6376高一年级数学教学质量检测试题卷
陕西省西安市周至县2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量检测数学试题(解析版)
陕西省西安市周至县2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量检测数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量(2,3),(1,1)a b =-=- ，若()ka b b +⊥，则k =（）A.52-B.52C.25-D.25【答案】D 【解析】【分析】求出()ka b +的坐标，根据向量垂直的坐标表示列方程求解，即得答案.【详解】因为(2,3),(1,1)a b =-=- ，所以(21,31)ka b k k +=-+-，因为()ka b b +⊥ ，所以()0ka b b +⋅= ，即21(31)0k k -+--=，解得25k =.故选：D2.某公司在职员工有1200人，其中销售人员有400人，研发人员有600人，现采用分层随机加样的方法抽取120人进行调研，则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多（）A.20B.30C.40D.50【答案】A 【解析】【分析】根据分层抽样的定义结合题意求出被到的研发人员人数和销售人员人数，从而可求得结果.【详解】由题意可得被抽到的研发人员有120600601200⨯=人，销售人员有120400401200⨯=人，则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多604020-=.故选：A3.投掷一枚质地均匀的骰子，则向上的点数是3的倍数的概率为（）A.16B.13C.14D.12【答案】B 【解析】【分析】利用古典概型的概率公式求解【详解】因为投掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数的所有的情况为1，2，3，4，5，6，其中是3的倍数有3和6，两种，所以所求概率为2163=，故选：B4.已知,αβ是两个不重合的平面，直线l α⊥，则“//l β”是“αβ⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义及线面关系、面面关系的性质定理及判定定理判断可得；【详解】解：因为,αβ是两个不重合的平面，直线l α⊥，若//l β，则存在直线a β⊂，满足//l a ，因为l α⊥，所以a α⊥，所以αβ⊥，故充分性成立；若αβ⊥，l α⊥，则l β⊂，或//l β，故必要性不成立；所以“//l β”是“αβ⊥”的充分不必要条件；故选：A5.在一个港口，有一艘船以每小时30海里的速度向正东方向行驶，在某时观测到在该船北偏东75°方向上有一座灯塔A ，2小时后，灯塔A 在该船的东北方向上，该船继续向正东方向行驶足够长时间，则该船与灯塔A 之间的最短距离是（）A.)151+海里B.30海里C.(302海里D.)301海里【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件应用正弦定理求出AB ,再在Rt ABD 应用正弦定理求出AD 即可.【详解】设该船的初始位置为,2B 小时后的位置为C ，过A 作AD BC ⊥，垂足为D ，则AD 为所求的最短距离.由题意可知15,135,60ABC ACB BC ∠∠=== 海里，则30BAC ∠= .在ABC 中，由正弦定理可得sin sin AB BC ACB BAC ∠∠=，则sin sin BC ACBAB BAC∠∠==.在Rt ABD 中，15,90,ABD ADB AB ∠∠=== ()23216-2sin15sin 4530=-=sin90sin1522224AB AD =︒=︒-︒︒︒，则()30AD =海里.故选：D.6.若212i i z =++，则||z =（）A.0B.1C.D.2【答案】D 【解析】，即可求得答案.【详解】因为i 12i 21z =+-=，所以||2z =，故选：D7.已知某圆柱的轴截面是正方形，且上､下底面圆周上的所有点都在球O 的表面上，则该圆柱的体积与球O 的体积的比值是（）A.3 B.3C.4D.8【答案】D 【解析】【分析】本题设圆柱底圆半径为r ，则可利用几何关系表示出圆柱的高和球的半径，再求体积之比即可.【详解】设该圆柱的底面圆半径为r ，高为h ，则2h r =，设球O 的半径为R ，则由已知条件可得=R ，设圆柱的体积为1V ，球的体积2V ，由圆柱的体积公式可得231π2πV r h r =⋅=，由球的体积公式可得3324ππ33V R r ==，则312328823V V ==.故选：D.8.若向量,a b 是一组基底，向量(),m xa yb x y =+∈R ，则称(),x y 为向量m 在其底,a b下的坐标.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中,,,E F G H 分别是,,,DF AG BH CE 的中点.已知向量12,e e 分别是与向量,AB AD 同向的单位向量，且向量AG在基底12,e e 下的坐标为()4,2，则AH 在基底12,e e下的坐标是（）A.()4,3 B.()3,4 C.()4,1 D.()2,4【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件，由向量的线性运算及图形关系得4255AG AB AD =+ ，再由向量AG 在基底12,e e 下的坐标为()4,2得15AB e = ，25AD e =，最后通过线性运算得3455AH AB AD =+ 即可求解.【详解】由题意可得()11112224AG AB BG AB BH AB BC CH AB BC CE =+=+=++=++.因为EFGH 是平行四边形，所以AG CE =- ，所以111242AG AB BC AG AB AD =+-=+- 14AG ，所以4255AG AB AD =+ .因为向量AG在基底12,e e 下的坐标为()4,2，所以15AB e = ，25AD e = .因为134255AH AB BH AB BC CH AB AD AG AB AD =+=++=+-=+ ，所以AH 在基底12,e e下的坐标是()3,4.故选：B .二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某商场评选金牌销售员，现将该商场所有销售员某月的销售额进行整理，得到如图所示的统计图，则（）A.该商场有20名销售员B.该啇场这个月所有销售员销售额的平均数为7万元C.该商场这个月有30%的销售员的销售额超过7万元D.该商场这个月所有销售员销售额的第85百分位数是8.5万元【答案】ACD 【解析】【分析】根据统计图，统计即可求解AC ，根据平均数的计算即可求解B ，根据百分位数的计算即可求解D.【详解】由统计图可知该商场有124732120++++++=名销售员，则A 正确.该商场这个月所有销售员销售额的平均数为45264778392106.9520+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=万元，则B 错误.该商场这个月销售额超过7万元的销售员有6人，占总人数的百分比为630%20=，则C 正确.因为2085%17⨯=，所以该商场这个月所有销售员销售额的第85百分位数是898.52+=万元，则D 正确.故选：ACD10.已知事件,,A B C 两两互斥，若1()6P A =，1()3P B =，5()12P A C = ，则（）A.1()4P C =B.1()2P A B ⋃=C.()1P A B C =D.7()12P B C ⋃=【答案】ABD 【解析】【分析】根据事件互斥的性质依次判断选项即可.【详解】因为事件,,A B C 两两互斥，所以()()()P A C P A P C =+ .因为1()6P A =，5()12P A C = ，所以1()4P C =，则A 正确.因为1()6P A =，1()3P B =，所以1()()()2P A B P A P B =+= ，则B 正确.因为事件,,A B C 两两互斥，所以3()()()()4P A B C P A P B P C =++= ，则C 错误.因为1(),3P B =1()4P C =，所以7()()()12P B C P B P C ⋃=+=，则D 正确.故选：ABD11.如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论，其中正确的结论的是（）A.三棱锥1A D PC -的体积不变B.1//A P 平面1ACDC.1DP BC ^D.平面1PDB ^平面1ACD 【答案】ABD 【解析】【分析】证明1//BC 平面1ACD 判断A ；证明平面11//A BC 平面1ACD 判断B ；利用1BC D 判断C ；证明1DB ⊥平面1ACD 判断D 作答.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，11////AB DC D C ，11AB DC D C ==，即四边形11ABC D 为平行四边形，11//BC AD ，1AD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ，则1//BC 平面1ACD ，于是得点P 到平面1ACD 的距离是定值，而1ACD △面积是定值，因此三棱锥1A D PC -的体积不变，A 正确；由选项A 知，1//BC 平面1ACD ，同理11//A C 平面1ACD ，而1111BC A C C ⋂=，111,BC A C ⊂平面11A BC ，则平面11//A BC 平面1ACD ，而1A P ⊂平面11A BC ，即有1//A P 平面1ACD ，B 正确；因11BC BD C D ==，即1BC D 为正三角形，点P 在1BC 上，则DP 与1BC 不一定垂直，C 不正确；因1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，即有1BB AC ⊥，正方形ABCD 中，BD AC ⊥，而1BD BB B ⋂=，1,BD BB ⊂平面1BB D ，则AC ⊥平面1BB D ，1DB ⊂平面1BB D ，于是得1DB AC ⊥，同理11DB AD ⊥，又1AD AC A = ，1,AD AC ⊂平面1ACD ，则1DB ⊥平面1ACD ，而1DB ⊂平面1PDB ，因此平面1PDB ^平面1ACD ，D 正确.故选：ABD三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数13i1iz -=+，则z =___________.【答案】12i -+【解析】【分析】先对复数化简，然后再求其共轭复数.【详解】因为2213i (13i)(1i)1i 3i 3i 12i 1i (1i)(1i)1i z -----+====--++--，所以12iz =-+.故答案为：12i-+13.某圆台形花坛的上底面圆的半径是2米，下底面圆的半径是4米，高是3米，则该花坛的侧面积是___________平方米.【答案】【解析】【分析】求出圆台的母线长，利用圆台的侧面积公式即得答案.【详解】由题意可得该花坛为圆台，它的母线长l ==，则该花坛的侧面积()()12ππ24S r r l =+=+⨯(平方米),故答案为：14.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若c =22()3a b c ab +=+.则ABC 周长的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】由已知结合基本不等式可得222()323ab a b a b c +⎛⎫+-≤ ⎝=⨯⎪⎭，求出a b +的最大值，即可得ABC 周长的最大值.【详解】因为22()3a b c ab +=+，所以22()3a b c ab +-=.因为22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立，所以222()32a b a b c +⎛⎫+-≤⨯ ⎪⎝⎭，即22()4a b c +≤，所以222()41a b c =+≤，得a b +≤，则a b c ++≤，即ABC 周长的最大值为故答案为：四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为了了解一片林木的生长情况，某科研机构成员随机检测了其中100棵树木的底部周长（单位:cm)，所得数据都在[80，130]内，按[80,90),[90,100),[100,110),[110.120),[120.130]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中a 的值;（2）估计这片林木中树木底部周长的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若这片林木有10000[90，110）内的树木的数量.【答案】（1）0.025（2）102.5cm （3）6000【解析】【分析】（1）由所有分组的频率之和为1，求a 的值；（2）利用频率分布直方图求出数据的平均值；（3）由范围内的频率计算频数.【小问1详解】由频率分布直方图可得()0.0150.0350.0200.005101a ++++⨯=，解得=a 0.025.【小问2详解】设这片林木中树木底部周长的平均值为x ，则850.15950.251050.351150.21250.05102.5cm x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【小问3详解】由频率分布直方图可知这片林木中树木的底部周长在[90,110)内的频率是(0.025+0.035)100.6⨯=，则这片林木中底部周长在[90,110)内的树木的数量的估计值是100000.66000⨯=.16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ACC A 是菱形，ABC 是等边三角形.平面11ACC A ⊥平面,,,ABC D E F 分别棱1111,,AA BB B C 的中点.（1）证明：平面1//A EF 平面1BC D ；（2）若160A AC ∠=，求直线1BC 与平面ABC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3010【解析】【分析】（1（2）根据面面垂直的性质可得1C BH ∠是直线1BC 与平面ABC 所成的角，即可利用三角形的边角关系求解.【小问1详解】由三棱柱的定义可知1AA 111,BB AA BB =.因为,D E 分别是棱11,AA BB 的中点，所以1A D 1,BE A D BE =，所以四边形1A DBE 是平行四边形，则1A E BD .因为BD ⊂平面11,BC D A E ⊄平面1BC D ，所以1A E 平面1BC D .因为,E F 分别是棱111,BB B C 的中点，所以EF 1BC .因为1BC ⊂平面1,BC D EF ⊄平面1BC D ，所以EF 平面1BC D .因为1,A E EF ⊂平面1A EF ，且1A E EF E ⋂=，所以平面1A EF 平面1BC D .【小问2详解】作1C H AC ⊥的延长线于点H ，连接BH .因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，且平面11ACC A 平面ABC =AC ，1C H ⊂平面11ACC A ，所以1C H ⊥平面ABC ，则1C BH ∠是直线1BC 与平面ABC 所成的角.设2AB =，则12CC =.因为160A AC ∠=，所以160C CH ∠=，则11,CH C H ==因为ABC 是等边三角形，所以2,60BC ACB ∠== ，所以120BCH ∠= .由余弦定理可得BH =因为1C H ⊥平面,ABC BH ⊂平面ABC ，所以1C H BH ⊥，则1BC ==，故111sin 10C H C BH BC ∠==，即直线1BC 与平面ABC所成角的正弦值为10.17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知43a b =，且2cos 3A =.（1）求sinB 的值；（2）若3c =，求ABC 的周长.【答案】（1）459（2）10或12.【解析】【分析】（1）根据题意，求得5sin 3A =，结合正弦定理，即可求得sin B 的值；（2）设3,4a k b k ==，由余弦定理得出方程271690k k -+=，解得1k =或97k =，进而求得ABC 的周长.【小问1详解】解：由(0,π)A ∈，且2cos 3A =，可得5sin 3A ==，又因为43a b =，由正弦定理得4sin 3sin AB =，所以4sin 45sin 39A B ==.【小问2详解】解：由43a b =，可得34a b =，可设3,4a k b k ==，其中0k >，因为3c =，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即22291692433k k k =+-⨯⨯⨯，即271690k k -+=，解得1k =或97k =，当1k =时，3,4a b ==，此时ABC 的周长为10a b c ++=；当97k =时，2736,77a b ==，此时ABC 的周长为273631277a b c ++=++=.18.如图，这是某种型号的奖杯，它是用一个正四棱台、一个正四棱柱和一个球焊接而成的球的半径为R .正四棱柱的底面边长为2R ，高为7R .正四棱台的上、下底面边长分别为4R 和6R ，斜高（即侧面梯形的高）为3R .（1）求这种型号的奖杯的表面积（用R 表示，焊接处对面积的影响忽略不计）；（2）已知3cm R =，若为奖杯表面镀金所用的材料每1.6g 可以涂21m ，且该种型号的奖杯底面（图中正四棱台的下底面作为该种型号的奖杯的底面，一般底面采用其他村质）不需要镀金，则为100个这种型号的奖杯镀金约需要多少材料？（π取3.14，精确到0.01g ）【答案】（1）()2221684πcmR R +（2）20.82g 【解析】【分析】（1）分别求得棱台、棱柱、球的表面积后相加即可得出该奖杯的表面积；（2）求出奖杯需要镀金的表面积，再根据镀金材料的每平方米的重量可求得为100个这种型号的奖杯镀金所需要的材料.【小问1详解】球的表面积为224πcm R .正四棱柱的表面积为222(2)227464cm R R R R ⨯+⨯⨯=.正四棱台的表面积为()22221(6)(4)4463112cm 2R R R R R R ++⨯+⨯=.故这种型号的奖杯的表面积为()2222222112644π2(2)1684πcmR R R R R R ++-⨯=+.【小问2详解】因为1个这种型号的奖杯需要镀金的面积为222221684π(6)1324πR R R R R +-=+22213234 3.1431301.04cm =⨯+⨯⨯=，所以100个这种型号的奖杯需要镀金的面积为221301.0410*******cm 13.0104m ⨯==.因为为奖杯表面镀金所用的材料每1.6g 可以涂21m ，所以为100个这种型号的奖杯镀金约需要材料13.0104 1.620.81664g 20.82g ⨯=≈.19.甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下.若比赛中有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为12，乙、丙比赛乙胜概率为13，丙、甲比赛丙胜概率为23，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局.（1）比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率；（2）已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率.【答案】（1）23（2）13108【解析】【分析】（1）根据独立事件的概率公式进行求解即可；（2）分析比赛情况，根据和事件的概率公式进行求解即可.【小问1详解】由题可知，甲、乙、丙各旁观1局只需讨论前两局的胜负情况，可分为：甲胜乙、丙胜甲；乙胜甲，丙胜乙.设甲、乙比赛甲胜，乙、丙比赛乙胜，丙、甲比赛丙胜分别为事件A，B，C，则A，B，C相互独立，设比赛完3局时，甲、乙、丙各旁观1局为事件M，则M AC AB= ，则()()()()()()()12122 23233P M P AC P AB P A P C P A P B=+=+=⨯+⨯=，所以甲、乙、丙各旁观1局的概率为2 3 .【小问2详解】设甲、乙、丙第i局比赛获胜分别为事件i A，i B，i C，1,2,3,4,5i=，设比赛完5局甲获得最终胜利为事件D，则123451234512345123451234512345,D B B A A A B C A A A A A B B A A A B C A A C C A A A C B A A =+++++()()()()()() 1234512345111111 2323272P B B A A A P B P B P A P A P A==⨯⨯⨯⨯=，()()()()()() 1234512345121111 2332354P B C A A A P B P C P A P A P A==⨯⨯⨯⨯=，()()()()()() 1234512345111111 2323272P A A B B A P A P A P B P B P A==⨯⨯⨯⨯=，()()()()()() 1234512345111211 2323354P A A B C A P A P A P B P C P A==⨯⨯⨯⨯=，()()()()()() 1234512345122111 2333227P AC C A A P A P C P C P A P A==⨯⨯⨯⨯=，()()()()()() 1234512345121111 2332354P AC B A A P A P C P B P A P A==⨯⨯⨯⨯=，所以()11111113 725472542754108P D=+++++=.所以，已知比赛进行5局后结束，甲获得最终胜利的概率为13 108.。
高一年级数学上册教学质量检测试题卷
高一年级数学上册教学质量检测试题卷考生须知:1. 本卷满分120分, 考试时刻90分钟.2. 答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名.3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效.4. 考试终止, 只需上交答题卷.一．选择题 : 本大题共10小题, 每小题3分, 共30分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的 . 1. 下列是增函数且是奇函数的是（A ）1-=x y （B ）21x y = （C ）3x y = （D ）2x y =2. 直线023=+-y x 与05=-+y ax 平行, 则a 的值为 (A) 3- (B) 33-(C)33 (D) 33. 已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b(A) 平行且同向 (B) 平行且反向 (C) 不平行也不垂直 (D) 垂直 4. 设全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，}7,4,3,1{=M ，}7,6,4,2{=N ，则图中阴影部分所表示的集合是（A ）}6,2{ （B ）}3,1{ （C ）}8,5,3,1{ （D ）}7,6,4,2{5. 函数)2(cos 3π+=x y 的图象可由函数x y 2cos =的图象通过平移而得到，这一平移过程能够是(A) 向左平移6π (B) 向右平移6π (C)向左平移3π (D)向右平移3π6. 设等差数列}{n a 的前n 项和为n S , 若1854=+a a ，则8S 的值是 （A ）18 （B ）36 （C ）54 （D ）727. 直线l 过点)0,1(-，且与圆1)1(22=+-y x 相切，若切点在第一象限（如图），则l 的斜率是(第4题)(A) 1 (B) 21 (C) 33(D) 38．设βα、是两个不同的平面，n m 、是两条不同的直线，则下列结论不正确的是（A ）βα//，α⊥m ，则β⊥m （B ）n m //，α⊥m ，则α⊥n （C ）α//n ，β⊥n ，则β⊥a （D ）n m ⊥，α⊥m ，则α//n9．假如实数x y 、满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 210．设O 为坐标原点,给定一个定点A (4,3), 而点)0,(x B 在x 正半轴上移动,)(x l 表示AB 的长,则△OAB 中两边长的比值)(x l x的最大值为 (A) 34 (B) 35 (C) 45 (D) 54二．填空题：本大题有5小题, 每小题4分, 共20分. 请将答案填写在答题卷中的横线上. 11. α是第四象限角，1312cos =α，则sin α= ______ .12. 不等式x x <2的解集是 _______________ .13. 已知两点)5,7(),5,3(--N M , 则线段MN 的垂直平分线的方程为 _______ . 14. 如图，底面是正方形的长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为________ .15. 关于函数21()lg (0),x f x x x+=≠有下列命题：① 其图像关于y 轴对称；② ()f x 的最小值是lg 2；③()f x 的递增区间是)0,1(-；④ ()f x 没有最大值．其中正确是__ __ __ __ __ __（将正确的命题序号都填上）．(第7题)(第14题)1A1D1C1BDBCA三．解答题：本大题有5小题, 共50分. 解承诺写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分10分)已知某几何体的正视图、侧视图差不多上等腰三角形，俯视图是矩形，尺寸如图所示． (1) 写出那个几何体的两条几何特点; (2) 求该几何体的体积V ； (3) 求该几何体的全面积S ．17．(本小题满分10分)各项均为正数的等比数列}3(}{≥n a n 中, 38,83211=++=a a a a . (1) 求数列}{n a 的通项n a ;(2) 设n S 为数列}{n a 前n 项的和, 求满足64>n S 成立的最小的正整数n .18. (本小题满分10分) 已知函数.2cos 32cos 2sin)(2x x x x f += （1）求)(x f 的周期；（2）当],0[π∈x 时，求)(x f 的零点；（3）在给出的坐标系中作出)(x f 在一个周期上的简图．(第16题)俯视图19. (本小题满分10分)已知圆C 的圆心坐标为（3，4），直线l :02=+y x 与圆C 相切于1P ． （1）求圆C 的方程;（2）过1P 作斜率为2的直线交x 轴为)0,(11x Q ，过1Q 作x 轴的垂线交l 于2P ，过2P 作斜率为4的直线交x 轴为)0,(22x Q ，……，如此下去．一样地，过n P 作斜率为n 2的直线交x 轴为)0,(n n x Q , 再过n Q 作x 轴的垂线交l 于1+n P , …… ① 求点1P 和2P 的坐标; ② 求1+n x 与n x 的关系.20. (本小题满分10分)某农产品去年各季度的市场价格如下表：今年某公司打算按去年各季度市场价的“最佳近似售价值m ”（m 是与上表中各售价差的平方和取最小值时的售价值）收购该种农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），打算可收购50万担．政府为了鼓舞收购公司多收购这种农产品，决定将税率降低x 个百分点，推测收购量可增加2x 个百分点． （1）求m 的值(单位: 元/担)；（2）写出税收y （万元）与x 的函数关系式；（3）若要使此项税收在税率调剂后许多于原打算税收的83.2%，试确定x 的取值范畴．2008年杭州市高一年级教学质量检测数学评分标准一．选择题 : （ 每小题3分, 共30分）二．填空题：（ 每小题4分, 共20分）11. 135- 12. }10|{<<x x 13. 02=+-y x 14. 54 15. ①, ②, ③, ④ (少1个扣1分)三．解答题：本大题有5小题, 共50分. 解承诺写出文字说明, 证明过程或演算步骤.16．(本小题满分10分)(1) 该几何体是一个底面面积为矩形，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥;--- 3分(2) 体积()1864643V =⨯⨯⨯=; --- 3分 (3) 该四棱锥有两个侧面VBC VAD ,是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为1h == 另两个侧面VCD VAB ,也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为25h ==,因此全面积2248886)582124621(2+=⨯+⨯⨯+⨯⨯=S . --- 4分17．(本小题满分10分)(1) 由条件, 设数列的公比为q , 解方程38)1(82=++q q , --- 3分得252231,-==q q (舍去), 因此数列的通项为)()(8*123N n a n n ∈⋅=- --- 3分 (2) 因为]1)[(1623-=n n S , 解不等式64]1)[(1623>-n, 得3>n ,因此满足条件的最小正整数4=n . --- 4分18. (本小题满分10分) （1）)cos 1(23sin 212cos 32cos 2sin)(2x x x x x x f ++=+=23)3sin(++=πx , 因此周期π2=T ; --- 4分 （2）令23)3sin(,023)3sin(,0)(-=+=++=ππx x x f 也就是即, 因为],0[π∈x ，因此π=x ．因此f (x )的零点是π=x ; --- 3分 （3）图象如右. --- 3分19. (本小题满分10分) （1）圆心到直线l 的距离525|10|==d ，则圆C 的方程为20)4()3(22=-+-y x ;--- 3分 （2）① )4,2(),0,2(),2,1(211---P Q P ; --- 3分② 设)0,(n n x Q ，则)2,(1n n n x x P -+，)0,(11++n n x Q ，则11++n n P Q 的斜率为12+n ,即11202++=---n n n n x x x ，∴n n n x x )211(1+=+. --- 4分20. (本小题满分10分)(1) 按题意, 令2222)5.199()5.204()5.200()5.195(-+-+-+-=m m m m y +-=2)200(4m因此y 取最小值时有200=m ; --- 3分 (2) 降低税率后的税率为)%10(x -，农产品的收购量为%)21(50x +⋅万担，收购总金 额为%)21(50200x +⨯⨯． 依题意，)10)(2100(5010000200)%10(%)21(50200x x x x y -+⨯⨯=-⋅+⨯⨯=)100(),10)(2100(50501<<-+⨯⨯=x x x ． --- 4分 (3）依题意，得%2.835020)10)(2100(50501⨯⨯≥-+⨯⨯x x ，即.20,100.242,084402≤<∴<<≤≤-≤-+x x x x x 又解得答：x 的取值范畴是.20≤<x --- 3分。
2024-2025学年贵州省贵阳市贵阳一中高一(上)质检数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年贵州省贵阳一中高一（上）质检数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x ∈N|−1<x <5}，B ={−1,0,1,2}，则A ∩B =( )A. {1,2}B. {−1,0,1,2,3,4}C. {0,1,2}D. {−1,0,1,2}2.命题p ：“∀x ∈[0,2]，x 2+1≥1”，则p 的否定是( )A. ∀x ∉[0,2]，x 2+1<1B. ∀x ∈[0,2]，x 2+1<1C. ∃x ∉[0,2]，x 2+1<1D. ∃x ∈[0,2]，x 2+1<13.下列四组函数中，是同一个函数的是( )A. f(x)=x−1,g(x)=x 2x −1B. f(x)=x 2,g(x)=( x )4C. f(x)=|x|,g(x)= x 2D. f(x)=|x|,g(x)=( x )24.已知函数f(2x +1)=4x 2+6x−1，则f(−3)=( )A. 3B. −3C. −1D. 95.已知幂函数y =f(x)的图象过点(2, 2)，则下列说法正确的是( )A. f(x)为偶函数B. f(x)为奇函数C. f(x)为单调递增函数D. f(x)为单调递减函数6.已知集合A ={0,2}，B ={x|x 2+2ax +a 2−1=0}，则“A ∩B ={2}”是“a =−1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,+∞)单调递减，若f(1−2m)<f(m)，则实数m 的取值范围为( )A. (13,+∞)B. (−∞,13)C. (13,1) D. (−∞,13)∪(1,+∞)8.已知函数f(x)= ax 2+2x +1的值域为[0,+∞)，则a 的取值范围为( )A. [0,1]B. (0,1]C. {1}D. [1,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。
2024—2025学年安徽省合肥市部分学校高一上学期第二次教学质量检测数学试卷
2024—2025学年安徽省合肥市部分学校高一上学期第二次教学质量检测数学试卷一、单选题(★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 下列函数与函数是同一函数的是（）A．B．C．D．(★★★) 3. 若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（）A．B．C．或D．或(★) 4. 命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，(★★★) 5. 已知，且，则的最小值是（）A．B．C．D．(★★★★) 6. 已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（）A．B．的不同子集的个数为8C．D．(★★★) 8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题(★★★) 9. 不等式的解集是，则下列选项正确的是（）A．且B．不等式的解集是C．D．不等式的解集是(★★★) 10. 已知全集，是的非空子集，当时，且，则称为的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是（）A．若中元素均为孤立元素，则中最多有个元素B．若中不含孤立元素，则中最少有个元素C．若中元素均为孤立元素，且仅有个元素，则这样的集合共有个D．若中不含孤立元素，且仅有个元素，则这样的集合共有个(★★★) 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.设函数，则下列说法错误的是（）A．的图象关于轴对称B．的最大值为1，没有最小值C．D．在上是增函数三、填空题(★★★) 12. 已知函数，，，.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是 ______ ．(★★) 13. 已知集合，若，且，则实数m所取到的值为 ______ 或 ______ ．(★★★) 14. 已知方程的两根分别为，若对于，都有成立，则实数的取值范围是 ______ ．四、解答题(★★★) 15. 已知集合，．(1)若，全集，试求；(2)若，求实数的取值范围；(3)若，求实数的取值范围；(★★★★) 16. 已知函数.(1)若，，函数的最小值为0，求a的值；(2)若，不等式有且仅有四个整数解，求实数的取值范围；(3)当时，对，，若存在实数m使得成立，求m 的最小值.(★★★) 17. 已知，且(1)求最大值(2)求最小值(3)若不等式恒成立，求实数m的取值范围.(★★★★) 18. 已知方程(1)若，，求方程的解；(2)若对任意实数，方程恒有两个不相等的实数解，求实数的取值范围；(3)若方程有两个不相等的实数解，且，求的最小值．(★★★★) 19. 若函数的定义域为．集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为M上的增长函数．(1)已知函数，函数，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由：(2)已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数n的最小值；(3)如果的图像关于原点对称，当时，，且为R上的增长函数，求实数a的取值范围．。
最新人教版高一数学上册期末教学质量检测试卷(附答案)
最新人教版高一数学上册期末教学质量检测试卷（附答案） 本试卷共4页,22小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}A =-和2{|}B x x x ==关系的韦恩（Venn ）图是（ ）1．答案：B解析：2{|}{0,1},B x x x B A ⊂≠===∴．2．下列函数既是奇函数，又是在区间(1,)+∞上是增函数的是（ ）A ．x x y e e -=-B ．y =C ．sin y x =D ．ln ||y x = 2．答案：A解析：选项A ，设()x x f x e e -=-，则其定义域为R ，关于原点对称，且()()x x f x e e f x --=-=-，所以()f x 为奇函数，因为x y e =是增函数，x y e -=是减函数，所以x x y e e -=-是增函数，符合题意；选项B ，y 的定义域为[0,)+∞，不关于原点对称，所以y =是非奇非偶函数； 选项C ，sin y x =是奇函数，但在区间(1,)+∞上，有增区间也有减区间，不符合题意；选项D ，ln ||y x =是偶函数．3．已知(1,0),(1,1)a b == ，且()a b a λ+⊥ ，则λ=（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-3．答案：D 解析：(1,0)(1,1)(1,)a b λλλλ+=+=+ ，因为()a b a λ+⊥ ，所以()(1,)(1,0)10a b a λλλλ+⋅=+⋅=+= ，解得1λ=-．4．已知tan α=2παπ<<，则sin cos αα-=（ ）A B C D 4．答案：A解析：因为tan α=2παπ<<，所以23πα=，所以1sin 22αα==-，所以sin cos αα-=． 5．函数2ln y x x =+的图象大致为（ ）5．答案：A解析：设2()ln f x x x =+，定义域为{|0}x x ≠，22()()ln ln ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称．且当0x >时，2()ln f x x x =+为单调递增函数．6．已知(cos15,sin15),(cos75,sin75)OA OB =︒︒=︒︒ ，则AB = （ ）A ．2B C D ．16．答案：D 解析：1OA OB == ，且60AOB ∠=︒，所以ABC △为正三角形，故1AB = ．7．已知偶函数()f x 在[0,)+∞单调递减，则使得1(2)()2xf f >-成立的x 的取值范围是（ ）A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞ 7．答案：C。
2024-2025学年山东省济南市部分学校高一(上)质检数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年山东省济南市部分学校高一（上）质检数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M ={−1,1,2,3}，N ={−1,1}，则M ∪N =( )A. {−1,1,2,3}B. {−1,1}C. {2,3}D. {1,2,3}2.“∀x ∈(2,+∞)，x 2−2x >0”的否定是( )A. ∃x 0∈(−∞,2]，x 20−2x 0≤0B. ∀x ∈(2,+∞)，x 2−2x ≤0C. ∃x 0∈(2,+∞)，x 20−2x 0≤0D. ∀x ∈(−∞,2]，x 2−2x >03.不等式1−x 4+x ≥0的解集为( )A. {x|−4≤x ≤1}B. {x|x <−4或x ≥1}C. {x|−4<x ≤1}D. {x|x ≤−4或x ≥1}4.已知a ，b 均为正实数，且a +b =1，则下列选项错误的是( )A. a + b 的最大值为 2 B. 3a +4+a b 的最小值为7+2 14C. (a +1)(b +1)的最大值为94D. a 2a +3+b 2b +2的最小值为165.已知函数f(x +2)的定义域为(−3,4)，则函数g(x)=f(x +1)3x−1的定义域为( )A. (−4,3) B. (−2,5) C. (13,3) D. (13,5)6.函数f(x)={x 2−(a +4)x +5,x <2(2a−3)x +1,x ≥2满足对∀x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，都有[f(x 1)−f(x 2)](x 1−x 2)<0，则实数a 的取值范围是( )A. (0,32)B. [0,32)C. (0,1)D. [0,1]7.已知函数f(x)的定义域为R ，f(x)−1为奇函数，f(x +2)为偶函数，则f(1)+f(2)+⋯+f(16)=( )A. 0B. 16C. 22D. 328.如果函数f(x)的定义域为[a,b]，且值域为[f(a),f(b)]，则称f(x)为“Ω函数.已知函数f(x)={5x,0≤x ≤2x 2−4x +m,2<x ≤4是“Ω函数，则m 的取值范围是( )A. [4,10] B. [4,14] C. [10,14] D. [14,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。
贵州省贵阳市2024-2025学年高一上学期教学质量监测卷(一)数学试题(含解析)
贵阳2024级高一年级教学质量监测卷（一）数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷第1页至第3页，第II 卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟.第I 卷（选择题，共58分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一､单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（ ）A.B.C. D.2.命题，则的否定是（ ）A.B.C.D.3.下列四组函数中，是同一个函数的是（ ）A. B.C.D.4.已知函数，则（）A.3B. C. D.95.已知幂函数的图象过点，则下列说法正确的是（）A.为偶函数B.为奇函数C.为单调递增函数D.为单调递减函数6.已知集合，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件{}{15},1,0,1,2A x x B =∈-<<=-N∣A B ⋂={}1,2{}1,0,1,2,3,4-{}0,1,2{}1,0,1,2-[]2:"0,2,11"p x x ∀∈+…p []20,2,11x x ∀∉+<[]20,2,11x x ∀∈+<[]20,2,11x x ∃∉+<[]20,2,11x x ∃∈+<()()21,1x f x x g x x=-=-()()24,f x x g x ==()(),f x x g x ==()()2,f x x g x ==()221461f x x x +=+-()3f -=3-1-()y f x =(()f x ()f x ()f x ()f x {}{}220,2,210A B xx ax a ==++-=∣{}2A B ⋂=1a =-C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，若，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.8.已知函数，则的取值范围为（ ）A.B.C.D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列不等式中取等条件无法满足的是（）B.D.10.已知不等式的解集为，函数，则下列说法正确的是（）A.函数的图象开口向上B.函数的图象开口朝下C.无论为何值，必有D.不等式的解集为或11.已知定义在上的函数，对任意实数满足，均有.函数在的最大值和最小值分别为，.则下列说法正确的是（ ）A.必为奇函数B.可能为偶函数C.不一定为定值，且与的单调性有关D.为定值，且定值为6()f x R [)0,∞+()()12f m f m -<m 1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭1,3∞⎛⎫- ⎪⎝⎭1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭()f x =[)0,∞+a []0,1(]0,1{}1[)1,∞+2221222x x +++≧21222x x +++…20ax bx c ++<{23}xx -<<∣()2f x ax bx c =++()f x ()f x ,,a b c a c b +<20cx bx a ++<12x x ⎧<-⎨⎩13x ⎫>⎬⎭R ()y f x =,,a b c 222a b c +=()()()0f a f b f c ++=()()23g x f x x =++[]2,2x ∈-M m ()f x ()f x M m +()f x M m +第II 卷（非选择题，共92分）注意事项：第II 卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知集合，则__________.13.已知函数的定义域为，则的定义域为__________.14.已知函数，若，则__________，的取值范围为__________.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）已知集合.（1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围.16.（本小题满分15分）已知定义在上的奇函数满足，当时，.（1）求在上的解析式；（2）若，求的取值范围.17.（本小题满分15分）已知正实数满足：.（1）求的最小值；（2）求的最小值.18.（本小题满分17分）已知函数.（1）若，使得，求的取值范围；（2）若，都有恒成立，求的取值范围；（3）当时，，满足，求的取值范围.19.（本小题满分17分）对于数集，定义点集，若对任意，都{210},{23}A xx B x x =+<=-<<∣∣()A B ⋂=R ð()21f x +[)5,3-()3f x +()(){}()(){}21,0,0f x x ax b x A x f x B x f f x =+++=∈==∈=R R ∣∣A B =≠∅b =a {}{}2{27},21,320A xx B x m x m C x x x =<<=+=-+<∣∣∣……B C C ⋂=m A B A ⋃=m R ()f x [)0,x ∞∈+()22f x x x =+()f x R ()()121f m f m +<-m ,a b ab a b =+2a b +222a b a b++()()()210,2f x mx m g x x x k =+≠=++x ∃∈R ()0g x …k []1,2x ∀∈-()0f x >m 3k =[][]121,2,1,2x x ∀∈∃∈-()()12f x g x …m {}()123,,,,2n A a a a a n = …(){},,B x y x A y A =∈∈∣()11,x y B ∈存在使得，则称数集是“正交数集”.（1）判断以下三个数集是否是“正交数集”（不需要说明判断理由，直接给出判断结果即可）；（2）若，且是“正交数集”，求的值；（3）若“正交数集”满足：，，求的值.高一数学参考答案第I 卷（选择题，共58分）()22,x y B ∈12120x x y y ⋅+⋅=A {}{}{}1,11,2,31,1,4---､､4a >{}2,2,4,a -a {}1232024,,,,A a a a a = 12320243,0a a a a =-<<<< 20241012a =2a一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案CDCACDDA【解析】1.由已知集合，所以，故选C.2.改变量词，否定结论，所以命题的否定为，故选D.3.对于A 选项，的定义域为的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数；对于B 选项，的定义域为的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数；对于C 选项，的定义域为的定义域为，且，对应关系相同，故是同一个函数；对于D 选项，的定义域为的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数，故选C.4.令，解得，故，故选A.5.由幂函数的图象过点，解得，故幂函数为函数，且为增函数，故选C.6.由已知，若，则有或，解得或，当时，满足，当时，不满足，所以是的既不充分也不必要条件，故选D.7.由已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减得函数在上单调递增，若要有则需，即，解得或，故选D.8.若函数，则内函数有定义，故内函数大于或等于0.当时，函数其定义域为，值域为符合题意；当时，内函数开口向上，若要满足题意则需，解得；当时，内函数开口向下，不可能符合题意，综上所述：，故选A.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是{}{}0,1,2,3,4,1,0,1,2A B ==-{}0,1,2A B ⋂=[]2:0,2,11p x x ∀∈+…[]20,2,11x x ∃∈+<()f x (),g x R {}0xX ≠∣()f x (),g x R [)0,∞+()f x (),g x R R ()g x x ==()f x (),g x R [)0,∞+213x +=-2x =-()()234(2)6213f -=⨯-+⨯--=y x α=(2α=12α=y =()(){}1,1B a a =-+--{}2A B ⋂=()12a -+=()12a --=3a =-1a =-3a =-{}2,4B ={}2A B ⋂=1a =-{}0,2B ={}2A B ⋂={}2A B ⋂=1a =-()f x R [)0,∞+()f x (),0∞-()()12f m f m -<12m m ->22(12)m m ->13m <1m >()f x =[)0,∞+221ax x ++0a =()f x =1,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭[)0,∞+0a >221ax x ++Δ440a =-…01a <…0a <221ax x ++[]0,1a ∈符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ABDACDABD【解析】9.对于A无实数解；对于B 选项，不等式取等条件为，即，即，无实数解；对于C 选项，不等式取等条件为；对于D 选项，不等式取等条件为，即，即或，无实数解，综上，故选ABD.10.由不等式的解集为，则可知一元二次方程的两根为和3，且二次函数开口向上，，故A 正确，B 错误；当时有，即，故C 正确；由韦达定理得，故，函数的开口向上，对于方程，若是方程的根则有，等式两边同时除以，则有，故是方程的根，故的根为与，则不等式的解集为或，故选ACD.11.令，满足，则有，则；令，满足，则有，即，且定义域为关于原点对称，故函数为奇函数；若，则符合题意且为偶函数；因为与为奇函数，故也为奇函数，设其在的最大值与最小值分别为与，由奇函数的性质，对于函数，其最大值与最小值分别为，故，D 正确，故选ABD.第II 卷（非选择题，共92分）三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）=231x +=22122x x +=+()2221x +=()221x +=±=1x =122x x +=+2(2)1x +=21x +=21x +=-20ax bx c ++<{23}xx -<<∣20ax bx c ++=2-2y ax bx c =++0a >1x =-0a b c -+<a c b +<2360ca=-⨯=-<0c <2y cx bx a =++20ax bx c ++=0x 2000ax bx c ++=20x 200110c b a x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭01x 20cx bx a ++=20cx bx a ++=12-1320cx bx a ++<12x x ⎧<-⎨⎩13x ⎫>⎬⎭0a b c ===222a b c +=()()()0000f f f ++=()00f =,0,a x b c x =-==222a b c +=()()()00f x f f x -++=()()f x f x -=-R ()f x ()0f x =()f x ()f x 2x ()2f x x +[]2,2-0M 0m 000M m +=()()23g x f x x =++003,3M M m m =+=+6M m +=题号121314答案【解析】12.由已知得，则，则.13.已知的定义域为，则的定义域为，故，即，故的定义域为.14.由已知是由函数的所有实数零点构成的集合，，令，是由所有满足且的所有实数构成的集合.若，当满足且因为，则有，即，解得；当时，，此时，符合题意；当时，有，于是，若要使得，只需方程无实数根，故有，解得.综上，的取值范围为.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）解：（1）易得，，于是有，解得，故当时，.（2），则，①当时，有，解得，符合题意；132x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭…[)12,4-[)0,0,41,{23}2A x x B xx ⎧⎫=<-=-<<⎨⎬⎩⎭∣R 12A x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭…ð()R 132A B x x ⎧⎫⋂=-<⎨⎬⎩⎭…ð()21f x +[)5,3-()f x [)9,7-937x -+<…124x -<…()3f x +[)12,4-()(){}21,0f x x ax b x A x f x =++-=∈=R∣()f x ()(){}0B x f f x =∈=R ∣()t f x =()0f t =()t f x =A B =1x A ∈()10f x =1x B ∈()()10f f x =()00f =0b =0a =()()()24,f x x f f x x =={}0A B ==0a ≠()()()()()()()22220,f x x ax x x a a f f x x ax a x ax=+=+≠=+++()()()()222x ax x ax a x x a x ax a =+++=+++{}0,A a =-A B =2x ax a ++2Δ40a a =-<04a <<a [)0,4{12}C xx =<<∣,B C C C B ⋂=∴⊆ 1212m m ⎧⎨+⎩ (1)12m ……1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦B C C ⋂=A B A ⋃= B A ⊆B =∅21m m +<1m <-②当时，有，解得，综上所述，的取值范围为.16.（本小题满分15分）解：（1）令，则，又在上为奇函数，故有故在上的解析式为.（2）与在上单调递增，在上单调递增.又，故当时，.是奇函数，时，且单调递增，故为增函数，若要使得，只需，即，故的取值范围为.17.（本小题满分15分）解：（1）由可得，，当且仅当时等号成立，故的最小值为.（2）由已知得，当且仅当时等号成立，故的最小值为.B ≠∅212217m mm m +⎧⎪>⎨⎪+<⎩…23m <<m ()(),12,3∞--⋃0x <0x ->()f x R ()()()22()22,f x f x x x x x ⎡⎤=--=--+-=-+⎣⎦()f x R ()222,02,0x x x f x x x x ⎧+=⎨-+<⎩…2x 2x [)0,∞+()f x ∴[)0,∞+()00f = [)0,x ∞∈+()0f x …()f x (),0x ∞∴∈-()0f x <()f x ()()121f m f m +<-121m m +<-2m >m ()2,∞+ab a b =+111a b+=()112221233a b a b a b a b b a ⎛⎫∴+=++=++++=+ ⎪⎝⎭…1,a b ==2a b +3+2222222a b a b a b a b ab b a ++==+=+…1a b ==+222a b a b++18.（本小题满分17分）解：（1）若，有成立，只需，解得.（2）若对，都有恒成立，则，解得，综上所述，的取值范围为.（3）当时，，若对，满足，只需，有，当时，，故，有，则有，解得或，综上所述，的取值范围为.19.（本小题满分17分）解：（1）是正交数集，不是正交数集.（2）若，且是正交数集，则对于有序数对能使得其满足条件的有序数对只能为或.若为，则有，解得与矛盾，舍去；故只能是，于是有，解得，经检验符合题意.（3）先证：若集合为正交数集，则至少要有一对相反数，对于，且，有有序数对，故，使得，所以，故集合中至少有一对相反数.因为且是唯一负数，故，x ∃∈R ()0g x …Δ440k =-…1k …[]1,2x ∀∈-()0f x >()()1020f f ⎧->⎪⎨>⎪⎩112m -<<m ()1,00,12⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭3k =()223g x x x =++[][]121,2,1,2x x ∀∈∃∈-()()12f x g x …[]11,2x ∀∈()()12max f x g x <[]21,2x ∈-()max ()211g x g ==[]11,2x ∀∈()111f x <()()111211f f ⎧⎪⎨⎪⎩……0m <05m <…m ()(],00,5∞-⋃13,B B 2B 4a >{}2,2,4,a -()4,a 12120x x y y +=()2,2-()4,2-()2,2-820a -=4a =4a >()4,2-1620a -=8a =8a =A 0a ∀≠a A ∈(),a a B ∈()11,x y B ∃∈110x a y a +=110x y +=A 13a =-3A ∈下证3为最小正数：反证法：若3不为最小正数，则，对于有序数对是最大正数，则与之相匹配的有序数对设为，故有，即，与是最大正数相矛盾，故3为最小正数，综上所述，.23a <()220242024,,a a a ()(),30x x ->2101230a x -⨯=231012a x =⨯23,1012a x <∴> 2024a 23a =。
云南省高一上学期期末教学质量统一监测数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则集合中的子集个数为（ ） {}31A x x =∈-<<Z {0,1,3}B =A B ⋂A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】根据题意，将集合化简，然后根据交集的运算即可得到结果. A 【详解】因为集合，且， {}{}312,1,0A x x =∈-<<=--Z {0,1,3}B =则，所以其子集为空集与其本身. {}0A B ⋂=故选:B2．下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ）A ．B ．C ．D ． y =21y x =22y x =1y x x=+【答案】A【分析】利用幂函数及函数的奇偶性的定义，结合各选项进行判断即可.【详解】对于A ，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,13y x ==()f x R，所以是奇函数，符合题意；故A 正确；()()f x f x -===-()f x 对于B ，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,221y x x -==()f x ()(),00,∞-+∞U ，所以是偶函数，不符合题意；故B 错误； ()2211()()f f x x x x -==-=()f x 对于C ，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故C 错误； 22y x =对于D ，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故D 错误； 1y x x=+故选：A.3．已知角的终边过点，则的值为（ ） α()()3,40P a a a -<()tan 45α+︒A ．B ．C ．D ．743-17-17【答案】B【分析】根据正切函数的定义得到，再由正切的和差角公式，即可得到结果. tan α【详解】因为角的终边过点，则， α()()3,40P a a a -<44tan 33a a α-==-所以. ()41tan tan 4513tan 4541tan tan 457113ααα-++︒+︒===--+︒⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭故选:B4．下列不等式成立的是（ ） A ．B ．0.30.51.7sin1log 1.1>>0.30.51.7log 1.1sin1>>C ． D ．0.30.5log 1.1sin1 1.7>>0.30.5sin1log 1.1 1.7>>【答案】A【解析】分别与0和1比较后可得．【详解】，，，所以． 0.31.71>0sin11<<0.5log 1.10<0.30.5log 1.1sin1 1.7<<故选：A ．【点睛】思路点睛：本题考查幂、对数、三角函数值的大小比较，对于同一类型的数可以利用函数的单调性的利用单调性产，对不同类型，或不能应用单调性珠可以借助中间值如0，1等进行比较，然后得出结论．5．已知，则等于（ ）sin(360)cos(180)m αα---= sin(180)cos(180)αα+- A A ．B ．C ．D ． 212m +212m -212m -212m +-【答案】B【分析】利用诱导公式先化简，然后结合完全平方公式化简即可. 【详解】因为， sin(360)cos(180)m αα---= 所以， sin cos m αα+=所以，()22221sin cos 2sin cos 1sin cos 2m m m αααααα-+=⇒=-⇒=所以，()()21sin(180)cos(180)sin cos sin cos 2m αααααα-+⋅-=-⋅-==故选：B.6．函数在上的图象大致为（ ）2||2||()e x x x f x -=[4,4]-A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】定义法判断函数的奇偶性排除C ，求函数的零点排除A ，再取特殊点进行判断. 【详解】因为，()()()2222eexxx xx x f x f x ------===所以函数是定义在上的偶函数，排除选项C ； ()f x [4,4]-令可得，所以或或， ()0f x =22||0x x -=2x =-0x =2x =所以函数的零点有，排除A ； ()f x 2,0,2-当时，，排除选项B ； 4x =()416840e f -=>选项D 符合以上特征，即数在上的图象大致为选项D 中的图象. ()f x [4,4]-故选：D ．7．设函数，则下列结论错误的是 （ ）cos π()(3f x x =+A ．的一个周期为−2πB ．()f x π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．的一个零点为D ．在上单调递减(π)f x +π6x =()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据周期的定义判断A ，利用两角和余弦公式求，判断B ，根据零点的定义判断π4f ⎛⎫⎪⎝⎭C ，根据余弦函数的单调性求函数的单调区间，判断D. ()f x 【详解】因为，()ππ(2π)cos 2πcos 33f x x x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以是函数的一个周期， A 正确；2π-()f xf ＝cos B 正确；π4⎛⎫ ⎪⎝⎭ππππππcos cos cos sin sin 343434⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭因为，πππππcos cos 06632f ⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以的一个零点为，故C 正确；(π)f x +π6x =由，可得， π2π2ππ,Z 3k x k k ≤+≤+∈π2π2π2π,Z 33k x k k -≤≤+∈所以在上单调递减，()f x π2π2π,2π,Z 33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦取可得在上单调递减，0k =()f x π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦由，可得， π2ππ2π,Z 3k x k k -≤+≤∈4ππ2π2π,Z 33k x k k -≤≤-∈所以在上单调递增，()f x 4ππ2π,2π,Z 33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦取可得在上单调递增，故D 错误．1k =()f x 2π5π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：D.8．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”源于《增广贤文》，《增广贤文》是勉励人们专心学习的，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把式子中的看作是每天365(11%)+1%的“进步”率，一年后的值是；而把式子中的看作是每天的“退步”率，一年后的3651.01365(11%)-1%值是．照此计算，大约经过多少天“进步”后的值是“退步”后的值的10倍？ （ ）（参考数3650.99据：，） lg1.010.00432≈lg 0.990.00436≈-A ．100天 B ．108天 C ．115天 D ．124天【答案】C【分析】根据题意，列出方程，然后由指数，对数的运算，即可得到结果. 【详解】假设经过天，“进步”后的值是“退步”后的值的10倍， n 则可得，()()11%1011%nn+=-所以，所以， 1.01100.99n⎛⎫= ⎪⎝⎭()11115lg1.01lg 0.990.004320.00436n =≈≈---即经过天，“进步”后的值是“退步”后的值的10倍， 115故选:C二、多选题9．已知a ,b ,c ,d 均为实数,下列命题正确的有（ ） A ．若,,则 B ．若,,则 a b >c d >ac cd >0ab >0bc ad ->0c da b->C ．若,,则 D ．,,则a b >c d >a d b c ->-a b >0c d >>a b d c>【答案】BC【分析】对于AD 利用反例判断正误,对于B 可以通分后根据条件证明,C 可利用不等式的性质进行证明.【详解】对于A,令,满足,但,即A 错误. 2,1,2,3a b c d ===-=-,a b c d >>ac cd <对于B,, c d bc ad a b ab--=,,0ab >0bc ad ->,即B 正确. ∴0c da b->对于C,, c d >,且,d c ∴->-a b >,即C 正确.∴a d b c ->-对于D,令,满足,,但,即D 错误. 1,2,4,2a b c d =-=-==a b >0c d >>a bd c=故选:BC.10．已知定义在上的函数满足：对任意的，当时，都有，若不R ()f x 12,R x x ∈12x x >12()()f x f x >等式恒成立，则实数m 的可能取值为（ ）(1)(2)f m f m +>A ．B ．C ．0D ．113-13【答案】ABC【分析】首先判断的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，即可求出参数的取值()f x m 范围，即可判断.【详解】因为对任意的，当时，都有， 12,R x x ∈12x x >12()()f x f x >所以在上单调递增，()f x R 又不等式恒成立，即，解得， (1)(2)f m f m +>12m m +>1m <所以符合题意的有A 、B 、C. 故选：ABC11．下列结论中正确的是（ ）A ．终边经过点的角的集合是；()(),0m m m >2,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是；3πC ．若是第三象限角，则是第二象限角，为第一或第二象限角；α2α2αD ．，，则 {}4590,M x x k k Z ==︒+⋅︒∈{}9045,N y y k k Z ==︒+⋅︒∈M N ⊆【答案】ABD【分析】直接以角的表示方法，象限角的概念，集合间的关系求出结果.【详解】A.终边经过点的角的终边在第一象限平分线上，故角的集合是()(),0m m m >，所以A 正确；2,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B. 将表的分针拨慢10分钟，按逆时针旋转，则分针转过的角度为，对应弧度数是，所以B60︒3π正确；C.因为是第三象限角，即，所以，当为α322,2k k k αππ+π<<π+∈Z 3,224k k k απππ+<<π+∈Z k 奇数时，是第四象限角，当为偶数时，是第二象限角；，所2αk 2α42243,k k k Z ππαππ+<<+∈以的终边位置在第一或第二象限或轴非负半轴，所以C 错误； 2αy D. ，{}{}4590,(21)45,M x x k k Z x x k k Z ==︒+⋅︒∈==+⋅︒∈，易知，所以D 正确；{}{}9045,(2)45,N y y k k Z y y k k Z ==︒+⋅︒∈==+⋅︒∈M N ⊆故选：ABD.12．已知是定义域为的奇函数，且为偶函数，若当时，()y f x =R ()2y f x =+[]0,2x ∈，下列结论正确的是（ ） ()()231log 2f x x a =+A ． B ． 1a =()()13f f =C ． D ．()()26f f =()120222f =-【答案】BD【分析】确定函数的周期性，然后由周期性、奇偶性求值．()f x 【详解】是偶函数，即图象关于轴对称，所以的图象关于直线对称， (2)y f x =+y ()y f x =2x =又是奇函数，()f x 所以， (4)[2(2)][2(2)]f x f x f x +=++=-+()()f x f x =-=-所以，所以是周期为8的周期函数， (8)(4)()f x f x f x +=-+=()f x ，所以，，A 错； 231(0)log 02f a ==21a =1a =±，B 正确； (1)(21)(21)(3)f f f f =-=+=，而，所以，C 错； (6)(2)(2)f f f =-=-311(2)log (21)022f =+=≠(6)(2)f f ≠，D 正确．(2022)(25286)f f =⨯+1(6)(2)(2)2f f f ==-=-=-故选：BD ．三、填空题13．___________.4log 2log 2-=【答案】12【解析】根据根式的运算，对数的运算法则求解．【详解】原式＝． 431log 222331log 31)(4)122+-==故答案为：．1214．已知函数，则________．32,0()ln(),0x x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩((1))=f f 【答案】0【解析】先求，进而得出的值．()1f ((1))f f 【详解】，． (1)121f =-=- ((1))f f ∴=(1)ln10f -==故答案为：015．若命题“，使得”是真命题，则实数a 的取值范围是_______．R x ∃∈()2110x a x +-+<【答案】()(),13,-∞-⋃+∞【分析】根据题意由即可求出.Δ0>【详解】，使得，R x ∃∈ ()2110x a x +-+<，解得或，即实数a 的取值范围是.2Δ(1)40a ∴=-->1a <-3a >()(),13,-∞-⋃+∞故答案为：. ()()13-∞-⋃+∞，，16．已知函数（，，是常数，，）．若在区间上()()sin f x A x ωϕ=+A ωϕ0A >0ω>()f x π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦具有单调性，且，则的值为_________．3π11ππ4124f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ω【答案】##1.5 32【分析】由在区间上具有单调性，得函数最小正周期，从而可由()f x π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦πT ≥得出其一条对称轴方程和一个对称中心，然后可求得周期，再由周期公3π11ππ4124f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭式求的值．ω【详解】因为在区间上具有单调性，()f x π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦则，所以，又，，故， 3ππ1442T -≤πT ≥0ω>2ππω≥0<2ω≤由可知函数的一条对称轴为，3π11π412f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 3π11π5π41226x +==又，则有对称中心，3ππ44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭从而，即，5ππ4π4623T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2π4π3ω=所以. 32ω=故答案为：． 32四、解答题17．已知集合，集合． {|522}A x x x x =-<<-{|231}B x m x m =+≤≤+(1)当时，求；4m =-()R A B ⋃ð(2)当B 为非空集合时，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． x B ∈x A ∈m 【答案】(1)或 ()R {|5A B x x ⋃=<-ð2}x -≥(2) {|43}m m <-<-【分析】（1）分别求出集合，然后计算，最后； ,A B A B ⋃()R A B ⋃ð（2）由题意知集合是集合的真子集，建立不等式组求解即可. B A 【详解】（1）∵ ， {|522}A x x x x =-<<-∴ ．{|52}A x x =-<<-当时，． 4m =-{|53}B x x =-≤≤-∴，{|52}A B x x =-≤<- 所以，或．()R {|5A B x x ⋃=<-ð2}x -≥（2）∵为非空集合，是的充分不必要条件， B x B ∈x A ∈则集合是集合的真子集，B A ∴ ， 23123512m m m m +≤+⎧⎪+>-⎨⎪+<-⎩解得：，243m m m ≤-⎧⎪>-⎨⎪<-⎩∴m 的取值范围是．{|43}m m <-<-18．已知二次函数．()()2214f x x a x =--+(1)若，求在上的最值；2a =()f x []2,3-(2)若在区间是减函数，求实数的取值范围． ()f x (],2-∞a 【答案】(1)， ()min 3f x =()max 12f x =(2) [)3,+∞【分析】（1）根据二次函数的单调性可求得最值； （2）由对称轴方程和单调性可构造不等式求得结果.【详解】（1）当时，，则为开口方向向上，对称轴为的抛物线，2a =()224f x x x =-+()f x 1x =在上单调递减，在上单调递增，()f x \[)2,1-(]1,3，.()()min 13f x f ∴==()()max 212f x f =-=（2）为开口方向向上，对称轴为的抛物线，()()2214f x x a x =--+ 1x a =-又在区间上为减函数，()f x (],2-∞，解得：，即实数的取值范围为.12a ∴-≥3a ≥a [)3,+∞19．已知函数的部分图象如图所示．()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式；()f x (2)若在区间上的值域为，求的取值范围．()f x [0,]m 2]m【答案】(1)；()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2),63m ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）结合图象，直接求出，求得周期得到，再代入点求出即可；A ωϕ（2）由（1）知，结合正弦函数的性质求得的取值范围即可.()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭m 【详解】（1）由函数图象，可得，，∴，∵，可得()f x 2A =3734632T πππ=+=2T π=0ω>，∴， 21Tπω==()2sin()f x x ϕ=+又∵图象过点，∴，即，∴，，解得()f x ,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭2sin 03πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭sin 03πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭3πφk π-+=Z k ∈，，3k πϕπ=+Z k ∈又∵，∴，故函数解析式；02πϕ<<3πϕ=()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由（1）知，∵，则，又∵的值域为()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[0,]x m ∈,333x m πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦()f x 2]， ∴，且，故，即；2233m πππ≤+≤0m >63m ππ≤≤,63m ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦20．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会，据某市场调查，当每套丛书的售价定为元时，销售量可达到万套现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套x ()150.1x -.丛书的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分其中固定价格为元，浮动价格（单位：元）与.30销售量（单位：万套）成反比，比例系数为.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润售价10=-供货价格求：.(1)每套丛书的售价定为元时，书商所获得的总利润． 100(2)每套丛书的售价定为多少元时，单套丛书的利润最大. 【答案】(1)万元；340(2)每套丛书售价定为元时，单套丛书的利润最大，为元. 140100【分析】（1）根据给定条件，依次列式计算作答.（2）求出售价的范围，再列出单套丛书利润的函数关系，借助均值不等式求解作答. x 【详解】（1）每套丛书售价定为元时，销售量为万套， 100150.11005(-⨯=)于是得每套丛书的供货价格为元， 103032(5+=)所以书商所获得的总利润为万元．()510032340(⨯-=)（2）每套丛书售价定为元，由得，设单套丛书的利润为元， x 150.100x x ->⎧⎨>⎩0150x <<P 则， 10100100(30)30[(150)]120150.1150150P x x x x x x=-+=--=--++---，当且仅当，即时等号成立， 120100≤-=100150150x x -=-140x =即当时，， 140x =max 100P =所以每套丛书售价定为元时，单套丛书的利润最大，为元．14010021．已知函数． ()2cos cos 444x x f x x =+(1)求的单调递减区间及最小正周期；()f x (2)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，讨论函数在()y f x =2π3()y g x =()y g x k =-上的零点个数． 7π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】(1)单调递减区间为，最小正周期为 ()2π8π4π,4π33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 4π(2)答案见解析【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简得到，利用整体代入法可求得的单调递减区()f x ()f x 间；由正弦型函数最小正周期的求法可得最小正周期；（2）根据三角函数平移变换原则可得，分别在、的情况下，得()g x πππ,2662x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ππ,π262x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦到的单调性和值域，通过分析最值可确定不同取值范围时，的零点个数.()y g x k =-k ()y g x k =-【详解】（1）， ()11π1cos sin 2222262x x x f x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭令，解得：， ()ππ3π2π2π2262x k k k +≤+≤+∈Z ()2π8π4π4π33k x k k +≤≤+∈Z 的单调递减区间为，最小正周期. ()f x \()2π8π4π,4π33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 2π4π12T ==（2）由题意得：； ()2πππ1π1sin sin 32362262x x g x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当时，， 7π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ,π266x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦当，即时，单调递增，值域为； ∴πππ,2662x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦4π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()y g x k =-3,2k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦当，即时，单调递减，值域为； ππ,π262x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦4π7π,33x ⎡⎤∈⎢⎣⎦()y g x k =-13,22k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦则当，即时，无零点；0k ->(),0k ∈-∞()y g x k =-当，即时，有且仅有一个零点；0k -=0k =()y g x k =-当，即时，有两个不同零点； 13022k k -≤<-13,22k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()y g x k =-当，即时，有且仅有一个零点； 102k k ->>-10,2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()y g x k =-当，即时，有且仅有一个零点；； 302k -=32k =()y g x k =-当，即时，无零点； 302k -<3,2k ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()y g x k =-综上所述：当时，无零点；当时，有()3,0,2k ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭ ()y g x k =-130,22k ⎡⎫⎧⎫∈⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭()y g x k =-且仅有一个零点；当时，有两个不同零点. 13,22k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()y g x k =-22．已知函数.44()log (2)log (4)f x x x =++-（1）求的定义域；()f x （2）若函数，且对任意的，，恒成立，求实1()42x x g x a a +=⋅--1[5,6]x ∈2[1,2]x ∈()()12f x g x <数a 的取值范围.【答案】（1）.（2）（2，+∞）.(4,)+∞【解析】（1）使对数式有意义，即得定义域；（2）命题等价于，如其中一个不易求得，如不易求，则转化为max min ()()f x g x <min ()g x 恒成立，再由其它方法如分离参数法求解或由二次不等式恒成立问题求解．max ()()f x g x <【详解】（1）由题可知且，20x +>40x ->所以.>4x 所以的定义域为.()f x (4,)+∞（2）由题易知在其定义域上单调递增.()f x 所以在上的最大值为，()f x [5,6]x ∈4(6)log 162f ==对任意的恒成立等价于恒成立.1[5,6],x ∈2[1,2],x ∈()()12f x g x <max ()2()f x g x =<由题得. ()2()222x x g x a a =⋅-⋅-令，则恒成立.2([2,4])x t t =∈2()22h t a t t a =⋅-->当时，，不满足题意.0a =1t <-当时，， a<022242482a a a a ⎧⋅-->⎨⋅-->⎩解得，因为，所以舍去.2a >a<0当时，对称轴为， 0a >1t a =当，即时，，所以； 12a<12a >2242a a ⋅-->2a >当，即时，，无解，舍去； 124a ≤≤1142a ≤≤2122a a a a⎛⎫⋅--> ⎪⎝⎭当，即时，，所以，舍去. 14a >10a 4<<2482a a ⋅-->23a >综上所述，实数a 的取值范围为（2，+∞）.【点睛】本题考查求对数型复合函数的定义域，不等式恒成立问题．解题时注意转化与化归思想的应用．。
2023-2024学年安徽省宿州市省、市示范高中高一上学期期中教学质量检测数学试题+答案解析(附后)
2023-2024学年安徽省宿州市省、市示范高中高一上学期期中教学质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合A满足，则( )A. B. C. D.2.命题“，”的否定是( )A. ，B. ，C. ，D. ，3.若幂函数在单调递减，则( )A. B. 3 C. 1 D. 84.若函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.5.函数的图象是( )A. B.C. D.6.“”是“”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知函数的值域为R ，则m 的取值范围是( )A. B.C. D.8.已知函数，若，则实数a 的取值范围是( )A. B.C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知集合，则下列式子表示正确的有( )A.B.C.D.10.对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则C. 若，则D. 若，则11.已知正数a ，b 满足，则( )A. ab 的最大值为B. 的最小值为4C. 的最小值为D.的最大值为12.设函数满足，则下列结论正确的是( )A. B.C. 若，则D. 若，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数是定义在R 上的偶函数，当时，，则__________.14.函数的定义域为__________.15.已知集合，，若，则__________.16.最早发现勾股定理的人是我国西周时期的数学家商高。
《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。
商高说：“故折矩，勾广三，股修四，径隅五。
”意为：当直角三角形的两条直角边分别为勾和股时，径隅弦则为5。
以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，后来人们还把它推广到一般情况，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的勾股定理。
高一年级数学第一学期教学质量检测试卷
高一数学第一学期教学质量检测试卷注：所有计算问题均可使用计算器；本试卷满分150分；在120分钟内完成1、设集合M={x | x<3；x ∈R}；a=2；下列选项正确的是A 、a ∉MB 、{a}∈MC 、a MD 、{a}M2、设全集U={a ；b ；c ；d ；e}；集合M={ a ；c ；d}；N={b ；d ；e}；那么M C U N 是 A 、φ B 、{d} C 、{b ；e} D 、{a ；c}3、下列解不等式的结果错误的是A 、|x |-3<0的解集为}3x 3|x {<<-B 、1x 4x 42+-≥0的解集是RC 、x 2 < 3x 的解集是}3x |x {<D 、7x 3x +-<0的解集是}3x 7|x {<<- 4、“P 且q 为真命题”是“p 或q 为真命题”的什么条件A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件5、已知集合A={0；4}；B={0；2}；下列从A 到B 的对应关系为f ；x ∈A ；y ∈B ；不是映射的是A 、x y x :f =→B 、x 32y x :f =→ C 、x 21y x :f =→ D 、2x 81y x :f =→ 6、设x 取实数；则f(x)与g(x)表示同一个函数的是A 、f(x)=x ；2x )x (g = B 、x )x ()x (f 2=；2)x (x)x (g =C 、f(x)=1；g(x)=(x -1)0D 、3x 9x )x (f 2+-=；g(x)=x -37、已知偶函数f(x)在),0[+∞上单调递减；则f(1)和f(-10)的大小判断较准确的是A 、f(1)> f(-10)B 、f(1)<f(-10)C 、f(1)≥f(-10)D 、f(1)≤f(-10) 8、已知f(x)=x 2+1（x ≥3）；则f --1(x)的值域是A 、[3；+∞）B 、[0；+∞）C 、[1；+∞）D 、（-∞；0]9、函数y=(a 2-1)x 在),(+∞-∞上是减函数；则a 的取值范围是A 、|a |>1B 、|a |>2C 、a>2D 、1<|a|<210、如右图；在直角坐标系的第一象限内；△AOB 是边长为2的等边三角形；设直线l ：x = t （0≤t ≤2）截这个三角形； 所得位于直线左侧的图形的面积为f(t)；则函数y=f(t)的 图象只可能是 A B C D 11、数列1、3、6、10、…的一个通项公式是 A 、a n =n 2-(n -1) B 、a n =n 2-1 C 、a n =2)1n (n + D 、a n =2)1n (n -12、等差数列{a n }中；a m+n = α；a m-n = β；则其公差d 的值为 A 、n 2β+α B 、n 2β-α C 、m 2β+α D 、m2β-α二、填空题：（每题4分；共16分；将答案直接填在下表中）13、已知函数)x (f =3x -2；若)a (f 2=4；则a 的值是___________.14、f ：A →B 是从A 到B 的映射；其中集合A = B = {( x ；y ) | x ；y ∈R }；)2yx 2y x ()y ,x (:f -+→，．那么B 中元素（－5；2）的原象是 . 15、已知函数)x (f =)43x (3x 41x 2-≠++；则)2(f 1-=_________.16、有下列四个命题：①空集是任何集合的真子集；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③若命题p 的逆命题是q ；命题p 的否命题是r ；则q 是r 的逆否命题； ④2与8的等比中项是4 . 其中正确．．命题的序号是_______________. （把你认为正确命题的序号都．填上）三、解答题：（第17题16分、第18题10分；其它题各12分；共74分） 17、计算下列各式：（1）3463425.00)22()32(28)2003(-⨯+⨯+--4×214916-⎪⎭⎫ ⎝⎛（2）化简：5lg 20lg )2(lg 2⨯+ 解：18、解关于x 的不等式：0|)x |1)(x 1(>-+ 解：19、公差d不为零的等差数列{a n}的第二、第三、第七项恰好构成等比数列；求这个等比数列的公比q .解：20、用长为m的铁丝弯成下部为矩形；上部为半圆型的框架；若矩形的底边AB的长为2x；求此框架围成的面积y与x的函数解析式；并写出它的定义域.解：C DBA现有一位职工李某2003年到该公司工作；假设李某以后一直在该公司工作；那么2012年；李某的年工资．．．是多少元？（提示：计算时可取：36.21.19≈；6.21.110≈；86.21.111≈）解：22、已知函数x 3q 2px )x (f 2-+=是奇函数；且35)2(f -=.（1）求函数f(x)的解析式；（2）指出函数f(x)的单调区间；并加以证明. 解：第一学期教学质量检测 高一数学参考答案一、选择题：（每题5分；共60分；将答案直接填在下表中） DDCAB BAADC CB二、填空题：（每题4分；共16分；将答案直接填在下表中） 13、2± 14、（-3；-7） 15、65-16、②③ 为方便计分；以下各题标注的分为步骤分；而非累积得分三、解答题：（第17题16分；第18题10分；其它题各12分；共74分） 17、（1）解：（1）原式=1+432×412+(213132⨯)6-3443)2(-4×2124)72(-…………………6分=1+2+22×33-2-7 …………………1分 =102 …………………1分（2）原式=210lg)210lg()2(lg 2⨯⨯+ …………………3分 =)2lg 10(lg )2lg 10(lg )2(lg 2-⋅++ …………………3分=(lg2)2+1-(lg)2 …………………1分=1 …………………1分18、解：⎩⎨⎧>->+0|x |10x 1或⎩⎨⎧<-<+0|x |10x 1 …………………4分解之得：{x |-1<x<1}或{x |x<-1} …………………4分 所以原不等式解集为1x |x {<且}1x -≠…………2分19、解：设等差数列{a n }的通项为a n =a 1+(n -1)d …………………2分 ∴a 2=a 1+d a 3=a 1+2d a 7=a 1+6d …………………3分 ∵a 3：a 2=a 7：a 3 ∴(a 1+2d)：(a 1+d) =(a 1+6d)：(a 1+2d) …………………2分解之得：a=-32d …………………2分 q= a 3：a 2=4 …………………3分20、解：由题意知：矩形的底边长AB=2x ；则半圆弧长CD=πx ； …………………2分矩形的宽AC=2xx 2m π-- …………………2分2x 212x x 2m x 2y π+π--⋅=＝2x 21)x x 2m (x π+π--＝2x )212(mx π+- …………………4分 又∵ AC=2x x 2m π-->0；则π+<2m x 定义域为 (0；)2mπ+ …………………4分21、解：李某2003年的基础工资为1.1万元；2004年的基础工资为 21.1万元；…；①那么到2012年的基础工资为101.1万元； …………………4分②李某的住房补贴第一年；第二年；第三年…；依次为： 3600元；（3600+500）元；（3600+500×2）元；（3600+500×3）元；（3600+500×3）元； 它们成一等差数列；到2012年李某的年住房补贴为 a 10=3600+(10-1)×500=8100元 ………………4分③2012年的医疗费为1600元 ………………2分∴2012年李某的年工资为 101.1×10000＋ 8100＋1600＝35700元答：李某2012年的年工资为35700元。
山东省淄博市2023-2024学年高一上学期期末教学质量检测数学试题含解析
参照秘密级管理★启用前2023—2024学年度第一学期高一质量检测数学（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集1234{}U =，，，，集合{}{2,12}3A B ==，，，则()U A B ð（）A.{134}，， B.{3}4，C.{}3 D.{}4【答案】D 【解析】【分析】先求,A B 的并集再求补集即可.【详解】易知{1,2,3}A B È=，则{}()4U A B ⋃=ð，故选：D.2.函数()()12log 21f x x =-的定义域为（）A.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】由真数大于零可得.【详解】要使函数()()12log 21f x x =-有意义，则有210x ->，解得12x >，则函数()f x 的定义域为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：C.3.()()22231m m f x m m x--=--是幂函数，且在()0,x ∈+∞上是减函数，则实数m =（）A.2B.1- C.4D.2或1-【答案】A 【解析】【分析】根据幂函数的性质和定义即可求解.【详解】由于()()22231m m f x m m x--=--是幂函数，所以211m m --=，解得2m =或1m =-，由于()f x 在()0,x ∈+∞上是减函数，所以2230m m --<，故13m -<<，因此2m =，故选：A4.已知扇形的半径为2cm ，面积为28cm ，则扇形圆心角的弧度数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】设扇形圆心角的弧度数为α，则根据扇形面积公式212S r α=，列出方程求解即可.【详解】设扇形圆心角的弧度数为α，则根据扇形面积公式212S r α=，代入可得：2182=22αα=⨯，解得=4α，故选：D.【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，考查学生的运算，属于基础题.5.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r 可定义为0.6lg r I =，若6.5级地震释放的相对能量为1I ，7.4级地震释放的相对能量为2I ，记21I n I =，n 约等于()A.16B.20C.32D.90【答案】C 【解析】【分析】由题意可得5310r I =分别代值计算，比较即可【详解】0.6r lgI = ，5310r I ∴=当 6.5r =时，656110I =，当7.4r =时，373210I =，37653236211010101032I n I ∴==÷==⨯故选C【点睛】本题主要考查了指数与对数的相互转化及指数与对数值的计算，属于基础试题．6.设a ，b ，c 都是正数，且346a b c ==，那么下列关系正确的是（）A.2a b c +=B.2ac bc ab+= C.1112a b c += D.112a b c+=【答案】C 【解析】【分析】首先根据指对互化，利用对数表示,,a b c ，再结合对数运算判断选项.【详解】由346a b c k ===，得3log a k =，4log b k =，6log c k =，1log 3k a=，1log 4k b =，1log 6k c =，则11log 4log 222k k b ==，根据log 3log 2log 6k k k +=可知，1112a b c+=.故选：C7.已知1sin cos 3αα+=，且()0,πα∈，则sin cos αα-的值为（）A.13-B.3-C.3D.3或3-【答案】C 【解析】【分析】利用同角三角函数之间的关系式可得4sin cos 9αα=-，根据()0,πα∈即可求得结果.【详解】将1sin cos 3αα+=两边同时平方可得，221sin cos 2sin cos 9αααα++=，可得4sin cos 9αα=-；又()0,πα∈，所以sin 0,cos 0αα><；易知()22217sin cos 2sin cos 9sin cos αααααα-==+-，可得3sin cos αα-=±；又sin 0,cos 0αα><,所以sin cos 3αα-=.故选：C 8.已知131sin =,cos =,11a a a aθθ--++若θ为第二象限角，则下列结论正确的是（）A.1,19a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B.1a =C.1a =或19a = D.19a =【答案】D 【解析】【分析】根据同角平方和关系即可结合角的范围求解.【详解】由131sin =,cos =,11a a a a θθ--++可得2222131sin cos =1111a a a a a θθ--⎛⎫⎛⎫++=⇒= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭或19a =，由于θ为第二象限角，所以131sin =0,cos =011a a a aθθ--><++，故当1a =时，1sin =0,1aaθ-=+不符合要求，则19a =符合要求，故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列结论成立的是（）A.若a b <，则1ab < B.若22a bc c>，则a b >C.若a b >，则11a cb c<-- D.若1133a b >，则a b >【答案】BD 【解析】【分析】选项AC ，特值法可排除；选项B ，由不等式的性质可得；选项C ，由幂函数性质可得.【详解】选项A ，当2,1a b =-=-时，a b <，但21ab=>，故A 错误；选项B ，由22a b c c>知，20c >，所以a b >，故B 正确；选项C ，当5,2,3a b c ===时，a b >，则111,12a c b c ==---，此时11a c b c>--，故C 错误；选项D ，由幂函数3y x =在R 上是增函数，由1133a b>，得331133a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a b >，故D 正确.故选：BD.10.如图，已知矩形U 表示全集，,A B 是U 的两个子集，则阴影部分可表示为（）A.()U A B⋂ð B.()U A B ⋂ð C.()A AB ⋂ð D.()A B A⋃ð【答案】AD 【解析】【分析】在阴影部分区域内任取一个元素x ，分析元素x 与各集合的关系，即可得出合适的选项.【详解】在阴影部分区域内任取一个元素x ，则x A ∉且x B ∈，即U x A ∈ð且x B ∈，所以阴影部分可表示为()U A B ⋂ð，A 对；x B ∈且()x A B ∉⋂，阴影部分可表示为()B A B ⋂ð，而A B ≠，故C 错误；()x A B ∈⋃且x A ∉，阴影部分可表示为()A B A ⋃ð，D 对；显然，阴影部分区域所表示的集合为()U A B ⋂ð的真子集，B 选项不合乎要求.故选：AD.11.下列说法正确的有（）A.“x ∃∈R ，使得210x x --=”的否定是“x ∀∈R ，都有210x x --=”B.若函数()22log 41y mx x =++的值域为R ，则实数m 的取值范围是[]0,4C.若,αβ∈R ，则“αβ>”的充要条件是“sin sin αβ>”D.若1a >，则161a a +-的最小值为9【解析】【分析】选项A ，由存在量词命题的否定形式可得；选项B ，函数()22log 41y mx x =++的值域为R 转化为研究函数2()41g x mx x =++的值域，分0m =与0m ≠两类情况分析可得；选项C ，特值法可知；选项D ，利用基本不等式求最值可得.【详解】选项A ，“x ∃∈R ，使得210x x --=”的否定是“x ∀∈R ，都有210x x --≠”，故A 错误；选项B ，因为函数()22log 41y mx x =++的值域为R ，设函数2()41g x mx x =++值域为M ，则M +⊇R ，当0m =时，()41g x x =+，值域M =R ，满足题意；当0m ≠时，2()41g x mx x =++为二次函数，要使值域M +⊇R ，则()g x 图象开口向上，且与x 轴有公共点，所以有0m >且1640m ∆=-≥，解得04m <≤，综上可得04m ≤≤，即实数m 的取值范围是[]0,4，故B 正确；选项C ，当ππ,=2αβ=时，αβ>，但sin 0,sin 1αβ==，不满足sin sin αβ>，故C 错误；选项D ，由1a >，则1616111911a a a a +=-++≥=--，当且仅当1611a a -=-，即5a =时等号成立，故161a a +-的最小值为9，故D 正确.故选：BD.12.设函数()f x 的定义域为R ，π(2f x -为奇函数，π()2f x +为偶函数，当ππ[,22x ∈-时，()cos f x x =，则下列结论正确的是（）A.5π()12f =- B.()f x 在(3π,4π)上为增函数C.点3π(,0)2是函数()f x 的一个对称中心 D.方程()lg 0f x x -=仅有5个实数解【答案】BC【分析】由函数的奇偶性，对称性以及周期性逐一判断选项即可得到答案.【详解】函数()f x 的定义域为R ，由π()2f x -为奇函数，得ππ((22f x f x --=--，即(π)()f x f x --=-，由π(2f x +为偶函数，得ππ(()22f x f x -+=+，即(π)()f x f x -+=，则(π)(π)f x f x -+=---，即(2π)()f x f x +=-，于是(4π)(2π)()f x f x f x +=-+=，函数()f x 是周期为4π的周期函数，对于A ，当ππ[,]22x ∈-时，()cos f x x =，5ππππ()(2π)(cos 02222f f f =+=-=-=，A 错误；对于B ，()f x 在π[,0]2-上单调递增，由(π)()f x f x --=-，知()f x 图象关于点π(,0)2-对称，则()f x 在π[π,2--上单调递增，即函数()f x 在[π,0]-上单调递增，因此()f x 在(3π,4π)上单调递增，B 正确；对于C ，由(2π)()f x f x +=-及(π)()f x f x -+=，得(2π)(π)f x f x +=--+，即(3π)()f x f x +=--，因此函数()f x 图象关于点3π(,0)2对称，C 正确；对于D ，当ππ[,]22x ∈-时，0()1f x ≤≤，由函数()f x 图象关于点π(,0)2-对称，知当3ππ[,22x ∈--时，1()0f x -≤≤，则当3ππ[,]22x ∈-时，1()1f x -≤≤，由(π)()f x f x -+=，知函数()f x 图象关于直线π2x =对称，则当π5π[,]22x ∈时，1()1f x -≤≤，于是当3π5π[,22x ∈-时，1()1f x -≤≤，而函数()f x 的周期是4π，因此函数()f x 在R 上的值域为[1,1]-，方程()lg 0f x x -=，即()lg f x x =，因此()lg 0f x x -=的根即为函数()y f x =与lg y x =图象交点的横坐标，在同一坐标系内作出函数()y f x =与lg y x =的部分图象，如图，观图知，()y f x =与lg y x =图象在7π(0,2上有且只有3个公共点，而当7π2x ≥时，()1,lg 1f x x ≤>，即函数()y f x =与lg y x =图象在7π(,)2+∞无公共点，所以方程()lg 0f x x -=仅有3个实数解，D 错误.【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，(1)存在常数a ，b 使得()()22f x f a x b +-=()()2f a x f a x b ⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(),a b 对称.(2)存在常数a 使得()()2f x f a x =-()()f a x f a x ⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.2log 3392log 81log 8log 32-⋅-++=___.【答案】0【解析】【分析】根据对数的运算，结合换底公式进行求解即可.【详解】2log 3392log 81log 8log 32-⋅-++243323log 3log 2log 33lg =-⋅-+3lg 2lg 31432lg 3lg 22=-⋅⋅-+314322=--+0,=故答案为：014.若“x ∃∈R ，sin x a <”为真命题，则实数a 的取值范围为______.【答案】()1,-+∞【解析】【分析】根据题意可知()min sin x a <，结合正弦函数的有界性分析求解.【详解】若“x ∃∈R ，sin x a <”为真命题，则()min sin x a <，可知当π2π,2x k k =-∈Z 时，sin y x =取到最小值1-，可得1a >-，所以实数a 的取值范围为()1,-+∞.故答案为：()1,-+∞.15.若π12sin 313α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则13πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.【答案】1213【解析】【分析】利用诱导公式化简求值即可.【详解】π12sin 313α⎛⎫+=⎪⎝⎭Q 13π12πππcos cos cos 6666ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππcos sin 233αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1213=.故答案为：121316.设m 是不为0的实数，已知函数()231,21024,2x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若函数()()()22F x f x mf x ⎡⎤=-⎣⎦有7个零点，则m 的取值范围是______.【答案】()0,2【解析】【分析】作出()f x 的图象，然后由()0F x =，得()0f x =或()20f x m -=，由图象可知()f x 有3个零点，所以()20f x m -=就有4个零点，再结合图象可求出结果.【详解】作出函数()f x的图象如图所示，由()()()20F x f x f x m ⎡⎤=-=⎣⎦，得()0f x =或()20f x m -=，当()0f x =时，()f x 有3个零点，要使函数()()()22F x f x mf x ⎡⎤=-⎣⎦有7个零点，则当()20f x m -=时，()()02mf x m =≠，即()y f x =与2m y =有4个交点，结合图形可得012m<<，解得02m <<，即m 的取值范围为()0,2故答案为：()0,2.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17.已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边过定点()2,3P ．（1）求sin α、cos α的值；（2）求()()()11π9πcos sin 2sin πcos 22πcos sin π2αααααα⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+-- ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）sin 13α=；cos 13α=（2）23-【解析】【分析】（1）由求出点r OP =的值，结合三角函数定义可得；（2）利用诱导公式化简可得.【小问1详解】由题意知，因角α的终边与x 轴的正半轴重合，且终边过点(2,3)P ，则点P 到原点O的距离r OP ===，则sin 13y r α===，cos 13x r α===；【小问2详解】()()()11π9πcos sin 2sin πcos 22πcos sin π2αααααα⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+-- ⎪⎝⎭3ππcos sin 2sin cos 22sin sin αααααα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-sin cos 2sin cos sin sin αααααα-+=-213cos 213sin 313αα=-==-.18.已知函数()f x 为一元二次函数，()f x 的图象过点()0,1，对称轴为12x =-，函数()f x 在R 上的最大值为54．（1）求()f x 的解析式；（2）当[]2,x m m ∈-，m ∈R 时，求函数()f x 的最大值（用含参数m 的分段函数表示）．【答案】（1）()21f x x x =--+（2）2211,2513,422331,2m m m y m m m m ⎧--+≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+-≥⎪⎩【解析】【分析】（1）由已知设出二次函数解析式，由条件代入解析式待定系数可得；（2）分类讨论轴与区间的关系，通过函数的单调性求最值可得.【小问1详解】由题意，设函数()2()(0)f x a x h k a =-+≠，由对称轴为12x =-，函数()f x 在R 上的最大值为54，可得215()()24f x a x =++，将点(0,1)代入可得15144a =+，解得1a =-，故()2215124f x x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭.故函数()f x 的解析式为()21f x x x =--+；【小问2详解】()f x 的对称轴为12x=-，当12m ≤-时，()f x 在区间[]2,m m -单调递增，则2max ()()1f x f m m m ==--+；当122m m -<-<，即1322m -<<时，()f x 在区间12,2m ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭单调递增，在区间1,2m ⎛⎤-⎥⎝⎦单调递减，故max 15()()24f x f =-=；当122m -≥-，即32m ≥时，()f x 在区间[]2,m m -单调递减，故22max ()(2)(2)(2)131f x f m m m m m =-=----+=-+-；综上，()f x 的最大值2211,2513,422331,2m m m y m m m m ⎧--+≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-+-≥⎪⎩.19.已知集合{}2|8120A x x x =-+=，{}21,23B a a =+-，{}2|60C x ax x =-+=（1）若集合=A B ，求实数a 的值；（2）若集合C A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）=5a （2）124a >或=0a 【解析】【分析】（1）先化简集合{}2|8120A x x x =-+=，然后根据条件=A B 即可确定实数a 的值；（2）由条件集合C A ⊆知，集合C 中至多有2个元素，对集合{}2|60C x ax x =-+=中的元素个数进行分类讨论即可.【小问1详解】易知集合{}2|8120A x x x =-+=={}2,6，∴由=A B 得：212236a a +=⎧⎨-=⎩或216232a a +=⎧⎨-=⎩，解得：=5a .【小问2详解】（1）当=0a 时{}6C =满足C A ⊆；（2）当0a ≠时①当Δ1240a =-<即124a >时，C =∅满足C A ⊆，124a ∴>.②当Δ1240a =-=即124a =时，{}21601224C xx x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭∣，不满足C A ⊆.③当Δ1240a =->即124a <时，满足C A ⊆，只能=C A ，18612aa⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩无解.综上所述：124a >或=0a .20.我们知道存储温度x （单位：℃）会影响着鲜牛奶的保鲜时间T （单位：h ），温度越高，保鲜时间越短.已知x 与T 之间的函数关系式为()emx nT x +=（e 为自然对数的底数），某款鲜牛奶在5℃的保鲜时间为180h ，在25℃的保鲜时间为45h .1.41≈）（1）求此款鲜牛奶在0℃的保鲜时间约为几小时（结果保留到整数）；（2）若想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于90h ，那么对存储温度有怎样的要求？【答案】20.254小时；21.存储温度要不高于15℃.【解析】【分析】（1）把给定的数对代入函数关系，求出5e 2m =，并确定0m <，再求出(0)T 即得.（2）利用（1）中信息，建立不等式，再借助指数函数单调性解不等式即得.【小问1详解】依题意，把()5,180，()25,45分别代入()emx nT x +=，得525e 180e45m n m n ++⎧=⎨=⎩，于是20451e1804m==，则5e 2m =，0m <，当0x =时，()51800e 180 1.41253.8e 22n m T ====⨯=，此款鲜牛奶在0℃的保鲜时间为254小时.【小问2详解】依题意，()e 90mx nT x +=≥，由（1）知101e 2m =，显然515101ee e 180902m n m nm ++⋅⋅===，于是15e e mx n m n ++≥，则15e e mx m ≥，因此15mx m ≥，而0m <，则有15x ≤，所以想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于90h ，存储温度要不高于15℃.21.已知函数()()cos 2f x x θ=+（ππ22θ-<<），满足函数π12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数．（1）求函数()()23sin 22cos2y x x θθ=-+-+，π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域；（2）函数()f x 在区间π,32a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7π3,6a ⎡⎤⎢⎣⎦上均单调递增，求实数a 的取值范围．【答案】（1）7,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）2ππ,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）先由奇函数解得θ，再将πsin 23x ⎛⎫-⎪⎝⎭看成整体，将所求函数转化为二次函数值域求解即可；（2）将复合函数单调性利用换元法转化为余弦函数的单调性即可求解参数范围.【小问1详解】因为ππ()cos(2)22f x x θθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭，由ππcos 2126y f x x θ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是奇函数，所以πcos 06θ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则()πππ62k k θ-+=-+∈Z ，解得()ππ3k k θ=-+∈Z ，又ππ22θ-<<，则π3θ=-.验证：当π3θ=-时，ππcos 2sin 2122f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由sin(2)sin 2x x -=-，得sin 2y x =是奇函数.因为函数22ππ3sin(2)2cos (2)3sin(2)2cos (2)33y x x x x θθ=-+-+=----2ππ2sin (2)sin(2)133x x =---+2π172sin(2)348x ⎡⎤=--+⎢⎣⎦，由π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ7π2,366x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 2,132x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故当π1sin 234x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，min 78y =；当π1sin 232x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭或1时，max 2y =.故所求函数的值域为7,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦；【小问2详解】因函数π()cos(2)3f x x =-在区间π,32a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7π3,6a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增，令π23t x =-，则()cos g t t =在区间ππ,3a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和π6,2π3a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，故π03a -≤，且π6π3a -≥，解得2ππ93a ≤≤，则实数a 的取值范围为2ππ,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦.22.设函数1()212xx f x =++.（1）证明函数()f x 在(0,)+∞上是增函数；（2）若1()log 212xa x g x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(1)a >，是否存在常数m ，(0,)n ∈+∞，()m n <，使函数()g x 在[,]m n 上的值域为[]1log 2,1log 2a a m n ++，若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）不存在，理由详见解析.【解析】【分析】（1）利用函数单调性定义证明；（2）由（1）结合复合函数的单调性得到1()log 212xa x g x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在(0,)+∞上是增函数，从而有1log 211log 221log 211log 22m a a mn a a n m n ⎧⎛⎫++=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，转化为m ，n 是方程()()212210x x a ---=的两个不同的正根求解.【小问1详解】证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则12121211()()212122x x x x f x f x ⎛⎫-=++-++ ⎪⎝⎭()()12121221222x x x x x x ++-=-，因为12x x <，则1222x x <，因为12,(0,)x x ∈+∞，则12210x x +->，所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 在(0,)+∞上是增函数；【小问2详解】由（1）知：1()212xxf x =++在(0,)+∞上是增函数，又1a >，由复合函数的单调性知1()log 212xa x g x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在(0,)+∞上是增函数，假设存在常数m ，(0,)n ∈+∞，()m n <，使函数()g x 在[,]m n 上的值域为[]1log 2,1log 2a a m n ++，所以1log 211log 221log 211log 22m a a m n a a n m n ⎧⎛⎫++=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，即121·22121·22m m mn nn a a ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，则m ，n 是方程121·22xx x a ++=的两个不同的正根，则m ，n 是方程()()212210xx a ---=的两个不同的正根，设21x t =>，则()2110a t t ---=有两个大于1的不等根，设()()211h t a t t =---，因为()010h =-<，1a >，所以方程()2110a t t ---=有一个大于0，一个小于0的根，所以()2110a t t ---=不存在两个大于1的不等根，。
2023-2024学年云南省玉溪市高一上学期教学质量检测数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年云南省玉溪市高一上册教学质量检测数学试题一、单选题1．集合{}11A x x =-<<，{}B x a x b a =-<-<．若“1a =”是“A B ⋂≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是（）A ．{}20b b -≤<B ．{}02b b <≤C ．{}22b b -<<D ．{}22b b -≤≤【正确答案】C【分析】先化简集合B ,解不等式111-≤-<b 或111-<+≤b 即得解.【详解】解：{}11A x x =-<<，{}{}B x a x b a x b a x b a =-<-<=-<<+．因为“1a =”是“A B ⋂≠∅”的充分条件，即当1a =时，A B ⋂≠∅成立，所以111-≤-<b 或111-<+≤b ，即22b -<<．故选：C ．2．已知1,0a b c >>>，则下列不等式一定成立的是（）A ．1a bcb ac c+<+B ．1a bcb ac a+<+C ．a bcc b ac+<+D ．a bca b ac+<+【正确答案】D【分析】通过作差法来判断每一个选项.【详解】对于A ，()()()2211b c a bc ac bc b ac b ac c b ac c b ac c-++---==+++，当1c >时，()()210b c b ac c ->+，即1a bc b ac c +>+，则A 错误；对于B ，()()()()211a a c b ac a bc a abc b ac b ac a b ac a b ac a -+-++---==+++，当1a c >>时，0,1a c ac ->>，则()()()10a a c b ac b ac a-+->+，即1a bcb ac a+>+，则B 错误；对于C ，()221a c a bc a bc bc ac c b ac b ac b ac-++---==+++，当01c <<时，210c ->，则()210a c b ac ->+，即a bcc b ac+>+，则C 错误；对于D ，()()221a b b a c a bc a bc ab a c a b ac b ac b ac-+-++---==+++，因为1,0a b c >>>，所以()()210,0a b b a c -<-<，所以()()210a b b a cb ac-+-<+，即a bca b ac+<+，则D 正确.故选：D3．若函数f (x )＝,142,12x a x a x x ⎧>⎪⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为（）A ．(1，＋∞)B ．(1,8)C ．(4,8)D ．[4,8)【正确答案】D【分析】根据函数的单调性给出不等式组，求解参数的取值范围即可.【详解】由题意得1,40,2(4)12,2a aa a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪≥-⨯+⎪⎩解得4≤a ＜8.故选：D.4．《掷铁饼者》取材于古希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”，掷铁饼者的肩宽约为8π米，一只手臂长约为4π米，“弓”所在圆的半径约为1516米，则掷铁饼者双手之间的直线距离约为（）A ．1516米BC米D米【正确答案】C【分析】利用弧长公式可求圆心角的大小，再利用解直角三角形的方法可求弦长.【详解】掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”即如图中的 AB 及弦AB ，取AB 的中点，连接OC .由题设可得 AB 的弧长为5828πππ+=，而1516OA =，故52815316AOB ππ∠==，故AB 的长度为15153322sin 1638216BC π=⨯=⨯=，故选：C.5．已知22sin 3sin 20θθ--=，ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则cos θ的值为（）A ．33B ．32C ．22D ．12【正确答案】B【分析】由已知可得出()sin 1,1θ∈-，cos 0θ>，解方程22sin 3sin 20θθ--=可得出sin θ的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos θ的值.【详解】因为ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()sin 1,1θ∈-，cos 0θ>，因为()()22sin 3sin 22sin 1sin 20θθθθ--=+-=，则1sin 2θ=-，因此，23cos 1sin 2θθ=-=.故选：B.6．把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（）A ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】解法一：从函数()y f x =的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即得2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再利用换元思想求得()y f x =的解析表达式；解法二：从函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到()y f x =的解析表达式.【详解】解法一：函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)y f x =的图象，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，应当得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，根据已知得到了函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令23t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则,234212t t x x πππ=+-=+,所以()sin 212t f t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；解法二：由已知的函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭逆向变换，第一步：向左平移3π个单位长度，得到sin sin 3412y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin 212x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，即为()y f x =的图象，所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：B.7．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e-=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（）（参考数据：取5log 20.43=）A ．8B ．9C ．10D ．14【正确答案】C【分析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kte -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值.【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP P e --=，所以40.2k e -=，即4ln 0.2ln 5k -==-，所以ln 54k =，则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-，所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=，故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C.本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.8．已知f (x )的定义域为R ，且是最小正周期为2的周期函数.当02x ≤<时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间［0，6］上与x 轴的交点个数为（）A ．9B ．8C ．7D ．6【正确答案】C【分析】直接解方程求零点，结合周期性可得.【详解】当02x ≤<时，令30x x -=解得0,1x x ==又函数()f x 的最小正周期为2，所以在区间[]0,6内的零点有0,1,2,3,4,5,6.故选：C 二、多选题9．能正确表示图中阴影部分的是（）A ．()U N M ⋂ðB ．()U M N ðC ．()()U UM N 痧D ．()U M N N ⎡⎤⋂⋂⎣⎦ð【正确答案】AD【分析】由集合运算和Venn 图知识对选项依次辨析即可.【详解】对于A ，U M ð为，∴()U N M ⋂ð为，故选项A 正确；对于B ，U N ð为，∴()U M N ð为，故选项B 错误；对于C ，U M ð为，U N ð为，∴()()U UM N 痧为，故选项C 错误；对于D ，M N ⋂为，∴()U M N ð为，∴()U M N N ⎡⎤⋂⋂⎣⎦ð为，故选项D 正确.故选：AD.10．下图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=（）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x -【正确答案】BC【分析】首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A,不妨令2ω=,当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭故选：BC.已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.11．德国数学家狄利克雷(1805~1859)在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数()D x ，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．以下关于狄利克雷函数()D x 的性质正确的有：（）A ．0D =B ．()D x的值域为{0,1}C ．()D x 为奇函数D ．(1)()D x D x -=【正确答案】ABD【分析】利用狄利克雷函数()D x 的性质即得ABD 正确；利用函数奇偶性的定义判定C 不正确.【详解】由题得R 1,()0,x QD x x Q ∈⎧=⎨∈⎩ð，则0D =，所以A 正确；容易得()D x 的值域为{0,1}，所以B 正确；因为R 1,()0,x QD x x Q ∈⎧-=⎨∈⎩ð，所以()(),()D x D x D x -=为偶函数，所以C 不正确；因为R 1,(1)0,x QD x x Q ∈⎧-=⎨∈⎩ð，所以(1)()D x D x -=，所以D 正确．故选：ABD ．12．气候变化是人类面临的全球性问题，随着各国二氧化碳排放，温室气体猛增，对生命系统形成威胁，我国积极参与全球气候治理，加速全社会绿色低碳转型，力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和目标．某校高一数学研究性学习小组研究的课题是“碳排放与气候变化问题”，研究小组观察记录某天从6h 到14h 的温度变化，其变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++（0A >，0ω>，0πϕ<<），该函数图象如图，则（）A ．3π4ϕ=B ．函数()f x 的最小正周期为16πC ．x ∀∈R ，()()840f x f x ++=D ．若()()g x f x m =+是偶函数，则m 的最小值为2【正确答案】ACD【分析】根据图象可得3010A b A b +=⎧⎨-+=⎩，14682T=-=，从而可求出,,A b ω，再将点(6,10)代入解析式中可求出ϕ的值，从而可求得函数解析式，然后逐个分析判断.【详解】根据题图可知3010A b A b +=⎧⎨-+=⎩得10,20,A b =⎧⎨=⎩所以()()10sin 20f x x ωϕ=++．根据题图可知14682T=-=，16T =，B 错误．2π2ππ168T ω===，()π10sin 208f x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，()3π610sin 20104f ϕ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，即3πsin 14ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．又0πϕ<<，所以3π3π7π444ϕ<+<，所以3π3π42ϕ+=，解得3π4ϕ=，A 正确．()π3π10sin 2084f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，()()π3ππ3ππ3π810sin 82010sin π2010sin 20848484f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+++=+++=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以()()840f x f x ++=，C 正确．因为()()()π3πππ3π10sin 2010sin 2084884g x f x m x m x m ⎡⎤⎛⎫=+=+++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭是偶函数，所以π3πππ842m k +=+，k ∈Z ，得82m k =-，k ∈Z ，所以当0k =时，m 取最小值，为2，D 正确．故选：ACD ．三、填空题13．已知函数f (x )为奇函数，定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (－1)＝－1，则f (2022)＋f (2019)＝__________.【正确答案】－1【分析】利用奇偶性可得函数周期，然后可解.【详解】因为()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x -=+又因为()f x 为奇函数所以()()()2f x f x f x +=-=-,()()200f f ==所以()()()42f x f x f x +=-+=,即()f x 周期为4所以()()()()()2022201921211f f f f f +=+-=-=-故1-14．已知0a >，0b >，且3ab a b =++，则a b +的最小值为______．【正确答案】6【分析】利用不等式()214ab a b ≤+，结合已知条件，即可求得a b +的最小值.【详解】因为()2134ab a b a b =++≤+，故可得：()()24120a b a b +-+-≥，即()()620a b a b +-++≥，解得：6a b +≥或2a b +≤-.因为0,0a b >>，故6a b +≥（当且仅当3a b ==时取得最小值）故答案为.615．设函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[1，2]时，f (x )＝ax 2＋b .若f (0)＋f (3)＝6，则f (92)＝____________.【正确答案】52【分析】由f (x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，可得(1)(1)f x f x +=--+，(4)()f x f x +=，再结合已知的解析式可得(0)4,(3)f a b f a b =--=+，然后结合已知可求出,a b ，从而可得当[1,2]x ∈时，2()22f x x =-+，进而是结合前面的式子可求得答案【详解】因为f (x ＋1)为奇函数，所以()f x 的图象关于点(1,0)对称，所以(1)0f =，且(1)(1)f x f x +=--+因为f (x ＋2)为偶函数，所以()f x 的图象关于直线2x =对称，(2)(2)f x f x +=-+，所以[(1)1][(1)1]()f x f x f x ++=--++=--，即(2)()f x f x +=--，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即(4)()f x f x +=，当x ∈[1，2]时，f (x )＝ax 2＋b ，则(0)(11)(2)4,(3)(12)(12)(1)f f f a b f f f f a b =-+=-=--=+=-+==+，因为(0)(3)6f f +=，所以36a -=，得2a =-，因为(1)0f a b =+=，所以2b a =-=，所以当[1,2]x ∈时，2()22f x x =-+，所以911139541(22)2222242f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-+=-=--⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故52四、双空题16．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若生物体内原有的碳14含量为A ，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y 与死亡年数x 的函数关系式是_______，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约________年.（参考数据：lg 20.3≈）【正确答案】57301·2x y A ⎛⎫= ⎪⎝⎭；3820【分析】根据指数函数模型得出函数关系式，然后由62.5%y =计算x ．【详解】设1年后碳14含量为原来的a 倍，则573012a=，1573012a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴57301··2x x y a A A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，由5730162.52100x ⎛⎫=⎪⎝⎭，即57301528x ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴57302221510log log log 2816x⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴211log 104445730lg 20.3x -=-=-≈-，3820x ≈．故57301·2xy A ⎛⎫= ⎪⎝⎭；3820．五、解答题17．计算：(1)(()21log 32393ln log log 812log log 12543+++-(2)若1122x x -+=，求1x x -+的值.【正确答案】(1)152(2)3【分析】（1）使用对数运算性质、对数恒等式、换底公式进行化简运算即可；（2）将1122x x -+=两边同时平方后化简求解即可.【详解】（1）原式(()21log 32393ln log log 812log log 12543+=+++-()23log 34223ln e log log 322lg1lg1254lg 93lg 3=++⨯-⨯122232lg 2lg 52lg 33lg 3log 423lg 21lg 52lg 33lg 3-+=++⨯+-⨯lg 22lg51lg3lg332262lg 213lg522lg33lg3+=+++--⨯2lg 22lg 519lg 3lg 3lg 2lg 52lg 3lg 3+=+--192lg 22lg 52lg 2lg 5+=+--()()2lg 2lg 5192lg 2lg 5+=+-+192lg102lg10=+-1922=-152=∴(()21log 3239315ln log log 8122log log 12543+++=-.（2）∵1122x x -+=，∴两边同时平方，得211225x x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴221111222225x x x x --⎛⎫⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴125x x -++=，∴13x x -+=.18．已知集合11{|}A x a x a =-≤≤+，5|03x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭．(1)若3a =-，求A B ⋃；(2)在①A B ⋂=∅，②()R B A R ⋃=ð，③A B B ⋃=，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1){|45}A B x x ⋃=-≤≤(2)答案见解析【分析】（1）分别求出集合A 和集合B ，求并集即可；（2）选①，根据集合A 和集合B 的位置在数轴上确定端点的关系，列出不等式组即可求解，选②，先求出R A ð，再根据条件在数轴确定端点位置关系列出不等式组即可求解，选③，得到A B ⊆，根据数轴端点位置关系列出不等式组即可求解.【详解】（1）因为3a =-，所以{|42}A x x =-≤≤-，又因为{|35}B x x =-<≤，所以{|45}A B x x ⋃=-≤≤．（2）若选①A B ⋂=∅：则满足15a ->或13a +≤-，所以a 的取值范围为{|4a a ≤-或6}a >．若选②()R B A R ⋃=ð：所以{|1R A x x a =<-ð或1}x a >+，则满足1315a a ->-⎧⎨+≤⎩，所以a 的取值范围为{|24}a a -<≤．若选③A B B ⋃=：由题意得A B ⊆，则满足1315a a ->-⎧⎨+≤⎩所以a 的取值范围为{|24}a a -<≤19．已知函数21()sin cos cos 22f x x x x x =++-．(1)求()f x 的最小正周期和对称中心；(2)填上面表格并用“五点法”画出()f x 在一个周期内的图象．【正确答案】(1)T π=，它的对称中心为,0212k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，Z k ∈(2)答案见解析.【分析】（1）：根据二倍角与辅助角公式化简函数为一名一角即可求解；（2）：根据五点法定义列表作图即可．【详解】（1）21()sin cos cos 22f x x x x x =++-12cos 2sin 226x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==；令26x k ππ+=，Z k ∈，解得212k x ππ=-，Z k ∈，可得它的对称中心为,0212k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Z k ∈．（2）x12π-6π512π23π1112π26x π+2ππ32π2πsin 26x 骣琪+琪桫p 011-020．设关于x 的二次函数2()21f x mx mx =--．(1)若1m =，解不等式()0f x <；(2)若不等式()10f x m >-在[0,2]上恒成立，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)9,0(0,8)5m ⎛⎫∈-⋃ ⎪⎝⎭.【分析】（1）由题设有2210x x --<，解一元二次不等式求解集即可.（2）由题意2290mx mx m --+>在[0,2]x ∈上恒成立，令2()29g x mx mx m =--+并讨论m 范围，结合二次函数的性质求参数范围.【详解】（1）由题设，()0f x <等价于2210x x --<，即(1)(21)0x x -+<，解得112x -<<，所以该不等式解集为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）由题设，2290mx mx m --+>在[0,2]x ∈上恒成立．令2()29g x mx mx m =--+，则对称轴14x =[0,2]∈且29729(8)m m m m ∆=-=-，①当0m <时，()g x 开口向下且0∆>，要使()0g x >对[0,2]x ∈恒成立，所以()()0902590g m g m ⎧=-+>⎪⎨=+>⎪⎩，解得995m -<<，则905m -<<．②当0m >时，()g x 开口向上，只需Δ0<，即08m <<.综上，9,0(0,8)5m ⎛⎫∈-⋃ ⎪⎝⎭．21．已知函数()1()3312x af x =-+为奇函数．(1)求a 的值；(2)判断()f x 的单调性，并用定义证明；(3)解不等式31(())099f f x f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭．【正确答案】(1)2a =(2)单调递减，证明见解析(3)(,5)-∞【分析】（1）根据奇函数性质(0)0f =求解即可；（2）根据定义法严格证明单调性，注意式子正负的判断即可求解；（3）根据奇函数性质化简不等式得31(())99f f x f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，再根据函数单调性得到31()99f x >-，代入函数解不等式即可求解.【详解】（1）因为()1()3312x af x =-+为奇函数且()f x的定义域为R ，所以由奇函数性质得(0)0f =，解得2a =，当2a =时，()()2112()3312312x x x f x -=-=++，()21()312x x f x --=+，即()()f x f x =--，符合题意.（2）()f x 在R 上单调递减，证明如下：由（1）知()21()3312x f x =-+，1x ∀，2x R ∈，12x x <时，()()12f x f x -=1221131212x x ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭()()211222231212x x x x -⨯++，因为12x x <，所以21220x x ->，()()1212120xx ++>，所以()()120f x f x ->，即()f x 在R 上单调递减．（3）因为31(())099f f x f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以31(())99f f x f⎛⎫<- ⎪⎝⎭，因为()f x 为奇函数，()()f x f x =--，所以31(())99f f x f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，又因为()f x 在R 上单调递减，所以31()99f x >-，即()2131399312x->-+，所以1233x +<，即232x <，解得5x <，即不等式的解集为(,5)-∞．22．某企业为抓住环境治理带来的历史性机遇，决定开发生产一款大型净水设备．生产这款设备的年固定成本为200万元，每生产x 台()x N +∈需要另投入成本()a x （万元），当年产量x 不足45台时，()21303002a x x x =+-万元，当年产量x 不少于45台时，()2500619001a x x x =+-+万元．若每台设备的售价为60万元，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完．(1)求年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式；(2)年产量x 为多少台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？【正确答案】(1)()2130100,4522500700,451x x x y x N x x x +⎧-++<⎪⎪=∈⎨⎪--+≥⎪+⎩；(2)当年产量为49台时，该企业在这款净水设备的生产中获利润最大，最大为601万元．【分析】（1）分别在45x <和45x ≥两种情况下，由()60200y x a x =--可得函数关系式；（2）利用二次函数性质、基本不等式可分别求得45x <和45x ≥时的最大值，比较即可得到结果.【详解】（1）当45x <，x N +∈时，()22116020060200303003010022y x a x x x x x x ⎛⎫=--=--+-=-++ ⎪⎝⎭；当45x ≥，x N +∈时，()2500250060200602006190070011y x a x x x x x x ⎛⎫=--=--+-=--+ ⎪++⎝⎭；综上所述.()2130100,4522500700,451x x x y x N x x x +⎧-++<⎪⎪=∈⎨⎪--+≥⎪+⎩（2）当45x <，x N +∈时，21301002y x x =-++，则当30x =时，y 的最大值为550；当45x ≥，x N +∈时，()25002500700170170160111y x x x x ⎡⎤=--+=-+++≤+=⎢⎥++⎣⎦（当且仅当250011x x +=+，即49x =时等号成立）；∴当年产量为49台时，该企业在这款净水设备的生产中获利润最大，最大为601万元．。
浙江省杭州市2024-2025学年高一上学期10月教学质量检测数学试题含答案
杭州联谊学校2024年10月教学质量检测高一数学试题（答案在最后）一、单选题（每小题4分，共计32分）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据交集的定义求解即可．【详解】因为，则.故选：B.2.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】由全称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”.故选：C.3.已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为（）123230A.3B.0C.1D.2【答案】B【解析】【分析】根据的图像可知，，根据表格即可求得.【详解】根据的图像可知，，根据表格可知，.故选：B4.若，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D【解析】【分析】根据的取值情况判断各个选项的对错即可得到答案.【详解】选项A，若，则结论错误，故选项A错误；选项B，根据糖水不等式可知，，故选项B错误；选项C，当时，，故选项C错误；选项D，可知，，故选项D正确.故选：D5.若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分和两种情况，结合不等式恒成立求参数的取值范围.【详解】当时，不等式为对一切实数都成立，符合题意，当时，要使得不等式对一切实数都成立，则，解得，综上所述，的取值范围为.故选：D．6.若函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质结合条件即得.【详解】∵，∴对称轴为直线，当时，．∵时，，由二次函数的对称性可知另一个的对应的值为，∴的取值范围是．故选：．7.已知，其中，若，则正实数t取值范围（）A.或B.或C.或D.或【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，分段求解不等式即可.【详解】令，解得，当时，，，即，且，解得；当时，，，即，且，解得，当时，，，而为正实数，则此种情况无解，所以正实数的取值范围为或.故选：A8.已知函数，若，对均有成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将问题转化为对都恒成立，结合二次函数以及一次的性质即可求解.【详解】，对均有成立，在上单调递增，，依题意有对均有成立，即在时恒成立，∴，解得，∴实数的取值范围是．故选：B．二、多选题（每小题6分，共计18分）9.若是的必要不充分条件，则实数的值可以为（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】解方程，根据题意可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.【详解】由，可得或.对于方程，当时，方程无解，符合题意；当时，解方程，可得.由题意知，，此时应有或，解得或.综上可得，或.故选：BC.10.若正实数满足，则下列说法正确的是（）A.有最大值为B.有最小值为C.有最小值为D.有最大值为【答案】ABC【解析】【分析】直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解B，利用不等式成立的条件即可求解D.【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确，对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确，对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确，对于D：因为，当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误，故选：ABC．11.下列说法正确的是（）A.若的定义域为，则的定义域为B.和表示同一个函数C.函数的值域为D.函数满足，则【答案】AD【解析】【分析】根据抽象函数的定义域的求法求解可判断A；利用同一函数得定义判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用方程组法求解函数解析式判断D.【详解】对于A，因为的定义域为，对于函数，则，解得，即的定义域为，故A正确；对于B，定义域为，定义域为，所以和不是同一个函数，故B错误；对于C，令，则，所以，因为，所以在上单调递减，所以，所以函数的值域为，故C错误；对于D，因为，所以，两边同乘以2得，两式相加得，解得，故D正确．故选：AD．三、填空题（每小题4分，共计12分）12.若，则______.【答案】2【解析】【分析】根据元素与集合的关系，集合元素的互异性求得正确答案.【详解】依题意，当时，，此时，不符合题意.当时，（舍去）或，当时，，符合题意.综上所述，的值为.故答案为：13.已知，，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据同向不等式相加不等号方向不变的性质求解即可.【详解】因为，所以，又，由不等式的可加性得，所以的取值范围是.故答案为：.14.已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】将化为，分，，三种情况讨论即可求.【详解】由可得，当时，不等式的解集为，不符合题意，舍，当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍，当时，不等式的解集为，因为有且仅有3个正整数解，故整数解为，所以，.综上，实数的取值范围是.故答案：四、解答题（共计58分）15.已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，求得集合B，再与A，利用并集运算求解.（2）将，转化为B A，再分和两种情况讨论求解.，详解】（1）当时，集合，又集合，所以；（2）因为，所以B A，当时，，解得，当时，，解得，综上：实数a取值范围【点睛】本题主要考查集合的运算以及集合的关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16.（1）已知，求函数的最大值；（2）已知，且，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）易知，由基本不等式计算可得的最小值为6，即可得解；（2）依题意，利用基本不等式中“1”妙用计算可得答案.详解】（1）由可得，所以，当且仅当即时取等号；所以函数的最大值为.（2）根据题意，且，则，当且仅当，时取等号，所以的最小值为．17.某公司带来了高端智能家属产品参展，供购商洽谈采购，并决定大量投放中国市场已知该产品年固定研发成本50万元，每生产一台需另投入60元.设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万合的销售收入为G(x)万元，.（1）求年利润s(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式；(利润=销售收入-成本)（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）；（2）当年产量为29万台时，该公司获得的最大利润万元.【解析】【分析】(1)根据题意，每万台的销售收入是一个分段函数，分和两种情况讨论，根据生产产品的数量求出对应的解析式即可求解；(2)分段讨论函数的最值，最后比较大小得出结果.【小问1详解】当时，；当时，，所以函数解析式为.【小问2详解】当时，因为，又因为函数在上单调递增，所以当时，取最大值，；当时，(当且仅当，即时等号成立)因为，所以时，的最大值为万元.所以当年产量为29万台时，该公司获得的最大利润万元.18.已知函数.（1）若f（x）＜k的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}，求实数k的值；（2）若∀x1∈[2，4]，都∃x2∈[2，4]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由f（x）＜k，整理得：kx2﹣x+6k＞0，然后，利用韦达定理进行求解（2）把题目的成立条件转化为f（x）最小值≥g（x）最小值，进而分别求出，函数f（x）在区间[2，4]上的最小值和函数g（x）在区间[2，4]上的最小值即可【详解】（1）证明：由f（x）＜k得：k，整理得：kx2﹣x+6k＞0，因为解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}，所以k＜0，所以方程kx2﹣x+6k＝0的根是﹣3，﹣2，∴2+（﹣3），∴k；所以实数k的值是；（2）由题意可得，f（x）最小值≥g（x）最小值，∀x1∈[2，4]，f（x）在区间[2，]为增函数，[，4]为减函数，f（2），f（4），所以函数f（x）在区间[2，4]上的最小值是f（4）；函数g（x）开口向上，且对称轴x＝﹣m，①当﹣m≤2，即m≥﹣2，g（x）最小值＝g（2）＝4+4m⇒m，解得：﹣2；②当2＜﹣m＜4，即﹣4＜m＜﹣2，g（x）最小值＝g（﹣m）＝m2﹣2m2⇒m≤﹣1或m≥1，所以﹣4＜m＜﹣2；③﹣m≥4，即m≤﹣4，g（x）最小值＝g（4）＝16+8m，解得：m，所以m≤﹣4；综上所述，m的取值范围：（﹣∞，].【点睛】关键点睛：本题解题的关键有两点：分别在于：1.把题目的成立条件转化为f（x）最小值≥g（x）最小值，2.通过对进行分类讨论，求出函数g（x）在区间[2，4]上的最小值19.已知二次函数的图象过点（1，13），且函数对称轴方程为.(1)求函数的解析式；(2)设函数，求在区间上的最小值【答案】(1),(2)【解析】【分析】（1）由f（x）的对称轴方程以及图象过点（1，13），求出b、c的值，从而写出f（x）的解析式；（2）化函数g（x）为分段函数，画出函数的图象，结合图象，求出g（x）在区间[t，2]上的最小值H （t）．【详解】（1）∵f（x）＝x2+bx+c的对称轴方程为，∴b＝1；又f（x）＝x2+bx+c的图象过点（1，13），∴1+b+c＝13，∴c＝11；∴f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+11．（2）∵函数g（x）＝[f（x）﹣x2﹣13]•|x|＝[（x2+x+11）﹣x2﹣13]•|x|＝（x﹣2）•|x|，画出函数图象，如图：令，解得或（舍）∴当1≤t＜2时，g（x）min＝t2﹣2t；当时，g（x）min＝﹣1；当时，．∴综上，H（t）．【点睛】本题考查了求函数的解析式以及求函数在某一区间上的最值情况，解题时应结合函数的图象与性质来解答，是易错题．。
四川省绵阳市2023-2024学年高一上期末教学质量测试数学试卷
试卷第 2页，共 4页
三、填空题
13．计算： (2)2 lg 1 lg25 4
14．函数
f
x
lg
1
x 1
的定义域为
． ．
15．已知扇形的圆心角为 2rad ，扇形的周长为 8cm ，则扇形的面积为
cm2 .
16．若函数 f x 满足 f x f y f x y x, y R ，当 x 0 时，f x 0, f 1 2 ，
ab
B． a2 b2 的最大值为 2 D． a2 b 的最小值为 1
11．关于 x 的一元二次方程 x2 mx 2 0 的两个实数根分别为 x1, x2 ，且 x1 x2 ，则下列
结论正确的是（ ）
A．若 x1 1, x2 1，则 2 2 m 3
B．若
2 x1
x2
3
，则
m
9 2
或
四川省绵阳市 2023-2024 学年高一上期末教学质量测试数学 试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 A x 2x 1 ，则下列结论正确的是（ ）
A．1 A
B． A
C． A 1,
f
x
x
的图象经过点
P
2,
1 4
，则下列结论正确的是（
）
A．函数 f x 的定义域为 R
B．函数 f x 的值域为 0,
C．不等式 f x 1 的解集为 1,0 0,1 D．函数 f x 是偶函数
10．已知 a 0,b 0 ，且 a b 2 ，则下列说法正确的是（ ）
A． ab 的最大值为 1 C． 1 1 的最小值为 2
2023-2024学年广西壮族自治区南宁、来宾市等地区高一下学期7月期末质量监测数学试题(含解析)
2023-2024学年南宁、来宾市等地区高一下学期7月期末质量监测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z满足z=i(2+i)(i是虚数单位)，则在复平面内z对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.现有以下两项调查： ①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测; ②在某校800名学生中，O 型、A型、B型和AB型血的学生依次有300，200，180，120人，为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是( )A. ① ②都采用简单随机抽样B. ① ②都采用分层随机抽样C. ①采用简单随机抽样， ②采用分层随机抽样D. ①采用分层随机抽样， ②采用简单随机抽样3.某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示．射击次数501002004001000射中8环以上的次数4478158320800根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为( )A. 0.78B. 0.79C. 0.80D. 0.824.如图，一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30∘处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10:00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75∘处，且与它相距82n mile.此船的航速是( )n mile/ℎ．A. 16B. 32C. 64D. 1285.已知α，β是两个不同平面，m ，n 是两不同直线，下列命题中不正确的是( )A. 若m//n ，m ⊥α，则n ⊥α B. 若m ⊥α，m ⊥β，则a//βC. 若m//α，α∩β=n ，则m//nD. 若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β6.如图，在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，A >π2，过点A 作与AC 垂直的单位向量j ，将j 与向量表达式AC +CB =AB 两边进行数量积的运算，即j ⋅(AC +CB )=j ⋅AB ，化简后得到的结论是( )A. a sin A =c sin CB. bsin B =c sin CC. a sin A =bsin BD. a sin A =bsin B =csin C7.掷一枚质地均匀的骰子，记事件A =“出现的点数不超过3”，事件B =“出现的点数是3或5”，事件C =“出现的点数是偶数”，则事件A 、B 与C 的关系为( )A. 事件A 与B 互斥B. 事件B 与C 对立C. 事件A 与B 独立D. 事件C 与B 独立8.已知三棱锥P−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，AB =5，AC =3，BC =4，PB 为球O 的直径，PB =10，则这个三棱锥的体积为( )A. 303B. 103C. 153D. 53二、多选题：本题共3小题，共18分。
安徽省2024-2025学年高一上学期11月期中教学质量检测数学试题(含答案)
安徽省2024-2025学年高一上学期11月期中教学质量检测数学试题考试时间：120分钟满分150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.下列集合中表示同一集合的是（）A. B.C. D.2.若，则下列不等式不能成立的是（）A. B.C. D.3.不等式的解集为A.或B.或C.或D.4.函数的图象可能是（）A. B. C. D.5.已知，则（）A.27B.18C.15D.256.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.7.已知是偶函数，且其定义域为，则（）A. B.-1 C.1 D.78.已知函数，若存在，且两两不相等，则的取值范围为A. B. C.[0，1] D.{(3,2)},{(2,3)}M N=={4,5},{5,4}M N=={(,)1},{1}M x y x y N y x y=+==+=∣∣{1,2},{(1,2)}M N==a b<<||||a b>2a ab>11a b>11a b a>-23540x x-+->{3x x≤-∣2}x≥{3x x≤-∣1}x≥{31x x-≤≤∣2}x≥∅1(0,1)xy a a aa=->≠13a a-+=33a a-+=()f x=(,3]-∞-[1,1]-(,1]-∞-[1,)-+∞2()35f x ax bx a b=+-+[61,]a a-a b+=1725,0()22,0x xf xx x x->⎧=⎨+-≤⎩()()()123f x f x f x==123x x x、、123x x x++()(1,1)-(1,1]-(0,1]二、多选题：本题共3小题，共18分.9.（多选）下列说法正确的有（ ）A.命题，则B.“”是“”成立的充分条件C.命题，则D.“”是“”的必要条件10.若正实数a ，b 满足，则下列说法正确的是（ ）A.ab 有最大值C.有最小值4 D.11.对于函数的定义域中任意的，当时，如下结论正确的是（ ）A. B.C.D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.命题“对任意，都有”的否定是_______________.13.已知，求函数的最小值是_______________.14.已知是上的增函数，则实数的取值范围是_______________.四、解答题：本题共5小题，共77分.15.（本小题13分）已知集合，集合.（1）求;（2）设集合，且，求实数的取值范围.16.（本小题15分）已知二次函数.（1）若的解集为，求a ，b 的值;（2）若f （x ）在区间上单调递增，求的取值范围.:,(0,1),2p x y x y ∀∈+<0000:,(0,1),2p x y x y ⌝∃∈+≥1,1a b >>1ab >2:,0p x R x ∀∈>2:,0p x R x ⌝∃∈<5a <3a <1a b +=14+11a b+22a b +()f x ()1212,x x x x ≠()2xf x =()()()1212f x x f x f x +=⋅()()()1212f x x f x f x ⋅=+()()12120f x f x x x ->-()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭x R ∈20x ≥54x >14245y x x =-+-2,1()4,12x a x f x a x x ⎧->⎪=⎨⎛⎫-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩R a {22}A xx =-∣……{1}B x x =>∣()R B A ⋂ð{6}M xa x a =<<+∣A M M ⋃=a 2()3()f x x ax a R =--∈()0f x <{3}xx b -<<∣[2,)-+∞a17.（本小题15分）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为x m ，宽为y m.（1）若菜园面积为18m 2，则当x ，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小?并求出最小值.（2）若使用的篱笆总长度为16m ，则当x ，y 为何值时，可使菜园面积最大?并求出最大值.18.（本小题17分）已知函数在上是偶函数，当时，，（1）求函数在上的解析式；（2）求单调递增区间和单调递减区间;（3）求在的值域.19.（本小题17分）已知函数对任意实数x ，y 恒有，且当时，，又.（1）判断的奇偶性；（2）求证：是上的减函数并求函数在区间上的最大值;（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.()f x R 0x (2)()23f x x x =+-()f x R ()f x ()f x [4,4]-()f x ()()()f x y f x f y +=+0x >()0f x <(1)2f =-()f x ()f x R ()f x [3,3]-x R ∈()23()4f axf x <+a高一期中考试数学参考答案1.B2.D3.D4.D5.B6.B7.A8.D 7.A 8.D9.ABD 10.AC 11.ACD12.存在，使得13.514.[4，8）14.解:（1）由已知，又，所以;（2）因为，所以，又，所以，解得.所以的取值集合为.16.解:（1）的解集为，和是方程的两根，由根与系数关系得:;.（2）的对称轴为且在区间上单调递增，;.17.解：（1）由已知可得，而篱笆总长为;又因为，当且仅当时，即时等号成立所以菜园的长为6m ，宽为3m 时，可使所用篱笆总长最小，最小值为12;0x R ∈200x ≤{1}R B x x =≤∣ð{22}A x x =-∣……(){21}R B A xx ⋂=-∣......ðA M M ⋃=A M ⊆{22},{6}A x x M x a x a =-=<<+∣∣ (62)2a a +>⎧⎨<-⎩42a -<<-a {42}a a -<<-∣()0f x < {3}x x b -<<∣3∴-b 230x ax --=∴3,33b a b -+=-⨯=-2,1a b ∴=-=()f x 2ax =()f x [2,)-+∞22a∴≤-4a ∴≤-18xy =2L x y =+212x y +≥=2x y =6,3x y ==x y（2）由已知得，而菜园面积为，则，当且仅当即时取等号，菜园的长为8m ，宽为4m 时，可使菜园面积最大，最大值为32.18.解:（1）当时，，函数是偶函数，当时，，.（2）由（1）可画出函数在上的图像，如图所示，则的单调递增区间为和，单调递减区间为和.（3）由函数的定义域为，由（2）中所作函数图象可知，当或时，取得最小值，当或时，取得最大值，故函数的值域.19.（1）解:取，则，，取，则，216x y +=S xy =2112232222x y S xy x y +⎛⎫==⋅⋅≤⋅= ⎪⎝⎭2x y =8,4x y ==∴x y 0x (2)()23f x x x =+- ()y f x =0x >20,()()23x f x f x x x -<∴=-=--22230()230x x x f x x x x ⎧+-∴=⎨-->⎩…()y f x =R ()f x (1,0)-(1,)+∞(,1)-∞-(0,1)()y f x =[4,4]-1x =1x =-(1)(1)4f f =-=-4x =4x =-(4)(4)5f f =-=()f x [4,5]-0x y ==(00)2(0)f f +=(0)0f ∴=y x =-()()()f x x f x f x -=+-对任意恒成立，为奇函数.（2）证明:任取且，则，，又为奇函数，.故为上的减函数;为上的减函数，在区间上的最大值为，，故在上的最大值为6.（3）解:为奇函数，且，整理原式得，即可得，而在上是减函数，所以即恒成立，①当时不成立，②当时，有且，即，解得.故的取值范围为.()()f x f x ∴-=-x R ∈()f x ∴12,(,)x x ∈-∞+∞12x x <()()()2121210,0x x f x f x f x x ->+-=-<()()21f x f x ∴<--()f x ()()12f x f x ∴>()f x R ()f x R ()f x ∴[3,3]-(3)f -(3)3(1)236,(3)(3)6f f f f ==-⨯=-∴-=-=()f x [3,3]-()f x (2)(2)2(1)4f f f -=-=-=()22()()(2)f ax f x f x f +-<+-()2(2)()(2)f axf x f x f +-<+-()22(2)f ax x f x -<-()f x R 222ax x x ->-2320ax x -+>0a =0a ≠0a >0< 0980a a >⎧⎨-<⎩98a >a 9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭。
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高一年级数学教学质量检测试题卷考生须知:1. 本卷满分100分, 考试时间90分钟.2. 答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名.3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效.4. 考试结束, 只需上交答题卷.一．选择题 : 本大题共12小题, 每小题3分, 共36分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的 .1. 数列{a n }中, 若a 1=3, a n+1= a n – 2 (n ∈N ), 则a n = ( ) (A) 1 – 2n. (B) 2n + 1. (C) 5 –2n.. (D) 2n + 5.2. 下列向量中，可以不共线的一组向量是（ ）(A) a = –2e , b = 2e . (B) a = e 1 –e 2, b = –2 e 1 +2e 2.(C) a = 4e 1 –52e 2, b = e 1 –101e 2. (D) a = e 1 + e 2, b = 2 e 1 – 2e 2. 3．函数y = 10x –1的反函数是 （ ）(A) y = lgx + 1( x > –1 ) . (B) y = lg(x －1)( x > 1 ). (C)y = lgx – 1 ( x >0) . (D) y = lg(x + 1)( x >–1) .4. 将函数y = log 22x 的图象F 按向量a = (2,–1)平移到F '，则F '的解析式为（ ）(A) y = log 2(2x – 4) – 1 . (B) y = log 2(2x + 4) – 1 . (C) y = log 2(2x + 4 ) +1 . (D) y = log 2(2x – 4 ) + 1 . 5. 函数y = Asin (ωx + ϕ)在同一周期内，当x =12π时, y 取最大值2 ; 当x = 12π7时, y 取最小值–2 , 则该函数的解析式是 ( )(A) y = 2sin (x +12π5). (B) y = 2sin (2x +3π). (C) y = 2sin (2x –6π). (D) y = 2sin (2x +6π).6. 已知集合A = { x | 2x 3x +-≤ 0 }, B = { x | | 2x + 1| > 5 }, S = R , 则∨S (A ∩B)等于 ( )(A) { x | x ≤ 2或x > 3}. (B) { x | 2 < x ≤ 3 }. (C) { x | x < 2或x ≥ 3 }. (D) { x | –2 ≤ x ≤ 3}.7. 已知α+ β =12π5, 则cos αcos β –3sin αcos β –3cos αsin β – sin αsin β 的值为 ( ) (A) –22. (B) –2 (C) 22. (D) 2.8. 据调查发现，某湿地的面积在最近50年内减少了10％. 如果按此规律，设2000年该湿地的面积为m km 2，则经过x 年，湿地的面积y 与x 的函数关系是 ( )(A)m )1.01(y50x-=. (B)m )1.01(y 50x-=(C)m )1.01(y x 50-=. (D)m )1.01(y x 50-=.9. 如图电路中，规定“开关A 的闭合”为条件M ，“灯泡B 亮”为结论N ，观察以下图1和图2，可得出的正确结论分别是 （ ） （A ）M 是N 的充分而不必要条件. （B ）M 是N 的必要而不充分条件. （C ）M 是N 的充要条件.（D ）M 是N 的既不充分也必要不条件.10. 甲船在千岛湖B 岛的正南A 处，AB = 3km. 甲船以8 km / h 的速度向正北方向航行，同时乙船自B 岛出发以12 km/ h 的速度向北偏东60°的方向驶去，则行驶15分钟，两船之间的距离是（ ） (A)7km. (B) 13 km. (C)19km. (D)3310-km.11. 已知A 为三角形的一个内角，函数y = x 2cosA – 4xsinA + 6 , 对于任意实数x 都有y > 0，则角A 的取值范围是 （ ）. （A ）0<A<3π. （B ）3π<A ≤2π. （C ）3π<A<π. （D ）0 < A< π . 12．一个递增的整数数列a 1, a 2 , a 3, … 满足条件：a n + 2 = a n+1 + a n (n ∈N*), 若a 5 = 59, 则首项a 1的最大值是 ( )(A) 4. (B) 7. (C) 10. (D) 11.二．填空题：本大题有5小题, 每小题4分, 共20分. 请将答案填写在答题卷中的横线上. 13．log 318 – log 32 = .14. 在△ABC 中, 若A = 60︒, B = 75︒, c = 6 , 则a = .15. 在直角坐标系中,→--OA = (2,2) , |→--AB |= 2, 且→--AB ·→--OA = 0, 则点B 的坐标是.（第9题）16. 若cos2α =53, 则sin 4α – cos 4α = . 17．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，如右图所示. 假设其关系为指数函数，并给出下列说法： (1) 此指数函数的底数为2；(2) 在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30m 2； (3) 野生水葫芦从4m 2蔓延到12m 2只需1.5个月；(4) 设野生水葫芦蔓延到2m 2,3m 2, 6m 2所需的时间分别为t 1, t 2, t 3, 则有t 1 + t 2 = t 3；(5) 野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度；其中正确的说法有 . (请把正确说法的序号都填在横线上) 三．解答题：本大题有4小题, 共44分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 18．(本小题满分10分) 设函数f ( x ) =3(sinx – cosx)2x ∈R .(1) 求函数f ( x )的最小正周期T ；(2) 当x 为何值时，函数f ( x )取最大值？并求出这个最大值.19. (本小题满分8分)设i , j 是平面直角坐标系内x 轴，y 轴正方向上的两个单位向量，且→--AB = 4i + 2j ,→--AC = 3i + 4 j . 试证：△ABC 是直角三角形.20. (本小题满分12分)(1) 画出函数g (x ) = x 2 – 2|x| 的图象；(2) 证明函数f ( x ) = x +x1在（0，1]上单调递减.21 (本小题满分14分)某次国际网球邀请赛共有128位选手参加，比赛采用单淘汰制，即每轮淘汰一半的选手，剩下一半的选手进入下一轮. 在第1轮被淘汰的每位选手可获得出场费1万元，在第2轮被淘汰的选手可获得2万元，在第k 轮被淘汰的选手可获得2 k – 1 万元，而冠军则可获得128万元.（1）求本次网球邀请赛共需出场费多少万元？（2）设网球场有3000个坐位，第一轮比赛门票价格为a 元( a 为整数)，第二轮比赛门票价格为a + 50元，第k 轮比赛门票价格为a + 50(k – 1 )元. 假设每场比赛均满座，且每张门票可观看一轮的所有比赛，则要使本次邀请赛不亏本，第一轮门票价格a 应该如何确定？(第17题）高一年级教学质量检测数学参考答案一．选择题 : 本大题共12小题, 每小题3分, 共36分..二．填空题：本大题有5小题, 每小题4分, 共20分. 13．2 . 14. 36 15.（0，22)，(22,0） . 16. –5317（1）（2）（4） .三．解答题：本大题有4小题, 共44分. 18．(本小题满分10分) 解 (1) f ( x ) =3(1 – 2sinxcosx) =3–3sin2x. 4分∴ T = π. 2分 (2) x = k π –4π( k ∈Z )时, f ( x )max = 23. 4分19. (本小题满分8分)证1：∵i , j 是平面直角坐标系内x 轴，y 轴正方向上的两个单位向量，∴| i | =1, | j | = 1, 且i ⊥j ， 即i • j ＝０.∵→--BC =→--AC –→--AB =–i + 2 j , 4分 ∴→--AB ·→--BC = – 4 + 4 = 0，∴∠B = 90︒，即△ABC 是直角三角形. 4分 证2. ∵i , j 是平面直角坐标系内x 轴，y 轴正方向上的两个单位向量，∴| i | =1, | j | = 1, 且i ⊥j ， 即i • j ＝０.又∵→--AB = 4i + 2j ,→--AC = 3i + 4 j ，∴|→--AB |=20，｜→--AC ｜＝５，cos<→--AB ,→--AC >==⋅⋅→→→→|AC ||AB |AC AB 520205812520)j 4i 3()j 2i 4(=+=⨯+⋅+→→→→. 4分从而><⋅⋅-+=→→→→→→→AC ,AB cos |AC ||AB |2|AC ||AB ||BC |222= 5 .∴｜→--AB ｜２＋｜→--BC ｜２＝｜→--AC ｜２，故△ABC 是直角三角形. 4分20. (本小题满分12分) 解 (1)法1：g ( x ) =⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-0x x 2x 0x x 2x 22, 3分画图象正确 3分法2证明f ( x )为偶函数， 2分画x ≥ 0时，f ( x ) = x 2 – 2x 图象， 2分 将画出图象关于y 轴对称. 2分 (2) 设0 < x 1 < x 2 ≤ 1, 则f ( x 1) – f ( x 2) =1x 1+x 1 –2x 1–x 2 = 2112x x x x -+ ( x 1 – x 2)= ( x 1 – x 2) ( 1 –21x x 1) = (x 1 – x 2) 2121x x 1x x -. 3分 ∵x 1 < x 2 , ∴x 1 – x 2 <0 ;又∵0 < x 1 <1 , 0< x 2 ≤ 1 . ∴ 0< x 1 x 2 < 1 , ∴x 1x 2 –1 < 0 . ∴f ( x 1) – f ( x 2) > 0 , 即f ( x 1) > f ( x 2); 所以当0 < x ≤ 1时，函数单调递减. 3分21 (本小题满分14分)解（1）设奖金总数为W 万元.则有W = 64⨯1 + 32⨯2 + 16⨯22 + 8⨯23 + 4⨯24 + 2⨯25 + 1⨯26 + 27= 7⨯26 + 27 = 9⨯26 (万元）. 5分 (2) 设门票收入为y 元，则y = 3000[a + ( a + 50 ) + ( a + 100 ) + (a +150) + ( a + 200 ) + ( a +250) + ( a +300 ) ] = 3000( 7a +1050 ) . 5分比赛不亏本，则3000[7a + 1050] ≥ 90000⨯26 . 解得 a ≥ 124.3答：要使邀请赛不亏本，第一轮价格至少要定为125元. 4分。