有关欧拉线性质的证明(M)
三角形内切圆二级结论
三角形内切圆二级结论一、引言三角形内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆，它是三角形最大的内接圆。
在研究三角形内切圆时，我们可以得到许多有趣的结论和性质。
本文将介绍三角形内切圆的一个重要结论——欧拉线定理。
二、欧拉线定理欧拉线定理是指：三角形内切圆的圆心、垂心和重心共线，且这条直线称为欧拉线。
1. 证明（1）设ABC为任意三角形，I为其内切圆的圆心，H为其垂心，G为其重心。
（2）由于I是内切圆的圆心，因此AI、BI、CI均与内切圆相切，并且它们都垂直于各自所在边上的中点。
（3）设D、E、F分别为BC、AC、AB上对应于I的垂足，则DI=EI=FI=r（r为内切圆半径）。
（4）由于AH⊥BC, BH⊥AC, CH⊥AB，并且G是重心，因此GH=2/3HG。
（5）又因为HI=2rcosA/2, HG=2/3GM, GM=1/3(MA+MB+MC)，其中M为中心，因此有HI:GM=3:2cosA/2。
（6）根据余弦定理可得，cosA/2=sqrt[(s-b)(s-c)/bc]，其中s为半周长。
（7）将(6)式代入(5)式中可得HI:GM=3sqrt[(s-b)(s-c)/bc]。
（8）根据垂心定理可得，AH^2=BH^2+CH^2-4Rr，其中R为外接圆半径。
（9）将(8)式代入(7)式中可得HI:GM=3sqrt[(s-b)(s-c)/bc]=AH/2R。
（10）因此I、H、G三点共线，且IH:HG=2R:AH。
三、欧拉线的性质欧拉线不仅是三角形内切圆的圆心、垂心和重心的连线，还具有以下性质：1. 欧拉线与外接圆相切于外接圆上的费马点；2. 欧拉线上有一个点P满足PH=2OG，其中O为外接圆的圆心；3. 欧拉线上的点P是三角形内切圆与九点圆的交点。
四、应用欧拉线定理在几何学中有着广泛的应用。
例如，在三角形内切圆半径已知的情况下，我们可以利用欧拉线定理求出外接圆半径。
此外，欧拉线还可以用于证明其他几何学定理，如费马点定理、垂心定理等。
欧拉线定理的证明及其应用
注意到中位线 ＦＤ一＋ＡＣ，且 ＦＤ∥Ａｃ，△ＡＢＣ
０Ｇ一 ０Ａ ＋ ｏＧ 一 ０Ｂ ＋ ０Ｇ 一 ０Ｃ一
１
的 中线 ＡＤ 经 过 重 心 Ｇ，并 且 ＤＧ一÷ ＧＡ．显 然 这 些
厶
—
—
—
１ ———
——— ———
０，亦 即０Ｇ一÷ （ＯＡ＋０Ｂ＋０ｃ）．
．）
平行关 系 和等量关 系 可以用 共 线 向量 来 表示 ，从 而 可 以考虑 用 向量 的方法加 以解 决．
因为 ＦＤ、ＯＦ不 共 线 ，由 平 面 向 量 基 本 定 理 得
』２一 ＿。’所以 一 一２，即 ：：：２ ，商 一２ ．
１ － ２— ０，
’
—
—
１ ———＋
———
———＋
因为 Ｇ为重 心 ，于是ＤＧ＝÷ＧＡ，所 以０Ｇ—ＯＤ＋
接 ０Ｄ 并延 长到 ，连 接 ｏＦ并延 长到 Ｕ，连 接 ＯＳ并 延 长到 Ｖ，使 ＤＷ一０Ｄ，ＦＵ一０Ｆ，Ｓ 一０Ｓ．
当 Ｂ＝ ９０。时 ，０ 为 ＡＣ 的 中 点 ，Ｈ 与 Ｂ 重 合 ，
ＣＨ 并 延 长 ，分 别交 ＢＣ、ＡＢ 于 Ｅ、Ｍ ，则有 ＡＥ＿上＿ＢＣ， ０Ａ＋０Ｂ＋ＯＣ＝ ０Ｂ一０Ｈ ，所 以 ｍ一 １．
甄以 ＡＨ ／／ｏＤ，ＣＨ ７ｏＦ．
证 明 如 图 ３所 示 ，因 为 Ｇ 为
１
重 心 ，所 以 ＡＧ＋ ＢＧ ＋ ＣＧ ＝＝＝０，即
ＯＨ 互 相平 分．设 ０Ｈ 的 中 点 为 Ｑ，即 ＤＮ 经 过 Ｑ 且 被 Ｑ 平 分 ．ＰＦ、ＫＳ也 经 过 Ｑ 且 被 Ｑ 平 分 ．四 边 形 ０ｌ ＡＨ Ｗ 也 是 平 行 四 边 形 ， Ｂ Ａｗ 经 过 Ｑ 且 被 Ｑ 平 分 ． 同 理 ，ＢＶ、ＣＵ 经 过 Ｑ 且 被
欧拉线
欧拉线三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。
莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。
他证明了在任意三角形中，以上四点共线。
欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
欧拉线的证法1：作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。
连结AD、CD、AH、C H、OH。
作中线AM，设AM交OH于点G’∵BD是直径∴∠BAD、∠BCD是直角∴AD⊥AB，DC⊥BC∵CH⊥AB，AH⊥BC∴DA‖CH，DC‖AH∴四边形ADCH是平行四边形∴AH=DC∵M是BC的中点，O是BD的中点∴OM= 1/2DC∴OM= 1/2AH∵OM‖AH∴△OMG’ ∽△HAG’∴AG/GM=2/1∴G’是△ABC的重心∴G与G’重合∴O、G、H三点在同一条直线上如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H 三点的坐标即可.欧拉线的证法2：设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。
连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。
连接OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。
连接AH并延长交BC于E,因H 为垂心,所以AE⊥BC。
所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。
由于G为重心，则GA:G D=2:1。
连接CG并延长交BA于F,则可知D为BC中点。
同理，OF//CM.所以有∠OFC =∠MCF连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。
FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠O DF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以O D:HA=GA:GD=2:1又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。
欧拉函数证明过程
欧拉函数证明过程
欧拉函数,也称为phi函数或欧拉指标函数,是一个重要的数论函数,它用于统计小于或等于一个给定的正整数n,并且与n互素的正整数的个数。
欧拉函数的定义如下:
φ(n) = |{k ∈ Z+|1 ≤ k ≤ n, gcd(k, n) = 1}|
其中,|A|表示集合A的基数,Z+表示正整数集合,gcd(k, n)表示k和n 的最大公约数。
下面我们来证明欧拉函数的一个重要性质:
对于任意两个互质的正整数m和n,有φ(mn) = φ(m)φ(n)。
证明过程如下:
1. 先证明对于任意正整数n,有φ(n) = n∏p|n(1 - 1/p),其中p为n的不同素因子。
证明:对于n = ∏p_i^k_i,其中p_i为不同的素数,k_i为对应的指数。
每个p_i^k_i有p_i^(k_i-1)(p_i-1)个与它互质的正整数(详见"互质数的计数方法"),因此φ(n) = ∏(p_i^k_i - p_i^(k_i-1)) = n∏(1 - 1/p_i)。
2. 对于两个互质的正整数m和n,可以分解为m = ∏p_i^k_i,n = ∏q_j^l_j,其中p_i和q_j为不同的素数。
那么:
φ(mn) = mn∏p_i,q_j(1 - 1/(p_i*q_j)) = mn∏p_i(1 - 1/p_i)∏q_j(1 - 1/q_j) = mφ(m)nφ(n)/(mn)
= φ(m)φ(n)
这就证明了φ(mn) = φ(m)φ(n)。
初中数学视角下欧拉线和欧拉圆的证明
初中数学视角下欧拉线和欧拉圆的证明作者：池剑善来源：《数学教学通讯·初中版》2018年第04期[摘要] 笔者查阅资料，发现没有人研究从初中数学的角度证明以大数学家“欧拉”命名的欧拉线和欧拉圆. 本文所给的证明方法以初中数学课本知识为基础，并进行稍微拓展，该方法对初中生竞赛培优教学有一定的参考价值.[关键词] 初中数学；欧拉线；欧拉圆在竞赛辅导中，历史上的经典名题、定理的证明是我们绕不开的路. 比如，学习平面几何时，选择欧拉线和欧拉圆的证明教学是培养学生推理能力和演绎思维的一个不错选择. 首先，我们来熟悉一下欧拉线和欧拉圆.欧拉线：莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出的定理——三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.欧拉圆：三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连接三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆. 通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），或欧拉圆、费尔巴哈圆.欧拉线是过三角形的垂心、外心、重心和欧拉圆圆心的一条直线.一般的定理教学，教师引导学生一起“探究”，然后牵着学生的思维一起把别人走过的路再走一遍. 而本文是笔者的另外一种实践. 笔者研究了这两个经典定理历史上的证明方法，发现很多都超过了初中生的知识储备，于是筛选了一些适合的方法，重新整理思路，把两个有关联的定理关联起来，然后分不同的阶段，为学生铺好台阶，走到终点.引理及其证明引理？摇三角形的外心到一边的距离等于垂心到该边相对的顶点距离的一半.如图1，在△ABC中，O，H为其外心和垂心，D为BC的中点，连接OD，AH. 求证：OD=AH.证明？摇如图1，连接OB，OC，连接CH并延长交AB于点R，延长AH交BC于点P，因为点O为△ABC的外心，所以∠BAC=∠BOC. 因为D为BC的中点，所以∠COD=∠BOC=∠BAC，OD⊥BC. 因为CR⊥AB，所以∠ARC=∠ODC=90°. 所以△ARC∽△ODC. 所以=①. 因为AP⊥BC，所以∠ARC=∠APC=90°. 所以A，R，P，C四点共圆. 所以∠RAH=∠BCR. 所以△ARH∽△CRB. 所以=，即=②. ①×②得=，所以OD=AH.上述证明是在锐角三角形中进行的，同理可证钝角三角形也成立. 直角三角形比较特殊，很容易证明成立.欧拉线定理及其证明如图2，在△ABC中，O，G，H分别为其外心、重心、垂心，D为BC的中点，求证：O，G，H三点共线，且OG=GH.证明？摇设AD交OH于点G′，因为OD⊥BC，AH⊥BC，所以OD∥AH. 所以△ODG′∽△HAG′. 因为OD=AH，所以OG′=G′H，DG′=AG′. 因为G为△ABC的重心，所以DG=AG. 所以G与G′重合. 所以O，G，H三点共线，且OG=GH.上述证明是在锐角三角形中进行的，同理可证钝角三角形也成立. 直角三角形比较特殊，很容易证明成立.九点圆（欧拉圆）及其证明1. 证三高的垂足和三个欧拉点（连接三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）共圆如图3，在△ABC中，H为其垂心，设AH，BH，CH的中点分别为M，L，N，过M，L，N三点的圆记为⊙J，P，Q，R分别是三条高在BC，AC，AB上的垂足. 求证：P，Q，R 均在⊙J上.证明？摇连接MN，LN，LM，QM，QN. 因为L，N分别为BH，CH的中点，所以LN∥BC且LN=BC. 同理，LM∥AB且LM=AB，MN∥AC且MN=AC. 因为H为△ABC的垂心，所以H为△MLN的垂心. 所以P，Q，R分别为H关于LN，MN，ML对称的点. 所以∠MQN=∠MHN，∠MHN+∠MLN =∠MQN+∠MLN=180°. 所以Q在△MLN的外接圆上.同理，P，R也在△MLN的外接圆上，所以P，Q，R在⊙J上.上述证明是在锐角三角形中进行的，感兴趣的读者可以在钝角三角形和直角三角形中进行证明.2. 证三边中点和三个欧拉点共圆如图4，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，AP⊥BC，BQ⊥AC，CR⊥AB，垂足分别为P，Q，R，H为△ABC的垂心，设AH，BH，CH的中点分别为M，L，N，过M，L，N三点的圆记为⊙J. 求证：D，E，F均在⊙J上.证明？摇连接MN，DN，则DN∥BQ，MN∥AC. 因为BQ⊥AC，所以DN⊥MN. 又因为AP⊥BC，所以D，P，N，M四点共圆. 所以点D在⊙J上. 同理，E，F也在⊙J上.上述证明是在锐角三角形中进行的，感兴趣的读者可以在钝角三角形和直角三角形中进行证明.欧拉圆心和欧拉线之间的位置及其证明1. 证明欧拉圆圆心在欧拉线上如图5，O，H，J分别是△ABC的外心、垂心和欧拉圆圆心. 求证：O，J，H三点共线，且OJ=HJ.证明？摇连接AH并延长交BC于点P，分别取AH和BC的中点M，D，连接DM，OH 交于点J′. 因为OD⊥BC，MH⊥BC，所以OD∥MH. 所以∠ODJ′=∠HMJ′. 所以∠DOJ′=∠MHJ′. 又因为OD=AH=MH，所以△ODJ′≌△HMJ′. 所以OJ′= HJ′，DJ′=MJ′. 因为∠APB=90°，所以DM为⊙J的直径. 所以J为DM的中点. 所以点J与点J′重合. 所以O，J，H 三点共线，且OJ=HJ.上述证明是在锐角三角形中进行的，感兴趣的读者可以在钝角三角形和直角三角形中进行证明.2. 证明三角形的欧拉圆半径等于外接圆半径的一半如图6，已知⊙J和⊙O分别是△ABC的欧拉圆和外接圆，求证：⊙J的半径为⊙O半径的.证明？摇设H为△ABC的垂心，连接AH，分别取AH和BC的中点M，D，连接OA，OD，DM，则OA为⊙O的半径，DM为⊙J的直径. 因为OD∥AM且OD=AM，所以四边形AODM是平行四边形. 所以OA=DM. 所以⊙J的半径为⊙O半径的.上述证明是在锐角三角形中进行的，感兴趣的读者可以在钝角三角形和直角三角形中进行证明.利用欧拉圆心和欧拉线可证一些四点共圆的问题如图7，H为△ABC的垂心，L为BC边的中点，P为AH的中点，过点L作PL的垂线交AB于点G，交AC的延长线于点K，求证：G，B，K，C四点共圆.证明？摇如图8，设△ABC的外心为O，连接OH，取OH的中点E，则E为欧拉圆圆心. 连接AO，则AO∥PE，从而AO⊥GK. 设N为AB的中点，连接ON，则ON⊥AG. 于是∠AON=∠AGL. 又因为∠ACL=∠AON，所以∠ACL=∠AGL. 所以∠BGK=∠KCB. 所以B，K，C，G四点共圆.几何名题内容丰富，是数学竞赛教学的一大宝贵资源，只要我们多挖掘，多思考，换种角度从学生的最近发展区出发进行启发教学，再配合可以利用所学定理解决问题的实例让学生操练，应该能起到事半功倍之效.。
欧拉线欧拉函数等数学专题
欧拉线欧拉函数等数学文化题认识欧拉莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家。
1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。
欧拉出生于牧师家庭，自幼受父亲的影响。
13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。
他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。
欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。
此外欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。
瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber 曾表示：“没有欧拉的众多科学发现，我们将过着完全不一样的生活。
”法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师。
以欧拉的数学成就为背景的数学问题一、单选题1．正整数1，2，3，…，n 的倒数的和111123n++++已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式；当n 很大时1111ln 23n nγ++++≈+.其中γ称为欧拉—马歇罗尼常数，0.577215664901γ≈，至今为止都不确定γ是有理数还是无理数.设[]x 表示不超过x 的最大整数.用上式计算1111232022⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦的值为（ ）（参考数据：ln 20.69,ln 3 1.10≈≈，ln10 2.30≈） A ．7 B ．8 C ．9 D ．102．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为()πln xx x≈的结论.若根据欧拉得出的结论，估计1000以内的素数的个数为（素数即质数，lge 0.43429≈，计算结果取整数）（ ） A ．189B ．186C ．145D ．1093．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿､欧拉并列为世界四大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：][3.54,2.12⎡⎤-=-=⎣⎦.已知函数()e 11e 2x xf x =-+，则函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的值域是（ ） A ．{}1,0,1- B ．{}1,0- C ．[]1,1- D ．[]1,0-4．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+把自然对数的底数e 、虚数单位i 、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z 满足i π(2e i)i z +⋅=，则||z =（ ）A ．15B ．13C D 5．数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 叫做调和数列，此数列的前n 项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式：当n 很大时，1111ln 23n nγ++++≈+，其中γ称为欧拉-马歇罗尼常数，0.577215664901γ≈，至今为止都不确定γ是有理数还是无理数.设[]x 表示不超过x 的最大整数.用上式计算1111233456⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦的值为（ ）（参考数据：ln20.69,ln3 1.10,ln10 2.30≈≈≈） A ．7 B ．8 C ．9 D ．106．欧拉公式i e cos isin (i x x x =+为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知i a e 为纯虚数，则复数sin211ia ++在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限7．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若ABC 满足AC BC =，顶点1,0A ，()1,2B -，且其“欧拉线”与圆M ：()2223x y r -+=相切，则下列结论正确的是（ ）A ．圆M 上的点到原点的最大距离为3B ．圆M 上不存在三个点到直线10x y --=C ．若点(),x y 在圆M 上，则1yx +的最小值是D ．若圆M 与圆()222x y a +-=有公共点，则[]3,3a ∈-8．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知点()0,2A 和点()10B ,为ABC 的顶点，则：“ABC 的欧拉线的方程为1x =”是“点C 的坐标为(2,2)”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题9．对于正整数n ，)(n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目．函数)(n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，又称为ϕ函数，例如(10)4ϕ=，（10与1，3，7，9均互质）则（ ） A ．(12)(29)32ϕϕ+=B ．数列{}()n ϕ单调递增C ．若p 为质数，则数列{}()np ϕ为等比数列 D ．数列(3)nn ϕ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前4项和等于5827 10．瑞士著名数学家莱昂哈德·欧拉在1765年提出：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作ABC ，4AB AC ==，点()1,3B -，点()4,2C -，且其“欧拉线”与圆()222:3M x y r -+=相切，则下列结论正确的是（ ）A ．ABC 的“欧拉线”方程为1y x =-B ．圆M 上点到直线30x y -+=的最大距离为C ．若点(),x y 在圆M 上，则22x y +的最小值是11-D ．圆()()2218x a y a --+-=与圆M 有公共点，则a 的取值范围是1⎡-+⎣11．1765年，数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”.已知ABC 的顶点()()1,0,0,2B C -，重心12,63G ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．点A 的坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．ABC 为等边三角形 C ．欧拉线方程为2430x y +-=D ．ABC 外接圆的方程为22151254864x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12．欧拉公式i e cos isin x x x =+（其中i 为虚数单位，x ∈R ）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（ ）A ．ie 1π= B ．i2e π为纯虚数C 12= D ．复数2i e 对应的点位于第三象限13．瑞士著名数学家欧拉在1765年得出定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为“欧拉线”.在平面直角坐标系中作,ABC AB AC =，点()1,3B -，点()4,2C -，圆()2200:(3)4,,M x y P x y ++=是“欧拉线”上一点，过P 可作圆的两条线切，切点分别为,D E .则下列结论正确的是（ ） A ．ABC 的“欧拉线”方程为1y x =- B ．圆M 上存在点N ，使得π6MPN ∠= C ．四边形PDME 面积的最大值为4 D ．直线DE 恒过定点14．对于正整数n ，()n ϕ是不大于n 的正整数中与n 互质的数的个数.函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数.例如：()96ϕ=.则（ ） A ．()2811ϕ= B ．数列(){}3ϕ''为等比数列 C ．数列(){}n ϕ不单调D ．()777log 75log 6ϕ=+15．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知ABC 的顶点()2,0A 、()0,4B ，其欧拉线方程为20x y +-=，则顶点C 的坐标不可以是（ ）A ．()2,2-B ．()1,1-C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭16．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC ，4AB AC ==，点()1,3B -，点()4,2C -，且其“欧拉线”与圆()222:3M x y r -+=相切，则下列结论正确的是（ ）A ．ABC 的“欧拉线”方程为1y x =-B ．圆M 上点到直线30x y -+=的最大距离为C ．若点(),x y 在圆M 上，则22x y +的最小值是3D ．圆()()2218x a y a --+-=与圆M 有公共点，则a的取值范围是1⎡-+⎣17．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数()y f x =，如果对于其定义域D 中任意给定的实数x ，都有x D -∈，并且()()1f x f x ⋅-=，就称函数()y f x =为倒函数，则下列函数是倒函数的为（ ）A ．()ln f x x =B ．()e xf x =C ．()11xf x x+-=D ．(),01,0x x f x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩三、填空题18．数学中有许多美丽的错误，法国数学家费马通过观察计算曾提出猜想：形如221nn F =+（0n =，1，2，…）的数都是质数，这就是费马素数猜想.半个世纪后善于发现的欧拉算出第5个费马数不是质数，从而否定了这一种猜想.现设：()2log 1n n a m F =-（n =1，2，3，…），m 为常数，n S 表示数列{}2log n a 的前n 项和，若520S =，则5a =______.19．莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知ABC 的三个顶点坐标分别是(1,0)-，(3,0)，(0,2)则ABC 的欧拉线方程为______．四、双空题20．对正整数n ，函数()n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目．此函数以其首名研究者欧拉命名，故被称为欧拉函数．根据欧拉函数的概念，可得()441ϕ=______，数列(){}7nn ϕ的前n 项和n S =______．以欧拉的数学成就为背景的数学问题一、单选题1．正整数1，2，3，…，n 的倒数的和111123n++++已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式；当n 很大时1111ln 23n nγ++++≈+.其中γ称为欧拉—马歇罗尼常数，0.577215664901γ≈，至今为止都不确定γ是有理数还是无理数.设[]x 表示不超过x 的最大整数.用上式计算1111232022⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦的值为（ ）（参考数据：ln 20.69,ln 3 1.10≈≈，ln10 2.30≈） A ．7 B ．8 C ．9 D ．1012022++=2ln3ln337++2.30 5.70⨯=2(0.69 1.10)+12022⎤++⎥⎦月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为()πln xx x≈的结论.若根据欧拉得出的结论，估计1000以内的素数的个数为（素数即质数，lge 0.43429≈，计算结果取整数）（ ） A ．189 B ．186 C ．145 D ．109德､牛顿､欧拉并列为世界四大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：][3.54,2.12⎡⎤-=-=⎣⎦.已知函数()e 11e 2x xf x =-+，则函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的值域是（ ） A ．{}1,0,1- B ．{}1,0- C ．[]1,1- D ．[]1,0-分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z 满足i π(2e i)i z +⋅=，则||z =（ ）A ．15B ．13C D 5．数列⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 叫做调和数列，此数列的前n 项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式：当n 很大时，1111ln 23n nγ++++≈+，其中γ称为欧拉-马歇罗尼常数，0.577215664901γ≈，至今为止都不确定γ是有理数还是无理数.设[]x 表示不超过x 的最大整数.用上式计算1111233456⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦的值为（ ）（参考数据：ln20.69,ln3 1.10,ln10 2.30≈≈≈） A ．7 B ．8 C ．9 D ．1013456++≈)337ln γ+=111233456⎤++++⎥⎦6．欧拉公式i e cos isin (i x x x =+为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知i a e 为纯虚数，则复数sin211ia ++在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若ABC 满足AC BC =，顶点1,0A ，()1,2B -，且其“欧拉线”与圆M ：()2223x y r -+=相切，则下列结论正确的是（ ）A ．圆M 上的点到原点的最大距离为3B ．圆M 上不存在三个点到直线10x y --=C ．若点(),x y 在圆M 上，则1yx +的最小值是D ．若圆M 与圆()222x y a +-=有公共点，则[]3,3a ∈- 【答案】D，由题意可得ABC 的欧拉线即为重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知点()0,2A 和点()10B ,为ABC 的顶点，则：“ABC 的欧拉线的方程为1x =”是“点C 的坐标为(2,2)”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件ABC 的欧拉线的方程为充分性：由题知(A ，ABC 的欧拉线的方程为设重心(1,G ),外接圆圆心为因为重心为)C ，即(1,G )2HG =，解得：1)21C y -=上移动，“ABC 的欧拉线的方程为故选：B二、多选题9．对于正整数n ，)(n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目．函数)(n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，又称为ϕ函数，例如(10)4ϕ=，（10与1，3，7，9均互质）则（ ） A ．(12)(29)32ϕϕ+=B ．数列{}()n ϕ单调递增C ．若p 为质数，则数列{}()np ϕ为等比数列 D ．数列(3)n n ϕ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前4项和等于5827 【答案】AC123n -，数列【点睛】关键点点睛：本题主要是理解函数互质的数的个数；若p 为质数，在小于等于线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作ABC ，4AB AC ==，点()1,3B -，点()4,2C -，且其“欧拉线”与圆()222:3M x y r -+=相切，则下列结论正确的是（ ）A ．ABC 的“欧拉线”方程为1y x =-B ．圆M 上点到直线30x y -+=的最大距离为C ．若点(),x y 在圆M 上，则22x y +的最小值是11-D ．圆()()2218x a y a --+-=与圆M 有公共点，则a 的取值范围是1⎡-+⎣，则ABC 的外心、重心、垂心都在线段，所以，ABC 的“欧拉线30+=的距离为心､垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”.已知ABC 的顶点()()1,0,0,2B C -，重心12,63G ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．点A 的坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．ABC 为等边三角形 C ．欧拉线方程为2430x y +-=D ．ABC 外接圆的方程为22151254864x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为ABC 的重心，设，所以ABC 不是等边三角形，故选项，ABC 的外心重心､垂心都位于线段的垂直平分线上，ABC 的顶点)0,2，线段的中点的坐标为所在直线的斜率2=，线段垂直平分线的方程为243x y +-ABC 的欧拉线方程为因为线段，ABC 的外心AB 的垂直平分线的交点，所以交点的坐标满足⎧⎪⎨⎪⎩圆半径r =，所以ABC 外接圆方程为为虚数单位，x ∈R 数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（ ） A ．ie 1π= B ．i2e π为纯虚数C 12= D ．复数2i e 对应的点位于第三象限这条直线被后人称为“欧拉线”.在平面直角坐标系中作,ABC AB AC =，点()1,3B -，点()4,2C -，圆()2200:(3)4,,M x y P x y ++=是“欧拉线”上一点，过P 可作圆的两条线切，切点分别为,D E .则下列结论正确的是（ ） A ．ABC 的“欧拉线”方程为1y x =- B ．圆M 上存在点N ，使得π6MPN ∠= C ．四边形PDME 面积的最大值为4 D ．直线DE 恒过定点 在MPD 中由正弦定理得sin MPD ∠=由二次函数的性质得当所以sin MPD ∠12PMD PMES S+=⨯24PM -，且PM 即四边形PDME 14．对于正整数，n 是不大于的正整数中与互质的数的个数.函数n 以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数.例如：()96ϕ=.则（ ） A ．()2811ϕ= B ．数列(){}3ϕ''为等比数列 C ．数列(){}n ϕ不单调 D ．()777log 75log 6ϕ=+【答案】BC【分析】根据题目定义列出满足函数()n ϕ的数列即可各个选项一一判断求解.【详解】不大于28且与28互质的数有1，3，5，9，11，13，15，17，19，23，25，27，共12个，所以()2812ϕ=，故A 错误；因为与3n 互质的数有1，2，4，5，7，8，10，11，…，32n -，31n -，共()1131323n n ---⋅=⋅个，所以()1323n n ϕ-=⋅，则数列(){}3n ϕ为2为首项,3为公比的等比数列，故B 正确；因为()62ϕ=，()54ϕ=，所以()()65ϕϕ<，故数列(){}n ϕ不单调递增.又()()9626ϕϕ=>=，所以数列(){}n ϕ不单调递减，所以数列(){}n ϕ不单调，故C 正确；因为7为质数，所以与77不互质的数为7，14，21，…，77，共有76777÷=（个），所以()()776777log 7log 776log 6ϕ=-=+，故D 错误.故选：BC.15．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知ABC 的顶点()2,0A 、()0,4B ，其欧拉线方程为20x y +-=，则顶点C 的坐标不可以是（ ）A ．()2,2-B ．()1,1-C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】()2,0A ，又因为外心在欧拉线23020y y +=-=又123r GA ⎛==- ⎝∴ABC 的外接圆方程为设()00,C x y 0243x +++又因为(0C x 这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC ，4AB AC ==，点()1,3B -，点()4,2C -，且其“欧拉线”与圆()222:3M x y r -+=相切，则下列结论正确的是（ ）A ．ABC 的“欧拉线”方程为1y x =-B ．圆M 上点到直线30x y -+=的最大距离为C ．若点(),x y 在圆M 上，则22x y +的最小值是3D ．圆()()2218x a y a --+-=与圆M 有公共点，则a 的取值范围是1⎡-+⎣【分析】分析可知ABC 的外心、重心、垂心都在线段的值，求出圆M 上点到直线的最小值，可判断C 选项，因为，则ABC 的外心、重心、垂心都在线段，所以，ABC 的“欧拉线，即1y x =-选项，圆心到直线x 所以，圆M 上点到直线等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数()y f x =，如果对于其定义域D 中任意给定的实数x ，都有x D -∈，并且()()1f x f x ⋅-=，就称函数()y f x =为倒函数，则下列函数是倒函数的为（ ）A ．()ln f x x =B ．()e xf x =C ．()11xf x x+-=D ．(),01,0x x f x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩三、填空题18．数学中有许多美丽的错误，法国数学家费马通过观察计算曾提出猜想：形如221nn F =+（0n =，1，2，…）的数都是质数，这就是费马素数猜想.半个世纪后善于发现的欧拉算出第5个费马数不是质数，从而否定了这一种猜想.现设：()2log 1n n a m F =-（n =1，2，3，…），m 为常数，n S 表示数列{}2log n a 的前n 项和，若520S =，则5a =______.log19．莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知ABC 的三个顶点坐标分别是(1,0)-，(3,0)，(0,2)则ABC 的欧拉线方程为______． ，所以ABC 的垂心坐标为由重心坐标公式可得ABC 的重心坐标为1-+⎛ ⎝所以ABC 的欧拉线方程为：0203x --，化简得故答案为：560x =.四、双空题20．对正整数n ，函数()n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目．此函数以其首名研究者欧拉命名，故被称为欧拉函数．根据欧拉函数的概念，可得()441ϕ=______，数列(){}7nn ϕ的前n 项和n S =______．17n n -++⨯)7n n ++⨯()17167n n n -++-=-． )1716n n -+．【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：。
欧拉线问题 解析版-高中数学
欧拉线问题欧拉线是高中数学常见的信息题类的考点，其原理很简单：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半”，这条直线叫做三角形的欧拉线，只需要掌握图形特点即可轻松求解等腰三角形中的欧拉线(中垂线)1.数学巨星欧拉(LeonhardEuler，1707~1783)在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半”，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．若已知△ABC的顶点B(-1,0)，C(0,2)，且AB=AC，则△ABC的欧拉线方程为()A.2x-4y-3=0B.2x+4y+3=0C.4x-2y-3=0D.2x+4y-3=0【答案】D【分析】根据题意得出△ABC的欧拉线方程为线段BC的垂直平分线，再根据点B和点C的坐标求出线段BC 的垂直平分线即可．【详解】由B(-1,0)，C(0,2)，得线段BC中点的坐标为-1 2 ,1，所以线段BC的斜率k BC=2，所以线段BC垂直平分线的方程为：y-1=-12x+12，即2x+4y-3=0，又因为AB=AC，所以△ABC的外心、中心、垂心都在线段△ABC的垂直平分线上，所以△ABC的欧拉线方程为2x+4y-3=0，故选：D．2.瑞士著名数学家欧拉在1765年得出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,AB=AC，点B-1,3，点C4,-2，圆M:(x+3)2+y2= 4,P x0,y0是“欧拉线”上一点，过P可作圆的两条线切，切点分别为D,E.则下列结论正确的是()A.△ABC的“欧拉线”方程为y=x-1B.圆M上存在点N，使得∠MPN=π6C.四边形PDME面积的最大值为4D.直线DE恒过定点【答案】ABD【分析】由题意求出BC中点为D的坐标，根据欧拉线的定义求出欧拉线的方程即直线AD的方程，再利用圆和圆的切线的性质判断各选项即可.【详解】设BC中点为D，因为AB=AC，所以AD⊥BC，因为k BC=3+2-1-4=-1，所以k AD=1，且x D=-1+42=32，y D=3-22=12，所以D32,12，由题意可得欧拉线为直线AD，则欧拉线的方程为y-12=x-32即y=x-1，A正确；由圆的切线性质可得∠MPD≥∠MPN，设P(a,a-1)，则PM2=(a+3)2+(a-1)2=2a2+4a+10，在△MPD中由正弦定理得PMsin∠PDM=PDsin∠MPD，所以sin∠MPD=PD×sin∠PDMPM=22a2+4a+10，由二次函数的性质得当a=-42×2=-1时2a2+4a+10取最小值8，所以sin∠MPD=22a2+4a+10≤22，即∠MPD的最大值为π4，所以∠MPN≤π4，所以圆M上存在点N，使得∠MPN=π6，B正确；由圆的切线的定义可知PD⊥MD，PE⊥ME，PD=PE，所以S PDME=S△PMD+S△PME=12×PD×MD+12×PE×ME=2PD，又因为PD=PM2-4，且PM min=-3-112+(-1)2=22，所以PD min=4即四边形PDME面积的最小值为4，C错误；设P(a,a-1)，因为PD⊥MD，PE⊥ME，所以P,D,M,E四点共圆，其中PM为直径，设PM中点Ha-32,a-12，则PH=a-a-322+a-1-a-122=a2+2a+52，所以圆H为x-a-3 22+y-a-122=a2+2a+52即x2+y2-(a-3)x-(a-1)y-3a=0，所以DE为圆M和圆H的相交弦，两圆方程相减得DE方程为(a+3)x+(a-1)y+5+3a=0，即a(x+y+3)+3x-y+5=0，由x+y+3=03x-y+5=0解得DE过定点(-2,-1)，D正确；故选：ABD3.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在非等边△ABC中，AB=AC，点B坐标为-1,1，点C坐标为3,-3，且其“欧拉线”与圆M:x2+y2=r2r>0相切，则△ABC的“欧拉线”方程为，圆M的半径r=．【答案】y=x-22【分析】分析可知△ABC 的“欧拉线”为线段BC 的中垂线，求出线段BC 的中垂线方程，可得出△ABC 的“欧拉线”方程，利用圆心到“欧拉线”的距离等于圆的半径可求得r 的值，即可得解.【详解】线段BC 的中点为M 1,-1 ，在非等边△ABC 中，AB =AC ，所以，△ABC 的“欧拉线”为线段BC 的中垂线，k BC =1+3-1-3=-1，所以，△ABC 的“欧拉线”方程为y +1=x -1，即y =x -2，由已知，圆M 与直线y =x -2相切，故r =212+12= 2.故答案为：y =x -2；2.普通三角形中的欧拉线4.数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点分别为A 0,2 ，B -1,0 ，C 4,0 ，则△ABC 的欧拉线方程为()A.4x -3y -6=0B.3x +4y +3=0C.4x +3y -6=0D.3x +4y -3=0【答案】C【分析】先求出△ABC 的重心坐标，由k AB ⋅k AC =-1得出△ABC 为直角三角形，外心为斜边中点，进而求出外心坐标，由于外心和重心在同一直线上，根据外心和重心的坐标即可得出答案．【详解】因为△ABC 的顶点分别为A 0,2 ，B -1,0 ，C 4,0 ，所以△ABC 的重心为G 1,23 ，因为k AB =2，k AC =-12，所以k AB ⋅k AC =-1，所以AB ⊥AC ，所以△ABC 的外心为BC 的中点D 32,0 ，因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，所以△ABC 的欧拉线为直线GD ，所以△ABC 的欧拉线方程为y -023-0=x -321-32，即4x +3y -6=0，故选：C ．5.欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知A 0,2 ，B 4,2 ，C a ,-1 ，且△ABC 为圆x 2+y 2+Ex +Fy =0内接三角形，则△ABC 的欧拉线方程为.【答案】y =1/y -1=0【分析】首先将点的坐标代入圆的方程，即可求出E 、F ，从而得到圆心坐标即△ABC 的外心坐标，再确定△ABC的重心坐标，即可得解.【详解】依题意22+2F=042+22+4E+2F=0，解得E=-4F=-2，所以圆x2+y2-4x-2y=0，即x-22+y-12=5，故圆心坐标为2,1，即△ABC的外心坐标为2,1，又△ABC的重心坐标为a+43,1 ，又点2,1、a+4 3,1均在直线y=1上，所以△ABC的欧拉线方程为y=1.故答案为：y=16.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，△ABC满足AC=BC，顶点A-1,0、B1,2，且其“欧拉线”与圆M：x+52+y2=r2r>0相切．(1)求△ABC的“欧拉线”方程；(2)若圆M与圆x2+y-a2=2有公共点，求a的范围．【答案】(1)x+y-1=0(2)a∈-7,7【分析】(1)由等腰三角形三线合一知△ABC的欧拉线即为AB的垂直平分线，根据与直线AB垂直得到斜率，结合过中点得到所求直线方程；(2)由直线与圆相切得到圆M的圆心和半径，由两圆有公共点得到两圆的位置关系进而得到关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围.【详解】(1)因为AC=BC，所以△ABC是等腰三角形，由三线合一得：△ABC的外心、重心、垂心均在边AB 的垂直平分线上，设△ABC的欧拉线为l，则l过AB的中点，且与直线AB垂直，由A-1,0、B1,2可得：AB的中点D1-12,0+22，即D0,1 ，由k AB=2-01--1=1，得k l=-1，故l的方程为y-1=-x即x+y-1=0；(2)因为l与圆M：x+52+y2=r2相切，故圆心M-5,0，r=|6|1+1=32，圆x2+y-a2=2的圆心坐标为0,a，半径r1=2，则要想圆M与圆x2+y-a2=2有公共点，则两圆外切、相交或内切，只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值，即32-2≤-52+a2≤32+2，故22≤25+a2≤42，解得a∈-7,7．。
欧拉线的发现与证明过程
• 欧拉线的发现 • 欧拉线的证明过程 • 欧拉线在几何学中的应用 • 欧拉线的扩展研究 • 总结与展望
01
欧拉线的发现
欧拉简介
欧拉（Leonhard Euler）是18世纪的瑞士数学家，被誉为历史上最伟大 的数学家之一。他不仅在数学领域有着广泛而深入的研究，还在物理学、 工程学和天文学等领域有着卓越的贡献。
欧拉还利用面积法证明了欧拉线定理，即三角形各边的垂直 平分线交于一点，这一点将三角形的重心分为2:1的两部分。
欧拉线的深入证明
欧拉线的深入证明主要涉及解析几何和代数方法的应用。 通过建立坐标系，将三角形的顶点和角元线方程表示为坐 标形式，然后利用代数方法求解这些方程，可以得到欧拉 线的方程。
此外，还可以利用向量和矩阵等工具来证明欧拉线定理， 这些方法在处理更复杂的几何问题时非常有用。
THANKS
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05
总结与展望
欧拉线的重要意义
数学史上的里程碑
欧拉线的发现是数学史上的一个重要 里程碑，它推动了数学领域的发展， 丰富了数学理论体系。
对几何学的影响
在其他学科的应用
欧拉线不仅在数学领域有广泛应用， 还涉及到物理学、工程学等多个学科， 为这些学科的发展提供了重要的理论 支持。
欧拉线是几何学中的重要概念，它的 出现为几何学的研究提供了新的思路 和方法，促进了几何学的发展。
欧拉线是由欧拉在18世纪提出的几何概念。它是指在一个多边形中，连接所有顶 点与对边中点的线段组成的折线。
欧拉在研究多边形的几何性质时，发现了这一特殊的折线。他发现，无论多边形 的形状如何变化，只要边数固定，欧拉线的长度总和保持不变。这一性质被称为 “欧拉线的定长性”。
欧拉线在几何学中的地位
奔驰定理证明过程五种证明
奔驰定理证明过程五种证明奔驰定理是解决三角形内接圆问题的一个重要定理，它表明三角形内接圆的半径与三角形的边长之间存在着一定关系。
下面将介绍奔驰定理的五种证明方法。
1.利用圆心角和位角关系的证明：将三角形角A的外接圆的圆心记为O，AO的延长线与BC交于点D。
根据圆心角和位角的性质可知∠DOA=2∠A而∠OAD=2∠C（角A和C是锐角三角形）。
再根据外接圆性质可知，∠BOC=2∠B∠OBD=2∠A（角B和A是锐角三角形）。
因此，∠DOA+∠BOC=2∠A+2∠C=180°即四边形ADOB是一个内接四边形。
根据内接四边形的性质，可得AO的长度等于BD的长度，即r=h。
2.利用轴对称的证明：在内接圆中，连接圆心O与三角形顶点A、B、C，并延长与三边的交点分别记为D、E、F。
由于三角形的内切圆，所以AO⊥BC，BO⊥AC，CO⊥AB，这意味着AO、BO、CO是BC、AC、AB的三条高。
根据轴对称的性质，可知H为△ABC的垂心。
而由于内接圆的特性，所以H也是B和C的垂心。
因此，HB=HD，HC=HE，HA=HF，且O为内接圆的圆心。
由于OA=OB=OC，所以A、B、C、D、E、F六点构成了一个等边六边形。
根据等边六边形的性质，可得r=h。
3.利用辐射轴的证明：将三角形的角平分线与内接圆相交的点记为M、N、P。
根据辐射轴的性质，可知AM、BN、CP相交于一点，记为G。
由于△AMP与△ANM有AM=AN（共边），所以MG=NG（共折角）。
同理可证，NG=PG，因此MG=NG=PG。
因此，G为等边三角形的重心，且O为内接圆的圆心。
根据重心与内心的关系可知，OG=2OG'，其中OG'为重心到三角形的垂心的长度。
由于OG'为等边三角形的三条高，所以OG'=h/3因此，OG=2h/3，而OG为内接圆的半径r。
所以r=2h/34.利用正弦定理的证明：在三角形ABC中，连接内接圆的圆心O与三个顶点A、B、C，并延长AO交BC于点D。
欧拉定理
4．提出多面体分类方法：
在欧拉公式中， f (p)=V+F-E叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面体f (p)=2。
除简单多面体外，还有非简单多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的 表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面。其欧拉示性数f (p)=16+16-32=0，即带一个洞的多面 体的欧拉示性数为0。
数论定理
内容
证明
应用
设，且，则我们有: 其中称为对模缩系的元素个数。 此外，对模的阶必整除。
欧拉定理的证明取模的缩系,则也是模的缩系. 故有 特别地，当时，该结论加强为费马小定理.
首先看一个基本的例子。令a = 3，n = 5，这两个数是互素的。比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4， 所以φ(5)=4（详情见[欧拉函数]）。计算:a^{φ(n)} = 3^4 =81，而81= 80 + 1 Ξ 1 （mod 5）。与定理结果相符。
证明应用
利用几何画板
公式应用
逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E 先以简单的四面体ABCD为例分析证法。 去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、 E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1 1．去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。 2．从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一个点。 以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。 对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。 计算多面体各面内角和 设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图），求所有面内角总和Σα 一方面，在原图中利用各面求内角总和。
有名的几何定理--拾书趣第二十一
１勾股（毕达哥拉斯）定理*；*凡是容易找到内容及证明的，我们只记下他的名称，下同。
２射影（欧几里得定理）定理；３三角形中线共点（重心），并被该点分为２：１两部分；４四边形对边中点连线与两条对角线中点连线三线共点；５间隔连接六边形边的中点所得两三角形重心重合；６三角形三边中垂线交于一点（外心）；７三角形的三条高交于一点（垂心）；８三角形ABC外心为O，垂心为H，OL垂直BC于L，则AH=2OL；９三角形外心、垂心、重心三点共线；１０三角形各边中点、高的垂足、垂心与各顶点连线的中点，九点共圆（九点圆、欧拉圆或费尔巴哈圆*哲学家费尔巴哈的次兄，不要搞混）１１欧拉定理：三角形外心、重心、九点圆圆心、垂心依次共线（欧拉线）；１２库利奇（J.L.Coolidge）--大上（茂乔）定理：过圆上四点中任三点作三角形，这四个三角形九点圆圆心四点共圆，他被称作圆上四点构成四边形的九点圆；１３三角形三条内角平分线交于一点（内心），若三边为a、b、c，内切圆半径是（（s-a）*（s-b）*（s-c）/s）^0.5,面积是（（s-a）*（s-b）*（s-c）*s）^0.5--海伦公式，其中s是该三角形的半周长；１４三角形任一内角平分线与其余两顶点处的外角平分线三线共点（旁心，三个）；１５泰勒斯（Thales）定理：直径所对的圆周角为直角，（据说SAS、ASA、SSS也是泰勒斯发现的）；１６希波克拉茨（Hippocrates）定理：直角三角形ABC中，角C为直角，在斜边AB的同侧分别以BC、AC、AB为直径作半圆分别记为半圆AC、半圆AB和半圆BC，用半圆AC减去半圆AC与半圆AB公共部分得到月形AC，用半圆BC减去半圆BC与半圆AB公共部分得到月形BC，则月形BC与月形AC的面积之和与三角形ABC的面积相等；１７巴布斯定理（Pappus定理有两个，这是其一）：三角形ABC中，P为BC边中点，则AB^2+AC^2=2（AP^2+BP^2），这个定理又叫中线定理；１８斯图尔特定理（有些书翻译成斯特华特定理，Stewart）：三角形ABC中，P内分BC为m：n，则nAB^2+mAC^2=(m+n)AP^2+(mn/(m+n))BP^2，当m：n为1：1时，即为巴布斯定理；１９波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，AB中点M和对角线交点E两点确定的直线ME与CD垂直；２０阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（≠1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C 和外分点D 两点所连线段CD为直径的定圆周上；２１托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD，托勒密定理的逆定理也成立，托勒密定理推广：任意的四边形ABCD，有AB×CD+AD×BC≥AC×BD；２２以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形；２３爱尔可斯定理1（Echols）：若△A1B1C1和三角形△A2B2C2都是正三角形，则由线段A1A2、B1B2、C1C2的中心构成的三角形也是正三角形；２４爱尔可斯定理2：若△A1B1C1、△A2B2C2、△A3B3C3都是正三角形，则由三角形△A1A2A3、△B1B2B3、△C1C2C3的重心构成的三角形是正三角形；２５梅涅劳斯定理（Menelaus）：设△ABC的三边BC、CA、AB所在直线和一条不经过它们任一顶点的直线的分别交于为P、Q、R三点，则有(BP/PC)×(CQ/QA)×(AR/RB)=1,梅涅劳斯定理的逆定理也成立，若我们使用有向线段来描述这个问题，等式右侧的常数是-1；２６应用25，我们可以得到：设△ABC的∠A的外角平分线交边BC于P、∠C的平分线交边AB于R，∠B的平分线交边CA 于Q，则P、Q、R三点共线；２７应用25，我们可以得到：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线；２８塞瓦定理（Ceva）：设△ABC的三个顶点A、B、C的与不在三边所在直线上一点S分别确定的三条直线AS、BS、C S分别与边BC、CA、AB所在直线交于P、Q、R三点，则(BP/PC)×(CQ/QA)×(AR/RB)=1,显然我们可以用它来证明三角形三条中线交于一点，塞瓦定理的逆定理也成立，这个定理写成有向线段的形式，等式不变；２９应用28，我们可以得到：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，BE和CD交于S，AS经过BC的中点M；３０△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT三线共点；３１西摩松定理（Simson，当然我们知道这个定理不应算在他的名下）：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB 所在直线引垂线，垂足分别是D、E、R，则D、E、R三点共线（叫西摩松线）西摩松定理的逆定理也成立；３２史坦纳定理（Steiner）：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中点；３３应用32，我们可以得到：△ABC的外接圆上的一点P的关于三边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H四点共线（称作点P关于△ABC的镜象线，显然该直线与西摩松线平行）；３４波朗杰--藤下定理：P、Q、R在△ABC的外接圆上，则P、Q、R分别关于△ABC的三条西摩松线三线共点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏)，（书中没有注明波朗杰、藤下二人的来历）；３５波朗杰--藤下定理推论1：P、Q、R在△ABC的外接圆上，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点S，则A、B、C 三点关于△PQR的的西摩松线也交于S；３６波朗杰--藤下定理推论2：在推论1（35）中，三条西摩松线的交点S是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心H1 和其余三点所作的三角形的垂心H2 所连线段H1H2的中点；３７波朗杰--藤下定理推论3，有贺(？)定理：由35，l是△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，若弦QR 与ｌ互相垂直，则点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点；３８波朗杰--藤下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，垂足分别是D、E、F，且BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点共圆，这时L、M、N三点关于△DEF的三条西摩松线共点；３９△ABC的外接圆直径两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上；４０安宁定理：四点共圆，作每一点关于以其他三点为顶点三角形的西摩松线，此四线共点；４１卡诺（L.N.M.Carnot）定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线；４２奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是A1、B1、C1，在△ABC的外接圆取一点P，则PA1、PB1、PC1与△ABC的三边BC、CA、AB所在直线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线；４３设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和三边BC、CA、AB所在直线的分别交于是D、E、F，则D、E、F三点共线；４４他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW与边BC、CA、AB所在直线的交点分别为D、E、F，则D、E、F三点共线（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC^2=OQ×OP，即OC是OQ、OP的比例中项，则称P、Q两点关于圆O互为反点）；４５朗古来定理：圆上四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这四个三角形的西摩松线，再从P向这四条西摩松线引垂线，则四垂足共线；４６自三角形各边中点，分别向所对顶点处的外接圆切线引垂线，三条垂线交于九点圆圆心；４７ｎ点共圆，任ｎ－１点重心向其余一点处切线引垂线，此ｎ条垂线共点；４８康托尔（M.B.Cantor）定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点;４９康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，作M和N分别关于三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的两条西摩松线的交点，此四点共线（康托尔线）；５０康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，而l、m、n分别是M、N两点，L、N两点，M、L 两点的关于四边形ABCD的康托尔线，则l、m、n三线共点（康托尔点）；５１康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC、ABCD的康托尔点五点共线（康托尔线），类似的这组定理可以无限迭代下去；５２费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切；５３莫利（F.Morley，通译莫莱）定理：任三角形的三个内角三等分，靠近边的两条三分角线相一个交点分别为ABC，则三角形ABC是正三角形（莫利正三角形）；５４牛顿（这个被苹果砸到头的第二任卢卡斯不必介绍了吧）定理1：四边形两组对边的延长线的交点所连线段的中点，两条对角线的中点，三点共线（牛顿线）；５６牛顿定理2：任一圆的圆心，外切四边形的两条对角线的中点，三点共线；58、笛沙格（G.Desargues）定理：两个三角形若对应点连线共点，则对应边交点（如果有）共线；５９巴布斯定理（这是第二个）：两条相异直线ａ、ｂ，ａ上有Ａｉ（ｉ＝１，２，３）三点，ｂ上有Ｂｉ（ｉ＝１，２，３）三点，则ＡｉＢｊ与ＢｉＡｊ（ｉ≠ｊ，ｉ，ｊ＝１，２，３）所交三点Ｃｉ（ｉ＝１，２，３）共线；６０巴斯加（Pascal）定理与布利安松（Brianchon）定理：圆内接六边形对边交点共线-圆外切六边形相对顶点连线共点.----------------------------------烟花绚烂，总算在除夕写完这篇《遗忘》的笔记（特意将书中第十三章调和点组扣掉，好给以后留个念想），满世温馨却独孤我一人，就把这篇笔记当作我送给自己的新年礼物吧，希望今年我可免去些执着，添几缕牵挂，余愿足矣。
欧拉定理
为 R 和 r , 则两圆的圆心距为
I , 则 L 为 BC 弧的中点 . M , 过 I 作 ID AB , D
A
为垂足 , 则 ID r .易证 Rt ADI Rt MBL . ID BL AI ML 1 2 IBL 1 2 又将 OI 延长交外接圆于 ABC CBL A 1 2 1 2 P , Q 两点 , 则 ABC A ABC , 即 ID ML AI BL . 2 Rr AI BL
FDE 2 1 FQH 为直角三角形
, Q 为 BH 的中点 5 6 , 6 7 , 5 7
由 Q , L , D , E 四点共圆得
QL 平行 HC , L 为 BC 的中点 同理 : P , R 为 AH , CH 的中点 , M , N 为 AC , AB 中点 故 D , E , F , M , N , L , P , Q , R 九点共圆 .
欧拉定理
: 设 ABC 的外心 , 重心 , 垂心 , 分别为 O , G , H
则 O , G , H 三点共线 , 且 HG 2 GO
证明 : 延长 AH , AG 分别交 BC 于 D , M , 则 AD BC M 为 BC 的中点 .连接 OM , 则 OM BC , OM 平行 AD 为了证明 O , G , H 三点共线 , 只须证明 AH 2 OM . 为此 , 延长 CO 交外接圆于 P , 连接 PB , PA .由于 CP 是
证明 : 设 ABC 的外心为 O , 重心为 G , 垂心为 H , 则 O , G , H 三点共线
A
.
MN 平行 BC , 又 OL BC , OL MN 的垂心 又因 LMN 的垂心就是 ABC 的重心 G ,
理科数学-2024届新高三开学摸底考试卷(全国通用)(解析版)
2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）理科数学本试卷共22题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目1．已知全集{}{}1,2,3,4,5,6,1,4,5,6U A ==,{}1,2,3,5B =,则5∉（）A ．()U AB ðB ．()U B AðC ．A BD ．A B【答案】A【解析】由题设{4,6}U B =ð,故(){4,6}U B A =I ð,(){1,4,5,6}U B A =U ð,{1,2,3,4,5,6}A B = ,{1,5}A B = ,所以5∉()U A B ð,故选A.2．复数2i1ia z -+=+在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】B 【解析】()()()()2i 1i 2i 22i 1i 1i 1i 22a a a a z -+--+-+===+++-,因为复数z 对应点在虚轴上,所以202a -=,解得2a =.故选B.3．已知2022年第1季度农村居民人均消费支出为4391元,为本季度农村居民人均可支配收入的76%,本季度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示,根据饼状图,则下列结论正确的是（）A ．财产净收入占农村居民人均可支配收入的4%B ．工资性收入占农村居民人均可支配收入的40%C ．经营净收入比转移净收入大约多659元D ．财产净收入约为173元【答案】D【解析】由题知,农村居民人均可支配收入为43910.765778÷≈,工资性收入占农村居民人均可支配收入的2543577844%÷≈,财产净收入占农村居民人均可支配收入的百分比为10.440.320.213%---≈,故A 错、B 错；经营净收入与转移净收入差为()57780.320.21636⨯-≈元,故C 错误； 财产净收入为57780.03173⨯≈元,故D 正确.故选D.4．已知a b ，是平面内两个非零向量,那么“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】若a b ∥,则存在唯一的实数0μ≠,使得a b μ= ,故a b b b b λμλμλ+ =+=+,而()||||||||a b b b b λμλλμ++ ==+,存在λ使得λμλμ+=+成立,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的充分条件,若0λ≠且||||||a b a b λλ+=+ ,则a 与b λ 方向相同,故此时a b ∥,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的必要条件,故“a b ∥”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+”的充要条件,故选C.5．已知3sin 375︒≈,）A ．34B ．43C．4D．3【答案】B【解析】因为3sin 375︒≈,所以4cos375︒=≈,sin 82︒︒+=()()sin 53sin cos 53cos 53sin sin 4545454535︒-︒︒︒︒-︒︒︒+=-cos 45cos sin 53cos 5345︒︒︒︒=()()4sin 9037cos37453cos 9037sin 3735-==︒︒︒-︒≈=︒︒.故选B.6．某个函数的大致图象如图所示,则该函数可能是（）A ．21cos 41x xy x =+B ．22sin 1x y x =+C ．22(e e )1x x y x -+=+D ．32sin 1x xy x -+=+【答案】B【解析】4个选项中的函数定义域均为R,设该函数为()f x ,对于A,()()()()2211cos cos 44,,11x x x xf x f x f x f x x x -=-==--++,故21cos 41x x y x =+为奇函数,且()40f >,对于B,()()()222sin 2sin ,,11x x f x f x f x x x -=-==-++故()f x 为奇函数,()2sin 44017f =<,对于C,()()()()222(e e )2(e e ),,11x x x x f x f x f x f x x x --++=-==-++,故()f x 为偶函数,对于D,()()()3322sin sin ,11x x x x f x f x f x x x -+-=-==-++，故()f x 为奇函数,()64sin44117f -+=<-,由图知函数为奇函数,故排除C ；由()40f <,排除A,由()41f >-,排除D,故选B ．7．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing 比赛半决赛中,来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了45︒之后,表面积增加了（）A ．54B．54-C．108-D．81-【答案】C【解析】如图,转动了45︒后,此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积,显然小三角形为等腰直角三角形,设直角边x ,,则有23x =,得到32x =-,由几何关系得：阴影部分的面积为21127(324S ==所以增加的面积为1271616(1084S S ===-故选C.8．设M 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点,P 是C 上的一个动点．当P 运动到下顶点时,||PM 取得最大值,则C 的离心率的取值范围是（）A．2⎫⎪⎪⎣⎭B．0,2⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎝⎦【答案】B【解析】设()00,P x y ,()0,M b ,因为2200221x y a b+=,222a b c =+,所以()()2223422222220000022221y c b b PMx y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0b y b -≤≤,由题意知当0y b=-时,2PM 取得最大值,所以32b b c -≤-,可得222a c ≥,即212e <,则0e <≤．故选B ．9．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC ,4AB AC ==,点(1,3)B -,点(4,2)C -,且其“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切.则圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6【答案】A【解析】点D 为BC 中点,在ABC 中,4AB AC ==,所以BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一,则ABC 的“欧拉线”为AD ,因为点()1,3B -,点()4,2C -,所以31,22D ⎛⎫⎪⎝⎭,因为直线BC 的斜率为32114+=---,所以AD 斜率为1,方程为1322y x -=-,即10x y --=,因为“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切所以圆心(,3)a a -到“欧拉线”,r r ==圆心(,3)a a -到直线30x y -+=的距离为=所以圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为=故选A.10.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为正方形,12,1AA AB ==,P 为1CC 的中点,过,,A B P 三点作平面α,则该四棱柱的外接球被平面α截得的截面圆的周长为（）A B C ．2πD ．2【答案】D【解析】由题意知直四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球的半径122R ==如图,取1DD 的中点E ,连接,,AE PE BP ,易知四边形ABPE 为矩形,且平面α即为平面ABPE ,分别取11,AA BB 的中点,M N ,连接,,MN NP ME ,则易得四边形MNPE 为正方形,由四棱柱的对称性可知,其外接球的球心O 即为正方形MNPE 的中心,取ME 的中点1O ,连接1O O ,则11//,O O EP O O ⊄平面ABPE ,EP ⊂平面ABPE ,所以1//O O 平面ABPE ,故球心O 到平面APE 的距离与1O 到平面APE 的距离相等,过点1O 作1O H AE ⊥,垂足为H ,易知AB ⊥面11AA D D ,1O H ⊂面11AA D D ,故1AB O H ⊥,又AB ⋂,,AE A AB AE =⊂平面ABPE ,所以1O H ⊥平面ABPE ,又1O H =1sin 454O E ︒=,所以球心O 到平面APE 的距离为4,由球的性质知,截面圆的半径r =4==,所以截面圆的周长为2ππ2r =.故选D.11.若直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切,则12k k 的值为（）A ．12B ．1C ．e D ．2e 【答案】B【解析】设直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切于点()11,e xx ,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切于点()22,ln x x ,则11e x k =,且111e 11x k x +=+,所以11e 1xx =,221k x =,且222ln 11x k x +=+,所以22ln 1x x =,令()ln f x x x =,()1ln f x x '=+,当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时,()0f x '<,()f x 单调递减,当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x ¢>,()f x 单调递增,且()10f =,()0,0x f x →→,所以当()0,1x ∈时,()0f x <,因为()222ln 1f x x x ==,()111e e 1x xf x ==,即()()12e 10x f x f ==>,所以()()121,,e 1,x x ∞∞∈+∈+,所以12=e x x ,故11221e 1xk k x =⋅=,故选B.12．已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ,(1)f x +为偶函数,且1(3)()f x g x -+=,1()(1)f x g x --=,则下面判断错误的是()A ．()f x 的图象关于点(2,1)中心对称B ．()f x 与()g x 均为周期为4的周期函数C ．20221()2022i f i ==∑D ．2023()0i g i ==∑【答案】C【解析】因为()1f x +为偶函数,所以()()11f x f x +=-+①,所以()f x 的图象关于直线1x =轴对称,因为()()11f x g x --=等价于()()11f x g x --=②,又()()31f x g x -+=③,②+③得()()132f x f x -+-=④,即()()132f x f x +++=,即()()22f x f x +=-,所以()()()422f x f x f x +=-+=,故()f x 的周期为4,又()()13g x f x =--,所以()g x 的周期也为4,故选项B 正确,①代入④得()()132f x f x ++-=,故()f x 的图象关于点()2,1中心对称,且()21f =,故选项A 正确,由()()22f x f x +=-,()21f =可得()()01,41f f ==,且()()132f f +=,故()()()()12344f f f f +++=,故20221()5054(1)(2)2021(1)i f i f f f ==⨯++=+∑,因为()1f 与()3f 值不确定,故选项C 错误,因为()()31f x g x -+=,所以()()()()()()10,30,013,211g g g f g f ===-=-,所以()()()()022130g g f f ⎡⎤+=-+=⎣⎦,故()()()()01230g g g g +++=,故20230()50600i g i ==⨯=∑,所以选项D 正确,故选C .二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．53x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是__________.【答案】-15【解析】5555213C (3)C rr rr r rr T xxx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,令523-=r 得1r =,所以3x 的系数为511(3)C 15-=-.14．某高校鼓励学生深入当地农村拍摄宣传片,带动当地旅游业的发展,帮助当地居民提升经济收入.若统计发现在某一时段内,200部宣传片的浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,则该时段内这200部宣传片中浏览量在(]0.9,1.8万次的个数约为______.（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈,(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈）【答案】164【解析】因为浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,所以浏览量X （万次）的均值 1.5μ=,方差20.09σ=,0.3σ=,故()(1.2 1.8)0.6827P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,(22)(0.9 2.1)0.9545P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,故[]1(0.9 1.8)(1.2 1.8)(0.9 2.1)(1.2 1.8)0.81862P X P X P X P X <≤=<≤+<≤-<≤≈.故浏览量在(]0.9,1.8万次的作品个数约为2000.8186164⨯≈.15．如图,四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,AC 平分DAB ∠,π3ABC ∠=,33AB BC ==,则sin DAB ∠的值_______.【答案】14【解析】在ABC 中,π,3,13ABC AB BC ∠===,由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⨯⨯2213123172=+-⨯⨯⨯=,所以AC .由正弦定理得sin sin BC ACBAC ABC=∠∠,sinsin14BC ABCBACAC∠∠⋅==.即cos BAC∠=.又因为AC平分DAB∠,所以sin2sin cos14DAB BAC BAC∠∠∠==.16．已知抛物线24y x=的焦点为F,点,P Q在抛物线上,且满足π3PFQ∠=,设弦PQ的中点M到y轴的距离为d,则1PQd+的最小值为__________．【答案】1【解析】由抛物线24y x=可得准线方程为=1x-,设|||,0,,|(0)PF a QF b a b==>>,由余弦定理可得22222||||||2||||cosPQ PF QF PF QF PFQ a b ab=+-⋅∠=+-,由抛物线定义可得P到准线的距离等于PF,Q到准线的距离等于||QF,M为PQ的中点,由梯形的中位线定理可得M到准线=1x-的距离为11(||||)()22PF QF a b+=+,则弦PQ的中点M到y轴的距离1()12d a b=+-,故2222222||()344(1)()()PQ a b ab a b abd a b a b+-+-=⨯=⨯+++,又2()0,20,4,a b a ba b ab++>>≤∴≤,则222223()()||441(1)()a ba bPQd a b++-≥⨯=++,当且仅当a b=时,等号成立,所以1PQd+的最小值为1.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）．如图,四棱锥-P ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB CD∥,12AD DC AB==,且平面PAD⊥平面ABCD,PD AD⊥.(1)求证：BD PA ⊥；(2)PB 与平面ABCD 所成的角为30 ,求二面角--A PB C 的正弦值.【解析】（1）证明：取AB 的中点E ,连接CE ,则由题意知BCE 为正三角形,所以60ABC ∠= ,由等腰梯形知120BCD ∠= ,设2AD CD BC ===,则4AB =,23BD =,故222AD BD AB +=,即得90ADB ∠=o ,所以AD BD ⊥,因为平面PAD ⊥平面ABCD ,PD AD ⊥,平面PAD ⋂平面ABCD AD =,PD ⊂平面PAD ,所以PD ⊥平面ABCD ,又BD ⊂平面ABCD ,所以PD BD ⊥,因为AD PD D =I ,AD ,PD ⊂平面PAD ,所以BD ⊥平面PAD ,因为PA ⊂平面PAD ,所以BD PA ⊥.（2）由（1）得DA ,DB ,DP 两两垂直,以D 为坐标原点,DA ,DB ,DP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,因为PD ⊥平面ABCD ,所以PB 平面ABCD 所成的角为30PBD ∠= ,设2AD CD BC ===,则23DB =2PD =,则()2,0,0A ,()002P ,,,()0,23,0B ,()3,0C -,则()2,0,2PA =-,()0,23,2PB =- ,()3,2PC =--,设平面PAB 的法向量为(),,m x y z=,则00PA m PB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即220320x z z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩,取3z =,则3,1,3m = ,设平面PBC 的法向量为(),,n a b c = ,则00PC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020a c c ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩,取c =则(n =,所以1cos ,7m n m n m n ⋅==,所以二面角A PB C --7=.18.（12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1n a +=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)能否从{}n a 中选出以1a 为首项,以原次序组成的等比数列()121,,,,1m k k k a a a k = .若能,请找出公比最小的一组,写出此等比数列的通项公式,并求出数列{}n k 的前n 项和n T ；若不能,请说明理由.【解析】（1）1n a +2428n n n S a a =+-当1n =时,211114284S a a a =+-=,即()21112800a a a --=>,得14a =或12a =-（舍去）.由2428n n n S a a =+-,……①得()21114282n n n S a a n ---=+-≥,……②-①②得：2211422n n n n n a a a a a --=-+-,化简得()()1120n n n n a a a a ----+=.因为0n a >,所以120n n a a ---=,()122n n a a n -=+≥,即数列{}n a 是以4为首项,2为公差的等差数列,所以()22n a n n *=+∈N .（2）存在.当114k a a ==,238k a a ==时,会得到数列{}n a 中原次序的一列等比数列()121,,,,,1m k k k a a a k = ,此时的公比2q =,是最小的,此时该等比数列的项均为偶数,均在数列{}n a 中；下面证明此时的公比最小：114k a a ==,假若2k a 取26a =,公比为6342=,则323492k a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭为奇数,不可能在数列{}n a 中.所以11422m m m k a -+=⋅=.又1222m m k m a k +=+=,所以21mm k =-,即{}n k 的通项公式为()12n n k n -=∈*N ,故()1212122121 (212212)n nn n T n n +-=-+-++-=-=---.19.（12分）人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某公司成立了,A B 两个研究性小组,分别设计和开发不同的AI 软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的AI 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为12,P P .为测试AI 软件的识别能力,计划采取两种测试方案.方案一：将100首音乐随机分配给,A B 两个小组识别,每首音乐只被一个AI 软件识别一次,并记录结果；方案二：对同一首歌,,A B 两组分别识别两次,如果识别的正确次数之和不少于三次,则称该次测试通过.(1)若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的35；在正确识别的音乐数中,A 组占23；在错误识别的音乐数中,B 组占12.（i ）请根据以上数据填写下面的22⨯列联表,并通过独立性检验分析,是否有95%的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？正确识别错误识别合计A 组软件B 组软件合计100（ii ）利用（i ）中的数据,视频率为概率,求方案二在一次测试中获得通过的概率；(2)研究性小组为了验证AI 软件的有效性,需多次执行方案二,假设1243P P +=,问该测试至少要进行多少次,才能使通过次数的期望值为16？并求此时12,P P 的值.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d K -=++++,其中n a b c d =+++.()20P K x ≥0.1000.0500.0100.0050.0010x 2.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）（i ）依题意得22⨯列联表如下：正确识别错误识别合计A 组软件402060B 组软件202040合计6040100因为22100(40202020)25 2.778 3.841604060409K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯,且()2 3.8410.05P K ≥=,所以没有95%的把握认为软件类型和是否正确识别有关；（ii ）由（i ）得1221,32P P ==,故方案二在一次测试中通过的概率为2222122122222222221211214C 1C C C 1C C 332322329P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）方案二每次测试通过的概率为()()()()()()222212212221122212222122C 1C C C 1C C P P P P P P P P P =⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅1212833PP PP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21212833PP PP =-+2124163927PP ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,所以当1249PP =时,P 取到到最大值1627,又1243P P +=,此时1223P P ==,因为每次测试都是独立事件,故n 次实验测试通过的次数(),X B n P ,期望值()16E X nP ==,因为1627p ≤,所以1627162716n p =≥⨯=所以测试至少27次,此时1223P P ==.20.（12分）已知双曲线:C ()22210y x b b-=>的左、右焦点分别为1F ,2F ,A 是C 的左顶点,C 的离心率为2．设过2F 的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点,其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线12x =于M 、N 两点,证明：22MF NF ⋅ 为定值；(3)是否存在常数λ,使得22PF A PAF λ∠=∠恒成立？若存在,求出λ的值；否则,说明理由．【解析】（1）由题可得1,2c a a ==,故可得2c =,则222413b c a =-=-=,故C 的标准方程为2213y x -=.（2）由（1）中所求可得点A ,2F 的坐标分别为()()1,0,2,0-,又双曲线渐近线为y =,显然直线PQ 的斜率不为零,故设其方程为2x my =+,m ⎛≠ ⎝⎭,联立双曲线方程2213y x -=可得：()22311290m y my -++=,设点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,则121222129,3131m y y y y m m +=-=--,()121224431x x m y y m +=++=--,()221212122342431m x x m y y m y y m --=+++=-；又直线AP 方程为：()1111y y x x =++,令12x =,则11321y y x =⋅+,故点M 的坐标为1113,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；直线AQ 方程为：()2211y y x x =++,令12x =,则22321y y x =⋅+,故点N 的坐标为2213,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；则22MF NF ⋅ 12123333,,221221y y x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅-⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭212212122299999313444414413131y y m m x x x x m m -=+⋅=+⋅--+++-+--9990449=+⋅=-故22MF NF ⋅ 为定值0.（3）当直线PQ 斜率不存在时,对曲线22:13y C x -=,令2x =,解得3y =±,故点P 的坐标为()2,3,此时290PF A ∠=︒,在三角形2PF A 中,223,3AF PF ==,故可得245PAF ∠=︒,则存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；当直线PQ 斜率存在时,不妨设点P 的坐标为(),x y ,2x ≠,直线2PF 的倾斜角为α,直线PA 的倾斜角为β,则2PF A πα∠=-,2PAF β∠=,假设存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立,即2παβ-=,则一定有()22tan tan tan tan 21tan βπααββ-=-==-,也即2221PA PF PA k k k -=-；又22PF y k x -=--；()()()22222221211111PA PA yy x k x y k x y x ++==-+--+；又点P 的坐标满足2213y x -=,则2233y x =-,故()()()()222222*********PA PA y x y x k k x y x x ++==-+-+-+()()()()221212242212y x y x yx x x x x ++===--++--+-2PF k =-；故假设成立,存在实数常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；综上所述,存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠恒成立.21.（12分）已知函数()()2111ln 22f x x a x b x x x ⎛⎫=----+ ⎪⎝⎭,其中,R a b ∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 存在三个零点123,,x x x （其中123x x x <<）.（i ）若1a >,函数()1ln 2g x x x =+,证明：()102b g a a a<-<-；（ii ）若01a <<,证明：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()()()310,,x x a f x x ∞--+='-.①若1a >时,01x <<11x a <<a x a >()f x '-0+0-()f x 极小值 极大值②若1a =时,()0f x '≤恒成立,()f x 单调递减,③若01a <<时0x a<<a 1<<a x 11x >()f x '-0+0-()f x 极小值极大值 ④若0a ≤时,()0,1x ∈时,()()0,f x f x '<单调递减；()1,x ∈+∞时,()()0,f x f x '>单调递增.综上所述,当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减；当1a =时,()()0,,x f x ∞∈+单调递减；当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,(),1x a ∈,()f x 单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减；当0a ≤时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x f x ∞∈+单调递增.（2）（i ）由（1）知当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减.所以()f x 存在三个零点,只需()0f a >和()10f <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭,整理得()1ln 2b a g a a >+=且12b a <.此时,()11111ln ln 22222b g a a a a a a a a a a --+<--+-=--,令()1ln 2h a a a =--,易知()h a 在()1,+∞上单调递减有()()1102h a h <=-<,所以()102b g a a a <-<-.（ii ）由（1）知,当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,()(),1,x a f x ∈单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减所以12301x a x x <<<<<.若()f x 存在三个零点,只需()10f >和()0f a <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭,整理得11ln 22a b a a<<+,因为()2111ln 22a a f x x b x x x +=-+--+,设1t x =,则方程2111ln 022x a x b x x x +-+--+=,即为()2111ln 022a a t t x t b -+++-+=记123123111,,t t t x x x ===,则123,,t t t 为方程()2111ln 022a a t t t t b -+++-+=三个不同的根,设313111x t k t x a==>>.要证：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭,即证：()()21313221138112381a a t t t t a a a a ++⎛⎫++--< ⎪++⎝⎭,即证：()()21321321138112381a a t t a a a a t t +++--<+++,而()21111111ln 022a a t t t t b -+++-+=且()23333111ln 022a a t t t t b -+++-+=,所以()()()22131313ln ln 102a t t t t a t t -+--+-=,所以131313ln ln 222t t t t a a t t -+--=-⨯-,即证：()()21321313ln ln 2113811381t t a a a t t a a a t t -++-⨯<-+++,即证：()()11323213ln1138110681t t t t a a t t a a ++++>-++,即证：()()221ln 11381101681k ka a k a a ++++>-++,记()()1ln ,11k k k k k ψ+=>-,则()2112ln 0(1)k k k k k ψ'⎛⎫=--> ⎪-⎝⎭,所以()k ψ在()1,+∞为增函数,所以()()k a ψψ>所以()()()()22221ln 1ln 113811113811011681681k ka aa a a a k a a a a a +++++++>+>--++++,设()()()()()221113811ln ,016181a a a a a a a a a ω-++=+<<+++,则()()6543222301412561413010(1)81a a a a a a a a a a a ω'++++++=>+++,所以()a ω在()0,1上是增函数,所以()()10a ωω<=所以()()()()221113811ln 06181a a a a a a a -+++<+++,即()()221ln 1138111681a aa a a a a ++++>-++所以若12301,a x x x <<<<,则()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为2240x y x +-=．曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数）．以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；(2)若射线θα=（0ρ≥,π02α<<）交曲线1C 于点P ,直线()π2θαρ=+∈R 与曲线1C 和曲线2C 分别交于点M 、N ,且点P 、M 、N 均异于点O ,求MPN △面积的最大值．【解析】（1）把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入2240x y x +-=,得曲线1C 的极坐标方程为24cos ρρθ=,即4cos ρθ=．将cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩中的参数消去,得曲线2C 的普通方程为2220x y y +-=,把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入,得曲线2C 的极坐标方程为22sin ρρθ=,即2sin ρθ=．（2）由题得4cos OP α=,3π4cos 4sin 2OM αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,π2sin 2cos 2ON αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,4sin 2cos NM OM ON αα=+=+,因为OP MN ⊥,所以()()2114sin 2cos 4cos 24sin cos 2cos 22MPN S MN OP αααααα=⨯=+⋅=+△()()22sin 2cos 21222αααϕ=++=++≤,其中1tan 2ϕ=,π02ϕ<<,当π22αϕ+=,即π42ϕα=-时,MPN △的面积取得最大值2．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()1g x x =-的最小值为m ,()()f x g x x =+的最小值为n ．实数a ,b ,c 满足a b c m ++=,abc n =,a b ¹,0c >．(1)求m 和n ；(2)证明：a b +<【解析】（1）函数()1g x x =-的最小值为0m =,此时1x =,当1x >时,()121f x x x x =-+=-,当01x ≤≤时,()11f x x x =-+=,当0x <时,()121f x x x x =--=-+,函数()21,111,0112,0x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+=≤≤⎨⎪-<⎩,函数在(,0]-∞上单调递减,在[1,)+∞上单调递增,当01x ≤≤时,()1f x =,所以函数()f x 的最小值为1n =,故0,1m n ==.（2）由（1）知0a b c ++=,1abc =,因为0a b c +=-<,10ab c=>,所以a<0,0b <,0a ->,0b ->,1()()a b c ab-+-==,又因为2()()()2a b ab a b a b --⎛⎫=--<≠ ⎪⎝⎭,所以212ab a b ⎛⎫> ⎪--⎝⎭,又1()()a b ab -+-=,所以3[()()]4a b -+->,所以()()a b -+->a b +<。
欧拉线的证明向量
欧拉线的证明向量欧拉线是三角形中的一条特殊线，通过三角形的重心、垂心和外心。
欧拉线的证明可以使用向量的方法来完成。
假设三角形ABC的三个顶点分别为A(x1, y1), B(x2, y2)和C(x3, y3)。
三角形的重心G可以通过向量的平均值来计算出来：G = (A + B + C) / 3三角形的垂心H可以通过以下公式来计算：H = A + B + C - 2 * (A × B + B × C + C × A) / ((B - C) × (A - B))其中，×表示向量的叉积。
三角形的外心O可以通过以下公式来计算：O = (B - A) × (C - A) × (C - B) + A + B + C现在我们来证明欧拉线通过G、H和O。
首先，我们可以证明欧拉线通过G。
显然，如果我们画出三角形ABC的中线，那么中点M将会是G的中垂线。
因此，如果我们能够证明欧拉线通过M，那么我们就能够证明欧拉线通过G。
现在假设D是BC的中点，E是AC的中点，F是AB的中点。
我们可以通过向量的平均值来计算出M：M = (D + E + F) / 3我们可以看到，M是D、E和F的加权平均值，其中每个点的权重都是1/3。
因此，M也是BC、AC和AB的加权平均值，其中每条边的权重都是1/3。
这意味着M和G是相等的，因此欧拉线通过M，从而欧拉线通过G。
现在我们需要证明欧拉线通过H和O。
根据欧拉线的定义，我们知道GH和OH分别垂直于AB和AC。
因此，我们只需要证明GH和OH 分别垂直于AC和AB，从而证明欧拉线通过H和O。
我们可以利用向量的叉积来计算GH和OH。
首先，我们可以计算出AB和AC的向量：AB = B - AAC = C - A然后，我们可以计算出它们的叉积：N = AB × AC现在我们可以计算出GH和OH：GH = N × ABOH = N × AC我们可以看到，GH和OH分别垂直于AC和AB，因为它们分别是N的叉积和AC或AB的叉积。
高中数学平面几何--三角形的五心的重要结论及经典例题
三角形“五心”的重要结论及经典例题1．重心(中线交点)①G 是△ABC 的重心⇔0GA GB GC ++= 证明 作图如右，图中GB GC GE +=连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GB GC GE +=代入GA GB GC ++=0，得GA EG +=0⇒2GA GE GD =-=-，故G 是△ABC 的重心.(反之亦然(证略))②1()3PG PA PB PC =++⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上的点).证明 PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+⇒3()()PG AG BG CG PA PB PC =+++++ ∵G 是△ABC 的重心∴GA GB GC ++=0⇒AG BG CG ++=0，即3PG PA PB PC =++由此可得1()3PG PA PB PC =++.(反之亦然(证略)例、已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证 △P 1P 2P 3是正三角形.(《数学》第一册(下)，复习参考题五B 组第6题)证明 由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =12-， 同理2OP ·3OP =3OP ·1OP =12-， ∴|12P P |=|23P P |=|31P P△P 1P 2P 3是正三角形.反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |.即O 是△ABC 所在平面内一点，1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正 △P 1P 2P 3的中心.三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别 作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′. 易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′，∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF . 例．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF . (1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′.AA 'F F 'GE E 'D 'C 'P C B D不妨设a ≥b ≥c ，有CF =2222221c b a -+， BE =2222221b ac -+，AD =2222221a cb -+.将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =a 23，BE =b 23，AD =c 23. ∴CF :BE :AD =a 23:b 23:c 23=a :b :c .故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′， ∴∆∆S S '＝(aCF )2. 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有∆∆S S '=43.∴22aCF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2⇒a 2+c 2=2b 2.2．垂心(高线交点)三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.H 是△ABC 的垂心⇔HA HB HB HC HC HA •=•=• 由()00HA HB HB HC HB HC HA HB AC HB AC ⋅=⋅⇔⋅-=⇔⋅=⇔⊥, 同理HC AB ⊥，HA BC ⊥.故H 是△ABC 的垂心.(反之亦然(证略))若H 是△ABC (非直角三角形)的垂心，则 S △BHC ：S △AHC ：S △AHB =tanA ：tanB ：tanC 故tanA ·HA +tanB ·HB +tanC ·HC =0 例、设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛) ABC DH ABCDO A A 12分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知13212sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4；由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2. 易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2，故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称. 同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.例、H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2. 求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)， ①又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2 =AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ② 而ABH AH∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A ,Aasin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有 A 21A=r 2+bca cb 2222-+·bc -(4R 2-a 2)=21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.∥=∥=H H HM AB B A A BC CC F12111222D E故有AA 1=BB 1=CC 1.3．外心(边垂直平分线交点，外接圆圆心)三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. O 是△ABC 的外心⇔|OA |=|OB |=|OC |(或OA 2=OB 2=OC 2)(点O 到三边距离相等) ⇔(OA +OB )·AB =(OB +OC )·BC =(OC +OA )·CA =0(O 为三边垂直平分线) 若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sinBOC ：sinAOC ：sinAOB =sin 2A ：sin 2B ：sin 2C故sin 2A ·OA 2sin 2B ·OB +sin 2C ·OC =0 例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP=NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点N 是△P ′PC 的外心.有∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ，∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC .∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似. (B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形O 1PO 2QO 3S 后再由外心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K =21(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2)=21∠PO 1S =∠A ；A B C PP MN 'A B C QK P O O O ....S 123同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC .4．内心(角平分线交点，内切圆圆心)三角形内切圆的圆心，简称为内心. O 是△ABC 的内心充要条件是()()()0||||||||||||AB ACBA BCCA CBOA OB OC AB AC BA BC CA CB •-=•-=•-=引进单位向量，使条件变得更简洁。
三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)
求证：△P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题）
证明：由已知+=-，两边平方得·=，
同理·=·=，∴||=||=||=，从而△P1P2P3是正三角形.
反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有++=0且||=||=||，即O是△ABC所在平面内一点，
则．
证明：，，
．
点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，
证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）
若与重合，则上式变0．
(四)．将平面向量与三角形外心结合考查
例7若为内一点，，则是的（）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故是的外心，选B。
点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。
点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。
变式：已知分别为的边的中点．则．
证明：
．．
变式引申：如图4，平行四边形的中心为，为该平面上任意一点，
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
事实上OB⊥CA故选答案D
例3：已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足
，则点O是三角形ABC的（）
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
事实上由条件可推出故选答案D
例4：设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，
动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）
三角形的欧拉线
所以 ,
故 AB ∶ AC∶ BC = 2∶ 2∶ 1. 例 5 如图 5 , 在锐角 △ABC 中 , ∠B =
30° , AD 、 B E 是两条高 , 点 H 是垂心 , 点 G 是
△AB H 的重心 ,直线 CG 交 AB 、 AD 于 M 、 N. 证明 : △AMN 是正三角形 . 讲解 : 如图 5 , 取 △AB H 的 外心 O , 易知点 C 是 △AB H 的 垂心 . 所以 , O 、 G 、C 三 点 共 线 ,且该直线是
OH = 3 OG.
2 2 2 2 因此 , OH = 9 R - ( a + b + c ) . 例 7 如图 7 , ⊙O 是 Rt △ABC 的内切
圆 , A′ 、 B′ 、 C′ 分别是三边上的切点 . 证明 : △A′ B′ C′ 的欧拉线平分斜边 AB .
图7
讲解 : 如图 7 , 联结 OA′ 、 OB′ 、 OC′ , 射线
H ,取重心 G ,则直线 GH 为 △ABC 的欧拉
令 SH = 1 ,则 DH = 2 , AS = SD = 3 , AH = AS + SH = 4. AH 4 因为 = = 2 ,由三角形重心性质知 HD 2
AG = 2. GK
故
AH AG = . HD GK
所以 , GH ∥BC ,即 △ABC 的欧拉线平行
CO 交 AB 、 A′ B′ 于 N、 S . 易知四边形 A′ CB′ O 为正方形 , 则 CS = SO , SA′ = SB′ , △A′ B′ C′ 的重心 G 在中线 C′ S 上. 设 △A′ B′ C′ 的欧拉线 GO 交斜边 AB 于 点 M . 观察 △SNC′ 及直线 MOG , 利用梅涅劳
欧拉线定理证法集粹
Ｂ
．
．
４ 解 析 证 法
Байду номын сангаас
Ａ Ｂ，Ｅ Ｈ Ｉ 为垂心 ，．Ｏ，Ｇ， 共线 ，且 ］ ＿ ． Ｈ
ＯＧ ： Ｇ Ｂ Ｃ
如 图７ ，建立平 面直角坐标 系 ，设 △Ａ ｃ Ｂ 三顶点坐标为Ａｂ ） （，Ｃ，
ＢＯ ｔ， （，） ， 分别为Ｂ 与 Ｂ （，１ Ｃａ （。Ｌ Ｎ ） ） ｃ Ａ 的中点， ｔ 】 ， 则 ：Ｍ － ｏ 直
１ 几 何 综 合证 法
圈４ 宙ｓ
Ｃ
３ 向量证法
证 法ｌ ：如图５ ，作Ｏ 上Ｂ ，Ｏ Ｌ Ｃ Ｎ上Ａ 。设 ＡＡ Ｃ Ｆ ｏ Ｂ Ｂ ｇ・ 与垂心 ６
Ｈ 的连线 交中线Ａ 于Ｇ，则 Ａ ［ Ｌ Ｃ！ ，设 一 ： 丽 ．Ｌ ｎ Ｈ Ｌ ～ ３ ． ｉＯ Ｈ ＯＨ ｆ —— Ｎ ～ Ｎ ｍ Ｏ ：— ． Ｏ — Ａ ＡＣ ： 一 ＋一 Ａ Ｈ ＨＣ Ｎ ＝一 Ｌ Ｎ 一 ＝ｎ ＋ＩＨ．而 ２ ＝ 。 Ｏ＋ Ｌ ， Ｏ 丽 Ｊ — Ａ
垂 心所在 的直线 为欧拉 直线 （ ｕｅ。Ｓｒｉｈ ｉｅ）。因此 ，这个定 Ｅ ｌｒ ｔ ｇ ｔ ｎ Ｓ ａ Ｌ
理 也被 称做欧拉 线定理 这是一 个具有研 究 意义的平 面儿何 著 名问 题 ，与三角形 的 “ ”紧密联 系 近 年来围绕欧拉线定理的研究和证 心 明十分 活跃 ，甚至高考 命题 中也 出现 了它 的身影 （ ｌ ２ ２） Ｍ 年北 京卷理 ２ 题 （Ｉ） （ ｌ Ⅱ），其中第 （ Ｉ） Ｉ 问更是深层次探究性地联 系欧拉线 问题 ，见文（】 ２ ０ 年安徽 省理 ｌ题 ） ２， （５ １ ５ 。 有关欧拉 线定理 的证明方法 ， ｉ 三 纳起 来大致有如下四类 ：
随 着高考命题 中其倚影 的出现 ，研究证 明欧拉线 问题 也
欧拉(Euler)线：
欧拉（Euler）线：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。
九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；。
已知PC的值若AE葛尔刚（Gergonne）点:△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。
西摩松（Simson）线：已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足，则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。
黄金分割：把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB) 与较小线段(BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。
帕普斯（Pappus）定理：已知点A1、A2、A3在直线l1上，已知点B1、B2、B3在直线l2上，且A1B2与A2B1交于点X，A1B3与A3B1交于点Y，A2B3于A3B2交于点Z，则X、Y、Z三点共线。
笛沙格（Desargues）定理：已知在△ABC与△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点O，BC与B'C'、CA与C'A'、AB与A'B'分别相交于点X、Y、Z，则X、Y、Z三点共线；其逆亦真摩莱（Morley）三角形：在已知△ABC三内角的三等分线中，分别与BC、CA、AB相邻的每两线相交于点D、E、F，则△DEF是正三角形，这个正三角形称为摩莱三角形。
帕斯卡（Paskal）定理：已知圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE延长线交于点G，边BC、EF延长线交于点H，边CD、FA延长线交于点K，则H、G、K三点共线。
托勒密（Ptolemy）定理：在圆内接四边形中，AB·CD＋AD·BC＝AC·BD（任意四边形都可！哇哈哈）斯图尔特（Stewart）定理：设P为△ABC边BC上一点，且BP：PC＝n：m，则m·(AB2)＋n·(AC2)＝m·(BP2)＋n·(PC2)＋（m＋n）(AP2)梅内劳斯定理：在△ABC中，若在BC、CA、AB或其延长线上被同一条直线截于点X、Y、Z，则(BX/XC)·(CY/YA)·(AZ/ZB)＝1阿波罗尼斯（Apollonius）圆一动点P与两定点A、B的距离之比等于定比m:n，则点P的轨迹，是以定比m:n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”。
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xb ab b 2 c )； ab ，于是的点 I 的坐标为 (b, y x c b c
经计算 k HI kGI ，即 G、H、I 三点共线。
9b 4 c 4 10b 2 c 2 10 abc2 a 2 c 2 9a 2b 2 18ab3 计算线段 GH 的距离为 ； 6c
GI 的距离为 即 GH
9b 4 c 4 10b 2 c 2 10 abc2 a 2 c 2 9a 2b 2 18ab3 ； 3c
1 GI 。 2
ab c , )； 3 3
c b b b2 c ，则垂线斜率 k AB ，直线 DH 可表为 y x ， c 2c 2 b c a a b 2 ab c 2 ，联立得 H 点坐标为（ ( , )； 2 2c 2
相似可知直线 EH 可表为 x
同理，联立直线 AI 和 CI 得
有关欧拉线性质的证明
证明：1）任意三角形外心、重心、垂心三点共线； 2）其外心与重心的距离等于重心与垂心距离的一半。 （注：欧拉线，即外心、重心、 垂心所在的直线。 ）
12
10
A
8
6
D
4
F H G I
2
B
5
C E
10 15 20 25 30
-2
作一任意三角形 ABC，然后以 B 为原点 BC 边为半径建立直角坐标系，于是可设 C 点 坐标为（a，0） 点坐标为（b，c） ，A 。 据重心性质可知点 G 的坐标为 ( 直线 AB 的斜率 k AB