简单分式不等式的解法
高中数学 必修5 简单分式不等式的解法
课堂小结
解分式不等式的基本方法是同解转化法， 简便方法是数轴标根法。
相同因式的分式不等式与高次不等式既 要了解他们的联系，又要了解他们的区 别，尤其要注意等号取舍问题。
含重因式的不等式与高次不等式在进行 转化时要注意重因式对其的影响。
f (x) 0 f (x)g(x) 0
g ( x)
f (x) g (x)
0
f g
(x)g(x) (x) 0
0
f ( x) 0 f (x)g(x) 0
g (x)
f ( x) g ( x)
0
f (x) g ( x)
g(x) 0
0
例4：解不等式
x 1 2 3x 2
解：原不等式可化为
1
2
3
此不等式与不等式（x-1)(x-2)(x-3)(x+1)<0解集相
同。由数轴标根法可得原不等式的解集为：
{x︳-1<x<1或2<x<3}.
0 问：如果不等式是
x2 3x2 x2 2x3
该如何解？
例题2：解不等式
x2 2x 24 x2 7x 12 2
解：移项通分得
3x2 16x x2 7x 12
x1 2 0 3x 2
整理得 7x 5 0 3x 2
即： (7x 5)(3x 2) 0
所以原不等式的解集为
x
x
2 3
或x
5
7
例5: 解不等式 2x 1 1 x5
解:移项通分得 3 x 4 0 x5
所以原不等式等价于
(3x 4)(x 5) 0
x
5
0
即原不等式的解集为
探究：解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
分式不等式的解法及应用
分式不等式的解法及应用分式不等式是一种常见的数学问题，其解法涉及到分式的运算和不等式的求解。
在解决分式不等式问题时，我们需要运用一些特定的方法和技巧，以确定不等式的解集。
本文将介绍分式不等式的解法及其应用。
一、分式不等式的解法1. 消去分母法当分式不等式的分母不为0时，可以通过消去分母来求解。
消去分母的关键是要找到一个合适的公因式，将不等式转化为一个一次不等式。
具体步骤如下：（1）当分式不等式中只含有一个分式时，可以将其分母相乘，合并为一个分子，然后化简为一个一次不等式进行求解。
（2）当分式不等式中含有多个分式时，可以通过求最小公倍数，将分式表示为等值的形式，然后化简为一个一次不等式进行求解。
2. 分别讨论法当分式不等式无法通过消去分母进行求解时，可以采用分别讨论法。
具体步骤如下：（1）首先判断分式不等式的两边是否有相等的情况，若有，则将相等的情况加入到解集中。
（2）然后讨论分式不等式两边的正负情况，分别列出符号相同和符号相反的情况，求解每种情况下的不等式。
3. 图像法图像法是一种直观的分式不等式求解方法，通过绘制函数图像，可以直观地确定不等式解集的范围。
具体步骤如下：（1）将不等式转化为等式，并求解其等式的解集。
（2）根据不等式的符号确定解集的范围，绘制函数的图像。
（3）根据图像判断解集的具体范围，得出分式不等式的解集。
二、分式不等式的应用分式不等式作为一种常见的数学问题，广泛应用于各个领域。
以下是一些分式不等式应用的实际例子。
1. 经济领域在经济领域，分式不等式可以用于解决生产规模、销售价格等问题。
例如，在生产规模不变的情况下，利润与生产成本的关系可以用分式不等式表示。
2. 工程领域在工程领域，分式不等式可以用于解决时间、成本等问题。
例如，某个工程的完成时间与工人数量的关系可以用分式不等式表示。
3. 自然科学领域在自然科学领域，分式不等式可以用于解决物理、化学等问题。
例如，在化学反应中，反应速率与物质的浓度之间存在关系，可以用分式不等式表示。
分式不等式解法课件
不等式的性质
在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；在不等 式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；在不等式的两边同时 乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。
02
CATALOGUE
分式不等式的解法
转化为一元一次不等式组的方法
实例
对于不等式 $frac{x - 2}{x + 1} < 0$，分子为正数，分母为 负数，解集为 $-1 < x < 2$。
03
CATALOGUE
分式不等式的应用
在数学解题中的应用
分式不等式是数学中常见的一种不等式类型，掌握其解法对 于解决数学问题至关重要。分式不等式常常出现在代数、几 何、三角函数等数学领域中，是数学竞赛和日常学习的必备 知识点。
01
02
03数分离出来，形成一元 一次不等式组。
注意事项
在转化过程中，需要注意 不等式的符号和分母不为 零的条件。
实例
对于分式不等式 $frac{x 2}{x + 1} > 1$，可以转 化为 $x - 2 > x + 1$ 或 $x - 2 < -(x + 1)$，从而 得到一元一次不等式组。
分式不等式的练习题与解析
基础练习题
题目
01 不等式(2x - 5)/(x + 3) ≥ 0的
解集为 _______．
答案
$(- infty ， - 3) cup lbrackfrac{5}{2}， + infty)$
02
解析
03 首先确定不等式的分母和分子
符号，然后根据不等式的性质 求解。
不等式的解法
解析：∵|x＋1|＞2，∴x＋1＞2或x＋1＜－2，x＞1或x
2．(2011· 乐山质检)不等式|2x－1|－|x－2|＜0的解集为
__________．
解析：|2x－1|－|x－2|＜0⇔|2x－1|＜|x－2| ⇔(2x－1)2＜(x－2)2⇔4x2－4x＋1＜x2－4x＋4 ⇔3x2＜3⇔－1＜x＜1.
答案：{m|m＜1}
若不等式解集为R，则m的范围为________． 解析：∵－1≤f(x)≤1，f(x)min＝－1，∴m＜－1.
答案：{m|m＜－1}
[归纳领悟] 对形如|x－a|＋|x－b|＜c或|x－a|－|x－b|＞c的不等 式，由于它们分别表示数轴上的点x到a，b点的距离之 和或距离之差，因而利用不等式的几何意义去解不等式， 更为直观、简捷.
(2)|x|>a⇔ x<－a或x>a (a>0)； (3)|f(x)|≤g(x)⇔ －g(x)≤f(x)≤g(x) ； (4)|f(x)|≥g(x)⇔ f(x)≤－g(x)或f(x)≥g(x) ．
[题组自测]
1．(2010· 广西桂林一模)不等式|x＋1|－2＞0的解集是
( A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(－∞，－3)∪(1，＋∞) ＜－3. 答案：C B．(－1,3) D.(－3,1) )
1 则当 a＝ 时，原不等式解集为{x|x＞－1，且 x≠2}． 2 1 1 当 0＜a＜ 时，原不等式解集为{x|x＞a或－1＜x＜2}； 2 1 1 当 a＞ 时，原不等式解集为{x|－1<x<a或 x>2}． 2
若将a≥0改为a＜0，其它条件不变，解不等式． 1 解：因 a＜0 时，原不等式等价于(x－a)(x＋1)(x－2)＜0.
分式不等式的解法有哪些
很多同学对于分时不等式还处于不是很明白的状态，甚至有些不知道怎么做，以下是由编辑为大家整理的“分式不等式的解法(jiě fǎ)有哪些〞，仅供参考，欢送大家阅读。
分式(fēnshì)不等式的解法对于(duìyú)第一类解法如下：(1)令分子(fēnzǐ)、分母等于0，并求出解;(2)画数轴(shùzhóu)在数轴上找出解的位置;(3)判断分子、分母最高次系数乘积正负;假设乘积为正从右上向下依次穿过;假设为负从右下向上依次穿过对于第二类解法如下：(1)移项、通分将右面化为0，左面为分式的形式;(2)令分子、分母等于0，并求出解;(3)画数轴在数轴上找出解的位置;(4)判断分子、分母最高次系数乘积正负;假设乘积为正从右上向下依次穿过;假设为负从右下向上依次穿过拓展阅读：如何学好数学一、数学运算运算是学好数学的根本功。
初中阶段是培养数学运算才能的黄金时期，初中代数的主要内容都和运算有关，如有理数的运算、整式的运算、因式分解、分式的运算、根式的运算和解方程。
初中运算才能不过关，会直接影响高中数学的学习：从目前的数学评价来说，运算准确还是一个很重要的方面，运算屡屡出错会打击学生学习数学的信心，从个性品质上说，运算才能差的同学往往粗枝大叶、不求甚解、眼高手低，从而阻碍了数学思维的进一步开展。
从学生试卷的自我分析上看，会做而做错的题不在少数，且出错之处大局部是运算错误，并且是一些极其简单的小运算，如71-19=68，(3+3)2=81等，错误虽小，但决不可等闲视之，决不能让一句“马虎〞掩盖了其背后的真正原因。
帮助学生认真分析运算出错的详细原因，是进步学生运算才能的有效手段之一。
在面对复杂运算的时候，常常要注意以下两点：①情绪稳定，算理明确，过程合理，速度均匀，结果准确;②要自信，争取一次做对;慢一点，想清楚再写;少心算，少跳步，草稿纸上也要写清楚。
二、数学根底知识理解和记忆数学根底知识是学好数学的前提。
分式不等式的解法
2）一般地，分式不等式分为三类：
1）判断下列不等式组中，哪些解集相同。
2）把下列分式不等式转化为有相同解集的整式不等式（组）
3）解下列分式不等式：
1、分式不等式的概念 2、分式不等式的解法
练习册：P18 习题2.3 A组 1~3； B组 1
其他不等式的解法（1）
—分式不等式的解法
格致中学 蔡青
1、分式方程的定义： 分母中含有未知数的方程
2、分式方程的解法： 1)去分母转化为整式方程 2)解整式方程 3)验根
1、分式不等式定义：分母中含有未知数的不等式
主要研究形如
的不等式
研究： 改变：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2、分式不等式的解法：
1）基本思路：把未知的问题转化成我们熟悉的问题。
分式不等式的解法分式不等式怎么解分式不等式怎么去分母
分式不等式的解法步骤将分式不等式化为整式不等式，再进行求解。
一般分式不等式的解法：第一步去分母，第二步去括号，第三步移项，第四步合并同类项，第五步化未知数的系数为1。
分式不等式解法可以用同解原理去分母，解分式不等式；如f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0（其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0），则f（x）g （x）>0,或f（x）g（x）<0。
然后因式分解找零点，用穿针引线法。
分式不等式与分式方程类似，像f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0（其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0）这样，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式。
分式不等式第一种解法为：令分子、分母等于0，并求出解；画数轴在数轴上找出解的位置；判断分子、分母最高次系数乘积正负；若乘积为正从右上向下依次穿过；若为负从右下向上依次穿过。
分式不等式第二种解法为：移项、通分将右面化为0，左面为分式的形式；令分子、分母等于0，并求出解；画数轴在数轴上找出解的位置；判断分子、分母最高次系数乘积正负；若乘积为正从右上向下依次穿过；若为负从右下向上依次穿过。
1分式不等式右边为0不等式左边不能再化简的的转化方法：在分母不为0的前提下，两边同乘以分母的平方。
2分式不等式右边不为0或不等式左边还能化简的转化为整式不等式的步骤。
1、移项将不等式右边化为0。
2、将不等式左边进行通分。
3、对分式不等式进化简，变换成整式不等式。
4、将不等式未知数x前的系数都化为正数。
分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。
解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解。
分式不等式的解法：分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。
解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解，即。
分式不等式解法
x
x
4 3
或x
5
小结2：对 f ( x) k 型不等式的解法
g ( x)
一 ： 移项 二 ： 通分 三 ： 化为整式
例6: 解不等式 (x 1)( x 2) 0 (x 1)( x 3)
解：约分得
( x 2) 0 ( x 3)
x 1 0
即
(x 2)(x 3) 0 x 1 0
原不等式解集为
x x 3或1 x 2
解法总结：
解分式不等式的基本思路是将其转化 为整式不等式。在此过程中，等价性
尤为重要，因此解分式不等式一般不 去分母，而是将其转化为 f (x) 0或 f (x) 0 等形式，再实施同解变形 g(x) g(x)
作业：
练习册28页例一及变式题１，２
望奎一中：郭 宏
2007 . 6 . 20
问题: 解不等式 (x 1)(3x 2) 0
解(一):原不等式的解集为
x
x1或x
2 3
解(二): 原不等式等价于 13xx1200或23xx１ 200
解(1)得: x 2 3
解(2)得: x 1
即： (7x 5)(3x 2) 0
所以原不等式的解集为
x
x
2 或x 3
5
7
2x 1
例5: 解不等式
1
x5
解:移项通分得 3x 4 0 x5
所以原不等式等价于
(3x 4)(x 5) 0 x 5 0
即原不等式的解集为
x2 x2
2x 24 7x 12
分式不等式解法公式
分式不等式解法公式例1：求解不等式 $\frac{3}{x-4} > 0$。
首先，我们可以通过上述不等式修改为等式的形式来求解。
$$\frac{3}{x-4} = 0$$因为分式的分母不能为零，所以上述方程没有解。
接下来，我们可以观察到分式的分子为正数，并且分母为$x-4$。
根据零点的概念，我们知道当$x-4>0$时，分式是正数。
因此，我们只需要求解$x-4>0$即可。
$$x>4$$所以，原始不等式 $\frac{3}{x-4} > 0$ 的解集为 $x > 4$。
例2：求解不等式 $\frac{x}{x+1} \leq 2$。
首先，我们观察到分式的分母为$x+1$不为零的情况下，表达式是相对稳定的。
因此，我们需要将分式的分母$x+1$与其他的数值值进行比较。
以$x+1$为基准，我们可以得到以下三种情况：-当$x+1<0$时，不等式成立。
-当$x+1=0$时，不等式不成立，因为分母不能为零。
-当$x+1>0$时，我们需要对分子和分母的大小关系进行求解。
对分子和分母进行比较，我们得到以下几种情况：-当$x>0$时，$x+1>0$，分式成立。
-当$x=0$时，$x+1>0$，分式成立。
-当$x<0$且$x+1>0$时，分式成立。
综上所述，我们可以得出以下解集：$x+1 < 0$ 或 ($x \geq 0$ 且 $x+1 > 0$)，即 $x < -1$ 或 $x \geq 0$。
因此，原始不等式的解集为 $x < -1$ 或 $x \geq 0$。
例3：求解不等式 $\frac{2x-1}{x+3} > 1$。
我们可以通过消去分式的方式来求解上述不等式。
首先，我们可以将不等式改写为以下形式：$$\frac{2x-1}{x+3} - 1 > 0$$通过通分的方式，我们可以得到：$$\frac{2x-1-(x+3)}{x+3} > 0$$简化后：$$\frac{x-4}{x+3} > 0$$接下来，我们需要观察分子和分母的大小关系。
分式不等式的解法课件
转化为一元二次不等式组的方法
总结词
通过移项和整理，将分式不等式转化为简单的一元二次不等 式组，然后求解。
详细描述
首先观察分式不等式的形式，通过移项和整理，将其转化为 形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0 的一元二次 不等式。然后，根据一元二次不等式的解法，求解这个不等 式组，得出解集。
VS
详细描述
综合练习题将分式不等式与其他数学知识 相结合，如代数、函数、方程等。这些题 目通常需要学生综合运用多个知识点来解 题，旨在提高学生的数学综合素质和问题 解决能力。解决这些题目需要学生具备扎 实的数学基础和灵活的思维，能够从多个 角度分析问题并找到合适的解题方法。
感谢观 看
THANKS
分子和分母同号时，解集为空集；分子和分母异号时，解集为全体实数。
02
分式不等式的解法
转化为一元一次不等式组的方法
总结词
通过消去分母，将分式不等式转化为简单的一元一次不等式组，然后求解。
详细描述
首先观察分式不等式的分母，通过乘以适当的正数消去分母。然后，将不等式 两边进行整理，使其成为一元一次不等式的形式。最后，解这个一元一次不等 式组，得出解集。
转化为一元高次不等式组的方法
总结词
通过移项和整理，将分式不等式转化为简单的一元高次不等式组，然后求解。
详细描述
首先观察分式不等式的形式，通过移项和整理，将其转化为形如 ax^n + bx^(n1) + ... + c > 0 或 ax^n + bx^(n-1) + ... + c < 0 的一元高次不等式。然后， 根据一元高次不等式的解法，求解这个不等式组，得出解集。
专题二、分式不等式的解法
（ 【1 】一）分式不等式：型如：0)()(>x x f ϕ或0)()(<x x f ϕ（个中）（、x x f ϕ)(为整式且0≠）（x ϕ）的不等式称为分式不等式.（2）归纳分式不等式与整式不等式的等价转化：（1）0)()(0)()(>⋅⇔>x x f x x f ϕϕ（3）0)()(0)()(<⋅⇔<x x f x x f ϕϕ（2）⎩⎨⎧≠≥⋅⇔≥0)(0)()(0)()(x x x f x x f ϕϕϕ （4）⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0)(0)()(0)()(x x x f x x f ϕϕϕ （3）小结分式不等式的解法步调：（1）移项通分,不等式右侧化为“0”,左侧为一分式 （2）转化为等价的整式不等式（3）因式分化,解整式不等式（留意因式分化后,一次项前系数为正） （1）分式不等式的解法：解关于x 的不等式0231>-+x x办法一：等价转化为： 办法二：等价转化为：⎩⎨⎧>->+02301x x 或⎩⎨⎧<-<+02301x x 0)23)(1(>-+x x 变式一：0231≥-+x x等价转化为：⎩⎨⎧≠-≥-+0230)23)(1(x x x比较不等式0231<-+x x 及0231≤-+x x 的解集.（不等式的变形,强调等价转化,分母不为零）练一练：解关于x 的不等式051)1(>--x x 3532)2(≤-x例1、 解关于x 的不等式：232≥+-x x 解：0232≥-+-x x 03)3(22≥++--x x x即,038≥+--x x 038≤++x x （包管因式分化后,包管一次项前的系数都为正） 等价变形为：⎩⎨⎧≠+≤++030)3)(8(x x x∴原不等式的解集为[)3,8--例2.解关于x 不等式23282<+++x x x办法一：322++x x恒大于0,应用不等式的基赋性质办法二：移项.通分,应用两式同号.异号的充要前提,划归为一元一次或一元二次不等式. 例3、 解关于x 的不等式：1≥xa 解：移项01≥-x a通分 0≥-x x a 即,0≤-xax 等价转化为,⎩⎨⎧≠≤-00)(x a x x当a>0时,原不等式的解集为],0(a 当a<0时,原不等式的解集为)0,[a当a=0时,原不等式的解集为φ⒈ 一元二次不等式与特别的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 剖析一：应用前节的办法求解;剖析二：由乘法运算的符号轨则可知,若原不等式成立,则左边两个因式必须异号,∴原不等式的解集是下面两个不等式组：⎩⎨⎧<+>-0401x x 与⎩⎨⎧>+<-0401x x 的解集的并集,即{x|⎩⎨⎧<+>-0401x x }∪⎩⎨⎧>+<-0401|{x x x }=φ∪{x|-4<x<1}={x|-4<x<1}.书写时可按下列格局：解二：∵(x-1)(x+4)<0⇔⎩⎨⎧<+>-0401x x 或⎩⎨⎧>+<-0401x x⇔x ∈φ或-4<x<1⇔-4<x<1, ∴原不等式的解集是{x|-4<x<1}.小结：一元二次不等式)a ()c bx ax (c bx ax 00022≠<++>++或的代数解法：设一元二次不等式)a (c bx ax 002≠>++响应的方程)a (c bx ax 002≠=++的两根为2121x x x x ≤且、,则00212>--⇔>++)x x )(x x (a c bx ax ;①若⎩⎨⎧>>⎩⎨⎧<<⇒⎩⎨⎧>->-⎩⎨⎧<-<->.x x ,x x ,x x ,x x .x x ,x x ,x x ,x x ,a 2121212100000或或则得 当21x x <时,得1x x <或2x x >;当21x x =时,得1x x ,R x ≠∈且.②若⎩⎨⎧><⎩⎨⎧><⇒⎩⎨⎧>-<-⎩⎨⎧>-<-<.x x ,x x ,x x ,x x .x x ,x x ,x x ,x x ,a 2121212100000或或则得 当21x x <时,得21x x x <<;当21x x =时,得∅∈x .剖析三：因为不等式的解与响应方程的根有关系,是以可求其根并由响应的函数值的符号暗示出来即可求出不等式的解集.解：①求根：令(x-1)(x+4)=0,解得x（从小到大分列）分离为-4,1,这两根将x轴分为三部分：（-∞,-4）（-4,1）（1,+∞）;②剖析这三部分华夏不等式左边各因式的符号③由上表可知,原不等式的解集是{x|-4<x<1}.例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0;解：①检讨各因式中x的符号均正;②求得响应方程的根为：-2,1,3;③列表如下：④由上表可知,原不等式的解集为：{x|-2<x<1或x>3}.小结：此法叫列表法,解题步调是：①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0(<0)情势（各项x的符号化“+”）,令(x-x1)(x-x2)…(x-x n)=0,求出各根,无妨称之为分界点,一个分界点把（实数）数轴分成两部分,n个分界点把数轴分成n+1部分……;②按各根把实数分成的n+1部分,由小到大横向分列,响应各因式纵向分列（由对应较小根的因式开端依次自上而下分列）;③盘算各区间内各因式的符号,下面是乘积的符号;④看下面积的符号写出不等式的解集.演习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-1<x<0或2<x<3}.思虑：由函数.方程.不等式的关系,可否作出函数图像求解例2图演习图直接写出解集：{x|-2<x<1或x>3}. {x|-1<x<0或2<x<3}在没有技巧的情形下：可大致画出函数图星求解,称之为串根法①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0(<0)情势,并将各因式x的系数化“+”;(为了同一便利)②求根,并在数轴上暗示出来;③由右上方穿线,经由数轴上暗示各根的点（为什么？）;④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.留意：奇穿偶不穿例3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0. 解：①检讨各因式中x 的符号均正;②求得响应方程的根为：-1,2,3（留意：2是二重根,3是三重根）; ③在数轴上暗示各根并穿线,每个根穿一次（自右上方开端）,如下图：④∴原不等式的解集为：{x|-1<x<2或2<x<3}.解释：∵3是三重根,∴在C 处穿三次,2是二重根,∴在B 处穿两次,成果相当于没穿.由此看出,当左侧f(x)有雷同因式(x-x 1)n 时,n 为奇数时,曲线在x 1点处穿过数轴;n 为偶数时,曲线在x 1点处不穿过数轴,无妨归纳为“奇穿偶不穿”.演习：解不等式：(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)≤0. 解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)2≤0;②求得响应方程的根为：-2（二重）,-1,3; ③在数轴上暗示各根并穿线,如图：④∴原不等式的解集是{x|-1≤x ≤3或x=-2}.解释：留意不等式若带“=”号,点画为实心,解集鸿沟处应有等号;别的,线虽不穿-2点,但x=-2知足“=”的前提,不克不及漏失落.2．分式不等式的解法 例4 解不等式：073<+-x x . 错解：去分母得03<-x ∴原不等式的解集是{}3<x |x .解法1：化为两个不等式组来解： ∵073<+-x x ⇔⎩⎨⎧>+<-⎩⎨⎧<+>-07030703x x x x 或⇔x ∈φ或37<<-x ⇔37<<-x , ∴原不等式的解集是{}37<<-x |x . 解法2：化为二次不等式来解： ∵073<+-x x ⇔⎩⎨⎧≠+<+-070)7)(3(x x x ⇔37<<-x , ∴原不等式的解集是{}37<<-x |x解释：若本题带“=”,即(x-3)(x+7)≤0,则不等式解分散应留意x ≠-7的前提,解集应是{x| -7<x ≤3}.小结：由不等式的性质易知：不等式双方同乘以正数,不等号偏向不变;不等式双方同乘以负数,不等号偏向要变;分母中有未知数x,不等式双方同乘以一个含x 的式子,它的正负不知,不等号偏向无法肯定,无从解起,若评论辩论分母的正负,再解也可以,但太庞杂.是以,解分式不等式,切忌去分母.解法是：移项,通分,右边化为0,左边化为)x (g )x (f 的情势.例5 解不等式：0322322≤--+-x x x x . 解法1：化为不等式组来解较繁.解法2：∵0322322≤--+-x x x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠--≤--+-0320)32)(23(222x x x x x x ⇔⎩⎨⎧≠+-≤+---0)1)(3(0)1)(3)(2)(1(x x x x x x , ∴原不等式的解集为{x| -1<x ≤1或2≤x<3}. 演习21演习：3⑴⑵253>+-x x .答案：1.⑴{x|-5<x<8};⑵{x|x<-4,或x>-1/2};2.{x|-13<x<-5}.演习：解不等式：123422+≥+--x x x x.（答：{x|x ≤0或1<x<2}） 1. 不等式222310372x x x x ++>-+的解集是 2. 不等式3113x x+>--的解集是3. 不等式2223712x x x x +-≥--的解集是4. 不等式1111x x x x -+<+-的解集是 5. 不等式229152x x x --<+的解集是 6. 不等式22320712x x x x -+>-+的解集是 7. 不等式2121x x x +≤+的解集是 8. 不等式2112x x ->-+的解集是 9. 不等式23234x x -≤-的解集是 10. 不等式2212(1)(1)x x x -<+-的解集是 11. 不等式2206x x x x +<+-的解集是12. 不等式2121x xx +<-的解集是 13. 不等式2321x xx x +>++的解集是14. 不等式211(3)x >-的解集是 15. 不等式(23)(34)0(2)(21)x x x x -->--的解集是16. 不等式2311x x +≥+的解集是17. 不等式1230123x x x +->---的解集是18. 不等式25214x x+≤--的解集是19. 不等式221421xx x≥--的解集是20. 不等式221(1)(2)xx x-<+-的解集是答案1. 2. (-2,3)3. 4.5. 6.7. 8. (1,2)9. 10.11. 12.13. 14.15. 16. [-1,2] 17. 18.19. 20.。
人教版数学高二-备课资料四种简单不等式的解法
四种简单不等式的解法四种简单不等式，即含绝对值的不等式、一元二次不等式、简单一元高次不等式、简单分式不等式的解法，是后续课程基本运算的重要解题工具，掌握这些基本不等式的解法十分重要．Ⅰ、含绝对值的不等式解法解含有绝对值不等式基本思想是：−−−−−→去掉绝对值符号转化与化归思想不含绝对值不等式． 1．|ax ＋b|＜c (c ＞0) 形不等式解法是：先将不等式化为－c ＜ax ＋b ＜c ，再由不等式的有关性质求出x 的范围，即得出原不等式的解集．也可以转化为不等式组,.ax b c ax b c +<⎧⎨+>-⎩求解．|ax ＋b|＞c (c ＞0)形不等式解法是：先将不等式化为ax ＋b ＞c 或ax ＋b ＜－c ，再分别求出x 的范围，从而求出原不等式的解集．2．含有多个绝对值不等式的解法有：⑴平方法：对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用| x |2= x 2可在两边脱去绝对值符号求解，这样解题要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要分类讨论，只有不等式两边均为非负数时，才可以直接两边平方，去掉绝对值符号，尤其是解含参数不等式更必须注意的一点．⑵零点分段讨论法：即求出每一个绝对值为零的零点，再把这些零点标在数轴上，则这些零点把数轴分成若干段，再把每一段内分别去掉绝对值符号，组成若干个不等式组，取其并集，就是原不等式的解集．这样解题需要注意的是，在分段时，分界点(即零点)必须在某一段内，而不能漏掉．⑶⑷Ⅱ、一元二次不等式的解法1．解一元二次不等式一般步骤是：⑴先将不等式化为标准式(a＞0)：ax2＋bx＋c＞0 ……㈠或；ax2＋bx＋c ＜0 ……㈡；⑵解方程ax2＋bx＋c = 0，并确定判别式△= b2－4ac的符号：①当△＞0时，解出二次方程的两根x1、x2且x1＜x2，则不等式㈠的解在“两根之外”，即“大于大根或小于小根”，写成解集形式为：{x | x＜x1，或x＞x2}；不等式㈡的解在“两根之间”，即“大于小根且小于大根”，写成解集形式为：{x | x1＜x＜x2}．②当△= 0时，解得两等根x1= x2=－ab2，则不等式㈠的解集为{x | x ≠－ab2，x∈R}；不等式㈡的解集为φ．③当△＜0时，二次方程的无实根，则等式㈠的解集为R；不等式㈡的解集为φ．需要特别说明的是：若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集(在两根之内或两根之外)．2．含参数一元二次不等式的解法解含参数一元二次不等式(x－a)(x－b)＞0 (或＜0)时，应根据a＜b、a = b、a＞b三种情况分类讨论．3．一元二次不等式解法的数学思想一元二次不等式的解法充分运用了“函数与方程”、“数形结合”及“化归”的数学思想．一元二次程ax2＋bx＋c = 0的根就是使一元二次函数y = ax2＋bx ＋c的函数值为0时对应的x的值，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c ＜0的解集就是二次函数大于0或小于0时x 的取值范围．因此，解一元二次不等式时，一般要画出与之对应的二次函数的图象．Ⅲ、简单一元高次不等式的解法一元高次不等式(x －a 1)(x －a 2)…(x －a n )＞0(或＜0)，其中a 1＜a 2＜…＜a n ．把a 1、a 2、…、a n 按大小顺序标在数轴上，则不等式的解的区域如下图所示：Ⅳ、简单分式不等式的解法 解简单分式不等式ax b cx d++＞0(或＜0)，除了直接对分子、分母进行符号分析外，还常转化为解一元二次不等式．一般地，ax b cx d ++＞0(或＜0)⇔( ax ＋b)(cx ＋d)＞0(或＜0)，但应注意的是ax b cx d ++≥0⇔()()0,0.ax b cx d cx d ++≥⎧⎨+≠⎩，即cx ＋d ≠0不能忽略．二、几点注意事项1．根据绝对值定义，将| x |＜c 或| x |＞c (c ＞0)转化为两个不等式组，这两个不等式组的关系是“或”而不是“且”，因而原不等式的解集是这两个不等式组解的并集，而不是交集．2．| x |＜c 和| x |＞c (c ＞0)的解集公式要牢记，以后可以直接作为公式使用．但要注意的是，这两个公式是在c ＞0时导出的，当c ≤0时，需要另行讨论，不能使用该公式．- - - - -a 1 a 2 a 3 a 1n - a n (n 为奇数) x ＋ ＋ － － － -- - - - a 1 a 2 a 3 a 1n - a n (n 为偶数) x＋ － ＋ ＋ －3．解一元二次不等式时，应当考虑相应的一元二次方程，其中二次项系数a的正或负影响着不等式解集的形式，判别式△关系到不等式对应的方程是否有解，而两根x1、x2的大小关系到解集的最后顺序．2．二次不等式的解集有两种特殊情况，即解集为 和R，要分清和理解各种不同情况时所对应的方程或函数图象的含义．3．当二次项系数含有参数时，不能忽略二次项系数为零的特殊情形，解含有参数的不等式时，要合理分类，确保不重不漏．4．解含有绝对值的不等式的关键是把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值符号的不等式，然后再求解，但这种转化必须是等价转化，尤其是平方法去掉绝对值符号时，一定要注意两边非负这一条件，否则就会扩大或缩小解集的范围．5．由于一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的两根有关，当两根中含有字母时，要以两根大小为标准对常数字母进行分类讨论，在讨论时要合理分类，确保不重不漏．6．解简单分式不等式时，一是要注意在转化为整式不等式时，转化前与转化后必须保持相同的解集，二是要注意转化后两个因式中的x的系数的正、负问题．7．用根轴法解一元高次不等式时，必须将未知数x的系数变为正数．。
艺术生高考数学专题讲义：考点22 一元二次不等式与简单的分式不等式的解法
A. ( -∞，32 ) ∪ (2，+∞)
B. R
C.
(
3 2
，2)
D. ∅
【题型练1-2】(2015 江苏 ) 不等式 2x2 - x < 4 的解集为 ________．
【题型练1-3】不等式 -3 < 4x - 4x2 ≤ 0 的解集为 ________．
（
）
【题型练1-4】(2015 广东文 ) 不等式 -x2 - 3x + 4 > 0 的解集为 ________( 用区间表示 )．
【题型练3-6】若不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集是 ( -4,1)，则不等式 b(x2 - 1) + a(x + 3) + c > 0 的解集为 ．
题型四 一元二次不等式恒成立问题 角度 1 形如 f(x) ≥ 0( f(x) ≤ 0)，x ∈ R 确定参数的范围 例4. 若不等式 mx2 - 2x - 1 < 0 恒成立，则 m 的取值范围是 ________．
题型三 一元二次不等式与一元二次方程根之间关系问题 例3. 关于 x 的不等式 x2 + (a + 1)x + ab > 0 的解集是 {x|x <-1 或 x > 4}，则 a + b = ________．
方法总结 解决这类习题关键是理解三个二次之间的关系，一元二次函数与 x 轴交点的横坐标即为对应一 元二次方程的根，利用一元二次方程的根，结合函数图象就可以求出对应一元二次不等式．因此反过
f (x) g(x)
≥
0⇔
fg((xx))·≠g(x0)，≥ 0，，
f (x) g(x)
分式不等式的解法
都是等价变换！ 求解分式不等式时每一步的变换必须都是等价变换！
例1：解不等式 ：
x −1 ≤1 2x +1
练一练： 7x + 3 >5 1. 2 x +1
x + 3 ≥ 0 2. 3 − 2 x
x−a <0 的不等式: 例2：解关于 的不等式 ：解关于x的不等式 2 x−a
(a ∈ R )
练一练：
分式不等式的解法
ห้องสมุดไป่ตู้
解分式不等式重要的是等价转化，尤其是含“ ” 解分式不等式重要的是等价转化，尤其是含“≥”或“≤” 等价转化 ”
分式不等式的解法： 分式不等式的解法：
f ( x) > 0 f ( x) < 0 f ( x) > 0 ⇔ f ( x ) ⋅ g( x ) > 0 ⇔ 或 g( x ) g( x ) > 0 g( x ) < 0 f ( x) > 0 f ( x) < 0 f ( x) 或 < 0 ⇔ f ( x ) ⋅ g( x ) < 0 ⇔ g( x ) g( x ) < 0 g( x ) > 0 f ( x ) ⋅ g( x ) ≥ 0 f ( x) ≥ 0 f ( x) ≤ 0 f ( x) ≥0⇔ ⇔ 或 g( x ) g( x ) ≠ 0 g( x ) > 0 g( x ) < 0 f ( x ) ⋅ g( x ) ≤ 0 f ( x) ≥ 0 f ( x) ≤ 0 f ( x) ≤0⇔ ⇔ 或 g( x ) g( x ) ≠ 0 g( x ) < 0 g( x ) > 0
练习：解关于 的不等式 的不等式: 练习：解关于x的不等式
2.5 简单分式不等式的解法
所以，原不等式的解集为
2004年10月21日
,
1
U
2 3
,
.
解法小结1
解分式不等式的方法是 将之等价转化为解整式不等式
ax b 0 (ax b)(cx d ) 0 cx d
ax b cx d
0
(ax b)(cx cx d 0
式，先约去公因式，再把它等价转 换成前面讨论过的情形。
2004年10月21日
应用
• 当m为何值时，关于x的方程m(x-1)=3(x+2)
的解是正数？m为何值时，方程的解是负数？
原方程可化为 (m 3)x m 6,
如果m＝3，那么原方程无解.
2004年10月21日
应用
• 当m为何值时，关于x的方程m(x-1)=3(x+2)
2004年10月21日
x
|
2 3
x
1.
试解不等式： (x 1)(x 2) 0
(x 1)(x 3)
解：
约分，得
x2 0 x3
x 1 0
即
(x 2)(x 3) 0 x 1 0
所以解集为
2004年10月21日
(, 3) U(2,1) U(1, ).
cx d
(cx d )
移项、通分、化整式
2004年10月21日
试一试：
x 1 2. 3x 2
2004年10月21日
解：
x 1 2 3x 2
移项、通分得
5x 5 0. 3x 2
所以
(5x 5)(3x 2) 0, 3x 2 0.
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2004年10; 2 > 0, −3 x + 2 −7 x + 5 > 0, −3 x + 2
(7 x − 5)(3 x − 2) > 0,
2 5 −∞, U , +∞ 3 7
解法小结2 解法小结2
原方程可化为
(m − 3) x = m + 6,
如果m＝3，那么原方程无解.
2004年10月21日 2004年10月21日
应用
• 当m为何值时，关于x的方程m(x-1)=3(x+2) 为何值时，关于x 方程m 1)=3(x
的解是正数？ 为何值时，方程的解是负数？ 的解是正数？m为何值时，方程的解是负数？
解分式不等式的方法是 将之等价转化为解整式不等式
ax + b > 0 ⇔ ( ax + b)(cx + d ) > 0 cx + d
(ax + b)(cx + d ) ≥ 0 ax + b ≥0⇔ cx + d cx + d ≠ 0
2004年10月21日 2004年10月21日
解法小结1 解法小结1
解分式不等式的方法是 将之等价转化为解整式不等式
ax + b < 0 ⇔ ( ax + b)(cx + d ) < 0 cx + d
(ax + b)(cx + d ) ≤ 0 ax + b ≤0⇔ cx + d cx + d ≠ 0
2004年10月21日 2004年10月21日
试解不等式：
( x + 1)( x − 3) ≥ 0
试解不等式：
x +1 > 0. 3x − 2
分析：当且仅当分子 分析：当且仅当分子 x + 1与分母 3 x − 2 同号时， 同号时， 上述不等式成立，而两个数的商与积同号 上述不等式成立，而两个数的商与积同号. 因此，上述不等式可转化为 整式不 等式 ( x + 1)( 3x − 2 ) > 0 所以，原不等式的解集为
解：
整理后得，
( x − 1)( x + 2) ≥0 ( x − 1)( x + 3)
( x + 2)( x + 3) ≥ 0,
( x − 1)( x + 3) ≠ 0.
所以解集为
(−∞, −3) U [−2,1) U (1, +∞).
2004年10月21日 2004年10月21日
解法小结3 解法小结3
x + 1 > 0, (1) 3 x − 2 > 0; x + 1 < 0, ( 2) 3 x − 2 < 0.
或
2 ( , +∞) ，不等式组(2)的解集是 (−∞, −1) 不等式组(1)的解集是 3
2 所以，原不等式的解集为 (−∞, −1) U ( , +∞). 3
2004年10月21日 2004年10月21日
思路总结
分式不等式
同解 变形
整式不等式
化 归
未知
等价 变换
已知
2004年10月21日 2004年10月21日
练习
解：
移项，得 即
x 2 − 2 x − 24 > −2 2 x − 7 x + 12
3 x 2 − 16 x >0 2 x − 7 x + 12
x( x − 3)( x − 4)(3x − 16) > 0
整理可得，
某地铁站上，甲乙两人为了赶 地铁，分别从楼梯和运行中的 自动扶梯上楼（楼梯和自动扶 自动扶梯上楼（楼梯和自动扶 梯的长度相同） 梯的长度相同）.如果甲的上楼 速度是乙的2 速度是乙的2倍，他俩同时上 楼，且甲比乙早到楼上. 楼，且甲比乙早到楼上. 问： 甲的速度至少是自动扶梯运行 速度的几倍？
原方程可化为
(m − 3) x = m + 6,
如果m 3，那么原方程的解是 x = 方程的解是正数，即
m+6 > 0, m−3
m+6 , m−3
得解集
2004年10月21日 2004年10月21日
(−∞, −6) U (3, +∞).
应用
• 当m为何值时，关于x的方程m(x-1)=3(x+2) 为何值时，关于x 方程m 1)=3(x
( x − 1)( x + 2) >0 ( x − 1)( x + 3)
x+2 >0 x+3
x −1 ≠ 0
即
( x + 2)( x + 3) > 0 x −1 ≠ 0
所以解集为
(−∞, −3) U (−2,1) U (1, +∞).
2004年10月21日 2004年10月21日
改为如下不等式又如何？
定义
s s . < v v +v 0 2
v是未知数， 且在分母中
• 分子、分母都是整式，并且分母含有未知 分子、分母都是整式， 都是整式
数的不等式叫做分式不等式. 数的不等式叫做分式不等式.
2004年10月21日 2004年10月21日
试解不等式：
x +1 > 0. 3x − 2
分析： 分析：当且仅当分子 x + 1与分母 3 x − 2 同号时， 同号时， 上述不等式成立. 上述不等式成立. 因此
简
思考：不等式
解：
⇔
x +1 ≥ 0的解 3x − 2
x +1 ≥0 3x − 2
( x + 1)(3x − 2) ≥ 0
3x − 2 ≠ 0
所以，原不等式的解集为
2 ( −∞, −1] U , +∞ . 3
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解法小结1 解法小结1
解：
移项、通分得
x +1 ≥2 3x − 2 −5 x + 5 ≥ 0. 3x − 2
(5 x − 5)(3x − 2) ≤ 0, 3x − 2 ≠ 0.
所以
解得
2004年10月21日 2004年10月21日
2 x | < x ≤ 1 . 3
试解不等式：
解：
约分，得
2004年10月21日 2004年10月21日
分析与解
设楼梯的长度为s，甲的速度为v，自动扶梯的 运行速度为 v0 . 于是甲上楼所需的时间为 乙上楼所需的时间为 由题意，得
s s < . v v +v 0 2
v > 2v0 .
2004年10月21日 2004年10月21日
s , v
s v v0 + 2 ,
0 3 4
16 3
解集为
2004年10月21日 2004年10月21日
16 (−∞, 0) U (3, 4) U ( , +∞). 3
作业和练习
• 练习册第10页11题 练习册第10页11题 • 研读《导引》29～34页 研读《导引》29～34页
下 课！
2004年10月21日 2004年10月21日
的解是正数？ 为何值时，方程的解是负数？ 的解是正数？m为何值时，方程的解是负数？
原方程可化为
(m − 3) x = m + 6,
如果m 3，那么原方程的解是 x = 方程的解是负数，即
m+6 < 0, m−3
m+6 , m−3
得解集
2004年10月21日 2004年10月21日
(−6,3).
解法综述
• 对于分子、分母可约分的分式不等
式，先约去公因式，再把它等价转 换成前面讨论过的情形。
2004年10月21日 2004年10月21日
应用
• 当m为何值时，关于x的方程m(x-1)=3(x+2) 为何值时，关于x 方程m 1)=3(x
的解是正数？ 为何值时，方程的解是负数？ 的解是正数？m为何值时，方程的解是负数？
• 解分式不等式的基本思路是将其转化 解分式不等式的基本思路 基本思路是将其转化
为整式不等式。在此过程中，等价性 尤为重要，因此解分式不等式一般不 去分母，而是先将它化归为 f ( x) > 0 g ( x) 等形式，再实施同解变形. 等形式，再实施同解变形.
f ( x) > 0 ⇔ f ( x) ⋅ g ( x) > 0 g ( x) f ( x) ⋅ g ( x) ≥ 0 f ( x) ≥0⇔ g ( x) g ( x) ≠ 0
简单分式不等式的解法
上海· 上海·格致中学 郑仲义
问题
• 某地铁站上，甲乙两人为了赶地铁，分别
从楼梯和运行中的自动扶梯上楼（楼梯和 从楼梯和运行中的自动扶梯上楼（楼梯和 自动扶梯的长度相同） 自动扶梯的长度相同）.如果甲的上楼速度 是乙的2 是乙的2倍，他俩同时上楼，且甲比乙早到 楼上. 楼上. 问：甲的速度至少是自动扶梯运行速 度的几倍？
ax + b (a ' x + b ') >k ⇔ >0 cx + d (cx + d )
ax + b (a ' x + b ') <k ⇔ <0 cx + d (cx + d )
移项、通分、化整式
2004年10月21日 2004年10月21日
试一试： 试一试：
x +1 ≥ 2. 3x − 2