第6章 弹性体的一维振动题解

126 习题

6-1 一等直杆沿纵向以等速v 向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶ (1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。 解；(1)杆的左端突然固定；

杆的初始条件为：()()0,00u x u x ==

(),0u

x V = 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a p i l

π=

=,…

,...3,2,1i ,x 2l

i sin D x)U ~i

i ==π（ 由归一化条件2

sin 12l i i x A D dx l πρ⎛

⎫= ⎪⎝⎭

⎰

得i D =

即正则振型为,...3,2,1i ,x 2l

i sin

Al

2

x)U ~

i

==πρ（

由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为

()0

0sin

2l i i i A V D xdx l

πη

ρ=⎰

2i

l A V D i ρπ

=

()00i η=，i=1，3，5，…

由式（８－４０）得()0sin i i i i

p t p ηη=

，进而有：

t 2l

a i sin

2l

x i sin

i

1a

8Vl

t sinp a

i 2l

i 2l AVD

2l

x i sin

D )t (U ~

)t ,x (u ,...

3,1i 2

2

i i

,...

3,1i i i ,...3,1i i ∑

∑

∑

∞

=∞

=∞

==

=

=

πππππρπη

(2)杆的右端突然固定；

杆的初始条件为：()()0,00u x u x ==

(),0u

x V = 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a p i l

π=

=,…

127

...5,3,1i ,x 2l

i cos C x)U ~

i i

==π（ 由归一化条件

1)2cos

(2

=⎰

dx l

x i C A i l

πρ得Al

C i ρ2

=

即正则振型为,...5,3,1i ,x 2l

i cos

Al

2

x)U ~

i

==πρ（

由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为

⎰

--==l

i i i i i l AV

C dx l

x i AVC 0

2

1

)

1(22cos

)0(π

ρπρη

()00i η=，i=1，3，5，…

由式（８－４０）得()0sin i i i i

p t p ηη=

，进而有：

t

2l

a i sin

2l

x i cos

i

1)

1(a

8Vl

t sinp a

i 2l

i 2l AVD

2l

x i sin

D )t (U ~

)t ,x (u ,...

3,1i 2

2

1

2

i i

,...

3,1i i i ,...3,1i i ∑

∑

∑

∞

=-∞

=∞

=-=

=

=

πππππρπηi

6-2 求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动。 (1) 常力F 作用于杆的中点，如题6-2(a) 图所示；

(2) 常力F 作用于杆的三分之一点处，如题6-2(b) 图所示；

(3) 两个大小相等、方向相反的常力F 作用于杆的四分之一点及四分之三点处如题图6-2(c)所

示。

解：

（1） 根据题意 ，0t =时杆内的应变

题6-2图

128 0/2P E A

ε=

杆的初始条件为

()()()

0000/2,0{

/2x

x l u x u x l x l x l

εε≤≤==-≤≤

因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为

()

()(

)1,2,s i n 1,2,i i i

ia P i l

i U x D x i l

a ππ

=

=⋅⋅⋅==

⋅⋅⋅=

将主振型代入归一化条件，得

2

s i n

1

l i i i A D x d x l D πρ⎛

⎫

= ⎪⎝

⎭

=

⎰

得到正则振型

(

)()~

i n

1,2,i i U x x

i l

π=

=⋅⋅⋅

得到以正则坐标表示的初始条件为

()()()()

2002

2

20sin

sin

201,2,l i i i

i i l i Au x D xdx A D l

i x i ππηρρεπ

η∙

=

===⋅⋅⋅⎰

得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 ()0c o s

i i i p t ηη= 于是杆的自由振动

()

,u x t =()2~

02

2

1,2,1,2,2sin

sin

cos 2

i i i i

i i i i l i U t D x A D p t l

i ππηρεπ

∞

∞

=⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=

∑

∑