异面直线所成角详解
异面直线所成角的几种求法资料讲解
异面直线所成角的几种求法仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。
因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。
在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。
一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。
求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。
解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。
作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ， 连结GH ，有GH//A 1E 。
过F 作CD 的平行线RS ， 分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS 。
由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。
在△GHS 中，设正方体边长为a 。
GH=46a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ， B A CD FEB 1 A 1 D 1C 1G HSRPQ仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3连QH ，可知△GQH 为直角三角形），HS=26a （连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形）， GS=426a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。
∴Cos ∠GHS=61。
所以直线A 1E 与直线B 1F解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用 点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。
以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，设BC 长度为2。
异面直线所成角的定义
异面直线所成角的定义
异面直线是指空间中不在同一平面上的直线。
一般情况下，异面直线是无法相交的，
它们之间不具有任何交点，但它们的方向可以有交叉或相互平行的情况。
二、异面直线的性质
1.异面直线不在同一平面上，它们之间的距离是有限的，可以用它们最短距离来表示。
2.两条异面直线的方向可以有交叉或相互平行的情况。
3.异面直线不存在交点，但它们可以相互延长。
4.异面直线与同一平面上的直线的交点可以为零个或无限个。
异面直线所成角是指两条异面直线之间的夹角，它是两条异面直线在空间中的相对位
置关系的体现。
1.当两条异面直线相交时，它们所成的角度等于它们在交点处的夹角。
3.当两条异面直线相交且不在同一平面上时，它们所成的角度可以通过向量叉积计算。
异面直线所成角不仅是数学上的概念，还在实际问题中具有重要的应用价值。
例如，
在三维几何中，异面直线的夹角常常用于计算空间角的大小，如在机械加工和建筑设计中，需要计算两个不在同一平面上的部件之间的角度大小，这时就需要运用异面直线所成角的
概念进行计算。
在物理学和工程学中，异面直线所成角也经常被用来描述电场、电磁场、
热力学等物理量的性质。
因此，理解异面直线所成角的定义和计算方法，不仅有助于我们
加深对空间几何的认识，同时也有助于我们解决实际问题。
异面直线所成角的几种求法
第 1 页 共 3 页异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小,是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角)来定义的。
因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。
在这一方法中,平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。
一、向量法求异面直线所成的角例1：如图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。
求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。
解法一：(作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线,也可平移两条直线到某个点上。
作法:连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ，连结GH ，有GH//A 1E 。
过F 作CD 的平行线RS ， 分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS.由B 1H//C 1D 1//FS,B 1H=FS ，可得B 1F//SH. 在△GHS 中，设正方体边长为a 。
GH=a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ，连QH,可知△GQH 为直角三角形）， HS=a(连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形)，GS=a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。
∴Cos ∠GHS=.所以直线A 1E 与直线B 1F 所成的角的余弦值为。
解法二：（向量法）分析:因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角. 以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z则点A 1的坐标为（0,2,2)，点E 的坐标为（1，0，1)，点B 1的坐标为（0，0，2），点F 的坐标为(2,1，1）；所以向量的坐标为（-1，2，1）,向量的坐标为（2，1，—1)，所以这两个向量的夹角θ满足cos θ===-。
异面直线所成角cos公式
异面直线所成角cos公式
直线a，b是异面直线，经过空间一点O，分别引直线A//a,B//b,相交直线A，B所成的锐角（或直角）叫做异面直线a,b所成的角。
异面直线所成角cos公式为cosa=|m1m2+n1n2+p1p2|/[√(m1^2+n1^2+p1^2)√(m2^2+n2^2+ p2^2）]，计算时代入具体的数据即可。
异面直线是不在同一平面上的两条直线，异面直线是既不相交，又不平行的直线，因为两条直线如果相交或平行，则它们必在同一平面上。
异面直线夹角公式是cosθ=a*b/(|a|*|b|)。
长度为0的向量叫做零向量，记为0。
模为1的向量称为单位向量。
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。
记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。
a(x1,y1,z1)b(x2,y2,z2)a*b=x1x2+y1y2+z1z2。
|a|=√(x1^2+y1^2+z1^2)，
|b|=√(x2^2+y2^2+z2^2)cosθ=a*b/(|a|*|b|)，角
θ=arccosθ。
必修2课件：异面直线所成的角
O
H E D A B F
G
C
(3)解决问题 解决问题
平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题 思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角 即化空间图形问题为平面图形问题 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 经过空间任一点O作 异面直线所成角的定义 如图 已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点 作 所成的锐角(或直角 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角 或直角 叫做异面直线所成的角 ∥ ∥ 与 所成的锐角 或直角)叫做异面直线所成的角 (或夹角 或夹角). 或夹角 异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ]
b
b′
a″ a
∠2
α
a′
O
∠1
BACK
NEXT
在求作异面直线所成的角时,O点 在求作异面直线所成的角时 点 常选在其中的一条直线上 (如线段的端点,线段的中点等) 如线段的端点 线段的中点等 如线段的端点 线段的中点
例2
如图，正方体 为侧面ADHE的中心，求 的中心， 如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面 中 为侧面 的中心 (1)BE与CG所成的角？ 与 所成的角？ 所成的角 (2)FO与BD所成的角？ 与 所成的角 所成的角？
这个角的大小与O点的位置有关吗 点位置不同时, 思考 : 这个角的大小与 点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时 这一角的大小 点位置不同时 是否改变? 是否改变
解答： 解答： 如图
答: 这个角的大小与O点的位置无关. 点的位置无关 这个角的大小与 点的位置无关
相交所成的角为∠ 设a ′与 b ′相交所成的角为∠1, a ″与 b 所成的角为∠2 , 与 相交所成的角为 与 所成的角为∠ 公理4), ∵ a′∥a , a″ ∥a∴ a′∥ a″ (公理 ∥ ∴ ∥ 公理 同理 b′∥b″, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理 等角定理) ∥ 等角定理
如何求异面直线所成的角
如何求异面直线所成的角立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作→证→求。
其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。
Ⅰ、用平移法作两条异面直线所成的角一、端点平移法例1、在直三棱柱111C B A ABC -中，090CBA ∠=,点D ,F 分别是11A C ,11A B 的中点，若1AB BC CC ==,求CD 与AF 所成的角的余弦值。
解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ，//DF EC 且DF EC =∴四边形DFEC 为平行四边形//EF DC ∴EFA ∴∠（或它的补角）为CD 与AF 所成的角。
设2AB =,则EF =AF =EA =故2222EF FA EA EFA EF FA +-∠==arccos10EFA ∴∠=二、中点平移法例2、在正四面体ABCD 中, M ,N 分别是BC ,AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。
解：连结MD ，取MD 的中点O ，连结NO ，1O 、N 分别MD 、AD 为的中点，∴NO 为DAM ∆的中位线， ∴//NO AM ，ONC ∴∠（或它的补角）为AM 与CN 所成的角。
设正四面体ABCD 的棱长为2，则有2NO =，CN =2CO =, 故2222cos 23NO CN CO ONC NO CN +-∠== 2arccos 3ONC ∴∠=三、特殊点平移法例3、如图，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知4AB =，20CD =，7EF =，13AF BE FD EC ==，求异面直线AB 与CD 所成的角。
解：在BD 上取一点G ，使得13BG GD =，连结EG FG 、，在BCD ∆中，13BE BG EC GD ==，故//EG CD ，同理可证：//FG ABFGE ∴∠（或它的补角）为AB 与CD 所成的角。
异面直线所成角求法总结加分析
异面直线所成角求法总结加分析异面直线之间的角有三种情况：垂直角、斜面角和平行角。
下面将对这三种角的概念、性质和求法进行总结和分析。
一、垂直角：垂直角是指两条异面直线相交时，形成的对立的角，其角度为90度。
垂直角的性质如下：1.对于两条异面直线来说，如果它们是垂直的，则它们所成的角度必定是90度。
2.两条垂直的直线称为互相垂直。
3.垂直角的两边是相互垂直的，一边减去90度后得到另一边所成的角度。
求法：已知两条异面直线，求它们的垂直角可以使用以下方法：1.根据两条直线的方向向量，计算它们的点积。
若点积为0，则两条直线是垂直的。
2.若两条直线的方程式已知，可以将两条方程式相乘后化简，得到一个二次方程。
如果该二次方程的判别式为0，则两条直线是垂直的。
二、斜面角：斜面角是指两条异面直线相交时，形成的不是对立的角，其角度不等于90度。
斜面角的性质如下：1.对于两条异面直线来说，如果它们不是垂直的，则它们所成的角度不等于90度。
2.斜面角的度数可以通过几何或三角函数求解。
求法：已知两条异面直线，求它们的斜面角可以使用以下方法：1.根据两条直线的方向向量，计算它们的夹角。
可以使用向量的点积或夹角公式求解。
2.若两条直线的方程式已知，可以将两条方程式中的方向向量代入夹角公式中求解。
三、平行角：平行角是指两条异面直线之间的对应角，如果两个对应角的度数相等，则这两条异面直线是平行的，平行角的性质如下：1.对于两条异面直线来说，如果它们是平行的，则它们所成的对应角度相等。
2.平行角的两边分别平行于两条异面直线。
求法：已知两条异面直线，求它们的平行角可以使用以下方法：1.根据两条直线的方向向量，计算它们的夹角。
如果夹角为0度，则两条直线是平行的。
2.若两条直线的方程式已知，可以将两条方程式中的方向向量代入夹角公式中求解。
综上所述，垂直角是指两条异面直线相交时形成的90度角；斜面角是指两条异面直线相交时形成的非90度角；平行角是指两条异面直线之间对应角的度数相等。
数学-异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法
异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法高中数学 1.理解异面直线所成的角的概念，会运用平移的方法求异面直线所成的角.2.掌握直线与平面所成角的求法．一、异面直线所成的角例1 如图，已知在三棱锥A －BCD 中，AD ＝1，BC ＝，且AD ⊥BC ，对角线3BD ＝，AC ＝，求异面直线AC 与BD 所成的角的大小．13232解 取AB ，AD ，DC ，BD 的中点分别为E ，F ，G ，M ，连接EF ，FG ，GM ，ME ，EG .则MG 綊BC ，EM 綊AD .1212因为AD ⊥BC ，所以EM ⊥MG .在Rt △EMG 中，有EG ＝＝1.(12)2＋(32)2由作图可知，∠EFG 为异面直线AC 与BD 所成的角(或补角)．在△EFG 中，因为EF ＝BD ＝，FG ＝AC ＝，121341234所以EF 2＋FG 2＝EG 2，所以EF ⊥FG ，即AC ⊥BD .所以异面直线AC 与BD 所成的角等于90°.反思感悟 求异面直线所成的角的方法求异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生三角形，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．跟踪训练1 如图，在每个面都为等边三角形的四面体S －ABC 中，若点E ，F 分别为SC ，AB 的中点，试求异面直线EF 与SA 所成的角．解 如图，连接CF ，SF ，设四面体S －ABC 的棱长为a ，则SF ＝CF ＝a .32因为E 为SC 的中点，所以EF ⊥SC .在Rt △SEF 中，SE ＝SC ＝a ，1212所以EF ＝＝a .SF 2－SE 222取SB 的中点为D ，连接ED ，FD .则∠DFE 为异面直线EF 与SA 所成的角(或补角)．因为BC ＝SA ＝a ，而FD ∥SA ，且FD ＝SA ，ED ∥CB ，且ED ＝CB ，1212所以FD ＝ED ＝a ，所以FD 2＋ED 2＝EF 2.12故△DEF 是等腰直角三角形，可得∠EFD ＝45°，即异面直线EF 与SA 所成的角是45°.二、直线与平面所成的角例2 如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ＝AC ＝BC ，PA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，O 为PB 的中点，求直线CO 与平面PAC 所成角的余弦值．解 如图，取PC 的中点为E ，连接EO ，则OE ∥BC .∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC .又AC ⊥BC ，AC ∩PA ＝A ，∴BC ⊥平面PAC .又OE ∥BC ，∴OE ⊥平面PAC ，∴∠OCE 为直线CO 与平面PAC 所成的角．设PA ＝AC ＝BC ＝2，则OE ＝1，CE ＝，OC ＝，23∴cos ∠OCE ＝＝.CE OC 63∴直线CO 与平面PAC 所成角的余弦值为.63反思感悟 求斜线和平面所成的角的步骤(1)作(或找)：作(或找)出斜线在平面上的射影，作射影要过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与题目中已知量有关，这样才能便于计算．(2)证：证明某平面角就是斜线和平面所成的角．(3)算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．跟踪训练2 已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，求侧棱和底面所成的角的余弦值．解 如图，设正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，则侧棱长为2a .设O 为底面△ABC 的中心，则∠SAO 为SA 和平面ABC 所成的角．在Rt △SOA 中，因为AO ＝×a ＝a ，233233所以cos ∠SAO ＝＝＝，AO SA 33a 2a 36即侧棱和底面所成的角的余弦值为.361．知识清单：(1)异面直线所成的角．(2)直线与平面所成角的求解方法．2．方法归纳：转化与化归．3．常见误区：无法将空间角转化为相交直线所成的角．1.如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，直线D ′A 与BB 1所成的角可以表示为( )A ．∠DD ′AB ．∠AD ′C ′C ．∠ADB ′D ．∠DAD ′答案 A2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与AD 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 C解析 如图，连接BC 1，A 1C 1.因为BC 1∥AD 1，所以异面直线A 1B 与AD 1所成的角即为直线A 1B 与BC 1所成的角．在△A 1BC 1中，A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，所以∠A 1BC 1＝60°，故异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°.3.如图所示，AB 是⊙O 的直径，PA ⊥⊙O 所在的平面，C 是圆上一点，且∠ABC ＝30°，PA ＝AB ，则直线PC 和平面ABC 所成角的正切值为________．答案 2解析 因为PA ⊥平面ABC ，所以AC 为斜线PC 在平面ABC 上的射影，所以∠PCA 即为PC 和平面ABC 所成的角．在△PAC 中，因为AC ＝AB ＝PA ，所以tan ∠PCA ＝＝2.1212PA AC 4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 和平面BB 1D 1D 所成的角的大小为________．答案 π6解析 如图，连接A 1C 1交B 1D 1于点O ，连接BO .因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1O ⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥A 1O .又因为A 1O ⊥B 1D 1，BB 1∩B 1D 1＝B 1，BB 1⊂平面BB 1D 1D ，B 1D 1⊂平面BB 1D 1D ，所以A 1O ⊥平面BB 1D 1D ，所以∠A 1BO 就是A 1B 和平面BB 1D 1D 所成的角．设正方体的棱长为a ，则A 1B ＝a ，A 1O ＝.22a2又因为∠A 1OB ＝90°，所以sin ∠A 1BO ＝＝，A 1O A 1B 12又∠A 1BO ∈，所以∠A 1BO ＝，[0，π2]π6所以A 1B 和平面BB 1D 1D 所成的角是.π6课时对点练1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AC 1与CD 所成的角的余弦值为( )A. B. C. D.32331263答案 B2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AA 1，AB 的中点，则异面直线EF 与C 1D 所成角的大小是( )A. B. C. D.π6π4π3π2答案 D解析 如图，在正方体中，连接A 1B ，CD 1，且CD 1∩C 1D ＝O .因为E ，F 分别是棱AA 1，AB 的中点，所以EF ∥A 1B .又A 1B ∥CD 1，所以EF ∥CD 1，所以∠COD 即为异面直线EF 与C 1D 所成的角(或补角)．因为平面CDD 1C 1为正方形，所以∠COD ＝，所以异面直线EFπ2与C 1D 所成角的大小为.π23.在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .若AB ＝AC ＝AA 1＝1，BC ＝，则异面直2线A 1C 与B 1C 1所成的角为( )A ．60°B ．30°C ．90°D ．45°答案 A 解析 因为几何体是棱柱，BC ∥B 1C 1，则直线A 1C 与BC 所成的角就是异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ，连接BA 1(图略)，∵AB ＝AC ＝AA 1＝1，∴BA 1＝，CA 1＝.22∴△BCA 1是等边三角形，∴异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为60°.4．若斜线段AB 的长是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB 与平面α所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．120°答案 A解析 斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO 即是斜线段AB 与平面α所成的角．因为AB ＝2BO ，所以cos ∠ABO ＝＝，BO AB 12所以∠ABO ＝60°.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1和平面ACD 1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.23332363答案 D解析 如图，不妨设正方体的棱长为1，上、下底面的中心分别为O 1，O ，则OO 1∥BB 1，O 1O 和平面ACD 1所成的角就是BB 1和平面ACD 1所成的角，即∠O 1OD 1，则cos ∠O 1OD 1＝＝＝.O 1O OD 1132636．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，则平面AD 1E 与平面ABCD 的交线与直线C 1D 1所成角的正切值为( )A. B. C. D ．2122332答案 A解析 延长D 1E 与直线CD 相交于F ，连接AF ，则平面AD 1E 与平面ABCD 的交线为AF ，而C 1D 1∥CD ，∴∠AFD 为平面AD 1E 与平面ABCD 的交线与直线C 1D 1所成的角，∵E 是棱CC 1的中点，且DD 1∥CC 1，∴CD ＝CF ，∴tan ∠AFD ＝＝.AD DF 127.如图，在三棱锥D －ABC 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB，CD 的中点，EF ＝，则3AD 与BC 所成的角的大小为______．答案 60°解析 如图(1)，取BD 的中点G ，连接GE ，GF .因为BE ＝EA ，BG ＝GD ，所以GE ∥AD ，GE ＝AD ＝1.12因为DF ＝FC ，DG ＝GB ，所以GF ∥BC ，GF ＝BC ＝1.12所以∠EGF (或其补角)是异面直线AD 与BC 所成的角．在△GEF 中，GE ＝1，GF ＝1，EF ＝(如图(2))，3取EF 的中点O ，连接GO ，则GO ⊥EF ，EO ＝EF ＝，1232所以sin ∠EGO ＝＝，EO EG 32所以∠EGO ＝60°，所以∠EGF ＝2∠EGO ＝120°，所以异面直线AD 与BC 所成的角为180°－120°＝60°.8．如图，正四棱锥P －ABCD 的体积为2，底面积为6，E 为侧棱PC 的中点，则直线BE 和平面PAC 所成的角为________．答案 60°解析 如图，在正四棱锥P －ABCD 中，连接BD ，交AC 于O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，则在正四棱锥中，BO ⊥平面PAC .连接OE ，DE ，则∠BEO 是直线BE 和平面PAC 所成的角．∵正四棱锥P －ABCD 的体积为2，底面积为6，∴V ＝×6×PO ＝2，则高PO ＝1.13∵底面积为6，∴BC ＝，OC ＝OB ＝，63则侧棱PB ＝PC ＝＝＝2.1＋(3)24∵E 为侧棱PC 的中点，∴取OC 的中点H ，连接EH ，则EH ⊥OC ，则EH ＝PO ＝，OH ＝OC ＝，12121232则OE ＝＝＝1.EH 2＋OH 2(12)2＋(32)2在Rt △BOE 中，tan ∠BEO ＝＝＝，OB OE 313则∠BEO ＝60°.9.如图，S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝，M ，N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．π2解 如图所示，连接CM ，设Q 为CM 的中点，连接QN ，则QN ∥SM .∴∠QNB 是异面直线SM 与BN 所成的角或其补角．连接BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中，BN ＝a ，NQ ＝SM ＝a ，BQ ＝a ，521224144∴cos ∠QNB ＝＝.BN 2＋NQ 2－BQ 22BN ·NQ 105即异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为.10510．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值．解 如图，取AA 1的中点M ，连接EM ，BM .因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形，所以EM ∥AD .又在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1，所以EM ⊥平面ABB 1A 1，从而直线BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，∠EBM 即为直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角．设正方体的棱长为2a ，则EM ＝AD ＝2a ，BE ＝＝3a .(2a )2＋(2a )2＋a 2于是在Rt △BEM 中，sin ∠EBM ＝＝，EM BE 23即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为.2311.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成的角的余弦值为( )A. B.101035C. D.2245答案 D解析 如图，连接A 1C 1，BC 1，则BC 1∥AD 1，那么∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．又|A 1B |＝|C 1B |＝＝，|A 1C 1|＝，12＋2252由余弦定理可得cos ∠A 1BC 1＝＝.5＋5－22×5×54512．如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为的中点，则异面直线AE 与BC 所成的角BC︵ 的余弦值为( )A. B. C. D.335530666答案 D解析 如图，取BC 的中点H ，连接EH ，AH ，∠EHA ＝90°.不妨设AB ＝2，则BH ＝HE ＝1，AH ＝，所以AE ＝.连接ED ，ED ＝.因为BC ∥AD ，所以异面直线AE566与BC 所成的角即为∠EAD (或其补角)．在△EAD 中，cos ∠EAD ＝＝.6＋4－62×2×66613．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 为CC 1的中点，那么异面直线OE 与AD 1所成的角的余弦值等于( )A. B. C. D.62223363答案 D解析 如图所示，取BC 的中点F ，连接EF ，OF ，BC 1.因为E 为CC 1的中点，EF ∥BC 1∥AD 1，故∠OEF 即为异面直线OE 与AD 1所成的角(或其补角)，不妨设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则在△OEF 中，EF ＝，OE ＝，OF ＝1，23故∠OFE ＝90°，故cos ∠OEF ＝＝.EF OE 6314.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，H 为EF 的中点，沿AE ，EF ，FA 将正方形折起，使B ，C ，D 重合于点O ，在构成的四面体OAEF 中，下列结论错误的是( )A ．AO ⊥平面EOFB ．直线AH 与平面EOF 所成角的正切值为22C ．四面体OAEF 的内切球的表面积为πD ．异面直线OH 与AE 所成角的余弦值为1010答案 C解析 翻折前，AB ⊥BE ，AD ⊥DF ，故翻折后，AO ⊥OE ，AO ⊥OF ，又OE ∩OF ＝O ，∴AO ⊥平面EOF ，故A 正确；连接OH ，AH ，如图，则∠OHA 为AH 与平面EOF 所成的角．∵OE ＝OF ＝1，∴EF ＝＝，∴OE ⊥OF ，又H 是EF 的中点，∴OH ＝EF ＝.12＋1221222又OA ＝2，∴tan ∠OHA ＝＝2，故B 正确；OAOH 2设四面体OAEF 的表面积为S ，体积为V ，内切球半径为r ，则V ＝S ·r .又V ＝S △OEF ·OA ＝1313××1×1×2＝，S ＝2××1×2＋×1×1＋××＝4，∴r ＝，解得r ＝，∴1312131212122322431314内切球的表面积为4πr 2＝，故C 错误；π4取AF 的中点，连接OP ，HP .∵点P 是AF 的中点，点H 是EF 的中点，∴PH ∥AE ，∴∠OHP 为异面直线OH 与AE 所成的角或其补角．∵OE ＝OF ＝1，OA ＝2，∴OP ＝AF ＝，PH ＝AE ＝，OH ＝，1252125222再取OH 的中点M，连接PM ，则PM ⊥OH ，∴cos ∠OHP ＝＝＝，故D 正确．MH PH 12OH PH 101015．(多选)如图，设E ，F 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱DC 上两点，且AB ＝2，EF ＝1，则下列说法中正确的是( )A ．异面直线D 1B 1与EF 所成的角为60°B ．三棱锥D 1－B 1EF 的体积为定值C ．平面B 1EF 与平面A 1B 1C 1D 1所成的二面角的大小为45°D ．直线D 1B 1与平面B 1EF 所成的角为30°答案 BCD解析 由于EF ∥C 1D 1，因此异面直线D 1B 1与EF 所成的角就是D 1B 1与C 1D 1所成的角，为45°，A 错误；△D 1EF 的面积不变，B 1到平面D 1EF 即平面D 1DCC 1的距离不变，因此三棱锥B 1－D 1EF 的体积不变，即三棱锥D 1－B 1EF 的体积为定值，B 正确；平面B 1EF 即为平面A 1B 1CD ，∠D 1A 1D 为平面A 1B 1CD 与平面A 1B 1C 1D 1所成的二面角的平面角，∠D 1A 1D ＝45°，C 正确；连接AD 1交A 1D 于M ，连接B 1M (图略)，由正方体性质知A 1B 1⊥AD 1，A 1D ⊥AD 1，而A 1B 1∩A 1D ＝A 1，因此AD 1⊥平面A 1B 1CD ，因此∠D 1B 1M 是直线B 1D 1与平面A 1B 1CD 即平面B 1EF 所成的角，在Rt △MB 1D 1中，D 1M ＝D 1B 1，所以∠D 1B 1M ＝30°，D 正确．1216.如图，点P 为平面ABC 外一点，AP ，AB ，AC 两两互相垂直，过AC 的中点D 作ED ⊥平面ABC ，且ED ＝1，PA ＝2，AC ＝2，连接BP ，BE ，多面体B －PADE 的体积是.33(1)画出平面PBE 与平面ABC 的交线，并说明理由；(2)求BE 和平面PADE 所成的角的正切值．解 (1)如图，延长PE 交AC 于点F ，∵AP ，AB ，AC 两两互相垂直，∴PA ⊥平面ABC .∵DE ⊥平面ABC ，∴DE ∥PA ，∴＝＝，∴F 与C 重合．DF AF DE PA 12∵C ∈PE ，C ∈AC ，PE ⊂平面PBE ，AC ⊂平面ABC ，∴C 是平面PBE 与平面ABC 的公共点．又B 是平面PBE 与平面ABC 的公共点，∴BC 是平面PBE 与平面ABC 的交线．(2)如图，连接AE .∵AP ，AB ，AC 两两互相垂直，∴AB ⊥平面PAC ，∴∠BEA 为BE 和平面PADE 所成的角．∵V B －PADE ＝S 梯形ADEP ·AB13＝××(1＋2)×1×AB ＝，131233∴AB ＝.233又∵AE ＝＝，AD 2＋DE 22∴tan ∠BEA ＝＝.AB AE 63。
【高中数学】高中数学知识点：异面直线所成的角
【高中数学】高中数学知识点：异面直线所成的角异面直线所成角的定义：直线a和B是具有不同平面的直线。
如果它们通过空间中的任意点O并分别引导直线a′和B′B，则直线a′和B′形成的锐角（或直角）称为直线a和B与不同平面形成的角，如下图所示。
两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。
在不同平面上直线形成的角度定义中，空间中的点O是可选的，与点O的位置无关。
求异面直线所成角的步骤：a、通过定义构造角度，一个可以固定，另一个可以平移，或者两个可以同时平移到特定位置，并且可以在特定位置选择顶点。
b、证明作出的角即为所求角；c、使用三角形来寻找角度。
特别提醒:（1）两条直线在不同平面上形成的角度与点O（平移后两条直线的交点）的选择无关(2)两异面直线所成角θ的取值范围是0<θ≤90．（3）判断空间中两条直线是不同平面直线的方法① 判断定理：平面外a点与平面内B点之间的连线与平面内的直线，但B点是不同的平面直线；② 相反的证明：不可能证明两条直线是共面的线线角的求法：（1）定义方法：使用“平移变换”使其成为两条相交直线形成的角度。
当不同平面上的直线垂直时，使用直线平面垂直度的定义或三垂线定理和逆定理来确定角度为90．(2)向量法：设两条直线所成的角为θ（锐角），直线l一和l二的方向向量分别为高中数学相关知识点：直线与平面的夹角直线与平面所成的角的定义：① 直线和平面形成三个角：a．斜线和平面所成的角：一条直线与平面α相交，但不和α垂直，这条直线叫做平面α的斜线．斜线与α的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面α内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．b、垂直线与平面之间的角度：如果直线与平面垂直，则它们形成的角度为直角。
c．一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为0零.② 取值范围：0≤ θ≤90．求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。
异面直线及所成的角
AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中
点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、
CE所成角的余弦值。
A
另解:延长DC至P,使DC=CP，E为AD中点，
∴AP//EC。故∠PAF(或其补角)为异面直
线AF、CE所成的角。
B
E D
PF FC 2 PC 2 2FC PC cos120 7 a. 2
思路一：取BC中点G， 连结F1G，则角AF1G （或其补角）为异面 直线所成的角；解三 角形AF1G可得。
B1
D1 F1
A1
C1
B
A
G
C
思路二、延展平面 BAA1B1，使A1E＝D1A1，
B1
D1 A1 F1
E
则将BD1平移到AE， 角EAF1（或其补角 ）
B A
C
即为BD1与AF1所成的角。
解：
D1
C1
A1
B1 ·F
D
·E C
A
B
例5(法三)、在棱长是a的正方体ABCD-
A1B1C1D1中，点E,F分 别是BB1,CC1的 中点，求直线AE与BF所成的角.
解：
D1
C1
A1
·K B1
·F
D
·E C
A
B
变式一、M，N为A1B1，BB1的中点,求AM
与CN所成的角
D1
M
A1
D
C1
B1 Ｒ
例7．A为正三角形BCD所在平面外一点，且
AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中
点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、
CE所成角的余弦值。
A
异面直线所成角定义
异面直线所成角定义
异面直线所成角定义是在空间中两条不在同一平面上的直线所形成的角度。
这种角度被称为异面直线所成角，它是由两条不相交的直线所形成的。
在三维几何中，我们可以将两条不在同一平面上的直线看作是相互垂直或者有一个夹角。
如果这两条直线相互垂直，则它们之间的夹角为90度。
如果这两条直线之间有一个夹角，则它们之间的夹角为非90度。
异面直线所成角定义对于解决几何问题非常重要。
例如，在计算物体体积和表面积时，我们需要知道异面直线所成角的大小来得出正确的答案。
此外，在计算空间中两个向量之间的夹角时，也需要使用异面直线所成角定义。
向量可以表示空间中任意方向和长度的量，因此计算它们之间的夹角非常重要。
总之，异面直线所成角定义是解决三维几何问题中必须掌握的基本概念。
通过理解这个概念并掌握其应用方法，我们可以更好地理解和解决空间几何问题。
求异面直线所成角的步骤
求异面直线所成角的步骤
1. 确定直线的方向向量：首先找到直线上的两个点，计算这两个点的坐标差值，得到直线的方向向量。
2. 求两个面的法向量：找到两个平面的方程，然后将方程转化为法向量的形式。
3. 计算直线与两个平面的法向量的夹角：使用向量的点乘公式，计算直线的方向向量与两个平面的法向量的点乘，得到两个夹角的余弦值。
4. 通过余弦值得到角度：使用反余弦函数，计算出两个夹角的角度值。
注意：根据夹角的符号可判断当异面直线存在时，夹角的位置关系。
异面直线所成角
AB AC CB
AB AC CB
2
2
2
A c B b C
AC CB 2 AC CB
2
AC CB 2 AC CB cos C
2 2
2
2
a
AC CB 2 AC CB cos( C ) AC CB 2 AC CB cos C
D1 F A1 E B1 C1
2 3
D A
5
G
3
C
2 O
1
B
2
变式1、 如图，在长方体中，AA1=AD=a， AB= 3 a，求AB1与BC1所成的角的余弦值。
B1 AD1为所求角
AD1 AB1 B1 D1 cos B1 AD1 2 AD1 AB1 D1
2 2 2
C1
B1 a
1 2 2a 2a 4
例1.正方体中，（1）哪些棱所在的直线 与直线 BA1成异面直线？（2）求直线BA1和CC1所成的 角的大小 D1
解：（1）与直线BA1成 A1 异面直线有AD、CD、 B1C1、C1D1、C1C、D1D （2）∵B1B∥C1C 易求得所成的角为 45
C1
B1
D B
C
A
∴∠A1B1B是异面直线BA1和CC1所成的角
a b
实验： 一张纸上画有 两条能相交的直线a、 b(交点在纸外). 现给你一副三角板 和量角器，限定不 许拼接纸片，不许 延长纸上的线段， 问如何能量出a、b 所成角的大小？
还等什么？ 动手实验 吧。
oa o b o
o
b
o
o a
一、异面直线所成的角定义：
异面直线所成的角,点面距,线面垂直、线面角
【异面直线所成的角】 1.步骤（1）造角：根据异面直线所成角的定义，用平移法作出异面直线所成角或补角的平面角。
（2）证明：证明作出的角就是所求的角或是补角。
（3）计算：求角度，常利用解三角形求解 （4）结论：注意异面直线所成角的范围。
2.平移法作异面直线所成角的策略直接平移；找等分点（如中点、三等分点等）平移；补形法1.（2017全国卷2）已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC 1=1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ）A.23 B.515 C.510 D.332.如图所示,在三棱锥A-BCD 中,AB=CD,AB 上CD,E,F 分别为BC,AD 的中点,求EF 与AB 所成的角.3.（2018年全国2）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1=，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为（ ）A. B ． C ． D ．4.如图所示,在等腰直角三角形ABC ，DA ⊥AC,DA ⊥AB,若DA=1,且E 为DA 的中点,求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值.5.（2018年北京）如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB=AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值.6.(2016课标Ⅰ,理11)平面α过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB 1A 1=n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A ．√32B √22C√33D 13方法：1.垂线法 2.等三棱锥体积法1.（2019全国1文）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．2．（2018全国2）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．1.如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形﹐PA⊥.(1)求证:PA⊥平面ABCD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.2.（2017全国卷3节选）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．证明：AC⊥BD.3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形，PA⊥平面,E,F分别是AD,PC的中点.求证:PC⊥平面BEF.4.（2018年全国2）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．证明：PO⊥平面ABC.=．ABC是底面5.（2020全国1）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE AD的内接正三角形，P为DO上一点，PO=．证明：PA⊥平面PBC；【线面平行】1.（2019天津）如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥ AB, AB=AD=1, AE= BC=2.求证:BF∥平面ADE；2.（2016山东节选）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB是圆台的一条母线.已知G,H分别为EC，FB的中点。
求异面直线所成角的基本方法
求异面直线所成角的基本方法
答案：几何法和向量法求所成角
一、几何法
1.平移法。
将两条直线或其中一条平移（找出平行线）至它们相交，把异面转化为共面，用余弦定理或正弦定理来求（一般是余弦定理）。
一般采用平行四边形或三角形中位线来构造平行线。
2.三余弦定理法。
运用三余弦定理关键是要找出一条直线a所在的平面α和另一条直线b在该平面α内的射影，求出b与α所成角以及a与b的射影b‘所成角，进而求a与b所成角。
3.三棱锥法。
三棱锥（四面体）中两条相对的棱互为异面直线，设有四面体ABCD，其中AD与BC互为异面直线，那么它们所成角θ满足以下关系：
运用该公式也可以求异面直线所成角。
二、向量法
1.向量几何法。
运用向量的加减法规则，把要求的异面直线用向量表示，并运用向量的运算法则（例如分配律、共线向量）来求出cosθ
2.向量代数法。
当容易找到三条两两垂直的直线时，可以以它们的交点为坐标轴原点建立直角坐标系，运用代数方法计算。
如何求异面直线所成的角
在高一阶段，我们常用的方法有以下三种：
（1）直接平移法：通常的思路是：在两条异面直线其中一条上面选一个端点，引另一条的平行线。
（2）中位线平移（尤其是图中出现了线段的中点时）
（3）补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
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E
B
D
M F
C
平移法
㈡.利用平行线分线段成比例的推论平移 例3.空间四边形ABCD中，AB＝CD＝3，E、F分别是AD、BC上的点， 且AE∶ED＝BF∶FC＝1∶2，
EF＝ 7 ，求异面直线AB和CD所成的角
A
E M
B F
D C
平移法
㈢.利用平行四边形平移
例4.正方体AC1中若E、F分别为AB和BB1的中点， 求A1E与CF所成角的余弦
【求异面直线所成角的步骤】
（1)"作",即用"平移法"过空间一点作两条异面直线的平行线,平移过程多用 到中位线、平行四边形的性质,操作过程会因选择的构造角度不同出现角的位 置不同,常用方法如下: ①过一条直线上的点,作另一条直线的平行线.特别是某些特殊点处,例如"端 点"或"中点"处 （2)"证"即证明所作平面角符合异面直线所成的角或补角的定义 （3）"求"即通过解三角形,计算所作的角的大小
OB1与A1C1所成的角的度数为
900
B1 A1
C1 D1
D O
A
C B
平移法
在正四面体S-ABC中，SA⊥BC, E, F分别为SC、AB 的 中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ B ）
(A)300
(B)450
(C)600
S
(D)900
E A
D
F
C
B
平移法
（解法二）
S
E
A
G
D C
F B
D (1)以E为特殊点
G.
E
C
B
F A
平移法
如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E. F分别是AB、BC的中点。 (1)求异面直线 A1D 与EF所成的角的大小
解题方法：连结A1C1,由题 可知A1C1∥EF， 则A1D与EF所成的角即为 ∠C1A1D
平移法
如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E. F分别是AB、BC的中点。 (1)求异面直线 B1D 与EF所成的角的大小
D1
C1
A1
MG
B1
F D
C
A EB
补形法
例5.再长方体AC1中已知AB＝a，BC＝b，（a＞b）AA1 ＝c，求异面直线D1B和AC所成角的余弦值
D1
C1
H
A1
B1
G
D A
C B
F E
方法二
方法一
平移法
如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若 CD 2AB 4, EF BA 则EF与CD所成角为（ ）
【求异面直线所成角的步骤】
（1)"作",即用"平移法"过空间一点作两条异面直线的平行线,平移过程多用 到中位线、平行四边形的性质,操作过程会因选择的构造角度不同出现角的位 置不同,常用方法如下: ②当异面直线依附于某几何体,且直接过一条直线上的点作另一条直线的平行 线有困难时,可利用该几何体中的特殊点,将两条异面直线分别平移,使它们相 交于该特殊点
平移法
（解法三）
S
E C
A
F B
S E C
B F A
平移法
㈠.利用三角形的中位线平移
例1.空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点， AD⊥BC，且AD＝BC，求EF与BC所成的角
A
E
D
G B
F C
平移法
例2.在棱长都相等的三棱锥A—BCD中，E、F分别为棱 AD、BC的中点，连接AF、CE。求异面直线AF、CE所 成角的大小
第一讲
立体几何异面直线
CONTENTS
1 技巧讲解 2 例题讲解 3 对应习题 4 课程总结
初中数学知识点精讲课程
立体几何异面直线所成角
课堂小结
异面直线所成角
平移法 补形法 投影法
P a r t 1 立体几何异面直线所成角
例 １ 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，指出下列各对线段所成的角：
（3）以F为特殊点
D
G
C F A
E B
补形法
例３：如图，在空间四边形 ABDC中,各边长和对角线长均 为a ,点E,F分别是BD,AC的中 点, 求:异面直线AE,BF所成的角.
（4）以B为特殊点
D
CHale Waihona Puke F AE BG
P a r t 2 立体几何异面直线所成角习题
平移法
正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则
补形法
例３：如图，在空间四边形ABDC中,各边长和对角线长均为a ,点E,F 分别是BD,AC的中点, 求:异面直线AE,BF所成的角.
(2)以A为特殊点
D
E
C
B
G
F
A
平移法
例３：如图，在空间四边形ABDC中,各边长和对角线长均为a ,点E,F 分别是BD,AC的中点, 求:异面直线AE,BF所成的角.
平移法
例 ：如图，空间四边形ABCD中,对角线AC=10,BD=6,点M,N分别是 AB,CD的中点,且MN=7. 求:异面直线AC和BD所成角的大小.
A
.G
M
DN
B
C
平移法
例：如图，在空间四边形ABDC中,各边长和对角线长均为a , 点E,F分别是BD,AC的中点, 求:异面直线AE,BF所成的角.
（2)"证"即证明所作平面角符合异面直线所成的角或补角的定义 （3）"求"即通过解三角形,计算所作的角的大小
投影法
如图，长方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1B =BC，P为 C1D1 上一点，则异面直线 PB与 B1C 所成角的大小是( )
解题方法：∵D 1 C 1 ⊥面 BCC 1 B 1 ，∴BC 1 为BP 在面BCC 1 B 1 内的射影， 又BC 1 =B 1 C，∴BC 1 ⊥B 1 C，∴BP⊥B 1 C．
求两条异面直线所成的角的数学思想是化空间为平面,也就是通过平移直 线至相交位置求角,它是立体几何问题的个难点,找异面直线所成的角时可 运用多种方法,给出的四种解法总结起来有如下"口诀":
中点、端点定顶点，平移常用中位线,平行四边形中见, 指出成角很关键, 求角构造三角形,锐角、钝角要明辨,平行线若在外,补上原体在外边
1）AB与CC1； 2）A1 B1与AC； 3) A1B与D1B1。
1）AB与CC1所成的角 = 9 0° 2）A1 B1与AC所成的角= 4 5° 3）A1B与D1B1所成的角 = 6 0°
练习：1、求直线AD1与B1C所成的夹角； 2、与直线BB1垂直的棱有多少条？
D1 A1
C1 B1
D
C
A
B
【规律总结】