选择题 1.【答案】D
【解析】()2323i i i +=-
2.【答案】C
【解析】因为{}1,3,5,7A =,{}2,3,4,5B =,故{}3,5AB =
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效---
-------------
数学试卷 第23页（共46页） 数学试卷 第24页（共46页）
3.【答案】B
【解析】()()f x f x =-,所以()f x 为奇函数,排除A ,又x →+∞,x x e e --→+∞,
2
x →+∞.
4.【答案】B
【解析】2213a a b a a b ⋅-⋅=+=r r r r r r
（
2-）=2. 5.【答案】D
【解析】记选中的2人都是女同学为事件A ,则()23353
10
C C P A ==.
6.【答案】A
【解析】3c e a
==Q ,222
22312
b c a a a -∴==-=,2b a ∴=±. 7.【答案】A
【解析】Q 5cos 2C =,∴
213cos 2cos 121255C C =-=⋅-=-,
2223
15215()266325
AB ∴=+-⋅⋅⋅-=+=,42AB ∴=.
8.【答案】B
【解析】1i =时,1
2
0011N T =+=+
，,2i =时,1111102034N T ++=++=，,
依次下去…2i i =+.
9.【答案】C
【解析】如图：取中点1DD 中点为F ,连接EF ,则EF CD ∥
AE ∴与CD 所成的角即为AEF ∠,在AEF △中, 90AEF ∠=︒
5
2
AE tan AEF EF ∴∠==
10.【答案】C
【解析】()cos sin 2cos 4f x x x x π⎛
⎫=-=+ ⎪⎝
⎭,()f x 在[]0,a 上单调递减,则
3
4
a π≤.
3
4
max a π∴=
11.【答案】D
【解析】设2PF r =,13PF r =,122F F r =,又32r r a +=,31
2
a r +=
,22r c =,c r ∴=
31c
e a
∴==-
12.【答案】C
【解析】()()11f x f x -=+Q ,()y f x ∴=图象关于1x =对称,又是奇函数,
()f x ∴是一个周期函数,且4T =;又()12f =,()() 2f x f x =-,()()200f f ∴==,()()()3112f f f =-=-=-,()()400f f ==,()()()()12,20,32,40f f f f ∴===-=, ()()()()()12 50122f f f f f ∴++⋯+=+=
二、填空题
13.【答案】22y x =-
【解析】2lnx y =,2
'y x =
1'2x y == ∴在点()0,0处的切线方程为：()2122y x x =-=-.
14.【答案】9
【解析】当z x y =+,过点()5,4C 时, z 有最大值9max z =
15.【答案】
3
2
【解析】∵51tan 45πα⎛
⎫-
= ⎪⎝
⎭,即1tan 1tan 451tan πααα-⎛
⎫-==
⎪+⎝
⎭∴tan α=32 16.【答案】8π
【解析】A B C S S S l ===,30,3C C l SA A ∠=︒=,2AB l =.
21
82ABC S l ∆==,4l ∴=,4AC ∴=,23r =,24122
h -==211122833
V r h πππ∴===g g g g g g .
三、解答题
17.【答案】(1) 29
n a n =-
数学试卷 第25页（共46页） 数学试卷 第26页（共46页）
(2)
22()8416n S n n n =---=,最小值为–16 【解析】解：(1)设{}n a 的公差为1d 由题意得133?15a d +=.
由1–7a =得.
所以{}n a 的通项公式为29n a n =- (2)由(1)得22(–8416)n S n n n --==. 所以当4n =时,n S 取得最小值,最小值为–16
18.【答案】(1)模型①:$
–30.413.519226.1y =+⨯=(亿元),模型②: $9917.59256.5y =+⨯=(亿元) (2)利用模型②得到的预测值更可靠.
【解析】解：(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
$
–30.413.519226.1y =+⨯=(亿元). 利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
$9917.59256.5y =+⨯=(亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下：
(i )从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线
–30.413.5y t =+上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好
地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立
的线性模型$
9917.5t y =+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ii )从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
19.【答案】(1)见解析 (2)
45
【解析】证明：(1)因为4AP CP AC ===,O 为AC 的
中点,所以OP AC ⊥,且OP =23. 连结OB .因为2
AB BC AC ==
,所以ABC △为等腰直角三角形,且OB AC ⊥,1
2
2OB AC =
=. 由222OP OB PB +=知, OP OB ⊥. 由OP OB ⊥, OP AC ⊥知PO ABC ⊥平面.
(2)作CH OM ⊥,垂足为H .又由(1)可得OP CH ⊥,所以CH POM ⊥平面. 故CH 的长为点C 到POM 平面的距离. 由题设可知OC =
12AC =2,23CM BC ==42
, 45ACB ∠=︒.
所以OM =
25
,CH =sin OC MC ACB OM ⋅⋅∠=45.
所以点C 到平面POM 的距离为45
. 20.【答案】(1)–1y x =
(2)22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=
【解析】解：(1)由题意得()1,0F ,l 的方程为–1()(0)y k x k =>. 设11(),A x y , 22(),B x y . 由2
(1)4y k x y x
=-⎧⎨
=⎩，得2222
(24)0k x k x k -++=. 2
16160k ∆=+=,故2122
24
k x x k ++=
. 所以2122
44
(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=.
数学试卷 第27页（共46页） 数学试卷 第28页（共46页）
由题设知22
44
8k k +=,解得–1,1()k k ==舍去.
因此l 的方程为–1y x =
(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--,即5y x =-+.
设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ,则
0022
000
5(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩
，
解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为
22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=.
21.【答案】(1)()f x
的单调递增区间为(,3-∞-
,()
3++∞
()f x
的单调递减区间为(
3-+
(2)见解析
【解析】解：(1)当3a =时, 3
21()3333
x f x x x ---=
,2()63x f x x =--'. 令)0(f x '=
解得3x =-
3x =+
66322
x ++==+﹥
3x
-﹤, )0(f x '>；
33x -+﹤,)0(f x '<.
∴()f x
的单调递增区间为(
,3-∞-
,()
3++∞
()f x
的单调递减区间为(3-+
(2)证明：由于2
10x x ++>,所以()0f x =等价于32301
x
a x x -=++.
设()g x =3
231
x a x x -++,则2222(23)()(10)x g x x x x x ++++'=≥,仅当0x =时)0(g x '=,所以()g x 在 (–),∞+∞单调递增.故()g x 至多有一个零点,从而()f x 至多有一个零点.
又22131–1()626()03661a a a a f -+-=---<=, 1
()03
31f a +=>,故()f x 有一个零点.
综上,()f x 只有一个零点. 因为211()(1)(13)33f x x x x a -
=++--,2213
1()024
x x x ++=++>, 所以1
(13)03
f a +=
>,2(23)(1)0f a x x -+=-++<. 综上,()f x 只有一个零点.
22.【答案】(1) 当cos 0α≠时,l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-,
当cos 0α=时,l 的直角坐标方程为1x =. (2)直线l 的斜率tan 2k α==-.
【解析】解：(1)曲线C 的直角坐标方程为22
1416
x y +=.
当cos 0α≠时,l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-, 当cos 0α=时,l 的直角坐标方程为1x =.
(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程
22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=.①
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内,所以①有两个解,设为1t ,2t ,则
120t t +=.
又由①得1224(2cos sin )
13cos t t ααα
++=-
+,故2cos sin 0αα+=,
于是直线l 的斜率tan 2k α==-.
23.【答案】(1)()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤. (2)a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞U
【解析】解：(1)当1a =时,24,1,
()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪
=-<≤⎨⎪-+>⎩
可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤. (2)()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥.
而|||2||2|x a x a ++-≥+,且当2x =时等号成立.故()1f x ≤等价于|2|4a +≥. 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥,所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞U .
数学试卷 第29页（共46页） 数学试卷 第30页（共46页）
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试课标全国卷III
数学(文科)
本试卷满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合{}|10A x x =-≥,{}0,1,2B =,则A B =I ( )
A .
{}0 B .{}1 C .{}1,2 D .{}0,1,2 2.(1)(2)i i +-=
( )
A .3i --
B .3i -+
C .3i -
D .3i +
3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
( )
A
B C D 4.若
1
sin 3α=
,则cos2α=
( )
A .89
B .79
C .79-
D .89-
5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为 ( ) A .0.3
B .0.4
C .0.6
D .0.7 6.函数2tan ()1tan x
f x x =
+的最小正周期为
( )
A .π4
B .π2
C .π
D .2π 7.下列函数中,其图象与函数ln y x =的图象关于直线1x =对称的是
( ) A .ln(1)y x =- B .ln(2)y x =- C .ln(1)y x =+
D .ln(2)y x =+
8.直线20x y ++=分别与x 轴,y 轴交于A ,B 两点,点P 在圆
22
(2)2x y -+=上,则ABP △面积的取值范围是 ( )
A .[]2,6
B .[]4,8
C .2,32⎡⎤
⎣
⎦ D .22,32⎡⎤
⎣
⎦ 9.函数
42
2y x x =-++的图象大致为
( )
A
B
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效----------------
数学试卷 第31页（共46页） 数学试卷 第32页（共46页）
C D 10.已知双曲线2
2
221
x y C a b -=：(00a b >>，)
,则点(4,0)到C 的渐近线的距离为
( )
A
B .2
C
.
D
.11.ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若ABC △的面积为222
4a b c +-,则
C =
( )
A .π
2
B .π3
C .π4
D .π6
12.设,,,是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC △为等边三角形且其面积为
则三棱锥体积的最大值为
( )
A .
B .
C .
D .第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知向量(1,2)a =,(2,2)b =-,(1,)c λ=.若(2)c a b +∥,则λ= . 14.某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是 .
15.若变量x ,y 满足约束条件
23024020.x y x y x ++⎧⎪
-+⎨⎪-⎩
≥，≥，≤则
13z x y
=+的最大值 . 16.已知函数
())1f x x =+,()4f a =,则()f a -= . 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考
题,每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题.考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.(12分)等比数列{}n a 中,11a =,534a a =.
(1)求{}n a 的通项公式；
(2)记n S 为{}n a 的前n 项和.若63m S =,求m .
18.(12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种
新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min )绘制了如下茎叶图：
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高，并说明理由；
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ,并将完成生产任务所需时间超 过m m (3)
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，
附：
A B C D D ABC -
数学试卷 第33页（共46页） 数学试卷 第34页（共46页）
19.(12分)如图,矩形ABCD 所在平面与半圆弧»CD 所在平面垂直,M 是»
CD 上异于C ,
D 的点.
(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ;
(2)在线段AM 上是否存在点P ,使得MC ∥平面PBD ？说明理由.
20.(12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆221
43x y C +=：交于A ,B 两点.线段AB 的中点
为(1,)(0)M m m ＞.
(1)证明：
1
2k -
＜; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=u u u r u u u r u u u r
.
证明：2FP FA FB
=+u u u r u u u r u u u r .
21.(12分)已知函数21()e x ax x f x +-=
.
(1)求由线()y f x =在点
()0,1-处的切线方程；
(2)证明：当1a ≥时,()e 0f x +≥.
(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第
一题计分.
22.[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy 中,O ⊙的参数方程为cos ,
sin x y θθ=⎧⎨
=⎩(θ为参数),过点(0,2)
-且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A ,B 两点. (1)求α的取值范围；
(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效---
-------------
23.[选修4—5：不等式选讲](10分)
设函数
()121 f x x x
=-++
.
(1)画出
()
y f x
=的图像;
(2)当
[0,)
x+∞
∈
时,()
f x ax b
+
≤,求a b
+的最小值.
2018年普通高等学校招生全国
统一考试课标全国卷III
文科数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】C
【解析】∵
{}{}
|10=|1
A x x x x
=-≥≥
，
{}
0,1,2
B=
，∴
{}
1,2
A B=
I
，故选C.
【考点】集合的运算2.【答案】D
【解析】
2
(1)(2)=223
i i i i i i
+--+-=+，故选D.
【考点】复数的运算
3.【答案】A
【解析】两木构件咬合成长方体时，榫头完全进入卯眼，易知咬合时带卯眼的木构件
的俯视图为A，故选A.
【考点】空间几何体的三视图
4.【答案】B
【解析】因为
1
sin
3
α=
，2
cos212sin
αα
=-，所以
2
127
cos212()1
399
α=-⨯=-=
.故选B.
【考点】三角恒等变换
5.【答案】B
【解析】设事件A为“不用现金支付”，事件B为“既用现金支付也用非现金支付”，事件C为“只用现金支付”，则()1()()10.150.450.4
P A P B P C
=--=--=.
故选B.
【考点】互斥事件，对立事件的概率
6.【答案】C
【解析】解法1：
()
f x定义域为
π
|π+,Z
2
x x k k
⎧⎫
∈
⎨⎬
⎩⎭
≠
，2
sin
1
cos
()sin cos sin2
sin2
1()
cos
x
x
f x x x x
x
x
===
+
g
，∴
()
f x的最小正周期
2π
π
2
T==
.
解法二：
22
tan(π)tan
(π)()
1tan(π)1tan
x x
f x f x
x x
+
+===
+++
，∴π是()
f x的周期，
2
π
tan()
π2
()
π
21tan()
2
x
f x
x
+
+=
++
，而
π
sin()cos1
2
tan()
π
2sin tan
cos(+)
2
x x
x
x x
x
π+
+===-
-
，∴2
πtan
(+)()
21tan
x
f x f x
x
=-
+
≠
，
∴
π
2不是()
f x的周期，∴
π
4也不是()
f x的周期，故选C.
【考点】三角函数的周期
7.【答案】B
【解析】解法一：
ln
y x
=图象上的点(1,0)
P关于直线1
x=的对称点是它本身，则点P
数学试卷第35页（共46页）数学试卷第36页（共46页）
数学试卷 第37页（共46页） 数学试卷 第38页（共46页）
在ln y x =关于直线1x =对称的图像上，结合选项可知，B 正确.故选B .
解法二：设(,)Q x y 是所求函数图象上任一点，则关于直线1x =的对称点(2,)P x y -，在函数ln y x =图象上，∴ln(2)y x =-.故选B . 【考点】函数图象的对称性 8.【答案】A
【解析】圆心(2,0)到直线20x y ++=
，设点
P 到直线的距离为d ，
则min d ==
max d == 又易知(2,0)A -，B(0,2)-，
∴||AB =，
∴min min 11
() || 2
22ABP S AB d ==⨯g g △，
max max 11
() || 6
22ABP S AB d ==⨯=g g △.
∴ABP △面积的取值范围是[]
2,6.故选A .
9.【答案】D
【解析】令4
2
()2y f x x x ==-++，则3
()42f x x x '
=-+，
当
x <
或0x <<时，()0f x '>，()f x 递增；
当0x <<
或x <时，()0f x '<，()f x 递减.由此可得()f x 的图像大致为D 中的图像.故选D . 【考点】函数图象的识辨 10.【答案】D
【解析】∵
c e a =
==0a >，0b >，∴1b a =，
∴C 的渐近线方程为y x =±， ∴点(4,0)到C
.
【考点】双曲线的几何性质及点到直线的距离公式
11.【答案】C
【解析】因为222
2cos a b c ab C +-=，且
2224ABC
a b c S +-=
△，
所以
2cos 1
sin 42ABC ab C S ab C =
=△，
所以tan 1C =，又(0,π)C ∈，
所以
π
4C =
.故选C .
12.【答案】B
【解析】设等边ABC △的边长为a ，
则有°1
sin602ABC S a a =g g △，解得6a =.
设ABC △外接圆的半径为r ，则
°6
2sin60r =
，解得r =ABC 的
2
=，所以点D 到平面ABC 的最大距离为246+=，所以三棱
锥D ABC -
体积最大值为1
63⨯=B .
【考点】空间几何体的体积及与球有关的切接问题
第Ⅱ卷
二、填空题
13.【答案】1
2
【解析】由题意得2(4,2)a b +=，因为(1,)c λ=，(2)c a b +∥，所以420λ-=，解得
12λ=
.
14.【答案】分层抽样
【解析】因为不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，所以根据三种抽样方法
的特点可知最合适的抽样方法是分层抽样. 【考点】抽样方法
15.【答案】3
【解析】解法一：根据约束条件作出可行域，如图所示.
数学试卷 第39页（共46页） 数学试卷 第40页（共46页）
1
3z x y
=+可化为33y x z =-+.
求z 的最大值可转化为求直线33y x z =-+纵截距的最大值，显然当直线
33y x z =-+过(2,3)A 时，纵截距最大，故max 1
233
3z =+⨯=.
解法二：画出可行域(如上图)，由图可知可行域为三角形区域，易求得顶点坐标分别
为(2,3)，(2,7)-，(2,1)-，将三点坐标代入，可知max 1
233
3z =+⨯=.
【考点】简单的线性规划 16.【答案】2-
【解析】易知()f x 的定义域为R
，令())g x x =， 则()()0g x g x +-=，∴()g x 为奇函数， ∴()()2f a f a +-=，又()4f a =，∴()2f a -=-. 【考点】函数的奇偶性 三、解答题
17.【答案】(1)1
(2)n n a -=-或1
2
n n a -=
(2)6m =
【解析】(1)设{}n a 的公比为q ，由题设得1
n n a q -=. 由已知得42
4q q =，解得0q =(舍去)或2q =-或2q =. 故1(2)n n a -=-或1
2n n a -=.
(2)若1
(2)n n a -=-，则1(2)3n
n S --=.
由63m S =得
(2)188m
-=-，此方程没有正整数解. 若12n n a -=，则
21n
n S =-.由63m S =得264m =，解得6m =. 综上，6m =.
【考点】等比数列的通项公式、前n 项和公式
18.【答案】(1) 第二种生产方式的效率更高. 理由如下：
(i )由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需
时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
(ii )由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为
85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分
钟.因此第二种生产方式的效率更高.
(iii )由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分
钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
(iv )由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上
的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.
(2) 由茎叶图知7981
802m +=
=.。