自动控制7-1描述函数法.详解
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21
-M
y M 0
y
M x
0
-M
0 x
2
t
-M
特点： 1）方波信号 2）与x(t)同周期 3）奇函数
2 t
22
直流分量为： 1 2π 1 A0 = y( t )d ωt = 0 2π 2π M = 2π
Md ωt -Md ωt d ωt - d ωt 0
-t x e x -1 0 dln dt x ( t ) x 1 - x0 x0 e - t
10
相应的时间响应随初始条件而 变。
x(t) 1 x0>1
当x0 >1，t <lnx0/(x0 -1) 时，
随 t 增大，x(t) 递增；
x0<1
0
t = lnx0 /(x0 -1) 时，x(t)为无穷大。
17
2.描述函数的定义 设系统的非线性环节输入信号是正弦信号 x(t) = Asin t 则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏 级数 ∞ y(t ) = A0 + ( Ancosnωt + Bnsinnωt )
n=1
其中，A0 是直流分量；
Ancosnωt+Bnsinnωt 为 n次谐波分量； 2π An、Bn 为傅里叶系数。 A0 = 1 y( t )d ωt 0 2π 1 2π 1 2π An = y( t )cosnωtd ωt Bn = y( t )sinnωtd ωt π 0 π 0 18 非线性环节奇对称，则有A0 = 0
2 t
25
B1 4
1
2
0
y (t ) sin td t
1
0
kA sin 2td (t )
2kA a a a 2 arcsin 1- ( ) A A A
式中ψ1=arctan(a/A)。
可得饱和特性的描述函数为
B1 2k a a a 2 N ( A) arcsin 1- ( ) A A A A
当x0<1时，x(t) 递减并趋于0。
x0 t ln x -1 0
由上例可见，初始条件不同，自由运动的稳定性 亦不同。因此非线性系统的稳定性不仅与系统的结构 和参数有关，而且与系统的初始条件有直接的关系。
11
所谓自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用 时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运 动，简称自振。 考虑著名的范德波尔方程 - 2 ρ(1 - x 2 ) x x 0 >0 x
※7.2
描述函数法
基本思想： 当系统满足一定的假设条件时，系统中非线性 环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近 似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即描 述函数。这时非线性系统就近似等效为一个线性系统， 并可应用线性系统理论中的频率法对系统进行频域分 析。 描述函数法主要用于分析在无外作用的情况下， 非线性系统的稳定性和自振荡问题。
由上式可见，饱和特性的N(A)也是输入正弦信号幅值 A的函数。这说明饱和特性等效于一个变系数的比例环 26 节，当A>a时，比例系数总小于k。
7.2.3 组合非线性特性的描述
以上介绍了描述函数的基本求法，对于复杂的非 线性特性，完全可以利用这种力法求出其描述函数， 但计算也复杂得多。此时也可以将复杂的非线件特性 分解为若干个简单非线性特性的组合，即串并联，再 由已知的这些简单非线性特性的描述函数求出复杂非 线件特件的描述函数。 1．非线性特性的并联计算 设有两个非线性环节并联，且其非线性特性都是 单值函数，即它们的描述函数都是实数。
1
第七章 非线性系统
内容提要
7.1
7.2 7.3
典型非线性特性
描述函数法 相平面法
学习指导与小结
2
※7.1
典型非线性特性
前面各章研究的都是线性系统，或者虽然是非线 性系统，但可进行线性化处理，从而可视为线性系统wenku.baidu.com 事实上，几乎所有的实际控制系统，都不可避免地带 有某种程度的非线性。系统中只要具有一个非线性环
π 2π 0 π π 2π 0 π
基波余弦分量的系数 A1为： 1 2π A1 = y( t )cosωtd ωt π 0 2π 1 π Mcosωtd ωt -Mcosωtd ωt π π 0 2π M π = cosωtd ωt - cosωtd ωt 0 π π 0
6
2
4
14
7.1.3 非线性系统的分析方法
到目前为止，非线性系统的研究还缺乏成熟，结论不能像 线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系统的结构，输入及 初始条件等具体情况进行分析。工程上常用的方法有以下几种：
（1）小偏差线性化（非本质非线性） （2）描述函数法（本质非线性）
这是一种频域分析方法，其实质是应用谐波线性化的方法， 将非线性特性线性化，然后用频率法的结论来研究非线性系统。 它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，这种方法不 受系统阶次的限制。
-b
铁磁元件的磁滞、齿轮传动中的齿隙、液压传动 中的油隙等均属这类特性。
7
4 继电器特性
y b -a -ma 0 ma a
-b
-ma x a , 0 0 -a x ma, x y bsignx | x | a b x ma , x -ma , -b
x0 x0 x0 x0
继电器、接触器、可控硅等电气元件的特性通常 表现为继电特性。
8
特殊情况：
y b 0 -b y b y b
x
-a
0
-b
a
x
-a
0 -b
a
x
(1) 若a＝0，称这种特性为理想继电器特性所示。 (2) 若m=1，称为死区继电器特性。 (3) 若m=-1，称为滞环继电器特性。 实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性。
由于在傅氏级数中n越大，谐波分量的频率越高， An, Bn越小。此时若系统又满足第三个条件，则高次谐 波分量又进一步被充分衰减，故可认为非线性环节的 稳态输出只含基波分量，即
y(t ) y1(t ) = A1cosωt + B1sinωt = Y1sin(ωt + 1 )
1 2π A1 = y( t )cosωtd ωt π 0
4
7.1.1 典型非线性特性的种类
1．饱和特性
-a
y
M k 0 -M a x
a为线性区宽度，k为线性区斜率。 饱和特性在控制系统中是普遍存在的，放大器及 执行机构受电源电压或功率的限制导致饱和。
5
2．死区特性 死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但 其输出为零
y k
-a
0
a
x
| x | a 0, y = k ( x - a ), x>a k ( x + a ), x < -a
所以基波分量为
4M y1 ( t ) = sinωt π
Y1 4M φ1 = 故理想继电器特性的描述函数为 N(A) = A πA
即 N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.
24
2.饱和特性
y
M
y M
k
0
a
x
0
-M
0
1
-M
x
π-1
2
t
1
-1
A> a
特点： 1）与x(t)同周期 2）奇函数 直流分量与基波余弦分量 的系数为零A0 = A1= 0，而基 波正弦分量的系数B1为
9
7.1.2 非线性系统的若干特征
由于上述非线性特性的存在，与线性系统相比， 非线性系统具有如下特点：
（1）稳定性的复杂性。
（2）可能存在自激振荡现象 。
（3）频率响应。
2 x x - x x( x - 1)
平衡状态： x1=0
x2 =1
设 t = 0，系统的初始状态为 x0
dx dt x( x - 1)
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。
当扰动使 x <1时，因为 - (1- x2 )<0，系统具有负阻 尼，此时系统从外部获得能量， x(t)的运动呈发散形式； 当x>1时，因为-(1-x2 )>0，系统具有正阻尼，此 时系统消耗能量，x(t)的运动呈收敛形式； 而当 x=1时，系统为零阻尼，系统运动呈等幅振荡 形式。上述分析表明，系统能克服扰动对 x的影响，保 持幅值为1的等幅振荡。 12
节，就称为非线性系统。因此实际的控制系统大都是
非线性系统。 本章将主要讨论关于非线性系统的基本概念，以 及两种基本分析方法：描述函数法和相平面法。
3
在控制系统中，若控制装置或元件其输入输出
间的静特性曲线，不是一条直线，则称为非线性特
性。如果这些非线性特性不能采用线性化的方法来
处理，称这类非线性为本质非线性。为简化对问题 的分析，通常将这些本质非线性特性用简单的折线 来代替，称为典型非线性特性。
20
7.2.2 描述函数的求法
（1）首先由非线性静特性曲线，画出正弦信号输 入下的输出波形，并写出输出波形y(t)的数学表达式。 （2）利用傅氏级数求出y(t) 的基波分量。 （3）将求得的基波分量代入定义式，即得N(A) 。 下面计算几种典型非线性特性的描述函数。 1. 理想继电器特性
y
M 0
x
16
7.2.1 描述函数的定义
1. 描述函数的应用条件 （1）非线性系统的结构图可简化成一个非线性环节N 和一个线性部分G(s)串联的闭环结构。
r(t)=0 x y N G(s) c( t )
（2）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的， 即 y(x) = - y(-x)。 （3）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。
a为死区范围，k为直线段的斜率。 死区特性一般由测量元件、放大元件、执行元件的 不灵敏区所造成。
6
3. 滞环特性 滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起， 而是在输入—输出曲线上出现闭合环路。又称为间隙 特性。
b y x
-a
0 a
k ( x - asignx) y 0 y y0 bsignx
所谓自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用 时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运 动，简称自振。 考虑著名的范德波尔方程 - 2 ρ(1 - x 2 ) x x 0 >0 x
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。
当扰动使 x <1时，因为 - (1- x2 )<0，系统具有负阻 尼，此时系统从外部获得能量， x(t)的运动呈发散形式； 当x>1时，因为-(1-x2 )>0，系统具有正阻尼，此 时系统消耗能量，x(t)的运动呈收敛形式； 而当 x=1时，系统为零阻尼，系统运动呈等幅振荡 形式。上述分析表明，系统能克服扰动对 x的影响，保 持幅值为1的等幅振荡。 13
A12 + B12 A1 arctan A B1
由非线性环节描述函数的定义可以看出： (1) 描述函数类似于线性系统中的频率特性，利用 描述函数的概念便可以把一个非线性元件近似地看作 一个线性元件，因此又叫做谐波线性化。 (2) 描述函数表达了非线性元件对基波正弦量的传 递能力。对于常见非线性特性，描述函数仅是A的函 数，记为N(A)。
23
基波正弦分量的系数B1为： 1 2π B1 = y( t )sinωtd ωt π 0 2π 1 π Msinωtd ωt -Msinωtd ωt π π 0 2π M π 4M = sinωtd ωt - sinωtd ωt π π 0 π
（3）相平面法（本质非线性）
相平面法是求解一、二阶常微分方程的图解法。通过在相 平面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下的解。 这是一种时域分析法，但仅适用于一阶和二阶系统。
（4）计算机求解法
用模拟计算机或数字计算机直接求解非线性微分方程，对于 15 分析和设计复杂的非线性系统是非常有效的方法。
非线性系统对于正弦输入信号的响应，除了含有 与输入同频率的正弦信号分量外，还含有关于ω的高 次谐波分量，使输出波形发生非线性畸变。若系统含 有多值非线性环节，输出的各次谐波分量的幅值还可 能发生跃变。
考虑有名的杜芬方程 fx k1 x k3 x3 pcosωt m x x 1 5 3
2 1
1 2π B1 = y( t )sinωtd ωt π 0
2 1
Y1 A B
A1 φ1 = arctan B1
19
类似于线性系统中频率特性的定义，我们把非线性元 件稳态输出的基波分量与输入正弦信号的复数比定义 为非线性环节的描述函数，用N(A)来表示。
Y1 jφ1 N ( A) = e = A
-M
y M 0
y
M x
0
-M
0 x
2
t
-M
特点： 1）方波信号 2）与x(t)同周期 3）奇函数
2 t
22
直流分量为： 1 2π 1 A0 = y( t )d ωt = 0 2π 2π M = 2π
Md ωt -Md ωt d ωt - d ωt 0
-t x e x -1 0 dln dt x ( t ) x 1 - x0 x0 e - t
10
相应的时间响应随初始条件而 变。
x(t) 1 x0>1
当x0 >1，t <lnx0/(x0 -1) 时，
随 t 增大，x(t) 递增；
x0<1
0
t = lnx0 /(x0 -1) 时，x(t)为无穷大。
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2.描述函数的定义 设系统的非线性环节输入信号是正弦信号 x(t) = Asin t 则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏 级数 ∞ y(t ) = A0 + ( Ancosnωt + Bnsinnωt )
n=1
其中，A0 是直流分量；
Ancosnωt+Bnsinnωt 为 n次谐波分量； 2π An、Bn 为傅里叶系数。 A0 = 1 y( t )d ωt 0 2π 1 2π 1 2π An = y( t )cosnωtd ωt Bn = y( t )sinnωtd ωt π 0 π 0 18 非线性环节奇对称，则有A0 = 0
2 t
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B1 4
1
2
0
y (t ) sin td t
1
0
kA sin 2td (t )
2kA a a a 2 arcsin 1- ( ) A A A
式中ψ1=arctan(a/A)。
可得饱和特性的描述函数为
B1 2k a a a 2 N ( A) arcsin 1- ( ) A A A A
当x0<1时，x(t) 递减并趋于0。
x0 t ln x -1 0
由上例可见，初始条件不同，自由运动的稳定性 亦不同。因此非线性系统的稳定性不仅与系统的结构 和参数有关，而且与系统的初始条件有直接的关系。
11
所谓自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用 时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运 动，简称自振。 考虑著名的范德波尔方程 - 2 ρ(1 - x 2 ) x x 0 >0 x
※7.2
描述函数法
基本思想： 当系统满足一定的假设条件时，系统中非线性 环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近 似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即描 述函数。这时非线性系统就近似等效为一个线性系统， 并可应用线性系统理论中的频率法对系统进行频域分 析。 描述函数法主要用于分析在无外作用的情况下， 非线性系统的稳定性和自振荡问题。
由上式可见，饱和特性的N(A)也是输入正弦信号幅值 A的函数。这说明饱和特性等效于一个变系数的比例环 26 节，当A>a时，比例系数总小于k。
7.2.3 组合非线性特性的描述
以上介绍了描述函数的基本求法，对于复杂的非 线性特性，完全可以利用这种力法求出其描述函数， 但计算也复杂得多。此时也可以将复杂的非线件特性 分解为若干个简单非线性特性的组合，即串并联，再 由已知的这些简单非线性特性的描述函数求出复杂非 线件特件的描述函数。 1．非线性特性的并联计算 设有两个非线性环节并联，且其非线性特性都是 单值函数，即它们的描述函数都是实数。
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第七章 非线性系统
内容提要
7.1
7.2 7.3
典型非线性特性
描述函数法 相平面法
学习指导与小结
2
※7.1
典型非线性特性
前面各章研究的都是线性系统，或者虽然是非线 性系统，但可进行线性化处理，从而可视为线性系统wenku.baidu.com 事实上，几乎所有的实际控制系统，都不可避免地带 有某种程度的非线性。系统中只要具有一个非线性环
π 2π 0 π π 2π 0 π
基波余弦分量的系数 A1为： 1 2π A1 = y( t )cosωtd ωt π 0 2π 1 π Mcosωtd ωt -Mcosωtd ωt π π 0 2π M π = cosωtd ωt - cosωtd ωt 0 π π 0
6
2
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7.1.3 非线性系统的分析方法
到目前为止，非线性系统的研究还缺乏成熟，结论不能像 线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系统的结构，输入及 初始条件等具体情况进行分析。工程上常用的方法有以下几种：
（1）小偏差线性化（非本质非线性） （2）描述函数法（本质非线性）
这是一种频域分析方法，其实质是应用谐波线性化的方法， 将非线性特性线性化，然后用频率法的结论来研究非线性系统。 它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，这种方法不 受系统阶次的限制。
-b
铁磁元件的磁滞、齿轮传动中的齿隙、液压传动 中的油隙等均属这类特性。
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4 继电器特性
y b -a -ma 0 ma a
-b
-ma x a , 0 0 -a x ma, x y bsignx | x | a b x ma , x -ma , -b
x0 x0 x0 x0
继电器、接触器、可控硅等电气元件的特性通常 表现为继电特性。
8
特殊情况：
y b 0 -b y b y b
x
-a
0
-b
a
x
-a
0 -b
a
x
(1) 若a＝0，称这种特性为理想继电器特性所示。 (2) 若m=1，称为死区继电器特性。 (3) 若m=-1，称为滞环继电器特性。 实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性。
由于在傅氏级数中n越大，谐波分量的频率越高， An, Bn越小。此时若系统又满足第三个条件，则高次谐 波分量又进一步被充分衰减，故可认为非线性环节的 稳态输出只含基波分量，即
y(t ) y1(t ) = A1cosωt + B1sinωt = Y1sin(ωt + 1 )
1 2π A1 = y( t )cosωtd ωt π 0
4
7.1.1 典型非线性特性的种类
1．饱和特性
-a
y
M k 0 -M a x
a为线性区宽度，k为线性区斜率。 饱和特性在控制系统中是普遍存在的，放大器及 执行机构受电源电压或功率的限制导致饱和。
5
2．死区特性 死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但 其输出为零
y k
-a
0
a
x
| x | a 0, y = k ( x - a ), x>a k ( x + a ), x < -a
所以基波分量为
4M y1 ( t ) = sinωt π
Y1 4M φ1 = 故理想继电器特性的描述函数为 N(A) = A πA
即 N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.
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2.饱和特性
y
M
y M
k
0
a
x
0
-M
0
1
-M
x
π-1
2
t
1
-1
A> a
特点： 1）与x(t)同周期 2）奇函数 直流分量与基波余弦分量 的系数为零A0 = A1= 0，而基 波正弦分量的系数B1为
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7.1.2 非线性系统的若干特征
由于上述非线性特性的存在，与线性系统相比， 非线性系统具有如下特点：
（1）稳定性的复杂性。
（2）可能存在自激振荡现象 。
（3）频率响应。
2 x x - x x( x - 1)
平衡状态： x1=0
x2 =1
设 t = 0，系统的初始状态为 x0
dx dt x( x - 1)
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。
当扰动使 x <1时，因为 - (1- x2 )<0，系统具有负阻 尼，此时系统从外部获得能量， x(t)的运动呈发散形式； 当x>1时，因为-(1-x2 )>0，系统具有正阻尼，此 时系统消耗能量，x(t)的运动呈收敛形式； 而当 x=1时，系统为零阻尼，系统运动呈等幅振荡 形式。上述分析表明，系统能克服扰动对 x的影响，保 持幅值为1的等幅振荡。 12
节，就称为非线性系统。因此实际的控制系统大都是
非线性系统。 本章将主要讨论关于非线性系统的基本概念，以 及两种基本分析方法：描述函数法和相平面法。
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在控制系统中，若控制装置或元件其输入输出
间的静特性曲线，不是一条直线，则称为非线性特
性。如果这些非线性特性不能采用线性化的方法来
处理，称这类非线性为本质非线性。为简化对问题 的分析，通常将这些本质非线性特性用简单的折线 来代替，称为典型非线性特性。
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7.2.2 描述函数的求法
（1）首先由非线性静特性曲线，画出正弦信号输 入下的输出波形，并写出输出波形y(t)的数学表达式。 （2）利用傅氏级数求出y(t) 的基波分量。 （3）将求得的基波分量代入定义式，即得N(A) 。 下面计算几种典型非线性特性的描述函数。 1. 理想继电器特性
y
M 0
x
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7.2.1 描述函数的定义
1. 描述函数的应用条件 （1）非线性系统的结构图可简化成一个非线性环节N 和一个线性部分G(s)串联的闭环结构。
r(t)=0 x y N G(s) c( t )
（2）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的， 即 y(x) = - y(-x)。 （3）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。
a为死区范围，k为直线段的斜率。 死区特性一般由测量元件、放大元件、执行元件的 不灵敏区所造成。
6
3. 滞环特性 滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起， 而是在输入—输出曲线上出现闭合环路。又称为间隙 特性。
b y x
-a
0 a
k ( x - asignx) y 0 y y0 bsignx
所谓自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用 时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运 动，简称自振。 考虑著名的范德波尔方程 - 2 ρ(1 - x 2 ) x x 0 >0 x
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。
当扰动使 x <1时，因为 - (1- x2 )<0，系统具有负阻 尼，此时系统从外部获得能量， x(t)的运动呈发散形式； 当x>1时，因为-(1-x2 )>0，系统具有正阻尼，此 时系统消耗能量，x(t)的运动呈收敛形式； 而当 x=1时，系统为零阻尼，系统运动呈等幅振荡 形式。上述分析表明，系统能克服扰动对 x的影响，保 持幅值为1的等幅振荡。 13
A12 + B12 A1 arctan A B1
由非线性环节描述函数的定义可以看出： (1) 描述函数类似于线性系统中的频率特性，利用 描述函数的概念便可以把一个非线性元件近似地看作 一个线性元件，因此又叫做谐波线性化。 (2) 描述函数表达了非线性元件对基波正弦量的传 递能力。对于常见非线性特性，描述函数仅是A的函 数，记为N(A)。
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基波正弦分量的系数B1为： 1 2π B1 = y( t )sinωtd ωt π 0 2π 1 π Msinωtd ωt -Msinωtd ωt π π 0 2π M π 4M = sinωtd ωt - sinωtd ωt π π 0 π
（3）相平面法（本质非线性）
相平面法是求解一、二阶常微分方程的图解法。通过在相 平面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下的解。 这是一种时域分析法，但仅适用于一阶和二阶系统。
（4）计算机求解法
用模拟计算机或数字计算机直接求解非线性微分方程，对于 15 分析和设计复杂的非线性系统是非常有效的方法。
非线性系统对于正弦输入信号的响应，除了含有 与输入同频率的正弦信号分量外，还含有关于ω的高 次谐波分量，使输出波形发生非线性畸变。若系统含 有多值非线性环节，输出的各次谐波分量的幅值还可 能发生跃变。
考虑有名的杜芬方程 fx k1 x k3 x3 pcosωt m x x 1 5 3
2 1
1 2π B1 = y( t )sinωtd ωt π 0
2 1
Y1 A B
A1 φ1 = arctan B1
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类似于线性系统中频率特性的定义，我们把非线性元 件稳态输出的基波分量与输入正弦信号的复数比定义 为非线性环节的描述函数，用N(A)来表示。
Y1 jφ1 N ( A) = e = A