有关欧拉线性质的证明(M)

证明：1）任意三角形外心、重心、垂心三点共线；

2）其外心与重心的距离等于重心与垂心距离的一半。（注：欧拉线，即外心、重心、垂心所在的直线。）

作一任意三角形ABC ，然后以B 为原点BC 边为半径建立直角坐标系，于是可设C 点坐标为（a ，0），A 点坐标为（b ，c ）。

据重心性质可知点G 的坐标为)3

,3(c b a +； 直线AB 的斜率b c k AB =，则垂线斜率c b k AB -=，直线DH 可表为222c c b x c b y ++-=，相似可知直线EH 可表为2

a x =，联立得H 点坐标为（)2,2(2

2c c ab b a +-； 同理，联立直线AI 和CI 得c

ab x b c y b x +⎪⎩⎪⎨⎧-==，于是的点I 的坐标为),(2c b ab b -； 经计算GI HI k k =，即G 、H 、I 三点共线。

计算线段GH 的距离为c

ab b a c a abc c b c b 6189101093

222222244-++-++； GI 的距离为c

ab b a c a abc c b c b 3189101093

222222244-++-++； 即GI GH 21=。