第一节 全等三角形的性质和判定-学而思培优

第一节 全等三角形的性质和判定
一、课标导航
二、核心纲要
1.基本概念
(1)全等形：能够完全重合的两个图形叫全等形．
(2)全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
(3)对应顶点、对应边、对应角：把两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．如下图所示：A 与B A ,/与C B ,/与/
C 是对应顶点；AB 与AC B A ,//与BC C A ,//与//C B 是对应边；A ∠与B A ∠∠,/与C B ∠∠,/与/C ∠是对应角．
2．表示符号
“≌”；如右图所示，.ABC ABC ∆≅∆
注：书写全等三角形时要求对应顶点写在对应位置上．
3．要想正确地表示两个三角形全等，找对应边和对应角是关键，常用的方法有
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．
(3)有公共边的，公共边是对应边．
(4)有公共角的，公共角是对应角．
(5)有对顶角的，对顶角是对应角．
(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小；角 是对应边（或对应角）.
4．全等量角形的性质
(1)全等三角形对应边相等．
(2)全等三角形对应角相等．
(3)全等三角形的周长、面积相等．
(4)全等三角形对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等．（此结论在证明中不能直接用）
5．全等三角形的判定
(1) -般三角形全等判定方法
①三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）；
②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；．
③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）；
④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）．
(2)直角三角形全等判定方法
①特殊方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）；
②一般方法：SAS ，ASA ，AAS.
注：切记“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；判定两个三角形全等必不可少的条件至少有一条边对应相等．
6．判定三角形全等的基本思路（“题目中找，图形中看”）
7．全等三角形的图形有以下几种典型形式
(1)平移全等型
(2)对称全等型
(3)旋转全等型
本节重点讲解：一个概念，一个思路，三类图形，四个性质，五个判定，
三、全能突破
基 础 演 练
1．如图12-1-1所示，将△AOB 绕点0按逆时针方向旋转 45后得到,//OB A ∆若,15 =∠AOB 则AOB ∠
的度数是( )． o A 20. 30.B 35.C 40.D
2．如图12 -1-2所示，给出下列四组条件：
;,,DF AC EF BC DE AB ===①
;,,EF BC E B E
D AB =∠=∠= ② ;,,F C EF BC
E B ∠=∠=∠=∠③
.,,E B DF AC DE AB ∠=∠==④
其中，能使△A BCcn△DEF 的条件共有( )．
A.1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组
3．如图12 -1-3所示，BD AC CB AD CD AB 、,,==相交于点0，图中有( )对全等三角形．
2.A
3.B
4.C
5.D
4．如图12 -1-4所示，△ABC 绕点A 旋转o
180得到△AED ，
(1)则DE 与BC 的位置关系是 ，数量关系是
(2)若,24=∆ABC s 则=∆ADE s
(3)若ADE BC AC ∆==,4,2的周长为偶数，则AE 的长为
5．如图12 -1-5所示，OP OD OB OC OA CD AB ,,,===是BOD ∠的平分线，求证：.COP AOP ∠=∠
6．如图12 -1-6所示，点A 、C 、B 、D 在同一条直线上，.,,//FD AB F A DF BE =∠=∠求证：.FC AE =
7．如图12 -1-7所示，,//ED AB 点F 、点C 在AD 上，,,//DE AB EF BC =求证：.DC AF =
8．如图12 -1-8所示，.,,,AC ED BA AE AB BC AB AE ==⊥⊥求证：.AC ED ⊥
9．如图12 -1-9所示，给出五个等量关系：,BC AD =① ,BD AC =② ,DE CE =③ ,C D ∠=∠④
=∠DAB ⑤.CBA ∠请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．
已知：
求证：
证明：
能 力 提 升
10．如图12 -1-10所示，将Rt△ABC(其中
90,34=∠=∠C B )绕A 点按顺时针方向旋转到11C AB ∆的
位置，使得点1B A C 、、在同一条直线上，那么旋转角最小等于( ) 56.A o B 68. 124.C o D 180.
11．如果△ABC 的三边长分别为3，5，7，△DEF 的三边长分别为,23,3-x ,12-x 若这两个三角形全等，
则x 等于( )．
37.A 3.B 3
73.或C 4.D
12.如图12 -1-11所示，△ABC 是不等边三角形，DE=BC ，以D 、E 为两个顶点画位置不同的三角形，使 所画的三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可画出( )个．
2.A 4.B 6.C 8.D
13.如图12 -1-12所示，△ABE 和△ACD 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边翻折形成的，若,138 =∠BAC 则∠EFC 的度数为
14.如图12 -1-13所示，点A 在DE 上，点F 在AB 上，且,321,3,∠=∠=∠==AB CE AC 则DE 的长 为
15.如图12 -1-14所示，已知AC 与BD 相交于点,,,,1,DEC ADC BE AD DC AE AB AE E ∠=∠==-= 则CE 的长为
16.如图12 -1-15所示，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ，且.,CD FD AC BF ==求证：;AC BF ⊥
17.如图12 -1-16所示，已知,,,,AC AF AB AE AC AF AB AE ==⊥⊥
求证：.)2(;)1(BF EC BF FC ⊥=
18．在△ABC 中，,,90BC AC ACB ==∠ 直线L 经过顶点C ，过A 、B 两点分别作Z 的垂线AE 、BF ，垂
足分别为E 、F ．
(1)如图12-1-17(a)所示，当直线L 不与底边AB 相交时，求证：.BF AE EF +=
(2)当直线L 绕点C 旋转到图12-1-17(b)的位置时，猜想EF 、AE 、BF 之间的关系，并证明．
(3)当直线L 绕点C 旋转到图12-1-17(c)的位置时，猜想EF 、AE 、BF 之间的关系，直接写出结论．
19．(1)如图12 -1-18所示，BD 、CE 是△ABC 的高，点P 在BD 的延长线上，,BP CA =点Q 在CE 上，QC
,AB =探究PA 与AQ 之间的关系；
(2)若把(1)中的△ABC 改为钝角三角形，A AB AC ∠>,是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？ 画出图形并证明你的结论，
中 考 链 接
20.（2012．北京）如图12 -1-19所示，点E 、A 、C 在同一条直线上，.,,//CD AC CE AB CD AB ==
求证：.ED BC =
21．（2012．湖南衡阳）如图12 -1- 20所示，,//,EF BC DC AF =请只补充一个条件，使得△ABC ≌△DEF，
并说明理由．
22．（2011．四川内江）如图12 -1- 21所示，在Rt△ABC 中，AC BAC ,90 =∠,2AB =点D 是AC 的中
点，将一块锐角为o
45的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连接BE 、EC.试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．
巅 峰 突 破
23.如图12 -1- 22所示，在△ABC 中，E 、D 分别是边AB 、AC 上的点，BD 、CE 交于点F ，AF 的延长线交BC 于点H ，若,,21AD AF =∠=∠则图中全等三角形共有( )对．
4.A
5.B
6.C
7.D
24.若两个三角形的两边和其中一边上的高对应相等，则这两个三角形第三边所对的角的关系是
25．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于点F ，且,AC BF =则∠ABC 的度数为。