平方差公式 (2)
初中数学 什么是平方差公式
初中数学什么是平方差公式
平方差公式是初中数学中一个重要的公式，用于计算两个数的平方差。
它的一般形式可以表示为：
(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
其中，a和b是任意实数。
平方差公式的推导可以通过展开左边的乘积来得到。
具体步骤如下：
1. 将(a + b)(a - b)展开：
(a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b)
= a^2 - ab + ab - b^2
= a^2 - b^2
在这个过程中，我们可以看到中间的两项-ab和ab相互抵消，最终得到了平方差公式的形式。
平方差公式的应用非常广泛，可以帮助我们简化复杂的计算，解决各种数学问题。
一些常见的应用包括：
1. 因式分解：
平方差公式可以用于因式分解，特别是当我们需要将一个差的平方进行因式分解时，可以直接应用平方差公式得到因式分解形式。
2. 简化计算：
平方差公式可以帮助我们简化各种数学计算。
例如，当需要计算一个数的平方与另一个数的平方之差时，可以直接应用平方差公式，避免繁琐的计算步骤。
3. 解方程：
平方差公式可以用于解一些特殊的方程。
例如，当我们需要解一个二次方程时，可以通过平方差公式将其转化为两个一次方程，从而求得方程的解。
总之，平方差公式是初中数学中一个重要的工具，可以帮助我们简化计算，解决各种数学问题。
通过掌握平方差公式，我们可以更好地理解和运用数学知识。
平方差公式教案 (2)
平方差公式一、教学目的和要求1. 使学生能运用多项式乘法法则导出平方差公式，培养学生分析问题的能力和罗辑思维的能力。
2. 要求学生牢固地掌握平方差公式，并能熟练地掌握和应用公式进行计算。
二、教学重点和难点重点：平方差公式的应用。
难点：运用公式过程中出现的系数的差错和符号的变换。
三、教学过程(一)复习、引入提问：1. 多项式乘法法则是什么？2. 分别用代数式表示a与b的和、差、平方差。
（a＋b，a－b，）3. 计算(1)(3＋a)(3－a) (2)(2x＋y)(2x－y)(3)(2a－1)(2a＋1) (4)(3a＋2b)(3a－2b)(二)新课观察以上各式左边的特点与计算结果有什么关系？可以得到乘法公式：，由于公式右边是两个数的平方差的形式，我们称它为平方差公式。
因语言叙述出来，即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
启发学生进一步仔细分析这个公式的结构特征：1. 公式的左边是两个二项式的乘积，在这两个二项式中，有一项完全相同，另一项仅相差一个符号，右边是这两个数的平方差。
2. 对平方差公式的认识与应用。
(1)公式中的a，b可以表示数（正数或负数）也可以表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可用此公式进行计算。
(2)公式中的是不可颠倒的，注意是相同项的平方减去相反项的平方，还要注意字母的系数和指数。
例1 计算(1)(2x＋3y)(2x－3y)(2)(－x＋a)(－x－a)(3)(4)(－4a－1)(4a－1) 解：(1)(2)(3)(4)或例2 运用平方差公式计算(1) 102×98(2)解：(1)(2)(三)巩固练习1. 判断对错，如果有错，如何改正？2. 运用平方差公式计算(1) (x＋a)(x－a) (2) (a＋3b)(a－3b)(3) (3＋2a)(－3＋2a) (4)(5) (4x－5y)(4x＋5y) (6)(7) 103×97 (8)巩固练习答案：1. (1)错，应是(2)错，应是(3)错，应是(4)错，应是(5)错，应是(6)对(7)错，应是(8)对2.(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) 9991 (8)(四)小结1. 记住平方差公式的左边和右边。
人教版平方差公式 (2)
=4 x2－1
运算出结果后，你又发现什么规律？
等号的左边：两个数的和与差的积， 等号的右边：是这两个数的平方差.
归纳
(a+b)(a－ b)= a2－ ab+ab－ b2= a2－ b2 .
平方差公式:
(a+b)(a－ b)= a2－ b2.
其中a,b表示任意数，也可以表示任意的个数的平方差.
位置变化 符号变化 系数变化 指数变化 无中生有
2.填空：使等式两边满足平方差公式.
(1＋x)( 1－x)＝1－ x2 (-3＋a)(-3－ a )＝ 9－a2 (2b＋a)(a - 2b )＝a2 –4b2 (0.3x－2)( -2-0.3x )＝4－0.09 x2
(4 - 3x)( -4 －3x)＝ 9x2－ 16
例2 计算： ⑴ 102 ×98; ⑵ (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);
⑴ 102 ×98 = (100+2) (100-2) = 1002-22 = 10000-4 = 9996
⑵ (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
= y2 - 22 - (y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5 = -4y+1
回忆：多项式与多项式相乘的法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘 另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
观察下列算式，你能发现什么规律？
(1) (x+1)(x－1)；
x2 1
(3) (3－x)(3+x) ；
平方差公式的规律
平方差公式的规律
平方差公式的规律：
平方差公式：a²-b²=（a+b）（a-b）。
平方差公式（formula for the difference of square）是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差。
公式中字母的不仅可代表具体的数字、字母、单项式或多项式等代数式。
在三角函数公式中，有一组公式被称为三角平方差公式。
由于酷似平方差公式而得名，主要用于解三角形。
定义：
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
文字表达式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
此即平方差公式。
公式特征：左边为两个数的和乘以这两个数的差，即左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项(a)完全相同，另一项(b与-b)互为相反数；右边为这两个数的平方差即右边是完全相同的项的平方减去符号相反项的平方。
字母的含义：公式中字母的不仅可代表具体的数字、字母、单项式或多项式等代数式。
平方差公式(2)
( a＋b)( a －b) ＝ a － b 平方差公式
2
2
平方差公式来源于多项式的乘法，又可以用于特殊的两 个二项式相乘。
例: 利用平方差公式计算：
(5x+y)(5x−y)
解: (5x+y)(5x−y)= (5x ) 2− y2= 25x2
2 y −
( a+ b) (a－b)＝ a2－b2
注意 当“第一积时, 要用括号把这个数整个括起来， 最后的结果要化简。
第 1题
第 4题 第 7题
第 2题
第 5题 第 8题
思考题
第 3题
第 6题 第 9题
(1) (3a +2b)(3a−2b)
2 2 9a －4b
(8) (5ab+1)(5ab-1)
2 2 25a b －1
(6)
1 1 1 1 a b a b 2 3 2 3
原来
5米
现在
(X+5)米
x米
2 x
5米
(X-5) 米
(x+5)(x-5)
相等吗？
x+5
x
x-5
x 5 5 5
5
( x 5)( x 5) ＝ x
2
5
2
做一做、议一议 下面你动手计算试试看，思考
1. 以下题目形式上有哪些相同点?
2.它们的运算结果都有怎样的相同的特征?
（1） ( x （2）
(× ) a2-b2
( 2 ) (2x+3)(2x-3)= 2x2-9
( 3 ) (3x-1)(-3x-1)= 9x2-1 ( 4 ) (2x+3)(3x-3)= 6x2-9
平方差公式(二)
2
B
2
a b (a b)(a b)
2 2
C (a 2b)(a b) a
2
ab 2b
二、填空题 2 )(a 1) 1 a 1． ( -a-1
2． (m n)(n-m ) n m
2
2
3．
(a b 1)(a b 1) ( a+b) (
8a 1
2
4a C．
2
1
D． 16a
1
• 3.如图14-3-1(1)，在边长为a的正方形中挖 掉一个边长为b的小正方形(a>b)，把余下的 部分剪拼成一个矩形(如图14-3-1(2))，通过 计算两个图形阴影部分的面积，验证了一 个等式，则这个等式是( B )
A (a b) a 2ab b
2 4 8 16
(2 1)(2 1)(2 2 1)(2 4 1)(28 1)(216 1) 1
(2 1)(2 1)(2 1)(2 1)(2 1) 1
2 2 4 8 16
2
2
32
11
32
当堂训练
一、选择题 1．下列可以用平方差公式计算的是( B ) A．(2a－3b)(－2a＋3b) B．(－4b－3a)(－3a＋4b) C．(a－b)(b－a) D．(a－b－c)(－a＋b＋c) 2．(－4a－1)(4a－1)的结果等于( D) 2 2 A． B ． 16a 1
平方差公式(二)
学习目标
• 1.熟练运用平方差公式进行 计算. • 2.进一步理解平方差公式意 义,掌握平方差公式的结构特 征.
• • • •
1.叙述平方差公式,并用式子表示 2.利用平方差公式计算: (1) (-x+3y)(-x-3y) (2) (y-z)(y+z) (3) 102X98 (4)15.02X14.98
平方差公式
[(x+y)+(m+n)][(x+y哪些能用平方差公式计算？ 怎样用？
1) (a-b+c)(a-b-c) 2) (a+2b-3)(a-2b+3) 3) (2x+y-z+5)(2x-y+z+5) 4) (a-b+c-d)(-a-b-c-d)
2.(a+b+c)(a+b-c),是否可用平方差公式计 算？怎样应用公式计算？
解： (a+b+c) (a+b-c) = [(a+b)+c] [(a+b)-c] = (a+b)2 - c2 = (a+b) (a+b) – c2 = (a2+ab+ab+b2) – c2 = (a2+2ab+b2) – c2 = a2+2ab+b2 – c2
乘法公式：
(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab 1.当a=-b时
(a+b)(a-b) =a2+[b+(-b)]-b2 =a2 -b2
——平方差公式
平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2
语言描述: 两个数的和与这两个数的差的积 等于这两个数的平方差
例
; 苹果售后维修点 / 苹果售后维修点 ；
4.下列各式哪些能用平方差公式计算？ 怎样用？
1) (a-b+c)(a-b-c)
1.下列多项式相乘，哪些可用平方差 公式？怎样用公式计算？ 1) (a+b)(-b+a) 2) (ab+1)(-ab+1) =(a+b)(a-b) =(1+ab)(1-ab)
平方差公式 (2)
回顾 & 思考 ☞ 回顾与思考
多项式的乘法
(a+b)(p+q) = ap+aq+bp+bq
如果 (a+b)(p+q)中的a、b 、p 、q再有某种 特殊关系， 又将得到什么特殊结果呢? 这就是从本课起要学习的内容．
做一做
平方差 公式
探索规律: (x+3)(x−3) ； 2−92;; =x −3 (1+2a)(1−2a) ； 2−(2a)2 ; =1−4a2 ; =1 (x+4y)(x−4y) ； 22−16y2 2; ; =x −(4y) =x (y+5z)(y−5z) ； 22−(5z)2 ; =y −25z 2 . =y
(2) (a-b+c)(-a+b-c)=b2-(a+c)2×
(3) (a-b+c)(a-b-c)=a2-(b-c)2
(4) (a+b-c)(a-b+c)=(b-c)2-a2× A.1 个 B(1) (x+y-z)(x+z-y) (2) (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)
(7) (-4k3+3y2)(-4k3-3y2) 是
3.请你判断下列计算对不对？为什么？
(1) (x2+2)(x2-2)=x4-2 (2)(4x-6)(4x+6)=4x2-36 (3)
x4-4
(× )
16x2-36 ( × ) 2x2-3x-9 ( × )
(2x+3)(x-3)=2x2-9
(4) (5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1
(√ )
(5) (mn-1)(mn+1)=mn2-1 m2n2-1 ( × )
平方差公式
平方差公式首先，让我们来看一下平方差公式的表达式。
给定两个数a和b，平方差公式可以表示为：(a+b)*(a-b)=a^2-b^2这个公式的含义是，两个数的平方和等于它们的和与差的乘积。
具体来说，左边的(a+b)*(a-b)表示两个括号内的内容相乘，而右边的a^2-b^2则表示两个数的平方差。
为了更加直观地理解平方差公式，我们可以用一个例子来说明。
假设a=5，b=3、根据平方差公式，我们可以计算：(5+3)*(5-3)=8*2=16另一方面，我们可以直接计算a和b的平方差：5^2-3^2=25-9=16结果是相同的，这验证了平方差公式的准确性。
1.求两个数的平方和：平方差公式可以帮助我们计算两个数的平方和，即将公式变形为：(a+b)=(a^2+b^2)/(a-b)通过这个公式，我们可以将两个数的平方和转化为它们的差和商的形式，从而简化计算过程。
2. 分解二次多项式：平方差公式在分解二次多项式中也经常被使用。
对于一个二次多项式ax^2 + bx + c，如果我们找到两个数p和q，使得它们的和等于b，而积等于ac，那么我们可以使用平方差公式来分解这个二次多项式。
具体来说，我们可以将二次多项式分解为(x + p)(x + q)的形式。
3.解方程：平方差公式也可以帮助我们解决一些方程。
例如，当我们需要解决形如x^2-k=0的方程时，可以利用平方差公式将它分解为(x+√k)(x-√k)的形式，从而得到解x=±√k。
总结起来，平方差公式在代数中具有广泛的应用。
它可以用于计算两个数的平方和、分解二次多项式和解方程等问题。
通过运用平方差公式，我们能够简化计算，从而更高效地解决代数问题。
希望本文对你理解平方差公式有所帮助！。
第2课时 平方差公式(2)
.
5.用平方差公式计算:
(1)30.8×29.2;
(2)2 0192-2 018×2 020.
解:(1)30.8×29.2=(30+0.8)×(30-0.8)=302-0.82=900-0.64=899.36.
(2)2 0192-2 018×2 020=2 0192-(2 019-1)×(2 019+1)=2 0192-2 0192+1=1.
第2课时
平方差公式(2)
1.运用平方差公式计算 40 ×39 ,可以变形为( D )
A.(40+ )×(39+ )
B.(40- )×(39- )
C.(40+ )×(39- )
D.(40+ )×(40- )
2.用简便方法计算,将98×102变形正确的是(
A.98×102=1002+22
6.小明把图①中“L”形的纸片进行如图②所示的剪拼,改造成了一个长方形,你是否可以结合上
述图形验证平方差公式?请进行具体说理.
①
②
-
-+
解:是.理由如下:题图②中图形的面积为 2(a-b)·(
2
+b)=2(a-b)(
2
题图①中“L”形纸片的面积为 a -b .
2
2
由题图①与题图②中图形面积相等可得(a+b)(a-b)=a -b .
B.98×102=(100-2)2
C.98×102=1002-22
平方差公式(2)
阅读课本回答以下问题
1.课本图1-3中的阴影部分是规则图形吗？怎样求它的面积？
2.正方形的面积公式是什么？长方形的面积公式是什么？
三．预习自测
1.运用平方差公式计算：
（1）22×18=（ ）；（2）(y+2)(y-2)(y +4)=( )
2.如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1①），把剩下的部分剪拼成一个长方形（如图1②），分别计算着两个图形中阴影部分的面积，验证了一个公式，这个公式是（ ）。
（1）50 ×49 ;（2）100.3×99.7
训练案
1.下列运算正确的是（ ）
A.(x+3)(x-3)=x -3B.(2x+3)(2x-3)=2x -9
C.(2x+3)(x-3)= 2x -9D.(5ab+1)(5ab-1)=25a b -1
预习案
【使用说明与学法指导】1.用10分钟左右的时间，阅读探究课本中的内容，，并运用平方差公式进行计算；2.完成教材助读中的问题，然后结合课本中的基础知识和例题，完成预习自测题；3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到“我的疑问”处。
一．旧知回顾
1.平方差公式是什么？
2.利用平方差公式计算时需注意什么问题？
例2：利用平方差公式计算：（a-1）(a +1)( a +1)(a+1)
拓展提升计算：(1+ )(1+ )(1+ )(1+ ))（）=16 y -9 x 中，括号内应填入（）
A.3x - 4y B.4y -3x
C.-3x - 4y D.3x +4y
2.利用平方差公式计算：
平方差公式(2)
2、两个数又都可以写成平方的形式，
在乘法公式中，“平方差”是展开计算结果 在分解因式中，“平方差”是将多项式化成乘积
典例分析：将下列各式分解因式
1、a2-144b2
=a2-(12b)2
=(a+12b)(a-12b)
2、a3b-ab
=ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1)
2
2.(2012珠海中考) 因式分解:ax2-ay2=______.
【解析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式；
即a（x2－y2）=a（x+y）（x－y）
3.（2012东阳中考） 因式分解：x3-x=___.
【解析】x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1) 4.（2012盐城中考）因式分解: x2-9______
=﹝4(x+y)+5(x-y)﹞﹝4(x+y)-5(x-y)﹞
=(9x-y)(-x+9y)
练习一：1.选择题：
1、下列多项式中，能用平方差分解因式的是( D) A、x-xy B、x+xy C 、 x–y D、x+y 2.下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ） A. 4x² +y² B. 4x-(-y)² C. -4x² -y³ D. -x² +y²
8.已知 x+ y =7, x-y =5, 求 x 2- y2-2y+2x 的值.
思维拓展
① x5 － x3 ② x6 － 4x4
③ (x-1)＋b2 (1-x) ④ (a 2 ＋ b 2) 2－(b 2 ＋ c 2 )2
如图，在一块边长为 acm 的正方形的四角， 各剪去一个边长为 bcm的正方形，求剩 余部分的面积。如果 a=3.6，b=0.8呢?
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数学八年级上册
年级 教学媒体 教 学 目 标 过程 方法 情感 态度 知识 技能
八年级
课题
平方差公式 多 媒 体
课型
新授
了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特 征，并能灵活运用平方差公式解决问题． 经历平方差公式产生的过程，体验知识的产生与发展，感受利用归纳、数形结合 等数学思想方法解决数学问题的策略，培养学生观察、归纳、概括的能力． 在探索平方差公式的过程和在解决问题过程中学会与他人合作交流．在公式的学 习及运用中积累解题的经验、体验成功的喜悦，提高学生学习数学的兴趣． 理解并掌握平方差公式及其结构特征；会运用此公式进行计算． 理解乘法公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式．
2
2
的平方差．
第(2)题表面上看不符合公式特征，但实质上是符合公式特 征的. 【点拨】 在运用平方差公式时注意： ⑴判断是否符合平方差 公式的结构特点， 只有符公式结构的乘法才能运用公式简化 运算，否则仍按多项式乘法法则进行.⑵能用公式的式子要 先变形为 a ba b 的形式，再利用公式进行计算. 例 2． 下列多项式乘法中， 能用平方差公式计算的是 （ （1） （x+1） （1+x） ； （2） （ a+b） （b－ a） ； （3） （－a+b） （a－b） ； （4） （x2－y） （x+y2） ；
2
2
【解析】⑴中，要把 3 x 和 2 分别看成公式中的 a 和 b ， 即：
（1） 左边为两个数 的和与差的积； （2） 右边为两个数
交流、共同总 结得以明晰， 既体现了学生 学习的主动 性，又为学生 学习公式进行 了学法指导, 可谓“一箭双
(2) (b 2a)2a b (2a b)(2a b) 4a b
部分学生板书解 题，完成后，师生 纠错。 学生先自主辨析， 再交流互补，不断 完善。
体会归纳这一 数学思想方 法．
揭示公式的结 构特征，是学 生理解公式、
在交流中让学生归 纳平方差公式的特 征：
进而灵活运用 公式解决问题 的 前 提 条 件．让学生自 主辨析、合作
(2) (b 2a)2a b (2a b)(2a b) 4a b
教学重点 教学难点
教 学 过 程 设 计
教学程序及教学内容 一、情境引入 提问： 南开翔宇学校学生实践基地有一块边长为 30 米的正方 形实验田，现要在实验田中开设一块边长为 5 米的正方形观 测台，现要在实验田播种，请问正方形实验田的播种面积是 多少平方米？ 师生行为 设计意图
从生活中的实 例引入，一是 教师提出问题 , 学生 激发学生求知 认真思考大胆回答。 兴趣；二是为 说明平方差公
设计意图 目间的共性发 现规律，举三 反一，猜想公 式，让学生经 历从一般到特 殊，从具体到 抽象的过程，
[a a
2
与
a]
[b
与 -b]
=
-
b
2
5．运用上面的规律直接写出下列乘法的运算结果： ⑴ a ba b ； ② 2a 3b2a 3b ___________. 6．平方差公式： a ba b a 2 b 2 即： 两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方 差. 注意： 平方差公式中的 a 和 b 可以是数、 字母， 也可以是式； 只要是相同两个式的和乘以差，都等于平方差. 例 1．运用平方差公式计算： (1) 3x 23x 2 ； (2) (b 2a)2a b
2 2 2 2
做好铺垫．
x 1x 1 =
= =
在教学中以一 组相关联但又 有区别的题目 为载体，学生 通过计算，观 察每个算式的 特点、结果的 特点, 挖掘题
2．找出上题式子中具有的共同特征，并说出它们的共同特 征：_________________________________. 3．猜想：（a+b）（a-b）=? 你 能 通 过 计 算 （ a+b ） （ a-b ） ， 说 明 猜 想 的 合 理 性 吗？ 解：（a+b）（a-b）=a -ab+ ab-b =a -b 4．你能揭示公式的结构特征吗？
1 2 1 2
） 学生回答，教师点 雕”． 拨。 学生发现技巧， 通过一则平方 灵活应用公式。 差公式简单的 例题分析及应 用，巩固了公 式结构特征， 让学生进一步 感受到这种一
新课标示范教案 数学 八年级上册 第 2 页 共 5 页
新课标示范教案
数学八年级上册
（5） （－a－b） （a－b） ； （6） （c －d ） （d +c ） ． 只有（2） 、 （5） 、 （6）能用平方差公式．因为（2） （ a+b） 教学程序及教学内容 （b－ a） 利用加法交换律可得 （ a+b） （b－ a） = （b+ a） （b－ a） ，表示 b 与 a 这两个数的和与差的积，符合平 方差公式的特点； （5） （－a－b） （a－b） ，同样可利用加法 交换律得（－a－b） （a－b）=（－b－a） （－b+a） ，表示－b 与 a 这两个数和与差的积，也符合平方差公式的特点； （6） （c －d ） （d +c ） 利用加法和乘法交换律得 （c －d ） （d +c ） =（c +d ） （c －d ） ，表示 c 与 d 这两个数和与差的积，同 样符合平方差公式的特点． （ 1） 、 （3 ） 、 （4）不能用平方差公式，因为表示的不 是两个数的和与差的积的形式． 例 3．计算 (1)102×98； (2)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5). (3)．若 x 2 y 2 100, x y 25 ，则 x y .
二、探究新知 1．计算下列各式，看看你是否有所发现？ ⑴ x 3x 3 = = ⑵ m 2m 2= ⑶ ； ； __ ；
式的几何意义 教师提出问题，引导 学生分析问题。 学生观察、分析这组 题目左边的算式和 右边的结果，你能从 中发现什么规律？ （小组讨论） 学生总结： （1）计算 的结果都是两项的 平方差，与以往两项 乘以两项的结果大
多是三项或四项不 同； （2）这些两项乘 以两项中，有一项是
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新课标示范教案
数学八年级上册
教学程序及教学内容 注意： 左 边 边 结构特征 （a+b） （a-b） 相同项 相反项
2
右
=
a
2
相同项
b
2
相反项
2
师生行为 完全相同，另一项 又是互为相反的； （3） 结果是两项的 平方差，并且是完 全相同项的平方减 去互为相反项的平 方。