2021届高考数学人教B版一轮复习单元检测八解析几何(提升卷B)

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【精准解析】2021届高考数学人教B版单元检测八解析几何(提升卷B)

单元检测八解析几何(提升卷B)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知过点P (－2，m )，Q (m,6)的直线的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．已知A (1,4)，B (－3,2)，直线l ：ax ＋y ＋2＝0，若直线l 过线段AB 的中点，则a 等于( ) A ．－5 B ．5 C ．－4 D ．43．点P (2，－1)为圆(x －3)2＋y 2＝25中弦的中点，则该弦所在直线的方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y －1＝0D ．x －y ＋1＝04．(2020·大连模拟)已知双曲线C 1：x 28－y 24＝1，双曲线C 2的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线C 1相同，则双曲线C 2的离心率为( ) A. 2 B.5－1 C ．23－1 D. 35．已知直线y ＝ax 与圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1交于A ，B 两点，且∠ACB ＝60°，则圆的面积为( )A ．6πB ．36πC ．7πD ．49π6．(2020·江西省南昌市第二中学月考)如图，已知F 1，F 2是椭圆T ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 是椭圆T 上任意一点，过F 2作△F 1PF 2中∠F 1PF 2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线7．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1，F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1与e 2满足的关系是( ) A.1e 1＋1e 2＝2 B.1e 1－1e 2＝2 C ．e 1＋e 2＝2D ．e 2－e 1＝28．已知直线l ：kx －y －2k ＋1＝0与椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，与圆C 2：(x－2)2＋(y －1)2＝1交于C ，D 两点．若存在k ∈[－2，－1]，使得AC →＝DB →，则椭圆C 1的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12B.⎣⎡⎭⎫12，1C.⎝⎛⎦⎤0，22D.⎣⎡⎭⎫22，1 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知直线l ：y ＝k (x －1)，圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)，则下列命题正确的是( ) A ．∀k ∈R ，l 与C 相交 B ．∃k ∈R ，l 与C 相切 C ．∀r >0，l 与C 相交D ．∃r >0，l 与C 相切10．(2020·四川省绵阳市绵阳南山中学月考)下列四个说法中，错误的是( ) A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线，都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)来表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线P 1P 2，都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝ (x －x 1)(y 2－y 1)来表示C ．在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程都可以用x a ＋yb＝1来表示D ．经过点(0，b )的直线，都可以用方程y ＝kx ＋b 来表示11．(2020·福建厦门一中月考)已知△ABC 为等腰直角三角形，其顶点为A ，B ，C ，若圆锥曲线E 以A ，B 为焦点，并经过顶点C ，则该圆锥曲线E 的离心率可以是( ) A.2－1 B.22C. 2D.2＋1 12．(2020·福建厦门一中月考)已知F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，AB ，CD 是经过点F 的弦且AB ⊥CD ，AB 的斜率为k ，且k >0，C ，A 两点在x 轴上方，则下列结论中成立的是( )A.1|AB |＋1|CD |＝12pB ．若|AF |·|BF |＝43p 2，则k ＝33C.OA →·OB →＝OC →·OD →D ．四边形ACBD 面积的最小值为16p 2第Ⅱ卷(非选择题共70分)三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________. 14．(2020·湖北黄石期末)直线x ＋y ＋1＝0被圆C ：x 2＋y 2＝2所截得的弦长为________；由直线x ＋y ＋3＝0上的一点向圆C 引切线，切线长的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)15．椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到两焦点距离之积为m ，则当m 取最大值时，P 点坐标为________．16．已知A ，B 分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点，两不同点P ，Q 在椭圆C 上，且关于x 轴对称，设直线AP ，BQ 的斜率分别为m ，n ，则当2b a ＋a b ＋12mn ＋ln|m |＋ln|n |取最小值时，椭圆C 的离心率为________．四、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)(2020·湖北荆门期末)已知过点P (0，－2)的圆M 的圆心(a,0)在x 轴的非负半轴上，且圆M 截直线x ＋y －2＝0所得弦长为2 2. (1)求圆M 的标准方程；(2)若过点Q (0,1)且斜率为k 的直线l 交圆M 于A ，B 两点，若△P AB 的面积为372，求直线l的方程．18.(12分)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．19．(13分)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程． 20.(13分)(2019·湖北省荆门市龙泉中学月考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为6，且椭圆C 与圆M ：(x －2)2＋y 2＝409的公共弦长为4103. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点P (0,1)作斜率为k (k >0)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得△ADB 为以AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．答案精析1．B 2.B 3.B 4.D 5.A6．B [延长F 2Q 与F 1P 的延长线交于点M ，连接OQ .因为PQ 是△F 1PF 2中∠F 1PF 2的外角的角平分线，且PQ ⊥F 2M ，所以在△PF 2M 中，|PF 2|＝|PM |，且Q 为线段F 2M 的中点．又O 为线段F 1F 2的中点，由三角形的中位线定理，得 |OQ |＝12|F 1M |＝12(|PF 1|＋|PF 2|)．由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|OQ |＝a ，点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2，所以点Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为a 的圆．] 7．B [由椭圆与双曲线的定义得e 1＝2c 10＋2c ，e 2＝2c 10－2c ，所以1e 1－1e 2＝4c2c＝2，故选B.]8．C [直线l 过圆C 2的圆心，∵AC →＝DB →， ∴|AC 2→|＝|C 2B →|，∴圆C 2的圆心(2,1)为A ，B 两点的中点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2，化简可得－2·b 2a 2＝k ，又∵a >b ，∴b 2a 2＝－k 2∈⎣⎡⎭⎫12，1，所以e ＝1－b 2a 2∈⎝⎛⎦⎤0，22.] 9．AC [∵直线l ：y ＝k (x －1)经过定点(1,0)，圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)的圆心为(1,0)，半径为r ， ∴直线l 经过圆C 的圆心，∴∀k ∈R ，l 与C 相交， ∴∀r >0，l 与C 相交，∴AC 正确．]10．ACD [A 中，过定点P 0(x 0，y 0)的直线斜率不存在时，方程不成立，故A 错误； B 中，对于任意不同点确定的直线都适合，B 正确；C 中，根据截距概念知a ，b 可以为0，此时不能用x a ＋yb ＝1来表示，故C 错误；D 中，当过点(0，b )的直线斜率不存在时，不能用方程y ＝kx ＋b 来表示，故D 错误．] 11．ABD [(1)若该圆锥曲线是椭圆，当C ＝π2时，离心率e ＝2c 2a ＝|AB ||CA |＋|CB |＝22，当C ＝π4时，离心率e ＝|AB ||CA |＋|CB |＝12＋1＝2－1；(2)若该圆锥曲线是双曲线，根据双曲线的特征可得，只有C ＝π4，此时，离心率e ＝2c 2a ＝AB ||CA |－|CB ||＝12－1＝2＋1.]12．AC [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，可得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2，x 1x 2＝14p 2，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝p (k 2＋2)k 2＋p ＝2p (k 2＋1)k 2，同理可得|CD |＝2p ⎝⎛⎭⎫1k 2＋11k 2＝2p (1＋k 2)，则有1|AB |＋1|CD |＝12p ，所以A 正确；OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝14p 2＋k 2⎝⎛⎭⎫x 1－p 2⎝⎛⎭⎫x 2－p 2 ＝14p 2＋k 2⎣⎡⎦⎤x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋14p 2 ＝14p 2＋12k 2p 2－p 2(k 2＋2)2＝－34p 2，与k 无关，同理OC →·OD →＝－34p 2，故OA →·OB →＝OC →·OD →，C 正确；若|AF |·|BF |＝43p 2，由⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2＝x 1x 2＋p 2·(x 1＋x 2)＋14p 2，得12p 2＋p 2(k 2＋2)2k 2＝p 2＋p 2k 2＝43p 2，解得k ＝3，故B 错误；因为AB ⊥CD ，所以四边形ABCD 的面积S 四边形ACBD ＝12|AB ||CD |＝12·2p (k 2＋1)k 2·2p (1＋k 2)＝2p 2(k 2＋1)2k2＝2p 2⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋2≥8p 2，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝1时，等号成立，故D 错误．] 13．2解析设A (x 0，y 0)，由抛物线定义知x 0＋1＝2， ∴x 0＝1，则直线AB ⊥x 轴，∴|BF |＝|AF |＝2. 14.6102解析圆C ：x 2＋y 2＝2的圆心C (0,0)，半径r ＝2，设圆心C 到直线x ＋y ＋1＝0的距离为d ，则d ＝12＝22，弦长为2r 2－d 2＝22－⎝⎛⎭⎫222＝ 6. 设M 为直线x ＋y ＋3＝0上一点，过点M 向圆C 引切线切圆C 于点N ，则有CN ⊥MN ， ∴|MN |＝|CM |2－r 2＝|CM |2－2，故|CM |取最小值时，切线长最小，此时CM 垂直于直线x ＋y ＋3＝0，即|CM |的最小值为圆心C 到直线x ＋y ＋3＝0的距离32，所以|MN |最小值为102. 15．(0,3)和(0，－3)解析由标准方程可知两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，因为|PF 1|＋|PF 2|＝10，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号，即P 点为短轴端点．故当m 取最大值时，P 点坐标为P (0,3)或(0，－3)． 16.22解析设P (x 0，y 0)，则x 20a 2＋y 20b 2＝1，所以mn ＝b 2a2，从而2b a ＋a b ＋12mn ＋ln|m |＋ln|n |＝2b a ＋a b ＋a 22b 2＋ln b 2a 2，设b 2a 2＝x ，令f (x )＝12x＋ln x (0<x <1)，则f ′(x )＝2x －12x 2，所以当0<x <12时，f (x )单调递减，当12<x <1时，f (x )单调递增，故f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12，即b 2a 2＝12.因为2b a ＋ab≥22，当且仅当2b a ＝a b ，即b 2a 2＝12时取等号，取等号的条件一致，此时e 2＝1－b 2a 2＝12，所以e ＝22. 17．解 (1)设圆M 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a ≥0)，则圆心M 到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|a －2|2，由题意得⎩⎨⎧a ≥0，a 2＋4＝r 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －2|22＋2＝r 2，解得a ＝0，r 2＝4，∴圆M 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则圆心M 到直线l 的距离为1k 2＋1，∴|AB |＝24－1k 2＋1＝24k 2＋3k 2＋1，又点P (0，－2)到直线l 的距离为d ＝3k 2＋1，∴S △P AB ＝12|AB |d ＝12×24k 2＋3k 2＋1×3k 2＋1＝372，解得k 2＝1，∴k ＝±1，则直线l 的方程为±x －y ＋1＝0.18．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2－4x －4b ＝0.(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2.将其代入x 2＝4y ，得y ＝1.故A (2,1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.19．解 (1)椭圆C 1：x 24＋y 2＝1的长轴长为4，离心率为e 1＝c 1a 1＝32，∵椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率，∴椭圆C 2的焦点在y 轴上，2b 2＝4，e 2＝c 2a 2＝32，∴b 2＝2，a 2＝4，∴椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)设A ，B 的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )，∵OB →＝2OA →，∴O ，A ，B 三点共线，当斜率不存在时，OB →＝2OA →不成立，∴点A ，B 不在y 轴上，当斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx ，将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1，消元可得(1＋4k 2)x 2＝4，∴x 2A ＝41＋4k 2，将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1，消元可得(4＋k 2)x 2＝16，∴x 2B ＝164＋k 2，∵OB →＝2OA →，∴x 2B ＝4x 2A ，∴164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1，∴直线AB 的方程为y ＝±x .20．解 (1)由题意可得2a ＝6，所以a ＝3.由椭圆C 与圆M ：(x －2)2＋y 2＝409的公共弦长为4103，恰为圆M 的直径，可得椭圆C 经过点⎝⎛⎭⎫2，±2103，所以49＋409b 2＝1，解得b 2＝8.所以椭圆C 的方程为x 29＋y28＝1.(2)直线l 的解析式为y ＝kx ＋1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为E (x 0，y 0)．假设存在点D (m,0)，使得△ADB 为以AB 为底边的等腰三角形，则DE ⊥AB . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x 29＋y 28＝1得，(8＋9k 2)x 2＋18kx －63＝0，Δ>0恒成立，所以x 1＋x 2＝－18k8＋9k 2，所以x 0＝－9k8＋9k 2，y 0＝kx 0＋1＝88＋9k 2. 因为DE ⊥AB ，所以k DE ＝－1k ，即88＋9k 2－0－9k 8＋9k 2－m ＝－1k ，所以m ＝－k 8＋9k 2＝－19k ＋8k. 当k >0时，9k ＋8k≥29×8＝122，所以－224≤m <0. 综上所述，在x 轴上存在满足题目条件的点D ，且点D 的横坐标的取值范围为⎣⎡⎭⎫－224，0.。

2021版高考数学一轮复习易错考点排查练解析几何含解析新人教B版

高考数学一轮复习：易错考点排查练解析几何1.到两定点F1(-3,0),F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹为( )A.椭圆B.两条射线C.双曲线D.线段【解析】选B.因为到两定点F1(-3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6,而|F1F2|=6,所以满足条件的点的轨迹为两条射线.2.若曲线+=1的离心率e=,则m=( )A.-3B.3C.-3或-27D.3或27【解析】选D.因为离心率e=∈(0,1),故该曲线为椭圆.若焦点在x轴上,则m>9,e2==2,解得m=27;若焦点在y轴上,则0<m<9,e2==2,解得m=3.综上, m=3或27.3.已知直线2kx-y+1=0与椭圆+=1 恒有公共点,则实数m的取值范围为( )A.(1,9]B.[1,+∞)C.[1,9)∪(9,+∞)D.(9,+∞)【解析】选C.直线2kx-y+1=0恒过定点P(0,1),直线2kx-y+1=0与椭圆+=1恒有公共点,即点P(0,1)在椭圆内或椭圆上,所以+≤1,即m≥1,又m≠9, 所以1≤m<9或m>9.4.若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1 |=7,则|PF2 |等于( )A.1B.13C.1或13D.15【解析】选B.由题意得a=3,c=5,||PF1 |-|PF2 | |=6,而|PF1 |=7,解得|PF2 |=13或1.而|PF2 |≥c-a=2,所以|PF2 |=13.5.直线l过点(,0)且与双曲线-y2=1仅有一个公共点,这样的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.不确定【解析】选C.因为(,0)为双曲线-y2=1的右顶点, 所以过点(,0)且与双曲线-y2=1有且只有一个公共点的直线有三条:(1)过点(,0)斜率不存在时,即垂直于x轴的直线满足条件;(2)斜率存在时,过点(,0)平行于渐近线y=x或y=-x的直线也满足条件.6.直线l过点P(-2,-4)且与抛物线y2=-8x只有一个公共点,这样的直线共有( )A.0条B.1条C.2条D.3条【解析】选C.由题意可知点P(-2,-4)在抛物线y2=-8x上,所以过点P(-2,-4)的直线l斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+2)-4.联立,整理可得k2 x2+(4k2-8k+8)x+4k2-16k+16=0.①当k=0时,可得x=-2,y=-4,符合题意;②当k≠0时,Δ=[(4k2-8k+8)]2-4k2·(4k2-16k+16)=0,即k2-2k+1=0,则k=1.综上,满足条件的直线有2条.7.方程mx2+(m+1)y2=m(m+1)(m∈R)表示的曲线不可能是( )A.椭圆B.抛物线C.双曲线D.直线【解析】选B.(1)当m(m+1)=0,即m=0或m=-1时,方程mx2+(m+1)y2=m(m+1)(m∈R)可化为y=0或x=0,故方程表示直线;(2)当m(m+1)>0,即m>0或m<-1时,方程mx2+(m+1)y2=m(m+1)(m∈R)可化为+=1,当m>0时,方程表示椭圆,当m<-1时,方程无解,不能表示任何曲线;(3)当m(m+1)<0,即-1<m<0时,方程mx2+(m+1)y2=m(m+1)(m∈R)可化为+=1,表示双曲线;综上,可知方程mx2+(m+1)y2=m(m+1)(m∈R)不能表示抛物线.8.已知椭圆C1:+=1的左、右焦点为F1,F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直于直线l1于点P,线段PF2的垂直平分线与l2的交点的轨迹为曲线C2,若A(1,2),B(x1,y1),C(x2,y2)是C2上不同的点,且AB⊥BC,则y2的取值范围是 ( )A.(-∞,-6)∪[10,+∞)B.(-∞,6]∪[10,+∞)C.(-∞,-6)∪(10,+∞)D.以上都不正确【解析】选A.F1(-1,0),F2(1,0).设线段PF2的垂直平分线与l2的交点为M,则|MP|=|MF2|.根据抛物线的定义知点M的轨迹是以F2为焦点,l1为准线的抛物线,其方程为y2=4x.点B、C在抛物线上,所以=4x1,=4x2,二者相减得,=,即k B C=.因为AB⊥BC,所以k AB k B C=-1,即=-1⇒y2=-y1-=-(y1+2)-+2,当y1+2<0时,-(y1+2)-+2≥8+2=10(y1=-6时取“=”);当y1+2>0时,-(y1+2)-+2≤-8+2=-6(y1=2时取“=”).但点B与点A不重合,故y1≠2,所以y2<-6.综上知y2的取值范围是(-∞,-6)∪[10,+∞).9.若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和右焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最小值为( )A.2-B.C.2+D.1【解析】选B.设点P(x,y),所以=(x,y),=(x-1,y),由此可得·=(x,y)·(x-1,y)=x2-x+y2=x2-x+1=(x-1)2+,x∈[-,],所以(·)min=.10.已知圆x2+y2+2k2x+2y+4k=0关于y=x对称,则k的值为( )A.-1B.1C.±1D.0【解析】选A.化圆x2+y2+2k2 x+2y+4k=0为(x+k2 )2+(y+1)2=k4-4k+1.则圆心坐标为(-k2,-1),因为圆x2+y2+2k2 x+2y+4k=0关于y=x对称,所以直线y=x经过圆心,所以-k2=-1,得k=±1.当k=1时,k4-4k+1<0,不合题意,所以k=-1.11.设A,B为双曲线-=λ(λ≠0)同一条渐近线上的两个不同的点,若向量n=(0,2),||=3且=-1,则双曲线的离心率为( )世纪金榜导学号A.2或B.3或C. D.3【解析】选B.由题意得,cos<,n>==·=-,所以sin<,n>=.双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,所以点(0,2)到渐近线的距离为d==|n|sin<,n>=,整理得=,a2=8b2,①当焦点在x轴上时,λ>0,可得e2==,得e=.②当焦点在y轴上时,λ<0,可得e2==9.得e=3.12.设双曲线- =1(a>b>0)的半焦距为c,设直线l过点(a,0)和(0,b)两点,已知原点到直线l的距离为c,则双曲线的离心率为( )世纪金榜导学号A.4或B.2C.2或D.【解析】选D.由题意,直线l的方程为:+=1,即bx+ay-ab=0,所以原点O到l的距离为d==,因为原点O到l的距离为c,所以=c,整理可得:3c4-16a2 c2+16a4=0,所以3e4-16e2+16=0,所以e2=4或e2=,所以e=2或e=,因为a>b,所以e==<,故e=2不合题意,舍去,双曲线的离心率为e=.13.如果方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是________.【解析】由椭圆方程可知m-3>4-m>0,所以<m<4.答案:,414.直线L:y=k(x-5)与圆O:x2+y2=16相交于A,B两点,当k变动时,则弦AB的中点M的轨迹方程为________.【解析】设点M的坐标为(x,y),易知直线恒过定点P(5,0),再由OM⊥AP,得:|OP|2=|OM|2+|MP|2,所以x2+y2+(x-5)2+y2=25,整理得:x-2+y2=,因为点M应在圆内,故易求得轨迹为圆内的部分,此时0≤x<.故所求轨迹的方程为x-2+y2=0≤x<.答案:x-2+y2=0≤x<15.已知曲线C: y=与直线L:y=-x+m仅有一个公共点,则实数m的取值范围为________.世纪金榜导学号【解析】曲线C:y=可化为x2+4y2=20,联立,得:5x2-8mx+4m2-20=0,由Δ=0,得m=±5.因为y∈[0,+∞),故原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.(如图),结合图形易求得m的范围为m=5或-2≤m<2.答案: m=5或-2≤m<216.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别为A,B,左、右焦点分别是F1,F2,在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的平方为世纪金榜导学号【解析】由直线AB 的方程为+=1,整理得bx-ay+ab=0,由已知,直线AB与圆O:x2+y2=c2相切,得d==c,两边平方,整理得c4-3c2a2+a4=0,两边同时除以a4,又e2=,所以e4-3e2+1=0,解得e2=,又椭圆的离心率e∈(0,1),所以e2=,即椭圆的离心率的平方为.答案:给易错点找题号序号易错点题号练后感悟1 忽略双曲线定义中距离的限定要求 12 忽略已知点的位置 63 易忽略讨论焦点位置 24 x的取值范围应注意到95 确定|PF2|要结合双曲线 46 易忽略直线与曲线相切时,也有一个公共点157 选择数形结合直观迅速 38 复杂的式子处理89 易忽略e的取值范围1210 对m的限制考虑要周全1311 最后易忽略检验而错选C 1012 讨论过程要细致周到7。

2021-2022年高考数学一轮复习第八章解析几何第六节双曲线习题理

2021年高考数学一轮复习第八章解析几何第六节双曲线习题理[基础达标]一、选择题(每小题5分,共30分)1.双曲线=1的一条渐近线的倾斜角为30°,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.21.A【解析】由题意可知,双曲线的焦点在x轴上,且一条渐近线的斜率是,所以,即e2=,故e=.2.已知圆x2+y2-10x+24=0的圆心是双曲线=1(a>0)的一个焦点,则此双曲线的渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x2.B【解析】因为圆心(5,0)是双曲线的一个焦点,所以a2+9=25,a>0,解得a=4,所以渐近线方程为y=±x=±x.3=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1,F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为()A. =1B. =1C. =1D. =13.C【解析】由题意可得c=5, ,则b2=a2=25-a2,解得a2=9,b2=16,故该双曲线的方程为=1.4A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为()A. B.2 C. D.4.D【解析】设双曲线方程为=1(a>0,b>0),且不妨设点M在第一象限,则由题意得M(2a,a),则=1,所以a=b,所以e=.5.已知点F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是()A.(1,)B.(,2)C.(1+,+∞)D.(1,1+)5.D【解析】由△ABF2是锐角三角形,得∠AF2F1∈,所以AF1<F1F2,即<2c,c2-a2<2ac,即为e2-2e-1<0,又e>1,解得1<e<1+.6.已知不平行于坐标轴的直线l与以原点O为中心的双曲线=1(a>0,b>0)的两支及其两条渐近线从左到右依次交于A,B,C,D不同的四点,则下列一定成立的是() A.|AD|=2|BC|B.|AB|=|BC|=|CD|C.D.6.C【解析】设直线l为y=kx+m.联立方程组得(b2-a2k2)x2-2kma2x-a2m2-a2b2=0.联立方程组得(b2-a2k2)x2-2kma2x-a2m2=0.∴x A+x D=x B+x C,即线段AD与线段BC的中点重合,故|AB|=|CD|,.二、填空题(每小题5分,共10分)7.若双曲线x2-ky2=1的一个焦点是(3,0),则实数k=.7. 【解析】该双曲线的标准方程为x2-=1,所以1+=9,解得k=.8.(xx·镇江调研)若双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的,则该双曲线的渐近线方程是.8.y=±x【解析】双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离d==b,焦距为2c,则由题意可得b=×2c,4b2=c2=a2+b2,3b2=a2, ,所以该双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.三、解答题(共20分)9.(10分)求过和(4,-3)两点的双曲线的标准方程.9.【解析】设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>0).由题意得解得所以所求双曲线方程为=1.10.(10分)已知定圆M:(x-2)2+y2=8,动圆P过点N(-2,0),且与定圆M外切,求动圆P的圆心的轨迹方程.10.【解析】因为动圆P过点N,所以|PN|是圆P的半径,又因为动圆P与圆M外切,所以|PM|=|PN|+2,即|PM|-|PN|=2.故点P的轨迹是以M,N为焦点,实轴长为2的双曲线的左支.因为实半轴长a=,半焦距c=2,所以虚半轴长b=.从而动圆P的圆心的轨迹方程为=1(x≤-).[高考冲关]1.(5分)过双曲线=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若,则此双曲线的离心率是()A.B.C.D.1.C【解析】由题意可得-<-1,b>a,直线l:y=-x+a与渐近线y=x相交于点B,与渐近线y=-x 相交于点C,又,则,得b=2a,b2=c2-a2=4a2,c=a,所以离心率e=.2.(5分)(xx·湖州二模)已知椭圆C1:=1(a1>b1>0)和双曲线C2:=1(a2>0,b2>0)有相同的焦点F1,F2,且椭圆C1与双曲线C2在第一象限的交点为P,若2=||2(O为坐标原点),则双曲线C2的离心率的取值范围是()A.(,+∞)B.(2,+∞)C.(,+∞)D.(3,+∞)2.B【解析】设P(x,y),F2(c,0),则由2=||2可得x=,分别代入椭圆和双曲线方程可得y2=,y2=,且=c2,则c2,可得),解得e1e2=2,e2=,因为e1∈(0,1),所以e2∈(2,+∞).3.(5分)(xx·安庆三模)若以A,B为焦点的双曲线经过点C,且|AB|=|AC|,cos ∠ABC=,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.3 D.3.C【解析】不妨设点A,B分别为左、右焦点,实半轴长为a,半焦距为c,若点C在双曲线的左支上,设BC中点为D,则由定义知|BD|=|BC|=(2c+2a)=c+a,在Rt△ABD中,由cos ∠ABC=,得,e=-3,不可能,故C在双曲线的右支上,设BC中点为D,则由双曲线定义知|BD|=|BC|=(2c-2a)=c-a,在Rt△ABD中,cos ∠ABD=,故,得e==3.4.(5分)(xx·重庆巴蜀中学三诊)已知F是双曲线=1的左焦点,点A(1,3),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为.4.11【解析】双曲线的右焦点F'(5,0),由于点P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|=2a+|PF'|+|PA|≥6+|F'A|=11,当且仅当F',P,A三点共线时取等号,故|PF|+|PA|的最小值为11.5.(5分)(xx·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为.5. 【解析】如图,x-y=0为双曲线x2-y2=1的一条渐近线.设点P到直线x-y+1=0的距离为d,直线x-y=0与直线x-y+1=0的距离为d1,由渐近线的性质,可知d>d1=,又因为d>c恒成立,所以c的最大值为.6.(5分)设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B 两点,与双曲线的其中一个交点为P,设O为坐标原点,若=m+n (m,n∈R),且mn=,则该双曲线的离心率为.6. 【解析】不妨设点A在第一象限,由已知可得A,B,代入=m+n,解得P(m+n)c,(m-n) ,代入双曲线方程,化简得4e2mn=1,所以e2=,解得e=.7.(10分)已知椭圆x2+=1的左、右两个顶点分别为A,B.曲线C是以A,B两点为顶点,离心率为的双曲线.设点P在第一象限且在曲线C上,直线AP与椭圆相交于另一点T.(1)求曲线C的方程;(2)设P,T两点的横坐标分别为x1,x2,证明:x1·x2=1.7.【解析】(1)依题意可得A(-1,0),B(1,0).设双曲线C的方程为x2-=1(b>0),因为双曲线的离心率为,所以,即b=2.所以双曲线C的方程为x2-=1.(2)解法1:设点P(x1,y1),T(x2,y2)(x i>0,y i>0,i=1,2),直线AP的斜率为k(k>0),则直线AP的方程为y=k(x+1),联立方程组整理得(4+k2)x2+2k2x+k2-4=0,解得x=-1或x=,所以x2=,同理可得x1=.所以x1·x2=1.解法2:设点P(x1,y1),T(x2,y2)(x i>0,y i>0,i=1,2),则k AP=,k AT=.因为k AP=k AT,所以,即.因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上,所以=1, =1,即=4(-1), =4(1-),所以,即,所以x1·x2=1.。

2021届高考数学一轮复习单元质量测试8含解析新人教B版

单元质量测试(八)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．同时抛掷3枚硬币，那么互为对立事件的是( ) A ．“至少有1枚正面”与“最多有1枚正面” B ．“最多有1枚正面”与“恰有2枚正面” C ．“至多有1枚正面”与“至少有2枚正面” D ．“至少有2枚正面”与“恰有1枚正面” 答案 C解析两个事件是对立事件必须满足两个条件：①不同时发生，②两个事件的概率之和等于1.故选C ．2．(2020·衡水中学期末)某学校有体育特长生25人，美术特长生35人，音乐特长生40人，用分层抽样的方法从中抽取40人，则抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为( )A ．8,14,18B ．9,13,18C ．10,14,16D ．9,14,17答案 C解析因为25＋35＋40＝100，用分层抽样的方法从中抽取40人，所以每个个体被抽到的概率是P ＝40100＝25＝0.4，所以体育特长生25人应抽25×0.4＝10(人)，美术特长生35人应抽35×0.4＝14(人)，音乐特长生40人应抽40×0.4＝16(人)．3．(2019·河南濮阳模拟)设f (x )＝－x 2＋mx ＋m ，在[－6，9]内任取一个实数m ，则函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率等于( )A ．215B ．715 C ．35 D ．1115答案 D解析因为f (x )＝－x 2＋mx ＋m 的图象与x 轴有公共点，所以Δ＝m 2＋4m ≥0，所以m ≤－4或m ≥0，所以在[－6,9]内取一个实数m ，函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率P ＝[－4－－6]＋9－09－－6＝1115.故选D ．4．假设有两个分类变量X 和Y 的2×2列联表如下：YXy 1 y 2总计x 1 a 10 a ＋10 x 2c30 c ＋30总计6040100对同一样本，以下数据能说明X 与Y 有关系的可能性最大的一组为( ) A ．a ＝45，c ＝15 B ．a ＝40，c ＝20 C ．a ＝35，c ＝25 D ．a ＝30，c ＝30答案 A解析根据2×2列联表与独立性检验可知，当a a ＋10与cc ＋30相差越大时，X 与Y 有关系的可能性越大，即a ，c 相差越大，a a ＋10与cc ＋30相差越大．故选A ． 5．已知变量x 与y 的取值如下表所示，且2.5<n <m <6.5，则由该数据算得的线性回归方程可能是( )x 2 3 4 5 y6.5m n2.5A ．y ^＝0.8x ＋2.3B ．y ^＝2x ＋0.4C ．y ^＝－1.5x ＋8 D ．y ^＝－1.6x ＋10答案 D解析由2.5<n <m <6.5，可得为负相关，排除A ，B ；由题意，知x －＝3.5，y －＝14×(6.5＋m ＋n ＋2.5)∈(3.5,5.5)，分别代入选项C ，D ，可得D 满足．故选D ．6．已知(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，若a 4＝－35，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．128 B ．64 C ．－63 D ．－64答案 B解析解法一：由题意可知a 4＝C 37·(－m )3＝－35，解得m ＝1.所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝C 67·(－m )6＋C 47·(－m )4＋C 27·(－m )2＋C 07·(－m )0＝C 67＋C 47＋C 27＋C 07＝64.解法二：由题意可知a 4＝C 37·(－m )3＝－35，解得m ＝1.设f (x )＝(x －1)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x2＋…＋a 7x 7，则f (1)＝0＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7，f (－1)＝－27＝a 0－a 1＋a 2－…－a 7，即a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝f 1－f －12＝64.7．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，在取到的2个数之和为偶数的条件下，取到的2个数均为奇数的概率为( )A ．15B ．14C ．35D ．34答案 D解析记“取到的2个数之和为偶数”为事件A ，“取到的2个数均为奇数”为事件B ，则P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 23C 25＝310.由条件概率的计算公式得P (B |A )＝P ABP A ＝31025＝34.故选D ．8．若在边长为a 的正三角形内任取一点P ，则点P 到三角形三个顶点的距离均大于a2的概率是( )A ．1112－3π6B ．1－3π6C ．13D ．14答案 B解析如图，正三角形ABC 的边长为a ，分别以它的三个顶点为圆心，以a2为半径，在△ABC 内部画圆弧，得三个扇形，依题意知点P 在这三个扇形外，因此所求概率为34a 2－12×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2234a 2＝1－3π6.故选B ．9．10枚均匀的骰子同时掷出，共掷5次，至少有一次全部出现一点的概率是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫56105B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫56510C ．1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫16510D ．1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫16105答案 D解析一次同时掷出10枚均匀的骰子，10枚骰子全部出现一点的概率等于⎝ ⎛⎭⎪⎫1610，故10枚骰子没有全部出现一点的概率等于1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1610.事件“掷5次，至少有一次10枚骰子全部出现一点”的对立事件为“掷5次，每次掷出的10枚骰子中，至少有一枚没有出现一点”，故至少有一次10枚骰子全部出现一点的概率等于1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫16105.故选D ．10．(2019·青海玉树高三第一次联考)已知数列{a n }为等差数列，且满足a 1＋a 5＝90.若(1－x )m 的展开式中含x 2项的系数等于数列{a n }的第三项，则m 的值为( )A ．6B ．8C ．9D ．10答案 D解析数列{a n }为等差数列，所以a 3＝a 1＋a 52＝45；由二项式定理可知(1－x )m的展开式中含x 2项的系数为C 2m ，所以C 2m ＝a 3＝45，解得m ＝10.11．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，m (m >0)为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a ＝b (b mod m )．若a ＝C 020＋C 120×2＋C 220×22＋…＋C 2020×220，a ＝b (b mod 10)，则b 的值可以是( )A ．2011B ．2014C ．2017D ．2020答案 A解析 ∵a ＝C 020＋C 120×2＋C 220×22＋…＋C 2020×220＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝C 010×1010－C 110×109＋C 210×108－…－C 910×10＋C 1010，∴a 被10除得的余数为1，而2011被10除得的余数是1.故选A ．12．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派1名教师的不同分派方法种数为( )A ．420B ．200C ．180D ．150答案 D解析由题意知，5名教师的指派分组可以为1,2,2或1,1,3两种不同的方法，当分组为1,2,2时，不同的分派方法种数为C 15C 24A 33A 22＝90，当分组为1,1,3时，不同的分派方法种数为C 35C 12A 33A 22＝60，所以不同的分派方法种数为90＋60＝150. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是________．答案 45解析该题为长度型几何概型，所以概率P ＝17－1318－13＝45.14．(2019·江西上饶一模)若⎝⎛⎭⎪⎫ax －b x6的展开式中的常数项为－160，则a 2＋b 2的最小值为________．答案 4解析二项式⎝⎛⎭⎪⎫ax －b x6的通项公式为T r ＋1＝C r 6(ax )6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－b x r ＝C r 6a 6－r (－b )r x 6－2r (r ＝0,1，…，6)，当r ＝3时，常数项为－C 36a 3b 3＝－160，解得ab ＝2，则a 2＋b 2≥2ab ＝4，即a 2＋b 2的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝2或a ＝b ＝－2时取等号．15．(2019·东北四市模拟)三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局的胜者对第一局的败者，第四局是第三局的胜者对第二局的败者，则乙队连胜四局的概率为________．答案 0.09解析设乙队连胜四局为事件A ，有下列情况：第一局中乙胜甲(A 1)，其概率为1－0.4＝0.6；第二局中乙胜丙(A 2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A 3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A 4)，其概率为0.5，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4)＝0.62×0.52＝0.09.16．(2019·佛山一模)某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元．保险公司把职工从事的所有岗位共分为A ，B ，C 三类工种，根据历史数据统计出这三类工种的每年赔付频率如表所示(并以此估计赔付概率)．B ，C 三类工种每份保单保费的上限之和为________元．答案 81.25解析设工种A 的每份保单保费为a 元，保险公司每份保单的利润为随机变量X ，则X 的分布列为保险公司期望利润为E (X )＝a ⎝ ⎭⎪⎫1－105＋(a －50×104)×105＝a －5(元)，根据规定知，a －5≤0.2a ，解得a ≤6.25.设工种B 的每份保单保费为b 元，同理可得保险公司期望利润为(b －10)元，根据规定知，b －10≤0.2b ，解得b ≤12.5，设工种C 的每份保单保费为c 元，同理可得保险公司期望利润为(c －50)元，根据规定知，c －50≤0.2c ，解得c ≤62.5.则A ，B ，C 三类工种每份保单保费的上限之和为6.25＋12.5＋62.5＝81.25(元)．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)某商场为了了解顾客的购物信息，随机地在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：有5000名顾客，为了增加商场的销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品(每人一件)．(注：视频率为概率)(1)试确定m ，n 的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；(2)为了迎接店庆，商场进行让利活动，一次性购物款200元及以上的一次返利30元；一次性购物款小于200元的按购物款的百分比返利，具体见下表：解 (1)由已知，得100位顾客中购物款不低于100元的顾客有n ＋10＋30＝100×60%，解得n ＝20，∴m ＝100－80＝20.故该商场每日应准备纪念品的数量约为5000×60100＝3000(件)．(2)设一次购物款为a 元，当a ∈[50,100)时，顾客有5000×20%＝1000(人)，当a ∈[100,150)时，顾客有5000×30%＝1500(人)，当a ∈[150,200)时，顾客有5000×20%＝1000(人)，当a ∈[200，＋∞)时，顾客有5000×10%＝500(人)，∴估计该商场日均让利为75×6%×1000＋125×8%×1500＋175×10%×1000＋30×500＝52000(元)．∴估计该商场日均让利为52000元．18．(本小题满分12分)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．(1)求a ，b ，c 的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；(2)如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w 至少定为多少？(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X ，求其分布列及均值．解 (1)∵前四组频数成等差数列， ∴所对应的频率/组距也成等差数列，设a ＝0.2＋d ，b ＝0.2＋2d ，c ＝0.2＋3d ，∴0.5×(0.2＋0.2＋d ＋0.2＋2d ＋0.2＋3d ＋0.2＋d ＋0.1＋0.1＋0.1)＝1，解得d ＝0.1，∴a ＝0.3，b ＝0.4，c ＝0.5.居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25. 居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100＝25.(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8， ∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应规定w ＝2.5＋0.10.3≈3.(3)将频率视为概率，设A (单位：立方米)代表居民月用水量，可知P (A ≤2.5)＝0.7，由题意，知X ～B (3,0.7)，P (X ＝0)＝C 03×0.33＝0.027， P (X ＝1)＝C 13×0.32×0.7＝0.189，P (X ＝2)＝C 23×0.3×0.72＝0.441， P (X ＝3)＝C 33×0.73＝0.343.∴X 的分布列为X 0 1 2 3 P0.0270.1890.4410.343∵X ～B (3,0.7)，∴E (X )＝np ＝2.1.19．(本小题满分12分)为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲、乙两个单位各有200名员工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所示．(1)若甲单位数据的平均数是122，求x ；(2)现从如图所示的数据中任取4天的数据(甲、乙两单位中各取2天)，记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为ξ1，ξ2令η＝ξ1＋ξ2，求η的分布列和数学期望．解 (1)由题意，得110×[105＋107＋113＋115＋119＋126＋(120＋x )＋132＋134＋141]＝122，解得x ＝8.(2)随机变量η的所有可能取值有0,1,2,3,4， P (η＝0)＝C 27C 26C 210C 210＝745；P (η＝1)＝C 17C 13C 26＋C 14C 16C 27C 210C 210＝91225； P (η＝2)＝C 23C 26＋C 27C 24＋C 17C 13C 16C 14C 210C 210＝13； P (η＝3)＝C 23C 16C 14＋C 17C 13C 24C 210C 210＝22225； P (η＝4)＝C 23C 24C 210C 210＝2225，∴η的分布列为η 0 1 2 3 4P745 91225 13 22225 2225E (η)＝0×745＋1×91225＋2×13＋3×22225＋4×2225＝75. 20．(本小题满分12分)某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径(单位：mm)进行测量，得出这批钢管的直径X 服从正态分布N (65,4.84)．(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为73 mm ，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；(2)如果钢管的直径X 满足60.6～69.4 mm 为合格品(合格品的概率精确到0.01)，现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数Y 的分布列和数学期望．参考数据：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826；P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544；P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974.解 (1)∵μ＝65，σ＝2.2，μ－3σ＝58.4，μ＋3σ＝71.6， ∵73∈(μ＋3σ，＋∞)，∴P (X >71.6)＝1－P 58.4<X ≤71.62＝1－0.99742＝0.0013. ∴此事件为小概率事件，该质检员的决定有道理． (2)∵μ＝65，σ＝2.2，μ－2σ＝60.6，μ＋2σ＝69.4，由题意，可知钢管直径满足μ－2σ<X ≤μ＋2σ为合格品，故该批钢管为合格品的概率约为0.95，∴在60根钢管中，合格品有57根，次品有3根，任意挑选3根，则次品数Y 的所有可能取值为0,1,2,3.P (Y ＝0)＝C 03C 357C 360，P (Y ＝1)＝C 13C 257C 360P (Y ＝2)＝C 23C 157C 360，P (Y ＝3)＝C 33C 057C 360，则次品数Y 的分布列为Y 0 1 2 3 PC 03C 357C 360C 13C 257C 360C 23C 157C 360C 33C 057C 360得E (Y )＝0×03357C 360＋1×13257C 360＋2×23157C 360＋3×33057C 360＝0.15.21．(2020·石家庄模拟)(本小题满分12分)某公司为了提高利润，从2013年至2019年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如表：年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 投资金额x (万元) 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 年利润增长y (万元)6.07.07.48.18.99.611.1(1)请用最小二乘法求出y 关于x 的回归直线方程；(2)如果2020年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长为多少？(结果保留两位小数)(3)现从2013～2019年这7年中抽出两年进行调查，记λ＝年利润增长－投资金额，求这两年都是λ≥2(万元)的概率？参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i －x－y i －y－∑i ＝1nx i －x－2＝∑i ＝1nx i y i －n x －y －∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －. 参考数据：∑i ＝17x i y i ＝359.6，∑i ＝17x 2i ＝259.解 (1)由题意计算，得x －＝6，y －＝8.3,7x －y －＝348.6，又∑i ＝17x i y i ＝359.6，∑i ＝17x 2i ＝259，所以b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2＝359.6－348.6259－7×36＝117，所以a ^＝y －－b ^x －＝8.3－117×6＝－7970，所以回归直线方程为y ^＝117x －7970；(2)将x ＝8代入方程，得y ^＝117×8－7970≈11.44，即该公司在该年的年利润增长大约为11.44万元．(3)由题意可知，λ的概率是P ＝C 25C 27＝1021. 22．(2019·郑州二模)(本小题满分12分)目前，浙江和上海已经成为新高考综合试点的“排头兵”，有关其他省份新高考改革的实施安排，教育部部长在十九大上做出明确表态：到2020年，我国将全面建立起新的高考制度．某地区新高考规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如表：(2)将列联表填写完整，并通过计算判定能否有99.9%的把握认为选历史与性别有关？(3)从选变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，2名男生选考方案不同，1，2名男生选考方案相同，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)．附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，n ＝a ＋b ＋c ＋D ．P (K 2≥k 0)0.05 0.010.005 0.001 k 03.8416.6357.87910.828解 (1)由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有8人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有20人，则该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有2836×3660×840＝392人．(2)列联表如下，选历史不选历史总计选考方案确定的男生 4 12 16 选考方案确定的女生16 4 20 总计201636由列联表中的数据得K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d ＝36×4×4－12×16216×20×20×16＝36×162×11216×20×20×16＝1089100＝10.89＞10.828，所以有99.9%的把握认为选历史与性别有关．(3)由数据可知，选考方案确定的男生中有8人选择物理、化学和生物；有4人选择物理、化学和历史；有2人选择物理、化学和地理；有2人选择物理、化学和政治，由已知ξ的取值为0,1.P (ξ＝1)＝C 28＋C 24＋C 22＋C 22C 216＝310，P (ξ＝0)＝1－P (ξ＝1)＝710⎝⎛⎭⎪⎫或P ξ＝0＝C 18C 18＋C 14C 14＋C 12C 12C 216＝710，所以ξ的分布列为 ξ 0 1 P710310E (ξ)＝0×710＋1×310＝310.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

2021届高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程创新教学案含解析

第八章平面解析几何第1讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程[考纲解读］ 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能根据两条直线的斜率判断这两条直线的平行或垂直关系．（重点)2．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等），并了解斜截式与一次函数的关系．（难点）[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是命题的热点，但很少独立命题．预测2021年高考对本讲内容将考查:①直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；②直线平行与垂直的判定或应用，求直线的方程．试题常以客观题形式考查,难度不大。

1。

直线的斜率(1）当α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，用k表示，即错误!k ＝tanα。

当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．（2)斜率公式给定两点P1(x1,y1）,P2（x2,y2)(x1≠x2)，经过P1,P2两点的直线的斜率公式为错误!k＝错误!.2．直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k与点（x1，y1）错误!y－y1＝k（x－x1)直线不垂直于x轴斜截式斜率k与直线在y轴上的截距b错误!y＝kx＋b直线不垂直于x轴两点式两点（x1,y1），(x2，y2）错误!错误!＝错误!（x1≠x2,y1≠y2)直线不垂直于x轴和y轴截距式直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b错误!错误!＋错误!＝1（a≠0，b≠0)直线不垂直于x轴和y轴,且不过原点一般式—错误!Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）任何情况1．概念辨析（1）直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α。

( )（2）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(3）经过点P（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．( ）(4)经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)（x2－x1）＝(x－x1）（y2－y1)表示．（）答案(1）×(2)×（3)×（4）√2．小题热身(1）直线l经过原点和点（－1，－1),则直线l的倾斜角是( ）A．45° B．135°C．135°或225° D．60°答案A解析由已知,得直线l的斜率k＝错误!＝1，所以直线l的倾斜角是45°.(2）在平面直角坐标系中，直线错误!x＋y－3＝0的倾斜角是（)A.错误!B。

高考数学一轮复习人教版解析几何第八单元测评答案

小题必刷卷(十一)题组一刷真题角度11.B[解析]方法一:易得△ABC面积为1,利用极限位置和特值法.当a=0时,易得b=1-;当a=时,易得b=;当a=1时,易得b=-1>.故选B.方法二:(直接法)⇒y=,y=ax+b与x轴交于-,结合图形与a>0,××=⇒(a+b)2=a(a+1)>0⇒a=-.∵a>0,∴->0⇒b<,当a=0时,极限位置易得b=1-,故答案为B.2.[解析]由两平行线间的距离公式得d==.角度23.A[解析]圆x2+y2-2x-8y+13=0化为标准方程为(x-1)2+(y-4)2=4,故圆心为(1,4),圆心到直线的距离d==1,解得a=-.4.A[解析]由题意知A(-2,0),B(0,-2),|AB|=2.圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离为=2.设点P到直线AB的距离为d,圆(x-2)2+y2=2的半径为r,则d∈[2-r,2+r],即d∈[,3],又△ABP的面积S△ABP=|AB|·d=d,所以△ABP面积的取值范围是[2,6].5.C[解析]方法一:由点到直线的距离公式得d==≤1+≤3,其中tan φ=m.方法二:该题考查圆周上一点到动直线的距离的最值问题,由题知动直线过定点(2,0),观察下图可知,所求距离的最大值为点(2,0)到单位圆上点的距离的最大值,故为3.角度36.C[解析]方法一:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的坐标代入得方程组-解得--所以圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0,即(x-1)2+(y+2)2=25,所以=2-=4.方法二:因为k AB=-,k BC=3,所以k AB k BC=-1,所以AB⊥BC,所以△ABC为直角三角形,所以△ABC的外接圆圆心为AC的中点(1,-2),半径r==5,所以=2-=4.方法三:由·=0得AB⊥BC,下同方法二.7.(x-2)2+y2=9[解析]设圆心的坐标为(a,0)(a>0),根据题意得=,解得a=2(a=-2舍去),所以圆的半径r=--=3,所以圆的方程为(x-2)2+y2=9.8.(-2,-4)5[解析]由题意知a2=a+2,则a=2或a=-1.当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+=0⇒x+2+(y+1)2=-,不能表示圆;当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,所以圆心坐标是(-2,-4),半径是5.角度49.A[解析]设所求直线方程为2x+y+m=0,则圆心到该直线的距离为=,∴|m|=5,即m=±5.10.D[解析]设反射光线所在直线的斜率为k,反射光线过点(-2,-3)关于y轴的对称点(2,-3),∴反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2).又∵其与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,∴=1,解得k=-或k=-.11.A[解析]方法一:设点P(3,1),圆心为C,设过点P的圆C的切线方程为y-1=k-,由题意得=1,解之得k=0或,即切线方程为y=1或4x-3y-9=0.联立-得一切点为,又∵k PC=--=,∴k AB=-=-2,即弦AB所在直线方程为y-1=-2-,整理得2x+y-3=0.方法二:设点P(3,1),圆心为C,以PC为直径的圆的方程为--+y-=0,整理得x2-4x+y2-y+3=0,联立---两式相减得2x+y-3=0.12.4π[解析]x2+y2-2ay-2=0,即x2+(y-a)2=a2+2,则圆心为C(0,a).又|AB|=2,C到直线y=x+2a的距离为-,所以2+-2=a2+2,得a2=2,所以圆C的面积为π(a2+2)=4π.13.4[解析]直线l:m(x+3)+y-=0过定点(-3,),又|AB|=2,∴2+()2=12,解得m=-.直线方程中,当x=0时,y=2.又(-3,),(0,2)两点都在圆上,∴直线l与圆的两交点为A(-3,),B(0,2).设过点A(-3,)且与直线l垂直的直线为x+y+c1=0,将(-3,)代入直线方程x+y+c1=0,得c1=2.令y=0,得x C=-2,同理得过点B且与l垂直的直线与x轴交点的横坐标为x D=2,∴|CD|=4.题组二刷模拟14.A[解析]若l1∥l2,则a×(-1)=a(a+2),即a2+3a=0,∴a=0或a=-3,经检验都符合题意,故选A.15.C[解析]∵△ABC是等腰直角三角形,∴圆心C(1,-a)到直线ax+y-1=0的距离d==,∴a=±1,故选C.16.A[解析]由M为PQ的中点,=,得PA⊥QA,即l1⊥l2,∴1×m+(-2)×1=0,解得m=2.故选A.17.B[解析]点B在直线y=2上,过点A(0,-2)作圆的切线,设切线的斜率为k,由点斜式求得切线方程为kx-y-2=0.由圆心到直线的距离等于半径,得=,解得k=±,∴切线方程为y=±x-2,与直线y=2的交点坐标为(±4,2),∴要使视线不被圆C挡住,实数a的取值范围是(-∞,-4)∪(4,+∞),故选B.18.D[解析]如图,点A关于直线BC的对称点为D(-6,2),则直线DB的方程为x+2y+2=0,直线DC的方程为y=2.由=,|2a-2|=,得a=-1,,1±,结合图像可知-1≤a≤1+,故选D.19.D[解析]圆的标准方程为(x+2)2+y2=4,作CD⊥AB于点D.由圆的性质可知∠ACB=120°,△ABC为等腰三角形,其中|CA|=|CB|,则|CD|=|CA|×sin 30°=2×=1,即圆心(-2,0)到直线4x-3y+a=0的距离为1,据此可得---=1,即|a-8|=5,解得a=3或a=13,故选D.20.A[解析]设A(x1,y1),B(x2,y2),联立-可化为5y2-4ay+a2-2=0,则Δ=16a2-20(a2-2)>0,即a2<10,且y1+y2=,y1y2=-.若·=0,则x1x2+y1y2=0,即(2y1-a)(2y2-a)+y1y2=0,∴5y1y2-2a(y1+y2)+a2=0,∴5×--2a×+a2=0,解得a=±,故“a=”是“·=0”的充分不必要条件,故选A.21.C[解析]由题可知直线l:y=(x+2),即x-y+2=0.设圆心C(a,0)(a>0),则-=a,解得a=2,所以圆C的方程为(x-2)2+y2=4.将y=(x+2)代入圆C的方程,可得x2-2x+1=0,所以x Q=1,故P(1,0).设M(x,y),则=-=-,将x2+y2=4x代入,得==4,所以=2,故选C.22.±2[解析]由题得∠PMO=∠PNO=∠MON=90°,|MO|=|ON|=1,∴四边形PMON是正方形,∴|PO|=.∵满足以上条件的点P有且只有一个,∴OP⊥l,∴=,∴b=±2.23.[解析]若直线l1与直线l2垂直,则-2×=-1⇒=,则使得直线l1⊥l2的{(a,b)}={(1,2),(2,4),(3,6)},故直线l1⊥l2的概率P=·=.24.2[解析]由得--即直线恒过定点C(-1,-2).以C为圆心,5为半径的圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=25,圆心C(-1,-2)到直线3x+4y+1=0的距离d===2,则|AB|=2-=2-=2(R为圆的半径).25.①②③[解析]连接BC,作CE⊥AB于点E,易知|CE|=1,|BE|=1,则|BC|=,则C(1,),所以圆C的方程为(x-1)2+(y-2=2,A(0,-1),B(0,+1).因为M,N在圆O:x2+y2=1上,所以可设M(cos α,sin α),N(cos β,sin β),所以|NA|=---=--,|NB|=--= -,所以=-1.同理可得=-1,所以=,-=-(-1)=2,+=2,故①②③都正确.-小题必刷卷(十二)题组一刷真题角度11.B[解析]∵双曲线的一条渐近线方程为y=x,∴=①.又∵椭圆+=1与双曲线有公共焦点,∴c=3,则a2+b2=c2=9②.由①②解得a=2,b=,故双曲线C的方程为-=1.2.A[解析]若已知方程表示双曲线,则(m2+n)·(3m2-n)>0,解得-m2<n<3m2.又4=4m2,所以m2=1,所以-1<n<3.3.C[解析]由=2,可得=4,得=,故该双曲线的一条渐近线方程为y=x.过该双曲线右焦点且垂直于x轴的直线方程为x=c,与双曲线方程联立,解得y=±,即y=±3a.因为c=2a,所以不妨令A(2a,3a),B(2a,-3a),所以d1+d2=-+=2a=6,得a=所以b=3,所以该双曲线的方程为-=1.故选C.角度24.A[解析]=-=-1=e2-1=2,所以=±,所以渐近线方程为y=±x.5.C[解析]由题易知|PF2|=b,|OP|=a.过P向x轴作垂线,垂足为E,可知|PE|=,|F2E|=,所以|PF1|2=+-=(|OP|)2=6a2,从而可得e=.6.D[解析]由题意知A(-a,0),过A且斜率为的直线方程为y=(x+a),设P(x0,y0),则有y0=(x0+a)①.又△PF1F2为等腰三角形,且∠F1F2P=120°,所以==tan 30°=②,==tan 60°=③.联立-①②③,消去x0,y0,得=,即C的离心率为.7.B[解析]由双曲线方程知a=,b=1,则F(2,0).不妨设过点F的直线垂直渐近线x-y=0于M,交渐近线x+y=0于N.在Rt△OMF中,∠MOF=30°,|OF|=2,所以|OM|=.在Rt△OMN中,∠MON=60°,|OM|=,所以|MN|=3.角度38.A[解析]∵以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,∴圆心到此直线的距离d等于圆的半径,即d==a.又a>b>0,则上式可化简为a2=3b2.∵b2=a2-c2,∴a2=3(a2-c2),即=,∴e==.9.A[解析]设双曲线的一条渐近线方程为bx+ay=0,则圆心到该直线的距离d==.根据已知得=2.12+=4,即=3,所以b2=c2,所以e===-10.D[解析]由题意及双曲线的对称性画出示意图如图所示,渐近线OB:y=x.设B x0,x0,则·x0·x0=,∴x0=1,∴B1,,∴12+=22,∴b2=12,∴双曲线方程为-=1.角度411.A[解析]根据题意可知直线l1,l2的斜率存在且不为零,抛物线C的焦点F的坐标为(1,0),设直线l1的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2+,根据抛物线定义得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=4+.因为l2⊥l1,所以用-代替k,得|DE|=4+4k2,所以|AB|+|DE|=8+4≥8+4×2·=16,当且仅当k=±1时,等号成立,故所求的最小值为16.12.5[解析]由=2,得A,P,B三点共线,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1=-2x2,设直线AB的方程为y=kx+1,代入椭圆方程得(1+4k2)x2+8kx+4-4m=0,则x1+x2=-=-x2,则|x2|=≤=2,当且仅当1=4k2时取等号,故点B横坐标的绝对值最大时,有4k2=1,则x1x2=-=-2,即2-2m=-8,解得m=5.题组二刷模拟13.D[解析]将y=4x2化为x2=y,则该抛物线的准线方程为y=-.14.D[解析]左焦点F(-c,0),离心率e==,即c=a,则双曲线为等轴双曲线,即a=b,∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.∵经过F和P(0,4)两点的直线的斜率k=-=,∴=1,即c=4,则a=b=2∴双曲线的方程为-=1,故选D.15.C[解析]设M为椭圆短轴的一个端点,则由题意得∠AMB≥∠APB=120°,即∠AMO≥60°(O为坐标原点).因为tan∠OMA=,所以≥tan 60°=,所以a≥b,所以a2≥3(a2-c2),所以2a2≤3c2,所以1>e2≥,所以1>e≥,故选C.16.D[解析]设点P的坐标为,由圆的方程(x-4)2+y2=1可得圆心A(4,0),∴|PA|2=-+m2=(m2-8)2+12≥12,∴|PA|≥2.∵Q是圆A:(x-4)2+y2=1上任意一点,∴|PQ|的最小值为2-1,故选D.17.B[解析]因为抛物线与双曲线有相同的焦点,所以p=2c.因为AF与x轴垂直,所以不妨取点A的坐标为,将其代入双曲线方程可得-=1.又因为b2=c2-a2,p=2c,所以可得-=1,化简得-c4-6c2a2+a4=0,两边同时除以a4,得e4-6e2+1=0,解得e2=3+2或3-2(舍).设渐近线的斜率为k,由e2==1+=1+k2,得k2=2+2>3,所以经过一、三象限的渐近线的倾斜角应大于,所以倾斜角所在的区间是,故选B.18.D[解析]由y2=16x,得F(4,0),当x=4时,y2=16×4=64⇒y=±8,所以|PM|=10,P(4,8),则四边形KFPM为相邻两边长分别为10与8的矩形,故其内面积最大的椭圆应与各边相切,可知所作的椭圆的长半轴长为5,短半轴长为4.将椭圆+=1(a>b>0)的内接矩形的面积记为S,易知S=2ab sin 2θ≤2abθ为参数,0<θ<,因此所求矩形的最大面积为2×5×4=40,故选D.19.D[解析]设抛物线y2=2px(p>0)的准线为l',则l':x=-,如图所示,当直线AB的倾斜角为锐角时,分别过点A,B作AD⊥l',BE⊥l',垂足为D,E,过点B作BC⊥AD于点C,则|AD|=|AF|,|BE|=|BF|.∵=3,∴|AF|=3|BF|=|AB|,∴|AD|-|BE|=|AC|=|AF|-|BF|=|AB|.在Rt△ABC中,由|AC|=|AB|,可得∠BAC=60°.∵AD∥x轴,∴∠BAC=∠AFx=60°,∴k AB=tan 60°=∴直线l的方程为y=-.由---可得x M=p-,y M=-,代入抛物线的方程化简可得3p2-4p-84=0⇒p=6,∴该抛物线的焦点到准线的距离为6,故选D.20.B[解析]由双曲线方程-4y2=1(a>0)可得,双曲线的右顶点为(a,0),渐近线方程为y=±x,即x±2ay=0.∵双曲线的右顶点到渐近线的距离等于,∴=,解得a2=,∴双曲线的方程为-4y2=1,∴双曲线的右焦点为(1,0).又抛物线E:y2=2px的焦点与双曲线C的右焦点重合,∴p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,焦点F(1,0).如图所示,点M到直线l1的距离为|MA|,到直线l2的距离为|MB|,易知|MB|=|MF|,∴|MA|+|MB|=|MA|+|MF|.由图可得当A,M,F三点共线时,|MA|+|MB|取得最小值,且最小值为点F到直线l1的距离,即最小值为=2.故选B.21.[解析]设椭圆C:+=1的右焦点为F',则F'(2,0),又A,所以|AF'|=.根据椭圆的定义可得|PF|+|PF'|=2a=6,所以|PA|+|PF|=|PA|+6-|PF'|≥6-|AF'|=6-=.22.[解析]由抛物线的定义知|MF|=y0+=y0,解得y0=2p,又点M(1,y0)在抛物线C上,所以有1=,解得y0=1,所以p=.过点M作抛物线的准线的垂线,垂足为E,则tan∠FAM=tan∠AME===.23.+=1[解析]设点F关于直线y=x的对称点的坐标为(m,n),则由题意可得---解得据此可得点在椭圆C上.设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),则解得∴椭圆C的方程为+=1.24.(1,3][解析]设△PF1F2的内切圆的半径为r,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,|F1F2|=2c.易知△=|PF1|·r,△=|PF2|·r,△=×2c×r=cr,由题意得|PF1|·r-|PF2|·r≥cr,所以c≤(|PF1|-|PF2|)=3a,故e=≤3,又e>1,所以双曲线的离心率的取值范围是(1,3].解答必刷卷(五)题组一刷真题1.解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由-得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,Δ=16k2+16>0,故x1+x2=,所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或-因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.2.解:(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1.由已知可得,点A的坐标为1,或1,-,所以AM的方程为y=-x+或y=x-.(2)证明:当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°.当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1<,x2<,直线MA,MB的斜率之和为k MA+k MB=-+-.由y1=kx1-k,y2=kx2-k得k MA+k MB=---.将y=k(x-1)代入+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=,x1x2=-,则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=--=0,从而k MA+k MB=0,故直线MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.3.解:(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点.又由+>+知,C不经过点P1,所以点P2在C上.因此解得故C的方程为+y2=1.(2)证明:设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t≠0,且|t|<2,可得A,B的坐标分别为-,--,则k1+k2=----=-1,得t=2,不符合题设.从而可设l:y=kx+m(m≠1).将y=kx+m代入+y2=1得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.由题设可知Δ=16(4k2-m2+1)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-.而k1+k2=-+-=-+-=-.由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0,即(2k+1)·-+(m-1)·-=0,解得k=-.当且仅当m>-1时,Δ>0,于是l:y=-x+m,即y+1=-(x-2),所以l过定点(2,-1).题组二刷模拟4.解:(1)依题意得直线l的方程为y=kx+1,代入x2=4y得x2-4kx-4=0,Δ=(-4k)2+16>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1·x2=-4.因为=λ,即(-x2,1-y2)=λ(x1-x2,y1-y2),所以=1-,所以=-=+2+=1-+2+-,即4k2+2=-1+-.因为λ∈,所以-1∈,又函数f(x)=x+在上单调递减,所以4k2+2∈,所以-≤k≤.(2)因为x2=4y,所以y=,所以y'=,则切线PA的方程为y=(x-x1)+①,PB的方程为y=(x-x2)+②,②-①得-x=-,所以x=(x1+x2)=2k,将x=代入①得y=-1,所以P(2k,-1),则点P到直线l的距离d==2,所以S△AMP=|AM|·d,S△BNP=|BN|·d,所以S△AMP·S△BNP=|AM|·|BN|·d2.因为|AM|=|AF|-1=y1,|BN|=|BF|-1=y2,所以|AM|·|BN|=y1y2=·=1,所以S△AMP·S△BNP==1+k2,当且仅当k=0时,S△AMP·S△BNP取得最小值1.5.解:(1)如图所示,设以线段AB为直径的圆的圆心为C,取A'(-1,0).依题意,圆C内切于圆O,设切点为D,则O,C,D三点共线,∵O为AA'的中点,C为AB的中点,∴=2,∴|BA'|+|BA|=2|OC|+2|AC|=2|OC|+2|CD|=2|OD|=4>|AA'|=2,∴动点B的轨迹是以A,A'为焦点,长轴长为4的椭圆,设其方程为+=1(a>b>0),则2a=4,2c=2,∴a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3,∴动点B的轨迹方程为+=1.(2)证明:①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,此时直线l与椭圆+=1相切,与题意不符.②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+1=k(x-2).由-消去y,整理得(4k2+3)x2-(16k2+8k)x+16k2+16k-8=0.∵直线l与椭圆交于M,N两点,∴Δ=(16k2+8k)2-4(4k2+3)(16k2+16k-8)>0,解得k<.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,∴k PM+k PN=-+-=---+---=2k---=2k----=2k---=2k----=2k+3-2k=3(定值).6.解:(1)因为椭圆C的离心率e=,所以-=,即a2=2b2.因为椭圆C与圆O的4个交点恰为一个正方形的4个顶点,所以直线y=x与圆O的一个交点在椭圆C上,所以+=1.由解得所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)由(1)知A(0,-1),当直线DE的斜率存在时,设直线DE的方程为y=kx+t(t≠±1),代入+y2=1,得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,所以Δ=16k2t2-4(1+2k2)(2t2-2)>0,即t2-2k2<1.设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-.因为直线AD与直线AE的斜率之和为a2,所以k AD+k AE=+=+=2k+=2k-·-=a2=2,整理得t=1-k,所以直线DE的方程为y=kx+t=kx+1-k=k(x-1)+1,显然直线y=k(x-1)+1经过定点(1,1).当直线DE的斜率不存在时,设直线DE的方程为x=m,设D(m,n),则E(m,-n),因为直线AD与直线AE的斜率之和为a2,所以k AD+k AE=+-==a2=2,解得m=1,此时直线DE的方程为x=1,显然直线x=1经过定点(1,1).综上,存在定点G(1,1),使得直线DE恒过点G.。

数学一轮复习第八章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题第1课时最值范围证明问题学案含解析

第九节圆锥曲线的综合问题最新考纲考情分析1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．2．了解圆锥曲线的简单应用．3．理解数形结合的思想.1.直线与椭圆、抛物线的位置关系是近几年高考命题的热点．2．考查知识有直线与椭圆、抛物线相交，涉及弦长、中点、面积、对称、存在性问题．3．题型主要以解答题的形式出现,属中高档题。

知识点一直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0（A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y（也可以消去x）得到一个关于变量x(或变量y）的一元方程．即错误!消去y，得ax2＋bx＋c＝0。

（1）当a≠0时,设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．（2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1，y1），B（x2,y2),则|AB｜＝错误!｜x1－x2|＝错误!·错误!＝错误!·|y1－y2|＝错误!·错误!.知识点二圆锥曲线中的最值与取值范围问题圆锥曲线中的最值与取值范围问题一直是高考命题的热点，各种题型都有，命题角度很广,归纳起来常见的命题角度有：1．转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值；2．利用三角函数有界性求最值；3．数形结合利用几何性质求最值．知识点三圆锥曲线中的定值与定点问题1．这类问题一般考查直线与圆锥曲线的位置关系,一元二次方程的根与系数之间的关系，考查斜率、向量的运算以及运算能力．2．解决这类定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）（1）直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．(√)（2）直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．(×)（3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C 只有一个公共点．（×)（4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1）,B(x2，y2)两点,则弦长｜AB|＝错误!｜y1－y2|.(√）解析：(2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时,也只有一个公共点，是相交，但并不相切．（3）因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时,也只有一个公共点，是相交，但不相切．2．小题热身（1)过点（0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(C)A．1条B．2条C．3条D．4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点（0,1)且平行于x轴的直线以及过点（0,1）且与抛物线相切的直线（非直线x＝0)．（2)（2020·浙江八校联考）抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0）交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则(B）A．x3＝x1＋x2B．x1x2＝x1x3＋x2x3C．x1＋x2＋x3＝0 D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0解析：由错误!消去y得ax2－kx－b＝0,可知x1＋x2＝错误!，x1x2＝－错误!，令kx＋b＝0得x3＝－错误!，所以x1x2＝x1x3＋x2x3.(3)已知抛物线y＝ax2(a>0)的准线为l,l与双曲线x24－y2＝1的两条渐近线分别交于A,B两点，若｜AB｜＝4，则a＝错误!.解析：抛物线y＝ax2(a〉0）的准线l：y＝－错误!,双曲线错误!－y2＝1的两条渐近线分别为y＝错误!x，y＝－错误!x，可得x A＝－错误!，x B＝错误!，可得｜AB|＝错误!－错误!＝4，解得a＝错误!。

2021高考数学一轮复习第八章平面解析几何第5节椭圆第2课时直线与椭圆练习

第2课时直线与椭圆[A 级基础巩固]1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1，1)，又(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆相交．答案：A2．(2020·张家口市期末)椭圆x 216＋y 29＝1中，以点M (1，2)为中点的弦所在直线的斜率为( )A.916B.932C.964D ．－932解析：设弦的两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆得⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）9＝0，即（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＝－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）9，所以－9（x 1＋x 2）16（y 1＋y 2）＝y 1－y 2x 1－x 2，又M (1，2)为弦AB 的中点，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝4，所以－9×216×4＝y 1－y 2x 1－x 2，即y 1－y 2x 1－x 2＝－932，所以弦所在的直线的斜率为－932.答案：D3．若直线ax ＋by －3＝0与圆x 2＋y 2＝3没有公共点，设点P 的坐标为(a ，b )，则过点P 的一条直线与椭圆x 24＋y 23＝1的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．1或2解析：由题意得，圆心(0，0)到直线ax ＋by －3＝0的距离为3a 2＋b2>3，所以a 2＋b 2<3.又a ，b 不同时为零，所以0<a 2＋b 2<3.由0<a 2＋b 2<3，可知|a |<3，|b |<3，由椭圆的方程知其长半轴长为2，短半轴长为3，所以P (a ，b )在椭圆内部，所以过点P 的一条直线与椭圆x 24＋y 23＝1的公共点有2个．故选C. 答案：C4．(2020·福州市期末)已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的动点，则P 点到直线l ：x ＋y －25＝0的距离的最小值为( )A.102 B.52 C.105D.25解析：设与直线x ＋y －25＝0平行的直线方程是x ＋y ＋c ＝0，与椭圆方程联立，消元可得5x 2＋8cx ＋4c 2－4＝0，令Δ＝64c 2－20(4c 2－4)＝0，可得c ＝± 5. 所以两条平行线间的距离为|±5＋25|2＝102或3102，所以椭圆x 24＋y 2＝1上的动点P 到直线l ：x ＋y －25＝0的距离的最小值是102.答案：A5．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，代入x 24＋y 2＝1，消去y 得54x 2＋2tx ＋t 2－1＝0，由题意知Δ＝(2t )2－5(t 2－1)>0，即t 2<5，|AB |＝（1＋1）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝4255－t 2≤4105(当且仅当t ＝0时取等号)．故选C. 答案：C6．(2020·泰州市期末)已知直线y ＝x －1与椭圆x 24＋y 23＝1交于A 、B 两点，则线段AB的长为________．解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x 24＋y 23＝1，得7x 2－8x －8＝0，设A 、B 横坐标为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝87，x 1x 2＝－87，|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝ 2× ⎝ ⎛⎭⎪⎫872－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－87＝247. 答案：2477．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x＋c )与椭圆E 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：由已知得直线y ＝3(x ＋c )过M 、F 1两点，所以直线MF 1的斜率为3，所以∠MF 1F 2＝60°，则∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°，则MF 1＝c ，MF 2＝3c ，由点M 在椭圆E 上知，c ＋3c ＝2a ，故e ＝ca＝3－1.答案：3－18．已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点．直线PQ 过原点O与MN 平行，且PQ 与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2|MN |＝________．解析：不妨取直线MN ⊥x 轴，椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F (－1，0)，令x ＝－1，得y 2＝12，所以y ＝±22，所以|MN |＝2，此时|PQ |＝2b ＝2，则|PQ |2|MN |＝42＝2 2. 答案：2 29．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2，0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0， Δ＝96－8m 2>0，所以－23<m <23，因为x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，所以y 0＝x 0＋m ＝m3，因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，所以m ＝±355.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，且点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上，O为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过定点T (0，2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1)由题意，得c ＝1，所以a 2＝b 2＋1.因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上，所以1a 2＋94b2＝1，可解得a 2＝4，b 2＝3，则椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)依题意知直线斜率存在，不妨设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋2，得(4k 2＋3)x 2＋16kx ＋4＝0. 因为直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝48(4k 2－1)>0，即k 2>14，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝44k 2＋3.因为∠AOB 为锐角，所以OA →·OB →>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0. 所以x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)>0，即(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4>0，(1＋k 2)·44k 2＋3＋2k ·－16k 4k 2＋3＋4>0，－12k 2＋164k 2＋3>0，所以k 2<43，综上14<k 2<43，解得－233<k <－12或12<k <233.所以所求直线的斜率的取值范围为－233<k <－12或12<k <233.[B 级能力提升]11．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( )A.53 B.23 C.23D.13解析：由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2，所以|PF 2||PF 1|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝2a 3，|PF 2|＝4a3.根据勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 32＝(2c )2，所以离心率e ＝c a ＝53. 答案：A12．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．解析：由题意知，椭圆的右焦点F 的坐标为(1，0)，则直线AB 的方程y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点坐标为A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，所以S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53. 答案：5313.(2019·江苏卷)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2：(x －1)2＋y2＝4a 2交于点A ，与椭圆C 交于点D .连接AF 1并延长交圆F 2于点B ，连接BF 2交椭圆C 于点E ，连接DF 1.已知DF 1＝52.(1)求椭圆C 的标准方程； (2)求点E 的坐标．解：(1)设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2＝2，c ＝1. 又因为DF 1＝52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2＝DF 21－F 1F 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－22＝32. 因此2a ＝DF 1＋DF 2＝4，从而a ＝2. 由b 2＝a 2－c 2，得b 2＝3.因此，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知，椭圆C ：x 24＋y 23＝1，a ＝2.因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x ＝1代入圆F 2的方程(x －1)2＋y 2＝16，解得y ＝±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4)．又F 1(－1，0)，所以直线AF 1：y ＝2x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋2，（x －1）2＋y 2＝16，得5x 2＋6x －11＝0，解得x ＝1或x ＝－115.将x ＝－115代入y ＝2x ＋2，得y ＝－125.因此B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－115，－125.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：y ＝34(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝34（x －1），x 24＋y 23＝1，得7x 2－6x －13＝0，解得x ＝－1或x ＝137.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以x ＝－1. 将x ＝－1代入y ＝34(x －1)，得y ＝－32.因此E ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32. [C 级素养升华]14．(多选题)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 1与过F 2的直线l 2交于点M ，设M 的坐标为(x 0，y 0)，若l 1⊥l 2，则下列结论正确的有( )A.x 204＋y 203<1B.x 204＋y 203>1C.x 04＋y 03<1 D ．4x 20＋3y 20>1解析：由椭圆x 24＋y 23＝1，可得：a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，设A (0，3)，则tan ∠AF 1F 2＝3，可得∠AF 1F 2＝π3，所以∠F 1AF 2＝π3.因为l 1⊥l 2，所以直线l 1与直线l 2交点M 在椭圆的内部，所以x 204＋y 203<1，A 正确，B 不正确；直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 24＋y 23＝1联立，可得7y 2－24y ＋27＝0无解．因此直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 24＋y 23＝1无交点．而点M 在椭圆的内部，在直线的左下方，所以满足x 04＋y 03<1，C 正确．因为x 20＋y 20＝1，0≤y 20≤1，所以4x 20＋3y 20＝4(1－y 20)＋3y 20＝4－y 20>1，因此D 正确．答案：ACD。

高考数学一轮复习单元双优测评卷__第八单元立体几何初步B卷含解析

第八单元立体几何初步B 卷培优提能过关卷一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．（2021·浙江高考真题）如图已知正方体1111ABCD A B C D -,M ,N 分别是1A D ,1D B 的中点,则（）A ．直线1A D 与直线1DB 垂直,直线//MN 平面ABCDB ．直线1A D 与直线1D B 平行,直线MN ⊥平面11BDD BC ．直线1AD 与直线1D B 相交,直线//MN 平面ABCDD ．直线1A D 与直线1D B 异面,直线MN ⊥平面11BDD B2．（2021·全国高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中,地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ,半径r 为6400km 的球,其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α,记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ）,则S 占地球表面积的百分比约为（）A ．26%B ．34%C ．42%D ．50%3．（2021·北京高考真题）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm ）来判断降雨程度．其中小雨（10mm <）,中雨（10mm 25mm -）,大雨（25mm 50mm -）,暴雨（50mm 100mm -）,小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水,如图,则这天降雨属于哪个等级（）A ．小雨B ．中雨C ．大雨D ．暴雨4．（2021·全国高考真题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（）A ．20123+B ．282C ．563D ．28235．（2021·浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（）A ．32B ．3C ．322D ．326．（2021·全国高考真题（理））在正方体1111ABCD A B C D -中,P 为11B D 的中点,则直线PB 与1AD 所成的角为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π67．（2021·全国高考真题）已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为（）A ．2B ．22C ．4D ．428．（2021·全国高三模拟）如图,已知一底面半径为1,体积为π的圆锥内接于球O (其中球心O 在圆锥内),则球O 的表面积为（）A ．1009πB ．209πC ．203πD ．503π 二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．（2021·全国高考真题）如图,在正方体中,O 为底面的中心,P 为所在棱的中点,M ,N 为正方体的顶点．则满足MN OP ⊥的是（）A ．B ．C ．D ．10．（2021·福建福州市·高三模拟）在正方体1AC 中,E 是棱1CC 的中点,F 是侧面11BCC B 内的动点,且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直,如图所示,下列说法正确的是（）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值11．（2021·辽宁高三模拟）在三棱锥A －BCD 中,AB ⊥平面BCD ,BC ⊥CD ,AB ＝BC ＝1,BD ＝2,三棱锥A －BCD 的所有顶点均在球O 的表面上,若点M 、N 分别为△BCD 与△ABD 的重心,直线MN 与球O 的表面相交于F 、G 两点,则（）A ．三棱锥A －BCD 的外接球表面积为3πB ．点O 到线段MN 的距离为33C ．26||3FG =D ．||:||23FG MN =12．（2021·广东佛山市高三模拟）中国饮食文化是有着长远历史,博大精深的中国文化.譬如粽子,有人说是因为纪念爱国诗人屈原人们用艾叶或苇叶､荷叶包住食物,用五色丝线捆好,投江祭奠；也有人说是为了清明节纪念晋文公名臣介子推.现在粽子已演变出不同品种､不同类别,很多地方逢年过节怀着美好祝愿以棕子为食物.其中一种粽子被包成比较对称的四面体形状.现有一只质地均匀的粽子各棱长为12的四面体ABCD ,兄弟三人分食此粽.大哥将棕子平放桌面上(面BCD 在桌面),准备用垂直于桌面的两刀将粽子体积三等分,忽略粽子的变形,第一刀经过了棱AB 上点E ,切截面与棱BC ,BD 均相交；则以下结论正确的是（）A ．若AE =2,第一刀切底面所得的三角形面积是定值；B ．若AE =2,截面截底面两边的长度为216127425+及216127425-； C ．点E 能与点A 重合；D ．若第二刀将剩余部分分为全等的两块,则BE 长为66.三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．13．（2021·全国高三模拟（理））如图,已知圆柱的上底面圆心为O ,高和底面圆的半径相等,AB 是底面圆的一条直径,点C 为底面圆周上一点,且45ABC ∠=︒,则异面直线AC 与OB 所成角的余弦值为___________.14．（2021·江苏泰州市·高三模拟）由两种或三种正多边形面组成的凸多面体称作阿基米德多面体．将一个棱长为12的正四面体截去4个小正四面体后可以得到一个由正三角形和正六边形构成的阿基米德八面体,则该阿基米德八面体的外接球的表面积为_________．15．（2020·河北高三模拟（文））我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”,现有一“阳马”(如图所示),其中PA ⊥底面ABCD ,3PA =,2AB =,1AD =,则该“阳马”的外接球的体积为___________.16．（2021·合肥市第六中学高三模拟（理））如图,在平面四边形ABCD 中,4,42,120,DA DC BA BC ADC E ︒∠=＝＝＝＝为AC 的中点,将ABC 沿AC 折起,使得4BD =,以D 为球心,DE 为半径的球与三棱锥B ADC -各面交线的长度和为___________.四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2021·全国高考真题（文））已知直三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA B B 为正方形,2AB BC ==,E ,F 分别为AC 和1CC 的中点,11BF A B ⊥.（1）求三棱锥F EBC -的体积；（2）已知D 为棱11A B 上的点,证明：BF DE ⊥.18．（2021·全国高考真题）如图,在三棱锥A BCD -中,平面ABD ⊥平面BCD ,AB AD =,O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形,点E 在棱AD 上,2DE EA =,且二面角E BC D --的大小为45︒,求三棱锥A BCD -的体积.19．（2021·上海市高三模拟）如图,在四棱锥P ABCD -中,PC ⊥底面,ABCD ABCD 是直角梯形,,//AD DC AB DC ⊥,222AB AD CD ===,点E 是PB 的中点.（1）证明：直线BC ⊥平面PAC ；（2）者直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值为33,求三棱锥P ACE -的体积.20．（2021·重庆市育才中学高三二模）如图,二面角MN αβ--的大小为23π,半径为2的球O 与平面α相切于点A ,与β相交于圆1O ,BC 为圆1O 的一条直径,AB AC =,132OO =.（1）证明：MN ⊥平面1AOO ；（2）过球心的平面截球面所得圆称为大圆,如圆O ,不过球心的平面截球面所得的圆为小圆,如圆1O ,过某两点的大圆上两点间的劣弧的长度叫这两点的球面距离,球面距离是球面上两点间距离的最小值.试求A ､B 两点间的球面距离.(如果某个0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭)满足sin m α=,则可将α记作arcsin m )21．（2021·四川高三三模（文））如图,由半径为2的四分之一圆面绕其半径所在直线l 旋转一周,形成的几何体底面圆的圆心为O ,D 是几何体侧面上不在O 上的动点,AB 是O 的直径,C 为O 上不同于A ,B 的动点,G 为ABC 的重心,2AE ED =.（1）证明：//EG 平面BCD ；（2）当三棱锥D ABC -体积最大时,求三棱锥G CDE -的体积.22．（2021·广东高三模拟）棱锥是生活中最常见的空间图形之一,譬如我们熟悉的埃及金字塔,它的形状可视为一个正四棱锥.我国数学家很早就开始研究棱锥问题,公元一世纪左右成书的《九章算术》第五章中的第十二题,计算了正方锥、直方锥（阳马）、直三角锥（鳖臑）的体积,并给出了通用公式.公元三世纪中叶,数学家刘徽在给《九章算术》作的注中,运用极限思想证明了棱锥的体积公式.请你使用学过的相关知识,解决下列问题：如图,正三棱锥S ABC -中,三条侧棱SA ,SB ,SC 两两垂直,侧棱长是3,底面ABC 内一点P 到侧面,,SAB SBC SAC 的距离分别为x ,y ,z .（1）求证：3x y z ++=；（2）若1113x y z ++=,试确定点P 在底面ABC 内的位置2022年高考数学一轮复习单元双优测评卷（新高考地区专用）第八单元立体几何初步B 卷培优提能过关卷一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．（2021·浙江高考真题）如图已知正方体1111ABCD A B C D -,M ,N 分别是1A D ,1D B 的中点,则（）A ．直线1A D 与直线1DB 垂直,直线//MN 平面ABCDB ．直线1A D 与直线1D B 平行,直线MN ⊥平面11BDD BC ．直线1AD 与直线1D B 相交,直线//MN 平面ABCDD ．直线1A D 与直线1D B 异面,直线MN ⊥平面11BDD B2．（2021·全国高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中,地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ,半径r 为6400km 的球,其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α,记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ）,则S 占地球表面积的百分比约为（）A ．26%B ．34%C ．42%D ．50%3．（2021·北京高考真题）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm ）来判断降雨程度．其中小雨（10mm <）,中雨（10mm 25mm -）,大雨（25mm 50mm -）,暴雨（50mm 100mm -）,小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水,如图,则这天降雨属于哪个等级（）A ．小雨B ．中雨C ．大雨D ．暴雨4．（2021·全国高考真题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（）A ．20123+B ．282C ．563D ．28235．（2021·浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（）A ．32B ．3C ．322D ．326．（2021·全国高考真题（理））在正方体1111ABCD A B C D -中,P 为11B D 的中点,则直线PB 与1AD 所成的角为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π67．（2021·全国高考真题）已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为（） A ．2B ．22C ．4D ．428．（2021·全国高三模拟）如图,已知一底面半径为1,体积为π的圆锥内接于球O (其中球心O 在圆锥内),则球O 的表面积为（）A ．1009π B ．209π C ．203π D ．503π二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．（2021·全国高考真题）如图,在正方体中,O 为底面的中心,P 为所在棱的中点,M ,N 为正方体的顶点．则满足MN OP ⊥的是（）A ．B ．C ．D ．10．（2021·福建福州市·高三模拟）在正方体1AC 中,E 是棱1CC 的中点,F 是侧面11BCC B 内的动点,且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直,如图所示,下列说法正确的是（）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值11．（2021·辽宁高三模拟）在三棱锥A －BCD 中,AB ⊥平面BCD ,BC ⊥CD ,AB ＝BC ＝1,BD ＝2,三棱锥A －BCD 的所有顶点均在球O 的表面上,若点M 、N 分别为△BCD 与△ABD 的重心,直线MN 与球O 的表面相交于F 、G 两点,则（）A ．三棱锥A －BCD 的外接球表面积为3πB ．点O 到线段MN 的距离为33C ．26||3FG =D ．||:||23FG MN =12．（2021·广东佛山市高三模拟）中国饮食文化是有着长远历史,博大精深的中国文化.譬如粽子,有人说是因为纪念爱国诗人屈原人们用艾叶或苇叶､荷叶包住食物,用五色丝线捆好,投江祭奠；也有人说是为了清明节纪念晋文公名臣介子推.现在粽子已演变出不同品种､不同类别,很多地方逢年过节怀着美好祝愿以棕子为食物.其中一种粽子被包成比较对称的四面体形状.现有一只质地均匀的粽子各棱长为12的四面体ABCD ,兄弟三人分食此粽.大哥将棕子平放桌面上(面BCD 在桌面),准备用垂直于桌面的两刀将粽子体积三等分,忽略粽子的变形,第一刀经过了棱AB 上点E ,切截面与棱BC ,BD 均相交；则以下结论正确的是（）A ．若AE =2,第一刀切底面所得的三角形面积是定值；B ．若AE =2,；C ．点E 能与点A 重合；D ．若第二刀将剩余部分分为全等的两块,则BE 长为66. 三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．13．（2021·全国高三模拟（理））如图,已知圆柱的上底面圆心为O ,高和底面圆的半径相等,AB 是底面圆的一条直径,点C 为底面圆周上一点,且45ABC ∠=︒,则异面直线AC 与OB 所成角的余弦值为___________.14．（2021·江苏泰州市·高三模拟）由两种或三种正多边形面组成的凸多面体称作阿基米德多面体．将一个棱长为12的正四面体截去4个小正四面体后可以得到一个由正三角形和正六边形构成的阿基米德八面体,则该阿基米德八面体的外接球的表面积为_________． 15．（2020·河北高三模拟（文））我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”,现有一“阳马”(如图所示),其中PA ⊥底面ABCD ,3PA =,2AB =,1AD =,则该“阳马”的外接球的体积为___________.16．（2021·合肥市第六中学高三模拟（理））如图,在平面四边形ABCD 中,4,42,120,DA DC BA BC ADC E ︒∠=＝＝＝＝为AC 的中点,将ABC 沿AC 折起,使得4BD =,以D 为球心,DE 为半径的球与三棱锥B ADC -各面交线的长度和为___________.四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（2021·全国高考真题（文））已知直三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA B B 为正方形,2AB BC ==,E ,F 分别为AC 和1CC 的中点,11BF A B ⊥.（1）求三棱锥F EBC -的体积；（2）已知D 为棱11A B 上的点,证明：BF DE ⊥.18．（2021·全国高考真题）如图,在三棱锥A BCD -中,平面ABD ⊥平面BCD ,AB AD =,O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形,点E 在棱AD 上,2DE EA =,且二面角E BC D --的大小为45︒,求三棱锥A BCD -的体积.19．（2021·上海市高三模拟）如图,在四棱锥P ABCD -中,PC ⊥底面,ABCD ABCD 是直角梯形,,//AD DC AB DC ⊥,222AB AD CD ===,点E 是PB 的中点.（1）证明：直线BC ⊥平面PAC ；（2）者直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值为33,求三棱锥P ACE -的体积.20．（2021·重庆市育才中学高三二模）如图,二面角MN αβ--的大小为23π,半径为2的球O 与平面α相切于点A ,与β相交于圆1O ,BC 为圆1O 的一条直径,AB AC =,132OO =.（1）证明：MN ⊥平面1AOO ；（2）过球心的平面截球面所得圆称为大圆,如圆O ,不过球心的平面截球面所得的圆为小圆,如圆1O ,过某两点的大圆上两点间的劣弧的长度叫这两点的球面距离,球面距离是球面上两点间距离的最小值.试求A ､B 两点间的球面距离.(如果某个0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭)满足sin m α=,则可将α记作arcsin m )21．（2021·四川高三三模（文））如图,由半径为2的四分之一圆面绕其半径所在直线l 旋转一周,形成的几何体底面圆的圆心为O ,D 是几何体侧面上不在O 上的动点,AB 是O 的直径,C 为O 上不同于A ,B 的动点,G 为ABC 的重心,2AE ED =.（1）证明：//EG 平面BCD ；（2）当三棱锥D ABC -体积最大时,求三棱锥G CDE -的体积.22．（2021·广东高三模拟）棱锥是生活中最常见的空间图形之一,譬如我们熟悉的埃及金字塔,它的形状可视为一个正四棱锥.我国数学家很早就开始研究棱锥问题,公元一世纪左右成书的《九章算术》第五章中的第十二题,计算了正方锥、直方锥（阳马）、直三角锥（鳖臑）的体积,并给出了通用公式.公元三世纪中叶,数学家刘徽在给《九章算术》作的注中,运用极限思想证明了棱锥的体积公式.请你使用学过的相关知识,解决下列问题：如图,正三棱锥S ABC -中,三条侧棱SA ,SB ,SC 两两垂直,侧棱长是3,底面ABC 内一点P 到侧面,,SAB SBC SAC 的距离分别为x ,y ,z .（1）求证：3x y z ++=；（2）若1113x y z ++=,试确定点P 在底面ABC 内的位置。

2021年高考数学一轮复习第八章解析几何课时分层作业五十六8.7双曲线理

2021年高考数学一轮复习第八章解析几何课时分层作业五十六8.7双曲线理一、选择题(每小题5分,共25分)1.双曲线-=1的渐近线方程是 ( )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x【解析】选C.双曲线-=1 中a=3,b=2,双曲线的渐近线方程为y=±x.2.(xx·石家庄模拟)若双曲线M:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,P为双曲线M上一点,且|PF1|=15, |PF2|=7, |F1F2|=10,则双曲线M的离心率为( ) A.3 B.2 C. D.【解析】选D.P为双曲线M上一点,且|PF1|=15,|PF2|=7,|F1F2|=10,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=8,|F1F2|=2c=10,则双曲线的离心率为:e==.3.(xx·彭州模拟)设F为双曲线C: -=1(a>0,b>0)的右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点P,Q,若|PQ|=2|QF|, ∠PQF=60°,则该双曲线的离心率为( )A. B.1+C.2+D.4+2【解析】选B.∠PQF=60°,因为|PQ|=2|QF|,所以∠PFQ=90°,设双曲线的左焦点为F1,连接F1P,F1Q,由对称性可知,四边形F1PFQ为矩形,且|F1F|=2|QF|,|QF1|=|QF|,故e====+1.【变式备选】(xx·齐齐哈尔模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,半径为a 的圆与双曲线C的某条渐近线交于两点P,Q,若∠PAQ≥,则双曲线C的离心率的取值范围为( )A. B.C. D.【解析】选A.过A作AB⊥PQ,垂足为B,则B为PQ的中点,即∠PAB≥,点A到渐近线y=x的距离为:|AB|=,cos∠PAB≤,即≤,得到≤.所以≤×,≤,e≤,又e>1,所以双曲线C的离心率的取值范围为.4.已知双曲线C:x2-=1,经过点M的直线l交双曲线C于A,B两点,且M为AB的中点,则直线l的方程为( )A.8x-y-15=0B.8x+y-17=0C.4x+y-9=0D.4x-y-7=0【解析】选A.设点A,B,则有两式作差得-=0,即直线l的斜率k===8,所以直线l的方程为y-1=8,即8x-y-15=0.【变式备选】已知双曲线C:x2-=1,经过点M的直线l交双曲线C于A,B两点,且M为AB的中点,则直线l 的方程为________.【解析】设点A,B,则有两式作差得-=0,即直线l的斜率k===1,所以直线l的方程为y-3=x-1,即y=x+2.答案:y=x+25.已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为 ( )A.5B.5+4C.7D.9【解析】选D.如图所示,设双曲线的右焦点为E,则E(4,0).由双曲线的定义及标准方程得|PF|-|PE|=4,则|PF|+|PA|=4+|PE|+|PA|.由图可得,当A,P,E三点共线时,(|PE|+|PA|)min=|AE|=5,从而|PF|+|PA|的最小值为9.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为________.【解析】因为e==,F2(5,0),所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以双曲线C的标准方程为-=1.答案:-=1【误区警示】利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出关于a,b,c的方程并求出a,b,c的值.与双曲线-=1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0).7.已知双曲线经过点,其一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的标准方程为________.【解析】设双曲线方程为: mx2+ny2=1(mn<0),由题意可知: 解得:则双曲线的标准方程为: -y2=1.答案:-y2=1【题目溯源】本考题源于教材人教A版选修2-1 P61习题A组T2(1)“求焦点在x轴上,a=2,经过点A(-5,2)的双曲线的标准方程”.【变式备选】与双曲线-=1有共同的渐近线,且经过点A的双曲线的方程为________.【解析】设方程为-=λ(λ≠0),代入点A(,2),可得-=λ,所以λ=-9,所以双曲线的方程为-=1.答案:-=18.(xx·唐山模拟)P是双曲线-=1右支上一点,F1,F2分别为左、右焦点,且焦距为2c,则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标是________.【解析】(利用定义解三角形)如图,内切圆圆心M到各边的距离分别为|MA|,|MB|,|MC|,切点分别为A,B,C,由三角形的内切圆的性质则有:|CF1|=|AF1|,|AF2|=|BF2|,|PC|=|PB|,所以|PF1|-|PF2|=|CF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|=2a,又|AF1|+|AF2|=2c,所以|AF1|=a+c,则|OA|=|AF1|-|OF1|=a.因为M的横坐标和A的横坐标相同,所以M的横坐标为a.答案:a三、解答题(每小题10分,共20分)9.直线l:y=(x-2)和双曲线C:-=1(a>0,b>0)交于A,B两点,且|AB|=,又l关于直线l1:y=x对称的直线l2与x轴平行.(1)求双曲线C的离心率.(2)求双曲线C的方程.【解析】(1)设双曲线C:-=1过一、三象限的渐近线l1:-=0的倾斜角为α.因为l和l2关于l1对称,记它们的交点为P,l与x轴的交点为M.而l2与x轴平行,记l2与y轴的交点为Q.依题意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α.又l:y=(x-2)的倾斜角为60°,则2α=60°,所以tan 30°==.于是e2==1+=1+=,所以e=.(2)由于=,于是设双曲线方程为-=1(k≠0),即x2-3y2=3k2.将y=(x-2)代入x2-3y2=3k2中,得x2-3×3(x-2)2=3k2.化简得到8x2-36x+36+3k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=2=2·= =,求得k2=1.故所求双曲线方程为-y2=1.10.已知离心率为的椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,双曲线以椭圆的长轴为实轴,短轴为虚轴,且焦距为2.(1)求椭圆及双曲线的方程.(2)设椭圆的左、右顶点分别为A,B,在第二象限内取双曲线上一点P,连接BP交椭圆于点M,连接PA并延长交椭圆于点N,若=,求四边形ANBM的面积.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),则根据题意知双曲线的方程为-=1且满足解方程组得所以椭圆的方程为+=1,双曲线的方程为-=1.(2)由(1)得A(-5,0),B(5,0),|AB|=10,设M(x0,y0),则由=得M为BP的中点,所以P点坐标为(2x0-5,2y0).将M,P坐标代入椭圆和双曲线方程,得消去y0,得2-5x0-25=0.解之,得x0=-或x0=5(舍去).所以y0=.由此可得M,所以P(-10,3).当P为(-10,3)时,直线PA的方程是y=(x+5),即y=-(x+5),代入+=1,得2x2+15x+25=0.所以x=-或-5(舍去),所以x N=-,x N=x M,MN⊥x轴.所以S四边形ANBM=2S△AMB=2××10×=15.【误区警示】注意区分双曲线中a,b,c的关系与椭圆中a,b,c的关系.【变式备选】已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为2x+y=0,且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程.(2)设P为双曲线上一点,A,B两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、二象限,若=,求△AOB的面积.【解析】(1)依题意得解得故双曲线的方程为-x2=1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y=±2x,设A(m,2m),B(-n,2n),其中m>0,n>0,由=得点P的坐标为.将点P的坐标代入-x2=1,整理得mn=1.设∠AOB=2θ,因为tan=2,则tan θ=,从而sin 2θ=.又|OA|=m,|OB|=n,所以S△AOB=|OA||OB|sin 2θ=2mn=2.1.(5分)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM(切点为M),交y轴于点P.若M为线段FP的中点,则双曲线的离心率是( )A. B. C.2 D.【解析】选A.因为OM⊥PF,且|FM|=|PM|,所以|OP|=|OF|,∠OFP=45°,|OM|=|OF|·sin 45°,即a=c·,所以e==,故选A.【变式备选】已知△ABP的顶点A,B分别为双曲线C:-=1的左、右焦点,顶点P在双曲线上,则的值等于( )A. B. C. D.【解析】选A.在△ABP中,由正弦定理知====.2.(5分)(xx·汉阳模拟)已知O为直角坐标系的坐标原点,双曲线C: -=1(b>a>0)上有一点P(m>0),点P在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点,过点P作双曲线C两条渐近线的平行线,与两条渐近线的交点分别为A, B,若平行四边形PAOB的面积为1,则双曲线的标准方程是( )A.x2-=1B.-=1C.x2-=1D.-=1【解析】选A.设平行线方程为y-m=-,由解得x A=,则|OA|=·,又点P到直线y=x的距离d=,所以··=1,化简得 =1,又-=1⇒5b2-a2m2=a2b2,所以ab=2,又c=,解得a=1,b=2,所以双曲线的标准方程是x2-=1.【变式备选】已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点与圆x2+y2-10x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的标准方程为 ( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选A.因为圆x2+y2-10x=0的圆心为(5,0),所以c=5,又双曲线的离心率等于,所以a=,b=2.所以双曲线的标准方程为-=1.3.(5分)(xx·开封模拟)F1,F2是双曲线C:-=1的两个焦点,点M是双曲线C上一点,且∠F1MF2=60°,则△F1MF2的面积为________.【解析】因为F1,F2是双曲线C:-=1的两个焦点,所以m+4=16,所以m=12,设|MF1|=m′,|MF2|=n,因为点M是双曲线上一点,且∠F1MF2=60°,所以|m′-n|=4①,m′2+n2-2m′ncos 60°=64②,由②-①2得m′n=16,所以△F1MF2的面积S=m′nsin 60°=4.答案:44.(12分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为y=x,右焦点F到直线x=的距离为.(1)求双曲线C的方程.(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B,D两点,已知A(1,0),若·=1,证明:过A,B,D三点的圆与x轴相切.【解析】(1)依题意有=,c-=,因为a2+b2=c2,所以c=2a,所以a=1,c=2,b2=3.故双曲线C的方程为x2-=1.(2)设直线l的方程为y=x+m(m>0),B(x1,x1+m),D(x2,x2+m),BD的中点为M,由得2x2-2mx-m2-3=0,所以x1+x2=m,x1x2=-,又因为·=1,即(2-x1)(2-x2)+(x1+m)(x2+m)=1.所以m=0(舍)或m=2.所以x1+x2=2,x1x2=-,M点的横坐标为=1,因为·=(1-x1)(1-x2)+(x1+2)(x2+2)=5+2x1x2+x1+x2=5-7+2=0.所以AD⊥AB,所以过A,B,D三点的圆以点M为圆心,BD为直径,因为点M的横坐标为1,所以MA⊥x轴,所以过A,B,D三点的圆与x轴相切.5.(13分)已知动圆P过点N(2,0)并且与圆M:(x+2)2+y2=4相外切,动圆圆心P的轨迹为W,过点N的直线l 与轨迹W交于A,B两点.(1)求轨迹W的方程.(2)若2=,求直线l的方程.(3)对于l的任意一确定的位置,在直线x=上是否存在一点Q,使得·=0,并说明理由.【解析】(1)依题意可知|PM|=|PN|+2,所以|PM|-|PN|=2<|MN|=4,所以点P的轨迹W是以M,N为焦点的双曲线的右支,设其方程为-=1(a>0,b>0),则a=1,c=2,所以b2=c2-a2=3,所以轨迹W的方程为x2-=1(x≥1).(2)当l的斜率不存在时,显然不满足2=,故l的斜率存在,设l的方程为y=k(x-2),由得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0,又设A(x1,y1),B(x2,y2),则由①②③解得k2>3.因为2=,所以2(2-x1,-y1)=(x2-2,y2),所以x2=6-2x1,代入①②得=6-x1,=x1(6-2x1),消去x1得k2=35,即k=±,故所求直线l的方程为y=±(x-2).(3)问题等价于判断以AB为直径的圆是否与直线x=有公共点,若直线l的斜率不存在,则以AB为直径的圆为(x-2)2+y2=9,可知其与直线x=相交, 若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为y=k(x-2),设A(x1,y1),B(x2,y2),由(2)知k2>3且x1+x2=,x1x2=,则|AB|=|x1-x2|=,设以AB为直径的圆的圆心为S,点S到直线x=的距离为d,则d=-=-=,所以d-=-=-,因为k2>3所以d-<0,即d<,即直线x=与圆S相交.综上所述,以线段AB为直径的圆与直线x=相交,故对于l的任意一确定的位置,在直线x=上存在一点Q,使得·=0.。

新人教版B版2021届高考数学一轮复习单元质量测试8含解析

单元质量测试(八)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．同时抛掷3枚硬币，那么互为对立事件的是( ) A ．“至少有1枚正面”与“最多有1枚正面” B ．“最多有1枚正面”与“恰有2枚正面” C ．“至多有1枚正面”与“至少有2枚正面” D ．“至少有2枚正面”与“恰有1枚正面” 答案 C解析两个事件是对立事件必须满足两个条件：①不同时发生，②两个事件的概率之和等于1.故选C ．2．(2020·衡水中学期末)某学校有体育特长生25人，美术特长生35人，音乐特长生40人，用分层抽样的方法从中抽取40人，则抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为( )A ．8,14,18B ．9,13,18C ．10,14,16D ．9,14,17答案 C解析因为25＋35＋40＝100，用分层抽样的方法从中抽取40人，所以每个个体被抽到的概率是P ＝40100＝25＝0.4，所以体育特长生25人应抽25×0.4＝10(人)，美术特长生35人应抽35×0.4＝14(人)，音乐特长生40人应抽40×0.4＝16(人)．3．(2019·河南濮阳模拟)设f (x )＝－x 2＋mx ＋m ，在[－6，9]内任取一个实数m ，则函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率等于( )A ．215B ．715 C ．35 D ．1115答案 D解析因为f (x )＝－x 2＋mx ＋m 的图象与x 轴有公共点，所以Δ＝m 2＋4m ≥0，所以m ≤－4或m ≥0，所以在[－6,9]内取一个实数m ，函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率P ＝[－4－－6]＋9－09－－6＝1115.故选D ．4．假设有两个分类变量X 和Y 的2×2列联表如下：YXy 1 y 2总计x 1 a 10 a ＋10 x 2c30 c ＋30总计6040100( ) A ．a ＝45，c ＝15 B ．a ＝40，c ＝20 C ．a ＝35，c ＝25 D ．a ＝30，c ＝30答案 A解析根据2×2列联表与独立性检验可知，当a a ＋10与cc ＋30相差越大时，X 与Y 有关系的可能性越大，即a ，c 相差越大，a a ＋10与cc ＋30相差越大．故选A ． 5．已知变量x 与y 的取值如下表所示，且2.5<n <m <6.5，则由该数据算得的线性回归方程可能是( )x 2 3 4 5 y6.5m n2.5A ．y ^＝0.8x ＋2.3B ．y ^＝2x ＋0.4C ．y ^＝－1.5x ＋8 D ．y ^＝－1.6x ＋10答案 D解析由2.5<n <m <6.5，可得为负相关，排除A ，B ；由题意，知x －＝3.5，y －＝14×(6.5＋m ＋n ＋2.5)∈(3.5,5.5)，分别代入选项C ，D ，可得D 满足．故选D ．6．已知(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，若a 4＝－35，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．128 B ．64 C ．－63 D ．－64答案 B解析解法一：由题意可知a 4＝C 37·(－m )3＝－35，解得m ＝1.所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝C 67·(－m )6＋C 47·(－m )4＋C 27·(－m )2＋C 07·(－m )0＝C 67＋C 47＋C 27＋C 07＝64.解法二：由题意可知a 4＝C 37·(－m )3＝－35，解得m ＝1.设f (x )＝(x －1)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x2＋…＋a 7x 7，则f (1)＝0＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7，f (－1)＝－27＝a 0－a 1＋a 2－…－a 7，即a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝f 1－f －12＝64.7．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，在取到的2个数之和为偶数的条件下，取到的2个数均为奇数的概率为( )A ．15B ．14C ．35D ．34答案D解析记“取到的2个数之和为偶数”为事件A ，“取到的2个数均为奇数”为事件B ，则P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 23C 25＝310.由条件概率的计算公式得P (B |A )＝P ABP A ＝31025＝34.故选D ．8．若在边长为a 的正三角形内任取一点P ，则点P 到三角形三个顶点的距离均大于a2的概率是( )A ．1112－3π6B ．1－3π6C ．13D ．14答案 B解析如图，正三角形ABC 的边长为a ，分别以它的三个顶点为圆心，以a2为半径，在△ABC 内部画圆弧，得三个扇形，依题意知点P 在这三个扇形外，因此所求概率为34a 2－12×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2234a 2＝1－3π6.故选B ．9．10枚均匀的骰子同时掷出，共掷5次，至少有一次全部出现一点的概率是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫56105B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫56510C ．1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫16510D ．1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫16105答案 D解析一次同时掷出10枚均匀的骰子，10枚骰子全部出现一点的概率等于⎝ ⎛⎭⎪⎫1610，故10枚骰子没有全部出现一点的概率等于1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1610.事件“掷5次，至少有一次10枚骰子全部出现一点”的对立事件为“掷5次，每次掷出的10枚骰子中，至少有一枚没有出现一点”，故至少有一次10枚骰子全部出现一点的概率等于1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫16105.故选D ．10．(2019·青海玉树高三第一次联考)已知数列{a n }为等差数列，且满足a 1＋a 5＝90.若(1－x )m 的展开式中含x 2项的系数等于数列{a n }的第三项，则m 的值为( )A ．6B ．8C ．9D ．10答案 D解析数列{a n }为等差数列，所以a 3＝a 1＋a 52＝45；由二项式定理可知(1－x )m的展开式中含x 2项的系数为C 2m ，所以C 2m ＝a 3＝45，解得m ＝10.11．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，m (m >0)为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a ＝b (b mod m )．若a ＝C 020＋C 120×2＋C 220×22＋…＋C 2020×220，a ＝b (b mod 10)，则b 的值可以是( )A ．2011B ．2014C ．2017D ．2020答案 A解析 ∵a ＝C 020＋C 120×2＋C 220×22＋…＋C 2020×220＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝C 010×1010－C 110×109＋C 210×108－…－C 910×10＋C 1010，∴a 被10除得的余数为1，而2011被10除得的余数是1.故选A ．12．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派1名教师的不同分派方法种数为( )A ．420B ．200C ．180D ．150答案 D解析由题意知，5名教师的指派分组可以为1,2,2或1,1,3两种不同的方法，当分组为1,2,2时，不同的分派方法种数为C 15C 24A 33A 22＝90，当分组为1,1,3时，不同的分派方法种数为C 35C 12A 33A 22＝60，所以不同的分派方法种数为90＋60＝150. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是________．答案 45解析该题为长度型几何概型，所以概率P ＝17－1318－13＝45.14．(2019·江西上饶一模)若⎝⎛⎭⎪⎫ax －b x6的展开式中的常数项为－160，则a 2＋b 2的最小值为________．答案 4解析二项式⎝⎛⎭⎪⎫ax －b x6的通项公式为T r ＋1＝C r 6(ax )6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－b x r ＝C r 6a 6－r (－b )r x 6－2r (r ＝0,1，…，6)，当r ＝3时，常数项为－C 36a 3b 3＝－160，解得ab ＝2，则a 2＋b 2≥2ab ＝4，即a 2＋b 2的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝2或a ＝b ＝－2时取等号．15．(2019·东北四市模拟)三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局的胜者对第一局的败者，第四局是第三局的胜者对第二局的败者，则乙队连胜四局的概率为________．答案 0.09解析设乙队连胜四局为事件A ，有下列情况：第一局中乙胜甲(A 1)，其概率为1－0.4＝0.6；第二局中乙胜丙(A 2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A 3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A 4)，其概率为0.5，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4)＝0.62×0.52＝0.09.16．(2019·佛山一模)某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元．保险公司把职工从事的所有岗位共分为A ，B ，C 三类工种，根据历史数据统计出这三类工种的每年赔付频率如表所示(并以此估计赔付概率)．B ，C 三类工种每份保单保费的上限之和为________元．答案 81.25解析设工种A 的每份保单保费为a 元，保险公司每份保单的利润为随机变量X ，则X 的分布列为保险公司期望利润为E (X )＝a ⎝ ⎭⎪⎫1－105＋(a －50×104)×105＝a －5(元)，根据规定知，a －5≤0.2a ，解得a ≤6.25.设工种B 的每份保单保费为b 元，同理可得保险公司期望利润为(b －10)元，根据规定知，b －10≤0.2b ，解得b ≤12.5，设工种C 的每份保单保费为c 元，同理可得保险公司期望利润为(c －50)元，根据规定知，c －50≤0.2c ，解得c ≤62.5.则A ，B ，C 三类工种每份保单保费的上限之和为6.25＋12.5＋62.5＝81.25(元)．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)某商场为了了解顾客的购物信息，随机地在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：有5000名顾客，为了增加商场的销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品(每人一件)．(注：视频率为概率)(1)试确定m ，n 的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；(2)为了迎接店庆，商场进行让利活动，一次性购物款200元及以上的一次返利30元；一次性购物款小于200元的按购物款的百分比返利，具体见下表：解 (1)由已知，得100位顾客中购物款不低于100元的顾客有n ＋10＋30＝100×60%，解得n ＝20，∴m ＝100－80＝20.故该商场每日应准备纪念品的数量约为5000×60100＝3000(件)．(2)设一次购物款为a 元，当a ∈[50,100)时，顾客有5000×20%＝1000(人)，当a ∈[100,150)时，顾客有5000×30%＝1500(人)，当a ∈[150,200)时，顾客有5000×20%＝1000(人)，当a ∈[200，＋∞)时，顾客有5000×10%＝500(人)，∴估计该商场日均让利为75×6%×1000＋125×8%×1500＋175×10%×1000＋30×500＝52000(元)．∴估计该商场日均让利为52000元．18．(本小题满分12分)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．(1)求a ，b ，c 的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；(2)如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w 至少定为多少？(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X ，求其分布列及均值．解 (1)∵前四组频数成等差数列， ∴所对应的频率/组距也成等差数列，设a ＝0.2＋d ，b ＝0.2＋2d ，c ＝0.2＋3d ，∴0.5×(0.2＋0.2＋d ＋0.2＋2d ＋0.2＋3d ＋0.2＋d ＋0.1＋0.1＋0.1)＝1，解得d ＝0.1，∴a ＝0.3，b ＝0.4，c ＝0.5.居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25. 居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100＝25.(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8， ∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应规定w ＝2.5＋0.10.3≈3.(3)将频率视为概率，设A (单位：立方米)代表居民月用水量，可知P (A ≤2.5)＝0.7，由题意，知X ～B (3,0.7)，P (X ＝0)＝C 03×0.33＝0.027， P (X ＝1)＝C 13×0.32×0.7＝0.189，P (X ＝2)＝C 23×0.3×0.72＝0.441， P (X ＝3)＝C 33×0.73＝0.343.∴X 的分布列为X 0 1 2 3 P0.0270.1890.4410.343∵X ～B (3,0.7)19．(本小题满分12分)为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲、乙两个单位各有200名员工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所示．(1)若甲单位数据的平均数是122，求x ；(2)现从如图所示的数据中任取4天的数据(甲、乙两单位中各取2天)，记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为ξ1，ξ2令η＝ξ1＋ξ2，求η的分布列和数学期望．解 (1)由题意，得110×[105＋107＋113＋115＋119＋126＋(120＋x )＋132＋134＋141]＝122，解得x ＝8.(2)随机变量η的所有可能取值有0,1,2,3,4， P (η＝0)＝C 27C 26C 210C 210＝745；P (η＝1)＝C 17C 13C 26＋C 14C 16C 27C 210C 210＝91225； P (η＝2)＝C 23C 26＋C 27C 24＋C 17C 13C 16C 14C 210C 210＝13； P (η＝3)＝C 23C 16C 14＋C 17C 13C 24C 210C 210＝22225； P (η＝4)＝C 23C 24C 210C 210＝2225，∴η的分布列为η 0 1 2 3 4P745 91225 13 22225 2225E (η)＝0×745＋1×225＋2×3＋3×225＋4×225＝5. 20．(本小题满分12分)某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径(单位：mm)进行测量，得出这批钢管的直径X 服从正态分布N (65,4.84)．(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为73 mm ，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；(2)如果钢管的直径X 满足60.6～69.4 mm 为合格品(合格品的概率精确到0.01)，现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数Y 的分布列和数学期望．参考数据：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826；P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544；P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974.解 (1)∵μ＝65，σ＝2.2，μ－3σ＝58.4，μ＋3σ＝71.6， ∵73∈(μ＋3σ，＋∞)，∴P (X >71.6)＝1－P 58.4<X ≤71.62＝1－0.99742＝0.0013. ∴此事件为小概率事件，该质检员的决定有道理． (2)∵μ＝65，σ＝2.2，μ－2σ＝60.6，μ＋2σ＝69.4，由题意，可知钢管直径满足μ－2σ<X ≤μ＋2σ为合格品，故该批钢管为合格品的概率约为0.95，∴在60根钢管中，合格品有57根，次品有3根，任意挑选3根，则次品数Y 的所有可能取值为0,1,2,3.P (Y ＝0)＝C 03C 357C 360，P (Y ＝1)＝C 13C 257C 360P (Y ＝2)＝C 23C 157C 360，P (Y ＝3)＝C 33C 057C 360，则次品数Y 的分布列为Y 0 1 2 3 PC 03C 357C 360C 13C 257C 360C 23C 157C 360C 33C 057C 360得E (Y )＝0×357C 360＋1×357C 360＋2×357C 360＋3×357C 360＝0.15.21．(2020·石家庄模拟)(本小题满分12分)某公司为了提高利润，从2013年至2019年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如表：年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 投资金额x (万元) 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 年利润增长y (万元)6.07.07.48.18.99.611.1(2)如果2020年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长为多少？(结果保留两位小数)(3)现从2013～2019年这7年中抽出两年进行调查，记λ＝年利润增长－投资金额，求这两年都是λ≥2(万元)的概率？参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i －x－y i －y－∑i ＝1nx i －x－2＝∑i ＝1nx i y i －n x －y －∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －. 参考数据：∑i ＝17x i y i ＝359.6，∑i ＝17x 2i ＝259.解 (1)由题意计算，得x －＝6，y －＝8.3,7x －y －＝348.6，又∑i ＝17x i y i ＝359.6，∑i ＝17x 2i ＝259，所以b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2＝359.6－348.6259－7×36＝117，所以a ^＝y －－b ^x －＝8.3－117×6＝－7970，所以回归直线方程为y ^＝117x －7970；(2)将x ＝8代入方程，得y ^＝117×8－7970≈11.44，即该公司在该年的年利润增长大约为11.44万元．(3)由题意可知，λ的概率是P ＝C 25C 27＝1021. 22．(2019·郑州二模)(本小题满分12分)目前，浙江和上海已经成为新高考综合试点的“排头兵”，有关其他省份新高考改革的实施安排，教育部部长在十九大上做出明确表态：到2020年，我国将全面建立起新的高考制度．某地区新高考规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如表：(2)将列联表填写完整，并通过计算判定能否有99.9%的把握认为选历史与性别有关？(3)从选变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，2名男生选考方案不同，1，2名男生选考方案相同，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)．附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，n ＝a ＋b ＋c ＋D ．P (K 2≥k 0)0.05 0.010.005 0.001 k 03.8416.6357.87910.828解 (1)由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有8人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有20人，则该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有2836×3660×840＝392人．(2)列联表如下，选历史不选历史总计选考方案确定的男生 4 12 16 选考方案确定的女生16 4 20 总计201636由列联表中的数据得K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d ＝36×4×4－12×16216×20×20×16＝36×162×11216×20×20×16＝1089100＝10.89＞10.828，所以有99.9%的把握认为选历史与性别有关．(3)由数据可知，选考方案确定的男生中有8人选择物理、化学和生物；有4人选择物理、化学和历史；有2人选择物理、化学和地理；有2人选择物理、化学和政治，由已知ξ的取值为0,1.P (ξ＝1)＝C 28＋C 24＋C 22＋C 22C 216＝310，P (ξ＝0)＝1－P (ξ＝1)＝710⎝⎛⎭⎪⎫或P ξ＝0＝C 18C 18＋C 14C 14＋C 12C 12C 216＝710，所以ξ的分布列为 ξ 0 1 P710310E (ξ)＝0×710＋1×10＝10.。

2021高考数学一轮复习第八章平面解析几何第5节椭圆第1课时椭圆及简单几何性质练习

第1课时椭圆及简单几何性质[A 级基础巩固]1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．5解析：由题意知，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3，所以|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.答案：A2．(2020·南昌三中期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：因为△AF 1B 的周长为43，且△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＋2a ＝4a ，所以4a ＝43，所以a ＝3，因为离心率为33，所以c a ＝33，解得c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.答案：A3．(2020·青岛十六中周考)若曲线x 21－k ＋y 21＋k ＝1表示椭圆，则k 的取值范围是( )A ．k >1B ．k <－1C ．－1<k <1D ．－1<k <0或0<k <1解析：因为曲线x 21－k ＋y 21＋k＝1表示椭圆，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k >0，1＋k >0，1－k ≠1＋k ，解得－1<k <1，且k ≠0，则－1<k <0或0<k <1. 答案：D4．(2020·东营市联考)设F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左、右焦点，过F 1的直线l交椭圆于A ，B 两点，若|AF 2|＋|BF 2|最大值为5，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.5－12D.32解析：因x 24＋y 2b2＝1，则a ＝2，由0<b <2可知，焦点在x 轴上，因为过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|AF 1|＝2a ＋2a ＝4a ＝8，所以|BF 2|＋|AF 2|＝8－|AB |，当AB 垂直x 轴时|AB |最小，|BF 2|＋|AF 2|值最大，此时|AB |＝2b 2a＝b 2，则5＝8－b 2，解得b ＝3，则椭圆的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝12. 答案：A5．(2020·聊城市调研)过点(3，2)且与椭圆3x 2＋8y 2＝24有相同焦点的椭圆方程为( )A.x 25＋y 210＝1 B.x 210＋y 215＝1 C.x 215＋y 210＝1 D.x 225＋y 210＝1 解析：椭圆3x 2＋8y 2＝24化为x 28＋y 23＝1，它的焦点为(±5，0)，可得c ＝5，设椭圆的方程为：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，可得：9a 2＋4b2＝1，a 2－b 2＝5，解得a ＝15，b ＝10，故所求的椭圆方程为x 215＋y 210＝1.答案：C6．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P (－5，4)，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由离心率e ＝55可得a 2＝5c 2，所以b 2＝4c 2，故椭圆的方程为x 25c 2＋y 24c 2＝1，将P (－5，4)代入可得c 2＝9，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.答案：x 245＋y 236＝17．如图所示，椭圆x 2a 2＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，∠F 1PF 2＝120°，则a 的值为________．解析：由题意知|F 1F 2|＝2a 2－2，因为|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a －4，在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos 120°＝42＋（2a －4）2－（2a 2－2）22×4×（2a －4）＝－12，化简得8a ＝24，即a ＝3. 答案：38．(2020·雅礼中学质检)已知点P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，已知∠F 1PF 2＝120°，且|PF 1|＝3|PF 2|，则椭圆的离心率为________．解析：点P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，因为∠F 1PF 2＝120°，且|PF 1|＝3|PF 2|，如图所示，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝2a ，4c 2＝m 2＋9m 2－2·m ·3m cos 120°，可得4c 2＝13×a 24，解得e ＝c a ＝134.答案：1349．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)． (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝10，c ＝3，a 2＝b 2＋c 2，因此a ＝5，b ＝4，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)易知|y P |＝4，又c ＝3，所以S △F 1PF 2＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12.10．(2020·青岛二中月考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，左顶点为A ，若|F 1F 2|＝2，椭圆的离心率为e ＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的任意一点，求PF 1→·PA →的取值范围．解：(1)由题意，因为|F 1F 2|＝2，椭圆的离心率为e ＝12，所以c ＝1，a ＝2，所以b ＝3，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设P (x 0，y 0)，A (－2，0)，F 1(－1，0)，所以PF 1→·PA →＝(－1－x 0)(－2－x 0)＋y 20＝x 20＋3x 0＋2＋y 20，因为P 点在椭圆上，所以x 204＋y 203＝1，y 20＝3－34x 20，所以PF 1→·PA →＝14x 20＋3x 0＋5，由椭圆方程得－2≤x 0≤2，二次函数14x 20＋3x 0＋5的开口向上，对称轴x 0＝－6<－2，当x 0＝－2时，取最小值0，当x 0＝2时，取最大值12.所以PF 1→·PA →的取值范围是[0，12]．[B 级能力提升]11．(2020·菏泽市期末)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|BF 1|，若cos ∠AF 2B ＝35，则椭圆E 的离心率为( )A.12 B.23 C.32D.22解析：设|BF 1|＝k (k >0)，则|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ，所以|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k ，因为cos ∠AF 2B ＝35，在△ABF 2中，由余弦定理得：|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ，所以(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k ，所以|AF 2|＝|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝5k ，|AB |＝4k ，所以|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，所以AF 1⊥AF 2，且AF 1＝AF 2＝3k ，所以△AF 1F 2是等腰直角三角形，(2c )2＝2a 2，所以c ＝22a ，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝22. 答案：D12．(2020·青岛实验高中测试)方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是______________________________．解析：因为方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，所以该椭圆的标准方程为y 21－m ＋x 22m ＝1，满足1－m >2m >0，解之得0<m <13.答案：0<m <1313.如图所示，椭圆长轴端点为A ，B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF →·FB →＝1，|OF →|＝1.(1)求椭圆的标准方程．(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使得点F 恰为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则c ＝1.因为AF →·FB →＝1，即(a ＋c )(a －c )＝1＝a 2－c 2，所以a 2＝2，故椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，则设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为M (0，1)，F (1，0)，故k PQ ＝1，于是可设直线l 的方程为y ＝x ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2＋2y 2＝2，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，则x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－23.因为MP →·FQ →＝0＝x 1(x 2－1)＋y 2(y 1－1)，又y i ＝x i ＋m (i ＝1，2)，得x 1(x 2－1)＋(x 2＋m )(x 1＋m －1)＝0，即2x 1x 2＋(x 1＋x 2)(m －1)＋m 2－m ＝0，所以2·2m 2－23－4m 3(m －1)＋m 2－m ＝0，解得m ＝－43或m ＝1(舍去)．经检验m ＝－43符合条件，所以直线l 的方程为y ＝x －43.故存在直线l ，使得点F 恰为△PQM 的垂心，此时l 的方程为y ＝x －43.[C 级素养升华]14．(多选题)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 212＋y 29＝1 C.x 24＋y 23＝1 D ．3x 2＋4y 2＝12解析：由题意知e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，即a 2＝43b 2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为x 2＋y 2＝b 2.由题意可知b ＝62＝3，所以a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，即3x 2＋4y 2＝12. 答案：CD素养培育数学运算——离心率求解面面观(自主阅读)离心率是圆锥曲线中的一个重要元素，它的变化会直接导致曲线形状甚至是类型的变化．近年来，涉及离心率的问题频频出现在高考试题和各省市高考模拟试题中，且题型不断翻新，显示出旺盛的生命力！解决有关离心率的问题，除了要求深刻领会离心率的概念、几何意义之外，还要常常综合运用其他有关知识，因而，涉及离心率的问题不仅具有很强的综合性，而且其解法极富灵活性．1．巧求离心率的值[典例1] 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1，F 2是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝60°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为( )A.33B.32C.22 D.12解析：设|F 1P |＝m ，|F 2P |＝n ，|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理得(2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°，即4c 2＝m 2＋n 2－mn ，设a 1是椭圆的长半轴，a 2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m ＋n ＝2a 1，m －n ＝2a 2，所以m ＝a 1＋a 2，n ＝a 1－a 2，代入上式得4c 2＝3a 22＋a 21，又它们的离心率互为倒数，c a 1·ca 2＝1，即c 2＝a 1a 2，代入4c 2＝3a 22＋a 21得3a 22－4a 1a 2＋a 21＝0，a 1＝3a 2，e 1·e 2＝c a 1·c a 2＝c a 1·3c a 1＝1，即3e 21＝1，所以e 1＝33. 答案：A2．求离心率的取值范围[典例2] 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，且满足FA →·FB →＝0，|FB |≤|FA |≤2|FB |，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，53 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，3－1 D ．[3－1，1)解析：设椭圆左焦点为F ′，连接AF ′、BF ′.由椭圆的对称性可知，四边形AFBF ′为平行四边形，又FA →·FB →＝0，即FA ⊥FB ，故平行四边形AFBF ′为矩形，所以|AB |＝|FF ′|＝2c .设|AF ′|＝n ，|AF |＝m ，则在直角三角形AF ′F 中m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，①得mn ＝2b 2，②①÷②得m n ＋n m ＝2c 2b 2，令m n ＝t ，得t ＋1t ＝2c2b2.又由|FB |≤|FA |≤2|FB |得1≤|FA ||FB |≤2，则m n ＝t ∈[1，2]，所以t ＋1t ＝2c 2b 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52，又2c2b 2＝2c 2a 2－c 2＝2e 21－e 2，则可得22≤e ≤53，即离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，53. 答案：A3．探寻离心率的最值[典例3] 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433 B.233C ．3D ．2 解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，r 1>r 2，|F 1F 2|＝2c ，椭圆长半轴长为a 1，双曲线实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2，由(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3，得4c 2＝r 21＋r 22－r 1r 2.由r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2，得r 1＝a 1＋a 2，r 2＝a 1－a 2，所以1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c ＝r 1c.令m ＝r 21c 2＝4r 21r 21＋r 22－r 1r 2＝41＋⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2r 12－r 2r 1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2r 1－122＋34，当r 2r 1＝12时，m max ＝163，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1c max ＝433，即1e 1＋1e 2的最大值为433. 答案：A。

高三数学一轮阶段性测试题8 平面解析几何(含解析)新人教B版

阶段性测试题八(平面解析几何)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．(2014·三峡名校联盟联考)直线x －y ＋1＝0与圆(x －1)2＋y2＝2的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交且过圆心 D ．相交但不过圆心 [答案] B[解析] 圆心C(1,0)到直线的距离d ＝|1－0＋1|2＝2，∴选B.2．(文)(2015·内蒙赤峰市宁城县月考)抛物线x2＝ay 的准线方程是y ＝1，则实数a 的值为( ) A ．－4 B ．4 C.14 D ．－14 [答案] A[解析] 由条件知－a4＝1，∴a ＝－4.(理)(2014·广东执信中学期中)已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为( )A.x2144＋y2128＝1或x2128＋y2144＝1 B.x26＋y24＝1C.x236＋y232＝1或x232＋y236＝1D.x24＋y26＝1或x26＋y24＝1 [答案] C[解析] 由条件知a ＝6，e ＝c a ＝13，∴c ＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故选C.3．(2015·江西赣州市博雅文化学校月考)设集合A ＝{(x ，y)|x216＋y24＝1}，B ＝{(x ，y)|y ＝3x}，则A ∩B 的子集的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 [答案] A[解析] 指数函数y ＝3x 的图象与椭圆x216＋y24＝1有两个交点，∴A ∩B 中有2个元素，∴其子集有22＝4个．4．(2015·长春市十一高中阶段性测试)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为53c(c 为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为( ) A.52B ．352C.32 D ．3 5 [答案] C[解析] 由条件知，|bc|a2＋b2＝53c ，∴b a2＋b2＝53，∴4b2＝5a2，∵a2＋b2＝c2，∴4c2＝9a2，∴e ＝c a ＝32.5．(2015·大连市二十中期中)已知圆C ：(x －4)2＋(y －4)2＝1和两点A(1－m,0)，B(1＋m,0)，m>0，若圆C 上存在点P ，∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 [答案] B[解析] 由条件知，以线段AB 为直径的⊙D 与⊙C 有公共点， ∵C(4,4)，D(1,0)，∴圆心距|CD|＝5， ∴|m －1|≤|CD|≤m ＋1，∴4≤m≤6，故选B.6．(2015·洛阳市期中)已知双曲线x2a2－y2b2＝1的实轴长、虚轴长、焦距依次成等比数列，则其离心率为( ) A.5＋12 B ．3＋12C.53 D ．35[答案] A[解析] 由题意知b2＝ac ， ∴c2－a2－ac ＝0， ∴e2－e －1＝0，∴e ＝5＋12或e ＝－5＋12(舍去)． 7．(2015·开封市二十二校联考)已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线x2m ＋y2＝1的离心率为( ) A.63B ．2C.63或2 D ．22或 3 [答案] C[解析] 根据条件可知m2＝9，∴m ＝±3，当m ＝3时，e ＝c a ＝63，m ＝－3时，e ＝2，所以正确选项为C.8．(2015·鹰潭一中、宜春中学、新余四中联考)以双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)中心O(坐标原点)为圆心，焦距为直径的圆与双曲线在第一象限内交于M 点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M 作x 轴的垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为( ) A.3－1 B ． 3 C.3＋1 D ．2 [答案] C[解析] 由题意知点M 的坐标为M(c 2，3c 2)，代入双曲线方程可得c24a2－3c24b2＝1，∵b2＝c2－a2，e ＝ca ，∴e4－8e2＋4＝0，∴e2＝4＋23，∴e ＝3＋1.故选C. 9．(2015·开封四中期中)抛物线C ：y2＝2px(p>0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若三角形OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 [答案] D[解析] 设△OFM 的外接圆圆心为O1，则|O1O|＝|O1F|＝|O1M|，∴O1在线段OF 的中垂线上，又∵⊙O1与抛物线的准线相切，∴O1在抛物线上，∴O1(p 4，22p)，又圆面积为36π，∴半径为6，∴p216＋12p2＝36，∴p ＝8.10．(文)(2014·云南景洪市一中期末)点P(2，－1)为圆(x －1)2＋y2＝25内一条弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x －y －3＝0D ．2x －y －5＝0 [答案] C[解析] 圆心C(1,0)，由条件知PC ⊥AB ，∴kAB ＝－1kPC ＝1，∴直线AB 的方程为y －(－1)＝1×(x －2)，即x －y －3＝0. (理)(2014·银川九中一模)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 [答案] B[解析] 设圆心C(x0，－x0)，则 |x0－－x0|2＝|x0－－x0－4|2，∴x0＝1，∴圆心C(1，－1)，半径r ＝2，方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.11．(2015·广东揭阳一中期中)曲线x216＋y212＝1与曲线x216－k ＋y212－k ＝1(12<k<16)的( )A ．长轴长与实轴长相等B ．短轴长与虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等 [答案] C[解析] 对于椭圆x216＋y212＝1，c ＝2，对于双曲线x216－k －y2k －12＝1，c21＝(16－k)＋(k －12)＝4，∴c1＝2，故选C.12．(文)(2014·抚顺二中期中)在△ABC 中，AB ＝BC ，cosB ＝－718.若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝( ) A.34 B ．37 C.38 D ．318[答案] C[解析] 设|AB|＝x>0，则|BC|＝x ， AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB ＝x2＋x2－2x2·(－718)＝259x2，∴|AC|＝53x ，由条件知，|CA|＋|CB|＝2a ，AB ＝2c ， ∴53x ＋x ＝2a ，x ＝2c ，∴c ＝c a ＝2c 2a ＝x 83x＝38.(理)(2015·江西师大附中期中)已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d ，其前n 项和为Sn ，若直线y ＝12a1x ＋m 与圆(x －2)2＋y2＝1的两个交点关于直线x ＋y －d ＝0对称，则数列{1Sn }的前10项和为( ) A.910 B ．1011 C.89 D ．2 [答案] B[解析] ∵直线y ＝12a1x ＋m 与圆(x －2)2＋y2＝1的两个交点关于直线x ＋y －d ＝0对称，∴直线x ＋y －d ＝0经过圆心，∴2＋0－d ＝0，∴d ＝2，∵直线y ＝12a1x ＋m 与直线x ＋y －d ＝0垂直，∴12a1＝1，a1＝2，∴Sn ＝2n ＋n n －12×2＝n(n ＋1)，1Sn ＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1，所以数列{1Sn }的前10项和为1S1＋1S2＋…＋1S10＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(110－111)＝1－111＝1011，所以选B.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2015·豫南九校联考)已知双曲线3y2－mx2＝3m(m>0)的一个焦点与抛物线y ＝18x2的焦点重合，则此双曲线的离心率为________． [答案] 2[解析] 双曲线标准方程为y2m －x23＝1，∴c ＝m ＋3，∵抛物线x2＝8y 的焦点为(0,2)，∴m ＋3＝2，∴m ＝1，∴e ＝2. 14．(2015·遵义航天中学二模)直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN|≥23，则k 的取值范围是________．[答案] [－34，0][解析] 设圆心(3,2)到直线y ＝kx ＋3的距离为d ，由弦长公式得，MN ＝24－d2≥23，故d≤1，即|3k －2＋3|k2＋1≤1，化简得k(k ＋34)≤0，∴－34≤k≤0.15．(文)(2013·泗阳县模拟)两个正数a ，b 的等差中项是92，等比中项是25，且a ＞b ，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为________． [答案]415[解析] ∵两个正数a ，b 的等差中项是92，等比中项是25，且a ＞b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 2＝92，ab ＝25，a>b ，解得a ＝5，b ＝4，∴双曲线方程为x225－y216＝1，∴c ＝25＋16＝41， ∴双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率e ＝c a ＝415.(理)(2014·抚顺市六校联合体期中)已知点F1、F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1的左、右焦点，过F1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．[答案] (1,1＋2)[解析] ∵双曲线关于x 轴对称，∴A 、B 两点关于x 轴对称，∴|F2A|＝|F2B|，△ABF2为锐角三角形⇔∠AF2B 为锐角⇔∠AF2F1<45°⇔|AF1|<|F1F2|，不妨设A 点在x 轴上方．∵F1(－c,0)，∴A(－c ，b2a )，即|AF1|＝b2a ，又|F1F2|＝2c ，∴b2a <2c ，∴c2－2ac －a2<0，∴e2－2e －1<0， ∴1－2<e<1＋2， ∵e>1，∴1<e<1＋ 2.16．(2015·湖北武汉调考)已知椭圆C ：x24＋y23＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A 、B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN|＋|BN|＝________. [答案] 8[解析] 如图，设MN 的中点为P ，由题意可知，PF1，PF2分别为△AMN ，△BMN 的中位线，∴|AN|＋|BN|＝2(|PF1|＋|PF2|)＝2×4＝8.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2015·山西大同调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知点B(1,0)，圆A ：(x ＋1)2＋y2＝16，动点P 在圆A 上，线段BP 的垂直平分线与AP 相交于点Q ，设动点Q 的轨迹为曲线C.(1)求曲线C 的方程；(2)过点B(1,0)且斜率为1的直线与曲线C 相交于E 、F 两点，求弦长|EF|.[解析] (1)由已知|QP|＝|QB|，Q 在线段PA 上，所以|QA|＋|QB|＝|AQ|＋|QP|＝4，所以点Q 的轨迹是椭圆，2a ＝4，a ＝2,2c ＝2，c ＝1，∴b2＝3，所以C 点的轨迹方程为x24＋y23＝1. (2)直线EF 的方程为：y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x24＋y23＝1.消去y 整理得7x2－8x －8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴x1＋x2＝87，x1·x2＝－87， |AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝2·1227＝247.18．(本小题满分12分)(2014·云南省二测)已知抛物线C 的方程为y2＝4x ，斜率为12的直线l 经过点P(a,0)，与抛物线C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D. (1)当a ＝12时，求证以AB 为直径的圆与直线y ＝2x ＋4相切；(2)是否存在实数a ，使△ABD 是直角三角形？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由． [解析] (1)当a ＝12时，直线l ：y ＝12(x －12)，即x ＝2y ＋12，代入y2＝4x 中消去x 得y2－8y －48＝0，∴y1＝－4，y2＝12，∴x1＝4，x2＝36，∴A(4，－4)，B(36,12)，∴以AB 为直径的圆的圆心M(20,4)，半径r ＝12|AB|＝85，圆心M 到直线y ＝2x ＋4的距离d ＝85，∵d ＝r ，∴以AB 的直径的圆与直线y ＝2x ＋4相切．(2)直线l ：y ＝12(x －a)，∴x ＝2y ＋a ，代入y2＝4x 中得y2－8y －4a ＝0，∴Δ＝24＋16a>0，∴a>－4，∴y1＋y2＝8，y1y2＝－4a ，∴x1＋x2＝2(y1＋y2)＋2a ＝16＋2a ，∴线段AB 的中点N(8＋a,4)，直线AB 的斜率k ＝12，∴线段AB 的中垂线方程为y －4＝－2(x －8－a)，当y ＝0时，x ＝10＋a ，∴D(10＋a,0)，|AD|＝|BD|，∵△ABD 为直角三角形，∴∠ADB ＝π2，∴AD ⊥DB.∵DA →＝(2y1－10，y1)，DB →＝(2y2－10，y2)，∴DA →·DB →＝0，∴y1y2－4(y1＋y2)＋20＝0，∴－4a －32＋20＝0，∴a ＝－3>－4，∴存在a ＝－3，使△ABD 为直角三角形． 19．(本小题满分12分)(文)(2015·湖南浏阳一中、醴陵一中、攸县一中联考)已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为F1和F2，且|F1F2|＝2，点(1，32)在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过F1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF2B 的面积为1227，求以F2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．[解析] (1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，1a2＋94b2＝1，a2－b2＝c2，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝4，b2＝3，c ＝1.∴椭圆C 的方程为x24＋y23＝1.(2)①当直线l ⊥x 轴时，可得A(－1，－32)，B(－1，32)，△AF2B 的面积为3，不符合题意． ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)．代入椭圆方程得， (3＋4k2)x2＋8k2x ＋4k2－12＝0，显然Δ＞0成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8k23＋4k2，x1·x2＝4k2－123＋4k2，可得|AB|＝12k2＋13＋4k2.又圆F2的半径r ＝2|k|1＋k2， ∴△AF2B 的面积S ＝12|AB|·r ＝12|k|k2＋13＋4k2＝1227，化简得，17k4＋k2－18＝0，得k ＝±1，∴r ＝2，圆的方程为(x －1)2＋y2＝2. (理)(2015·大连二十中期中)平面内动点P(x ，y)与两定点A(－2,0)，B(2,0)连线的斜率之积等于－13，若点P 的轨迹为曲线E ，过点(－1,0)作斜率不为零的直线MN 交曲线E 于点M 、N. (1)求曲线E 的方程； (2)求证：AM ⊥AN ；(3)求△AMN 面积的最大值．[解析] (1)设动点P 坐标为(x ，y)，由题意知：x≠±2，由条件得： y x －2·y x ＋2＝－13，化简得x24＋3y24＝1. 曲线E 的方程为x24＋3y24＝1，(x≠±2)．(2)直线MN 斜率不为0，所以可设MN 方程为my ＝x ＋1，与椭圆方程联立得：(m2＋3)y2－2my －3＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，所以y1＋y2＝2mm2＋3，y1y2＝－3m2＋3.AM →＝(x1＋2，y1)，AN →＝(x2＋2，y2)，AM →·AN →＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝(m2＋1)y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝－3m2＋1m2＋3＋2m2m2＋3＋1＝0，所以AM →⊥AN →，所以AM ⊥AN.(3)△AMN 面积为12|y1－y2|＝4m2＋9m2＋3＝4m2＋3－3m2＋32，当m ＝0时面积最大为1.20．(本小题满分12分)(文)(2014·韶关市曲江一中月考)设椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标． [解析] (1)将点(0,4)代入椭圆C 的方程，得16b2＝1，∴b ＝4，又e ＝c a ＝35，则a2－b2a2＝925，∴1－16a2＝925，∴a ＝5， ∴椭圆C 的方程为x225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与椭圆C 的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入椭圆方程得x225＋x －3225＝1，即x2－3x －8＝0，由韦达定理得x1＋x2＝3，所以线段AB 中点的横坐标为x1＋x22＝32，纵坐标为45(32－3)＝－65，即所截线段的中点坐标为(32，－65)．(理)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M(0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程． [解析] (1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，(a>0，b>0)， ∵c ＝1，c a ＝12，∴a ＝2，b ＝3， ∴所求椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)由题意得直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y ＝kx ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x24＋y23＝1.消去y 得(3＋4k2)x2＋8kx －8＝0，且Δ>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x1＋x2＝－8k3＋4k2，x1·x2＝－83＋4k2，由AM →＝2MB →得x1＝－2x2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－x2＝－8k3＋4k2，－2x22＝－83＋4k2，消去x2得(8k 3＋4k2)2＝43＋4k2，解得k2＝14，∴k ＝±12，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 21．(本小题满分12分)(2015·开封四中期中)如图，已知点A(1，2)是离心率为22的椭圆C ：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)上的一点，斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合． (1)求椭圆C 的方程；(2)求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值．[解析] (1)由题意可得，e ＝c a ＝22，将点(1，2)代入椭圆方程得2a2＋1b2＝1，又a2＝b2＋c2， ∴a ＝2，b ＝2，c ＝2，所以椭圆C 的方程y24＋x22＝1.(2)证明：设直线BD 的方程为y ＝2x ＋m ，又A ，B ，D 三点互不重合，∴m≠0，设D(x1，y1)，B(x2，y2)，由⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，2x2＋y2＝4，得4x2＋22mx ＋m2－4＝0. 所以Δ＝－8m2＋64>0⇒－22<m<2 2. x1＋x2＝－22m ① x1x2＝m2－44②设直线AB ，AD 的斜率分别为kAB ，kAD ，则kAD ＋kAB ＝y1－2x1－1＋y2－2x2－1＝2x1＋m －2x1－1＋2x2＋m －2x2－1＝22＋m·x1＋x2－2x1x2－x1－x2＋1(*)将①、②式代入(*)整理得，22＋m·－22m －2m2－44＋22m ＋1＝22－22＝0，所以kAD ＋kAB ＝0，即直线AB ，AD 的斜率之和为定值0.22．(本小题满分14分)(文)(2015·韶关市十校联考)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax2(其中a>0)上任意一点与点P(0，14a )的距离等于它到直线y ＝－1的距离．(1)求抛物线的方程；(2)若点M 的坐标为(0,2)，N 为抛物线上任意一点，是否存在垂直于y 轴的直线l ，使直线l 被以MN 为直径的圆截得的弦长恒为常数？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由抛物线的定义知P(0，14a )是其焦点，且14a ＝1，∴a ＝14，抛物线方程为y ＝14x2.(2)设N(2x ，x2)，则MN 的中点H 的坐标为H(x,1＋x22)．设直线l 的方程为y ＝c ，则点H 到直线l 的距离为d ＝|x2＋22－c|，∴|MN|2＝4x2＋(x2－2)2＝x4＋4，设所求弦长为L ，则L2＝|MN|2－4d2＝x4＋4－4(x2＋22－c)2＝4x2(c －1)＋8c －4c2，若弦长L 恒为常数，即L 的值与x 的值无关，则c ＝1，L ＝2.所以存在垂直于y 轴的直线l ，使直线l 被以MN 为直径的圆截得的弦长恒为常数，直线l 的方程为y ＝1.(理)(2015·武汉市调研)如图，动点M 与两定点A(－1,0)，B(2,0)构成△MAB ，且∠MBA ＝2∠MAB.设动点M 的轨迹为C.(1)求轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝－2x ＋m(其中m<2)与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ|<|PR|，求|PR||PQ|的取值范围．[解析] (1)设M 的坐标为(x ，y)，显然有x>0，且y≠0，当∠MBA ＝90°时，点M 的坐标为(2，±3)，当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA ＝2∠MAB ，有tan ∠MBA ＝2tan ∠MAB 1－tan2∠MAB ，即|y|2－x ＝2|y|x ＋11－|y|x ＋12，化简可得，3x2－y2－3＝0，而点(2，±3)也在曲线3x2－y2－3＝0上，综上可知，轨迹C 的方程为x2－y23＝1(x>1)；(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋m ，x2－y23＝1，消去y 并整理得，x2－4mx ＋m2＋3＝0(*)由题意，方程(*)有两根且均在(1，＋∞)内．设f(x)＝x2－4mx ＋m2＋3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－－4m2>1，f 1＝1－4m ＋m2＋3>0，Δ＝－4m 2－4m2＋3>0.解得m>1，且m≠2，又∵m<2，∴1<m<2，设Q ，R 的坐标分别为(xQ ，yQ)，(xR ，yR)，由|PQ|<|PR|及方程(*)有xR ＝2m ＋3m2－1，xQ ＝2m －3m2－1，∴|PR||PQ|＝xR xQ ＝2m ＋3m2－12m －3m2－1＝2＋31－1m22－31－1m2＝－1＋42－31－1m2，由1<m<2，得1<－1＋42－31－1m2<7，故|PR||PQ|的取值范围是(1,7)．。

高考数学一轮复习第八章解析几何第二讲两条直线的位置关系学案含解析新人教版

第二讲两条直线的位置关系知识梳理·双基自测知识梳理知识点一两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合__三种情况． (1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔__A 1A 2＋B 1B 2＝0__．知识点二两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．相交⇔方程组有__唯一解__；平行⇔方程组__无解__；重合⇔方程组有__无数个解__．知识点三三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2．特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2． (2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2．(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2．归纳拓展1．求解距离问题的规律运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线间的距离公式时，需先把两平行线方程中x ，y 的系数化为相同的形式．2．对称问题的求解规律(1)中心对称：转化为中点问题处理．(2)轴对称：转化为垂直平分线问题处理．特殊地：点P (a ，b )关于直线x ＋y ＋m ＝0对称的点坐标为(－b －m ，－a －m )，点P (a ，b )关于直线x －y ＋m ＝0对称的点坐标为(b －m ，a ＋m )．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两直线的斜率相等，则两直线平行，反之，亦然．( × )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1．( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0．( √ )(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2．( × )(5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．( √ )题组二走进教材2．(课本习题改编)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( A ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．(必修2P 110B 组T2)已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( C ) A ． 2 B ．2－ 2 C ．2－1D ．2＋1[解析] 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1．解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2． ∵a ＞0，∴a ＝－1＋2．题组三走向高考4．(2020·高考全国Ⅲ)点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( B ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2 [解析] 解法一：由y ＝k (x ＋1)可知直线过定点P (－1,0)，设A (0，－1)，当直线y ＝k (x ＋1)与AP 垂直时，点A 到直线y ＝k (x ＋1)距离最大，即为|AP |＝2，故选B ．解法二：因为点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离d ＝|1＋k |k 2＋1＝k 2＋2k ＋1k 2＋1＝1＋2k k 2＋1；∵要求距离的最大值，故需k ＞0；可得d ＝1＋2k ＋1k≤2，当且仅当k ＝1时取等号，故选B ．5．(2018·全国)坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为__(6，－6)__．[解析] 设坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎨⎧ba ×1＝－1a 2－b2－6＝0，解得a ＝6，b ＝－6，∴坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(6，－6)．考点突破·互动探究考点一两条直线平行、垂直的关系——自主练透例1 (1)(2021·高安期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( A )A ．6x －4y －3＝0B ．3x －2y －3＝0C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0(2)“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2021·青岛调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( C ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3D ．－2或－3(4)等腰直角三角形斜边的中点是M (4,2)，一条直角边所在直线的方程为y ＝2x ，则另外两边所在直线的方程为__x －3y ＋2＝0、x ＋2y －14＝0__．[解析] (1)因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝⎛⎭⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0． (2)由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0，∴m ＝3或m ＝－2，∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件．(3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋1)＝6，4m ≠－4，解得m ＝2或－3．故选C ．(4)设斜边所在直线的斜率为k ，由题意知tan π4＝2－k 1＋2k ＝1，∴k ＝13，∴斜边所在直线方程为y －2＝13(x －4)，即x －3y ＋2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x x －3y ＋2＝0可知A ⎝⎛⎭⎫25，45， ∴A 关于M 的对称点B ⎝⎛⎭⎫385，165，∴另一条直角边的方程为y －165＝－12⎝⎛⎭⎫x －385，即x ＋2y －14＝0，故填x －3y ＋2＝0、x ＋2y －14＝0．名师点拨(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．〔变式训练1〕(1)(2021·吉林长春模拟)曲线f (x )＝2sin x 在x ＝π3处的切线与直线ax ＋y －1＝0垂直，则a＝__1__．(2)(2012·浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0”平行的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)由题得f ′(x )＝2cos x ，∴k ＝f ′⎝⎛⎭⎫π3＝1．所以1×(－a )＝－1，∴a ＝1． (2)l 1∥l 2⇔a 2＋a －2＝0⇔a ＝1或－2，∴a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．故选A ．考点二两直线的交点、距离问题——师生共研例2 (1)两条垂直直线l 1：2x ＋y ＋1＝0与l 2：ax ＋4y －6＝0的交点到原点的距离为__2__．(2)已知点P (2，－1)．①求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；②求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？③是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．(3)(2020·上海)已知直线l 1：x ＋ay ＝1，l 2：ax ＋y ＝1，若l 1∥l 2，则l 1与l 2的距离为__2__． [解析] (1)kl 1＝－2，kl 2＝－a 4，由l 1⊥l 2知－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＝－1，∴a ＝－2，∴l 2：x －2y ＋3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0x －2y ＋3＝0得交点A (－1，1)，∴|AO |＝2． (2)①过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过点P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2．若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0．由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34．此时l 的方程为3x －4y －10＝0．综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0．②作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2．由直线方程的点斜式，得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0．所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝5．③由②可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．(3)直线l 1：x ＋ay ＝1，l 2：ax ＋y ＝1，当l 1∥l 2时，a 2－1＝0，解得a ＝±1；当a ＝1时l 1与l 2重合，不满足题意；当a ＝－1时l 1∥l 2，此时l 1：x －y －1＝0，l 2：x －y ＋1＝0；则l 1与l 2的距离为d ＝|－1－1|12＋(－1)2＝2．名师点拨距离的求法(1)点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离：①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式．提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x 、y 的系数分别相等．〔变式训练2〕(1)(2021·西南名校联盟联考)设直线l 1：3x －y －1＝0与直线l 2：x ＋2y －5＝0的交点为A ，则A 到直线l ：x ＋by ＋2＋b ＝0的距离的最大值为( C )A ．4B ．10C ．3 2D ．11(2)已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0距离相等，则m 的值可以为( C ) A ．－6或12B ．－12或1C ．12或－6D ．1或－6(3)(2021·绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( C )A ．95B ．185C ．2910D ．295[解析] (1)解法一：显然l 1与l 2的交点A (1,2)，又直线l 过点B (－2，－1)，∴所求最大距离为|AB |＝32，故选C ．解法二：显然l 1与l 2的交点为A (1,2)，则A 到直线l 的距离d ＝|1＋2b ＋2＋b |1＋b 2＝31＋b 2＋2b1＋b 2＝31＋2b 1＋b 2≤32(当且仅当b ＝1时取等号)，故选C ． (2)直线mx ＋y ＋3＝0与直线AB 平行或过AB 中点，∴－m ＝4－2－1－3＝－12，即m ＝12；AB中点(1,3)，∴m ＋3＋3＝0即m ＝－6，故选C ．(3)因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910．考点三,对称问题——多维探究角度1 线关于点的对称例3 (2021·河北五校联考)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为( D )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0[解析] 由ax ＋y ＋3a －1＝0，可得y －1＝－a (x ＋3)，所以M (－3,1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，所以所求方程为2x ＋3y ＋12＝0，故选D ．另解：在直线2x ＋3y －6＝0上取点A (0,2)、B (3,0)，则A 、B 关于M 的对称点分别为A ′(－6,0)，B ′(－9,2)，又k A ′B ′＝2－0－9－(－6)＝－23，故所求直线方程为y ＝－23(x ＋6)，即2x ＋3y＋12＝0．故选D ．角度2 点关于线的对称例4 (2021·长沙一模)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为__6x －y －6＝0__．[解析] 设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎨⎧b －4a －(－3)＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0．又反射光线经过点N (2，6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0． (代入法)当x ＝－3时，由x －y ＋3＝0得y ＝0，当y ＝4时，由x －y ＋3＝0得x ＝1． ∴M (－3,4)关于直线l 的对称点为M ′(1,0)．又k NM ′＝6－02－1＝6，∴所求直线方程为y ＝6(x －1)，即6x －y －6＝0．[引申]本例中入射光线所在直线的方程为__x －6y ＋27＝0__．[解析] N (2,6)关于直线l 的对称点N ′(3,5)，又k MN ′＝5－43－(－3)＝16，∴所求直线方程为y－4＝16(x ＋3)，即x －6y ＋27＝0．角度3 线关于线的对称例5 (2021·合肥模拟)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0．若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( B )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0[解析] 解法一：因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0．解法二：在l 1上取两点A (0，－2)，B (1,0)，则A 、B 关于l 的对称点分别为A ′(－1，－1)，B ′(1,0)，∴k A ′B ′＝0－(－1)1－(－1)＝12．∴l 2的方程为y －0＝12(x －1)，即x －2y －1＝0．故选B ．解法三：设P (x ，y )是直线l 2上任一点，则P 关于直线l 的对称点为P ′(y ＋1，x －1)，又P ′∈l 1，∴2(y ＋1)－(x －1)－2＝0，即直线l 2的方程为x －2y －1＝0．故选B ．名师点拨对称问题的解法以光线反射为代表的很多实际问题，都可以转化为对称问题，关于对称问题，一般常见的有：(1)中心对称①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎨⎧n －bm －a×(－AB )＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．特别地，当对称轴的斜率为±1时，可类比关于y ＝x 的对称问题采用代入法，如(1,3)关于y ＝x ＋1的对称点为(3－1，1＋1)，即(2,2)．〔变式训练3〕已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)(角度2)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)(角度3)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)(角度1)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． [解析] (1)设A ′(x ，y )，由已知条件得⎩⎨⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413． (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎨⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013．设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0．(3)设P (x ，y )在l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )， ∵点P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0．名师讲坛·素养提升巧用直线系求直线方程例6 (1)求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R )恒过定点，并求出定点坐标；(2)求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．[解析] (1)证明：解法一：令m ＝0，则直线方程为3x ＋y ＋1＝0．再令m ＝1时，直线方程为6x ＋y ＋4＝0． ①和②联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＋1＝0，6x ＋y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.将点A (－1,2)的坐标代入动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0中，(m 2＋2m ＋3)×(－1)＋(1＋m －m 2)×2＋3m 2＋1＝(3－1－2)m 2＋(－2＋2)m ＋2＋1－3＝0，故动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0恒过定点A ．解法二：将动直线方程按m 降幂排列整理，得m 2(x －y ＋3)＋m (2x ＋y )＋3x ＋y ＋1＝0，① 不论m 为何实数，①式恒为零，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，3x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. 故动直线恒过点A (－1,2)．(2)解法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0,2)．因为l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以直线l 的斜率为－43，由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0．解法二：设所求直线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，将解法一中求得的交点P (0,2)代入上式可得m ＝－6，故所求直线方程为4x ＋3y －6＝0．解法三：设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0．又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11．∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0．[引申]若将本例(2)中的“垂直”改为“平行”，则直线l 的方程为__3x －4y ＋8＝0__．名师点拨]1．确定方程含参数的直线所过定点的方法：(1)将直线方程写成点斜式y －y 0＝f (λ)(x －x 0)，从而确定定点(x 0，y 0)．(2)将直线方程整理成关于参数的方程，由方程中各项系数及常数项为0确定定点．(3)给参数取两个不同值，再解直线方程构成的方程组，从而确定定点坐标．2．直线系的主要应用(1)共点直线系方程：经过两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中A 1B 2－A 2B 1≠0，待定系数λ∈R ．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，因此它不能表示直线l 2．(2)过定点(x 0，y 0)的直线系方程为y －y 0＝k (x －x 0)(k 为参数)及x ＝x 0．(3)平行直线系方程：与直线y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m (m 为参数且m ≠b )；与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C ，λ是参数)．(4)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0(λ为参数)．如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，那么可选用直线系方程来求解．〔变式训练4〕(1)(2021·启东模拟)不论m 为何值时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( D )A ．⎝⎛⎭⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3) D ．(9，－4)(2)与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线的方程是__5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0__．[解析] (1)解法一：由(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5，得(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得定点坐标为(9，－4)，故选D ．解法二：令m ＝1，则y ＝－4；令m ＝12，则－12x ＝－92，即x ＝9，∴直线过定点(9，－4)，故选D ．解法三：将直线方程化为(2m －1)(y ＋a )＝(1－m )(x ＋b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－52a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－9，∴y ＋4＝1－m 2m －1(x －9)，故直线过点(9，－4)，故选D ．(2)设所求直线的方程为5x－12y＋c＝0，则|c－6|52＋122＝2，解得c＝32或－20，故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．。

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单元检测八解析几何(提升卷B)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知过点P (－2，m )，Q (m,6)的直线的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．42．已知A (1,4)，B (－3,2)，直线l ：ax ＋y ＋2＝0，若直线l 过线段AB 的中点，则a 等于( ) A ．－5B ．5C ．－4D ．43．点P (2，－1)为圆(x －3)2＋y 2＝25中弦的中点，则该弦所在直线的方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y －1＝0D ．x －y ＋1＝04．(2020·大连模拟)已知双曲线C 1：x 28－y 24＝1，双曲线C 2的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线C 1相同，则双曲线C 2的离心率为( ) A.2B.5－1C ．23－1D. 35．已知直线y ＝ax 与圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1交于A ，B 两点，且∠ACB ＝60°，则圆的面积为( )A ．6πB ．36πC ．7πD ．49π6．(2020·江西省南昌市第二中学月考)如图，已知F 1，F 2是椭圆T ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 是椭圆T 上任意一点，过F 2作△F 1PF 2中∠F 1PF 2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线7．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1，F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1与e 2满足的关系是( ) A.1e 1＋1e 2＝2 B.1e 1－1e 2＝2 C ．e 1＋e 2＝2D ．e 2－e 1＝28．已知直线l ：kx －y －2k ＋1＝0与椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，与圆C 2：(x－2)2＋(y －1)2＝1交于C ，D 两点．若存在k ∈[－2，－1]，使得AC →＝DB →，则椭圆C 1的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12B.⎣⎡⎭⎫12，1C.⎝⎛⎦⎤0，22D.⎣⎡⎭⎫22，1 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知直线l ：y ＝k (x －1)，圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)，则下列命题正确的是( ) A ．∀k ∈R ，l 与C 相交 B ．∃k ∈R ，l 与C 相切 C ．∀r >0，l 与C 相交D ．∃r >0，l 与C 相切10．(2020·四川省绵阳市绵阳南山中学月考)下列四个说法中，错误的是( ) A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线，都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)来表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线P 1P 2，都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝ (x －x 1)(y 2－y 1)来表示C ．在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程都可以用x a ＋yb ＝1来表示D ．经过点(0，b )的直线，都可以用方程y ＝kx ＋b 来表示11．(2020·福建厦门一中月考)已知△ABC 为等腰直角三角形，其顶点为A ，B ，C ，若圆锥曲线E 以A ，B 为焦点，并经过顶点C ，则该圆锥曲线E 的离心率可以是( ) A.2－1B.22C.2D.2＋1 12．(2020·福建厦门一中月考)已知F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，AB ，CD 是经过点F 的弦且AB ⊥CD ，AB 的斜率为k ，且k >0，C ，A 两点在x 轴上方，则下列结论中成立的是( )A.1|AB |＋1|CD |＝12pB ．若|AF |·|BF |＝43p 2，则k ＝33C.OA →·OB →＝OC →·OD →D ．四边形ACBD 面积的最小值为16p 2第Ⅱ卷(非选择题共70分)三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________. 14．(2020·湖北黄石期末)直线x ＋y ＋1＝0被圆C ：x 2＋y 2＝2所截得的弦长为________；由直线x ＋y ＋3＝0上的一点向圆C 引切线，切线长的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)15．椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到两焦点距离之积为m ，则当m 取最大值时，P 点坐标为________．16．已知A ，B 分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，两不同点P ，Q 在椭圆C 上，且关于x 轴对称，设直线AP ，BQ 的斜率分别为m ，n ，则当2b a ＋a b ＋12mn ＋ln|m |＋ln|n |取最小值时，椭圆C 的离心率为________．四、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)(2020·湖北荆门期末)已知过点P (0，－2)的圆M 的圆心(a,0)在x 轴的非负半轴上，且圆M 截直线x ＋y －2＝0所得弦长为2 2. (1)求圆M 的标准方程；(2)若过点Q (0,1)且斜率为k 的直线l 交圆M 于A ，B 两点，若△P AB 的面积为372，求直线l的方程．18.(12分)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．19．(13分)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．20.(13分)(2019·湖北省荆门市龙泉中学月考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为6，且椭圆C 与圆M ：(x －2)2＋y 2＝409的公共弦长为4103. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点P (0,1)作斜率为k (k >0)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得△ADB 为以AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．答案精析1．B 2.B 3.B 4.D 5.A6．B [延长F 2Q 与F 1P 的延长线交于点M ，连接OQ .因为PQ 是△F 1PF 2中∠F 1PF 2的外角的角平分线，且PQ ⊥F 2M ，所以在△PF 2M 中，|PF 2|＝|PM |，且Q 为线段F 2M 的中点．又O 为线段F 1F 2的中点，由三角形的中位线定理，得 |OQ |＝12|F 1M |＝12(|PF 1|＋|PF 2|)．由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|OQ |＝a ，点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2，所以点Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为a 的圆．] 7．B [由椭圆与双曲线的定义得e 1＝2c 10＋2c ，e 2＝2c 10－2c ，所以1e 1－1e 2＝4c2c＝2，故选B.]8．C [直线l 过圆C 2的圆心，∵AC →＝DB →， ∴|AC 2→|＝|C 2B →|，∴圆C 2的圆心(2,1)为A ，B 两点的中点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2，化简可得－2·b 2a 2＝k ，又∵a >b ，∴b 2a 2＝－k 2∈⎣⎡⎭⎫12，1，所以e ＝1－b 2a 2∈⎝⎛⎦⎤0，22.] 9．AC [∵直线l ：y ＝k (x －1)经过定点(1,0)，圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)的圆心为(1,0)，半径为r ， ∴直线l 经过圆C 的圆心，∴∀k ∈R ，l 与C 相交， ∴∀r >0，l 与C 相交，∴AC 正确．]10．ACD [A 中，过定点P 0(x 0，y 0)的直线斜率不存在时，方程不成立，故A 错误； B 中，对于任意不同点确定的直线都适合，B 正确；C 中，根据截距概念知a ，b 可以为0，此时不能用x a ＋yb ＝1来表示，故C 错误；D 中，当过点(0，b )的直线斜率不存在时，不能用方程y ＝kx ＋b 来表示，故D 错误．] 11．ABD [(1)若该圆锥曲线是椭圆，当C ＝π2时，离心率e ＝2c 2a ＝|AB ||CA |＋|CB |＝22，当C ＝π4时，离心率e ＝|AB ||CA |＋|CB |＝12＋1＝2－1；(2)若该圆锥曲线是双曲线，根据双曲线的特征可得，只有C ＝π4，此时，离心率e ＝2c 2a ＝AB ||CA |－|CB ||＝12－1＝2＋1.]12．AC [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，可得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2，x 1x 2＝14p 2，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝p (k 2＋2)k 2＋p ＝2p (k 2＋1)k 2，同理可得|CD |＝2p ⎝⎛⎭⎫1k 2＋11k 2＝2p (1＋k 2)，则有1|AB |＋1|CD |＝12p ，所以A 正确；OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝14p 2＋k 2⎝⎛⎭⎫x 1－p 2⎝⎛⎭⎫x 2－p 2 ＝14p 2＋k 2⎣⎡⎦⎤x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋14p 2 ＝14p 2＋12k 2p 2－p 2(k 2＋2)2＝－34p 2，与k 无关，同理OC →·OD →＝－34p 2，故OA →·OB →＝OC →·OD →，C 正确；若|AF |·|BF |＝43p 2，由⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2＝x 1x 2＋p 2·(x 1＋x 2)＋14p 2，得12p 2＋p 2(k 2＋2)2k 2＝p 2＋p 2k 2＝43p 2，解得k ＝3，故B 错误；因为AB ⊥CD ，所以四边形ABCD 的面积S 四边形ACBD ＝12|AB ||CD |＝12·2p (k 2＋1)k 2·2p (1＋k 2)＝2p 2(k 2＋1)2k 2＝2p 2⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋2≥8p 2，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝1时，等号成立，故D 错误．] 13．2解析设A (x 0，y 0)，由抛物线定义知x 0＋1＝2， ∴x 0＝1，则直线AB ⊥x 轴，∴|BF |＝|AF |＝2.14.6102解析圆C ：x 2＋y 2＝2的圆心C (0,0)，半径r ＝2，设圆心C 到直线x ＋y ＋1＝0的距离为d ，则d ＝12＝22，弦长为2r 2－d 2＝22－⎝⎛⎭⎫222＝ 6. 设M 为直线x ＋y ＋3＝0上一点，过点M 向圆C 引切线切圆C 于点N ，则有CN ⊥MN ， ∴|MN |＝|CM |2－r 2＝|CM |2－2，故|CM |取最小值时，切线长最小，此时CM 垂直于直线x ＋y ＋3＝0，即|CM |的最小值为圆心C 到直线x ＋y ＋3＝0的距离32，所以|MN |最小值为102. 15．(0,3)和(0，－3)解析由标准方程可知两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，因为|PF 1|＋|PF 2|＝10，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号，即P 点为短轴端点．故当m 取最大值时，P 点坐标为P (0,3)或(0，－3)． 16.22解析设P (x 0，y 0)，则x 20a 2＋y 20b 2＝1，所以mn ＝b 2a2，从而2b a ＋a b ＋12mn ＋ln|m |＋ln|n |＝2b a ＋a b ＋a 22b 2＋ln b 2a 2，设b 2a 2＝x ，令f (x )＝12x＋ln x (0<x <1)，则f ′(x )＝2x －12x 2，所以当0<x <12时，f (x )单调递减，当12<x <1时，f (x )单调递增，故f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12，即b 2a 2＝12.因为2b a ＋ab≥22，当且仅当2b a ＝a b ，即b 2a 2＝12时取等号，取等号的条件一致，此时e 2＝1－b 2a 2＝12，所以e ＝22. 17．解 (1)设圆M 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a ≥0)，则圆心M 到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|a －2|2，由题意得⎩⎨⎧a ≥0，a 2＋4＝r 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －2|22＋2＝r 2，解得a ＝0，r 2＝4，∴圆M 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则圆心M 到直线l 的距离为1k 2＋1，∴|AB |＝24－1k 2＋1＝24k 2＋3k 2＋1，又点P (0，－2)到直线l 的距离为d ＝3k 2＋1，∴S △P AB ＝12|AB |d ＝12×24k 2＋3k 2＋1×3k 2＋1＝372，解得k 2＝1，∴k ＝±1，则直线l 的方程为±x －y ＋1＝0.18．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2－4x －4b ＝0.(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1. (2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2. 将其代入x 2＝4y ，得y ＝1.故A (2,1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 19．解 (1)椭圆C 1：x 24＋y 2＝1的长轴长为4，离心率为e 1＝c 1a 1＝32，∵椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率， ∴椭圆C 2的焦点在y 轴上，2b 2＝4，e 2＝c 2a 2＝32，∴b 2＝2，a 2＝4，∴椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)设A ，B 的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )， ∵OB →＝2OA →，∴O ，A ，B 三点共线，当斜率不存在时，OB →＝2OA →不成立， ∴点A ，B 不在y 轴上，当斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx ，将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1，消元可得(1＋4k 2)x 2＝4，∴x 2A ＝41＋4k 2，将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1，消元可得(4＋k 2)x 2＝16，∴x 2B ＝164＋k 2，∵OB →＝2OA →，∴x 2B ＝4x 2A ，∴164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1， ∴直线AB 的方程为y ＝±x .20．解 (1)由题意可得2a ＝6，所以a ＝3.由椭圆C 与圆M ：(x －2)2＋y 2＝409的公共弦长为4103，恰为圆M 的直径，可得椭圆C 经过点⎝⎛⎭⎫2，±2103，所以49＋409b2＝1，解得b 2＝8.所以椭圆C 的方程为x 29＋y 28＝1. (2)直线l 的解析式为y ＝kx ＋1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为E (x 0，y 0)．假设存在点D (m,0)，使得△ADB 为以AB 为底边的等腰三角形，则DE ⊥AB . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 29＋y 28＝1得，(8＋9k 2)x 2＋18kx －63＝0， Δ>0恒成立，所以x 1＋x 2＝－18k 8＋9k 2，所以x 0＝－9k 8＋9k 2，y 0＝kx 0＋1＝88＋9k 2. 因为DE ⊥AB ，所以k DE ＝－1k，即88＋9k 2－0－9k 8＋9k 2－m ＝－1k ，所以m ＝－k8＋9k 2＝－19k ＋8k. 当k >0时，9k ＋8k≥29×8＝122，所以－224≤m <0. 综上所述，在x 轴上存在满足题目条件的点D ，且点D 的横坐标的取值范围为⎣⎡⎭⎫－224，0.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。