齐次线性方程组有基础解系的反问题

第 16 卷第 4 期 2000 年 8 月
工 科 数 学
JOURN AL OF MAT HEM AT ICS F OR T ECHNOL OGY
Vol. 16, № . 4 Aug . 2000
齐次线性方程组有基础解系的反问题
崔丽鸿, 王有安
( 郑州粮食学院 , 郑州 450052) [ 摘 要 ] 本文给出了齐次线性方程组存在基础解系的 逆定理及其 证明 , 同时也给出 了由线性 无关向量 组构造齐次线性方程组的一般方法步骤 . [ 关键词 ] 齐次线性方程组 ; 基础解系 ; 解空间 [ 中图分类号 ] O 151. 2 [ 文献标识码 ] C [ 文章编 号 ] 1007-4120( 2000) 04-011503
基础解系, 求齐次线性方程组. 2 1 0 0 1 0 0 1 - 5 0 1 0 0 0 , 3
A=
2 3
=
作齐次线性方程组 Ax = 0 . 并求出它的一个基础解系为
1
′ = ( - 5, 10, - 1, 1, 0) , 2′ = ( - 3, 6, 0, 0, 1) . - 5x 1 + 10x 2- x 3+ x 4= 0, - 3x 1 + 6x 2 + x 5= 0.
1
令 B= 作齐次方程组 Bx = 0 , 即 x 1 - x 3 - x 4 = 0, x 2+ x 3- x 4= 0 即为所求. 例 2 已知 解 令
1 1
0 1
- 1 1
- 1 - 1
,
= ( 2, 1, 0, 0, 0) ,
2
= ( 0, 0, 1, 1, 0) ,
3
= ( 1, 0, - 5, 0, 3) 是一齐次线性方程组的一个
1 1 1 n s
为列作
,
2
2
, …,
s
) Q=
Is , O
,
, … , s) =
Is - 1 Q . O
O I n- s A(
,
2
, …,
s
)=
O
O
O I n- s
P(
1
,
2
, …,
s
)=
O
O
O I n- s
Is - 1 Q = O, O
[ 收稿日期 ] 1999-1018
116 即 所以
1 引 言
一般地, 工科用线性代数教材中均有如下定理: 定理 设齐次线性方程组 Ax = 0 ( 其中 A 是 m ×n 矩阵 , x 是 n 维列向量 ) , 若 r ( A) = r < n , 则方程 组必有基础解系, 且基础解系所含向量个数为 n- r . 其证明过程教材中均有详述 . 由定理的证明过程 , 工科学生几乎都能很熟练地求出所给方程的基础 解系. 但对于相反的问题, 即定理的逆是否成立及如何由基础解系构造方程组感到无从下手. 各教材中 也没有较为详细的描述 . 本文给出了上述定理的逆定理及其证明过程, 同时也给出了构造方程组的具体 方法.
An Inverse Theorem about Linear Homogeneous Equation Systems Existing Basic Set of Solutions
CUI L i-hong , W A N G Y ou-an
( Zheng zho u G ra in Co lleg e, Zhengzho u 450052) Abstract: In this paper , a inv erse theor em abo ut linear ho mog eneous equat ion systems exist ing basic set of solut ions is g iven and pr ov ed. T hen, the usual w ay t o constr uct linear homo geneous equation systems w ith basic set o f solut ions is g iven . Key words : linea r hom og eneo us equa tio n sy st ems ; basic set of solutio ns ; so lut ion space
[ 1] 钱吉林 , 陈良植 . 高等代数方法导论 [ M ] . 武汉 : 华中师范大学出版社 , 1990. 9. [ 2] 张禾瑞 , 郝炳新 . 高等代数 [ M ] . 北京 : 人民教育出版社 , 1979. 2. [ 3] 袁荫棠 , 刘书田等 . 线性代数解题思路和方法 [ M ] . 北京 : 世界图书出版社 , 1998. 2. [ 4] 赵树源 . 线性代数 [ M ] . 北京 : 中国人民大学出版社 , 1988.
1 2 1
,
2
, …,
s
, 则 W= L (
1
,
2
, …,
s
).令
A=
, r ( A) = s .
s
作齐次方程组 Ax = 0 , 它有一个基础解系为
i j
1
, …,
பைடு நூலகம்
n- s
,则 ( 1)
= 0 ( i= 1, 2, …, s ; j = 1, 2, …, n - s ) .
1
令 ′ B=
n- s
2 定理及其证明
设 Fn 是数域 F 上全体 n 维向量构成的线性空间 . 齐次线性方程组 Ax = 0
n
(* )
的每一个解都可看作是 F 的一个向量 , 称为该方程组的一个解向量 . 引理 齐次方程组 ( * ) 的所有解向量构成 Fn 的一个子空间 ( 称此子空间为齐次线性方程组的解 空间) . 定理 F 的任意一个 s 维子空间都是某一含 n 个未知量的齐次线性方程组的解空间. 证法一 设 W= L ( 1, 2, … , s) 为 Fn 的任一子空间( 0≤s ≤ n) 且 dim W= s , 以 1 , 2, …, 一个矩阵 B, 即 B= ( 1 , 2, …, s ) , 则存在可逆矩阵 P 、 Q, 使 P( P( 令 A= O O P , 则 r ( A) = n - s ,
工 科 数 学 第 16 卷 ( A 1, A 2 , … , A s ) = 0.
A i = 0, i = 1, 2, …, s. 因此每一 i ( i= 1, 2, … , s ) 均是齐次线性方程组 Ax = 0 的解向量 , 由 r ( A) = n- s , 而知 Ax = 0 的解空 间的维数为 s . 故 W 可作为 Ax = 0 的解空间. 证法二 取 Fn 的任一子空间 W 的一组基
′
作齐次方程组 Bx = 0 , 由( 1) 式知 , Bx= 0 的基础解系为 1 , …, s . 注 此定理即为引言中所述定理的逆定理 , 由证法二可看出由基础解系构造方程组的方法步骤. = ( 2, 0, 1, 1) , 它 们 生成 的 子 空间 为 W = L ( 1 , 2, 3 ) , 试构造一个齐次线性方程组, 使它的解空间是 W.
于是所求线性方程组为
说明: 由于所求线性方程组中各方程的系数是另一线性方程组的基础解系 , 因基础解系不唯一, 所
第 4 期 崔丽鸿等 : 齐次线性方程组有基础解系的反问题
117
以确定的线性方程组也不唯一( 但都是同解的齐次线性方程组 ) . 由于不同基础解系彼此等价, 可知同解 齐次线性方程组中各方程的系数所构成的向量组彼此等价. [ 参 考 文 献]
1
例 1 设向 量 解 由于 { ,
= ( 1, - 1, 1, 0) ,
2
= ( 1, 1, 0, 1) , , .令 1 1
3
1
2
,
3
} 的极大无关组为 A=
1 1 2
2
=
- 1 1 1 0
0 1
.
作齐次线性方程组 Ax = 0 . 并求出它的一个基础解系为
1
′ = ( 1, 0, - 1, - 1) , 2 ′ = ( 0, 1, 1, - 1) . ′ 1 = 2′ 0