(新)初一几何——三角形的边角关系(一)
三角形中的边角关系 知识点
第十四章三角形中的边角关系
一、三角形的分类
1、按边分类：
2、按角分类：
不等边三角形直角三角形三角形三角形锐角三角形等腰三角形（等边三角形是特例）斜三角形钝角三角形
二、三角形的边角性质
1、三角形的三边关系：
三角形中任何两边的和大于第三边；任何两边的差小于第三边。
2、三角形的三角关系：
三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。
三角形外角和定理：三角形的三个外角的和等于360°。
3三角形的外角性质
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
三、三角形的角平分线、中线和高
（说明：三角形的角平分线、中线和高都是线段）
四、命题
1、命题：凡是可以判断出真（正确）、假（错误）的语句叫做命题。
2、命题分类
真命题：正确的命题
命题假命题：错误的命题
3、互逆命题
4、反例：符合命题条件，但不满足命题结论的例子称为反例。
原命题：如果p，那么q；
逆命题：如果q，那么p。
（说明：交换一个命题的条件和结论就是它的逆命题。
）。
07、三角形边角关系
三角形的边角关系知识点1、三角形的基本概念1、定义同一平面内由不在同一直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形。
注意：①前提：同一平面②三角形一定由三条线段组成，但任意的三条线段不一定能组成三角形。
③三条线段不共线。
2、三角形的边角顶点（1）三角形的边：组成三角形的三条线段，如边AB，AC，BC。
有时边也用它所对角的小写字母表示；边BC对应∠A,记做a；边AC对应∠B，记做b；边AB对应∠C，记做c。
（2）三角形的顶点：相邻两边的公共端点，三个，如点A，B，C；（3）三角形的（内）角：相邻两边的夹角，简称三角形的角，如C,。
∠,A∠B∠（4）三角形的外角：三角形一边的延长线与其邻边的夹角3、三角形的表示：一般用顶点表示三角形：记做“ABC∆”，读作“三角形ABC”。
个三角形，它们分别是_______________________。
为边的三角形是___________________。
中，三条边是____________________,三个角是的对边是_____，AE的对角是___________。
知识点2、三角形的分类按边：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形：三边互不相等 三角形一般等腰三角形：底腰不等等腰三角形等边三角形：三边都相等按角：⎧⎪⎨⎪⎩锐角三角形:三个角都是锐角三角形直角三角形：一个角是直角钝角三角形：一个角是钝角 知识点3、三角形边角关系1、三角形边的关系①三角形中任何两边的和大于第三边：在△ABC 中：⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+AB BC AC BCAC AB AC BC AB ②三角形中任何两边之差小于第三边：在△ABC 中：⎪⎩⎪⎨⎧<-<-<-AB BC AC BCAC AB AC BC AB ③综合来说：在△ABC 中⎪⎩⎪⎨⎧+<<-+<<-+<<-BC AC AB BC AC ACAB BC AC AB BC AB AC BC AB 2、三角形角的关系①三角形的内角和等于︒180；三角形的外角和等于︒360②在同一个三角形中：大边对大角，大角对大边；等边对等角，等角对等边；中，它的周长是别为知识点四、三角形的特殊线段1、角平分线①定义：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，三条角平分线交于一点叫做三角形的内心。
三角形的边角关系
三角形的边角关系三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。
边和角之间存在着一系列重要的关系，这些关系对于解决三角形相关问题和证明三角形性质非常重要。
本文将深入探讨三角形的边角关系，包括角度和边长之间的关系以及三角形中的一些特殊边角关系。
一、角度和边长的关系1. 三角形内角和角度和为180度三角形的三个内角之和恒为180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
这一特性是三角形的重要基本属性，可以通过三角形内角和定理来证明。
2. 同位角和对应角当两条平行线被一条截线所穿过时，截线与平行线所夹的内、外角成对应角关系。
同位角是指两条平行线被第三条截线所穿过后所得到的对应内角，它们的度数相等。
对应角是指两条平行线被第三条截线所穿过后所得到的两个内角，它们的度数相等。
3. 三角形的外角和三角形的一个外角等于其余两个内角的和。
假设三角形的内角为∠A、∠B、∠C，其对应的外角为∠D、∠E、∠F，则有∠D = ∠A +∠B，∠E = ∠B + ∠C，∠F = ∠C + ∠A。
二、三角形的特殊边角关系1. 等边三角形等边三角形的三条边长度相等，三个内角也相等，每个角都是60度。
等边三角形具有对称性和稳定性，在建筑、设计和工程等领域有广泛应用。
2. 等腰三角形等腰三角形的两条边长度相等，两个底角也相等。
底角是等腰三角形两边的夹角，顶角是等腰三角形的顶点处的角，它恒为60度。
等腰三角形也常见于建筑和工程设计中。
3. 直角三角形直角三角形的一个内角为90度，称为直角，另外两个内角为锐角。
直角三角形是解决三角函数问题的基础，它的边角关系可以通过勾股定理得到。
4. 三角形边长关系在三角形中，两边之和大于第三边，且两边之差小于第三边。
这一关系称为三角形的两边之和大于第三边定理和两边之差小于第三边定理。
5. 等腰直角三角形等腰直角三角形是一种特殊的三角形，它同时具有等腰和直角的性质。
在等腰直角三角形中，两个锐角相等，且每个锐角为45度。
三角形中的边角关系-精品.pdf
共边（ ASA ）或两角与其中一角的对边（ AAS ），这也是判断两个三角形全等的主要
方法，全等三角形的对应元素都相等．只知三角形的三角大小，不能确定三角形，
具有相同大小的三个角的两个三角形是相似关系．
4．三角形的“线”与“心” ： （ 1）高线、 垂心 ．
（ 2）中线、 重心 及其的性质、坐标公式、向量公式及其物理意义、
6．等腰三角形的判定与性质、四线合一
7．等边三角形的判定与性质、四心合一（中心）
8．三角形元素之间的关系：
（ 1）角与角的关系：
①内角和定理、
②外角定理
③角的性质：范围、关系．
④最大角、最小角．
⑤锐角三角形中任两角的和
（ 2）边与边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
（“三胞胎”）
（ 3）边与角的关系： （“三胞胎”）
中线长定理 ．
（ 3）中垂线、外接圆、 外心 ．
（ 4）内角平分线、内切圆、 内心、内角平分线定理 ．
（ 5）外角平分线、旁切圆、 旁心、外角平分线定理 ．
（ 6）中位线、中位线定理、中点三角形及其性质．
5．三角形的分类： （ 1）按边的相等情况分：三边不等的三角形、等腰三角形、等边三角形。 （ 2）按最大角的情况分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
（ 4）直角三角形的性质：
①勾股定理 ②两个锐角的关系
③锐角的三角函数（边与角的联系） ．
④含 30o角的直角三角形的性质 ⑤斜边上的中线长等于斜边长的一半．
9．解三角形：根据三角形中已知的元素求其它未知的元素，叫解三角形．
10．三角形面积公式：
（ 1） S ABC
1 aha
2
1 bhb
初中数学三角形边角关系的公式
初中数学三角形边角关系的公式初中数学三角形边角关系的公式大全数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。
下面是小编整理的初中数学三角形边角关系的公式大全，欢迎阅览。
初中数学三角形边角关系的公式1三角形边角关系(1)三角形三内角和等于180°，这个定理的证明方法有很多种(即辅助线的做法)，体现了几何中的一题多解的思维方法，这也是几何与众不同的地方。
(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
(4)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
(5)在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。
(6)三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线。
(注①：等腰三角形中，顶角平分线，中线，高三线互相重叠;②：三角形的中位线是两边中点的连线，它平行于第三边且等于第三边的一半)(7)三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.(8)三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。
(9)三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
(10)三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
(11)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。
(12)三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。
注意：①三角形的内心、重心都在三角形的内部。
②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。
(三条高的延长线交于一点，在三角形的外部)③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。
(直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。
)④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。
三角形有三条边，同时又三个内角，和三个外角，这样的说法就是正确的。
关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。
正方形定理公式正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。
三角形边角关系(1)
三角形中边的关系(1)教材分析本章是研究三角形的性质的一章内容,对以后的知识学习有重要作用，在小学学生已经感知了三角形的一些性质,例如三角形的稳定性,但是对于三角形的客观理解却未能深入,本章在以前的基础上系统的对三角形性质作了阐述.并通过证明达到数学的理性思维,让学生做到客观认知.深刻内化.教学目标1.认识三角形的各部分名称、理解首尾相接的封闭图形的含义。
2.会使用三角形各部分的表示方法3.会证明三角形两边和大于第三边，三角形两边的差小于第三边4.会应用这个不等式在其他题目中体现的价值教学重难点教学重点：三角形两边与第三边的关系教学难点：三角形两边与第三边的不等式关系证明及应用教学教具可拆装的三角形、课件、教学过程导入通过几个图片，引入三角形的相关知识。
有人说姚明一步能走3米,你相信吗？你能画一个三角形吗？新课三角形的概念三角形：是由三条线段（直）首位相连形成的封闭图形你对这个概念有什么想说的吗？1.边是直线段。
2.封闭才能形成三角形的三个内角3.平面图形如果不封闭或不是直线段，会出现什么情况1.三条边形成的角不够3个2.三边形成的角多于3个这和我们以前认识的三角形、四边形、多边形都产生了矛盾。
画三角形一定要首位相连吗？（茫然）让我们来看看三角形的特点：1．边是直线段2．封闭图形只要满足这两点就会形成三边对三角——三角形，所以，不需要纠结首尾相连的问题。
三角形的名称我们刚才说到，三角形是有三边和三角的。
在小学时，我们未对三角形的进行表述，这节课我们来学习如何表述三角形。
首先，认识三角形各部分名称。
AB a C有人也许会问：为什么要把点A 的对边记作a 即：A —a ；B—b ；C —c这是约定俗称（规定），好处就是容易记忆。
三角形的分类按照三角形的三条边的长度分类1. 三条边都不一样长 （斜三角形/不等腰三角形）2. 三条边有两条边一样长 （等腰三角形）3. 三条边都一样长 （等边三角形）两点的曲线、折线长度总是比这两点间的线段长度要长（两点间线段最短）易知：a+b>c BC+AC>ABb+c>a AC+AB>BCc+a>b AB+BC>AC利用等式性质或等式、不等式移项变号规则：a>c—b BC>AB—ACb>a—c AC>BC—ABc>b—a AB>AC—BC三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边三边关系的应用例1：有这样的四根小棒（4cm、6cm、10cm、12cm）请你任意的取其中的三根，首尾连接，摆成三角形。
三角形的边角关系
隨堂練習
（3）已知有一個等腰三角形，其三邊長 分別為5、6、x，則 x ＝？
答：5，6
三角形任意兩邊差小於第三邊
c＋a＞b 移項 b－a＜c
a＋b＞c
c－b＜a
b＋c＞a
a－c＜b
A
c
b
B
C a
隨堂練習
（3）已知有長度分別為1、2、3、4、 5、6 的竹籤各一支，試問用這 些竹籤可排出幾種不同形狀的三 角形？
答：2、3、4；2、4、5；2、5、6； 3、4、5；3、4、6；3、5、6； 4、5、6 共 7 種
隨堂練習
（3）已知有長度分別為1、2、3、4、5、 6、7、8、9、10 的竹籤各一支， 試問用這些竹籤可排出幾種不同形狀 的三角形？
答：共 50 種
等腰三角形兩底角相等
【已知】等腰△ABC中，AB＝AC
§3-4三角形的邊角關係
重點：三角形邊角間的不等關係 （1）三角形任意兩邊和大於第三邊 （2）三角形任意兩邊差小於第三邊 （3）三角形中若有兩邊不相等，則大邊對大角，
小邊對小角 （4）等腰三角形兩底角相等 （5）三角形中若有兩邊不相等，則大角對大邊，
小角對小邊 （6）樞紐定理
三角形任意兩邊和大於第三邊
A
D
大
小
B 大 C E 小F
隨堂練習
已知△ABC與△DEF中，AB＝DE， AC＝DF （1）若∠A＝∠D，則BC EF
（填＞、＝、＜） （2）若∠A＞∠D，則BC EF
（填＞、＝、＜） 答：（1）＝
（2）＞
隨堂練習
直角三角形中，哪一邊最長？為什麼？
答：斜邊 因為直角為直角三角形的最大角， 所以直角所對的邊（斜邊）為最大邊。
直角三角形的边角关系知识
直角三角形的边角关系知识直角三角形的边角关系知识直角三角形“边角关系”的推广应用杨广才初中代数“解三角形”一章中给出了直角三角形中的边角关系，本文是店铺整理直角三角形的边角关系知识，仅供参考。
第一章直角三角形的边角关系知识点1、定义:在Rt ABC中，∠C=Rt∠，则sinA= cosA= ; tgA= 。
2.特殊角的三角函数值:取值范围Sinα cosα tgα3.三角函数间的关系:sin(90°-α)=cosα，cos(90°-α) = sinαSin2α+cos2α= Rt ABC中， Sin2A+ Sin2B= tgA= ，tgA×tg(90°- A)=4.三角函数值随角度变化的关系5.直角三角形中边的关系: 角的关系: 边角关系:注意:尽量避免使用中间数据和除法。
6.俯角仰角 : 方位角、象限角:坡角坡度:注意实际应用中必须构造直角三角形，如有特殊角一定构造特殊直角三角形。
7。
在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。
第二章二次函数知识点1、二次函数:y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，且a≠0)a>0开口，a<0开口 |a|越大，开口越小;|a|越小，开口越大.抛物线形状相同的值或。
抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线是: 。
抛物线y=a(x-h)2+k关于y轴对称的抛物线是: 。
对称轴顶点坐标a,b同号，对称轴在y轴，反之，在y轴，|x1-x2|=与y轴交点坐标为2、b2 -4ac>0，ax2+bx+c=0有两个不相等的.实根，与x轴有交点。
b2-4ac<0，ax2+bx+c=0无实根，与x轴交点。
b2-4ac =0，ax2+bx+c=0有两个相等的实根，与x轴有交点。
3、函数的图像向上平移个单位，得到的图像。
函数的图像向下平移个单位，得到的图像。
函数的图像向左平移个单位，得到的图像。
初一几何——三角形的边角关系(一)
初一几何——三角形的边角关系（一）【学习目标】1． 根据三角形、多边形内角和定理计算较复杂图形中的相关角度。
2． 充分利用三角形三边关系解决相关问题。
3． 学会并掌握双垂直图形。
【知识库】1、三角形的边：三角形三边定理：三角形两边之和大于第三边即：△ABC 中，a+b>c,b+c>a,c+a>b （两点之间线段最短） 由上式可变形得到： a>c －b ，b>a －c ，c>b －a 即有：三角形的两边之差小于第三边2、高：由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
3、中线：连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线【规律探索】（北京市竞赛题）如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）． A ．∠A ＝∠1＋∠2 B ．2∠A ＝∠1＋∠2C ．3∠A ＝2∠1＋∠2D ．3∠A ＝2（∠1＋∠2）变式：想一想，如果当点A 落在四边形BCDE 外部时，∠A 与∠1、∠2之间又有什么数量关系呢？试画出图形并说明。
【题型精讲】重难点一：三角形的面积。
例一：如图，△ACB 中，∠ACB =90°，∠1=∠B ． 若AC =8，BC =6，AB =10，则CD 的长为 ．例二：如图，等腰三角形ABC 中，两腰AB =AC ，点P 在底边BC 上任意一点，求证：点P 到两腰的距离之和等于等腰三角形腰上的高。
（要求画出草图再求证）拓展延伸：已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边的AB 、AC 、BC 的距离分别是h 1，h 2，h 3，△ABC 的高为h ，请你探索以下问题：（1）若点P 在一边BC 上（图1），此时h 3=0，问h 1、h 2与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由； （2）若当点P 在△ABC 内（图2），此时h 1、h 2、h 3与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由； （3）若点P 在△ABC 外（图3），此时h 1、h 2、h 3与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由重难点二：三角形的三边关系例三：已知三角形三边分别为2，a -1，4，那么a 的取值范围是( )A.1<a <5B.2<a <6C.3<a <7D.4<a <6例四：已知△ABC 的周长是12，三边为a 、b 、c ，若b 是最大边，确定b 的取值范围。
13.1.1三角形中的边角关系1
三角形任意两边之差小于第三边
三角形具有稳定性.
同学们，再见！
大胆猜测：
三角形三边存在着怎样的数量关系? 也就是说，满足怎样的三条线 段,就能围成三角形呢？ 我们一起来做个试验
探 究 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 围一围: 下面有4根木棒，请你任 意选三根围一围,可以怎么 选？每次都能围成三角形吗？
6cm 12cm
8cm
小颖要制作一个三角形木架，现有三 根长度为8cm、10cm、3cm的木棒， 能做成三角形吗？你是怎么考虑的？
在判断三条线段能否围成一个三 角形时，只要判断较小的两条线 段之和是否大于最长线段就可以 了。
1.下列长度的三条线段能否 组成三角形？为什么？
（1） （2） （3） （4） 3，4，8 5，2，6 10，6，5 8，3，5 （ 不能 （ 能 （ 能 （ 不能 ） ） ） ）
你会画一个三角形吗？会用符号表示它吗？
三角形用符号“△”表 示 记作“△ ABC”读作 “三角形ABC” A B C
A
顶点
2、三角形的元素
三角形相邻两边的公共端点 叫做三角形的顶点。
B
C 边
组成三角形的三条线段叫做三角 角 形的边。 三角形相邻两边所组成的角叫做三角形的内角， 简称三角形的角。
★试说说△ABC三边所对的角，及三 角所对的边
18cm
2016/12/22
实验记录
同位合作： 一人操作，另一人按下表记录结果
组别 所选小棒的长度（厘米） 能否围成 三角形
1 2 3 4
(6) (8) (12) (6) (8) (18) (6) (12) (18) (8) (12) (18)
能
不能 不能
能
6厘米 8厘米 12厘米
三角形边角关系-几何_点线面
几何（一）：线段、角基础知识1、 定义：外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角； 2、 三角形边的关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； 3、 三角形角的关系定理：三角形的内角和是180度；由三角形内角和定理，容易得出下面推论。
推论1：直角三角形的两个锐角互余。
推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4、 N 边形的内角和、外角和分别是多少？典型例题例1. 如图ABC 中，84A ∠=，B ∠，C ∠的平分线交于O ，求BOC ∠的度数。
ABOC例2. 如图C 是BAD ∠内部一点，连结CB 、CD ，80A ∠=，30B ∠=，40D ∠=，则BCD∠是多少?例3. 如图所示，DC 平分ADB ∠，EC 平分AEB ∠。
若DAE α∠=，DBE β∠=，则DCE ∠=____________（用α、β表示）；例4. 如图E 和D 分别在ABC 的边BA 和CA 的延长线上，CF 、EF 分别平分ACB ∠和AED ∠。
若70B ∠=，40D ∠=，则F ∠的大小是________；例5. 已知封闭曲线ABCDEFGA ，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=________；例6. 在ABC 中，A ∠是最小角，B ∠是最大角，且25B A ∠=∠，若B ∠的最大值是m ，最小值是n ，则m ＋n 是多少？例7. 已知三角形有一个内角是180－x 度，最大角与最小角之差是24度，求x 的取值范围； 例8. 已知三角形的两边的长的差是5，若该三角形周长是偶数，第三条边的最小值是多少？例9. 有多少边长是整数且周长是2002的等腰三角形？例10. 一个三角形的周长是个偶数，其中的两条边长分别是4和1997，则满足上述条件的三角形有多少个？ 例11.在ABC 中，三边为a ＝3，b ＝4，c ＝6，a h 表示a 边上的高的长度，b h ，c h的意义类似，求111()()a b c a b c h h h h h h ++++的值；例12.已知D 在ABC 内部，求证：AB+AC>DB+DC;例13.如图所示E 在ABC 的边AC 上，D 在BE 上。
三角形边角的关系
三角形边角的关系咱先来说说角和角的关系吧。
三角形的三个角加起来啊，永远都是180度，这就像是三个小伙伴凑在一起，不管它们各自的性格（角度大小）是怎样的，总和就是这么固定。
你看，直角三角形里有一个角是90度，那剩下的两个角就只能把剩下的90度分了，就像两个小娃娃分一块固定大小的糖一样，一个角大一点，另一个角就得小一点。
再讲讲边和角的关系。
大角对大边，小角对小边，这可太好玩了。
就好比在一个家庭里，强壮的大哥（大角）肯定占的地方（对应的边）就大些，而弱小一点的小弟（小角）占的地方（对应的边）就小一点。
要是一个角特别小，那它对应的边肯定也是最短的，就像小娃娃只能睡小床一样。
等边三角形就更有趣啦，它的三个角都相等，都是60度呢。
这就像是三个一模一样的小娃娃，长得一样，性格（角度）也一样，而且它们每个人分到的“地盘”（边）也都一样长，特别公平。
等腰三角形呢，有两个角相等，这两个相等的角就像是双胞胎，它们对应的边也是相等的。
这就像双胞胎总是会有一些相同的待遇，比如有一样长的“床铺”（边）。
三角形的边角关系在生活中也有很多体现哦。
比如说盖房子的时候，三角形的屋顶如果边角关系没弄对，那房子可能就不稳当了。
就像你搭积木，如果三角形的形状搭错了，整个建筑就很容易垮掉。
有时候我就觉得三角形的边角关系像一场小闹剧。
角们和边们按照一定的规则在那里玩耍，谁也不能乱了套。
要是哪个调皮的角突然变大或者变小了，那对应的边就得跟着变化，不然整个三角形的和谐就被打破了。
从这些边角关系里，我们能看到数学的奇妙之处。
它不是那种冰冷冷的数字和图形，而是像一个充满故事的小世界。
三角形的边角关系就像是这个小世界里的小规则，虽然简单，但是充满了无限的趣味。
每一次研究它们，就像是在探索一个小小的神秘乐园，总会有新的发现，让人忍不住想要深入了解更多关于三角形的秘密呢。
三角形中的边角关系
三角形基础知识说明：△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，p为三角形周长的一半，r为内切圆半径，R为外接圆半径，）h a，h b，h c分别为a，b，c边上的高S△ABC表示面积。
1．三角形的定义：三条线段首尾顺次连结所组成的图形，其中各条线段叫做三角形的边，每两条边组成的角叫做三角形的内角（简称三角形的角）．2．三角形的元素：三角形的边、角、中线、高线、角平分线、周长、面积等都叫三角形的元素．3．确定三角形的条件：在三角形的元素中，边和角叫做三角形的基本元素，其中角确定三角形的形状（定形），边确定三角形的大小（定量），三角形具有稳定性．确定三角形的条件是：已知三角形的三边（SSS）或两边及其夹角（SAS）或两角及其公共边（ASA）或两角与其中一角的对边（AAS），这也是判断两个三角形全等的主要方法，全等三角形的对应元素都相等．只知三角形的三角大小，不能确定三角形，具有相同大小的三个角的两个三角形是相似关系．4．三角形的“线”与“心”：（1）高线、垂心．（2）中线、重心及其的性质、坐标公式、向量公式及其物理意义、中线长定理．（3）中垂线、外接圆、外心．（4）内角平分线、内切圆、内心、内角平分线定理．（5）外角平分线、旁切圆、旁心、外角平分线定理．（6）中位线、中位线定理、中点三角形及其性质．5．三角形的分类：（1）按边的相等情况分：三边不等的三角形、等腰三角形、等边三角形。
（2）按最大角的情况分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
6．等腰三角形的判定与性质、四线合一7．等边三角形的判定与性质、四心合一（中心）8．三角形元素之间的关系：（1）角与角的关系：①内角和定理、②外角定理③角的性质：范围、关系．④最大角、最小角．⑤锐角三角形中任两角的和（2）边与边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．（“三胞胎”）（3）边与角的关系：（“三胞胎”）①对边与对角的大小关系：在三角形中，大边所对的角也较大，相等两边所对的角也相等，反之也真．②正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比都相等，都等于该三角形外接圆的直径．③余弦定理：在一个三角形中，任何一边的平方都等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的二倍．④射影定理：在一个三角形中，任何两边在第三边上的射影之和都等于第三边．（4）直角三角形的性质：①勾股定理②两个锐角的关系③锐角的三角函数（边与角的联系）．④含30o 角的直角三角形的性质⑤斜边上的中线长等于斜边长的一半．9．解三角形：根据三角形中已知的元素求其它未知的元素，叫解三角形．10．三角形面积公式：（1）ABC S ∆111222a b c ah bh ch ===4abc R= pr =． （2）若1122(),()AB x ,y AC x ,y ==，则ABC S ∆1212||x x y y =-．（3）若,AB AC ==c b ，则ABC S ∆=． 1．正弦定理：(2sin sin sin R Cc B b A a ===R 为△ABC 外接圆半径）。
七年级数学三角形的三边关系PPT课件-2024鲜版
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课堂小结及知识点回顾
01 课堂小结
02
03
04
05
• 三角形的三边关 • 等腰三角形的性 • 直角三角形的性 • 勾股定理及其逆
系
质
质
定理
本节课我们学习了三角形的 三边关系及其性质，通过典 型例题的解析和自主练习， 加深了对知识点的理解和掌 握。同时，也需要注意在实 际问题中的应用和拓展。
任意两边之和大于第三边；
等腰三角形
有两条边长度相等，这两条边之和大于第三边，且这两条边之差小于第三边。
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不属于三角形的情况
如果三条线段长度不满足任意两边之和大于第三边和任意两边之差小于第三边的条件，则它 们不能构成三角形。例如，三条线段长度分别为1cm、2cm、4cm，因为1+2<4，所以它们 不能构成三角形。
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05
三角形相似与全等判定条件
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相似三角形判定条件回顾
两边对应成比例且夹角相等
三边对应成比例
两个对应角相等
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全等三角形判定条件介绍
三边全等（SSS）
两边及夹角全等（SAS）
02
01
两角及夹边全等（ASA）
03
两角及非夹边全等（AAS）
04
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学生自主练习环节安排
练习1
已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c（a < b < c），且满足b = a + 1，c = b + 2，求a的取值范围。
练习2
已知等腰三角形的一个内角为50°，求其余两个内角的度数。
练习3
三角形的边角关系
三角形的邊角關係一、重要定理的證明：(PART B)(1)三角形的任兩邊和必大於第三邊(三角形的任兩邊差必小於第三邊)(2)同一三角形中，大邊對大角；小邊對小角。
(逆性質：同一∆中，大角對大邊；小角對小邊)已知：∆ABC中，AB>AC求證：∠C>∠B(3)樞紐定理：兩∆中，若有二組對應邊相等，且夾角愈大時，第三邊愈長樞紐逆定理：兩∆中，若有二組對應邊相等，且第三邊愈長時，夾角愈大(4)一圓中最長的弦為該園的直徑已知：AB為圓O之直徑，CD為圓上不為直徑的弦求證：AB>CD(5)同一圓中，圓心角越大，則弦越長。
(逆性質亦成立)已知：如圖，A、B、C、D在圓上，且∠AOB>∠COD求證：AB>CD(6)已知：∆ABC中，P為內部一點求證：PB+PC<AB+AC(7)DABCAB CPPL已知：P 在直線L 外，PH ⊥L求證：PH 為P 到直線L 之最短距(8)若∆ABC 之最長邊為BC ，當AB 2+AC 2>BC 2則∆ABC 為銳角∆ 當AB 2+AC 2<BC 2則∆ABC 為鈍角∆ 已知：∆ABC 中，BC 為最長邊，若AB 2+AC 2>BC 2 求證：∆ABC 為銳角三角形二、幾何證明題：(PART B)例1.已知：∆ABC 中，P 為內部一點求證：12 周長<PA+PB+PC<周長特例1.已知：∆ABC 為正∆，P 為內部一點求證：12 周長<PA+PB+PC<23 周長練1.已知：四邊形ABCD 中，對角線AC,BD求證：12 周長<AC+BD<周長例2.已知：P 為圓內一點，P 在直徑AB 上 求證：PA 為P 到圓上點的最短距 PB 為P 到圓上點的最長距例3.已知：A,B在直線L的同側求作：L上一點P，使得PA+PB最短做法：證明：例4.已知：∆ABC中，AD為∠BAC的平分線且AB>AC求證：①BD>CD ②∠ADB>∠ADC練2.已知：P為圓外一點，OP交圓O於A,B 求證：PA為P到圓上點的最短距PB為P到圓上點的最長距練3.已知：A,B在直線L的異側，且A,B至L不等距求作：L上一點P，使得|PA-PB|最長做法：證明：練4.已知：∆ABC中，AD為∠BAC的平分線且AB>AC求證：AB-AC>PB-PC例5.已知：∆ABC中，AD為BC之中線，且AB>AC求證：①∠ADB>∠ADC ②∠CAD>∠BAD③AB+AC>2AD練6.已知：如圖，BD=DE=EC求證：AB+AC>AD+AE例 6.設AT是∆ABC中∠A的平分線段，AM,AN分別是BC上的中線及高，試討論這三線段的長度大小關係。
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初一几何——三角形的边角关系（一）
【学习目标】
1． 根据三角形、多边形内角和定理计算较复杂图形中的相关角度。
2． 充分利用三角形三边关系解决相关问题。
3． 学会并掌握双垂直图形。
【知识库】
1、三角形的边：三角形三边定理：三角形两边之和大于第三边
即：△ABC 中，a+b>c,b+c>a,c+a>b （两点之间线段最短） 由上式可变形得到： a>c －b ，b>a －c ，c>b －a 即有：三角形的两边之差小于第三边
2、高：由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
3、中线：连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线
【规律探索】
（北京市竞赛题）如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）．
A ．∠A ＝∠1＋∠2
B ．2∠A ＝∠1＋∠2
C ．3∠A ＝2∠1＋∠2
D ．3∠A ＝2（∠1＋∠2）
变式：想一想，如果当点A 落在四边形BCDE 外部时，∠A 与∠1、∠2之间又有什么数量关系呢？试画出图形并说明。
【题型精讲】
重难点一：三角形的面积。
例一：如图，△ACB 中，∠ACB =90°，∠1=∠B ． 若AC =8，BC =6，AB =10，则CD 的长为 ．
例二：如图，等腰三角形ABC 中，两腰AB =AC ，点P 在底边BC 上任意一点，求证：点P 到两腰的距离之和等于等腰三角形腰上的高。
（要求画出草图再求证）
拓展延伸：已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边的AB 、AC 、BC 的距离分别是h 1，h 2，h 3，△ABC 的高为h ，请你探索以下问题：
（1）若点P 在一边BC 上（图1），此时h 3=0，问h 1、h 2与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由； （2）若当点P 在△ABC 内（图2），此时h 1、h 2、h 3与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由； （3）若点P 在△ABC 外（图3
），此时h 1、h 2、h 3与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由
重难点二：三角形的三边关系
例三：已知三角形三边分别为2，a -1，4，那么a 的取值范围是( ) A.1<a <5 B.2<a <6 C.3<a <7 D.4<a <6
例四：已知△ABC 的周长是12，三边为a 、b 、c ，若b 是最大边，确定b 的取值范围。
例五：已知：△ABC 中，AD 是BC 边上的中线。
求证：AD +BD >1
2
(AB +AC ) 练习：
1、已知a 、b 、c 是ΔABC 的三边长，化简|a +b
-
c |-|a -b -
c |
B
A
C
P
2、已知三角形的三边长a 、b 、c 都是整数，且a ≤b ＜c ，b =7，则这样的三角形有多少个？
3、已知O 是△ABC 中任意一点，求证：1
2
(AB +AC +BC )＜OA +OB+OC
拓展训练：1、不等边ΔABC 的两条高分别为4和12，若第三条高的长度也是整数，试求它的长。
2、如图的△ABC 中，D 、E 为三角形内任意两点，连接BD ，AE ，证明：EA DE BD CA BC +++＞
3、如图、已知直线a 和直线外同侧两点M 、N 。
请在直线a 上找一点P ，使∣PM -PN ∣的值最大，并简要说明理由。
重难点三：三角形的角度计算（建立方程）
例六：已知：如图，∠DAC ＝∠B ，∠ADC ＝115°，则∠BAC ＝______．
例七：锐角三角形中，∠A=2∠B ，求∠B 的取值范围。
例八：已知：如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ，∠A ＝∠ABD ，则∠A ＝___________
练习：如图，在△ABC 中，D 、E 是BC 边上的点，∠BDA =∠BAD ，∠CEA =∠CAE ，∠DAE =
3
1
∠BAC ， 求∠BAC 的度数。
拓展训练：
1、（江苏省竞赛题）△ABC 中，高BD 和CE 所在的直线相交于O 点，若△ABC 不是直角三角形，且∠A =60°，求∠BOC 的度数。
★2、△ABC 三个内角∠A ，∠B ，∠C 满足以下条件：3∠A ＞5∠B ，3∠C ≤2∠B . （1）试找出两组符合条件的∠A ，∠B ，∠C 的度数； （2）满足条件的三角形是什么三角形？说明理由。
重难点四：基本图形五（双垂直图形） 该图形中有哪些相等的角？
例九：如图，在直角三角形ABC 中，AC ≠AB ，AD 是斜边上的高，DE ⊥AC ， DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，则图中与∠C 相等的角的个数是（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
例十：如图在△ABC 中，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ， CD 平分∠ACB ，∠HCD =20°，则∠B =_______.
D H
B
C
A B
D
A
E C
C E
D
O
B A
C a
M N
练习：如图，三角形ABC 中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于D ， DF ⊥CE ，求∠CDF 的度数。
拓展延伸：小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：
在Rt △ABC 中，∠A =90°，BD 平分∠ABC ，M 为直线AC 上一点，ME ⊥BC ，E 为垂足，∠AME 的平分线交直线AB 于点F 。
F E
D
A C B
M
E
F
D
A
C
B
M
图① 图② 图③
（1）如图①，M 为边AC 上一点，则BD 、MF 的位置关系是______________; （2）如图②，M 为边AC 反向延长线上一点，则BD 、MF 的位置关系是______________; （3）如图③，M 为边AC 延长线上一点，则BD 、MF 的位置关系是______________;请你完成（1）（2）（3）三个命题，并从中任选一个进行证明。
F E D
A
C
B
M。