2018年中考数学总复习 第二编 中档题型突破专项训练篇 中档题型专训(2)试题

x－3x＋3
⎪⎩5＜，②
⎩
⎪⎪
⎩⎩
中档题型专训(二)
方程(组)、不等式(组)的解法及其应用
本专题主要考查方程(组)、不等式(组)的解法以及方程(组)和不等式(组)的应用，遵义中考往往以解答题的形式出现，属中档题．复习时要熟练掌握方程(组)与不等式(组)的解法以及它们的应用，并会检验解答结果的正确与否．
,中考重难点突破)
方程(组)的解法
⎧⎪2x＋y＝14，
【例1】(2017广东中考模拟)已知二元一次方程组⎨的解为x＝a，y＝b，求a＋b的值．
⎪－3x＋2y＝21
【解析】根据二元一次方程组的特点，灵活选择代入消元法或加减消元法即可．
⎧2x＋y＝14，⎧x＝1，
【答案】解：∵⎨解得⎨
⎪－3x＋2y＝21，⎪y＝12，
∴a＝1，b＝12，∴a＋b＝13.
1．(2017北京中考)关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根小于1，求k的取值范围．
解：(1)∵在方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0中，
Δ＝[－(k＋3)]2－4×1×(2k＋2)
＝k2－2k＋1＝(k－1)2≥0，
∴方程总有两个实数根；
(2)∵x2－(k＋3)x＋2k＋2＝(x－2)(x－k－1)＝0，
∴x
1
＝2，x
2
＝k＋1.
∵方程有一根小于1，
∴k＋1＜1，解得k＜0，∴k的取值范围为k＜0.
x＋32
2．(2017陕西中考)解方程：－＝1.
解：去分母，得(x＋3)2－2(x－3)＝(x－3)(x＋3)，
去括号，得x2＋6x＋9－2x＋6＝x2－9，
移项，系数化为1，得x＝－6，
经检验，x＝－6是原方程的解.
解不等式(组)
⎧⎪x－3（x－2）≥4，①
【例2】(2017黔东南中考)解不等式组⎨2x－1x＋1并把解集在数轴上表示出来．
2
【解析】先解不等式组中的每一个不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大小小大取中间，大大小小无解，把它们的解集用一条数轴表示出来．
3．(2017枣庄中考)x取哪些整数值时，不等式5x＋2＞3(x－1)与x≤2－x都成立？
⎪⎩2
2
2
2
由②得：4x－2＜5x＋5，即x＞－7，所以－7＜x≤1.
在数轴上表示为：
13
22
⎧⎪5x＋2＞3（x－1），①
解：根据题意解不等式组⎨13
x≤2－x，②
5
解不等式①，得x＞－，解不等式②，得x≤1，
5
∴－＜x≤1，故满足条件的整数有－2，－1，0，1.
方程(组)、不等式(组)的应用
【例3】(2017常德中考)收发微信红包已成为各类人群进行交流联系，增强感情的一部分，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．
请问：
(1)2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少；
(2)2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？
【解析】(1)一般用增长后的量＝增长前的量×(1＋增长率)，2016年收到微信红包金额400(1＋x)元，在2016年的基础上再增长x，就是2017年收到微信红包金额400(1＋x)(1＋x)，由此可列出方程400(1＋x)2＝484，求解即可；(2)设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元，则她妹妹收到微信红包为(2y＋34)元，根据她们共收到微信红包484元列出方程并解答．
【答案】解：(1)设2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是x，
依题意得：400(1＋x)2＝484，
解得x
1
＝0.1＝10%，x
2
＝－2.1(舍去)．
答：2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是10%；
(2)设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元．
依题意得：2y＋34＋y＝484，解得y＝150，
所以484－150＝334(元)．
答：甜甜在2017年六一收到微信红包为150元，则她妹妹收到微信红包为334元．
4．(2017重庆中考)某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．
(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400kg，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获
x 40－x (2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为 100
kg ，销售均价为 30 元/kg ，今年樱桃的市场销售量比去年减少了 m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市
场销售量为 200 kg ，销售均价为 20 元/kg ，今年枇杷的市场销售量比去年增加了 2m%，但销售均价比去年减少了
m%，该果农今年 运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求
m 的值．
解：(1)设该果农今年收获樱桃 x kg ，
根据题意得：400－x≤7x，解得 x≥50.
答：该果农今年收获樱桃至少 50 kg ；
(2)由题意可得：
100(1－m%) ×30＋200×(1＋2m%)×20(1－m%)＝100×30＋200×20，
令 m%＝y ，原方程可化为：
3 000(1－y)＋
4 000(1＋2y)(1－y)＝7 000， 整理可得：8y 2－y ＝0，解得 y 1＝0，y 2＝0.125，
∴m 1＝0(舍去)，m 2＝12.5.
答：m 的值为 12.5.
5．(2017 桂林中考)为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知 2015 年该市投 入基础教育经费 5 000 万元，2017 年投 入基 础教育经费 7 200 万元．
(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；
(2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划 2018 年用不超过 当年基础教育经费的 5% 购买电脑和实物投影仪共 1 500 台，调配给农村学校，若购买一台电脑需 3 500 元，购买一台实物投影需 2 000
元，则最多可购买电脑多少台？ 解：(1)设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为 x.
根据题意得 5 000(1＋x)2＝7 200， 解得 x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(舍去)．
答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为 20%；
(2)2018 年投入基础教育经费为 7 200×(1＋20%)＝8 640(万元)，
设购买电脑 m 台，则购买实物投影仪(1 500－m)台，
根据题意得：
3 500m ＋2 000(1 500－m)≤86 400 000×5%，
解得 m≤880.
答：2018 年最多可购买电脑 880 台. 6．(2017 安顺中考)某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价 的和为 40 元，用 90 元购进甲种玩具的件数与用 150 元购进乙种玩具的件数相同．
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共 48 件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的 总资金不超过 1 000 元，求商场共有几种进货方案？
解：(1)设甲种玩具进价 x 元/件，则乙种玩具进价为(40－x)元/件，
90 150 根据题意得： ＝ ，解得 x ＝15，
经检验，x ＝15 是原方程的解．∴40－x ＝25.
∴甲，乙两种玩具分别是 15 元/件，25 元/件；
3 3 5x 8x ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎧y ＜48－y ， ∴⎨ 解得 20≤y＜24.
⎪⎩ 15y ＋25（48－y ）≤1 000，
∵y 是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，
∴y 取 20，21，22，23，共有 4 种方案. 7.(2017 广州中考)甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路 60 公里，再由乙队完成剩下的筑路
4 工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的 倍，甲队比乙队多筑路 20 天．
(1)求乙队筑路的总公里数；
(2)若甲、 乙两队平均每天筑路公里数之比为 5∶8，求乙队平均每天筑路多少公里．
4 解：(1)60× ＝80(公里)．
答：乙队筑路的总公里数为 80 公里；
(2)设乙队平均每天筑路 8x 公里，则甲队平均每天筑路 5x 公里．
60 80 根据题意得： － ＝20，解得 x ＝0.1 ，
经检验，x ＝0.1 是原方程的解，∴8x ＝0.8.
答：乙队平均每天筑路 0.8 公里. 8．(2017 益阳中考)我市南县大力发展农村旅游事业，全力打造“洞庭之心湿地公园”，其中罗文村的“花 海、涂鸦、美食”特色游享誉三湘，游人如织．去年村民罗南洲抓住机遇，返乡创业，投入 20 万元创办农家乐
(餐饮＋住宿)，一年时间就收回投资的 80%，其中餐饮利润是住宿利润的 2 倍还多 1 万元． (1)求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元；
(2)今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资，增设了土特产的实体店销售和网上销售项目．他在接受 记者采访时说：“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有 10%的增长，加上土特产销售的利润，到年底除收回
所有投资外，还将获得不少于 10 万元的纯利润．”请问今年土特产销售至少有多少万元的利润？ 解：(1)设去年餐饮利润 x 万元，住宿利润 y 万元，
⎧x ＋y ＝20×80%， ⎧x ＝11， 依题意，得⎨ 解得⎨
⎪x ＝2y ＋1， ⎪y ＝5，
答：去年餐饮利润 11 万元，住宿利润 5 万元；
(2)设今年土特产利润 m 万元，
依题意，得 16＋16×(1＋10%)＋m －20－11≥10，
解得 m≥7.4.
答： 今年土特产销售至少有 7.4 万元的利润. 9．(2017 邵阳中考)某校计划组织师生共 300 人参加一次大型公益活动，如果租用 6 辆大客车和 5 辆小客车 恰好全部坐满．已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多 17 个．
(1)求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；
(2)由于最后参加活动的人数增加了 30 人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为 将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值．
解：(1)设每辆小客车的乘客座位数是 x 个，大客车的乘客座位数是 y 个，
17
⎪⎪
⎩⎩
⎧⎪x＋y＝2000，
⎧⎪x＝300，
⎪⎩10001000
1000
⎩
⎧y－x＝17，⎧x＝18，
根据题意，得⎨解得⎨
⎪6y＋5x＝300，⎪y＝35.
答：每辆小客车的乘客座位数是18个，大客车的乘客座位数是35个；
(2)设租用a辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，则18a＋35(11－a)≥300＋30，
4
解得a≤3，符合条件的a最大整数为3，
答：租用小客车数量的最大值为3.
10．(2017山西中考)“春种一粒粟，秋收万颗子”，唐代诗人李绅这句诗中的“粟”即谷子(去皮后则称为“小米”)，被誉为中华民族的哺育作物．我省有着“小杂粮王国”的美誉，谷子作为我省杂粮谷物中的大类，其种植面积已连续三年全国第一.2016年全国谷子种植面积为2000万亩，年总产量为150万吨，我省谷子平均亩产量为160kg，国内其他地区谷子的平均亩产量为60kg，请解答下列问题：
(1)求我省2016年谷子的种植面积是多少万亩；
(2)2017年，若我省谷子的平均亩产量仍保持160kg不变，要使我省谷子的年总产量不低于52万吨，那么，今年我省至少应再多种植多少万亩的谷子？
解：(1)设我省2016年谷子的种植面积是x万亩，其他地区谷子的种植面积是y万亩，依题意有
⎨160160解得⎨
x＋y＝150，⎪y＝1700，
答：我省2016年谷子的种植面积是300万亩；
(2)设我省应种植z万亩的谷子，依题意有
160
z≥52，解得z≥325，325－300＝25(万亩)．
答：今年我省至少应再多种植25万亩的谷子。