2017年杭州高三数学一模试卷及答案

2016学年杭州市高三年级第一学期教学质量检测 数学检测试卷选择题部分（共40分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.若集合}1|1||{≤-=x x A ，}2,1,0,1,2{--=B ，则集合=B A （ ）A. }2,0{B. }2,2{-C. }2,1,0{D. }0,1,2{-- 2.命题“0||||≠+y x ”是命题“0≠x 或0≠y ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3.有五条长度分别为1，3，5，7，9的线段，若从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为（ ） A.101 B. 103 C. 21 D. 1074.设复数i 2321+-=ω（其中i 是虚数单位），则=+ω1（ ） A. ω- B. 2ω C. ω1-D.21ω5.已知直线022=-+y x 经过椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为（ ）A. 14522=+y xB. 1422=+y x C. 14922=+y x D. 14622=+y x 6.已知21212100x ex x x x x <+>>，，（e 为自然对数的底数），则（ ） A. 121>+x x B. 121<+x x C.e x x 11121<+ D. ex x 11121>+ 7.设O 是ABC ∆的内心，b AC c AB ==，，若AC AB AO 21λλ+=，则（ ）A.c b =21λλB. c b =2221λλC. 2221b c =λλD. bc=2221λλ8.若不等式0))(3(2≤-+b x ax 对任意的),0(+∞∈x 恒成立，则（ ）A. 92=ab B. 092<=a b a ， C. 092<=a a b ， D. a b 92=9.在ABC ∆中，5=AC ，02tan52tan12tan1=-+B C A ，则=+AB BC （ ）A. 6B. 7C. 8D. 910.设函数)()(2c b a c bx ax x f >>++=的图象经过点))(,(11m f m A 和点))(,(22m f m B ，0)1(=f .若0)()())()((21212=⋅+⋅++m f m f a m f m f a ，则（ ）A. 0≥bB. 0<bC. 03≤+c aD. 03<-c a 非选择题部分（共110分）二、填空题（本大题共7小题，第11-14题每小题6分，15-17题每小题4分，共36分） 11.=+5lg 2lg ________；313log 822-=________.12.双曲线1422=-y x 的渐近线方程是________，离心率是________. 13.已知随机变量ξ的分布列为：若3)(=ξE ，则=+y x ________，=)(ξD _________. 14.设函数x x x f ln )(=，则点)0,1(处的切线方程是________；函数x x x f ln )(=的最小值为_________. 15.在2016)2(-x 的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当2=x 时，=S ________.16.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≤+-102012x y x y x ，则由点),2(y x y x P +-形成的区域的面积为_________.17.设函数bx ax x f 22)(2+=，若对任意实数b ，非零实数a ，都存在实数0(0,)x m ∈，使得b a x f +=)(0，则实数m 的取值范围为________。

三、解答题（本大题共5小题，共74分）18.（本题满分14分）设)(21cos sin 3sin )(2R x x x x x f ∈-+=. （1）求函数)(x f 的最小正周期与值域；（2）设ABC ∆内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，A 为锐角，432==c a ，，若1)(=A f ，求b A ,.19.（本题满分15分）在平面直角坐标系内，点)01()1,0()1,0(，，，C B A -，点P 满足2||PC k BP AP =⋅. （1）若2=k ，求点P 的轨迹方程；（2）当0=k 时，若4||max =+BP AP λ，求实数λ的值.20.（本题满分15分）设函数]1,0[11)(2∈++=x x x x f ，. （1）证明：9894)(2+-≥x x x f ； （2）证明：23)(8168≤<x f .21.（本题满分15分）已知Q P ,为椭圆1222=+y x 上的两点，满足22QF PF ⊥，其中21,F F 分别为左右焦点.（1）求||21PF PF +的最小值；（2）若)()(2121QF QF PF PF +⊥+，设直线PQ 的斜率为k ，求2k 的值.22.（本题满分15分）设数列{}n a 满足)(312211*+∈+==N n na a a a n n n ，.（1）证明：)(11*+∈<<N n a a n n ； （2）证明：)(12*∈+≥N n n na n .2016学年杭州市高三年级第一学期教学质量检测数学参考答案及评分标准二、填空题：（本大题共7小题，第11-14题，每小题6分，15-17每小题4分，共36分）11．1,1 12．y ＝±12x13．12，119 14．y ＝x －1；－1e15．－23023 16．117．()1,+∞三、解答题：（本大题共5小题，共 74分） 18．（本题满分14分） 解：（I ）化简得：f (x )＝sin(2x －π6)（x ∈R ）， 所以最小正周期为π，值域为[－1,1]．………………………………7分（II ）因为f (A )＝sin(2A －π6)＝1． 因为A 为锐角，所以2A －π6∈(－π6,5π6)，所以2A －π6＝π2，所以A ＝π3．由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得b 2－4b ＋4＝0．解得b ＝2． ………………………………7分19．（本题满分15分）解：（I ）设P (x ,y )，则AP ＝(x ,y －1)，BP ＝(x ,y ＋1)，PC＝(x －1,y )．因为k ＝2，所以 22||AP BP PC ⋅= ，所以 (x ,y －1)▪(x ,y ＋1)＝2[(x －1)2＋y 2]， 化简整理，得 (x －2)2＋y 2＝1，故点P 的轨迹方程为 (x －2)2＋y 2＝1．……………………………7分（II ）因为k ＝0，所以0AP BP ⋅=， 所以 x 2＋y 2＝1．所以 |λAP ＋BP |2＝λ2AP 2＋BP 2＝λ2[x 2＋(y －1)2]＋x 2＋(y ＋1)2＝(2－2λ2) y ＋2λ2＋2（y ∈[－1,1]）．当2－2λ2＞0时，即－1＜λ＜1， (|λAP ＋BP|max )2＝2－2λ2＋2λ2＋2＝4≠16，不合题意，舍去；当2－2λ2≤0时，即λ≥1或λ≤－1时， (|λAP ＋BP|max )2＝2λ2－2＋2λ2＋2＝16，解得λ＝±2．………………………………8分 20．（本题满分15分） 解：（I ）令g (x )＝f (x )－x 2＋49x －89，即g (x )＝11x +＋49x －89，所以22248521)(25)()=9(1)9(1)x x x x g x x x +--+'=++（， 所以g (x )在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上递减，在112⎛⎫⎪⎝⎭，上递增，所以g (x )≥12g ⎛⎫⎪⎝⎭＝0，所以f (x )≥x 2－49x ＋89． ………………………………7分（II ）因为3222421()(1)x x x f x x ++-'=+，x ∈[0,1]， 设h (x )＝2x 3＋4x 2＋2x －1，h ′(x )＝6x 2＋8x ＋2， 因为h (0)＝－1，h (1)＝7，所以存在x 0∈(0,1)，使得f ′(x )＝0，且f (x )在(0, x 0)上递减，在(x 0,1)上递增， 所以 f (x )max ＝{ f (0)，f (1)}＝f (1)＝32．由（I ）知，f (x )≥x 2－49x ＋89＝2268981x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≥6881，又12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝11126881>，277368=989181f ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 所以6881＜f (x )≤32． ………………………………8分21．（本题满分15分）解: （I ）因为122PF PF PO +=（O 为坐标原点），显然min ||1PO =，所以12||PF PF +的最小值为2． ………………………………5分（II ）由题意，可知OP OQ ⊥．又22F P F Q ⊥，所以PQ 是两个直角三角形POQ 和PF 2Q 的公共斜边，即得线段PQ 的中点到O ，F 2两点的距离相等，即线段PQ 中点的横坐标为12．设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，联立椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2＋4kbx ＋2b 2－2＝0． 设P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，则x 1＋x 2＝－2412kbk+． 又因为 x 1＋x 2＝1， 所以 1＋2k 2＝－4kb ，（1）另一方面，x 1x 2＝222212b k-+，y 1y 2＝222222212k b k kb b k -+++． 由x 1x 2＋y 1y 2＝0，得2222222222201212b k b k kb b k k--+++=++， 即 4k 2b 2＋2k 3b －2k 2＋3b 2＋kb －2＝0， （2）由（1）（2），得－20k 4－20k 2＋3＝0，解之得2k =10分 22．（本题满分15分）证明：（I ）易知a n ＞0，所以a n ＋1＞a n ＋22na n＞a n ，所以 a k ＋1＝a k ＋22k a k ＜a k ＋12k k a a k+，所以21111k k a a k+-<． 所以，当n ≥2时，111121122111111111111()3[1]3[1()](1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=-->->-+=-+---∑∑∑∑ 13[11]111nn n =-+-=>--， 所以a n ＜1． 又1113a =<，所以a n ＜1（n ∈N *）， 所以 a n ＜a n ＋1＜1（n ∈N *）． ………………………………8分 （II ）当n ＝1时，显然成立．由a n ＜1，知2122k k k k k a a a a a k k +=+<+，所以2121k k k a a k +>+， 所以2211122221111k k k k k k k k k a k a a a a a a a a k k k k +++=+>+⋅=+++， 所以211111k k a a k +->+，所以，当n ≥2时，111121111111111111111()33()1(1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=--<-<-=--+++∑∑∑∑ 1213(1)n n n +=--=，即21n na n >+． 所以21n na n ≥+（n ∈N *）． ………………………………7分。