易错笔记专题4 曲线运动 万有引力

易错笔记专题4 曲线运动万有引力
大悟一中王志平
要点笔记
1．运动的合成与分解
⑴合运动的性质和轨迹：由合初速度与合加速度的方向关系以及合加速度大小决定；
⑵渡河问题讨论：垂直渡河，渡河时间最短的条件；
⑶绳端物体速度的分解：将实际速度分解为沿绳伸长或缩短方向和垂直于绳绕滑轮转动的方向；
2．物体做曲线运动的条件．平抛物体的运动规律．特别注意平抛运动是匀变速曲线运动， v且方向总在竖直方向上．
速度的变化量=gt
3．圆周运动
⑴匀速圆周运动的描述：线速度，角速度，周期，向心加速度等；
⑵圆周运动中向心力的特点：方向总指向圆心；只改变速度的方向；
⑶竖直平面内圆周运动的临界问题：分轻绳、环形轨道内侧类，杆、环形管道类和凸形轨道类．
4．万有引力定律，行星的运动．注意天体质量的测定的观测对象：一定是绕该天体运行的其它天体．
5．人造卫星和宇宙飞船，三个宇宙速度及意义，卫星变轨问题．
易错笔记
易错类型一运动性质判断
易错分析运动和力的关系在曲线运动中显得更复杂，如果不能深刻理解“物体是做直线运动还是做曲线运动，取决于所受合外力的方向与该时刻速度的方向关系”这一要点，正确判断物体的运动性质就是一句空话；加速度描述速度变化的快慢，包括速度大小的变化和方向的变化，不能正确理解加速度与速度以及加速度与运动的关系也是出错的重要原因．
【典例1】下列关于运动和力的叙述中，正确的是
A．做曲线运动的物体，其加速度方向一定是变化的
B．物体做圆周运动，所受的合力一定指向圆心
C．物体所受合力方向与运动方向相反，该物体一定做直线运动
D．物体运动的速率在增加，所受合力方向一定与运动方向相同
【正确解答】C物体是否做曲线运动由合外力（或加速度）的方向与该时刻速度的方向是否在一条直线上来决定，“是”则为直线运动，“否”则为曲线运动，与加速度方向是否变化没有关系，加速度的方向变化一定是曲线运动，但曲线运动的加速度方向不一定变化，A错C对；只有做匀速圆周运动的物体所受合外力才指向圆心，B错；只要合力与速度方向成小于90°的角，物体运动速率就会增大，D错．
【易错反思】认为加速度方向变化是做曲线运动的充分必要条件，则会错选A；审题时粗心大意，将“圆周运动”当成“匀速圆周运动”，或者对圆周运动的概念理解不透彻，则会错选B；对加速度概念理解不透彻，加速度与速度变化之间的关系不明确而错选D．
【典例２】（原创）执行救灾任务的飞机水平匀速直线飞行，相隔0.5s先后释放形状和质量完全相同的两箱救灾物资1和2．假设空气阻力与物体速度成正比，这两箱物资在空中下落时，地面上的人可能看到的是
A．1号箱不可能在2号箱的正下方
B ．两箱的水平距离保持不变
C ．两箱的水平距离先增大后不变
D ．两箱的竖直距离一直增大
【正确解答】BC 若沿着或逆着飞机飞行方向看，1号箱在2号箱的正下方且两箱水平距离为零，则A 错B 正确；由于2号箱后释放，释放时2号的水平速度比1号大，两箱水平距离增大，当两箱水平速度减小到零时空气阻力水平值为零，距离不变．同理竖直方向也是如此，C 正确D 错．
【易错反思】受陈题的影响，没有审清“地面上的人可能看到的”可以有不同的观看角度这一隐含条件而错选A 和漏选B ；认为B 与C 项矛盾而只选其一也是漏选原因；对运动的独立性理解不够，因此对“假设空气阻力与物体速度成正比”注意到水平方向而遗漏了竖直方向，或者相反，因此错选D 项．
易错类型二 运动的合成与分解
易错分析
⑴对运动的独立性理解不够，不能就单方向运用运动和力的关系判断物体的运动性质； ⑵对渡河问题、绳端速度的分解问题不理解分解方向的意义，将运动效果与力的作用效果混淆，采用了力的分解方法；
⑶不能灵活运用正交分解法和三角形法则分析和解答临界问题和极值问题．
【典例３】如图2-4-1所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条
件下，当小车匀速向右运动时，物体A 的受力情况是
A ．绳的拉力大于A 的重力
B ．绳的拉力等于A 的重力
C ．绳的拉力小于A 的重力
D ．拉力先大于重力，后变为小于重力
【正确解答】A 设某时刻汽车拉物体的绳子与水平方向成θ角，则汽车的速度分解如图2-4-2所示，物体A 的速度等于2v ，即2cos =θv v ，汽
车向右运动时θ角减小，cos θ增大，物体A 的速度2v 增大，故物体加
速上升，处于超重状态，绳子的拉力大于A 的重力，A 选项正确．
【易错反思】认为汽车匀速运动则物体A 也匀速运动而错选B ；由于汽
车速度的分解方向错误，如图2-4-3所示，得物体A 的速度2cos =/θ
v v 随θ的减小而减小，减速运动为失重而错选C ． 【典例４】（原创）民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔弛的马背上，弯弓放箭射向侧向的固定目标．假设运动员骑马奔弛的速度为v 1，运动员静止时射出的弓箭速度为v 2，直跑道离固定目标的最近距离为d ．要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则
A ．运动员放箭处离目标的距离为1d v v
B ．运动员放箭处离目标的距离为22122+d v v v
C ．箭射到靶的最短时间为2d v
D ．箭射到靶的最短时间为2221-v v
图2-4-1 A v 图2-4-2 θ v 1
v v 2 图2-4-3 θ v 1 v
v 图2-4-4
【正确解答】BC 运动员射出的箭实际对地速度是马奔驰的速度v 1与运动员静止时射出的箭的速度v 2的矢量和，如图2-4-5(a )所示，因此箭的运动时间2sin d t=θv ，要想箭在空中飞行时间最短，则sin 1=θ，即射出的箭的速度v 2与奔跑方
向的夹角90=θ︒，箭射到靶的最短时间2d t=v ，C 对D 错；如图2-4-5(b )，则有运动员放箭处离目标
的距离为()22212
212d +s=d +t =v v v v ，A 错B 对． 【易错反思】考查的合成与分解，部分考生会因对“运动员放箭处离目标的距离”的理解错误而错选A ；对最短时间的判断和计算错误而错选D ．
易错类型三 平抛物体的运动
易错分析
⑴没有熟练掌握平抛运动的基本规律，对分解计算的方法不理解；
⑵对平抛运动的性质理解不透彻，由于分解计算的强化，加之审题不仔细导致对位移、速度等的计算仍按水平位移或竖直速度计算的错误；
⑶不能灵活运用如初速度为零的匀加速运动、速度的变化量=gt ∆v 且方向总是竖直向下等特殊规律解答问题；
【典例３】（原创）小球a 、b 以相同初速度0v 水平抛出，落地点到抛出点的水平距离分别为a b s s 、，且2a b s =s ，以a b h h 、分别表示两球抛出点到地面的高度，不计空气阻力，则
A ．:1:3a b h h =
B ．:4:1a b h h =
C ．:3:1a b h h =
D ．:2:1a b h h =
【正确解答】B 由于两球抛出时初速度相等，且2a b s =s ，因此下落时间为2a b t =t ，由
212
h=gt 可得:4:1a b h h =，B 项正确． 【易错反思】在得出下落时间为2a b t =t 的结论后，直接由初速度为零的匀加速运动在连续相等时间内位移之比为1：3，错选A 或C ．
【典例４】做平抛运动的物体，在落地前的最后一秒内，其速度方向由与水平方向成37°变为与竖直方向成45°，求物体抛出时的初速度和下落的高度．(g =10m/s 2)
【正确解答】平抛运动的加速度恒定且为重力加速度g ，因此在任意时间内速度的改变量υ=gt ∆，其方向总是竖直向下的，如图2-4-6所示．由图可知：
01cos37=︒v v ① 02cos 45=︒v v ②
21sin 45sin 37=gt=υ-υ∆︒︒v ③
联立解得：040m/s =v ④ 2040m/s y ==v v ⑤
图2-4-5 υ1 △υ υ2 45° 37° 图2-4-6
22240m 80m 2210y h===g ⨯v ⑥ 【易错反思】不能正确理解“落地前的最后一秒内”的确切意义，画出如图所示的速度变化情景是审题的主要障碍，不能抓住水平速度不变的特点列出①②两式，不能灵活运用=gt ∆v 列出③式是计算中的主要出错点．
易错类型四 圆周运动和综合问题
易错分析
⑴对向心力的概念理解不透彻，不能灵活分析向心力产生的效果对物体运动状态的影响； ⑵对竖直平面内圆周运动的三种临界条件的掌握和运用不准确，不熟练；
⑶综合试题的审题
【典例３】一小物块由某高处自由落下,从内壁粗糙的半球形碗边
的A 点滑入碗内,，由于摩擦力的作用，在下滑过程中小物块的速
率恰好保持不变，如图2-4-7所示．则在下滑过程中：（ ）
A ．小物块所受合外力为零
B ．小物块所受合外力越来越大
C ．小物块所受合外力大小不变，方向时刻改变
D ．小物块所受摩擦力大小不变
【正确解答】C 匀速圆周运动的性质是变加速曲线运动，加速度大小不变，方向时刻改变，速度时刻也在变，故合力不可能为
零，A 错；但由于物块速率不变做匀速圆周运动，所受合力大小不变，只是方向时刻改变，B 错C 对；对小物块进行受力分析得，同时受重力G ，曲面的支持力N ，摩擦力f 三个作用，f 始终垂直于N ，速度大小不变，可知摩擦力f 始终等于重力G 在切向的分力，通过受力分析可知，在物体下落到碗底之前所受摩擦力一直变小，D 错．
【易错反思】将匀速圆周运动当作平衡状态而错选A ；用光滑圆轨道内小球的运动小球在最低点时向心力最大的结论直接选B ；不能对物块进行全面的受力分析和力的变化分析，不能换位思考“重力沿切向的分力总等于滑动摩擦力”，认为物块做匀速圆周运动时向心力大小恒定，并将此向心力当成轨道支持力N ，由摩擦定律不得f=N μ，因而判断摩擦力大小不变而错选D ．
【典例４】（原创）飞机在高度为500m 的低空水平匀速飞行，在距目标水平距离2000m 处投弹，随即在水平面内以原速率做匀速圆周运动，准备返回，飞行员检测到飞机速度方向改变60°角时，看到炸弹恰好着地爆炸．(1)求飞机速度v ；(2)匀速圆周运动的加速度大小?
【正确解答】（1）炸弹飞行时间为t ，则212h=
gt , 22500s 10s 10h t===g ⨯ ① 炸弹做平抛运动的初速度 02000m/s 200m/s 10
x
===t v ② 即飞机的速度0200m/s =v =v ③
(2)匀速圆周运动的轨道半径 326t
R=T=t R=ππv v v ， ④
A v
图2-4-7
向心加速度 222m/s 20.9m/s 3a===R t
πv v ⑤ 【易错反思】不能将炸弹做平抛运动的时间与飞机做圆周运动的时间联系起来，认为飞机做圆周运动的半径未知，不能求出飞机的向心加速度是错误之一；求飞机圆周运动的周期时没
有将60°角转换成
3
π计算，不能正确列出④式，即没有统一单位而出错，典型的错误算式为602260=T=t t T ππ，得． 易错类型五 万有引力定律、人造卫星和宇宙飞船
易错分析
⑴对天体质量和密度的测量，不明确观测对象：绕被测天体运行的其它天体；不清楚最佳观测量：距离r 和周期T ；
⑵对三个宇宙速度及意义理解不透彻，不能区别“宇宙速度”与卫星的“运行速度”； ⑶对22Mm Mm G =ma G =mg r R
，这两个基本公式及其变式，特别是对向心加速度a 的种种变式没有完全掌握，理解不透彻，运用不熟练；
⑷不能正确建立变轨问题中的能量关系、运动和力的关系等，缺乏将能量关系同运动和力的关系综合起来进行推理判断的能力．
【典例３】（原创）“嫦娥一号”在被月球俘获后也进行了几次变轨操作，最后一次变轨是从周期为3.5h 的椭圆轨道转移到周期为127min 的极月圆轨道，并于2007年12月4日传回了第一幅月球背面的照片．关于“嫦娥一号”的下列说法正确的是
A ．拍摄月球背面的照片时间必须在农历每月15日左右，因为此时月球最圆最亮
B ．卫星从椭圆轨道转移到圆轨道，必须在椭圆轨道的近月点启动发动机减速
C ．卫星在圆轨道上的速度总小于在椭圆轨道上的速度
D ．卫星在圆轨道上的速度大于在椭圆轨道上经过近月点时的速度
【正确解答】B 当人们在农历15日看到月球最圆最亮时，其背面是月球的晚上，不便拍照，A 错；卫星周期减小，则轨道半径减小，须在近月点变轨，由于在椭圆轨道上经过近月点时的速度大于在圆轨道上的运行速度，故须在近月点减速，B 对D 错；卫星在椭圆轨道上运行时，经远月点的速度小于在圆轨道上的速度，在近月点的速度则大于在圆轨道上的速度，C 错．
【易错反思】不清楚“月球背面”被太阳照亮的规律，认为地球上人看到的最圆最亮就是月球“最大”的时刻，也是最佳拍照的时刻而错选A ；对卫星在椭圆轨道上运行时的能量变体化与速度变化的关系不明确，或者对变轨原理不明确而错选CD ．
【典例４】某卫星在赤道上空飞行，轨道平面与赤道平面重合，轨道半径为r ，飞行方向与地球的自转方向相同．设地球的自转角速度为0ω，地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，在某时刻该卫星通过赤道上某建筑物的正上方，则到它下次通过该建筑物正上方所需的时间可能为（ ）
A ．)(2032ωπ
-r gR B ．)1(2023ωπ+gR r C ．232gR r π D 203
()gR -r ω 【正确解答】AD 卫星所受地球万有引力等于其向心力，因此有
22Mm G =m r r ω，又2Mm G =mg R ，解得23R g =r
ω0>ωω，则当P ω
0ω φ
地球转过ϕ角时卫星转过()2+ϕπ角，如图2-4-8所示，且02=t +=t ϕωϕπω，，解得A 项正确；若0<ωω，则解得D 正确；若0=ωω，则卫星时刻在该建筑物上方．
【易错反思】选B 是计算错误；若把地球当作是静止不动的，则会错选C ；一般认为卫星的运行周期小于或等于地球自转周期，但实际上是可以大于地球自转周期的，因此容易漏选D 项．
【强化闯关】
1．（L1强化）（原创）下列运动能够发生的是
A ．物体做曲线运动而速度可能不变
B ．物体运动的速率不变面可能是做直线运动
C ．物体不受外力而做曲线运动
D ．物体所受合外力恒定而没有做直线运动
2．（L2强化）一艘轮船到水流速为2m/s 的江中测试船速，设船速大小为一定值，在江中选两个浮标A ，B 之间为航线，AB 间的距离s =1200m ，水流速度方向跟AB 连线的夹角θ=60°，如图所示，测得船沿着AB 连线航行一个来回用时为400s ，求船速的大小．
3．（L3强化）（原创）小球以初速度0v 水平抛出，用t v 表示小球某时刻的速度，∆v 表示小球速度的改变量，s 表示小球的位移的，k E 表示小球某时刻的动能，不计空气阻力，则下列各图的关系正确的是
4．（L4强化）如图2-4-10所示，质量为M 的物体内有光滑圆形轨道，现有一质量为m 的小滑块沿该圆形轨道在竖直平面内做圆周运动．A 、C 点为圆周的最高点和最低点，B 、D 点与圆心O 在同一水平线上．物体对地面的压力为N ，地面对物体的摩
擦力为f ，小滑块运动时，物体在地面上静止不动．则下列说法正确的
是
A ．小滑块在A 点时，N ＞Mg ，f 方向向左
B ．小滑块在B 点时，N =Mg ，f 方向向右
C ．小滑块在C 点时，N > (M ＋m ）g ，f 为零
D ．小滑块在D 点时，N = (M ＋m ）g ，f 方向向左
5．（L5强化）（原创）月球绕地球公转的周期与月球自转周期相同，约1个月时间，因此地球上的人永远看不见月球的背面，然而“嫦娥一号”却帮我们“看”到了．那么，绕月卫星要想在日照条件下拍下月球表面完整的系列照片，则
A ．需要大约一天时间
B ．需要大约一个月时间
C ．需要大约一年时间
D ．卫星轨道必须与月球赤道同平面
6．（L5强化）已知地球半径为R ，—只静止在赤道上空的热气球(不计气球离地高度)绕地心运动的角速度为ω0，在距地面h 高处圆形轨道上有一颗人造地球卫星，设地球质量为M ，热气球的质量为m ，人造地球卫星的质量为m 1，根据上述条件，有一位同学列出了以下两条式子： t t v A O
t ∆v B O
t s C O
t
k
E D O 图2-4-9 图2-4-10
对热气球有：202Mm G =m R R ω 对人造卫星有：()
()2112Mm G =m R+h R+h ω 进而求出了人造地球卫星绕地球运行的角速度ω．你认为该同学的解法是否正确？若认为正确，请求出结果．若认为错误，请说明理由，并补充一个条件后，再求出ω．
【参考答案】
强化闯关参考答案：
1．BD 物体做曲线运动时，速度方向一定改变，即速度一定改变，A 错；物体运动的速率不变，若运动方向也不变，则是做直线运动，B 正确；物体不受外力则加速度为零，速度不变，不可能做曲线运动，C 项错；物体所受合外力恒定，若合外力方向与速度方向不在一条直线上，则物体做曲线运动，D 对．
2．设水流速度为v 1，船速为v 2，由A 向B 运动时合速度为v h 1，由B 返回A 时合速度为v h 2，则
1222h h s s =s/+s/t v v ① 211cos cos 60h +=θ︒v v v ② 212cos cos 60h -=θ︒v v v ③ 21sin sin 60=θ︒v v ④
联立①②③得2cos 3=θv ⑤
④/
⑤得tan θ ⑥
2 6.4m/s =v ⑦ 3．B
平抛运动的速度
t v A 错；速度的改变量等于加速度与时间
的乘积，即=gt ∆v ，B 项正确；
位移
，C 错；2201122k t E =m =m +mgy v v ()2201122=m +m gt v ，D 错． 4．BC 小物块m 在A 点有向下的加速度 失重，在C 点有向上的加速度为超重，A 错C 对；小物块在B 点时轨道支持力为向心力向右，因此地面摩擦力向右，D 点地面摩擦力向左，小物块在B 、D 两点对物体只有水平压力，B 对D 错．
5．B 阳光将月球表面全部照亮一遍所需时间就是月球上的“一天”，等于月球自转周期，因此要在日照条件下完整地拍下月球表面的系列照片，至少需要月球上的“一天”即地球上的一个月的时间，AC 错B 对；若卫星轨道与赤道同平面，则月球的两极有“看”不到的地方，要完成为一任务，卫星必须要经过高纬度的上空，D 错．
6．第一个式子（对热气球）不正确．
因为热气球不同于人造卫星，热气球静止在空中是因为浮力与重力平衡，它绕地心运动的角
1 图2-4-11
速度应等于地球自转角速度．
解法参考如下：
（1）若补充地球表面的重力加速度g 为已知，可以认为热气球受到的万有引力近似等于其重力，则有2Mm G mg R
==
与第二个等式联列可得：ω=（2）若补充同步卫星的离地高度H 为已知,有：202()()Mm G m R H R H ω''=
=++与第二个等式联立可得：3
20()R H R h
ωω+=+ （3）若补充第一宇宙速度1v 为已知：有212Mm G m R R
''=v 与第二个等式联立可得：
ω=v 此外若利用近地卫星运行的角速度也可求出ω．。