第十一讲 空间几何体

第11讲│ 要点热点探究
[答案]
(1)D
(2) 2π
[解析] (1)该几何体的空间图形为正六棱锥(如图)，依题 3 意，底面边长为 1，高 AO＝ ×2＝ 3， 2 1 1 3 3 ∴V 锥＝ Sh＝ × ×6× 3＝ . 3 3 4 2 (2)由题意，圆锥的底面圆的半径为 1，母线长为 2，故圆 锥的侧面积为 S 侧＝πrl＝π×1× 2＝ 2π.
(2)由三视图可知，几何体为一个侧面和底面垂直的三棱 1 锥，如图所示，可知 S 底面＝ ×5×4＝10， 2 1 S 后＝ ×5×4＝10， 2 1 S 左＝ ×6×2 5＝6 5， 2 1 S 右＝ ×4×5＝10， 2 所以 S 表＝10×3＋6 5＝30＋6 5.
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[点评] 高考试题中求体积和表面积的试题往往与空间几 何体的三视图结合，首先要根据空间几何体的三视图还原空间 几何体，弄清楚空间几何体的结构再进行计算．体积的计算需 要空间几何体的底面积和高，多面体表面积的计算需要把各个 面的结构弄清楚，分别计算各个面的面积，求和得表面积．在 计算面积时要分清楚是表面积(全面积)，还是侧面积(下面的变 式 2)．
第11讲│ 要点热点探究
[思考流程] (1)(分析)欲求体积需知底面积和高 ⇨ (推理)据空 间几何体的三视图确定之 ⇨ (结论)按照体积公式进行计算； (2)(分析)欲求空间几何体的表面积需知各个面的结构 ⇨ (推 理)据三视图还原空间几何体后确定 ⇨ (结论)所有面的面积之和即 为所求．
第11讲│ 要点热点探究
第11讲│ 要点热点探究
3 1 3 OA′＝ .在 Rt△BCD 中，OB＝OC＝OD＝ BC＝ ， 2 2 2 3 所以四面体 A′－BCD 的外接球球心为 O，球的半径为 ， 2 所以 4 33 3 V＝ π ＝ π. 3 2 2
第11讲│ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
•规律 空间几何体的面积有侧面积和表面积之分， 表面积就是全 面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积．多面 体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之 外，都是其侧面积和底面面积之和． •技巧 解决组合体体积的基本方法就是“分解”， 将组合体分解 成若干部分，每部分是柱、锥、台、球或其一个部分，分别计算 其体积，然后根据组合体的结构，将整个的体积转化为这些“部 分体积”的和或差． •易错 棱锥、球的体积公式容易忽视公式系数.
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[答案]
(1)D
(2)B
[解析] (1)这个空间几何体是一条侧棱垂直底面的四棱锥， 其直观图为选项 D 中的图形． (2)正视图的外围轮廓是正方形，空间几何体的棱 AM 的 正视图为一条实线， DC1 的正视图为一条虚线， 棱 故为选项 B 中的图形．
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第11讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
第11讲 │ 主干知识整合
1.空间几何体的三视图 正视图、侧视图、俯视图．正视图与侧视图高平齐；侧视 图与俯视图宽相等；俯视图与正视图长对正．
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2．基本面积公式如下表 表面积相关公式
表面积相关公式 S 全＝2πr2＋2πrh S 全＝S 侧＋2S 底， 其中 S 圆 棱柱 (r：底面半径，h：高 c 柱 侧＝l 侧棱长· 直截面周长 或母线长) S 全＝πr2＋πrl 圆 棱锥 S 全＝S 侧＋S 底 (r：底面半径，l：母 锥 线长) S 全＝π(r′2＋r2＋r′l 圆 ＋rl)(r：下底半径， 棱台 S 全＝S 侧＋S 上底＋S 下底 台 r′：上底半径，l：母 线长) 球的表面积 S 球＝4πR2，其中 R 为球的半径．
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3．空间几何体的基本体积计算公式如下 体积公式 体积公式 圆 V＝πr2h V＝S 底· 高 h 柱 (r：底面半径，h：高) 1 2 圆 1 V＝ πr h 3 V＝ S 底· 高 h 3 锥 (r：底面半径，h：高) 1 1 V＝ (S′＋ S′S＋ 3 V＝ π(r′2＋r′r＋r2)h 3 圆 S)h (r′，r：上下底面半径，h： (S′，S：上下底面积， 台 高) h：高) 4 3 球的体积 V 球＝ πR ，R 为球的半径. 3
图 4－11－8 3 2 A. π B．3π C. π D．2π 2 3
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[答案]
A
[解析] 如图， BD 的中点 E， 的中点 O， 取 BC 连接 A′E， EO，A′O.因为 A′B＝A′D，所wk.baidu.com A′E⊥BD.因为平面 A′BD⊥平面 BCD，A′E⊥BD，平面 A′BD∩平面 BCD＝ BD，所以 A′E⊥平面 BCD，所以 A′E⊥EO.因为 A′B＝ 2 1 A′D＝CD＝1，BD＝ 2，所以 A′E＝ ，EO＝ ，所以 2 2
► 探究点二 空间几何体的表面积与体积 例 2 (1)[2012· 课程标准卷] 如图 4－11－5， 网格纸上小正方形 的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积 为( ) A．6 B．9 C．12 D．18
图 4－11－5
第11讲│ 要点热点探究
(2)[2012· 北京卷] 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表 面积是( ) A．28＋6 5 B．30＋6 5 C．56＋12 5 D．60＋12 5
第11讲│ 命题立意追溯
命题立意追溯
空间想象能力——认识三视图与直观图中的图形几何元素之 间的关系 示例 [2012· 辽宁卷] 一个几何体的三视图如图 4－11－9 所 示，则该几何体的表面积为________．
图 4－11－9
第11讲│ 命题立意追溯
[命题阐释] 本题立意是通过空间几何体的三视图考查空间 想象能力．题目中的视图中标注的数字反映了空间几何体的几何 元素的数量，解题中就是要把这种数量关系找出，重点需要空间 想象能力．
[答案] (1)B
(2)B
[解析] (1)由三视图可知， 该几何体是三棱锥， 其底面是 斜边长为 6 的等腰直角三角形， 有一条长为 3 的侧棱垂直于底 面(即三棱锥的高是 3)，可知底面等腰直角三角形斜边上的高 1 1 为 3，故该几何体的体积是 V＝ × ×6×3×3＝9，故选 B. 3 2
第11讲│ 要点热点探究
第11讲│ 要点热点探究
变式题 (1)一个空间几何体的三视图如图 4－11－7 所 示，其中，正视图中△ABC 是边长为 2 的正三角形，俯视图为 正六边形，那么该几何体的体积为( )
图 4－11－7 3 3 A. 3 B. C．3 D. 2 2 (2)已知圆锥的轴截面是斜边长为 2 的等腰直角三角形， 则 此圆锥的侧面积为________．
[思考流程] (分析)欲求棱锥体积需知底面积和高 ⇨ (推理) 底面积易求，高为球心到平面 ABC 距离的二倍 ⇨ (结论)求出 高后按照体积公式计算．
第11讲│ 要点热点探究
[答案] A
[解析] 设三角形 ABC 的中心为 M，球心为 O，则 OM⊥ 3 6 2 平面 ABC， OM＝ 1－ ＝ .所以此棱锥的高 h＝2OM 且 3 3 2 6 1 1 3 2 6 2 ＝ .所以此棱锥的体积 V＝ × ×1× × ＝ .故选 A. 3 3 2 2 3 6
第11讲│ 命题立意追溯
[跟踪练] 1．图 4－11－10 是一个空间几何体的三视图，则该 几何体的表面积是________．
第11讲 │ 一轮复习建议
预计 2013 年， 该部分的考查大致方向还是如此， 即以考 查空间几何体的三视图、表面积和体积计算的可能性较大， 也不排除考查多面体与球的可能． 复习建议：该部分的核心是识图，根据图形(三视图、直 观图)想象空间几何体的具体形状和其中涉及的线面位置关 系和其中数量关系，因此复习该部分时要充分重视识图和画 图的训练，注重空间想象能力的培养，在此基础上注意解决 问题的方法的总结(如三棱锥体积计算方法)．
(2)如图 4－11－3 是一正方体被过棱的中点 M，N 和顶点 A，D，C1 的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何 体的正视图为( )
图 4－11－3
图 4－11－4
第11讲│ 要点热点探究
[思考流程] (1)(分析)欲判断直观图只需得出空间几何体的 具体形状 ⇨ (推理)根据三视图得出空间几何体的具体形状 ⇨ (结论)结合选项作出判断． (2)(分析)欲得空间几何体的正视图只要根据视图的规则得 出即可 ⇨ (推理)根据正视图规则，按照“眼见为实、不见为 虚”的规则得出 ⇨ (结论)结合选项作出判断．
棱 柱 棱 锥
棱 台
第11讲│ 要点热点探究
要点热点探究
► 探究点一 空间几何体的三视图与直观图 例 1 (1)如图 4－11－1 是底面为正方形，一条侧棱垂直于 底面的四棱锥的三视图， 那么该四棱锥的直观图是图 4－11－2 中的( )
图 4－11－1 图 4－11－2
第11讲│ 要点热点探究
第11讲│ 要点热点探究
[点评] 球中内接一个多面体是课程标准卷的一个重要命 题点．如果一个三棱锥内接于一个球，那么它的各个面的三角 形都是圆的内接三角形， 球心到各个顶点的距离都等于球的半 径，可以类似本题求解球心到各个面的距离．
第11讲│ 要点热点探究
变式题 如图 4－11－8，平面四边形 ABCD 中，AB＝AD ＝CD＝1，BD＝ 2，BD⊥CD，将其沿对角线 BD 折成四面 体 A′－BCD，使平面 A′BD⊥平面 BCD，若四面体 A′－ BCD 顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )
第11讲 空间几何体
第11讲 │ 云览高考
题型(频率) 考例(难度) 2008宁夏、海南卷12(C) 考点1 空间 2009宁夏、海南卷11(A) 几何体的 选择(4) 三视图与 2011课程标准卷6(B) 直观图 2012课程标准卷7(A) 考点2 空间 2009宁夏、海南卷11(B) 几何体的 选择(3) 2010课程标准卷10(B) 表面积与 2012课程标准卷7(A) 体积 2008宁夏、海南卷15(B) 考点3 球与 选择(1) 2011课程标准卷15(B)， 多面体 填空(2) 2012课程标准卷11(C) 考点统计
第11讲│ 命题立意追溯
[思考流程] (分析)欲求空间几何体的表面积需知空间几何体 的结构和数量 ⇨ (推理)三视图还原空间几何体后可得 ⇨ (结论) 根据各个部分的面积和表面积的概念求解．
第11讲│ 命题立意追溯
[答案] 38
[解析] 由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了 一个等高的圆柱，其中长方体的长、宽、高分别为 4、3、1，圆 柱的底面圆直径为 2，所以该几何体的表面积为长方体的表面积 加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积，即为 2×(3×4＋4×1＋ 3×1)＋2π×1×1－2π×12＝38.
说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题
第11讲 │ 一轮复习建议
一轮复习建议
命题角度：该部分的命题通常围绕三个点展开．第一点是围绕空 间几何体的三视图，设计由空间几何体的三视图判断空间几何体的形 状，由其中的一个或者两个视图判断另外的视图等问题，其目的是考 查对三视图的理解和空间想象能力；第二点是围绕空间几何体的表面 积和体积展开，设计根据已知的空间几何体求空间几何体的表面积或 体积的问题，其中空间几何体一般以三视图的形式给出，目的是考查 空间想象能力和基本的运算求解能力；第三点是围绕多面体和球展 开，设计求多面体的外接球的表面积、体积或者计算球的内接多面体 的相关元素等问题，目的是考查空间想象能力、逻辑推理能力和基本 的运算求解能力．试题难度大多属于 A，B 级，个别试题的难度属于 C 级．
第11讲│ 要点热点探究
► 探究点三 球与多面体 例 3 [2012· 课程标准卷] 已知三棱锥 S－ABC 的所有顶点 都在球 O 的球面上，△ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC＝2，则此棱锥的体积为( ) 2 3 2 2 A. B. C. D. 6 6 3 2
第11讲│ 要点热点探究