极限计算练习题
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2x
2x
2x lim( ) x − >1 x + 1 = lim e
x − >1
2x x −1
2 x x −1 ln( ) x +1 2x 2x ln( ) x −1 x +1
2x
x −1 = lim(1 + ) x − >1 x +1
2x x −1
= lim e
x − >1
=e
=e
x −1 2 x ⋅ x − >1 x +1 x −1 lim
0 x
x −>0
= lim
2 f (x2 ) 2∫ f (t )dt + xf ( x)
0 x
x − >0
4 xf ′( x 2 ) = lim x − > 0 2 f ( x ) + f ( x ) + xf ′( x )
4 f ′( x 2 ) = lim x −>0 f ( x) 3 + f ′( x) x 4 f ′( x 2 ) 4 f ′( x 2 ) = lim = lim x −>0 f ( x ) − f ( 0) x − > 0 4 f ′( x ) 3 + f ′( x) x−0
=1
arctan x − x 1. lim x − > 0 ln(1 + 2 x 3 )
sin 6 x + xf ( x) 6 + f ( x) 2.已知 lim = 0，求 lim 3 x −>0 x − >0 x x2
2x 3. lim( ) x − >1 x + 1
2x x −1
4. lim (cos x)
1 −1 2 = lim 1 + x 2 x − >0 6x
1 = − lim x − > 0 6(1 + x 2 )
1 =− 6
2.已知 lim
sin 6 x + xf ( x) 6 + f ( x) = 0，求 lim x − >0 x −>0 x3 x2
sin 6 x + xf ( x) 6 cos 6 x + f ( x) + xf ' ( x) = lim lim 3 x − >0 x − >0 3x 2 x
=e =e
2x 2x ln( lim x −1 x +1 ) x − >1 ln 2 x −ln( x +1) 2 lim x −1 x − >1 1 1 − x x +1 2 lim 1 x − >1
2x lim x − >1 x +1
=e
=e
=e
2⋅
1 2
=e
4. lim(cos x)
x − >0
x − >0
1 ln(1+ x 2 )
5.设f ' ( x )连续， f (0) = 0, f ' (0) ≠ 0，求 lim
∫
x2
0 x
f (t ) dt
x − >0
x 2 ∫ f (t ) dt
0
arctan x − x 1. lim x − > 0 ln(1 + 2 x 3 )
arctan x − x = lim 3 x − >0 2x
− 36 sin 6 x + 2 f ′( x) + xf ' ' ( x) = lim x − >0 6x − 216 cos 6 x + 3 f ' ' ( x) + xf ' ' ' ( x) = lim x − >0 6 − 216 + 3 f ' ' (0) = = 0 ∴ f ' ' (0) = 72 6
1 ln(1+ x 2 )
1
= lim e
x − >0
ln[(cos x ) ln(1+ x ) ]
2
1
= lim e
x −>0
ln(1+ x 2 )
ln(cos x )
= e x − >0
lim
ln(cos x ) ln(1+ x 2 )
=e
sin x 1+ x 2 lim − cox ⋅ 2 x x − >0
= e x − >0
lim
−
sin x 2x
=e
−
1 2
5.设f ' ( x)连续，f (0) = 0, f ' (0) ≠ 0，求 lim
∫
x2
0 x
f (t )dt
x −>0
x 2 ∫ f (t )dt
0
=wenku.baidu.comlim
2 xf ( x 2 ) 2 x ∫ f (t )dt + x 2 f ( x)
lim f ( x) = −6
x − >0
6 + f ( x) f ' ( x) f ' ' ( x ) 72 lim = lim = lim = = 36 2 x − >0 x − >0 2 x x − >0 2 2 x
2 x x −1 3. lim( ) x − >1 x + 1
2x = lim(1 + − 1) x−1 x − >1 x +1
2x
2x lim( ) x − >1 x + 1 = lim e
x − >1
2x x −1
2 x x −1 ln( ) x +1 2x 2x ln( ) x −1 x +1
2x
x −1 = lim(1 + ) x − >1 x +1
2x x −1
= lim e
x − >1
=e
=e
x −1 2 x ⋅ x − >1 x +1 x −1 lim
0 x
x −>0
= lim
2 f (x2 ) 2∫ f (t )dt + xf ( x)
0 x
x − >0
4 xf ′( x 2 ) = lim x − > 0 2 f ( x ) + f ( x ) + xf ′( x )
4 f ′( x 2 ) = lim x −>0 f ( x) 3 + f ′( x) x 4 f ′( x 2 ) 4 f ′( x 2 ) = lim = lim x −>0 f ( x ) − f ( 0) x − > 0 4 f ′( x ) 3 + f ′( x) x−0
=1
arctan x − x 1. lim x − > 0 ln(1 + 2 x 3 )
sin 6 x + xf ( x) 6 + f ( x) 2.已知 lim = 0，求 lim 3 x −>0 x − >0 x x2
2x 3. lim( ) x − >1 x + 1
2x x −1
4. lim (cos x)
1 −1 2 = lim 1 + x 2 x − >0 6x
1 = − lim x − > 0 6(1 + x 2 )
1 =− 6
2.已知 lim
sin 6 x + xf ( x) 6 + f ( x) = 0，求 lim x − >0 x −>0 x3 x2
sin 6 x + xf ( x) 6 cos 6 x + f ( x) + xf ' ( x) = lim lim 3 x − >0 x − >0 3x 2 x
=e =e
2x 2x ln( lim x −1 x +1 ) x − >1 ln 2 x −ln( x +1) 2 lim x −1 x − >1 1 1 − x x +1 2 lim 1 x − >1
2x lim x − >1 x +1
=e
=e
=e
2⋅
1 2
=e
4. lim(cos x)
x − >0
x − >0
1 ln(1+ x 2 )
5.设f ' ( x )连续， f (0) = 0, f ' (0) ≠ 0，求 lim
∫
x2
0 x
f (t ) dt
x − >0
x 2 ∫ f (t ) dt
0
arctan x − x 1. lim x − > 0 ln(1 + 2 x 3 )
arctan x − x = lim 3 x − >0 2x
− 36 sin 6 x + 2 f ′( x) + xf ' ' ( x) = lim x − >0 6x − 216 cos 6 x + 3 f ' ' ( x) + xf ' ' ' ( x) = lim x − >0 6 − 216 + 3 f ' ' (0) = = 0 ∴ f ' ' (0) = 72 6
1 ln(1+ x 2 )
1
= lim e
x − >0
ln[(cos x ) ln(1+ x ) ]
2
1
= lim e
x −>0
ln(1+ x 2 )
ln(cos x )
= e x − >0
lim
ln(cos x ) ln(1+ x 2 )
=e
sin x 1+ x 2 lim − cox ⋅ 2 x x − >0
= e x − >0
lim
−
sin x 2x
=e
−
1 2
5.设f ' ( x)连续，f (0) = 0, f ' (0) ≠ 0，求 lim
∫
x2
0 x
f (t )dt
x −>0
x 2 ∫ f (t )dt
0
=wenku.baidu.comlim
2 xf ( x 2 ) 2 x ∫ f (t )dt + x 2 f ( x)
lim f ( x) = −6
x − >0
6 + f ( x) f ' ( x) f ' ' ( x ) 72 lim = lim = lim = = 36 2 x − >0 x − >0 2 x x − >0 2 2 x
2 x x −1 3. lim( ) x − >1 x + 1
2x = lim(1 + − 1) x−1 x − >1 x +1