异面直线所成角详解
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A
E
B
D
M F
C
平移法
㈡.利用平行线分线段成比例的推论平移 例3.空间四边形ABCD中，AB＝CD＝3，E、F分别是AD、BC上的点， 且AE∶ED＝BF∶FC＝1∶2，
EF＝ 7 ，求异面直线AB和CD所成的角
A
E M
B F
D C
平移法
㈢.利用平行四边形平移
例4.正方体AC1中若E、F分别为AB和BB1的中点， 求A1E与CF所成角的余弦
【求异面直线所成角的步骤】
（1)"作",即用"平移法"过空间一点作两条异面直线的平行线,平移过程多用 到中位线、平行四边形的性质,操作过程会因选择的构造角度不同出现角的位 置不同,常用方法如下: ①过一条直线上的点,作另一条直线的平行线.特别是某些特殊点处,例如"端 点"或"中点"处 （2)"证"即证明所作平面角符合异面直线所成的角或补角的定义 （3）"求"即通过解三角形,计算所作的角的大小
OB1与A1C1所成的角的度数为
900
B1 A1
C1 D1
D O
A
C B
平移法
在正四面体S-ABC中，SA⊥BC, E, F分别为SC、AB 的 中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ B ）
(A)300
(B)450
(C)600
S
(D)900
E A
D
F
C
B
平移法
（解法二）
S
E
A
G
D C
F B
D (1)以E为特殊点
G.
E
C
B
F A
平移法
如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E. F分别是AB、BC的中点。 (1)求异面直线 A1D 与EF所成的角的大小
解题方法：连结A1C1,由题 可知A1C1∥EF， 则A1D与EF所成的角即为 ∠C1A1D
平移法
如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E. F分别是AB、BC的中点。 (1)求异面直线 B1D 与EF所成的角的大小
D1
C1
A1
MG
B1
F D
C
A EB
补形法
例5.再长方体AC1中已知AB＝a，BC＝b，（a＞b）AA1 ＝c，求异面直线D1B和AC所成角的余弦值
D1
C1
H
A1
B1
G
D A
C B
F E
方法二
方法一
平移法
如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若 CD 2AB 4, EF BA 则EF与CD所成角为（ ）
【求异面直线所成角的步骤】
（1)"作",即用"平移法"过空间一点作两条异面直线的平行线,平移过程多用 到中位线、平行四边形的性质,操作过程会因选择的构造角度不同出现角的位 置不同,常用方法如下: ②当异面直线依附于某几何体,且直接过一条直线上的点作另一条直线的平行 线有困难时,可利用该几何体中的特殊点,将两条异面直线分别平移,使它们相 交于该特殊点
平移法
（解法三）
S
E C
A
F B
S E C
B F A
平移法
㈠.利用三角形的中位线平移
例1.空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点， AD⊥BC，且AD＝BC，求EF与BC所成的角
A
E
D
G B
F C
平移法
例2.在棱长都相等的三棱锥A—BCD中，E、F分别为棱 AD、BC的中点，连接AF、CE。求异面直线AF、CE所 成角的大小
第一讲
立体几何异面直线
CONTENTS
1 技巧讲解 2 例题讲解 3 对应习题 4 课程总结
初中数学知识点精讲课程
立体几何异面直线所成角
课堂小结
异面直线所成角
平移法 补形法 投影法
P a r t 1 立体几何异面直线所成角
例 １ 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，指出下列各对线段所成的角：
（3）以F为特殊点
D
G
C F A
E B
补形法
例３：如图，在空间四边形 ABDC中,各边长和对角线长均 为a ,点E,F分别是BD,AC的中 点, 求:异面直线AE,BF所成的角.
（4）以B为特殊点
D
CHale Waihona Puke F AE BG
P a r t 2 立体几何异面直线所成角习题
平移法
正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则
补形法
例３：如图，在空间四边形ABDC中,各边长和对角线长均为a ,点E,F 分别是BD,AC的中点, 求:异面直线AE,BF所成的角.
(2)以A为特殊点
D
E
C
B
G
F
A
平移法
例３：如图，在空间四边形ABDC中,各边长和对角线长均为a ,点E,F 分别是BD,AC的中点, 求:异面直线AE,BF所成的角.
平移法
例 ：如图，空间四边形ABCD中,对角线AC=10,BD=6,点M,N分别是 AB,CD的中点,且MN=7. 求:异面直线AC和BD所成角的大小.
A
.G
M
DN
B
C
平移法
例：如图，在空间四边形ABDC中,各边长和对角线长均为a , 点E,F分别是BD,AC的中点, 求:异面直线AE,BF所成的角.
（2)"证"即证明所作平面角符合异面直线所成的角或补角的定义 （3）"求"即通过解三角形,计算所作的角的大小
投影法
如图，长方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1B =BC，P为 C1D1 上一点，则异面直线 PB与 B1C 所成角的大小是( )
解题方法：∵D 1 C 1 ⊥面 BCC 1 B 1 ，∴BC 1 为BP 在面BCC 1 B 1 内的射影， 又BC 1 =B 1 C，∴BC 1 ⊥B 1 C，∴BP⊥B 1 C．
求两条异面直线所成的角的数学思想是化空间为平面,也就是通过平移直 线至相交位置求角,它是立体几何问题的个难点,找异面直线所成的角时可 运用多种方法,给出的四种解法总结起来有如下"口诀":
中点、端点定顶点，平移常用中位线,平行四边形中见, 指出成角很关键, 求角构造三角形,锐角、钝角要明辨,平行线若在外,补上原体在外边
1）AB与CC1； 2）A1 B1与AC； 3) A1B与D1B1。
1）AB与CC1所成的角 = 9 0° 2）A1 B1与AC所成的角= 4 5° 3）A1B与D1B1所成的角 = 6 0°
练习：1、求直线AD1与B1C所成的夹角； 2、与直线BB1垂直的棱有多少条？
D1 A1
C1 B1
D
C
A
B
【规律总结】
E
B
D
M F
C
平移法
㈡.利用平行线分线段成比例的推论平移 例3.空间四边形ABCD中，AB＝CD＝3，E、F分别是AD、BC上的点， 且AE∶ED＝BF∶FC＝1∶2，
EF＝ 7 ，求异面直线AB和CD所成的角
A
E M
B F
D C
平移法
㈢.利用平行四边形平移
例4.正方体AC1中若E、F分别为AB和BB1的中点， 求A1E与CF所成角的余弦
【求异面直线所成角的步骤】
（1)"作",即用"平移法"过空间一点作两条异面直线的平行线,平移过程多用 到中位线、平行四边形的性质,操作过程会因选择的构造角度不同出现角的位 置不同,常用方法如下: ①过一条直线上的点,作另一条直线的平行线.特别是某些特殊点处,例如"端 点"或"中点"处 （2)"证"即证明所作平面角符合异面直线所成的角或补角的定义 （3）"求"即通过解三角形,计算所作的角的大小
OB1与A1C1所成的角的度数为
900
B1 A1
C1 D1
D O
A
C B
平移法
在正四面体S-ABC中，SA⊥BC, E, F分别为SC、AB 的 中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ B ）
(A)300
(B)450
(C)600
S
(D)900
E A
D
F
C
B
平移法
（解法二）
S
E
A
G
D C
F B
D (1)以E为特殊点
G.
E
C
B
F A
平移法
如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E. F分别是AB、BC的中点。 (1)求异面直线 A1D 与EF所成的角的大小
解题方法：连结A1C1,由题 可知A1C1∥EF， 则A1D与EF所成的角即为 ∠C1A1D
平移法
如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E. F分别是AB、BC的中点。 (1)求异面直线 B1D 与EF所成的角的大小
D1
C1
A1
MG
B1
F D
C
A EB
补形法
例5.再长方体AC1中已知AB＝a，BC＝b，（a＞b）AA1 ＝c，求异面直线D1B和AC所成角的余弦值
D1
C1
H
A1
B1
G
D A
C B
F E
方法二
方法一
平移法
如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若 CD 2AB 4, EF BA 则EF与CD所成角为（ ）
【求异面直线所成角的步骤】
（1)"作",即用"平移法"过空间一点作两条异面直线的平行线,平移过程多用 到中位线、平行四边形的性质,操作过程会因选择的构造角度不同出现角的位 置不同,常用方法如下: ②当异面直线依附于某几何体,且直接过一条直线上的点作另一条直线的平行 线有困难时,可利用该几何体中的特殊点,将两条异面直线分别平移,使它们相 交于该特殊点
平移法
（解法三）
S
E C
A
F B
S E C
B F A
平移法
㈠.利用三角形的中位线平移
例1.空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点， AD⊥BC，且AD＝BC，求EF与BC所成的角
A
E
D
G B
F C
平移法
例2.在棱长都相等的三棱锥A—BCD中，E、F分别为棱 AD、BC的中点，连接AF、CE。求异面直线AF、CE所 成角的大小
第一讲
立体几何异面直线
CONTENTS
1 技巧讲解 2 例题讲解 3 对应习题 4 课程总结
初中数学知识点精讲课程
立体几何异面直线所成角
课堂小结
异面直线所成角
平移法 补形法 投影法
P a r t 1 立体几何异面直线所成角
例 １ 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，指出下列各对线段所成的角：
（3）以F为特殊点
D
G
C F A
E B
补形法
例３：如图，在空间四边形 ABDC中,各边长和对角线长均 为a ,点E,F分别是BD,AC的中 点, 求:异面直线AE,BF所成的角.
（4）以B为特殊点
D
CHale Waihona Puke F AE BG
P a r t 2 立体几何异面直线所成角习题
平移法
正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则
补形法
例３：如图，在空间四边形ABDC中,各边长和对角线长均为a ,点E,F 分别是BD,AC的中点, 求:异面直线AE,BF所成的角.
(2)以A为特殊点
D
E
C
B
G
F
A
平移法
例３：如图，在空间四边形ABDC中,各边长和对角线长均为a ,点E,F 分别是BD,AC的中点, 求:异面直线AE,BF所成的角.
平移法
例 ：如图，空间四边形ABCD中,对角线AC=10,BD=6,点M,N分别是 AB,CD的中点,且MN=7. 求:异面直线AC和BD所成角的大小.
A
.G
M
DN
B
C
平移法
例：如图，在空间四边形ABDC中,各边长和对角线长均为a , 点E,F分别是BD,AC的中点, 求:异面直线AE,BF所成的角.
（2)"证"即证明所作平面角符合异面直线所成的角或补角的定义 （3）"求"即通过解三角形,计算所作的角的大小
投影法
如图，长方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1B =BC，P为 C1D1 上一点，则异面直线 PB与 B1C 所成角的大小是( )
解题方法：∵D 1 C 1 ⊥面 BCC 1 B 1 ，∴BC 1 为BP 在面BCC 1 B 1 内的射影， 又BC 1 =B 1 C，∴BC 1 ⊥B 1 C，∴BP⊥B 1 C．
求两条异面直线所成的角的数学思想是化空间为平面,也就是通过平移直 线至相交位置求角,它是立体几何问题的个难点,找异面直线所成的角时可 运用多种方法,给出的四种解法总结起来有如下"口诀":
中点、端点定顶点，平移常用中位线,平行四边形中见, 指出成角很关键, 求角构造三角形,锐角、钝角要明辨,平行线若在外,补上原体在外边
1）AB与CC1； 2）A1 B1与AC； 3) A1B与D1B1。
1）AB与CC1所成的角 = 9 0° 2）A1 B1与AC所成的角= 4 5° 3）A1B与D1B1所成的角 = 6 0°
练习：1、求直线AD1与B1C所成的夹角； 2、与直线BB1垂直的棱有多少条？
D1 A1
C1 B1
D
C
A
B
【规律总结】