高中数学 均值不等式求最值策略解题思路大全

均值不等式求最值策略

应用平均值不等式求最值时，要把握平均值不等式成立的三个条件“一正二定三相等”。忽略了任何一个条件，就会导致解题失败，若出现问题，又怎样另辟蹊径，寻求新方法来求最值呢？本文提出一些思路。

1. 调整符号，化负为正，使之适合“一正”条件，过第一关 例1. 已知45

4414-+-=x x y 的最值。 解：因为4

5<

x 所以054<-x 故045>-x 所以5

44

14-+

-=x x y 0

454

)45(24]454

)45[(4=-⋅--≤-+

--=x

x x x

当且仅当x x 45445-=-，即47=x 或43=x 时，等号成立，但4

5

47>不合条件，舍

去，故当4

3

=

x 时，0max =y

2. 拆添配凑，变动为定，使之适合“二定”条件，过第二关 利用均值不等式求最值，变形构造出“定值”是难点，其方法如下： （1）变形法 例2. 求函数)(1

22

2R x x x y ∈++=的最小值。

解：因为R x ∈ 所以0112>≥+x

故1

111

1)1(2

22

2++

+=+++=

x x x x y

21

1

12

2

2=+⋅

+≥x x 当且仅当1

1

12

2

+=+x x ，即0=x 时，2min =y

（2）配凑法

例3. 已知3>x ，求函数3

8

2-+=x x y 的最小值。 解：因为3>x 则有03

8

062>->-x x ， 所以63

8

62382+-+-=-+

=x x x x y 1463

8

)3(2263

8

)3(2=+-⋅

-≥+-+

-=x x x x

当且仅当3

8

)3(2-=-x x ，即5=x 时，14min =y

3. 分离常数 （1）拆项法

例4. 当1->x 时，求1

1

32++-=x x x y 的最小值。

解：因为1->x 所以01>+x

所以1

5

)1(5)1(2+++-+=x x x y

5

5251

5

)1(2515

)1(-=-+⋅+≥-++

+=x x x x 当且仅当5)1(2

=+x ，即15-=x 取等号

另一解151-<--=x （舍去） 所以552min -=y

（2）倒数法

例5. 若0>x ，求函数1

2

++=x x x

y 的最大值。 解：因为0>x

311112≥++=++=x

x x x x y 所以3

1

0≤

1max =y

（3）平方法 例6. 已知

2

5

21≤≤x ，求函数x x y 2512-+-=的最大值。 解：)25)(12(225122x x x x y --+-+-=

8

4)23(4245

124242

2≤+--+=-+-+=x x x 由于0>y 所以22≤y

当且仅当]2

5

21[23，∈=x 时取等号，所以22max =y

4. 化归转化，寻求相等，过第三关 例7. 设0>x ，求)1)(1

2(x x

y ++=的最小值。 解：因为0>x

22321

2

31

23)1)(12(+=⋅+≥+

+=++=x x

x x x x y

当且仅当

x x 21=，即22

1=x 时取等号 所以322min +=y 点评：若x

1

2+与x +1分别利用平均值不等式，再相乘求最值，问题出现在：前后取等条件不一致。

例8. 已知+

∈R b a ，，且1=+b a ，求)1

)(1(b

b a a y ++=的最小值。 解：因为+∈R b a ，，且1=+b a 所以)1

)(1(b b a a y ++

= 4

25)231

42()314()1(2)1(12

22

=

+⋅

-⋅≥-+

=+=++

≥++

+=b a ab

ab ab ab ab ab ab ab

ab b

a a

b ab ab

5. “三关”难过，前进受阻，应另辟蹊径

（1）利用代数、三角换元

例9. 若a ，b 为正实数，且1=+b a ，求)1

1)(11(b

a y ++=的最小值。 解：因为0>

b a ，，且1=+b a

所以可设)2

0(cos sin 2

2

π

ααα，，，∈==b a

则)cos 1

1)(sin 11(22α

α++

=y 9

cot tan 451)cot (tan 24)tan 2)(cot 2()cos cos sin 1)(sin cos sin 1(2222222

22222=⋅+≥+++=++=++++=αααααααα

αααα

当且仅当αα2

2

cot tan =，即4

1tan 2

π

αα=

=，时取等号，这时2

1

=

=b a ，满足1=+b a ，所以9min =y

（2）引入参数，巧渡难关 例10. 已知+

∈R y x ，，且

19

1=+y

x ，求P ＝x ＋y 的最小值。 解：设0>λ，由已知有0)19

1(

=-+y x λ 所以)19

1(

-+++=+=y

x y x y x P λ λ

λλλ

λ

λ

λλ-=-⋅

+⋅

≥-+++=8922)9()(y

y x

x y

y x x 欲取等号，当且仅当y

y x

x λ

λ

9=

=

，时，有λλ3==y x ， 代入

19

1=+y

x 中16=λ，此时168=-λλ