第四章——扩散问题的有限体积法
有限体积方法
有限体积方法引言有限体积法(FVM)是在物理空间上积分形式的守恒方程进行直接离散的数值方法。
与有限差分方法相比有限体积方法更具有一般性，适用于任意形式的网格，结构网格与非结构网格均适用。
有限体积法是一种基于将CFD中最基本的量在单元内的平均值，这是与有限差分及有限元方法区别的地方，后边两种方法的数值量都取为在网格点上。
FVM方法一个重要优势是跟守恒性离散这个重要的概念联系起来，它可以自动满足具有守恒性的离散。
另一个优点就是适用于任意的网格。
5．1 守恒性离散对于量U守恒律的一般积分形式可以由式(1.1.1)给出如下将上式的最终表面源项合并到通量项中得到该表达式的基本特点是存在表面积分以及在体积内U的时间变化只依赖于表面上的通量. 如图5.1.1所示可将一个体积元分解成三个亚体元,对于每个亚体元写出守恒律表达式将这些表面积分进行加和,内部线ADB以及DE总是两次出现,但是方向相反,将三部分积分守恒律相加,这些内部的贡献量就会抵消,只剩下外边界的贡献量.例如,对于有一个通量的贡献量而对于也有一个相似的项:这样这两项相加就可以抵消. 故要保证格式是守恒的,通量的数值离散必须满足这样一个基本性质.下面我们以一维守恒律的情形来说明这个问题结合图5.1.2来说明这个问题其中f是矢量通量的x方向分量, 参考上图, 定义一个一维有限体积网格,并把中间点定义为“单元面”. 例如, 对于元(i), 单元面就是i-1/2与i+1/2的中点.对该有限体积网格应用中心差分, 在i, i+1与i-1点处分别离散得到将以上三个方程加和就得到了与元AB(i-3/2, i+3/2)上的守恒律相容的离散方程,即从上式可以看出内部点的通量贡献已经抵消掉. 有时这种特性称为通量项的“telescoping property”, 对于元AB, 只考虑中间点i(不考虑i-1与i+1点),则离散形式可以直接写为从 5.1.7的两式对比中, 我们可以看到通量部分的离散具有统一的形式, 这就是我们所要强调的守恒的特性.如果我们要考虑方程(5.1.3)的非守恒形式, 则通量的导数就可以写为其中, a(u)为Jacobian函数, , 故非守恒形式可以写为利用图5.1.2所示的有限体积网格, 对非守恒形式在i点应用二阶中心差分得到其中是的值.同样,对于i+1点以及i-1点有,将9式中三个离散式子进行加和得到参考5.1.7b, 将5.1.8式直接在AB上进行离散,可得我们发现5.1.10a右边由元AB内部点贡献的通量部分并不能互相抵消掉, 表现出源项的特点,这导致计算机程序不能将之与物理源项相区分, 故非守恒形式的离散会产生内部源.这些项被认为在网格点处展开为一项的二阶形式. 在连续流情况下可以忽略它, 但是对于计算非连续流动,比如流动中有激波产生, 就会产生巨大的误差. 数值实验显示非守恒形式比守恒形式的精度更低,尤其是在遇到梯度大的地方,由于数值源项的存在会产生更大的误差.5.1.1 守恒的离散化的正式表示方法对于5.1.3式,如果离散成如下的形式就可以满足守恒性要求,为数值通量, 其为u在(2k)个邻域内点的函数.此外, 方程5.1.11与原方程相容性要求当所有的均相等时,有这些都可以直接推广到多维的情形, 以上条件必须分别对矢量通量的所有分量均成立.定理: 当趋近于0时,若离散方程5.1.11的解几乎处处收敛于某个函数值, 则是方程 5.1.3的弱解(可以存在有限个间断——Rankine-Hugoniot条件)5.2 有限体积方法基础有限体积方法是积分形式的守恒律方程的直接离散,这是有限体积方法与有限差分方法最大的区别,由于积分形式是守恒律的最一般的表达式,它不要求通量一定是连续的,这就是有限体积方法接近真实流动的原因.FVM需要按以下步骤来构建:1.划分网格,由空间离散得到有限体积,一个控制体积与每一个网格点都相关联2.在每一个有限体积上应用积分形式的守恒律.有限体积选择的条件由于具有普遍性,有限体积方法能够适用于任何类型的网格,结构与非结构.单元居中的方法: 未知量定义在网格单元的中心,网格线定义了有限体积及表面积, 此处, 变量与单元相关,如图5.2.1a及c. 流动变量是在整个单元的平均值, 可以认为是单元内部某些有代表性点的值, 例如单元中心点.单元顶点的方法: 未知量定义在网格角上,此处变量与网格点相关,例如单元顶点, 如图5.2.1b,d所示在相容的有限体积方法的体积的选择上,以下的限制条件必须得到满足:(i)它们的总数应该覆盖整个区域(ii)亚区域是允许重叠的,条件是表面的每一部分作为一个偶数个不同亚区域的部分而出现,这样整体的总积分守恒律就适用于任何相邻亚区域的组合域.(iii)通量沿单元表面必须由不依赖于当地单元的公式来计算.(iii)确保了守恒特性的满足,因为通量的内部边界的贡献量会抵消掉(相关的有限体积相加之后)5.2.2 有限体积离散的定义将积分型守恒律应用到每一个控制体积, 关联到网格点J, 因此对于依附于该点或单元上未知量的离散化方程可定义为:该方法的优点(对于无源项方程尤其有优势)是通量只在二维表面上计算,而不是三维空间中. 5.2.1可由其离散形式代替,对于参考图5.2.1a对于单元1(i, j), 用统一表示, 是ABCD面. 通量项在4条边AB, BC, CD, DA求和.式(5.2.2) 说明了有限体积法与有限差分及有限元法区别的一些重要特性: 1.点J的坐标是变量的准确位置,在控制体积内它将不会明确的标出.因此在控制体内联结到一个固定点,将之看作是整个控制元上该流动变量U的一个平均值(图5.2.1a). 5.2.2式中第一项代表在选定的控制体积上流动变量的平均值的时间变化率.2.网格坐标只出现在确定的单元体积以及侧面上. 因此, 参照图5.2.1a, 考察点1的控制元ABCD只有A,B,C,D的坐标将是需要用到的.3.当不存在源项的时候,有限体积方程式表示时间间隔内U的平均值变化等于相邻单元之间通量的交换量,对稳态流动,得到的数值解是通量进入控制体平衡的结果, 即例子: 图5.2.1a中AB面,对于1则通量贡献量为正,而8则为负.4. 有限体积也允许边界条件的自然引入, 例如固壁, 法向分量为0, 对连续方程. 在固壁处. 因此对(5.2.2)及(5.2.3)的相应的贡献变为0.5.2.3 数值格式的一般表达式假设守恒律的积分形式(5.2.1)对于控制体积, 从到进行积分有,引入单元平均守恒变量, 在时间的源, 单元与时间平均源, 以及每个边上的数值通量, 分别定义如下守恒的离散化采用如下形式:其中与任何网格点无关, 它是整个单元上的平均. 为了在离散化的水平上实现守恒,在给定的单元面上的数值通量的估计必须独立于其所属的单元.如果考虑空间离散完全由其数值通量来定义,时间积分项暂不处理,则以上的数值方法就会得到其一般形式. 一个一般的数值格式可以定义为对时间的常微分方程为定义残差为整个单元上的通量平衡减去源项贡献. 5.2.6是5.2.7的时间的向前差分,也有其他的时间离散方法,例如龙格-库塔法.守恒性条件可选择的公式在任意数量的单元上对5.1.2进行展开, J=1-N. 对所有的单元进行加和,削去所有单元内表面的贡献项得,定义为在整个单元的平均值,该格式的守恒性要求,在每一个时间步,如下的条件要得到满足,边界以及源项5.3 有限体积方法的实际应用5.3.1 二维有限体积方法如图5.2.1a,考察控制单元ABCD, 方程5.2.1可写为f, g为矢量通量F的直角坐标分量,对边AB,表面矢量可定义为对于单元,可以得到有限体积方程ABCD展开求和包括ABCD的四条边,对于一般的四边形,面积可由对角线矢量乘积表示,如图5.3.1, 平行四边形1234的面积是ABCD的两倍,因此, 为点A的位置矢量.对于单元ABCD,上式右边为正.通过单元表面通量的计算沿侧边通量分量,如的计算(a)对于中心离散格式以及单元中心化的有限体积方法,有以下做法:1.通量平均2.由于通量分量一般是U的线性函数,以下的式子与5.3.5不等价3.将取为通量在A及B处的平均这里,可以在A及B处求变量的值, 例如以及也可以进行通量的直接平均, 例如:可以看到, 5.3.7与5.3.10比5.3.8与5.3.11需要更少的通量计算(b)对于中心格式及单元-顶点的有限体积方法:5.3.7, 5.3.8是对通量的直接近似, 5.3.8是对应着对积分梯形公式的应用通过加和在单元ABCD四个边积分的贡献量(如图5.2.1b), 可以得到例子: 在笛卡儿网格下的中心离散格式. 在笛卡儿坐标, 均匀网格下,上述有限体积公式与有限差分的公式是一致的. 由可以得到(此处记, 同样其他的量也采用类似的记法)两边除以可以得到中心差分格式将5.3.5式应用到图5.2.1a, 方程E5.3.3变为而由5.3.8与5.3.11将推出如下的公式(c)单元-中心化有限体积的迎风格式(利用上游点求下游)对流通量以相关的对流速度传播方向的函数来计算,其中由图5.2.1a可以定义(d)对于迎风-单元顶点的有限体积方法(图5.2.1b), 可以定义例子:E5.3.2 “笛卡儿坐标网格中的迎风格式”考虑二维线性对流方程的离散如图5.2.1a所示, 在单元ABCD应用有限体积的公式:通量定义为, 选择方程5.3.14, AB,CD为竖直边,有对于水平边BC, DA有故其得到的格式为一阶迎风格式的推广, 具有一阶精度5.3.2 梯度的有限体积的计算对于任意一个体积，由高斯定理得此处，S是封闭的边界表面,定义平均化的梯度为以及对于二维控制单元,可以得到如图5.2.1d, 在公式两边应用梯形积分公式, 得到此处对所有的顶点求和,从1到6, 以及. 经过整理可得到对于y同样存在这样的关系计算单元面积: 当U=x时,方程5.3.21左侧为1. 对于任意一个单元的面积可用如下的式子进行计算,对任意一个四边形ABCD, 如图5.3.2, 可以得到以及对于y方向导数有,对于同一单元的封闭面与体有如下关系对于二维单元, 取, 可以推出如下的公式例子: E5.3.3 二维扩散方程考虑二维扩散方程对于扩散的通量分量(k为常数) 在图5.2.1a的网格上进行有限体积的离散,将整个单元ABCD的通量表示如下,在单元的格点A,B上计算导数, 对于单元(i, j),方程5.3.3可写为对于A点, U的导数取整个元1,6,7,8的平均值,由5.3.26得对于B可以得到与A类似的关系通过边AB对通量的贡献为E5.3.14与E5.3.15两式的加和, 并与相乘而得到的,同理通过BC通量的贡献为类似的关系对于C有最后,对于方程E5.3.13有, 可以写为该数值离散对应的是图4.2.3中Laplace算子的离散.更简单的办法为这样就推出了扩散方程的标准有限差分格式(对应图4.2.2)以上可以推广到多维的情况以及流行的结构及非结构网格上去.。
计算传热学_有限体积法资料
28
1 有限体积法
有限体积方法的基本思想
将整个求解域划分为n个立方体区域，从t1到t2时刻，每立方体能量守恒方程： ((ρ cT)Pt2-(ρ cT)Pt1)∆x∆y∆z=((λ (әT/әx))e-(λ (әT/әx))w)∆y∆z∆t+SP∆x∆y∆z∆t 体平均量 每时间步n个未知数 面时平均量 每时间步n-1个未知数 体时平均量 每时间步n个未知数
1 有限体积法
有限体积方法的基本思想
将整个求解域划分为n个立方体区域，从t1到t2时刻，每立方体能量守恒方程： ((ρ cT)Pt2-(ρ cT)Pt1)∆x∆y∆z=((λ (әT/әx))e-(λ (әT/әx))w)∆y∆z∆t+SP∆x∆y∆z∆t 体平均量 每时间步n个未知数 面时平均量 每时间步n-1个未知数 体时平均量 每时间步n个未知数
t2时刻
t1时刻 y z x
1 有限体积法
有限体积方法的基本思想
将整个求解域划分为n个立方体区域，从t1到t2时刻，每立方体能量守恒方程： ((ρ cT)Pt2-(ρ cT)Pt1)∆x∆y∆z=((λ (әT/әx))e-(λ (әT/әx))w)∆y∆z∆t+SP∆x∆y∆z∆t 体平均量 每时间步n个未知数 面时平均量 每时间步n-1个未知数 体时平均量
Δz
y z Δx
x
1 有限体积法
能量守恒方程
λ，c，ρ
非∆y∆z =((λ (әT/әx))e-(λ (әT/әx))w)∆y∆z∆t + SP ∆x∆y∆z∆t
qw
Δy
I· U
qe
源项
扩散项
Δz
y z Δx
有限体积法 中科大
有限体积法（Finite Volume Method，FVM）是一种数值计算方法，广泛应用于解决流体动力学、热传导等物理现象的偏微分方程。
它将求解域划分为有限数量的控制体积，然后通过对控制体积应用质量、动量、能量守恒等物理原理，将偏微分方程转化为代数方程组，最终用数值方法求解。
有限体积法的基本思想包括以下几个步骤：
1.离散化：将求解域划分为有限数量的控制体积，这些体积通常是规则的立方体或六
面体。
2.建立守恒方程：对每个控制体积应用守恒方程，例如质量守恒、动量守恒、能量守
恒等。
这通常涉及将偏微分方程转化为积分形式。
3.积分：对守恒方程进行积分，将守恒方程应用于控制体积的表面，得到在体积上的
积分方程。
4.离散化方程：将积分方程离散化，将连续域上的方程转化为离散的代数方程。
5.求解代数方程组：利用数值方法求解得到的代数方程组，通常采用迭代方法或直接
求解方法。
6.结果后处理：根据求解得到的数值解进行后处理，如可视化、数据分析等。
有限体积法的优势在于其能够自然地处理复杂的几何形状、多相流体、非结构网格等问题。
它在计算流体动力学、热传导、固体力学等领域有着广泛的应用。
扩散方程保正的有限体积格式
扩散方程保正的有限体积格式
扩散方程的保正有限体积格式是一种常用的数值解法，它将计算
区域离散为一个个有限体积单元，利用质量守恒和能量守恒原理，在
单元内部逐步更新精度更高的数值解。
在处理非线性问题时，保正有
限体积格式可以保证数值解不产生非物理振荡或负值。
具体而言，该方法在单元内部采用一定的加权平均策略，将单元
内的守恒量和通量分别离散，并引入一些人工耗散项来控制数值解的
稳定性。
这些人工耗散项可以通过一些非负函数来表示，并与守恒量
和通量之间的差分项相结合，最终得到一个更加健壮的数值解。
需要注意的是，保正有限体积格式虽然可以保证数值解的物理合
理性，但其精度和效率依然与网格质量和边界条件等因素有关。
因此，在应用该方法时，需要根据具体问题选择合适的离散方案和参数，以
达到最优化的数值解。
有限体积法求解流程
有限体积法求解流程一、啥是有限体积法。
有限体积法呀，就像是给计算的区域画好多小格子，把这个大的求解区域给它划分得规规矩矩的。
这就好比我们整理书架，把一整个大书架分成一个个小格子，每个小格子里放特定类型的书一样。
这个方法呢，它主要是基于守恒原理的哦。
你想啊，就像在一个封闭的空间里，东西的总量是不会凭空消失或者突然变多的，这就是守恒的概念在这个方法里的体现啦。
二、网格划分。
网格划分可是个挺重要的步骤呢。
我们要根据求解的问题来确定怎么划分这些小格子。
比如说，如果我们要研究一个形状比较规则的物体，像正方体或者圆柱体，那网格就可以划分得比较整齐均匀。
但要是物体的形状很奇怪，弯弯扭扭的，那这个网格划分就得更灵活一点啦。
这就像是给不同身材的人做衣服，身材标准的就用标准尺码的模板裁剪布料，身材奇特的就得特别量体裁衣了。
在划分网格的时候呢，还得考虑格子的大小呀。
格子太大了，可能就会丢失很多细节，就像用大刷子画画，只能画出个大概轮廓；格子太小呢，计算量就会超级大，就好像是你用超级小的针绣花，虽然细致但是特别耗时。
三、离散方程。
离散方程这个东西呢，听起来有点高大上，但其实也没那么难理解。
我们就是把那些原本连续的方程，按照我们划分好的网格，把它变成在每个小格子里适用的方程。
这就像是把一大锅汤，分装到一个个小杯子里，每个小杯子里的汤虽然量少了，但是它的成分比例还是和原来大锅里的汤差不多的。
这个过程呢，就是把连续的物理现象，用离散的数学式子表示出来，这样我们的计算机就能看懂啦，然后就能进行计算了。
而且在这个过程中，我们还得考虑边界条件呢。
边界就像是一个区域的边缘，比如说一个房间的墙。
边界条件就是墙那里的特殊情况，比如说墙是隔热的还是导热的，这对房间里的温度分布计算可是很重要的哦。
四、求解过程。
接下来就是求解啦。
我们把前面得到的离散方程和边界条件都给计算机，然后计算机就开始按照一定的算法进行计算。
这个计算过程就像是走迷宫一样，计算机要一步一步地按照规则找到答案。
有限体积法1
P=
ρuδx = F/D 为 Peclet 数，代表了对流项与扩散项之间 Γ
的比值。 显然有 A(0) =1，A(∞) = 0。
16
◆函数 A 可用较简单的逼近式――乘方律公式
(1 − 0.1 P A( P ) = 0
)
5
P ≤ 10 P ≥ 10
当∣P∣> 10 时扩散项可以不计。 其他逼近式 中心差分格式：相当于取 A(|P|)=1－0.5 |P| 迎风格式（逆风格式） ：相当于取 A(|P|)=1 混合格式：取 A(|P|)=max( 0, 1－0.5 |P| )
是单位时间内通过垂直于 xi 轴的单位面积的该物理量的大小。
2
对流项 ρui φ = 随流动输移的物理量通量， 其方向取决于流 动方向，下游对上游没有影响。 扩散项 − Γ
∂φ =物理量由于粘性、分子扩散或紊动等原因 ∂x i
而产生的扩散通量，其方向指向φ小的一侧。Γ为扩散系数， 与动力粘性系数μ具有同样的量纲。
3
将通量式代入控制方程中得: 物理量在流体中随流输移和扩散过程通用形式基本微分方程
∂ ∂ρφ ∂ (ρu j φ) = + ∂x j ∂x j ∂t ∂φ Γ ∂x j +S
例 1：当物理量为流体自身质量时，φ=1，Γ= 0,S = 0（不 存在质量源项时） ，得到连续性方程
(不可压缩流体ρP0 =ρ = 常数；恒定问题，aP0 = 0。)
22
2．边界条件的处理 出、入流边界（有法向流速分量） ， 固体边界和没有法向流速分量的水域边界， 等。
23
(1)
入流边界的φ值应该给定。
φB = φ
作为边界点 B 点的方程。 (2) 出流边界结点:可以同内部结点一样建立离散方程， 而不必特地给定边界条件。
第四章——扩散问题的有限体积法
第四章 扩散问题的有限体积法
A
1
2
x
3
4
w
5
P
B
e
x / 2
a 同理，在右侧得： PTP aW TW aETE Su
A a 0 a a a S A A aW P W E P E x x / 2 x A A SP Su TA x / 2 x / 2
第四章 扩散问题的有限体积法
高斯公式：
P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy S ( P cos Q cos R cos )ds
第四章 扩散问题的有限体积法
有限体积法——控制容积法——平衡法
x pe
xWP
x PE
P
P
先有节点，后有控制容积
先有控制容积，后有节点
第四章 扩散问题的有限体积法
方程离散：
CV
_ d d d d ( )dV SdV (A ) (A ) w S V 0 CV dx dx dx e dx
d E P (A ) e e Ae dx xPE
d P (A ) w w Aw dx xWP
P E e 2
W P w 2
S V Su S PP
_
第四章 扩散问题的有限体积法
方程离散：
E P P W (e Ae ) (w Aw ) ( Su S PP ) 0 xPE xWP
A
w
1
P
e
2
x
3
4
5
B
x / 2
d dT dT dT CV dx ( dx )dV (A dx )e (A dx ) w 0 dT TE TP dT TP TA (A ) e e Ae (A ) w w Aw dx x dx x / 2 A A A A ( )TP 0 TW TE TA x x / 2 x x / 2
有限体积法介绍
有限体积法1 有限体积法基本原理上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点，并在网格节点上对微分形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原PDE 的近似。
在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。
首先，有限体积法离散的是积分形式的流体力学基本方程：•d q ds ds SS⎰⎰⎰ΩΩ+∇⋅Γ=⋅φφρφn n v(1)计算域用数值网格划分成若干小控制体。
和有限差分法不同的是，有限体积法的网格定义了控制体的边界，而不是计算节点。
有限体积法的计算节点定义在小控制体部。
一般有限体积法的计算节点有两种定义方法，一种是将网格节点定义在控制体的中心，另一种方法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。
第一种方法的优点在于用计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有二阶的精度；第二种方法的好处是在控制体边界上的中心差分格式具有较高的精度。
积分形式的守恒方程在小控制体和计算域上都是成立的。
为了获得每一个控制体上的代数方程，面积分和体积分需要用求面积公式来近似。
2 面积分的近似采用结构化网格，在二维情况下，每一个控制体有4个面，二维情况，每一个控制体有6个表面。
计算节点用大写字母表示，控制体边界和节点用小写字母表示。
为了保证守恒性，控制体不能重叠，每一个面都是相邻两个控制体的唯一公共边界。
控制体边界上的积分等于控制体个表面的积分的和：∑⎰⎰=kS Skfds fdS(2)上式中，f 可以表示n u ρφ或n∂∂Γφ。
显然，为了获得边界上的积分，必须知道f 在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采用近似的方法来计算积分。
整个近似过程分成两步第一步：用边界上几个点的近似积分公式第二步：边界点上的函数值用计算节点函数值的插值函数近似 面积分可采用以下不同精度的积分公式： 二阶精度积分：e e e e S e Sf S f fds F e≈==⎰(3)上式中e f 为边界中点出的函数值。
对流扩散问题的有限体积法
流体仿真与应用第八讲二、对流-扩散问题的有限体积法◆中心差分格式（例子）节点增加到20个结果◆离散格式的性质在数学上，一个离散格式必须要引起很小的误差（包括离散误差和舍入误差）才能收敛于精确解，即要求离散格式必须要稳定或网格必须满足稳定性条件。
在物理上，离散格式所计算出的解必须要有物理意义，对于得到物理上不真实的解的离散方程，其数学上精度再高也没有价值。
通常，离散方程的误差都是因离散而引起，当网格步长无限小时，各种误差都会消失。
然而，在实际计算中，考虑到经济性（计算时间和所占的内存）都只能用有限个控制容积进行离散。
因此，格式需要满足一定的物理性质，计算结果才能令人满意。
主要的物理性质包括：守恒性、有界性和迁移性。
◆离散格式的性质——守恒性满足守恒性的离散方程不仅使计算结果与原问题在物理上保持一致，而且还可以使对任意体积（由许多个控制容积构成的计算区域）的计算结果具有对计算区域取单个控制容积上的格式所估计的误差。
◆离散格式的性质——迁移性③当Pe 为有限大小时，对流和扩散同时影响一个节点的上、下游相邻节点。
随着Pe 的增加，下游受的影响逐渐增大，而上游受的影响逐渐变小。
①，即纯扩散，无对流。
②，即纯对流，无扩散。
0=Pe ∞=Pe◆迎风格式迎风格式（Upwind Differencing Scheme ）在确定控制容积界面上的值时就考虑了流动的方向性，其思想为：在控制容积界面上对流项的取上游节点处的值，称之为第二类迎风格式。
中心差分格式的缺点是，它不能识别流动的方向，控制容积界面上的值取相邻上、下游节点的平均值。
当对流作用较强时，这样的处理就与其物理特征（某点的值受上游的影响，而不受下游的影响）不一致了。
φφφ◆迎风格式◆迎风格式在控制容积界面上对流项的取其上游节点处的值EW →φWw φφ=Pe φφ=()()W P w P E e W w P e D D F F φφφφφφ−−−=−()()[]()Ee W w w P w e e w w D F D F F D F D φφφ++=−+++WE →Pw φφ=Ee φφ=()()[]()Ee e W w Pw e e e w F D D F F F D D φφφ−+=−+−+◆迎风格式通用形式WW E E P P a a a φφφ+=()w e E W P F F a a a −++=EW →ww W F D a +=eE D a =W E →w W D a =ee E F D a −=◆迎风格式的特点迎风格式满足守恒性。
有限体积法在二维稳态对流扩散方程中的稳定性分析
有限体积法在二维稳态对流扩散方程中的稳定性分析赵文娟;李春光;杨程【摘要】基于非饱和土壤水盐运移模型属于对流扩散方程,将有限体积法应用到求解二维稳态对流扩散问题中.模拟结果表明,采用该数值方法在细密网格下可计算得到高精度的数值解,在稀疏网格条件下数值解与精确值吻合较好且稳定性强.这说明采用有限体积法模拟计算二维对流扩散方程是可行的,并且可将该方法应用到求解非饱和土壤水盐运移模型中.【期刊名称】《安徽农业科学》【年(卷),期】2014(000)035【总页数】3页(P12413-12414,12417)【关键词】有限体积法;对流扩散方程;二维;水盐运移【作者】赵文娟;李春光;杨程【作者单位】宁夏大学土木与水利工程学院,宁夏银川750021;宁夏节水灌溉与水资源调控工程技术研究中心,宁夏银川750021;北方民族大学土木工程学院,宁夏银川750021;北方民族大学土木工程学院,宁夏银川750021【正文语种】中文【中图分类】S152.7随着计算机技术的提升，近几年土壤水盐运移模型的研究工作已从一维逐渐过渡到多维。
而求解这类模型的计算方法成为研究的重点。
传统有限差分法中常规离散格式会对土壤水盐运移方程中的扩散项产生较大的影响，使得离散后方程组系数矩阵极易呈现病态，计算结果呈现出不稳定的伪振荡现象［1］。
笔者利用有限体积法求解二维稳态对流扩散方程，通过数值模拟计算分析研究该数值方法的数学稳定性，为模拟计算土壤水盐运移过程提供前提条件。
1 有限体积法有限体积法［2］(Finite volume method)是将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并且使每个网格点周围有一个控制体积;将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。
积分方程中每项都有明确的物理意义，从而使得方程离散时，对各离散项给出一定的物理解释。
现就二维非饱和土壤水分运动方程为例，对其采用有限体积方法进行线性离散。
对式(1)在图1所示的控制体内积分，可得图1 网格节点控制体图由于全隐式格式可以在较大时间步长保持计算结果的稳定性［3］，采用全隐格式对扩散项进行时间上的积分，即按节点场内的变量重新整理，可得划分的网格节点构成的方程组再利用相应的迭代法进行计算求解。
CFD第四章(2)
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3.对流扩散问题的有限体积方法 3.对流扩散问题的有限体积方法
离散格式的特性
守恒特性(conservativeness) 相容特性(boundedness) 迁移特性(transportiveness)
计算流体动力学课程
2005年 西安 2005年3月
XJTU
3.对流扩散问题的有限体积方法 3.对流扩散问题的有限体积方法
XJTU
3.对流扩散问题的有限体积方法 3.对流扩散问题的有限体积方法
一维稳态对流扩散
条件1 条件1
u = 0.1m/s
0 0 φ1 1.1 1.55 − 0.55 1.0 − 0.45 0 0 φ 2 0 0 − 0.55 1.0 − 0.45 0 φ 3 = 0 0 0 − 0.55 1.0 − 0.45 φ 4 0 0 0 − 0.55 1.45 φ 5 0 0
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3.对流扩散问题的有限体积方法 3.对流扩散问题的有限体积方法
一维稳态对流扩散
Байду номын сангаас
条件2 条件2
u = 2.5m/s F = ρu
=2.5
D = Γ/ δ x
=0.1/0.2=0.5
φ A =1 φ B =0
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3.对流扩散问题的有限体积方法 3.对流扩散问题的有限体积方法
离散格式的特性－ 离散格式的特性－守恒特性
(φ − φ ) (φ 2 − φ1 ) (φ − φ ) Γe1 − q A + Γe 2 3 2 − Γw 2 2 1 δx δx δx (φ − φ ) (φ − φ ) + Γe 3 4 3 − Γw3 3 2 δx δx (φ − φ ) + qB − Γw 4 4 3 = qB − q A δx
扩散问题的有限体积法
流体仿真与应用
第七讲
扩散问题的有限体积法
◆稳态纯扩散
()0
=+ΓφφS grad div 0
)(=+Γ∫∫CV
CV
dV S dV grad div φφ0)(=+Γ•∫
∫
CV
A
dV S dA grad n φφG
▼控制容积的取法
方法A：一种是把控制容积的界面放在相邻2个节点中间（先划分节点）
方法B：一种是把控制容积的中心节点放在控制容积的几何中心（先划分控制容积）
◆方程离散的步骤
首先将微分方程在控制容积上进行积分，利用高斯定理把体
积分转化为控制容积边界界面上的面积分，然后通过对界面
上的参数的近似而得到最终的离散方程。
对界面上的有关参数的近似方法是确定最终离散格式的核心
◆方程的求解（举例）
在每个节点都建立上述离散（对于内部节点，并不需要在每个节点上重复上述过程，内部节点的离散方程适用于所有内部节点，而对边界节点则须重新按上述过程进行推导，因为不同的边界节点界面上有关参数的近似处理方法不同），得到一个线
φ
性方程组。
求解该方程组即可得每个节点的值。
◆三维非稳态问题
不同情况下的控制容积各界面面积计算。
fvm解扩散方程
fvm解扩散方程介绍在科学和工程领域，扩散方程是一个常见的数学模型，用于描述物质传输的过程。
fvm（有限体积法）是一种数值方法，可以用于解析求解扩散方程。
本文将详细介绍fvm方法在解扩散方程中的应用。
fvm方法简介有限体积法是一种基于物理量守恒的数值解方法，适用于在空间上离散模型。
fvm方法在时间和空间上离散方程，通过将求解域划分为不重叠的有限体积单元，并在每个单元上进行局部平均，将连续方程转化为离散方程。
离散化后的方程可以通过迭代求解，得到原始方程的近似解。
扩散方程及数学描述扩散方程是一种描述物质传输的偏微分方程。
在一维情况下，扩散方程可以表示为：∂C/∂t = D * ∂²C/∂x²其中，C是物质的浓度，t是时间，x是空间坐标，D是扩散系数。
该方程描述了物质浓度随时间和空间的变化情况。
fvm方法求解步骤fvm方法求解扩散方程包括以下步骤：1.网格划分：将求解域划分为离散的有限体积单元。
2.方程离散化：将扩散方程离散化为差分方程。
使用中心差分方法进行空间离散化，使用显式或隐式差分方法进行时间离散化。
3.边界条件：确定各个单元的边界条件，包括初始条件和边界条件。
4.代数方程：将离散化得到的差分方程转化为代数方程组。
5.迭代求解：通过迭代求解代数方程组，得到扩散方程的近似解。
fvm方法优势和局限性fvm方法在求解扩散方程中具有以下优势：•适用性广泛：fvm方法适用于各种边界条件和复杂几何形状。
•数值稳定性：fvm方法相对于其他数值方法，具有较好的稳定性。
•精度可控：通过调节网格尺寸和时间步长，可以控制数值解的精度。
然而，fvm方法也存在一些局限性：•存储需求大：由于需要存储每个单元的物理量数据，fvm方法的存储需求较大。
•计算复杂度高：fvm方法在求解大规模问题时，计算复杂度较高。
fvm方法在扩散方程中的应用案例fvm方法广泛应用于各个领域的扩散方程求解。
以下是一些常见的应用案例：污染物传播模拟通过fvm方法，可以模拟污染物在环境中的扩散和传播过程。
有限体积法介绍
有限体积法1 有限体积法基本原理上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点，并在网格节点上对微分形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原PDE 的近似。
在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。
首先，有限体积法离散的是积分形式的流体力学基本方程：•d q ds ds SS⎰⎰⎰ΩΩ+∇⋅Γ=⋅φφρφn n v(1)计算域用数值网格划分成若干小控制体。
和有限差分法不同的是，有限体积法的网格定义了控制体的边界，而不是计算节点。
有限体积法的计算节点定义在小控制体部。
一般有限体积法的计算节点有两种定义方法，一种是将网格节点定义在控制体的中心，另一种方法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。
第一种方法的优点在于用计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有二阶的精度；第二种方法的好处是在控制体边界上的中心差分格式具有较高的精度。
积分形式的守恒方程在小控制体和计算域上都是成立的。
为了获得每一个控制体上的代数方程，面积分和体积分需要用求面积公式来近似。
2 面积分的近似采用结构化网格，在二维情况下，每一个控制体有4个面，二维情况，每一个控制体有6个表面。
计算节点用大写字母表示，控制体边界和节点用小写字母表示。
为了保证守恒性，控制体不能重叠，每一个面都是相邻两个控制体的唯一公共边界。
控制体边界上的积分等于控制体个表面的积分的和：∑⎰⎰=kS Skfds fdS(2)上式中，f 可以表示n u ρφ或n∂∂Γφ。
显然，为了获得边界上的积分，必须知道f 在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采用近似的方法来计算积分。
整个近似过程分成两步第一步：用边界上几个点的近似积分公式第二步：边界点上的函数值用计算节点函数值的插值函数近似 面积分可采用以下不同精度的积分公式： 二阶精度积分：e e e e S e Sf S f fds F e≈==⎰(3)上式中e f 为边界中点出的函数值。
2有限体积法及其网格简介
φ 随 时 间 的 变 化 量 φ由 边 界 流 进 控 制 容 积 的 量 φ由 边 界 扩 散 进 入 控 制 体 积 的 量 φ由 内 源 产 生 的 量
12
对稳态，时间相关项为零，方程为：
n ρ φ u d A n Γ g r a d φ d A S
Δt A Δt V
φ
dV
13
2
Finite volume: basic methodology
Divide the domain into control volumes. Integrate the differential equation over the control volume and apply the divergence theorem. To evaluate derivative terms, values at the control volume faces are needed: have to make an assumption about how the value varies. Result is a set of linear algebraic equations: one for each control volume. Solve iteratively or simultaneously.
5
Typical control volume
（节点排列有序，称之为结构网格）
W P E
1
i-1
NW
i
Dx
N
n
i+1
NE
N
dyn
W j,y,v i,x,u w
P s
有限体积法()ppt课件
*1980年Patankar教授的名著“Numerical Heat Transfer and Fluid Flow”出版。
这本书内容精炼，说理透彻，注重物理概念的阐述，深 受全世界数值传热的研究者与使用者的欢迎。出版后 不久，被相继译成俄文、日文、波兰文及中文等，成 为数值传热学领域中的一本经典著作
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非结构网格在有限体积法中的应用
●非结构网格最早用于FEM； ●但题水流使流体得（流基如动于浅是F水E高流M度动的非，非线水结性波构问运网题动格，等技而）术且计未F算E能M 上在得计对到算流重量问视较题；大为，主这的些地面问 ●八了十广年泛代的以发来展，和基应于用F；VM 的非结构网格技术在空气动力学得到 ●九十年代开始一些专家学者根据浅水流动特征，将这些算法引
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发展情况
1980年，S.V.Patanker在其专著《Numericacl Heat Transfer and Fluid Flow》中对有限体积 法作了全面的阐述。
此后，该方法得到了广泛应用，是目前CFD 应用最广的一种方法。
FLUENT、PHOENIX等软件都基于有限体积 法
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解:
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对中间节点2,3,4:
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边界节点1:
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整理得到:
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边界节点5:
整理得到:
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工况1
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工况2
改进办法:需要增加网格数
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工况3
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差分格式问题
一类半线性对流扩散问题特征-有限体积法H 1模误差估计
（ｃ ｏ ｌ ｆ ｔ ｅ ｔ ｓ Ｎ ｎ ａ Ｕ ｉｅｓ ｙ Ｔ ａ ｊ ０ ０ １ Ｓ ｈ ｏ ｏ ｈ ｍａｉ ， ａ ｋ ｉ ｎｖ ｒ ｔ， ｉ ｉ ３０ ７ ） Ｍａ ｃ ｉ ｎｎ
Ａ ｂｓ ｒ ｔ Ｔｈ ｎｉｅ ｖ ｌ ｍｅ ｍｅ ｈｏ ｎ ｔ ｅ ｍ ｅ ｈｏ ｆ ｃ ａ ａ ｔ ｒｓ ｉｓ ａ ｅ ｔ ｔ ａｃ ｅ ｆ ｔ ｏ ｕ ｔ ｄ ａ ｄ ｈ ｔ ｄ ｏ ｈ ｒ ｃ ｅ ｉｔｃ ｒ ｗｏ ｉ ｉ ｍｐｏ ｔ ｎｔｍｅ ｈｏ ｏ ｏ ｖ ｎｇ ｔ ｒ ｔａ ｉ ｅ ｅ ｔａ ｑｕ ｔｏ ．Ｔｈｅ ｅ ｔ ｔ ｒ ａ ｔ ｄｓｆ ｒｓ ｌ ｉ ｈｅｐａ ｉｌｄ ｆ ｒ ｎ ｉ ｌｅ ａ ｉ ｎｓ ｓ ｗｏ ｍｅ ｈ・ ｏ ｅｃ ｍｂ ｎ ｄ ｉ ｈ ｓｐ ｐｅ ｏ ｆ ｒ ａ ｆ ｌｙ ｄｉｃ ｅ ｅ ｃ ａ ａ ｔ ｒｓ ｉｓｆｎ ｔ ｏ ｕ ｅ ｄｓａ ｏ ｉ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｒｔ ｍ ｕ ｌ ｓ ｒ ｔ ｈ ｃ ｅ ｉｔｃ ・ ｉｅｖ ｌ ｍ ｒ ｏ ｒ ｉ ｍ ｅ ｈｏ ｒ ａ ｃａ ｓｏ ｅ －ｉ ｅ ｏ ｖ ｃ ｉ ｎ ｄ ｆ ｉｎ ｒ ｂｌｍ ．Ｂｙ ｄ ｔ ｉ ｄ ｔ ｅ － ｔ ｄ ｆ ｌｓ ｆｓ ｍｉｌｎ ａ ｃ ｎ ｅ ｔｏ ｉ ｕｓｏ ｐ ｏ ｅ ｏ ｒ ｅ ａｌ ｈ ｏ ｅ ｒ ｔｃ ｌａ ａ ｙ ｉ，ｏ ｉ ａ ｒ ｒ Ｈ ｎ ｒ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｓａ ｅ ｏ ａｎｅ ｂ ｔ ｅ ｔ ｅ ｉａ ｎ ｌ ｓｓ ｐｔｍ ｌｏ ｄｅ ｏ ｍ ｒｏｒｅ ｔｍａ ｅ ｂｔ ｒ ｉ ｄ ｅ ｗｅ ｎ ｈｅ ｅ ｃ ｔ ｓ ｌ ｔｏ ｆ ｔ ｅ ｏ ｉｉ ｌｄ ｆｅ ｅ ｔａ ｒ ｂｌｍ ｄ ｔ ｅ ｓ ｌ ｔｏ ｆ ｔ ｓ ｕｌ ｘａ ｏ ｕ ｉ ｎ ｏ ｈ ｒｇｎａ ｉ ｒ ｎ ｉ ｌｐ ｏ ｅ ａ ｈ ｏ ｕ ｉ ｎ ｏ ｈｅ ｅ ｆ ｌ ｎ ｙ ｄ ｓ ｒ ｔ ｃ ｅ ｓ ｉｃ ｅ ｅ ｓ ｈ ｍｅ ． Ｋ ｅ ｗｏｒ ｃ ｎ ｅ ｔｏ ｆｕｓｏ ｃ ａ ａ ｔ ｒｓ ｉｓ ｆｎ ｔ ｏ ｕ ｌ ｍｅ ｔ ｅ ｒ ｒｅ ｏ ｙ ｄｓ ｏ ｖ ｃ ｉ ｎ ｄｉ ｉ ｎ， ｈ ｒ ｃ ｅ ｉｔｃ ， ｉｅ ｖ ｌ ｍｅ ｅｅ ｎ ， ｒ ｏ ｓ ｉ
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x pe
xWP
x PE
P
P
先有节点，后有控制容积
先有控制容积，后有节点
第四章 扩散问题的有限体积法
方程离散：
CV
_ d d d d ( )dV SdV (A ) (A ) w S V 0 CV dx dx dx e dx
d E P (A ) e e Ae dx xPE
A
w
1
P
e
2
x
3
4
5
B
x / 2
d dT dT dT CV dx ( dx )dV (A dx )e (A dx ) w 0 dT TE TP dT TP TA (A ) e e Ae (A ) w w Aw dx x dx x / 2 A A A A ( )TP 0 TW TE TA x x / 2 x x / 2
d P W (A ) w w Aw dx xWP
P E e 2
W P w 2
S V Su S PP
_
第四章 扩散问题的有限体积法
方程离散：
E P P W (e Ae ) (w Aw ) ( Su S PP ) 0 xPE xWP
第四章 扩散问题的有限体积法
举例：无内热源一维稳态导热问题
d dT ( )0 dx dx
设有一个等截面杆，长0.5米，导热系数 100W /(m k )， 横截面积A=0.01m2，两端温度给定TA=100K, TB=500K
A B
P
w e
x / 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
2
3
4
5
第四章 扩散问题的有限体积法
2 利用高斯定理把体积分转化为控制容 积边界界面上的面积分 3 通过对界面上的参数的近似而得到最 终的离散方程
第四章 扩散问题的有限体积法
不仅对控制容积的中心节点进行计算，还 需要对界面上的扩散系数进行计算
第四章 扩散问题的有限体积法
节点划分：
A W
w
x
x wp
B P
e
E
d d ( ) S 0 dx dx
第四章 扩散问题的有限体积法
上机——圆环导热问题：
（1）导热系数不随温度而变
（2）导热系数随温度而变
第四章 扩散问题的有限体积法
80mm 12mm 15mm
30mm
30mm
圆直径10mm
在⊿t时间间隔内，控制容积P中某变量 （）的增量，等于在同一时间间隔内 由对流及扩散作用进入该控制容积的 （）的净值及源项所生之值的总和 即对微分方程在控制容积内进行积分，再 利用高斯公式将体积分转化为面积分
第四章 扩散问题的有限体积法
用有限体积法建立离散方程的一般步骤：
1 将微分方程在控制容积上进行积分
e w w e ( Ae Aw S P )P ( Aw )W ( Ae )E Su xPE xWP xWP xPE
aPP aW W aEE Su
第四章 扩散问题的有限体积法
方程求解：
在每个节点都建立离散方程：内部节 点的离散方程形式相同，边界节点的 离散形式在处理节点的边界值时由于 只有一个临节点，处理方式略有不同
aPTP aW TW aETE Su
没有内热源的微分方程的离散格式中，其中一个边界 的系数为0，同时出现了一个源项
第四章 扩散问题的有限体积法
A A A aP aW aE S P aW 0 aE x x / 2 x A SP x / 2 ——为导出式
第四章 扩散问题的有限体积法
节点 1 aW 0 aE 10 Su 20TA 0 0 0 20TB
T1 140 K T2 220 K T3 300 K T4 380 K T5 460 K
SP -20 0 0 0 -20
aP 30 20 20 20 30
2 10 10 3 10 10 4 10 10 5 10 0 30T1 10T2 20TA 20T2 10T1 10T3 20T3 10T2 10T4 20T4 10T3 10T5 30T5 10T4 20TB
A Su TA x / 2
第四章 扩散问题的有限体积法
A
1
2
x
3
4
w
5
P
B
e
x / 2
a 同理，在右侧得： PTP aW TW aETE Su
A a 0 a a a S A A aW P W E P E x x / 2 x A A SP Su TA x / 2 x / 2
第四章 扩散问题的有限体积法
高斯公式：
P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy S ( P cos Q cos R cos )ds
第四章 扩散问题的有限体积法
有限体积法——控制容积法——平衡法