理论力学课件9

~r r dr ′ vr = dt
~r r dv ar = r dt
在动系中的相对导数
(3.20)
在动系中的相对导数
(3.21)
矢量解法的优点： 与第二章相类似，对于能构成复合运动的机构，如果需要求系统在某一瞬时 某一瞬时的 某一瞬时 运动学量，这时用分析法求解则比较麻烦，如果用点的速度合成定理和加速度 10 合成定理所给出的矢量公式进行求解则很方便。
r r r ′ = r ′(t)
r r r = r (t)
(3.3)
给出了动点的绝对运动方程、相对运动方程以及牵连运动为平面运动时的牵连运动 方程。 根据点的运动学知识，由此完全可求出该点相对于定系或动系的轨迹、速度、加速 度及其在这两个参考系中这些量之间存在的关系。 9
3.4.2 动点的速度和加速度
r r r r r ve = vN = vO′ + ωe × r ′
于是
(3.33) (3.34)
r r r va = ve + vr
速度合成定理
（矢量方程式，在任意瞬时均成立）
速度合成定理： 速度合成定理：
在任一瞬时，动点的绝对速度等于其相对速度与牵连速度的矢量和。 速度合成定理的适用范围：
速度合成定理虽然是在牵连运动为平面运动时推导所得，但当牵连运动为其 12 他形式的刚体运动时，依然成立。
3.4.4 加速度合成定理
加速度合成关系的推导： 加速度合成关系的推导：
~r (3.1) r r （3.34）r r r r r d r′ r r va = ve + vr = aO′ +αe × r ′ +ωe × + ωe × r ′ dt r r r d va d ve d vr r r r r r r r r = + = aO′ +αe × r ′ +ωe × vr +ωe × (ωe × r ′) dt dt dt r r d va 定义牵连加速度 牵连加速度： 定义牵连加速度： aa = d r （3.33） t 当动系作平面运动时，动系上与动 r r d ve d r 点重合点N的绝对加速度，定义为牵 (vO′ +ωe × r ′) = dt dt 连加速度。 r r r r r r r r r r d vO′ dωe r r d r ′ ae = aO′ +αe × r ′ +ωe × (ωe × r ′) = + × r ′ + ωe × dt dt (3.35) r r dt r r r r dr′ d ve r r r = ae +ωe × vr = aO′ +αe × r ′ + ωe × 则 (3.36) dt r ~ r dt
r ~r dA dA r r = + ω × A 变矢量的绝对导数与相对导数的关系式 dt dt
(3.1)
上式表明：
同一变矢量相对不同的参考空间其变化率一般不同，这种差别是由动系 方位变化所引起的。
动系作平移的特殊情况：
当动系作平移时，由于动系无方位改变，其角速度 ω = 0，因此在这一 r 特殊情况下，变矢量 A 的绝对导数与相对导数相等，即
本章介绍复合运动的基本知识。
学习本章的意义： 学习本章的意义：
复合运动是研究刚体复杂运动的重要基础。
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第3 章
§3.1
1. 基本概念
定参考系（定系） 动参考系（动系）
复合运动
相对运动
绝对运动 相对运动 牵连运动
绝对运动
牵连运动
2. 举例说明
直升飞机 车轮运动 车轮上的点的运动 吊车 飞机螺旋桨 偏心凸轮
r
r ~r dA dA = dt dt
(3.2)
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§3.4
点的复合运动的矢量解法
M
r r
O
3.4.1 动点的运动方程
(1) 确定参考点：
O 定系中任一确定点 O′ 动系中任一确定点
r r′
O′
(2) 动点M的变化规律：
绝对运动方程 相对运动方程
r rO′
r r 牵连运动方程 r ′ = r ′ (t ) 点O′ 相对点O 的矢径 O O r r r 在任意时刻t r (t ) = rO′ (t ) + r ′(t )
变矢量的绝对导数与相对导数
为了给出绝对与相对速度、加速度的关系，需要在两个相对运动着的参考 空间中考察同一个变矢量的变化率。 为此，本节引入矢量的绝对导数和相对导数的概念，并研究它们之间的关 系。
r 变矢量 A
其变化依赖于所选取的参考空间。 定义其中一个空间为定系，另一个空间为动系。
~r ∆A
t + ∆t 时刻 r
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r dA ： 绝对导数 dt r 绝对增量 ∆A相应的导数为绝对导数。 ~r dA ： 相对导数 dt r ~ 相对增量 ∆A 相应的导数为相对导数。
推导绝对导数和相对导数之间的关系： 推导绝对导数和相对导数之间的关系：
限于所学知识，仅讨论动系相对定系作平面运动 平面运动情形，对于更复杂的运动 复杂的运动，所得 平面运动 复杂的运动 结论依然正确。
3.4.3 速度合成定理
已知： 动点M
r r 动点M相对定系的绝对矢径为 r = r (t ) r r 动点M相对动系的相对矢径为 r ′ = r ′(t ) r r O′的绝对矢径为 rO′ = rO′ (t ) 动空间参考点 r r r 则 r (t ) = rO′ (t ) + r ′(t ) (3.3)
相对速度的绝对导数并不等于相对加速度。
的产生时由于相对运动和牵连运动同时存在 相对运动和牵连运动同时存在的结果。 相对运动和牵连运动同时存在
在式(3.36)中，由于相对运动的存在 在定系中看到的重合点不是动系中的固 相对运动的存在，在定系中看到的重合点不是动系中的固 相对运动的存在 定不变点，由于重合点的改变而产生了该项附加加速度。 定不变点 在式(3.37)中，由于牵连运动使得相对速度的方向在定系中发生变化 牵连运动使得相对速度的方向在定系中发生变化而产生的 牵连运动使得相对速度的方向在定系中发生变化 附加加速度。
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3. 复合运动
研究对象在不同的参考空间中的运动状态是不同的。这种差别是由于动 系相对于定系有运动，即存在牵连运动所导致 牵连运动所导致的。 牵连运动所导致 如果没有牵连运动，研究对象的绝对运动和相对运动就没有任何差别。 如果物体作相对运动的同时还存在牵连运动，两种运动的结果就是在定系 中所看到的运动。 换言之，当已知研究对象的相对运动及牵连运动，则研究对象的绝对运动 必为某一确定的运动。 这说明研究对象的绝对运动可视为其相对运动和牵连运动的合成运动，通 常将这种合成运动称为复合运动 复合运动。 复合运动
定义科氏加速度： 定义科氏加速度：
法国人科里奥利（G. G. Coriolis 1792~1843）在1835年提出，
r r r aC = 2ωe × vr
(3.38)
加速度合成定理： 加速度合成定理：
r r r r aa = ae + ar + aC
(3.39)
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加速度合成定理的矢量公式，在任意瞬时均成立。
r 绝对速度： 绝对速度 va
动点M相对于定系的速度
r va
r aa
绝对加速度： 绝对加速度 aa
动点M相对于定系的加速度
r
r 相对速度： 相对速度 vr
动点M相对于动系的速度
r dr = dt r dva = dt
绝对导数
(3.18)
绝对导数
(3.19)
r 相对加速度： 相对加速度 ar
动点M相对于动系的加速度
r ~r r ∆A = ∆A + ∆Ae
r r 其中 ∆Ae 是由于动系相对定系发生方位改变，造成 A 的方向改变而产生的 增量。 r 在这一变化过程中，矢量 A 的大小保持时刻t的值不发生变化，因此， r 当 ∆t 足够小，即动系作平面运动的角位移 ∆ϕ足够小时，由附录I.1知
r ~r r r 则 ∆A = ∆A + ∆ϕ × A
对时间t求绝对导数，得
M
r r
O
r r′
O′
r rO′
r r r dr drO′ dr ′ = + dt dt dt r ∆ r dr = va 动点M的绝对速度 其中 r ~r dt 3.18 dA 3.1 dA r r Q = +ω × A r dt dt drO′ r = vO′ 动系参考点 O′相对定系的绝对速度 dt 动系的角速度 r ~r 3.1 dr ′ dr ′ r r 3.20 r r r = + ωe × r ′ = vr +ωe × r ′ 11 （相对矢径的绝对速度） dt dt
r r r ∆Ae = ∆ϕ × A
r ~r r ∆A ∆A ∆ϕ r = + ×A ∆t ∆t ∆t
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r r ~r ∆A ∆A ∆ϕ r = lim lim + lim × A ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t
r ∆ϕ r 动系相对定系在t时 lim = ω 刻的角速度矢量。 ∆t →0 ∆t
第3章
复合运动
9学时
3.1 绝对运动、相对运动、牵连运动 绝对运动、相对运动、 3.2 变矢量的绝对导数与相对导数 3.3 点的复合运动的分析解法（不要求） 点的复合运动的分析解法（不要求） 3.3.1 动点的运动方程 3.3.2 动点的速度和加速度合成的解析表达式 3.4 点的复合运动的矢量解法 3.4.1 速度合成定理 3.4.2 加速度合成定理 3.5 刚体的复合运动（不作为重点内容，简单介绍） 刚体的复合运动（不作为重点内容，简单介绍） 3.5.1 刚体平面运动的角速度合成定理 3.5.2 刚体平面运动可分解为平移和转动 3.5.3 某类刚体的平面运动分解为两个转动 作业 3.6 3.7 3.8 3.9 3.11 3.15 3.18 3.19 3.21 3.22
r r r r r va = vO′ + ωe × r ′ + vr
(3.32)
定义牵连速度： 定义牵连速度：
在动空间中对动点M的绝对运动产生直接影响的是此瞬时动系上与动点相 此瞬时动系上与动点相 重合的点N。 重合的点 r 牵连速度，记作 ve。 定义重合点N相对定系的绝对速度为牵连速度 牵连速度 r 当牵连运动为平面运动时，其角速度为 ωe， 则重合点N的绝对速度为
4. 运动合成与分解的应用
（1）某些工程机构，只有用上述方法才能求出机构中各构件的运动关系； （2）实际问题需要在不同的参考空间研究物体的运动。 这种利用动系和定系来分析运动的方法（或运动的合成与分解），不仅在 工程技术上有广泛应用，而且还是在非惯性参考系中研究动力学问题的基 础。
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§3.2
目的： 目的：
规定：
r 绝对增量 ∆A： r
~r： 相对增量 ∆A r
r 迁移增量 ∆Ae：
变矢量 A 相对定系的增量。 变矢量 A 相对动系的增量。
定 动 系 系
t 时刻
r A(t )
A(t + ∆t ) r A(t ) r A(t )
r ∆A r ∆Ae
r 动系相对于定系发生方位的改变，A的方位改变而产生的增量。
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结论： 结论：
物体（点或刚体）的相对运动与其随同动系的牵连运动合成为物体的绝对 运动，或者说，物体的绝对运动可分解为物体的相对运动和其随同动系的 牵连运动。
（绝对运动） （相对运动） ⇔ + （牵连运动）
合成
分解
注意：
物体运动的合成与分解是在两个有相对运动的不同的参考空间中进行的， 因此，必须明确研究对象、动参考系和定参考系。
加速度合成定理： 加速度合成定理： 任一瞬时动点的绝对加速度等于其相对加速度、牵连加速 度与科氏加速度的矢量和。 ωe 适用于任何形式的牵连运动。 r r vr 的大小和方向： 科氏加速度 aC 的大小和方向：
r (3.38) r r aC = 2ωe × vr
dA 3.1 dA r r = +ω × A dt dt
牵连速度的绝对导数并 不等于牵连加速度。
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r（3.1）~r d vr dvr r r r r r = + ωe × vr = ar +ωe × vr dt dt
(3.37)
r ωe × vr 的产生原因： 的产生原因：
ωe × vr
r r
r
速度分析 加速度分析
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第3章 复合运动
本章主要内容： 本章主要内容：
物体的运动具有相对性。 对于同一物体，若选取的参考空间不同，则其运动状态也就不同。 在前面的章节中，对物体运动的研究都是在同一个参考空间中进行的。 本章将在两个不同的参考空间中讨论同一物体的运动，并给出物体在这两个 参考空间中的运动量之间的数学关系式。 物体相对于甲空间的运动可视为其相对于乙空间的运动和乙空间相对于甲空 间运动的复合运动。