简谐振动动力学特性
简谐振动的动力学特征
1
2、振动的特征 (在时间上）具有某种重复性。 3、振动中最简单最基本的是简谐振动。 任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成。
2
二、几个谐振动的实例
１、弹簧振子
1）定义： 构成：轻质弹簧一端固定其另一端
简谐振动的动力学特征
物质的运动具有粒子和波动两种图象。 天体的、宏观的机械运动，及分子的热运动呈粒子性； 微观领域内，无论场和实物都呈波、粒二象性。
一、振动的概念
1、什么是振动： 物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为机械振动。 物体在发生摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。 任何一个具有质量和弹性的系统在其运动状态发生突变时, 都会发生振动。
3
（2） 弹性恢复力的特点：
恢复力与位移正比而反
K
向（线性回复力），即
F= -kx 此处位移特指系统偏离平衡位置的位移。
F 0 xX
（3）惯性的作用
整个系统是在内部线性恢复力和惯性的交互作用下来实现振 动的。
4
3）弹簧振子的运动微分方程 以振子为对象 由牛顿定律：
m
d2x dt 2
kx
令 2 k
其谐振动的微分方程： 运动学特征：
d2x dt2
2x
0
物体振动时，它离开平衡位置的位移是时间的余弦函数
谐振动的运动学方程 x A cos(t 0 )
式中A、 0 是由初始条件所决定的两个积分常数
v
dx dt
A
s in( t
0)
a
dv dt
A 2
c os ( t
0)
2x
1、简谐振动的特征、能量
4
2
4
T
t
1 2 2 2 Ek m A sin t 2
1 2 E kA 2
简谐运动能量守恒，振幅不变 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
A
O
B
Ek
Ep
x
A
x
能量守恒
推导
1 2 1 2 E mv kx 2 2
d 1 1 2 2 ( mv kx ) 0 dt 2 2 dv dx mv kx 0 dt dt
2
其解为∶
x A cos( t )
──谐振动的运动学方程 (简称振动方程)
x A cos( t )
运动学方程
描述作谐振动物体位置随时间变化的关系
dx v A sin(t ) dt
描述作谐振动物体振动速度随时间变化的关系
dv 2 a A cos(t ) dt
相位差只能在同频率的振动间比较 当 2n
当 （ 2n 1 ） 若 0
n 0, 1, 2
n 0, 1, 2
时
两振动步调相同，称同相
时
两振动步调相反，称反相
2 超前于 1 或 1滞后于 2
相位差反映了两个振动不同程度的参差错落
四、振幅和初相确定
波动篇
内容： 机械振动 机械波
波动光学
前
言
人们习惯于按照物质的运动形态，把经典物理学 分成力（包括声）、热、电、光等子学科。然而，某 些形式的运动是横跨所有这些学科的，其中最典型的 要算振动和波了。在力学中有机械振动和机械波，在 电学中有电磁振荡和电磁波，声是一种机械波，光则 是一种电磁波。在近代物理中更是处处离不开振动和 波，仅从微观理论的基石——量子力学又称波动力学 这一点就可看出，振动和波的概念在近代物理中的重 要性了。
高中物理：简谐运动的特征及分析方法
一、简谐运动特征
1、动力学特征：，注意k不等同于弹簧的劲度系数，是由振动装置本身决定的常数；动力学特征也是判断某机械运动是否为简谐运动的依据。
2、运动学特征：，此式表明加速度也跟位移大小成正比，并总指向平衡位置。
由此可见，简谐运动是一变加速运动，且加速度和速度都在做周期性的变化。
3、能量特征：机械能守恒，注意振动物体通过平衡位置时势能为零的说法不够确切，应说成此位置势能最小。
4、对称特征：关于平衡位置对称的两点等物理量的大小相等，此外还体现在过程量上的相等，如从某点到平衡位置的时间和从平衡位置到与该点关于平衡位置对称点的时间相同等等。
二、简谐运动的分析方法
1、判断振动是简谐运动的思路：正确受力分析；找出平衡位置
（）；设物体偏离平衡位置位移为x，找到，即可得证。
2、判断简谐运动的变化的思路：
例、如图所示，一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3s质点第一次经过M点，再继续运动，又经过2s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点所需的时间是_______________。
解析：设图中a、b两点为质点振动过程中的最大位移处，若开始质点从O
点向右运动，O→M历时3s，M→b→M历时2s，则＝4s，T＝16s，质点第三次经过M点所需时间
t＝16s－2s＝14s。
若开始计时时刻质点从O点向左运动，O→a→O→M历时3s。
M→b→M历时2s，则，质点第三次经过M点所需时
间
本题的求解关键在于灵活运用简谐运动中的对称性，同时还要注意振动方向的不确定性造成此题的多解；除此之外，对简谐运动过程中各个物理量在四个T/4时段内和五个特殊时刻的情况分析也要清楚。
简谐振动的概念与特性
简谐振动的概念与特性简谐振动是物体在受到恢复力作用下以往复方式运动的一种运动形式。
它在物理学中具有极其重要的地位，广泛应用于各个领域。
本文将讨论简谐振动的概念、特性以及它在不同领域中的应用。
一、概念简谐振动是指物体在恢复力的作用下，以一个固有频率在均衡位置附近以往复方式运动的现象。
恢复力可以是弹性力、重力或者其他可以将物体恢复到平衡位置的力。
简谐振动的特点是周期性和振幅恒定，即物体的运动是重复的，并且振幅保持不变。
二、特性简谐振动具有以下几个重要特性：1. 固有频率：每个简谐振动系统都有一个固有频率，它是物体自身特性决定的。
固有频率取决于物体的质量、弹性系数以及几何形状。
一个简单的例子是弹簧振子的固有频率与弹簧的劲度系数和质量有关。
2. 振幅：振幅是简谐振动中物体偏离平衡位置的最大距离。
振幅可以由外力的大小和频率来控制。
3. 相位：简谐振动中的相位表示物体与运动初相位的偏移。
相位可以通过正弦函数来描述，它可以用角度或者时间来度量。
4. 能量：简谐振动系统具有动能和势能的周期性转换。
当物体通过平衡位置时，它的动能最大，势能最小；而在达到极值点时，动能最小，势能最大。
三、应用领域简谐振动的概念和特性在物理学和工程学中有广泛的应用。
以下是一些例子：1. 机械工程：简谐振动理论在机械工程中应用广泛，特别是在振动控制和结构动力学方面。
通过研究和控制结构的简谐振动，可以减少振动对结构的损坏，提高机械设备的运行效率。
2. 电子工程：电路中的简谐振动可以用来产生稳定的频率信号。
例如，晶体振荡器是一种利用电路的简谐振动产生稳定频率信号的器件，广泛应用于电子设备中。
3. 物理学研究：许多物理学实验都需要控制简谐振动。
例如，通过改变杆的长度和质量，可以研究简谐摆的周期和频率。
另外，简谐振动也用于研究分子中原子之间的相对振动。
4. 医学工程：在医学影像设备中，简谐振动可以用来改善图像分辨率。
通过应用弹性力和振荡原理，可以消除图像中的噪声，提高医学影像的质量。
简谐振动的动力学特征
x +
2
v
ω
2 0
= A2
o
v
x
简谐振动的相轨迹是椭圆，其形状大小取决于初始条件。
三、简谐振动的矢量表示法
现在讨论用旋转矢量的投影表示简谐振动。讨论振动合成 等问题时，用这种方法很方便，如图所示 A 为一长度保持不变 的矢量，A 的始点在 x 坐标轴的原点处，计时起点 t = 0时，矢 量与坐标轴夹角为 α ，矢量 A 以角速度 ω 0 逆时针匀速转动， 因此，矢量 A 在任一瞬时与 x 轴夹角为 ω 0t + α ，用 x 表示矢 量在坐标轴上的投影，有 x = A cos(ω 0t + α ) 可见，匀速旋转 矢量在坐标轴上 的投影即表示一 特定的简谐振动 的运动学方程。
讨论的步骤为： （1）先确定振动系统的平衡位置，并以平衡位置为坐标原点， 建立坐标系；（2）让振动系统偏离平衡位置，然后分析系统 的受力情况，求出系统所受的合外力；（3）根据牛顿运动定 律，导出简谐振动的运动微分方程。
一、弹簧振子的振动
一端固定、质量可忽略、劲度系数为 K 的弹簧，在另一端 固结一个质量为 m 的物体，就构成一个弹簧振子。把它平放在 光滑水平面上。
π
π
ω−
3
=
3
.
∴
2 ω = π. 3
于是求得质点的振动式为
2 π x = 4 cos( πt − ) 3 3
ϕ 本题在计算过程中取 ω 的单位为 rad/s，t 的单位为 s ， 的单 位为 rad ，x 和A的单位为 cm。
另一种描述运动状态的方法是利用相平面——坐标和速度 构成的坐标系。其上一点给出质点在某时刻的运动状态，随时 间推移，质点运动状态在相平面上的代表点移动而画出曲线， 称相轨迹或相图。 位置和速度的关系曲线就是它的相图
简谐振动与谐振子的动力学特性
简谐振动与谐振子的动力学特性简谐振动是一种物理现象，描述了一个物体在没有外力作用下，以相对平衡位置为中心，围绕着这个平衡位置做往复运动的情况。
谐振子是指能够进行简谐振动的物体或系统。
简谐振动的动力学特性有很多值得探讨和讨论的方面，其中包括振动的周期、频率、振幅和相位。
首先，简谐振动的周期是指一个完整的振动往复运动所需要的时间。
对于一个谐振子来说，其周期由振子的质量和弹簧的劲度系数决定。
根据牛顿第二定律和胡克定律，可以通过以下公式计算谐振子的周期：T = 2π√(m/k)其中，T表示周期，m表示质量，k表示弹簧的劲度系数。
从公式可以看出，质量越大，周期越长；劲度系数越大，周期越短。
其次，简谐振动的频率与周期有着密切的关系。
频率是指单位时间内振动的次数，用赫兹（Hz）来表示。
频率可以通过周期的倒数来计算，即f = 1/T。
从公式可以看出，频率是周期的倒数，所以周期越短，频率越高。
振幅是指简谐振动的最大位移，即物体运动离开平衡位置的最大距离。
对于谐振子来说，振幅是通过外力施加的能量来决定的。
振幅越大，说明被施加在谐振子上的力越大，振动幅度也就越大。
最后，相位是指简谐振动的起始位置。
相位可以通过计算振动的位移与时间的关系来确定。
相位是一个角度或相对于某一点的偏移量。
相位的变化可以告诉我们在一个振动周期内，振动物体的位置变化情况。
除了上述动力学特性，简谐振动的能量也是一个非常重要的方面。
在谐振子运动过程中，弹簧对物体施加的力会不断改变物体的动能和势能。
当物体通过平衡位置时，动能最大，而当物体离开平衡位置最远时，势能最大。
这种动能和势能的不断转换使得谐振子的能量保持不变。
简谐振动是自然界中广泛存在的一种运动形式，许多物理学原理和现象都与谐振相关。
例如，在机械系统中，钟摆和弹簧振子都是简谐振动的典型例子。
在电磁系统中，射频电路和天线振动也可以用简谐振动的概念来描述。
总之，简谐振动是一种极为重要和普遍的物理现象。
简谐振动的动力学特征
= A [cosω0t cosα1 sinω0t sinα1] + A2 [cosω0t cosα2 sinω0t sinα2 ] 1 = ( A cosα1 + A2 cosα2 ) cosω0t ( A sinα1 + A2 sinα2 ) sinω0t 1 1
令:
Acosα = A cosα1 + A2 cosα2 1 Asinα = A sinα1 + A2 sinα2 1
x = cos(ω0t +α)
2 2 & x a = v = && = Aω0 cos(ω0t +α ) = Aω0 cos(ω0t +α +π ) π 设: φx = ω0t +α , φv = ω0t +α + , φa = ω0t +α +π 2 π π 则, φv φx = , φa φv = , φa φx = π
x = Acos(ω0t +α)
1 2 2 1 2 1 Ek = kA sin (ω0t +α ), Ep = kx = kAcos2 (ω0t +α ) 2 2 2
弹簧振子的总能为: 故,弹簧振子的总能为:E = E
k
+ Ep
由此可见:动能和势能互相转化. 由此可见:动能和势能互相转化.
22
2 例 若单摆的振幅为 θ0 ,试证明悬线所受的最大拉力等于 mg(1+θ0 )
23
24
§9-4 简谐振动的合成 一,同方向同频率简谐振动的合成
设质点参与同方向同频率的两个简谐振动: 设质点参与同方向同频率的两个简谐振动:
x1 = A cos(ω0t +α1 ) 1
动力学中的简谐振动与振幅频率关系
动力学中的简谐振动与振幅频率关系在物理学中，简谐振动是指一个物体围绕平衡位置做往复运动的现象。
它可以被广泛地应用于机械、电学、光学等领域，并且对于理解动力学和波动现象非常重要。
在研究简谐振动时，我们往往会关注振动的振幅和频率之间的关系。
一. 简谐振动的定义与特征简谐振动是指一个物体围绕其平衡位置进行的周期性往复运动。
它的特点包括以下几个方面：1. 平衡位置：简谐振动的平衡位置是物体在不受外力作用时所处的位置，也是振动的中心点。
2. 振幅：振幅是指物体离开平衡位置的最大位移，通常用字母A表示。
3. 周期：简谐振动的周期是指物体完成一次完整振动所需要的时间，通常用字母T表示。
4. 频率：频率是指单位时间内振动的次数，通常用字母f表示。
二. 简谐振动的振幅频率关系简谐振动的振幅和频率之间存在着一定的关系，这种关系可以通过振动的数学表示来推导。
1. 数学表示我们可以通过物体的位置随时间的变化来描述简谐振动。
设物体的运动方程为x(t)，其中x表示位置，t表示时间。
根据数学分析，可以得到以下表示：x(t) = A * cos(ωt + φ)在上述公式中，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初始相位。
2. 振幅与角频率的关系通过上述公式可以看出，振幅A对应于cos函数的最大值，即A是振动的最大位移。
而角频率ω则决定了振动的快慢程度，它与振动的周期T之间存在如下关系：ω = 2π / T由此可见，振幅与周期的倒数成正比，振幅越大，周期越短。
3. 频率与角频率的关系频率f是指单位时间内振动的次数，它与角频率ω之间存在如下关系：f = 1 / T = ω / 2π也就是说，频率和角频率之间是相等的。
频率能够直接反映振动的快慢程度，频率越大，振动越快。
综上所述，简谐振动的振幅和频率具有一定的关系：振幅与周期的倒数成正比，而频率与角频率相等。
我们可以通过实验数据或者数学推导来验证这种关系，并且可以利用这种关系来解决相关的物理问题。
简谐振动的规律和特点
简谐振动的规律和特点简谐振动是一种重要的物理现象，它在自然界和人类生活中都有广泛的应用。
本文将详细介绍简谐振动的规律和特点，并从多个角度进行描述。
一、简谐振动的规律和特点1. 定义：简谐振动是指物体在一个平衡位置附近做往复振动的运动。
它的运动方式具有周期性和对称性，是一种非常规律的振动。
2. 弹簧振子的例子：弹簧振子是最常见的简谐振动的例子之一。
当弹簧振子受到外力拉伸或压缩后，当外力移除时，它会以平衡位置为中心作往复振动。
3. 动力学规律：简谐振动的运动规律可以由胡克定律和牛顿第二定律得出。
根据胡克定律，当弹性体受力时，其恢复力与位移成正比。
牛顿第二定律则表明物体的加速度与作用力成正比，与质量成反比。
结合这两个定律，可以推导出简谐振动的运动方程。
4. 运动方程：简谐振动的运动方程可以表示为x = A * sin(ωt + φ)，其中x是物体的位移，A是振幅，ω是角频率，t是时间，φ是相位差。
这个运动方程描述了物体在平衡位置两侧往复振动的过程。
5. 特点一：周期性。
简谐振动的最基本特点是其运动是周期性的，即物体在一个周期内重复完成相同的运动。
周期T是指物体完成一个完整振动所需的时间，与角频率ω的倒数成正比。
6. 特点二：振幅和频率。
简谐振动的振幅A表示物体在振动过程中最大的位移，频率f表示单位时间内完成的振动次数。
振幅和频率都是简谐振动的重要参数，它们与物体的质量、劲度系数、外力等因素有关。
7. 特点三：相位差和初相位。
相位差是指两个简谐振动之间的时间差，初相位是指物体在某一时刻的位移相对于平衡位置的位置。
相位差和初相位对于描述简谐振动的运动状态和相互作用非常重要。
8. 特点四：能量转化。
简谐振动是一种能量在不同形式之间转化的过程。
在振动过程中，物体的动能和势能会不断相互转化，当物体通过平衡位置时，动能最大，而位移最大时，势能最大。
9. 特点五：应用广泛。
简谐振动的规律和特点在物理学、工程学、生物学等领域都有广泛的应用。
如何判定是简谐运动
如何判定物体作简谐振动一、概念和规律1、定义：（象弹簧振子那样）物体在跟位移（相对于平衡位置）大小成正比，并且总是指向平衡位置的力作用下的振动，叫做简谐运动。
2、动力学特点：F回= -kx 。
3、简谐运动的周期：简谐运动的周期可表示为：T＝2πm。
k故：简谐运动的周期与振动物体的质量的平方根成正比，与振动系统的比例常数（回复系数）的平方根成反比，而与振幅无关。
对弹簧振子而言：弹簧振子的周期与振子的质量的平方根成正比，与弹簧的劲度系数的平方根成反比，而与振幅无关。
二、判断简谐运动的方法：例1、如图1和2所示装置中，小球的运动是振动、是简谐运动吗？接触面均光滑。
解析:图1中, 从能量角度考虑,小球将在斜面AB与BC上往复运动,是机械振动.小球在AB斜面上的运动.受重力和斜面弹力作用:在垂直斜面方向上,重力的分力G cosα与斜面弹力N平衡;在平行斜面方向上,只有重力的分力Gsinα沿斜面AB向下,为恒力,不随小球相对于B点的位移变化而变化.同理,小球在斜面BC上运动时,其受力Gsinβ沿斜面BC向下,也为恒力,不随小球相对于B点的位移变化而变化.综合小球在ABC斜面上的受力情况.不满足F回= -kx的关系,故不是简谐运动.图2中, 从能量角度考虑,小球将在斜面AB与BC上往复运动,是机械振动.小球在光滑圆弧形凹槽中运动,受重力和凹槽弹力作用:在凹槽半径R方向,弹力N与重力的分力G cosθ提供向心力;在轨道切线方向上,重力的分力Gsinθ提供回复力.即:F 回= Gsinθ,当θ≤5O时, sinθ≈θ.弦=||AB弧││, 小球相对于平衡位置的位移x=≈|mg.|AB││=s=Rθ,则F回= Gsinθ≈Gθ≈xR对指定的小求和凹槽轨道,m、R均为定值,故mg为一不变的常量,再考虑到回R复力F回与振动物体相对于平衡位置的位移x方向相反,则F回= -kx 。
故当θ≤5O时,小球的运动是简谐运动.例2、截面为S，长为l的均匀木棍竖直浮在水面上。
简谐振动需要特别注意的知识要点
机械振动
需要特别注意的要点：
一.振动及描述振动的物理量：
1.位移x:由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段，是矢量，其最大值等于振幅。
无论质点从什么位置开始振动，其位移总是以平衡位置为初位置。
二.简谐振动的特征：
1.动力学特征：F=-kx
2.运动学特征：x、v、a均按正弦或者余弦规律发生周期性变化（v和a变化趋势相反）
3.能量特征：系统的机械能守恒，振幅A不变
三.简谐振动的两个典型模型-------弹簧振子与单摆
弹簧振子是一种忽略摩擦、弹簧质量的理想化的模型。
对弹簧振子来说，弹簧振子的劲度系数、振子的质量确定了，其振子的周期和频率也就确定了。
无论是在地球上、其他星球上，或者是在完全失重的人造卫星中，T和f均不变，完全由系统本身的性质决定。
简谐振动的动力学特征
课程设计画布一、教学目标本课程的教学目标是让学生掌握第三章：生物的遗传与变异的核心概念和原理。
知识目标包括：•能够描述基因的概念和其在遗传中的作用。
•能够解释DNA的结构和复制过程。
•能够阐述孟德尔遗传定律及其在现代遗传学中的应用。
•能够描述基因突变和其对生物体影响。
技能目标则要求学生：•能够运用遗传学知识解决简单的实际问题。
•能够使用实验数据来验证遗传学假说。
•能够通过绘图或模型制作来解释遗传学过程。
情感态度价值观目标旨在培养学生的：•对生命科学探究的兴趣和好奇心。
•尊重科学探究过程和结果的态度。
•认识生物技术的意义和潜在价值。
二、教学内容本章节的教学内容将依据《高中生物》教材的第三章，详细安排如下：1.基因与遗传：介绍基因的定义，解释基因如何控制生物的特性。
2.DNA的结构与复制：阐述DNA的双螺旋结构，演示DNA复制的过程。
3.孟德尔遗传定律：详细讲解孟德尔的两大遗传定律，并通过实例分析其应用。
4.基因突变：探讨基因突变的类型、原因及对生物体的影响。
5.遗传学实验技术：介绍常见的遗传学实验技术，如杂交实验和基因工程。
三、教学方法为达成上述教学目标，将采用以下教学方法：•讲授法：用于讲解基础理论和概念。
•讨论法：鼓励学生就遗传学案例进行讨论，促进深入理解。
•实验法：指导学生完成遗传学相关实验，增强实践操作能力。
•案例分析法：分析真实或模拟的遗传学案例，培养学生解决问题的能力。
四、教学资源教学资源的准备将包括：•教材《高中生物》及相关辅助阅读材料。
•多媒体教学课件，包括视频和动画资料。
•实验室设备，如显微镜、DNA模型等，用于实验教学。
•在线资源库，提供额外的学习资料和互动平台。
以上课程设计画布内容围绕教学目标、教学内容、教学方法和教学资源展开，旨在为学生提供一个清晰、有序、互动和富有启发性的学习环境。
五、教学评估为全面评估学生对第三章：生物的遗传与变异内容的掌握情况，将采用以下评估方式：1.平时表现：通过课堂提问、讨论参与度等评估学生的理解力和积极性。
物理-简谐振动
简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移(或角 位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。
1.简谐振动的特征及其表达式
O
X
F
O
X
F
O
X
简谐振动的特征及其表达式
弹簧振子： 连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和 一个不发生形变的物体系统。
简谐振动的特征及其表达式
回复力：作简谐运动的质点所受的沿位移方向的合 外力, 该力与位移成正比且反向。
A x02 (v0 )2
0
arctg
v0
x0
在到 之间，通常 存在0 两个值，可根据
v0 Asi进n 行0 取舍。
2.简谐振动的振幅、周期、频率和相位
(1)振幅: 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。
A x02 (v0 )2
由初始条件确定
(2)周期和频率
周期：物体作一次完全运动所经历的时间。
简谐振动的动力学特征:
F kx
据牛顿第二定律，得
a F k x mm
令
k 2
m
a
d2 x dt2
2 x
运动学特征
简谐振动的特征及其表达式
位移 x之解可写为： x Acos(t 0 )
或 x Aei(t 0 )
简谐振动的运动学特征:物体的加速度与位移成正 比而方向相反，物体的位移按余弦规律变化。
x2 A2 cos(t 20 )
二者的相位差为：
(t 20 ) (t 10 ) 20 10
简谐振动的振幅、周期、频率和相位
(t 20 ) (t 10 ) 20 10
讨论:
(a)当 时2,k称两个振动为同相； (b)当 (2k时,称1)两个振动为反相； (c)当 时 0,称第二个振动超前第一个振动 ； (d)当 时0,称第二个振动落后第一个振动 。
简谐振动的动力学特征
因此，
A
x02
v02x
2 0
（2）
9
4. 位相和初位相
振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度。但仅知振幅频率还不够，
还须知道 才能完全决定系统的运动状态。
0t 叫简谐振动的相位。
当 t 0 时， 叫初相位。
由：
x Acos(0t ) Acos v A0 sin(0t ) A0 sin
y2 A22
2 xy A1 A2
cos2
1
sin2 2
1
（5）
此为一椭圆的轨迹方程，椭圆的形状大小及长短轴方位由振幅 A1和
A2 以及初位相差 2 1所决定。
34
讨论：
1. 分振动相位相同或相反时
① 相位相同，即：2 1 0或 2k 。
则⑸式成为：
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
因此，
mga 0
I
02 0，
0
mga I
5
4. L-C振荡回路（详见《电磁学》）
总结：
任何物理量 （x 例：长度，角度，电量等）的变化规律
满足方程⑴式，且常量 理量作简谐振动。
决0定于系统本身的性质，则该物
判断：是否简谐振动，看是否满足简谐振动的动力学方程式⑴。
6
§9.2 简谐振动的运动学
一、简谐振动的运动学方程
方程
d2x dt 2
02
0 的解为：
x Acos(0t ) （1）
上式就是简谐振动的运动学方程，该式又是周期函数， 故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。
7
二、描述简谐振动的物理量
1. 周期（T）
完成一次全振动所用的时间： T 2
第十三章(振动一讲)
T
t( s)
( 2)相轨迹 ( 相图) x v图线. x A cos(0t )
v A0 sin(0 t ) 2 v 2 2 得: x 2 A
由
v x o
11
0
四、简谐振振动的矢量表示法 vm 0 A 如图:振幅矢量 A 以圆频 v0 率 0 绕平衡点 o 逆时针 A( t ) 方向转动 . 2 an A0 A( t 0) A在x轴上的投影点运动, 0t 0 表示一特定的简谐振动.
0 t 0 t t 0 初相位
8
注意：相位是相对的； 同相、反相； 超前、落后。
例如,二同频率不同振幅的谐振动:
x1 A1 cos(0t 1 ) x2 A2 cos(0t 2 )
t时刻的相位差:
相位
1 0t 1
2 0t 2
t时刻 :
x A cos(0t )
k 0 m
例题1.设一物体沿x轴做简谐振动，振幅为12cm， 周期为2.0s；在t=0时的位移为6.0cm，且这时物 体向x正向运动。试求： (1) 初相位、振动方程; (2) t =0.5s时物体的位置、速度和加速度； (3) 在 x=-6.0cm处，且向x负向运动时，物体的速 度和加速度，以及它从这个位置到达平衡位置所 用的时间。 [解] A 0.12m , 0 2 T 5或 据题意设物体的运动方程为 A 3 A 2 x 0.12 cos( t ) 0 x 则t 0时刻 : 0.06 0.12cos 3 A 14 而v 0.12 sin 0, 故 3 0
(3) 在x=-6.0cm处，且向x负向运动时，有 0.06 0.12cos( t 3)
简谐振动的动力学特征
第九章 振 动
2 简谐振动 定义：物体在线性回复力 或力矩 或力矩)作用下围绕平衡位 定义：物体在线性回复力(或力矩 作用下围绕平衡位 置的运动叫简谐振动. 置的运动叫简谐振动 简谐运动 最简单、最基本的振动 最简单、 合成 简谐运动 分解 复杂振动
谐振子 作简谐运动的物体
上页 下页 返回 结束
上页 下页 返回 结束
第九章 振 动 [例题 弹簧下面悬挂物体，不计弹簧质量和阻力，证明在平 例题1] 弹簧下面悬挂物体，不计弹簧质量和阻力， 例题 衡位置附近的振动是简谐振动. 衡位置附近的振动是简谐振动 [解] 根据牛顿第二定律得 解
d2 x m 2 = − k ( x + l ) + mg d t
上页 下页 返回 结束
第九章 振 动 2. 单摆 由牛顿第二定律分析
O′
θ
如图，铅直面内不计空气 如图， 阻力,绳不可伸长 绳不可伸长. 阻力 绳不可伸长
Ft = − mg sin θ
θ 很小时 (θ < 5o ),sinθ ≈θ
Ft = −mgθ
——称回复力 称回复力. 称回复力 O
d 2 ( lθ ) = − mg θ 由牛顿第二定律得 m 2 dt
m
µ=0
O
x A
F v
x -A F
振动的成因 v
a 回复力 b 惯性
F=0 x=0
上页 下页 返回 结束
第九章 振 动 分析弹簧振子的运动： 分析弹簧振子的运动： 物体只受弹力作用 由牛顿第二定律有
Fx = − kx
d2 x m 2 = − kx dt
d2 x k + x=0 2 m dt
k为弹簧劲度系数 为弹簧劲度系数
简谐振动知识点精解
简谐振动·知识点精解1．简谐振动的特征(1)简谐振动的定义在跟对平衡位置的位移成正比而方向相反的回复力作用下的振动，叫简谐振动。
①做简谐振动的回复力是由物体所受的合外力或某个力的分力提供。
②简谐振动物体回复力的表达式为：F=-kx(2)简谐振动的动力学特征F=-kx式中的k为回复力与位移的比例常数(未必是弹簧的劲度系数)，x是相对平衡位置的位移，负号表示回复力的方向始终与位移方向相反。
(3)简谐振动的运动学特征振动的位移随时间接正弦或余弦规律变化。
2．弹簧振子的振动过程具体情况见下表：3．单摆的周期公式(1)单摆做简谐振动①在物理学里，单摆是实际摆的理想化，是指在一根不能伸长，又没有质量的线的下端系一质点所形成的装置。
②单摆做简谐振动的条件：振动过程中的最大编角不超过5°。
③单摆做简谐振动的回复力是重力mg沿圆弧切线的分力F=mgsinα提供(不要误认为是摆球所受的合外力)。
当α很小时(5°以下)，圆弧可以近似地看成直线，分力F可以近似地看作沿这条直线作用，OP就是摆锤偏离平衡位置的位移。
如图7-3所示。
设摆长是l，因为sin式中负号表示力F跟位移x的方向相反。
由于m、g、l都有一定的数值，mg/l可以用一个常数k来代替，所以上式可以写成F=-kx可见，在摆角很小情况下，单摆振动时回复力跟位移成正比而方向相反，是简谐振动。
(2)单摆的周期公式①在摆角很小情况下，单摆的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，而跟摆锤的质量和振幅无关。
②单摆周期的表达式③上式只适于小摆角(＜5°)的情况。
根据周期公式算出的T值与实际测定值间的误差，随摆角增大而增大。
摆角为7°时，误差为0.1％；15°时，0.5％；23°时，1％。
单摆的最大摆角应小于5°。
④单摆的周期在振幅较小时，与单摆的振幅无关，单摆的这种性质叫单摆的等时性，是伽利略首先发现的。
大学物理4-1 简谐振动的动力学特征
a x
积分常数，根据初始条件确定
x A cos(t )
T 2π
A A
x
x t 图
T
取 0
o
t
t
v A sin(t )
A
v
v t 图
T
π A cos( t ) 2
a A 2 cos(t )
0
an
π t 0 2
A
vm A
v a
an A
2
x
x A cos(t 0 )
π v A cos( t 0 ) 2
a A cos(t 0 )
2
第4章 机械振动
第4章 机械振动
用旋转矢量图画简谐运动的
x
A
0
P
2
三 简谐振动的旋转矢量表示法
2π T
当
t t+ 0时 0
0
A
t=t
A
x0
以 o为 原点旋转矢
量 A的端点
在
o
x
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.
x0 A cos 0
第4章 机械振动
x A cos( t t t
即
2
① ② ③ ④ ⑤ J d x (m 2 ) 2 kx 0 R dt
2
d x k x0 2 2 dt m I / R
所以，此振动系统的运动是谐振动.
第4章 机械振动
(2) 振动系统的圆频率
k m J / R2
T 2 2 m J / R2 k
振动学基础(复习)
第十五章振动学基础§15-1简谐振动【基本内容】一、简谐振动的动力学描述1、谐振动的受力特征谐振动的动力学定义：振动系统在与位移大小成正比，而方向相反的回复力作用下的运动称为简谐振动。
kxf-=, k为比例系数。
2、简谐振动的微分方程222=+xdtxdωmk=ω3、简谐振动的判据判据一kxf-=动力学判据判据二运动学判据判据三)cos(φω+=tAx运动方程4、简谐振动实例单摆小角度摆动、复摆、扭摆二、简谐振动的运动学描述1、谐振动的数学表达式——运动方程谐振动的运动学定义：位移按余弦规律移随时间变化的运动是谐振动。
)cos(φω+=tAx)cos()sin(2φωωφωω+-=+-=tAatAv2、简谐振动的三个特征量角频率、频率、周期——由振动系统的性质决定。
角频率：mk=ω周期：ωπ2=T频率：T1=ν振幅A ——表示振动物体离开平衡位置的最大距离。
振幅A 和初相ϕ由初始条件决定：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-)(0012202x v tg v x A ωϕω 度ω（1（2（3（4123、谐振动的机械能：2222121ωmA kA E E E p K ==+=弹簧振子的动能和势能按正弦或余弦的平方随时间作周期性变化，其周期为谐振周期的一半；当动能最大时，势能最小；当动能最小时，势能最大；但机械能保持恒定不变。
【典型例题】【例15-1】半径为R 的木球静止浮于水面上时，其体积的一半浸于水中，求： （1）木球振动的微分方程；22222)31(dtxd m g R x x R =--ρπ平衡位置时：ρπ33421R m ⋅=，故 0)31(232222=-+Rx x R g dt x d 此即木球的运动微分方程。
当R x <<时，0322→R x02322=+x R gdtx d 木球作简谐振动g R T R g 3222,23πωπω===【例15-2】 弹簧下挂g m 1000=的法码时，弹簧伸长cm 8。
简谐振动的特点和动力学描述
简谐振动的特点和动力学描述简谐振动是物体在恢复力作用下沿着某个轴线上做往复振动的一种特殊运动形式。
它具有以下几个特点：1. 平衡位置稳定：简谐振动的平衡位置是物体的稳定位置，当物体偏离平衡位置时，会受到一个恢复力的作用，使得物体趋向于返回平衡位置。
2. 振幅固定：简谐振动的振幅是一个固定值，表示物体在振动过程中离开平衡位置的最大距离。
3. 频率恒定：简谐振动的频率与振动系统本身的性质有关，而与振幅无关。
频率是指单位时间内振动的完整周期数，单位为赫兹（Hz）。
4. 正弦函数描述：简谐振动的运动可用正弦函数来描述。
物体在简谐振动过程中，其位置、速度和加速度随时间的变化都可以用正弦函数表示。
根据简谐振动的特点，在动力学上可以进行如下的描述：1. 动力学方程：对于简谐振动，其动力学方程可以由胡克定律得到。
胡克定律指出，弹性力与物体偏离平衡位置的距离成正比，即恢复力F 与位移x的关系为F = -kx，其中k为弹性系数。
2. 牛顿第二定律：根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。
对于简谐振动，可以将牛顿第二定律应用于沿轴线的振动，并根据动力学方程得到加速度与位移之间的关系。
3. 振动的能量：在简谐振动中，物体的能量在势能和动能之间不断转换。
当物体通过平衡位置时，其动能最大，而势能最小；当物体运动到最大位移时，其势能最大，而动能最小。
总能量保持不变。
4. 平衡位置的稳定性：简谐振动的平衡位置是稳定的，当物体偏离平衡位置时，会受到恢复力使其回到平衡位置。
这种稳定性是由弹簧的弹性恢复力所决定的。
综上所述，简谐振动具有稳定平衡位置、固定振幅、恒定频率等特点，并可以通过动力学方程和能量转换进行描述和分析。
研究简谐振动有助于理解振动现象的基本规律，对于很多领域如机械、电子、光学等都有重要的应用价值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x 2 x 0 （1）
弹簧振子作简谐振动的动力学方程。
总结：
如质点运动的动力学方程可归结为：x
2 0
x
0的形式，且其中
决0
定于振动系统本身的性质。⑴式的形式就是简谐振动的动力学方程式。
3
2. 单摆
建立自然坐标系：(ˆ , nˆ )
ˆ : mg sin
ma
m
dv dt
ml
d
dt
ml
nˆ : T mg cos m v2
§9.1 简谐振动的动力学特征
一. 基本概念
1.
质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于零，
该位置即为平衡位置。
2. 线性回复力
力
若作用于质点的力与质点相对于平衡位置的位移
学
（线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则
此作用力称作线性回复力。
f x kx , k 0 , x是相对于平衡位置的位移。
l
nˆ
若 很小，则近似：sin,则： l 0
g
因此，
02
0，
2 0
l g
（2）
上式即为单摆简谐振动的动力学方程
4
3. 复摆（物理摆）
任何物体悬挂后所做的摆动叫复摆。如图示：
一刚体悬挂于O 点，刚体的质心C 距刚体的悬挂点O
之间的距离是a。选 角增加的方向为正方向，即：z 轴垂 直纸面向外， M z mga sin I， 很小时： sin ，故：
v
0t
2
,
a 0t
则，
v
x
2
,av源自2,a x
所以：速度的位相比位移的位相超前 / 2；
加速度的位相比速度的位相超前 / 2 ； 加速度的位相比位移的位相超前 。
理解：加速度对时间的积累才获得速度，速度对时间的积累获得位移。
14
总结：
⑴简谐振动是周期性运动；
⑵简谐振动各瞬时的运动状态由振幅A、频率 0 及初相位 决定，
如图示： x Acos0t
v
A0
cos
0
t
2
Asin0t
a
x
A02
cos0t
A
2 0
cos0t
A为 一长度不变的矢量，
时，矢量 与坐标轴的夹角为
的，A始矢点量在坐以标角A轴速的度原点逆处时，0针记匀时速起转点动t=。0
16
由此可见：
⑴匀速旋转矢量在坐标轴上的投影即表示一特定的简谐振动的运动学方 程。
讨论：
（1）若(1 2 ) 是2k的整2数倍，则振动同相位； （2）若 (1 2 ) 是k 的奇数倍，则振动相位相反； （3）若 (1 ，2 )则 称0 超前1 ；2 （4）若2 (1 2，) 则称 落后1 ；2
相位差的不同，表明二振动有不同程度的参差错落，振动步调不同。
12
例1
一弹簧振子，t＝0 时，
一、简谐振动的运动学方程
方程
d2x dt 2
2 0
0 的解为：
x Acos(0t ) （1）
上式就是简谐振动的运动学方程，该式又是周期函数， 故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。
7
二、描述简谐振动的物理量
1. 周期（T）
完成一次全振动所用的时间： T 2
对弹簧振子： T 2 2 k
m
因此，
mga 0
I
02 0，
0
mga I
5
4. L-C振荡回路（详见《电磁学》）
总结：
任何物理量 （x 例：长度，角度，电量等）的变化规律
满足方程⑴式，且常量 理量作简谐振动。
决0定于系统本身的性质，则该物
判断：是否简谐振动，看是否满足简谐振动的动力学方程式⑴。
6
§9.2 简谐振动的运动学
3.
质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动。
1
二、简谐振动的几个例子
1. 弹簧振子
如图示：弹簧自由伸展时，滑块的位置为原点 （即平衡位置），x 表示位移：
f x kx
由牛顿第二定律：
mx kx x k x 0 m
令 k ，可2 得到如下二阶常系数齐次线性方程：
m
x 2 x 0 （1）
18
例1 （1）一简谐振动的运动规律为 x 4cos8t / 4 ，若计时起
点提前0.5s，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或 推迟若干？
（2）一简谐振动的运动学方程为 x 8sin3t ， 若计时起点推迟
或者说，由振幅和相位决定。 ⑶简谐振动的频率是由振动系统本身固有性质决定的，而振幅和初相位
不仅决定于系统本身性质，而且取决于初始条件。
三、 简谐振动的图象：x-t 图线
描述：质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。 中学里经常作正弦、余弦函数的图象，故不再多讲。
15
四、 简谐振动的矢量表示法
用旋转矢量的投影表示简谐振动。
x0
1 2
A, v0
0
求振动的初位相。
解：
cos x0 1
A2
sin v0x 0 A0
因此，
在第一象限，＝
3
13
例2 讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。
解： x cos(0t )
v
x
Asin0t
A0
cos
0
t
2
a
v
x
A
2 0
cos 0 t
A
2 0
cos 0 t
设： x 0t ,
因此，
A
x02
v02x
2 0
（2）
9
4. 位相和初位相
振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度。但仅知振幅频率还不够，
还须知道 才能完全决定系统的运动状态。
0t 叫简谐振动的相位。
当 t 0 时， 叫初相位。
由：
x Acos(0t ) Acos v A0 sin(0t ) A0 sin
可得： cos x ; sin v （3）
A
A0
10
若已知初始条件：t =0时， x x0 , v v0 x ，则⑶式有：
cos x0 ; sin v0x
A
A0
tg v0x 0 x0
( )
（4） （5）
⑷、⑸式中的任意二个即可确定初位相。
11
相位差：两振动相位之差(1 2 ) 。
2. 频率（）
单位时间内完成的全振动的次数：
1 2 T 2
的含义： 2个 单位时间内完成的全振动的次数，即圆频率。
8
3. 振幅
定义：物体离开平衡位置的最大位移。
振幅可以由初始条件决定。如：t =0时刻，x x0 , v v0 x
由⑴式可得：
x0 Acos , x t0 v A0 sin
⑵矢端的速度大小为 0 A ，在x 轴上的投影为：
0
A cos
0t
2
⑶矢端沿圆周运动的加速度即向心加速度的大小为： 的投影：
A
2，在
0
x
轴上
2 0
A
cos0t
17
总结：
旋转矢量、旋转矢量端点沿圆周运动的速度和 加速度在坐标轴上的投影等于特定的简谐振动的 位移、速度和加速度。因此，用旋转矢量在坐标 轴上的投影描述简谐振动的方法叫简谐振动的矢 量表示法。