方法技巧专题：利用一元二次方程解决几何动点问题
一元二次方程解决几何问题
一元二次方程解决几何问题
一元二次方程是一种形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是实数，而x是未知数。
它可以用于解决许多几何问题，如以下几个例子：
1. 高度和时间问题：假设一颗物体从一个高度h开始自由下落，利用物体的自由落体运动公式可以得到一个关于时间t的二次方程，通过解方程可以确定物体落地的时间点。
2. 路程和时间问题：假设一个物体以某个速度v在直线上运动，利用物体的匀速运动公式可以得到一个关于时间t的一次方程，通过解方程可以确定物体达到某个距离的时间点。
3. 面积问题：对于某些几何图形，如矩形、正方形和圆等，可以通过设定面积为某个值的条件，建立相应的二次方程来求解图形的尺寸。
这只是一些常见的例子，实际上，一元二次方程在几何问题中具有广泛的应用。
(完整版)一元二次方程动点问题讲解
1)设⊿ ABC位于直线L左侧部分的面积为S,写出S与x之间的函 数关系式; 2)当x为何值时,直线L平分⊿ ABC的面积?
(1)解：∠ BAC=45°,AP=x,
∴当L位于CD的右侧时,与
BC交于点Q
L
AP=X,PB=3-X
C
Q
CD=2,PQ=?
p
由小学学习的比例计算PQ 即：CD:DB=PQ:BQ
∴450=½×(2X-50)×3X
Q
X²-25X-30=0
C
解得：X₁=-5(舍去）;X₂=30
解得：综合以上情况在10S,15S,30S时，△OPQ的面积为450
例2 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始 以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以 2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B 同时出发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
C
通过观察，有两种情况：（1）蚂蚁未爬完OA这段距离
（2）蚂蚁爬完OA这段距离后，再由O点向B爬行
例1 如图OA=OB=50cm,OC是一条射线，OC⊥AB,一
只蚂蚁由点A以2cm/s的速度向B处爬行，同时另一只蚂
蚁由O点以3cm/s的速度沿oc方向爬行，则是否存在这样
的时刻，使两只蚂蚁所在位置与O点组成的三角形的面积
·ALeabharlann RP∴S◇=S△ABC-S△BPQ-S△APQ
∴16=32-½(8-X)²-½×(X)²
整理：x²-8x+16=0
整理：x₁=x₂=4
CQ
B
∴当AP=4cm时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2
例4：⊿ABC中,AB=3, ∠ BAC=45°,CD⊥ AB,垂足为D,CD=2,P 是AB上的一动点(不与A,B重合),且AP=x,过点P作直线L与AB垂直.
课件11几何图形的动点问题九年级数学上册学与练(苏科版)
练一练
4．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10 cm，BC＝6 cm.现有两个 动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2 cm/s的速度沿AB向 终点B移动；点Q以1 cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点， 另一点也随之停止．连结PQ，设动点运动时间为x s. (1)用含x的代数式表示PB和BQ的值； (2)是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20 cm2？若存在，请 求出此时x的值；若不存在，请说明理由．
Q以 2 cm/s 的速度向点 D 移动.
(2) P，Q 两点从出发开始，经过几秒时，点 P 和点 Q 的距离为 10 cm？
A
D
解：(2)设经过 y s 时，点 P 和 Q 的距离为 10 cm，
依题意得 62+(16-3y-2y)2=102，
P
整理得 25y2-160y+192=0，
解得 y1，y2，均符合题意，
练一练
1.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝9 cm，BC＝7 cm， 动点 P 从点 C 出发，沿 CA 方向运动，动点 Q 从点 B 出发，沿 BC 方向运动，如果点 P，Q 的运动速度均为 1 cm/s.那么运动几秒 时，它们相距 5 cm?
解：设运动 x s 时，它们相距 5 cm， 则 CP＝x cm，CQ＝(7－x) cm. 依题意，得 x2＋(7－x)2＝52， 解得 x1＝3，x2＝4. 答：运动 3 s 或 4 s 时，它们相距 5 cm.
练一练
5.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5 cm，BC=7 cm.点P 从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开 始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动. （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后 △PBQ的面积等于6 cm2？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长 度等于5 cm？ （3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8 cm2？说明理由.
行程(或动点)问题及平均变化率问题
探究归纳
填空： 1. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产 技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650 元， 则下降率是 7% .如果保持这个下降率，则现在生 产1吨甲种药品的成本是 4324.5 元.
下降率= 下降前的量-下降后的量 下降前的量
2. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产 技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的 成本是 5000(1-x) 元，如果保持这个下降率，则现在 生产1吨甲种药品的成本是 5000(1-x)2 元.
的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投
资上的平均增长率是x,则可列方程
为 2（1+x)+2(1+x)2=8
.
3.青山村种的水稻去年平均每公顷产7200千克， 今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量 的年平均增长率.
解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x, 根据题意，得 7200（1+x)2=8712 系数化为1得， （1+x)2=1.21 直接开平方得， 1+x=1.1, 1+x=-1.1 则 x1=0.1, x2=-1.1, 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.
(12-x)2＋(x＋5)2＝132
5m x
解： 设梯子底端滑动x m， 那么滑动后梯子底端距墙（x+5）m；
根据题意，可得方程：
(12-x)2＋(x＋5)2＝132
解得： x1=0, x2=7. ∵x＞0， ∴x=7.
答：梯子顶端下滑7米时，梯子底端滑动的 距离和它相等.
归纳总结
（1）分析题意，找出等量关系，用字母 表示问题里的未知数.
问题2 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的 大小呢?也就说能否说明乙种药品成本的年平均下降率 大呢?
一元二次方程几何应用之动点问题专题复习 专题突破八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义
第03讲一元二次方程几何应用之动点问题专题复习1．（2019秋•沈北新区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（）A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，×（8﹣t）×2t＝15，解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．故选：B．2．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝8cm，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离是10cm．【分析】设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP＝3xcm，DQ＝（16﹣2x）cm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP＝3xcm，DQ＝（16﹣2x）cm，根据题意得：（16﹣2x﹣3x）2+82＝102，解得：x1＝2，x2＝．答：当P、Q两点从出发开始到2秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．故答案为：2或．3．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．【分析】（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB＝（16﹣3x）cm，QC＝2xcm，根据梯形的面积公式可列方程：（16﹣3x+2x）×6＝33，解方程可得解；（2）作QE⊥AB，垂足为E，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．【解答】解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB＝（16﹣3x）cm，QC＝2xcm，根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6＝33，解之得x＝5，（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，作QE⊥AB，垂足为E，则QE＝AD＝6，PQ＝10，∵P A＝3t，CQ＝BE＝2t，∴PE＝AB﹣AP﹣BE＝|16﹣5t|，由勾股定理，得（16﹣5t）2+62＝102，解得t1＝4.8，t2＝1.6．答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．4．（2021秋•泗阳县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．（1）BP＝cm；BQ＝cm；（用t的代数式表示）（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？【分析】（1）根据速度×时间＝路程列出代数式即可；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，利用三角形中位线定理求得DH的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，所以BP＝（12﹣2t）cm，故答案是：（12﹣2t）；4t；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵∠B＝90°，即AB⊥BC．∴AB∥DH．又∵D是AC的中点，∴BH＝BC＝12cm，DH是△ABC的中位线．∴DH＝AB＝6cm．根据题意，得﹣×（12﹣2t）﹣×（24﹣4t）×6﹣×2t×12＝40，整理，得t2﹣6t+8＝0．解得：t1＝2，t2＝4，即当t＝2或4时，△PBQ的面积是40cm2．5．（2021•越秀区校级一模）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．【分析】（1）经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；（2）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令×2x（5﹣x）＝7，化简该方程后，判断该方程的Δ与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．【解答】解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，根据题意得（5﹣x）×2x＝4，整理得：x2﹣5x+4＝0，解得：x＝1或x＝4（舍去）．答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；（2）仿（1）得（5﹣x）2x＝7．整理，得x2﹣5x+7＝0，因为b2﹣4ac＝25﹣28＜0，所以，此方程无解．所以△PBQ的面积不可能等于7cm2．6．（2021•红谷滩区校级模拟）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为cm？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C 点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，△PBQ的面积为1cm2？【分析】（1）设经过x秒，点P，Q之间的距离为cm，根据勾股定理列式求解即可；（2）设经过y秒，使△PBQ的面积等于8cm2，由三角形的面积公式列式并求解即可；（3）分三种情况列方程求解即可：①点P在线段AB上，点Q在射线CB上；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上；点P在射线AB上，点Q在射线CB上．【解答】解：（1）设经过x秒，点P，Q之间的距离为cm，则AP＝x（cm），QB＝2x（cm），∵AB＝6cm，BC＝8cm∴PB＝（6﹣x）（cm），∵在△ABC中，∠B＝90°∴由勾股定理得：（6﹣x）2+（2x）2＝6化简得：5x2﹣12x+30＝0∵△＝（﹣12）2﹣4×5×30＝144﹣600＜0∴点P，Q之间的距离不可能为cm．（2）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，由题意得：（6﹣x）•2x＝8解得：x1＝2，x2＝4检验发现x1，x2均符合题意∴经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2．（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上设经过m秒，0＜m≤4，依题意有（6﹣m）（8﹣2m）＝1∴m2﹣10m+23＝0解得；m1＝5+（舍），m2＝5﹣∴m＝5﹣符合题意；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上设经过n秒，4＜n≤6，依题意有（6﹣n）（2n﹣8）＝1∴n2﹣10n+25＝0解得n1＝n2＝5∴n＝5符合题意；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上设经过k秒，k＞6，依题意有（k﹣6）（2k﹣8）＝1解得k1＝5+，k2＝5﹣（舍）∴k＝5+符合题意；∴经过（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ的面积为1cm2．7．（2020•赫山区校级自主招生）等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．【分析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S＝QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．【解答】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ＝t，PB＝10﹣t，∴S＝×t（10﹣t）＝（10t﹣t2），当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ＝t，PB＝t﹣10，∴S＝×t（t﹣10）＝（t2﹣10t）．（2）∵S△ABC＝，∴当t＜10秒时，S△PCQ＝，整理得t2﹣10t+100＝0，此方程无解，当t＞10秒时，S△PCQ＝，整理得t2﹣10t﹣100＝0，解得t＝5±5（舍去负值），∴当点P运动秒时，S△PCQ＝S△ABC．（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，易证△APE≌△QCM，∴AE＝PE＝CM＝QM＝t，∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵EM＝AC＝10∴DE＝5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE＝5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．8．（2021秋•玄武区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向终点C运动，它们到达终点后停止运动．（1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）是否存在时间t使得△DPQ的面积是22cm2？若存在请求出t，若不存在，请说明理由．【分析】（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，根据勾股定理可得PD2＝4PQ2，然后再代入相应数据可得方程82+（2t）2＝4[（10﹣2t）2+t2]，再解即可；（2）设x秒后△DPQ的面积是24cm2，利用矩形面积﹣△DPQ的面积＝周围三个三角形面积和列方程即可．【解答】解：（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，∴PD＝2PQ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∴PD2＝AP2+AD2，PQ2＝BP2+BQ2，∵PD2＝4PQ2，①0＜t≤5时，∴82+（2t）2＝4[（10﹣2t）2+t2]，解得：t1＝3，t2＝7；∵t＝7时10﹣2t＜0，∴t＝3，②5＜t≤8时，PD＝＝2，∵PD＝2PQ，∴PQ＝，∵点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向终点C运动，∴t＝，答：3秒或秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）不存在，理由如下：设x秒后△DPQ的面积是22cm2，∵S△DPQ＝S四边形ABCD﹣S△ADP﹣S△BQP﹣S△DCQ．∴×8×2x+（10﹣2x）•x+（8﹣x）×10＝80﹣22，整理得x2﹣8x+18＝0，∵该方程无解，∴不存在时间t使得△DPQ的面积是22cm2．9．如图，直线l1：y1＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2＝x+b过点P．（1）求点P坐标和b的值；（2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．①请写出当点Q在运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式；②求出t为多少时，△APQ的面积小于3；③是否存在t的值，使△APQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把P（m，3）的坐标代入直线l1上的解析式即可求得P的坐标，然后根据待定系数法即可求得b；（2）根据直线l2的解析式得出C的坐标，①根据题意得出AQ＝9﹣t，然后根据S＝AQ •|y P|即可求得△APQ的面积S与t的函数关系式；②通过解不等式﹣t+＜3，即可求得t＞7时，△APQ的面积小于3；③分三种情况：当PQ＝P A时，则（t﹣7+1）2+（0﹣3）2＝（2+1）2+（0﹣3）2，当AQ＝P A时，则（t﹣7﹣2）2＝（2+1）2+（0﹣3）2，当PQ＝AQ时，则（t﹣7+1）2+（0﹣3）2＝（t﹣7﹣2）2，即可求得．【解答】解；（1）∵点P（m，3）为直线l1上一点，∴3＝﹣m+2，解得m＝﹣1，∴点P的坐标为（﹣1，3），把点P的坐标代入y2＝x+b得，3＝×（﹣1）+b，解得b＝；（2）∵b＝，∴直线l2的解析式为y＝x+，∴C点的坐标为（﹣7，0），①由直线l1：y1＝﹣x+2可知A（2，0），∴当Q在A、C之间时，AQ＝2+7﹣t＝9﹣t，∴S＝AQ•|y P|＝×（9﹣t）×3＝﹣t；当Q在A的右边时，AQ＝t﹣9，∴S＝AQ•|y P|＝×（t﹣9）×3＝t﹣；即△APQ的面积S与t的函数关系式为S＝﹣t+或S＝t﹣；②∵S＜3，∴﹣t+＜3或t﹣＜3解得7＜t＜9或9＜t＜11．③存在；设Q（t﹣7，0），当PQ＝P A时，则（t﹣7+1）2+（0﹣3）2＝（2+1）2+（0﹣3）2∴（t﹣6）2＝32，解得t＝3或t＝9（舍去），当AQ＝P A时，则（t﹣7﹣2）2＝（2+1）2+（0﹣3）2∴（t﹣9）2＝18，解得t＝9+3或t＝9﹣3；当PQ＝AQ时，则（t﹣7+1）2+（0﹣3）2＝（t﹣7﹣2）2，∴（t﹣6）2+9＝（t﹣9）2，解得t＝6．故当t的值为3或9+3或9﹣3或6时，△APQ为等腰三角形．10．（2020秋•西山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝8，∠C＝30°，点D 从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）DF＝；（用含t的代数式表示）（2）求证：△AED≌△FDE；（3）当t为何值时，△DEF是等边三角形？说明理由；（4）当t为何值时，△DEF为直角三角形？（请直接写出t的值）．【分析】（1）根据题意求出DC，根据含30°的直角三角形的性质用t表示出DF；（2）根据平行线的性质得到∠AED＝∠FDE，利用SAS定理证明△AED≌△FDE；（3）根据等边三角形的三边相等列式计算；（4）分∠AED＝90°、∠ADE＝90°两种情况，根据直角三角形的性质列方程，解方程得到答案．【解答】（1）解：由题意得，DC＝2t，在Rt△CFD中，∠C＝30°，∴DF＝DC＝t，故答案为：t；（2）证明：∵DF⊥BC，AB⊥BC，∴AB∥DF，∴∠AED＝∠FDE，由题意得，AE＝t，∴AE＝DF，在△AED和△FDE中，，∴△AED≌△FDE（SAS）；（3）解：∵△AED≌△FDE，∴当△DEF是等边三角形时，△AED也是等边三角形，∴AE＝AD，∴t＝8﹣2t，解得，t＝；（4）∵AE＝DF，AE∥DF，∴四边形AEFD是平行四边形，∴当△DEF为直角三角形时，△EDA也是直角三角形，当∠AED＝90°时，AD＝2AE，即8﹣2t＝2t，解得：t＝2；当∠ADE＝90°时，AE＝2AD，即t＝2（8﹣2t），解得：t＝，综上所述，当t＝2或时，△DEF为直角三角形．11．（2020秋•青羊区校级期末）如图，已知点D（﹣1，0），直线l1的解析式为y＝﹣x+6，经过点C（2，n），与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）如图1，若直线l2经过点D，与直线l1交于点C，求直线l2的解析式；（2）点M是x轴上一动点，若△CDM为等腰三角形，求点M的坐标；（3）如图2，已知点E为直线l1上一动点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转90°到DF，若CF＝5，求此时点F坐标．【分析】（1）对于l1：y＝﹣x+6，令y＝﹣x+6＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝6，故点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，6），再求出点C的坐标为（2，4），进而求解；（2）分MC＝CD、MC＝MD、CD＝MD三种情况，利用勾股定理列出方程，分别求解即可；（3）证明△FND≌△DME（AAS），求出点F的坐标为（a﹣7，a+1），由FC2＝（a﹣7﹣2）2+（a+1﹣4）2＝25，即可求解．【解答】解：（1）对于l1：y＝﹣x+6，令y＝﹣x+6＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝6，故点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，6），当x＝2时，y＝﹣x+6＝﹣2+6＝4＝n，故点C的坐标为（2，4），设直线l2的表达式为y＝kx+b，将点C、D的坐标代入上式得，解得，故直线l2的解析式为y＝x+；（2）设点M（x，0），过点C作CH⊥x轴于点H，则MC2＝CH2+HM2＝（x﹣2）2+42，同理可得：CD2＝32+42＝25，MD2＝（x+1）2，当MC＝CD时，即（x﹣2）2+42＝25，解得x＝5或﹣1（舍去﹣1）；当MC＝MD时，同理可得x＝；当CD＝MD时，同理可得x＝4或﹣6，故点M的坐标为（5，0）或（，0）或（4，0）或（﹣6，0）；（3）设点E的坐标为（a，6﹣a），分别过点E、F作x轴的垂线，垂足分别为M、N，∵∠EDF＝90°，∴∠EDM+∠DEM＝90°，∵∠EDM+∠FDN＝90°，∴∠FDN＝∠DEM，∵∠FND＝∠DEM＝90°，DE＝DF，∴△FND≌△DME（AAS），∴FN＝DM，ND＝EM，即FN＝DM＝a+1，ND＝EM＝6﹣a，故点F的坐标为（a﹣7，a+1），而点C（2，4），由（2）知：FC2＝（a﹣7﹣2）2+（a+1﹣4）2＝25，解得a＝，∵点F的坐标为（a﹣7，a+1），∴点F的坐标为（﹣1﹣，7﹣）或（﹣1+，7+）．12．（2021秋•顺德区校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，同时动点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A移动，其中一点到达终点后另一点也随之停止运动，设它们的运动时间为ts．（1）运动几秒时，△CPQ为等腰三角形？（2）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1cm？试说明理由．【分析】（1）根据PC＝CQ列方程求解即可；（2）根据△CPQ的面积等于△ABC面积的，列出关于t的方程，解方程即可；（3）根据勾股定理列方程，此方程无解，于是得到在运动过程中，PQ的长度能否为1cm．【解答】解：经过t秒后，PC＝（4﹣2t）cm，CQ＝tcm，（1）若△CPQ为等腰三角形，则PC＝CQ，即4﹣2t＝t，解得：t＝，∴运动秒时，△CPQ为等腰三角形；（2）当△CPQ的面积等于△ABC面积的时，即×（4﹣2t）•t＝××3×4，整理得：4t2﹣8t+3＝0，解得：t1＝，t2＝，∴经过或秒后，△CPQ的面积等于△ABC面积的；（3）∵∠C＝90°，∴（4﹣2t）2+t2＝1，整理得：5t2﹣16t+15＝0，∵Δ＝162﹣4×5×15＝256﹣300＝﹣44＜0，∴此方程无实数解，∴在运动过程中，PQ的长度不能为1cm．13．（2021秋•佛山校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，动点D 从点A出发以4cm/s速度向点C移动，同时动点E从C出发以3cm/s的速度向点B移动，设它们的运动时间为ts．（1）根据题意知：CE＝cm，CD＝cm；（用含t的代数式表示）（2）t为何值时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的？（3）点D、E运动时，DE的长可以是4cm吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由．【分析】（1）根据动点D从点A出发以4cm/s速度向点C移动，同时动点E从C出发以3cm/s的速度向点B移动，可以得出CE＝3t，CD＝8﹣4t；（2）先确定当△CDE的面积等于四边形ABED的面积的时，则△CDE的面积等于△ABC的面积的，再列方程求出t的值；（3）假设可以，根据这一条件列方程并且整理出一元二次方程，再由一元二次方程根的判别式判定此方程没有实数根，则说明DE的长不可以是8cm．【解答】解：（1）∵动点D、E同时出发，动点E从C出发向点B移动，∴CE＝3tcm，∵动点D从点A出发向点C移动，∴CD＝（8﹣4t）cm，故答案为：3tcm，（8﹣4t）cm．（2）当△CDE的面积等于四边形ABED的面积的时，则△CDE的面积等于△ABC的面积的，根据题意得×3t（8﹣4t）＝××8×6，整理得t2﹣2t+1＝0，解得t1＝t2＝1，答：t＝1，即运动1秒时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的．（3）不可以，理由如下：如果可以，则由勾股定理得（3t）2+（8﹣4t）2＝42，整理得25t2﹣64t+48＝0，∵Δ＝（﹣64）2﹣4×25×48＝﹣704＜0，∴该方程没有实数根，∴DE的长不可以是4cm．。
一元二次方程应用题(动点问题)
C
整理，得 x
D
C
6x 8 0
解这个方程，得
x1 2, x2 4
A P
Q
0 x 6
所以2秒或4秒后△ PBQ的 面积等于8cm2
B
解决有关“动点”的问题”方法
1)关键—— 以静代动 把动的点进行转换,变为线段的长度, 2)方法—— 时间变路程 求“动点的运动时间”可以转化为求“动点 的运动路程”，也是求线段的长度; 3）常依据的数量关系——面积，勾股定理 由此,学会把动点的问题转化为静点的问题, 是解这类问题的关键.
练习 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P 从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动, 点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C 移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒 后△PBQ的面积等于8cm2？
解：设x秒后△ PBQ的面积等于8cm2
1 根据题意，得 2 x (6 x) 8 2 2
一元二次方程的应用 ---动点问题
梯子下滑问题
（1）如图，梯子顶端下滑1m,梯子底端向外滑动的距离 大于1m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端向外滑 动的距离和它相等呢？ （2）如果梯子的长度是13m，梯子顶端与地面的垂直距 离为12m,那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端向外滑 动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多 少？
开启智慧
等腰直角△ ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A 点出发,以1cm/s的速度沿AB向B移动,通 过点P作PR//BC,PQ//AC，求P出发几S时, 四边形PQCR的面积等于16cm2?
A R P
C
Q
B
拓展与创新
如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm， BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同 时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移 动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一 点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运 动时间为x秒．（1）用含x的代数式表示BQ、PB的 长度；（2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形； （3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等 于20cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在， A 请说明理由．
一元二次方程——动点问题
Day5：一元二次方程之动点问题一元二次方程解决问题1．动点问题几何图形应用题，关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.常见题型：选择题、解答题，求最值问题.易错点：找准动点的关系.中考回顾：常考，求最值或三角形为直角三角形等等.例1如图，点O 在线段AB 上，AO=1，OB=2，OC 为射线，且∠BOC=120°，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 作匀速直线运动．设运动时间为t 秒，当△ABP 为直角三角形时，t 的值为（）A．t=1B．t=1或8﹣C．t=8D．t=1或8例2如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止，其中P、Q不与A、B重合.（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2？请说明理由.例3如图，在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0,2）、C（6,0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒，则当t为何值时，△PBQ为直角三角形？参考答案1.【答案】B【考点】本题考查了动点问题，结合三角形，注意画出图形，帮助理解．【解析】如图1，当∠PAB=90°时，∵∠BOC=120°，∴∠AOP=60°，∴∠APO=30°，∴OP=2OA=2，∵OP=2t，∴t=1；如图2，当∠APB=90°，过P 作PD⊥AB，∵∠OPD=120°﹣90°=30°，∴OD=12∴AD=AO﹣OD=1﹣t，在Rt△ABP 中，根据勾股定理得：AP 2+BP 2=AB 2，即（2+t）222+（1﹣t）2=32，解得：t=8﹣（负值舍去）；当∠ABP=90°时，此情况不存在；综上，当t=1或t=8﹣时，△ABP 是直角三角形．2.【答案】（1）1秒（2）2秒（3）不能【考点】一元二次方程在三角形中动点问题的应用.【解析】（1）设x 秒后，△PBQ 的面积等于4cm².此时，AP=x cm，PB=（5-x）cm，BQ=2x cm，由S △PBQ =4BQ PB 21=∙得()42-521=∙x x ，整理得0452=+-x x ，解得x 1=1，x 2=4.当x=4时，2x=8>7，不合要求.所以1秒后，△PBQ 的面积等于4cm².（2）设x 秒后，PQ 的长度等于5cm.由PB 2+BQ 2=5²得（5-x）²+（2x）²=5²整理得x²-2x=0，解得x 1=0（舍去），x 2=2.经检验，x=2符合要求，所以2秒后，PQ 的长度等于5cm.（3）不能.理由：设x 秒后，△PBQ 的面积等于7cm²，由题意得()72-521=∙x x ，整理得x²-5x+7=0，03-28-25<==∆，此方程无解，所以△PBQ 的面积不可能等于7cm².3.【答案】t=2或55+=t 或5-5=t 【考点】该题考查的是一元二次方程与直角坐标系结合的动点应用题型.【解析】过点P 作PG⊥OC，垂足为G.在Rt△POG 中，∵∠POG=45°，∴∠OPG=45°，∵OP=t 2，∴OG=PG=t，∴点P（t，t），又∵Q（2t，0），B（6,2），根据勾股定理可得PB²=（6-t）²+（2-t）²，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t².在P、Q 移动过程中，PQ 始终与OD 垂直，容易得知∠BPQ 不可能等于90°.①若∠PQB=90°，则有PQ²+QB²=PB²，即2t²+[（6-2t）²+2²]=（6-t）²+（2-t）²，整理得4t²-8t=0，解得t 1=0（舍去），t 2=2，∴t=2.②若∠PBQ=90°，则有PB²+QB²=PQ²，∴[（6-t）²+（2-t）²]+[（6-2t）²+2²]=2t²，整理得t²-10t+20=0，解得t=5±5.∴当t=2或55+=t 或5-5=t 时，△PQB 为直角三角形.。
一元二次方程的应用之动点问题
飞机航线问题
一架飞机以速度v0从机场起飞，以角度θ和速度v1改变航向，最终飞向位于d距离处的目的地。
集训队掉队问题
两个集训队进行长跑训练，已知甲队每分钟跑400米，乙队每分钟跑300米， 求甲队领先乙队的时间和距离。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一元二次方程的应用之动 点问题
了解一元二次方程在动点问题中的应用。介绍动点问题的概念和常见场景， 回顾一元二次方程的概念和求解方法，以及解决动点问题的思路。探讨各种 实际问题，从车辆行驶到射击训练。
动点问题的基本概念介绍
动点问题是指描述运动中物体位置随时间变化的数学问题。通过一元二次方 程模型，我们能够分析和解决各种动点问题。
动点问题的常见场景
某车辆行驶问题
人跑步问题
分析车辆的位移和速度随时间的变
研究人的速度和位置关系，解决跑
化，解决关于车辆行驶距离的问题。 步速度和时间的关联问题。
弹射问题
探讨弹射物的抛射高度与发射角度、 速度之间的关系。
某车辆行驶问题
一辆车以匀减速行驶，在t=0时刻开始减速，当速度减至0时停下。已知车辆 总行程为S，求车辆的减速度和总的减速时间。
人跑步问题
一个人跑步以恒定速度v1从起点出发，在t1时刻以恒定速度v2超过位于d距离 处的另一个人，求v1和v2之间的关系。
弹射问题
如果我们以速度v和角度θ把一个抛射物发射到水平面上某一目标点，求v和θ之间的关系。
抛物线下落问题
一个物体从某一高度h以速度v0抛出，求该物体抛出后的落地点和落地时间。
九年级数学上册复习专题05一元二次方程围栏问题与动点问题(1)
专题05围栏问题与动点问题【1】围栏问题解题技巧：围墙问题与面积问题相比，因存在围墙的原因，多一个判断未知数取值范围的过程，具体步骤为：①根据题意，列等量关系式；②设未知数；（一般设垂直于墙的边为x，另一半为总长减去垂直于墙的边数乘以x）③列方程；④求解方程；⑤依据围墙的限制，求未知数的取值范围；（0＜水平墙的长度≤墙长）⑥根据未知数的取值范围，确定答案。
【2】动点问题解题技巧：解决动点问题的一般方法为：设运动的时间或路程为x，再用含x的代数式表示相关的线段或几何关系，从而建立方程或函数关系。
方法：①首先找出动点的路程所表示线段；②设时间为x（或t）；③表示出动点的路程（路程=动点速度×时间x）；④表示出剩下的线段长；⑤由题目中的等量关系列方程（面积或者勾股定理列方程）；1．如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的矩形ABCD场地？能围成一个面积为52m2的矩形ABCD场地吗？如能，说明围法；若不能，说明理由．【答案】详解见解析；不能，理由见解析【解析】【分析】设垂直于墙的一边AB长为xm，那么另一边长为（20﹣2x）m，可根据长方形的面积公式即可列方程进行求解．【详解】解：设垂直于墙的一边AB长为xm，那么另一边长为（20﹣2x）m，由题意得x（20﹣2x）＝50，解得：x1＝x2＝5，（20﹣2×5）＝10（m）．围成一面靠墙，其它三边分别为5m，10m，5m的矩形．答：不能围成面积52m2的矩形ABCD场地．理由：若能围成，则可列方程x（20﹣2x）＝52，此方程无实数解．所以不能围成一个面积为52m2的矩形ABCD场地．【点睛】本题主要考查了一元二次方程及其实际应用，其中根据题目信息列出相应的方程式是解题的关键．2．列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．【答案】30m，20m【解析】【分析】设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答．【详解】设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，整理，得x2﹣35x+300＝0，解得x1＝15，x2＝20，当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键．3．如图，要建一个面积为150平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇3米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库与墙垂直的一边应长多少米？【答案】10米【解析】【分析】设垂直于墙的一边长为x 米，结合题意可得到平行于墙的一边长为3223x -+米，再通过面积150平方米列出等式，从而计算得到答案．【详解】设垂直于墙的一边长为x 米，则平行于墙的一边长为()3223x -+米，由题意得()3223150x x ⨯-+=∴22351500x x -+= ∴1152x =，210x = 当10x =时，32231518x -+=＜ 当152x =时，32232018x -+=＞（152x =不符合题意，舍去） ∴这个仓库与墙垂直的一边应长10米．【点睛】本题考察了二元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握二元一次方程并运用到实际问题的求解过程中，即可得到答案．4．如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33m 的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过6米（围栏宽忽略不计)．()1每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长；()2每个生态园的面积_ (填“能”或“不能”）达到108平方米．(直接填答案）【答案】（1）每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米；理由见详解（2）不能，理由见详解．【解析】【分析】（1）设每个生态园垂直于墙的边长为x 米，根据题意可知围栏总长33m ，所围成的图形是矩形，可得平行于墙的边长为()33+1.523x ⨯- 米，由此可得方程为()33+1.523482x x ⨯-=⨯，解方程即可．（2）由（1）可知生态园的面积为：()33+1.523S x x =⨯-，把每个生态园的面积为108平方米代入解析式，然后根据根的判别式来得出答案．【详解】（1）解：设每个生态园垂直于墙的边长为x 米， 根据题意得：()33+1.523482x x ⨯-=⨯整理，得：212320x x +=﹣，解得：1=4x 、2=8x （不合题意，舍去），∴ 当=4x 时，33+1.523363424x ⨯-=-⨯=，∴242=12÷．答：每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米．（2）由（1）及题意可知：()33+1.5231082x x ⨯-=⨯整理得：212720x x +=﹣()22=41241721440b ac ∆-=--⨯⨯=-＜ ∴原方程无实数根∴每个生态园的面积不能达到108平方米．故答案为：不能．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是通过题意设出未知数得到平行于墙的边长，要注意每个生态园开有1.5m 的门，然后根据题意列出一元二次方程即可；在解第二问时要注意利用一元二次方程根的判别式来分析． 5．如图，有长为30m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m ），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB ）的长方形花圃．（1）设花圃的一边AB 为xm ，则BC 的长可用含x 的代数式表示为______m ；（2）当AB 的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？【答案】（1）30－3x ；（2）7【解析】【分析】（1）由AB 的长为xm ，结合长为30m 的篱笆即可表示出BC 的长为：（30﹣3x ）m ；（2）根据AB 及BC 的长可表示出花圃的面积，令该面积等于63，求出符合题意的x 的值，即是所求AB 的长．【详解】解：（1）由题意得：BC ＝30﹣3x ，故答案为：30﹣3x ；（2）由题意得：﹣3x 2+30x ＝63．解此方程得x 1＝7，x 2＝3．当x ＝7时，30﹣3x ＝9＜10，符合题意；当x ＝3时，30﹣3x ＝21＞10，不符合题意，舍去；故当AB 的长为7m 时，花圃的面积为63m 2．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解．6．某农场要建一个饲养场（长方形ABCD ），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为27米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，设饲养场（长方形ABCD ）的宽为a 米（1）饲养场的长为________米（用含a 的代数式表示）（2）若饲养场的面积为2882m ，求a 的值【答案】（1）603a -；（2）12【解析】【分析】（1）用总长减去3a 后加上三个1米宽的门即为所求；（2）根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可，注意a 的范围讨论．【详解】（1）∵如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，∴饲养场的长为57133603a a +⨯-=-，故答案为：603a -；（2）根据（1）的结论，饲养场面积为()603288a a -=，解得12a =或8a =；当8a =时，60360243627a -=-=>，故8a =不全题意，舍去，当12a =时，6032427a -=<，则12a =；答：a 的值为12．【点睛】本题考查了列代数式、一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．7．如图,现有长度100米的围栏，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，BC 的长度不大于墙长。
初中数学一元二次方程的应用题型分类——动态几何问题7(附答案)
初中数学一元二次方程的应用题型分类——动态几何问题7（附答案）1．如图，ABC 中，90C =∠，8AC cm =，4BC cm =，一动点P 从点C 出发沿着CB 方向以1/cm s 的速度运动，另一动点Q 从A 出发沿着AC 边以2/cm s 的速度运动，P ，Q 两点同时出发，运动时间为()t s ．()1若PCQ △的面积是ABC 面积的14，求t 的值？ ()2PCQ 的面积能否为ABC 面积的一半？若能，求出t 的值；若不能，说明理由．2．小张准备把一根长为32cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于40cm 2，小张该怎么剪？（2）小李对小张说：“这两个正方形的面积之和不可能等于30cm 2．”他的说法对吗？请你用两种不同的方法说明理由．3．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC=60cm ，∠A=60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/秒的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是t 秒（0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF.（1）当t 为何值时，DF=DA ？（2）当t 为何值时，△ADE 为直角三角形？请说明理由．（3）是否存在某一时刻t ，使点F 在线段AC 的中垂线上，若存在，请求出t 值，若不存在，请说明理由.（4）请用含有t 式子表示△DEF 的面积，并判断是否存在某一时刻t ，使△DEF 的面积是△ABC 面积的19，若存在，请求出t 值，若不存在，请说明理由.4．如图，在ABC 中，B 90∠=，AB 12cm =，BC 24cm =，动点P 从点A 开始沿着边AB 向点B 以2cm /s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿着边BC 向点C 以4cm /s 的速度移动（不与点C 重合）．若P 、Q 两点同时移动()t s ； 1（）当移动几秒时，BPQ 的面积为232cm ．2（）设四边形APQC 的面积为()2S cm ，当移动几秒时，四边形APQC 的面积为2108cm ？5．如图所示，在△ABC 中，∠B =90°，BC =8cm ，AB =6cm ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm ∕s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4 cm ∕ s 的速度移动．如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发，经过几秒钟，△PBQ 的面积等于10cm 2？6．已知：如图，在ABC 中，90B ∠=，5AB cm =，7BC cm =．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1/cm s 的速度移动，同时点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2/cm s 的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为x 秒，()1求几秒后，PBQ 的面积等于26cm ？()2求几秒后，PQ 的长度等于5cm ？()3运动过程中，PQB 的面积能否等于28cm ？说明理由．7．由点P （14，1），A （a ，0），B （0，a ）确定的△PAB 的面积为18．（1）如图，若0＜a ＜14，求a 的值．（2）如果a ＞14，请画图并求a 的值．8．如图，在Rt ABC 中，90B ∠=，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点C 同时出发，沿边AB ，CB 向终点B 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．9．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5cm ，BC=4cm ，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A ﹣B ﹣C ﹣A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）若点P 在BC 上，且满足PA=PB ，求此时t 的值；（2）若点P 恰好在∠ABC 的角平分线上，求此时t 的值；10．A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，16AB cm =，6AD cm =，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3/cm s 的速度向点B 移动，一直到达B 为止，点Q 以2/cm s 的速度向D 移动．（1）P 、Q 两点从出发开始到几秒时四边形PBCQ 是矩形？（2）P 、Q 两点从出发开始到几秒时，点P 和点Q 的距离是10cm ？11．已知：如图所示，在ABC 中，90B ∠=，5AB cm =，7BC cm =，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1/cm s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2/cm s 的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．() 1如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么几秒后，PBQ 的面积等于24cm ？ ()2在()1中，PQB 的面积能否等于27cm ？请说明理由．12．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝4．点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发，点P 沿A →C 的方向以每秒1个单位长的速度向点C 运动，点Q 沿B →C 的方向以每秒2个单位长的速度向点C 运动．当其中一个点先到达点C 时，点P 、Q 停止运动．当四边形ABQP 的面积是△ABC 面积的一半时，求点P 运动的时间．13．如图，在ABC 中，B 90∠=，AB 12cm =，BC 24cm =，动点P 从点A 开始沿着边AB 向点B 以2cm /s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿着边BC 向点C 以4cm /s 的速度移动（不与点C 重合）．若P 、Q 两点同时移动()t s ；()1当移动几秒时，BPQ 的面积为232cm ．()2设四边形APQC 的面积为()2S cm ，当移动几秒时，四边形APQC 的面积为14．如图，在矩形ABCD 中，AB 6cm =，BC 12cm =，点P 从点A 沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动；同时，点Q 从点B 沿边BC 向点C 以2cm /s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，有一点到终点运动即停止．问：是否存在这样的时刻，使2DPQ S 28cm =？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．15．已知：如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=5cm ，BC=7cm ．点P 从点A 开始沿AB边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动．（1）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于6cm 2？ （2）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于5cm ？（3）在（1）中，△PQB 的面积能否等于8cm 2？说明理由．16．如图，在ABC 中，90B ∠=，12AB cm =，24BC cm =，动点P 从点A 开始沿着边AB 向点B 以2/cm s 的速度移动，同时动点Q 从点B 开始沿着边BC 向点C 以4/cm s 的速度移动,P 、Q 分别到达B 、C 后运动停止．若P 、Q 两点同时移动()t s ；()1当t 为何值时，BPQ 的面积为232cm ．()2设四边形APQC 的面积为()2S cm ，当移动几秒时，四边形APQC 的面积为() 3 在P 、Q 运动过程中，BPQ 面积是否有最大值？若有，求出BPQ 面积最大时t 的值；若没有，请说明理由。
一元二次方程应用(二)(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)
第6讲 一元二次方程应用（二）1. 懂得运用一元二次方程解决有关销售利润问题；2. 懂得运用一元二次方程解决有关几何面积问题；3. 懂得运用一元二次方程解决几何中的动点问题。
知识点 1：销售利润问题 ：（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； （2）每每问题中，单价每涨a 元，少买y 件。
若涨价y 元，则少买的数量为知识点2：几何面积问题（1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则（3）如图③，栏杆总长为a ，BC 的长为b,则知识点3 ：动点与几何问题关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.件y ab【题型 1销售利润问题】【典例1】（2022秋•信宜市校级期中）某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）y与x之间的函数关系式为；（2）当每千克干果降价1元时，超市获利多少元？（3）若超市要想获利2210元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？【变式1-1】（2021秋•天府新区期末）2022年冬奥会即将在北京召开，某文化用品店购进了一批以冬奥会为主题的手抄本进行销售，手抄本的进价每本3元，已知这种手抄本每天销售量y（本）与销售单价x（元）（3≤x≤9）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若销售这款手抄本每天所获得的利润仅为120元，求销售单价应为多少元？【变式1-2】（2022秋•顺德区期中）佛山市加快建设制造业创新高地，全球每生产两台微波炉就有一台出自顺德．一商场从顺德以每台430元的价格进货一批微波炉，计划以每台500元销售．在销售过程中发现：每月微波炉的销售量y（台）与每台微波炉上涨价格x（元）之间满足一次函数关系，如图是y与x的函数图象．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）若该商场要求微波炉的月销售量不少于750台，并且每月销售微波炉的利润率不低于20%，当该商场每月微波炉的销售利润为71250元时，微波炉的销售单价应定为多少？【变式1-3】（2023•临川区校级一模）某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：40455560销售单价x（元/千克）80705040销售量y（千克）（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；（2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，求每天的销售量应为多少千克？【典例2】（2022•南海区一模）某商场以每件210元的价格购进一批商品，当每件商品售价为270元时，每天可售出30件，为了迎接“双十一购物节”，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．（1）降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？（2）要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？【变式2-1】（2023春•西湖区校级期中）“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．（1）当销售量为30件时，产品售价为元/件；（2）直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；（3）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？【变式2-2】（2023春•余姚市校级期中）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜欢．某商店销售亚运会吉祥物，在销售过程中发现，当每件获利125元时，每天可出售50件，为了扩大销售量增加利润，该商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件吉祥物降价5元，平均可多售出1件．（1）若每件吉祥物降价20元，商家平均每天能盈利多少元？（2）每件吉祥物降价多少元时，能尽量让利于顾客并且让商家平均每天盈利5980元？【变式2-3】（2022秋•宁德期末）随着正定旅游业的快速发展，外来游客对住宿的需求明显增大，某宾馆拥有的床位数不断增加．（1）该宾馆床位数从2016年底的200个增长到2018年底的288个，求该宾馆这两年（从2016年底到2018年底）拥有的床位数的年平均增长率；（2）根据市场表现发现每床每日收费40元，288张床可全部租出，若每床每日收费提高10元，则租出床位减少20张．若想平均每天获利14880元，同时又减轻游客的经济负担每张床位应定价多少元？【题型2 几何面积问题】【典例3】（2022春•长兴县月考）某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为21m和12m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为400m2．（1）求小路的宽度；（2）某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以40.5万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．【变式3-1】（2023•大连一模）如图，物业公司计划整理出一块矩形绿地，为充分利用现有资源，该矩形绿地一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为18m，若矩形绿地的面积为36m2，求矩形垂直于墙的一边，即AB的长．【变式3-2】（2023春•苍南县期中）园林部门计划在某公园建一个长方形花圃ABCD，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，如图2所示BC＝2AB，建成后所用木栏总长120米，在图2总面积不变的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图3，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1728平方米．（1）求长方形ABCD花圃的长和宽；（2）求出网红打卡点的面积．【变式3-3】（2021秋•萍乡期末）如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28m），围成一个矩形花园ABCD，与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙），现有砌60m长的墙的材料．（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300m2；（2）能否围成面积为480m2的矩形花园，为什么？【题型3 动点与几何问题】【典例4】（2022•霍林）如图所示，在Rt△ABC中．∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B 开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2．（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm．（3）在（1）中△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．【变式4-1】（2023春•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB ＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q 均停止运动，若△PBQ的面积等于4cm2，则运动时间为（）A．1秒B．4秒C．1秒或4秒D．1秒或秒【变式4-2】（2022秋•澄迈县期末）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q 从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，点Q到达点C后，点P 停止运动．（1）经过ts后（t＞0），△PBQ的面积等于4cm2，求t的值；（2）经过ts后，（t＞0），PQ的长度为5cm，求t的值；（3）△PBQ的面积能否等于8cm2？【变式4-3】（2022•泗阳县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．（1）BP＝cm；BQ＝cm；（用t的代数式表示）（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？1．（2022•河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为（）A．30（1+x）2＝50B．30（1﹣x）2＝50C．30（1+x2）＝50D．30（1﹣x2）＝50 2．（2019•广西）扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（）A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30C．30x+2×20x＝×20×30D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×303.（2022•青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为．4．（2020•西藏）列方程（组）解应用题某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．5.（2021•日照）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？6.（2022•德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽；（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．7.（2022•南岸区自主招生）北京冬奥会期间，某商店购进600个纪念品，每个纪念品的进价为6元，第一周以每个10元的价格售出200个．第二周商店为了适当增加销售量，决定降价销售．根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个（售价不得低于进价）．第三周商店把每个纪念品的售价再在第二周售价的基础上降低20%，剩余纪念品全部售完．注：销售利润＝销售量×（售价﹣进价）（1）若第二周每个纪念品降价m元，用含m的代数式表示这批纪念品第二周的销售利润；（2）若前两周商店销售这批纪念品的利润为1400元，求第二周每个纪念品的售价；（3）若这批纪念品共获得销售利润1730元，求这批纪念品第三周的销售数量．1．（2022秋•大渡口区校级期末）某网店以每件100元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为120元，则平均每天可销售30件，为了尽快减少库存，网店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，平均每天可多售出5件，每件商品售价为多少元时，该网店日盈利可达到800元？设每件商品售价为x元时，该网店日盈利可达到800元，则可列方程为（）A．（20﹣x）（30+5x）＝800B．（20﹣x）（30+x）＝800C．（x﹣100）（630﹣5x）＝800D．（x﹣100）（630﹣x）＝800 2．（2022秋•河北区期末）某超市购进一批商品，单价40元．经市场调查，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量减少10个，因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，超市若将准备获利2000元，则定价为多少元？（）A．50B．60C．50或60D．100 3．（2022秋•江岸区校级月考）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽度为xcm（风景画四周的金色纸边宽度相同），则x的值为（）A．10B．8C．7D．54．（2022秋•甘井子区校级月考）如图，把一块长为40cm，宽为20cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为576cm2，求剪去小正方形的边长．5．（2021秋•平定县期末）如图所示，某景区计划在一个长为36m，宽为20m 的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为336m2，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少m？6．（2021秋•昌图县期末）如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．（1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么AD的长为多少米？（2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由．7．（2021秋•平山区校级月考）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）．（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润为320元？8．（2021秋•铁西区校级月考）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用．若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？9．已知长方形硬纸板ABCD的长BC为40cm，宽CD为30cm，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计）（1）EF =cm，GH=cm；（用含x的代数式表示）（2）若折成的长方体盒子底面M的面积为300cm2，求剪掉的小正方形的边长10．（2022秋•兴城市期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动（到达点C即停止运动）．（1）如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于△ABC面积的三分之一？（2）如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，几秒钟后，点P，Q相距6cm？11．（2022秋•江都区期中）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？12．（2022秋•市北区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C 出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，（0≤t≤5）求：（1）当t为多少秒时，P、Q两点之间的距离是10cm？（2）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（3）当t为多少秒时，？。
九年级数学上册复习专题05一元二次方程围栏问题与动点问题
专题05围栏问题与动点问题【1】围栏问题解题技巧：围墙问题与面积问题相比，因存在围墙的原因，多一个判断未知数取值范围的过程，具体步骤为：①根据题意，列等量关系式；②设未知数；（一般设垂直于墙的边为x，另一半为总长减去垂直于墙的边数乘以x）③列方程；④求解方程；⑤依据围墙的限制，求未知数的取值范围；（0＜水平墙的长度≤墙长）⑥根据未知数的取值范围，确定答案。
【2】动点问题解题技巧：解决动点问题的一般方法为：设运动的时间或路程为x，再用含x的代数式表示相关的线段或几何关系，从而建立方程或函数关系。
方法：①首先找出动点的路程所表示线段；②设时间为x（或t）；③表示出动点的路程（路程=动点速度×时间x）；④表示出剩下的线段长；⑤由题目中的等量关系列方程（面积或者勾股定理列方程）；1．如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的矩形ABCD场地？能围成一个面积为52m2的矩形ABCD场地吗？如能，说明围法；若不能，说明理由．2．列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．3．如图，要建一个面积为150平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇3米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库与墙垂直的一边应长多少米？4．如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33m的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过6米（围栏宽忽略不计)．()1每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长；()2每个生态园的面积_ (填“能”或“不能”）达到108平方米．(直接填答案）5．如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的长方形花圃．（1）设花圃的一边AB为xm，则BC的长可用含x的代数式表示为______m；（2）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？6．某农场要建一个饲养场（长方形ABCD），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为27米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，设饲养场（长方形ABCD）的宽为a米（1）饲养场的长为________米（用含a的代数式表示）（2）若饲养场的面积为2882m，求a的值7．如图,现有长度100米的围栏，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，BC的长度不大于墙长。
一元二次方程与动点问题
一元二次方程与动点问题某些动点问题,常可以建立以时间为未知数的一元二次方程模型.通过求解模型,往往会得到两个实数解,这时要根据实际问题作出取舍.既然是动点问题,结果就有多种可能,因此,有时方程模型的两个实数解都是符合题意的,这一点要注意.解决动点问题,我们必须先弄清楚动点是谁?是单动点还是双动点?运动的路径怎样?方向和速度怎样?运动停止的时间怎样?设运动时间为t ,会用t 表示出各个相关的量,找到等量关系并列出关于t 的方程模型.一般情况下,运动路径由几段构成,就需要分几种情况进行讨论,最后做出总结.例1. 如图,在Rt △ABC 中,︒=∠90ACB ,10=AB cm,8=BC cm,点P 从点A 开始沿射线AC 向点C 以2 cm/s 的速度移动,点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以1 cm/s 的速度移动.如果点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发,运动的时间为t s,当点Q 运动到点B 时,两点停止运动.（1）当点P 在线段AC 上运动时,P 、C 两点之间的距离为_________cm;（用含t 的代数式表示）（2）在运动的过程中,是否存在某一时刻,使得△PQC 的面积是△ABC 的面积的61若存在,求出t 的值;若不存在,说明理由.分析:（1）由题意可知,t AP 2=cm ,t CQ =cm .由勾股定理求出6=AC cm .所以()t PC 26-=cm ,即P 、C 两点之间的距离为()t 26-cm ;（2）用含t 的代数式表示△PQC 的面积,由ABC PQC S S ∆∆=61建立关于t 的一元二次方程,由方程是否有实数根说明t 的存在性.由于点P 沿射线AC 运动,且运动停止时间为8s,所以需要分两种情况进行讨论:点P 在线段AC 上运动（t <0≤3）和点P 在线段AC 的延长线上运动（t <3≤8）.解:（1）()t 26-;（2）由题意可知:t CQ =cm.当t <0≤3时,()t PC 26-=cm.∴()t t t t PC CQ S PQC 32621212+-=-=⋅=∆（cm 2） 由486216161=⨯⨯⨯==∆∆ABC PQC S S 可得: 432=+-t t 即0432=+-t t∵()074432<-=⨯--=∆ ∴该方程无实数根;当t <3≤8时,()t PC 26-=cm.∴()46221=-t t ,即0432=--t t 解之得:1,421-==t t （不符合题意,舍去）综上所述,当4=t 时,△PQC 的面积是△ABC 的面积的61. 例2. 如图,在矩形ABCD 中,5=AB cm,6=BC cm,点P 从点A 开始沿AB 向终点B 以1 cm/s 的速度移动,与此同时,点Q 从点B 开始沿BC 向终点C 以2 cm/s 的速度移动,如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发,当点Q 运动到点C 时,两点停止运动.设运动的时间为t s.（1）填空:=BQ _________,=PB _________;（用含t 的代数式表示）（2）当t 为何值时,PQ 的长度等于102cm? （3）是否存在t 的值,使得五边形APQCD 的面积等于26 cm 2若存在,请求出此时t 的值;若不存在,请说明理由.解:（1）t 2cm,()t -5cm;（2）在Rt △BPQ 中,由勾股定理得:222PQ PB BQ =+∴()()()22210252=-+t t 解之得:3=t∴当3=t 时,102=PQ cm;（3）3065=⨯=⋅=BC AB S ABCD 矩形 cm 2若五边形APQCD 的面积等于26 cm 2,则4=∆BPQ S cm 2 ∴()45221=-⨯t t ∴4,121==t t （不符合题意,舍去）∴存在1=t ,使得五边形APQCD 的面积等于26 cm 2.例3. 如图,在△ABC 中,︒=∠90B ,6=AB cm,12=BC cm,点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动.（1）如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发,几秒钟后△PBQ 的面积等于8 cm 2（2）在（1）中,△PBQ 的面积能否等于10 cm 2说明理由. CA BQP解:（1）设x 秒后△PBQ 的面积等于8 cm 2.由题意可知:x AP =cm,x BQ 2=cm∴()x BP -=6cm∵()86221=-⨯=∆x x S PBQ ∴0862=+-x x解之得:4,221==x x∴2s 或4s 后△PBQ 的面积等于8 cm 2;（2）由题意可得:()106221=-⨯x x ∴01062=+-x x∵()0410462<-=⨯--=∆∴该方程无实数根∴△PBQ 的面积不能等于10 cm 2.。
初中数学专题：利用一元二次方程解决几何中的三大动点问题
专题1.7 利用一元二次方程解决几何中的三大动点问题【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对利用一元二次方程解决几何中的三大动点问题的理解！【类型1 利用一元二次方程解决三角形中的动点问题】1．（2023春·广东江门·九年级校考期中）如图，在等腰中，，，动点P从点A出发沿向点B移动，作，，当的面积为面积的一半时，点P移动的路程为（）A．B．C．D．2．（2023春·浙江·九年级期末）如图，在等腰中，，动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动，于点Q．设运动时间为，当s时，的面积为．3．（2023春•驻马店期末）如图，已知AG CF，AB⊥CF，垂足为B，AB=BC=3 ，点P是射线AG上的动点（点P不与点A重合），点Q是线段CB上的动点，点D是线段AB的中点，连接PD并延长交BF于点E，连接PQ，设AP=2t，CQ=t，当PQE是以PE为腰的等腰三角形时，t的值为．4．（2023春·广东江门·九年级校考期中）如图，是边长为6cm的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿，匀速移动，它们的速度都是2，当点到达点时，，两点都停止运动，设点的运动时间为，解答下列问题：(1)当为何值时，是以为直角的直角三角形？(2)是否存在，使四边形的面积是面积的若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．5．（2023春·江苏宿迁·九年级统考期末）如图，在ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P 从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．(1)BP＝cm；BQ＝cm；（用t的代数式表示）(2)D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时PDQ的面积为40cm26．（2023·浙江金华·九年级期中）如图，在中，厘米，厘米，于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段上向终点D运动．设动点运动时间为t秒．（1）求的长；（2）当的面积为15平方厘米时，求t的值；（3）动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t，使得？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．7．（2023春·九年级单元测试）如图，在Rt ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动，过P点作矩形PDFE(E点在AC上)，设ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒(0＜t＜8)．(1)经过几秒钟后，S1＝S2?(2)经过几秒钟后，S1＋S2最大？并求出这个最大值．8．（2023春·江苏淮安·九年级统考期中）Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒（1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若PBC与P AD的面积和是ABC的面积的，求t的值；（2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与ABC重叠部分的面积为8，求t的值．【类型2 利用一元二次方程解决四边形中的动点问题】1．（2023春·陕西渭南·九年级统考期末）如图，在矩形中，点是上的一个动点，把沿向矩形内部折叠，当点的对应点恰好落在的平分线上时，的长为．2．（2023春·河北邯郸·九年级统考期中）如图所示，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始秒时，点P和点Q的距离是．（若一点到达终点，另一点也随之停止运动）3．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？(2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？4．（2023春·浙江杭州·九年级期中）如图，点，分别在平行四边形的边，上，且，，，动点从点出发沿着线段向终点运动，同时点从点出发沿着折线段向终点运动，且它们同时到达终点，设点运动的路程为，的长度为，且（为常数，）．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）求的长．（3）当时，①求的值；②连结，，当为直角三角形时，求所有满足条件的的值．5．（2023春·江西吉安·九年级校联考期中）如图，在ABD中，AB=AD,AO平分∠BAD,过点D作AB的平行线交AO的延长线于点C,连接BC（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）如果OA,OB(OA>OB)的长（单位：米）是一元二次方程的两根，求AB的长以及菱形ABCD的面积．（3）若动点M从A出发，沿AC以2m/s的速度匀速直线运动到点C,动点N从B 出发，沿BD以1m/s的速度匀速直线运动到点D，当M运动到C点时运动停止．若M、N同时出发，问出发几秒钟后，MON 的面积为？6．（2023春·浙江·九年级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？（3）当0<t<10.5时，是否存在点P，使PQD是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．7．（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝2cm，∠C＝30°．点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点A出发沿折线A﹣D﹣C向点C运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．设运动时间为ts．（1）求平行四边形ABCD的面积；（2）求当t＝0.5s时，APQ的面积；（3）当APQ的面积是平行四边形ABCD面积的时，求t的值．8．（2023春·广东惠州·九年级惠州一中校考开学考试）如图，AC是正方形ABCD的对角线，AD＝8，E是AC的中点，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点C，再沿CD方向向终点D运动，以EP、EQ为邻边作平行四边形PEQF，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜8）(1)当t＝1时，试求PE的长；(2)当点F恰好落在线段AB上时，求BF的长；(3)在整个运动过程中，当▱PEQF为菱形时，求t的值．9．（2023春·九年级单元测试）如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿方向向点运动，动点从点出发，以的速度沿方向向点运动，若，两点同时出发，运动时间为．(1)连接，，，当为何值时，面积为(2)当点在上运动时，是否存在这样的的值，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的的值；若不存在，请说明理由．10．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在矩形中，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接，．(1)用含t的式子表示线段的长：__________；__________．(2)当t为何值时，P、Q两点间的距离为？(3)当t为何值时，四边形的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由．【类型3 利用一元二次方程解决坐标系中的动点问题】1．（2023春·陕西渭南·九年级统考期末）如图①，在矩形中，，对角线、相交于点，动点由点出发，沿运动，设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图像如图②所示，则边的长为（）A．3 B．4 C．5 D．62．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在y轴上，边在x轴上，点B的坐标是，D为边上一个动点，把沿折叠，若点A的对应点恰好落在矩形的对角线上，则点的坐标为（）A．B．C．D．3．（2023春·四川德阳·九年级统考期末）如图①，在中，于D，，，，点E 是上一动点（不与点A，D重合），在内作矩形，点F在上，点G、H在上，设，连接．(1)设矩形的面积为，的面积为，令，求y关于x的函数解析式；（要求写出自变量的取值范围）(2)如图②，点M是（1）中得到的函数图象上的任意一点，N的坐标为，，当为等腰三角形时，求点M的坐标．4．（2023春·广东佛山·九年级佛山市华英学校校考期中）如图，平面直角坐标系中，已知点，点，过点作轴的平行线，点是在直线上位于第一象限内的一个动点，连接，．(1)求出__________；(2)若平分，求点的坐标；(3)已知点是直线上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标.5．（2023春·广东江门·九年级江门市福泉奥林匹克学校校考期中）已知，如图：在直角坐标系中，正方形AOBC的边长为4，点D，E分别是线段AO，BO上的动点，D点由A点向O点运动，速度为每秒1个单位，E点由B点向O点运动，速度为每秒2个单位，当一个点停上运动时，另一个点也随之停止，设运动时间为t（秒）(1)如图1，当t为何值时，DOE的面积为6；(2)如图2，连接CD，与AE交于一点，当t为何值时，CD⊥AE；(3)如图3，过点D作DG OB，交BC于点G，连接EG，当D，E在运动过程中，使得点D，E，G三点构成等腰三角形，求出此时t的值6．（2023春·浙江·九年级期中）如图直角坐标系中直线与轴正半轴、轴正半轴交于，两点，已知，，，分别是线段，上的两个动点，从出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，从出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为（秒）．(1)求线段的长，及点的坐标；(2)为何值时，的面积为；(3)若为的中点，连接，，以，为邻边作平行四边形．是否存在时间，使轴恰好将平行四边形的面积分成两部分，若存在，求出的值．7．（2023春·浙江宁波·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，A，B点的坐标分别为（0，4），（-4，0），点坐标为，点是射线BO上的动点，满足BE=1.5OP，以，为邻边作．（1）当m=2时，求出PE的长度；（2）当m﹥0时，是否存在m的值，使得的面积等于ABO面积的，若存在求出m的值，若不存在，请说明理由；（3）当点Q在第四象限时，点Q关于E点的对称点为Q′，点Q′刚好落在AB上时，求m的值（直接写出答案）．8．（2023春·浙江·九年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点，分别在轴和轴上．直线经过点，与轴交于点已知，，平分，交于点，动点从点出发沿着线段向终点运动，动点从点出发沿着线段向终点运动，，两动点同时出发，且速度相同，当点到达终点时点也停止运动，设．(1)求和的长；(2)如图，连接，，求证：四边形为平行四边形；(3)如图，连接，，当为直角三角形时，求所有满足条件的值．9．（2023春·浙江·九年级期中）如图1，已知，点O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上．在中，边的角平分线交于点D．（1）求两点的坐标；（2）若点M是直线上的一个动点，点是坐标平面上的点，以点为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标；（3）如图2，点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动：同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线方向移动，连结，设移动时间t秒．当t为何值时，是直角三角形．10．（2023春·重庆·九年级重庆市育才中学校联考期中）在平面直角坐标系中，直线l经过点和点．点C的横坐标为，点D为线段的中点．(1)求直线l的解析式．(2)如图1，若点P为线段上的一个动点，当的值最小时，求出点P坐标．(3)在（2）的条件下，点Q在线段上，若是等腰三角形，请直接写出满足条件的点Q的横坐标，并写出其中一个点Q的横坐标的求解过程．11．（2023春·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考期末）如图，平行四边形位于直角坐标系中，为坐标原点，点，点交轴于点动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度终点运动，同时动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动，当点运动到点时，点随之停止运动，运动时间为t（秒）．（1）用t的代数式表示：________，________（2）若以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．（3）当恰好是等腰三角形时，求t的值．12．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的顶点C的坐标是（6，4），动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AC运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段BO运动，当Q到达O点时，P，Q同时停止运动，运动时间是t秒（t＞0）．（1）如图1，当时间t＝秒时，四边形APQO是矩形；（2）如图2，在P，Q运动过程中，当PQ＝5时，时间t等于秒；（3）如图3，当P，Q运动到图中位置时，将矩形沿PQ折叠，点A，O的对应点分别是D，E，连接OP，OE，此时∠POE＝45°，连接PE，求直线OE的函数表达式．专题1.7 利用一元二次方程解决几何中的三大动点问题【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对利用一元二次方程解决几何中的三大动点问题的理解！【类型1 利用一元二次方程解决三角形中的动点问题】1．（2023春·广东江门·九年级校考期中）如图，在等腰中，，，动点P从点A出发沿向点B移动，作，，当的面积为面积的一半时，点P移动的路程为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】设AP＝x cm，则PB＝（8−x）cm，求出∠A＝45°，∠APR＝90°，得到PR＝P A＝x cm，然后根据▱PQCR 的面积为ABC面积的一半列方程求解即可．【详解】解：设AP＝x cm，则PB＝（8−x）cm，∵∠B＝90°，AB＝BC＝8cm，∴∠A＝45°，∵PR BC，∴∠APR＝90°，∴PR＝P A＝x cm，∵▱PQCR的面积为ABC面积的一半，∴，解得：，∴点P移动的路程为4cm．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，一元二次方程的应用，根据几何图形的性质得出方程是解题的关键．2．（2023春·浙江·九年级期末）如图，在等腰中，，动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动，于点Q．设运动时间为，当s时，的面积为．【答案】或【分析】利用等腰直角三角形的性质求出AB，设时间为秒，分和两种情况结合三角形面积分别计算．【详解】解：∵在等腰中，，，∴，，．∵于点．∴设当时间为秒时，的面积为．当时，，，，即，解得：或（舍去）．当时，，，，即，解得：或（舍去）．综上所述：当或秒时，的面积为．故答案为：或．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，解一元二次方程，解题的关键是理解点的运动情况，注意分类讨论．3．（2023春•驻马店期末）如图，已知AG CF，AB⊥CF，垂足为B，AB=BC=3 ，点P是射线AG上的动点（点P不与点A重合），点Q是线段CB上的动点，点D是线段AB的中点，连接PD并延长交BF于点E，连接PQ，设AP=2t，CQ=t，当PQE是以PE为腰的等腰三角形时，t的值为．【答案】或【分析】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，先证明AP=BE，即可得E点坐标为(2t,0)，CQ=t，BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，Q点坐标为(t-2,0)，根据Q点在线段BC上，P点不与A点重合，可得0＜t＜3，进而有BE=2t，BQ=3-t，QE=BQ+EB=3+t，利用勾股定理有：，，，根据PQE是以PE为腰的等腰三角形，分类讨论：当PQ=PE时，当QE=PE时两种情况，即可求解．【详解】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，如图，∵，AB⊥CF，∴AB⊥AG，∴∠GAB=∠ABF=90°，∵D点为AB中点，∴AD=BD，∴结合∠ADP=∠BDE可得APD≌△BED，∴AP=BE，∵AP=2t，∴BE=2t，∴E点坐标为(2t,0)，∵AB=BC=3，∴CQ=t，即BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，∴Q点坐标为(t-3,0)，∵Q点在线段BC上，P点不与A点重合，∴0＜t＜3，∵BE=2t，BQ=3-t，∴QE=BQ+EB=3+t，∴利用勾股定理有：，，，根据PQE是以为腰的等腰三角形，分类讨论：当PQ=PE时，有，整理：，解得（负值舍去），当QE=PE时，有，整理：，解得（0舍去），综上所述：t的值可以为，．故答案为：，．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、构建直角坐标系、勾股定理、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，构建直角坐标系是快速解答此题的关键．解答时，需注意分类讨论的思想．4．（2023春·广东江门·九年级校考期中）如图，是边长为6cm的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿，匀速移动，它们的速度都是2，当点到达点时，，两点都停止运动，设点的运动时间为，解答下列问题：(1)当为何值时，是以为直角的直角三角形？(2)是否存在，使四边形的面积是面积的若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)1(2)不存在，理由见解析【分析】（1）当时，利用直角三角形的性质建立方程，解方程即可得；（2）假设存在某一时刻，使四边形的面积是面积的，从而可得，过点作于点，利用直角三角形的性质和勾股定理可得，再利用三角形的面积公式建立方程，然后利用一元二次方程根的判别式进行分析即可得出答案．【详解】（1）由题意得：，，为等边三角形，，当点到达点时，，则，∵，，，即，解得，符合题意；（2）不存在，使四边形的面积是面积的，理由如下：假设存在某一时刻，使四边形的面积是面积的，由（1）得：，，如图，过点作于点，，，，整理得：，此方程根的判别式为，方程无解，所以假设不成立，即不存在，使四边形的面积是面积的．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识点，正确建立关于时间的方程是解题关键．5．（2023春·江苏宿迁·九年级统考期末）如图，在ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P 从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．(1)BP＝cm；BQ＝cm；（用t的代数式表示）(2)D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时PDQ的面积为40cm2【答案】(1)（12﹣2t）；4t(2)t＝2或4【分析】（1）根据速度×时间=路程，列出代数式即可；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，利用三角形中位线定理求得DH的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可．【详解】（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，所以BP＝（12﹣2t）cm．故答案是：（12﹣2t）；4t．（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵∠B＝90°，即AB⊥BC，∴AB∥DH，又∵D是AC的中点，∴BH=BC＝12cm，DH是ABC的中位线，∴DH AB＝6cm，根据题意，得-（12﹣2t）-（24﹣4t）×6-2t×12＝40，整理，得t2﹣6t+8＝0，解得：t1＝2，t2＝4，即当t＝2或4时，PBQ的面积是40cm2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系．6．（2023·浙江金华·九年级期中）如图，在中，厘米，厘米，于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段上向终点D运动．设动点运动时间为t秒．（1）求的长；（2）当的面积为15平方厘米时，求t的值；（3）动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t，使得？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）12厘米；（2）6秒；（3）存在t的值为2或或，使得S PMD=S ABC．【分析】①根据等腰三角形性质和勾股定理解答即可；②根据直角三角形面积求出PD×DC×=15即可求出t；③根据题意列出PD、MD的表达式解方程组，由于M在D点左右两侧情况不同，所以进行分段讨论即可，注意约束条件．【详解】解：（1）∵AB=AC=13，AD⊥BC，∴BD=CD=5cm，且∠ADB=90°，∴AD2=AC2-CD2∴AD=12cm．（2）AP=t，PD=12-t，又∵由PDM面积为PD×DC=15，解得PD=6，∴t=6．（3）假设存在t，使得S PMD=S ABC．①若点M在线段CD上，即0≤t≤时，PD=12-t，DM=5-2t，由S PMD=S ABC，即×(12−t)(5−2t)＝5，2t2-29t+50=0解得t1=12.5（舍去），t2=2．②若点M在射线DB上，即≤t≤12．由S PMD=S ABC得(12−t)(2t−5)＝5，2t2-29t+70=0解得t 1＝，t 2＝．综上，存在t的值为2或或，使得S PMD=S ABC．【点睛】此题关键为利用三角形性质勾股定理以及分段讨论，在解方程时，注意解是否符合约束条件．7．（2023春·九年级单元测试）如图，在Rt ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动，过P点作矩形PDFE(E点在AC 上)，设ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒(0＜t＜8)．(1)经过几秒钟后，S1＝S2?(2)经过几秒钟后，S1＋S2最大？并求出这个最大值．【答案】(1) t＝4 (2) t＝6【分析】分别根据运动方式列出面积S1,S2关于t的函数关系，第一问令面积相等，第二问配方求最值. 【详解】解：S1＝×8×t＝8t，S2＝t(8－t)＝－2t2＋16t，(1)由8t＝－2t2＋16t，解得t1＝4，t2＝0(舍去)，∴当t＝4秒时，S1＝S2(2)∵S1＋S2＝8t＋(－2t2＋16t)＝－2(t－6)2＋72，∴当t＝6时，S1＋S2最大，最大为72【点睛】关于x的两次三项式，可以配方化为只含一个变量的式子，再利用平方的非负性求最值,必要是需要引入二次函数的内容求最值.8．（2023春·江苏淮安·九年级统考期中）Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒（1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若PBC与P AD的面积和是ABC的面积的，求t的值；（2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与ABC重叠部分的面积为8，求t的值．【答案】（1）t1＝2，t2＝4；（2）t的值为或2时，重叠面积为8．【分析】（1）先求出ABC的面积，然后根据题意可得AP＝t，CP＝6﹣t，然后再PBC与P AD的面积和是ABC的面积的，列出方程、解方程即可解答；（2）根据不同时间段分三种情况进行解答即可.【详解】（1）∵Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，∴S ABC＝×6×6＝18，∵AP＝t，CP＝6﹣t，∴△PBC与P AD的面积和＝t2+×6×（6﹣t），∵△PBC与P AD的面积和是ABC的面积的，∴t2+×6×（6﹣t）＝18×，解之，得t1＝2，t2＝4；（2）∵AP＝t，PQ＝2AP，∴PQ＝2t，①如图1，当0≤t≤2时，S＝（2t）2﹣t2＝t2＝8，解得：t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），②如图2，当2≤t≤3时，S＝×6×6﹣t2﹣（6﹣2t）2＝12t﹣t2＝8，解得：t1＝4（不合题意，舍去），t2＝（不合题意，舍去），③如图3，当3≤t≤6时，S＝6×6﹣t2＝8，解得：t1＝2，t2＝﹣2（不合题意，舍去），综上，t的值为或2时，重叠面积为8．【点睛】本题考查了三角形和矩形上的动点问题，根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键.【类型2 利用一元二次方程解决四边形中的动点问题】1．（2023春·陕西渭南·九年级统考期末）如图，在矩形中，点是上的一个动点，把沿向矩形内部折叠，当点的对应点恰好落在的平分线上时，的长为．【答案】或【分析】过点A1作A1F⊥BC于F，根据等腰直角三角形的判定可得为等腰直角三角形，设CF==x，从而得出BF= 7－x，CA1=，然后根据折叠的性质可得AB==5，再利用勾股定理求出x，即可求出结论．【详解】解：过点A1作A1F⊥BC于F∵四边形ABCD为矩形，平分∴∴△为等腰直角三角形，设CF==x则BF=BC－CF=7－x，CA1==由折叠的性质可得AB==5在Rt中，即解得：x1=3，x2=4∴CA1=或故答案为：或．【点睛】此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定及性质和解一元二次方程是解决此题的关键．2．（2023春·河北邯郸·九年级统考期中）如图所示，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始秒时，点P和点Q的距离是．（若一点到达终点，另一点也随之停止运动）【答案】2或【分析】设当P、Q两点从出发开始x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时，，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设当P、Q两点从出发开始x秒时，点P和点Q的距离是，此时，，如图，过作于，∵四边形是矩形，∴四边形，是矩形，∴，，∴，则，根据题意得：，解得：，．答：当P、Q两点从出发开始到2秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．故答案为：2或．【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于x的一元二次方程是解题的关键．3．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？(2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？【答案】(1)或；(2)4秒或6秒．【分析】（1）过点P作于E，构造直角三角形，利用勾股定理即可求得；（2）根据点P的三个位置进行分类讨论，表示出的底和高，代入面积公式即可求得；【详解】（1）解：过点P作于E，设x秒后，点P和点Q的距离是．，∴，；∴经过或，P、Q两点之间的距离是；（2）解：连接．设经过后PBQ的面积为．①当时，，∴，即，解得；②当时，，，则，解得，（舍去）；③时，，则，解得（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒，的面积为．【点睛】本题考查了动点问题，相关知识点有：勾股定理求长度，解一元二次方程等知识点，分类讨论是本题的解题关键．4．（2023春·浙江杭州·九年级期中）如图，点，分别在平行四边形的边，上，且，，，动点从点出发沿着线段向终点运动，同时点从点出发沿着折线段向终点运动，且它们同时到达终点，设点运动的路程为，的长度为，且（为常数，）．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）求的长．（3）当时，①求的值；②连结，，当为直角三角形时，求所有满足条件的的值．【答案】（1）见解析；（2）8；（3）①2；②，，【分析】（1）根据已知证明即可得证；（2）根据题，当时，，令时，即可求得；（3）①当到达点时，点到达点，此时,则，令求得，可得，结合已知条件可得；②由①可得，是等边三角形，分情况讨论，当在上，时，根据含30度角的直角三角形的性质，可得；当时，过点分别作，垂足为,可得四边形是矩形，分别求得,根据勾股定理列出方程，解一元二次方程即可，当时，如图，过点作于点,同理通过勾股定理求得，当点在上时，观察图形可知不存在直角三角形．【详解】四边形是平行四边形；即四边形是平行四边形；（2）依题意，设点运动的路程为，的长度为，。
数学人教版九年级上册一元二次方程的应用-几何动点问题
基本信息课题《实际问题与一元二次方程——几何动点问题》学科数学班级初二134B1 授课教师卫霞授课时间2017-6-2 【教学任务分析】教学目标1.能根据问题中数量关系列一元二次方程，体会数学建模的优越性.1）. 通过回忆旧知，学生能准确说出几何图形中动点的行走路程；2）. 通过认真审题，学生能准确找出其中的等量关系；3）. 借助等量关系，学生能准确列出关于动点的一元二次方程；4）. 根据一元二次方程的特点，学生能灵活选用适当的方法解一元二次方程；5）. 根据具体题意，学生能合理舍掉其中一个根.2.使学生进一步掌握利用一元二次方程解决几何中的动点问题，体会几何问题代数化.3.进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生主动探索事物之间内在联系的学习习惯。
教学重点用一元二次方程解决动点问题；动点的四个要素在题目中的变化，使学生进一步掌握利用一元二次方程解决几何中的动点问题教学难点分析动点的运动，列出一元二次方程.进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.教学方法自主探究、自主讲解、合作学习媒体资源学生导学卡和多媒体课件【教学过程设计】教学流程教学活动师生活动设计意图【板块一】复习回顾复习引入1、列方程解应用题的步骤：（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、回顾思考回顾前几节课刚刚学过的利用一元二次方程可以解决的几类实际问题，引出新课——用一元二次方程解决几何动点问题.【板块二】新知探究例1、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．求动点运动时间为多少秒时△PBQ的面积为4 cm2．变式1：当x为何值时，PQ长为13变式2：当Q的运动方向相反时，（从C向B移动）当x为何值时，△PBQ的面积为4 cm2读题，边读边推、动手画图，尝试设未知数、列方程、讲解自己思路带领学生学会审题和分析（A、线段长：变量：常量：B、有几个动点？动点的起点、终点、运动方向、速度分别是什么？时间范围C、图中有哪些线段可以用t表示，试着在导学卡中写出来. ）设计动点表格（在学生的导学卡中）【板块三】课堂练习1、在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△学以致用、举一反三.本环节重在考察生应用所学知识解决类似问题的能力，同时检测学生当堂CBABACDQPPBQ的面积等于28cm？变式1：几秒钟后，若△PQD的面积等于28cm呢？变式2：（备选）当点Q运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，试求△PQD的面积S与P、Q两个点运动的时间t之间的函数关系式。