2021版江苏高考数学复习讲义：充分条件、必要条件含答案
第五讲 充分条件、必要条件、充要条件-2021年新高一数学(苏教版2019)(解析版)
第五讲 充分条件、必要条件、充要条件【学习目标】1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.【基础知识】 1.充分条件与必要条件 区分概念中充分条件与必要条件的推出符号的箭头方向(1)一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可以推出q ，记作p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.(2)如果“若p ，则q ”为假命题，那么由条件p 不能推出结论q ，记作pq ，此时，我们就说p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件.2.判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.3.充要条件 理解概念时要联系充分条件与必要条件的概念如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，即既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q .此时，p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件，显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件.【考点剖析】考点一：充分条件、必要条件的判断例1．“220x x +-=”是“1x =”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】①由220x x +-=，得1x =或2x =-，充分性不成立，②当1x =时，220x x +-=，必要性成立，220x x ∴+-=是1x =的必要不充分条件，故选B ．考点二：根据必要条件(充分条件)求参数的范围例2．若关于x 的不等式|1|2x a -<成立的充分条件为{|04}x x <<，则实数a 的取值范围可以是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】不等式|1|2x a -<成立的充分条件是04x <<，设不等式的解集为A ，则(0,4)A当0a 时，A =∅，不满足要求，当0a >时，若(0,4)A 则，32a ∴， 经检验知32a =符合题意，32a ∴． 故选B ．考点三：充要条件的应用例3．已知集合2{|20}A x x x =-->，集合2{|2(25)50}B x x k x k =+++<，k R ∈．（1）求集合B ；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数k 的取值范围．【解析】（1）根据题意，，当52k >时，有52k -<-，不等式的解集为5(,)2k --，则5(,)2B k =--， 当52k =时，有52k -=-，不等式的解集为∅，则B =∅，当52k <时，有52k ->-，不等式的解集为5(2-，)k -，则5(2B =-，)k -， （2）根据题意，集合，1)(2-⋃，)+∞，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则B A ⊆， 当52k >时，5(,)2B k =--，满足B A ⊆， 当52k =时，B =∅，满足B A ⊆， 当52k <时，5(2B =-，)k -，若B A ⊆，必有1k --，即1k ， 综合可得：1k ，即k 的取值范围为[1，)+∞．【真题演练】1．已知a R ∈，则“1a ”是“2a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】{|1}{|2}a a a a ，1a ∴是2a 的充分不必要条件， 故选A ．2．已知实数0a ≠，则“1a <”是“11a >”的( ) A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 【答案】B【解析】实数0a ≠，则“1a <”，“11a>”不一定成立， 如0a <，10a <，所以充分性不成立； 11a >时，110a ->，化为10a a-<，解得01a <<， 所以1a <，必要性成立；是必要非充分条件．故选B ．3．设a R ∈，则“2a ”是“2320a a -+”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】2320a a -+，12a ∴，当12a 时，2a 成立，当2a 时，12a 不一定成立，2a ∴是2320a a -+的必要不充分条件． 故选C ．4．设x R ∈，则“12x <<”是“24x <”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解“24x <”可得22x -<<，x R ∈，则“12x <<”能推出“24x <”，x R ∈，则“24x <”不能推出“12x <<”， 根据充分条件和必要条件的定义可得x R ∈，则“12x <<”是“24x <”的充分而不必要条件， 故选A ．5．“214x +<”是“5x <”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】321452x x x +<⇔<⇒<， 反之不成立，因此“214x +<”是“5x <”的充分不必要条件． 故选A ．6．的一个充分不必要条件是( )A ．4xB ．0xC ．1x >D ．1x <-【答案】A【解析】(3)(2)0x x -+>，{|2A x x ∴=<-或3}x >的一个充分不必要条件为集合A 的真子集，只要A ．4x 是集合A 的真子集，故选A ．7．若条件:|1|1p x -，条件:q x a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．2aB ．2aC ．2a -D ．2a - 【答案】A【解析】条件:|1|1p x -，即02x ，又条件:q x a ， 因为p 是q 的充分不必要条件，所以[0，2](∞，]a ，故a 的取值范围是2a ．故选A ．8．已知:13p x -<<，:12q x m -<<+，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 ．【答案】(1,)+∞【解析】p 是q 的充分不必要条件， (1∴-，3)(1-，2)m +，则23m +>，即1m >，即实数m 的取值范围是(1,)+∞，故答案为：(1,)+∞9．设:p x a >，:3q x >．（1）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．【解析】设{|}A x x a =>，，（1）p 是q 的必要不充分条件，B A ∴，3a ∴<．（2）p 是q 的充分不必要条件，A B ∴，3a ∴>．【过关检测】1．“214x +<”是“5x <”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】321452x x x +<⇔<⇒<， 反之不成立，因此“214x +<”是“5x <”的充分不必要条件． 故选A ．2．对于实数x ，“1x <”是“21x <”的( )条件．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由21x <，解得11x -<<，“1x <”是“21x <”的必要不充分条件．故选B ．3．“5m ”是“2450m m --”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由2450m m --得(1)(5)0m m +-，得15m -， 则“5m ”是“2450m m --”的必要不充分条件， 故选B ．4．已知x ，y R ∈，则“1x >，1y >”是“1xy >”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】1x >，1y >，1xy ∴>，反之不成立，例如取6x =，12y =． “1x >，1y >”是“1xy >”的充分不必要条件． 故选A ．5．的一个充分不必要条件是( )A ．4xB ．0xC ．1x >D ．1x <-【答案】A【解析】(3)(2)0x x -+>，{|2A x x ∴=<-或3}x > 的一个充分不必要条件为集合A 的真子集，只要A ．4x 是集合A 的真子集，故选A ．6．使得“1x >”成立的一个必要且不充分的条件是( )A ．2?1x >B ．3?1x >C ．11x >D ．2x > 【答案】A【解析】使1x >成立的一个必要不充分条件，满足不等式的范围包含1x >， 211x x >⇔>或1x <-，是1x >的一个必要且不充分条件． 故选A ．7．设x R ∈，则“2560x x -+<”是“”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由2560x x -+<，解得23x <<；由，化为：121x -<-<，解得：13x <<．由2313x x <<⇒<<，反之不成立．“2560x x -+<”是“”的充分而不必要条件，故选A ．8．已知条件:04x α<<和条件:0x a β<<，若α是β的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．【答案】【解析】α是β的充分不必要条件，αβ∴，4a ∴>，故答案为：．9．已知集合，．（Ⅰ）当1m =时，求A B ；（Ⅱ）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【解析】（Ⅰ）2{|230}{|13}A x x x x x =--<=-<<， 或}x m ．当1m =时，{|2B x x =或1}x ，则A B R =．（Ⅱ）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，则3m 或11m +-，得3m 或2m -，即实数m 的取值范围是(-∞，2][3-，)+∞．10．设:24p x <，q ：实数x 满足22230(0)x ax a a --<>．（1）若1a =，且p ，q 都为真命题，求x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解析】（1）由22230(0)x ax a a --<>．得，得3a x a -<<， 若1a =，则:13q x -<<，若p ，q 都为真命题，则，得23x <，即x的取值范围是[2，3)．（2）若p是q的充分不必要条件，则[2，3)(a-，3)a，则，即，得43a即可．即实数a的取值范围是4[3，)+∞．。
2021版江苏高考数学复习课后限时集训：充分条件、必要条件含解析
教课资料范本2021版江苏高考数学复习课后限时集训：充足条件、必需条件含分析编辑： __________________时间： __________________建议用时： 45 分钟一、选择题1．(20xx ·湖北五校联考 )已知直线 l 1：mx－2y＋ 1＝ 0， l 2：x－ (m－1)y－1＝0，则“ m＝2”是“ l1∥l2”的()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件C[ 由直线 l1与直线 l2平行得－ m(m－1)＝1× (－2)，得 m＝2 或 m＝－ 1，经考证，当 m＝－ 1 时，直线 l 1与 l2重合，舍去，因此“ m＝2”是“ l 1∥ l2”的充要条件，应选 C.]2．“ a<0”是“函数 f(x)＝|x－a|＋|x|在区间 [0，＋∞ )上为增函数”的 () A．充足不用要条件B.必需不充足条件C．充要条件D.既不充足也不用要条件A[ 当 a<0 时， x≥0，f(x)＝x－a＋x＝2x－a，其为增函数，此时充足性成立；当 a＝ 0 时， f(x)＝2|x|，其在区间 [0，＋∞ )上为增函数，因此必需性不可立．应选 A.]3．设 x∈R，则“ 2－x≥0”是“ (x－ 1)2≤ 1”的 ()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件B[2－ x≥0，则 x≤2，(x－1)2≤1，则－ 1≤ x－1≤1，即 0≤x≤2，据此可知：“ 2－ x≥0”是“ (x－1)2≤1”的必需不充足条件． ]x－11”的．设∈，则“＜”是“ 3＜()4x R22A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件1 1A [ 由 x－2＜2，得 0＜ x＜1，因此 0＜x3＜1；由 x3＜1，得 x＜ 1，不可以推出 0＜x＜1.因此“11x－＜”是“ x3＜1”的充足而不用要条22件．应选 A.]5．假如 x，y是实数，那么“ x≠y”是“ cos x≠ cos y”的 ()A．充要条件B．充足不用要条件C．必需不充足条件D．既不充足也不用要条件C [ 法一：设会合 A＝{( x，y)|x≠y} ， B＝ {( x， y)|cos x≠cos y} ，则 A 的补集 C＝{( x，y)|x＝y} ， B 的补集 D＝{( x， y)|cos x＝ cos y} ，明显 C D，因此B A，于是“ x≠y”是“ cos x≠ cos y”的必需不充足条件．法二：(等价转变法 )：由于 x＝y? cos x＝cos y，而 cos x＝cos yD/? x＝y，因此“ cos x＝cos y”是“ x＝ y”的必需不充足条件，故“ x≠y”是“ cos x≠cos y”的必需不充足条件． ]log2x ，x>0，6．函数 f(x)＝－2x＋a，x≤0有且只有一个零点的充足不用要条件是()1A．a<0B．0<a<21C.2<a<1D．a≤0或a>1A[ 由于函数 f(x)的图象过点 (1,0)，因此函数 f(x)有且只有一个零点 ? 函数y＝－ 2x＋a(x≤0)没有零点 ? 函数 y＝2x(x≤ 0)的图象与直线 y＝a 无公共点．由数形联合，可得a≤ 0 或 a>1.又由于 {a|a<0}{ a|a≤ 0 或 a>1} ，应选 A.] 7．若 x＞2m2－3是－ 1＜ x＜ 4的必需不充足条件，则实数m的取值范围是 ( )A．[ －3,3]B．(－∞，－ 3] ∪[3，＋∞ )C．(－∞，－ 1]∪[1，＋∞ )D．[ －1,1]D[ ∵x＞2m2－3 是－ 1＜ x＜ 4 的必需不充足条件，∴(－1,4)(2m2－3，＋∞ )，∴ 2m2－3≤－ 1，解得－ 1≤m≤1，应选 D.]8．在△ ABC中，“ A＝B”是“ tan A＝ tan B”的 ________条件．充要 [由 A＝B，得 tan A＝tan B，反之，若 tan A＝ tan B，则 A＝B＋kπ，k∈Z .∵ 0＜ A＜π， 0＜ B＜π，∴ A＝B，故“ A＝B”是“ tan A＝tan B”的充要条件． ]9．设 p：实数 x， y知足 x＞ 1且 y＞ 1， q：实数 x，y知足 x＋y＞2，则 p是q的__ ______条件． (选填“充足不用要”“必需不充足”“充要”“既不充足也不用要” )充足不用要[当 x＞ 1， y＞ 1 时， x＋y＞ 2 必定建立，即 p? q，当 x＋y＞2时，可令 x＝－ 1，y＝4，即 q?/p，故 p 是 q 的充足不用要条件． ]10．直线 x－y－k＝ 0与圆 (x－1)2＋y2＝ 2有两个不一样交点的充要条件是_____ ___．k∈ (－ 1,3)[直线 x－y－k＝0 与圆 (x－1)2＋ y2＝2 有两个不一样交点等价于|1 －0－k|＜2，2解之得－ 1＜k＜3.]1．设 a，b均为单位向量，则“ |a－3b|＝ |3a＋ b|”是“ a⊥b”的 ()A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件D．既不充足也不用要条件C[ 由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－ 3b)2＝(3a＋b)2，即 a2＋9b2－6a·b＝ 9a2＋ b2＋6a·b.由于 a，b 均为单位向量，因此 a2＝b2＝ 1，因此 a·b＝0，能推出 a⊥b.由 a⊥ b 得 |a－3b|＝ 10， |3a＋b|＝ 10，能推出 |a－3b|＝|3a＋b|，因此“ |a－3b|＝|3a＋b|”是“ a⊥ b”的充要条件． ]2．王昌龄《参军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A．充足条件B．必需条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件B[ “不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡，则攻破楼兰”，因此“攻破楼兰”是“返回家乡”的必需条件． ]3．函数 f(x)在 x＝ x0处导数存在．若 p： f′(x0 )＝ 0； q： x＝x0是 f(x)的极值点，则()A．p是q的充足必需条件B．p是q的充足条件，但不是 q的必需条件C．p是q的必需条件，但不是 q的充足条件D．p既不是 q的充足条件，也不是 q的必需条件C[ 当函数在 x＝x0处有导数且导数为 0 时，x＝x0未必是函数的极值点，还要看函数在这一点左右两边的导数的符号，若符号一致，则该点不是极值点．而若 x＝ x0为函数的极值点，则函数在x＝x0处的导数必定为0.因此 p 是 q 的必需不充足条件．应选 C.]4．已知会合 A＝，B＝{x|－ 1＜ x＜m＋ 1， m∈R} ，若 x∈B建立的一个充分不用要条件是 x∈A，则实数 m的取值范围是 ________．(2，＋ ∞) [ 由于 A ＝＝{ x|－1＜x ＜3} ， x ∈ B 建立的一个充足不用要条件是 x ∈ A ，因此 A B ，因此 m ＋1＞3，即 m ＞2.]1．下边四个条件中，使 a ＞ b 建立的充足而不用要的条件是 ()A ．a ＞b ＋1B ．a ＞b －1C ．a 2＞ b 2D ．a 3＞ b 3A [a ＞ b ＋ 1? a ＞ b ，但反之未必建立，应选 A.]．·北京卷 设点 ， ， 不共线，则“ → →→2 (20xx与AC 的夹角为锐角”是“ |AB) A B C AB → → ”的＋ AC()|>|BC|A ．充足而不用要条件B ．必需而不充足条件C ．充足必需条件D ．既不充足也不用要条件→ →→ → → → →→2→2→→θ＞ →2 →2＋AC ＞＋AC ＞－AB＋AC ＋2AB ·AB ＋ACC [|AB | |BC|? |AB| |AC|? AB ACcos→ → θ → → ＞ 0，－ 2AB · ·ACcos ? ABAC→ → π由点 A ，B ，C 不共线，得〈 AB ， AC 〉∈ 0， 2 ，→ → ＞ → →故AB ·0? AB ，AC 的夹角为锐角．应选 C.]AC。
2021年高考数学1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
集合与常用逻辑用语高考第一轮复习 第 二节 命题及其关系、充分条件与必要条件1高考引航2必备知识3关键能力高考引航判断真假判断为真答案知识清单必备知识判断为假答案若q ,则p相同没有关系若┐q ,则┐p必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要答案=答案基础训练CDB(2,+∞)关键能力题型归纳题型一 四种命题的关系及其真假判断CA点拨：当命题不易直接判断真假时,可将问题转化为判断与其等价的逆否命题的真假.答案解析C②④题型二 充分条件与必要条件的判定答案C解析C点拨：充分、必要条件的判断方法(1)利用定义判断:直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.在判断时,确定条件是什么,结论是什么.(2)从集合的角度判断:利用集合中的包含关系.抓住“以小推大”的技巧,即小范围推得大范围,即可解决充分性、必要性的问题.(3)利用等价转化法:条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来判断真假.答案A解析D题型三 充分条件、必要条件的应用答案A解析(-∞,3]点拨：根据充分、必要条件求解参数范围的一般步骤(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系.(2)根据集合间的关系画出数轴或Venn图,写出关于参数的不等式(组),求解.注意:求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式能否取等号取决于端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.答案A解析3方法突破方法 集合与充分条件、必要条件“联手”求参数答案解析[9,+∞)谢谢观赏。
新高考数学复习基础知识专题讲义50 充分必要条件(解析版)
新高考数学复习基础知识专题讲义知识点50 充分必要条件知识理解充分条件、必要条件BAA=B 且A ⊉B考向一充分必要条件的判断【例1】（2021·江苏常州市·高三一模）“sin 2α=”是“sin cos αα=”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】由sin 2α=，可得2,4k k Z παπ=+∈或32,4k k Z παπ=+∈， 当32,4k k Z παπ=+∈时，此时sin cos αα≠，即充分性不成立； 反之当sin cos αα=时，其中α可为54π，此时sin 2α=-，即必要性不成立， 考向分析所以“sin α=”是“sin cos αα=”的既不充分也不必要条件. 故选：D .【举一反三】1．（2021·浙江高三期末）已知m 、l 是不同的直线，α、β是不同的平面，且m α⊥，l β⊂，则“αβ⊥”是“//m l ”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】充分性：若αβ⊥，设n αβ=，存在直线b β⊂，使得b n ⊥，由面面垂直的性质定理可得b α⊥，m α⊥，则//m b ，从而可得//m β或m β⊂，则m 与l 的位置关系不确定，充分性不成立； 必要性：m α⊥，//m l ，则l α⊥，l β⊂，αβ∴⊥，必要性成立.因此，“αβ⊥”是“//m l ”的必要不充分条件. 故选：B.2．（2021·天津高三月考）已知x ∈R ，则“2x <”是“21x>”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】当1x =-时，“x <2”成立，但20x < ,故“21x<”，故“x <2”不是“21x >”的充分条件， “21x >”等价于2002x x x -<⇔<<，即21x>能推出2x <，∴“x <2”是“21x >”的必要条件， 故“x <2”是“21x>”的必要不充分条件，故选:B.3．（2021·浙江温州市·高三二模）已知,αβ是两个不重合的平面，直线l α⊥，则“//l β”是“αβ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为,αβ是两个不重合的平面，直线l α⊥，若//l β，则存在直线a β⊂，满足//l a ，因为l α⊥，所以a α⊥，所以αβ⊥，故充分性成立； 若αβ⊥，l α⊥，则l β⊂，或//l β，故必要性不成立； 所以“//l β”是“αβ⊥”的充分不必要条件；故选：A考向二 充分必要条件的选择【例2】（2021·北京门头沟区·高三一模）“ln(1)0x +<”的一个必要而不充分条件是（ ） A ．11x e-<<-B ．0x >C ．10x -<<D ．0x < 【答案】D【解析】ln(1)0x +<等价于011x <+<，即10x -<<， 因为10x -<<可以推出0x <，而x <0不能推出10x -<<， 所以0x <是10x -<<的必要不充分条件，所以“ln(1)0x +<”的一个必要而不充分条件是0x <. 故选：D 【举一反三】1．（2021·江苏海门市·高三月考）命题“[]21220x x a ∀∈-≤，，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．4a ≤D ．4a ≥ 【答案】D【解析】“[]21220x x a ∀∈-≤，，”为真命题，可得2a ≥，因为[)[)4,2,+∞⊂+∞ ， 故选:D .2．（2021·甘肃兰州市·高三月考（理））命题“对任意2[1,2),0x x a ∈-<”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．4a ≥B ．4a >C ．1a ≥D ．1a > 【答案】B【解析】命题为真命题，则2a x >对[)1,2x ∈恒成立 4a ∴≥{}4a a >是{}4a a ≥的真子集 4a ∴>是命题为真的充分不必要条件本题正确选项：B3．（2021·全国高三专题练习（文））若0x >，则2020x a x+≥恒成立的一个充分条件是（ ） A ．80a >B ．80a <C ．90a >D ．90a < 【答案】B【解析】因为0x >，由基本不等式2020x x +≥=当且仅当2020x x =即x =时，取等号，要使得2020x a x +≥恒成立，则a ≤， 所以2020x a x+≥恒成立的一个充分条件是80a < 故选：B考向三 求参数【例3】（2021·浙江高三其他模拟）已知p ：2x a +<，q ：x a ≥，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．[)1,+∞D ．()1,+∞ 【答案】A【解析】因为p ：2x a +<，所以:22p a x a --<<-+，记为{}|22A x a x a =--<<-+；:q x a ≥，记为{}|B x x a =≥．因为p 是q 的充分不必要条件，所以AB所以2a a ≤--，解得1a ≤-． 故选：A 【举一反三】1．（2021·全国高三专题练习）若()2:140p a x +-=是2:60q x x +-=的充分不必要条件，则a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．D ．1或1-【答案】D【解析】由题意，命题()2:140p a x +-=即为241x a =+， 命题2:60q x x +-=即为3x =-或2x =， 因为p 是q 的充分不必要条件，所以2421a =+或2431a =-+（舍去）， 所以1a =±. 故选：D.2．（2021·湖北襄阳市·高三月考）已知集合122A x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭，集合2{(2)20}B x x a x a =-++<若“”x A ∈是“”x B ∈的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题意可知AB ，又{}()(){}2(2)20=|20B x x a x a x x a x =-++<--<，①当2a <时，{}|2B x a x =<<，若A B ，则12a <-； ②当2a >时，{}|2B x x a =<<，此时A B 不成立；③当2a =时，B =∅，A B 不成立.综上所述：12a <-. 故选：A.3．（2019·安徽宿州市·高三一模（文））设x ∈R ，若“log 2(x -2)＜1”是“x ＞m 2-1”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(3,3)B ．(-1，1)C ．[3,3]D ．[-1，1] 【答案】C【解析】()22log 21log 2x -<=，解得24x <<，则“24x <<”是“x ＞m 2-1”的充分不必要条件，即212m -≤，解得33m -≤≤， 故选:C1．（2021·江苏徐州市·高三二模）已知x ∈R ，则“34x -≤≤”是“()2lg 21x x --≤”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】B【解析】()22lg 210210x x x x --≤⇒<--≤，强化练习解得31x -≤<-或24x <≤，所以“34x -≤≤”不能推出“()2lg 21x x --≤”，反之成立， 所以“34x -≤≤”是“()2lg 21x x --≤”的必要不充分条件. 故选：B2．（2021·浙江高三其他模拟）已知a 为正实数，则“1a >”是“32212log log a a ->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】因为32212log log a a ->等价于3222log log a a >，由a 为正实数且1a >，故有32a a >，所以3222log log a a >成立；由a 为正实数，3222log log a a >且函数2log y x =是增函数，有32a a >，故()210a a ->，所以1a >成立. 故选：C ．3（2021·浙江高三其他模拟）“0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭”是“tan αα>”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】令函数tan y x x =-，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2211tan 0cos y x x '=-=≥， 所以函数tan y x x =-在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则tan tan000αα->-=，即tan αα>，故充分；但是反之未必成立，比如取23πα=-，易知22tan 33ππ⎛⎫-=>- ⎪⎝⎭，满足tan αα>，但是不满足0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以“0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭”是“tan αα>”的充分不必要条件， 故选：A ．4．（2021·浙江高三其他模拟）已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项积为n T ，且9512T =，则“241a a =”是“q =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由等比数列的性质可知995512T a ==，所以52a =．若241a a =，则22431a a a ==，且50a >，所以31a =，故2532a q a ==，q =q =4a ，22a =，所以241a a =，必要性成立故“241a a =”是“q =. 故选：B ．5．（2021·北京平谷区·高三一模）已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωϕ=+>>∈R ．则“()f x 是偶函数“是“2ϕπ=”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】若2ϕπ=，则()sin()cos 2f x A x A x πωω=+=，()cos()cos ()f x A x A x f x ωω-=-==，所以()f x 为偶函数；若()sin()f x A x ωϕ=+为偶函数，则2k πϕπ=+，k Z ∈，ϕ不一定等于2π.所以“()f x 是偶函数“是“2ϕπ=”的必要不充分条件. 故选：B6．（2021·山西高三一模（文））“α∀∈R ，sin cos 2k παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，k ∈Z ”是“1k =”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】当1k =，sin cos 2k παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭成立 ；反之，当5k =，sin cos 2k παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭推不出1k =，故“α∀∈R ，sin cos 2k παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，k ∈Z ”是“1k =”的必要不充分条件 故选：B7．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三月考）1943年19岁的曹火星在平西根据地进行抗日宣传工作，他以切身经历创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，后毛泽东主席将歌曲改名为《没有共产党就没有新中国》．2021年是中国共产党建党100周年，仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的（ ） A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】从逻辑学角度，命题“没有共产党就没有新中国”的逆否命题是“有了新中国就有了共产党”，因此“有共产党”是“有新中国”的必要条件， 故选：B ．8．（2021·全国高三其他模拟）已知直线()1:21230l x a y a +-+-=，22:340l ax y a +++=，则“12//l l ”是“32a =”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】若12//l l ，则()213a a -=，解得：32a =或1a =-， 当1a =-时，1:350l x y --=，2:350l x y -++=，直线1l ，2l 重合，32a ∴=； ∴充分性成立；当32a =时，1:20l x y +=，225:206l x y ++=，显然12//l l ，∴必要性成立. ∴故“12//l l ”是“32a =”的充要条件.故选：C.9．（2021·荆门市龙泉中学高三月考）已知{}2:230p A x x x =--≤，{}22:240q B x x mx m =-+->，若p 是q 成立的充分不必要条件，求m 的取值范围是（ ）A ．()(),35,-∞-+∞B ．()3,5-C ．[]3,5-D ．(][),35,-∞-+∞【答案】A【解析】由2230x x --≤解得：13x -≤≤，[]1,3A ∴=-.由22240x mx m -+->，即()24x m ->，解得2x m >+或2x m <-+.()(),22,B m m ∴=-∞-++∞.p 是q 成立的充分不必要条件，则A B ，32m ∴<-+或21m +<-，解得：5m >或3m <-. m ∴的取值范围是()(),35,-∞-+∞.故选：A.10．（2021·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高三月考）若p :2,:x q x a ≤≤，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．{}|2?a a ≥B ．{}|2a a ≤C ．{}|2a a ≥-D ．{}|2a a ≤-【答案】A 【解析】因为2x ≤，所以22x -≤≤，因为p 是q 的充分不必要条件，所以2a ≥，故选:A.11．（2021·江苏镇江市·扬中市第二高级中学高三开学考试）已知“x k ≤”是“12x ->”的充分不必要条件，则k 的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．(,1)-∞-C ．(2,)+∞D ．(,1]-∞-【答案】B 【解析】由12x ->得12x ->或12x -<-，解得：1x <-或3x >，因为“x k ≤”是“12x ->”的充分不必要条件，所以{}|x x k ≤是{|1x x <-或}3x >的真子集，可得：1k <-，故选：B12．（2019·兴安县第三中学高三期中）已知集合A ={x |x >5}，集合B ={x |x >a }，若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(-∞，5)B ．(-∞，5]C ．(5，+∞)D ．[5，+∞)【答案】A【解析】【解析】由题意可知，A ⫋B ，又A ={x |x >5}，B ={x |x >a }，如图所示，由图可知，a <5.故选：A.13．（2021·安徽合肥市·高三三模（理））“关于x 的方程()212x x a +=有实数解”的一个充分不必要条件是（ ）A ．113a <<B ．12a ≥C ．213a <<D ．112a ≤< 【答案】C 【解析】由题知：()212x x a +=，221x x a =+， 令21x t =≥，()1111t f t t t ==-++， 因为1t ≥，11012t <≤+，所以()1,12f t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故关于x 的方程()212x x a +=有实数解”的一个充分不必要条件是213a <<. 故选：C14．（2021·贵溪市实验中学高三月考（文））已知：1:12p x ≥-，:||1q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,3]-∞B ．[2,3]C ．(2,3]D ．(2,3)【答案】C 【解析】由112x ≥-，得302x x -≥-，解得23x <≤，即:23p x <≤， 由||1x a -<，得11a x a -<<+，即:11q a x a -<<+，因为p 是q 的充分不必要条件，所以1213a a -≤⎧⎨+>⎩，解得23a <≤， 故选：C15．（2017·天津高三一模（文））命题“[]1,3x ∀∈，2x a ≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．9a ≤B ．9a ≥C ．10a ≤D ．10a ≥【答案】D【解析】[1,3]x ∀∈，219x ≤≤，因此2x a ≤恒成立，则9a ≥，因此D 是其一个充分不必要条件，故选D ．16．（2021·江苏高三专题练习）满足函数()()ln 3f x mx =+在(],1-∞上单调递减的一个充分不必要条件是A ．42m -<<-B ．30m -<<C ．40m -<<D ．3<1m -<-【答案】D【解析】结合复合函数的单调性，函数()()lg 3f x mx =+在(],1-∞上单调递减的充要条件是030m m <⎧⎨+>⎩，解得30m -<<． 选项A 中，42m -<<-是函数在(],1-∞上单调递减的既不充分也不必要条件，所以A 不正确； 选项B 中，30m -<<是函数在(],1-∞上单调递减的充要条件，所以B 不正确；选项C 中，40m -<<是函数在(],1-∞上单调递减的必要不充分条件，所以C 不正确； 选项D 中，31m -<<-是函数在(],1-∞上单调递减的充分不必要条件，所以D 正确．故选D ．17（2021·全国高三专题练习）已知1:12p x ≥-，()2:1q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(-∞，3]B ．[2，3]C ．(2，3]D ．（2，3）【答案】C 【解析】由1:12p x -，所以23x <，又()2:1q x a -<，11a x a -<<+，因为p 是q 的充分不必要条件，所以3112a a <+⎧⎨-⎩，解得23a <≤即(]2,3a ∈． 故选：C ．18．（2021·全国高三专题练习）已知集合{|A x y ==，集合{|}B x x a =≥，则A B ⊆的一个充分不必要条件是（ ）A ．(),2-∞-B ．(],2-∞-C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【答案】A【解析】{{}||22A x y x x ===-≤≤， ∴当A B ⊆时，2a ≤-由充分不必要条件的性质可知，只有A 项满足∴2a <-，故选：A.19．（多选）（2021·江苏盐城市·高三一模）下列选项中，关于x 的不等式()2120ax a x +-->有实数解的充分不必要条件的有（ ）A ．0a =B ．3a ≥-+．0a >D ．3a ≤--【答案】AC【解析】0a ≥时必有解，当0a <时，()21803a a a ∆=-+>⇒<--或30a -+<， 故AC 符合题意.故选：AC20．（2021·全国高三月考（文））已知命题():0,p x ∀∈+∞，2230x mx -+>，命题:q m a <；若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______.【答案】()+∞【解析】设命题():0,p x ∀∈+∞，2230x mx -+>成立对应的m 的范围为集合A ，{}|B m m a =<若()0,x ∀∈+∞，223x mx +>，则32x m x +>，所以min 32m x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭而32x x +≥32x x =，即x =时等号成立，所以min 32x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭m <{|A m m =<， 因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B，所以a >即实数a的取值范围为()+∞.故选答案为：()+∞21．（2021·广东佛山市·高三月考）已知p x k ≥：，q ：()()120x x +-<，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是________.【答案】2, 【解析】不等式(1)(2)0x x +-<的解集为{1B xx =<-∣或2}x > 令{}A xx k =∣ p 是q 的充分不必要条件，A B ∴⊆即2k >故答案为：2,22．（2021·陕西省洛南中学高三月考（理））已知集合128,2x A x x R ⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，{}11B x x m =-<<+，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为________.【答案】()2,+∞ 【解析】解：根据指数函数的性质得{}128,132x A xx R x x ⎧⎫=<<∈=-<<⎨⎬⎩⎭， 因为x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，所以A B ，所以13m +>，解得2m >.所以实数m 的取值范围为()2,+∞故答案为：()2,+∞23．（2021·全国高三专题练习）条件:25p x -<<，条件2:0x q x a +<-，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______________．【答案】5a >【解析】p 是q 的充分而不必要条件，p q ∴⇒，20xx a+<-等价于(2)()0x x a +-<，(2)()0x x a +-=的解为2x =-，或x a =，5a ∴>， 故答案为：(5,)+∞．。
1.2 充分条件与必要条件(原卷版)- 2022年高考数学一轮复习经典讲义(新高考地区专用)
1.2充分条件与必要条件考试要求理解必要条件、充分条件与充要条件的含义，并利用条件求参数或参数的取值范围．若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．充分条件、必要条件与充要条件的概念1.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⎭A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⎭B)两者的不同.2.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)若A◊B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.(3)若A＝B，则p是q的充要条件.3.p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件.题组一思考辨析1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.()(2)已知集合A ，B ，则A ∪B ＝A ∩B 的充要条件是A ＝B .( ) (3)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件.( )(4)若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件.( ) 题组二 教材改编2．设a ，b ∈R 且ab ≠0，则ab >1是a >1b 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是________． 题组三 考题体验4．(多选题)(2020·临沂质检)设x ∈R ，则x ＞2的一个必要不充分条件是( ) A.x ＜1B.x ＞1C.x ＞－1D.x ＞35.(2021·徐州模拟)已知集合A ＝{x |13<3x <27，x ∈R }，B ＝{x |－1<x <m ＋1，m ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________.题型一 充分、必要条件的判定例1 (1)已知p ：⎝⎛⎭⎫12x<1，q ：log 2x <0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件(2)(2020·浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n .“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p ，q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题． (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.跟踪训练1 (1)(多选题)(2021·山东新高考模拟)已知两条直线l ，m 及三个平面α，β，γ，则α⊥β的充分条件是( )A.l ⊂α，l ⊥βB.l ⊥α，m ⊥β，l ⊥mC.α⊥γ，β∥γD.l ⊂α，m ⊂β，l ⊥m(2)(2020·北京卷)已知α，β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β”是“sin α＝sin β”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件题型二 充分、必要条件的应用例2 (经典母题)已知集合A ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈A 是x ∈B 的必要条件，求m 的取值范围．【迁移1】本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由.【迁移2】设p ：P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，q ：非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，且⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练2 (1)使2x ≥1成立的一个充分不必要条件是( )A ．1<x <3B ．0<x <2C ．x <2D ．0<x ≤2(2)若关于x的不等式|x－1|<a成立的充分不必要条件是0<x<4，则实数a的取值范围是________．题型三充要条件的探求例3已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．探求充要条件的关键在于转化的等价性，解题时要考虑条件包含的各种情况，保证条件的充分性和必要性．跟踪训练3 (1)(2021·江苏四校质检)命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是()A．a≥4 B．a>4C．a≥1 D．a>1(2)(2021·武汉质检)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________．1．“log2(2x－3)<1”是“4x>8”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件3．(2019·北京卷)设函数f(x)＝cos x＋b sin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( ) A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件5．(2021·湖南雅礼中学月考)若关于x 的不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，1] B.(－∞，1) C.(3，＋∞)D.[3，＋∞)6.(2020·东莞模拟)若实数a ，b 满足a ＞0，b ＞0，则“a ＞b ”是“a ＋ln a ＞b ＋ln b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件7．已知p ：x ≥k ，q ：(x ＋1)(2－x )<0，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]8．(多选题)(2021·长沙质检)若x 2－x －2<0是－2<x <a 的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．(多选题)下列说法正确的是( ) A ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分不必要条件 B ．“1a >1b ”是“a <b ”的既不充分也不必要条件C ．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则A ⊆BD ．“a >b >0”是“a n >b n (n ∈N ，n ≥2)”的充要条件 10.(多选题)(2021·青岛调研)下列叙述正确的是( )A.“a ＜1”是“方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件B.若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2＞cb 2”的充要条件是“a ＞c ”C.“a ＞1”是“1a＜1”的充分不必要条件D.若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充要条件是“b 2－4ac ≤0”11．(2020·盐城模拟)已知命题p ：1a >14，命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则p 成立是q 成立的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)12．(2020·福州模拟)已知f (x )是R 上的奇函数，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)13．若x∈{－1，m}是不等式2x2－x－3≤0成立的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．14．若实数a，b满足a>0，b>0，则“a>b”是“a＋ln a>b＋ln b”成立的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“即不充分又不必要”)1．(2021·深圳模拟)对于任意实数x，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．已知p：实数m满足3a<m<4a(a>0)，q：方程x2m－1＋y22－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________________．1．已知集合A＝26311x xx--⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎭⎩≤，B＝{x|log3(x＋a)≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．2．已知r>0，x，y∈R，p：|x|＋|y|2≤1，q：x2＋y2≤r2，若p是q的必要不充分条件，则实数r的取值范围是________．。
2021届高考数学苏教版一轮总复习：2 命题及其关系、充分条件与必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：当0<θ<
π 3
时，利用正弦函数y＝sinx的单调性知
0<sinθ<
3 2
；当0<sinθ<
3 2
时，2kπ<θ<2kπ＋
2π 3
<θ<2kπ＋π(k∈Z)．综上可知“0<θ<
π 3
”是“0<sinθ<
3 2
”的充
分不必要条件，故选A.
tanα≠1，则α≠4π”．
3．(2020·成都检测)已知a，b∈R，条件甲：a>b>0；条件
乙：1a<1b.则甲是乙的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当a>b>0时，不等式a>b两边同时除以ab，得
1 b
>
1 a
；
当
1 b
>
1 a
时，若b＝1，a＝－1，则有b>a.所以条件甲是条件乙的
(C ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由A∩B＝A可得A⊆B，由A⊆B可得A∩B＝A.所以 “A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．故选C.
7．(2020·贵州模拟)设θ∈R，则“0<θ<3π”是“0<sinθ< 23”
的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
解析：充分性：若2a>2b，则2a－b>1，∴a－b>0，∴a>b.当a ＝－1，b＝－2时，满足2a>2b，但a2<b2，故由2a>2b不能得出 a2>b2，因此充分性不成立．必要性：若a2>b2，则|a|>|b|.当a＝ －2，b＝1时，满足a2>b2，但2－2<21，即2a<2b，故必要性不成 立．综上，“2a>2b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．
2021届高三数学(理) 考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件解析版 Word版含解析
【考点剖析】1.最新考试说明：（1）了解命题的概念，会分析原命题及其逆命题、否命题与逆否命题这四种命题的相互关系．（2）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.命题方向预测：（1）四种命题的概念及其相互关系、四种命题真假的判断、充分要条件的判定及其应用是高考的热点. (2)题型主要以选择题、填空题的形式出现．（3）本节知识常与集合、函数、不等式、数列、立体几何中的直线、平面间的位置关系、复数等知识结合，在复习是要加强对集合、函数、不等式性质等基础知识理解与掌握.3.课本结论总结：（1）命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判定真假的陈述句叫做命题.其中，判定为真的命题叫真命题，判定为假的命题叫假命题.（2）四种命题及其关系①四种命题及其关系②四种命题的真假关系逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假，互逆或互否的两个命题，它们的真假没有关系.(3)充分条件与必要条件①若p q ⇒，则p 是q 充分条件，q 是p 的必要条件.②若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件4.名师二级结论：(1) 常见结论的否定形式(2)充要条件判定方法①定义法：若p q ⇒，结论 是 都是 大于 小于 至少一个 至多一个 至少n 个 至多有n个对所有x ，成立p或q p且q对任何x ，不成立否定 不是 不都是 不大于 不小于 一个也没有 至少两个 至多有（1n -）个 至少有（1n +）个存在某x ，不成立p ⌝且q ⌝ p⌝或q ⌝ 存在某x ，成立则p 是q 充分条件；若q p ⇒，则p 是q 必要条件；若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.②集合法：若满足条件p 的集合为A ，满足条件q 的集合为B ，若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；若B A ，则p 是q 必要不充分条件；若A=B 则，p 是 q 充要条件。
对充要条件判定问题，一定要分清谁是条件，谁是结论，若条件、结论满足的条件易求，常用集合法.③利用原命题与逆命题的真假判断若原命题为“若p 则q ”，则有如下结论：（1）若原命题为真逆命题为假，则p 是q 的充分不必要条件；（2）若原命题为假逆命题为真，则p 是q 的必要不充分条件；（3）若原命题与逆命题都为真，则p 是q 的充要条件；（4）若原命题与逆命题都为假，则p 是q 的既不充分也不必要条件5.课本经典习题：(1)新课标A 版第8 页习题1.1A 组，第2题【经典理由】本题考查了命题的四种形式及其真假的判定，特别是都是的否定是一个难点，也是一个常考点.(2)新课标A 版第12页习题1.2A 组第3题【经典理由】本题主要考查了充要条件的三种判定方法，具有代表性.6.考点交汇展示：(1)与集合交汇例1【2021高考湖南，理2】.设A ，B 是两个集合，则“AB A =”是“A B ⊆”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C.【解析】由题意得，A B A A B =⇒⊆，反之，A B A B A =⇒⊆ ，故为充要条件，选C.(2)与不等式交汇例2【2021高考天津，理4】设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的( )（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<,2202x x x +->⇔<-或1x >，所以 “21x -< ”是“220x x +-> ”的充分不必要条件，故选A.（3）与函数交汇例3 【2021高考一轮配套特供】 “10a>10b”是“lg a >lgb”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由10a >10b 得a>b ，由lga>lgb 得a>b>0，所以“10a >10b”是“lga>lgb”的必要不充分条件，选B.（4）与平面向量结合例4【2021北京西城区二模】设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（ ）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由b c =得，0b c -=，得()0a b c ⋅-=；反之不成立，故()0a b c ⋅-=是b c =的必要而不充分条件．（5）与复数交汇例5【2021浙江理 2】已知i 是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==”是“2()2a bi i +=”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A.【解析】(a +bi )2＝a 2－b 2＋2abi ＝2i ，于是a 2－b 2＝0，2ab ＝2解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1 ,故选A .（6）与立体几何交汇例6 【2021届陕西高考前30天保温训练17】已知直线a ，b ，平面α，β，则a ∥α的一个充分条件是（ ）A ．a ⊥b ，b ⊥α B．a ∥β，β∥αC ．b ⊂α，a ∥bD ．a ∥b ，b ∥α，a ⊄α【答案】D(7)与数列交汇例7【2021高考湖北，理5】设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥.若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A【解析】对命题p ：12,,,n a a a 成等比数列，则公比)3(1≥=-n a a q n n且0≠n a ； 对命题q ，①当0=n a 时，22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立；②当0≠n a 时，根据柯西不等式，等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立，则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==，所以12,,,n a a a 成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件. 【考点分类】热点一 命题及其关系1. 【2021陕西高考理第8题】原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A ）真，假，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假【答案】B为真；故选B .2. 【2021高考天津（理）】已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是: （ ） (A) ①②③ (B) ①②(C)①③ (D) ②③【答案】C【解析】由球的体积公式可知：①正确；对③,圆心(0,0)到直线x + y + 1 = 0等于圆的半2径,故正确；而②是错误的，故选C.【方法规律】1.判断一个命题的真假有两种方法，法一：直接法，用直接法判定命题为真命题，需要严格的推理、考虑各种情况由命题条件推出结论正确，要判定一个命题为假命题，只要举出一个反例就行；法二：等价值法，若不易直接判断它的真假，利用原命题与其逆否命题同真假转化为判断其逆否命题的真假。
2021版高考数学一轮复习 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 1.2 充分条件、必要条件教学案 苏教版
第二节充分条件、必要条件[最新考纲] 1.理解必要条件的含义，理解性质定理与必要条件的关系.2. 理解充分条件的含义，理解判定定理与充分条件的关系.3. 理解充要条件的含义，理解数学定义与充要条件的关系．1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p2．数学中的定义、判定定理、性质定理与必要条件、充分条件的联系①判定定理中前提是结论的充分条件；②性质定理中结论是前提的必要条件；③数学定义中条件是结论的充要条件．即定义可以用于判定也可以作为性质．3．充分条件与必要条件的两个特征①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”则“q⇐p”．②传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”，则“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”，则“p⇐r”)．[常用结论]1．p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推．2．集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，p是q的充分不必要条件⇔A B；p是q的必要不充分条件⇔A B；p是q的充要条件⇔A＝B.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“a＞－1”是“a≥－1”的必要条件. ( )(2)“x∈A∪B”是“x∈A∩B”的充分条件．( )(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件． ( )(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．( )[答案](1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编1．已知m ，n 为两个非零向量，则“m·n ＜0”是“m 与n 的夹角为钝角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [设m ，n 的夹角为θ，若m ，n 的夹角为钝角，则π2＜θ＜π，则cos θ＜0，则m·n＜0成立；当θ＝π时，m·n ＝－|m |·|n |＜0成立，但m ，n 的夹角不为钝角．故“m·n ＜0”是“m 与n 的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选B.]2．设x ∈R ，则“x 3>1”是“|x |>1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由x 3>1可得x >1，由|x |>1可得x >1或x <－1，故“x 3>1”是“|x |>1”的充分而不必要条件．故选A.]3．“(x －1)(x ＋2)＝0”是“x ＝1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x 的值也可能为－2.故选B.]4.△ABC 中，“sin A ＝45”是“cos A ＝－35”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)必要不充分 [△ABC 中，sin A ＝45，所以cos A ＝±35，所以“sin A ＝45”是“cos A ＝－35”的必要不充分条件．]考点1 充分、必要条件的判定充分条件和必要条件的3种判断方法(1)定义法：可按照以下三个步骤进行 ①确定条件p 是什么，结论q 是什么； ②尝试由条件p 推结论q ，由结论q 推条件p ； ③确定条件p 和结论q 的关系．(2)等价转化法：对于含否定形式的命题，如p 是q 的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q 是p 的什么条件．(3)集合法：根据p ，q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．(1)(2019·浙江高考)设a ＞0，b ＞0，则“a ＋b ≤4 ”是“ab ≤4”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2019·天津高考)设x ∈R ，则“x 2－5x ＜0”是“|x －1|＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2019·北京高考)设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|＞|BC →|”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(1)A (2)B (3)C [(1)由a ＞0，b ＞0，若a ＋b ≤4，得4≥a ＋b ≥2ab ，即ab ≤4，充分性成立；当a ＝4，b ＝1时，满足ab ≤4，但a ＋b ＝5＞4，不满足a ＋b ≤4，必要性不成立．故“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件，选A.(2)由x 2－5x ＜0得0＜x ＜5，记A ＝{x |0＜x ＜5}，由|x －1|＜1得0＜x ＜2，记B ＝{x |0＜x ＜2}，显然BA ，∴“x 2－5x ＜0”是“|x －1|＜1”的必要而不充分条件，故选B.(3)|AB →＋AC →|＞|BC →|⇔|AB →＋AC →|＞|AC →－AB →|⇔AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＞AB →2＋AC →2－2AB →·AC →⇔AB →·AC →＞0，由点A ，B ，C 不共线，得〈AB →，AC →〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故AB →·AC →＞0⇔AB →，AC →的夹角为锐角．故选C.][逆向问题] (2019·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m ＞14B ．0＜m ＜1C ．m ＞0D ．m ＞1C [若不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m ＜0，解得m ＞14，因此当不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立时，必有m ＞0，但当m ＞0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m ＞0.]判断充要条件需注意3点(1)要分清条件与结论分别是什么． (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断． (3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．1.已知x ∈R ，则“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件B [x 2－5x －6＝0⇔x ＝－1或x ＝6，∵x ＝－1⇒x ＝－1或x ＝6，而x ＝－1或x ＝6推不出x ＝－1， ∴“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分而不必要条件，故选B.] 2．给定两个命题p ，q ，若p 是q 的必要不充分条件，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [因为p 是q 的必要不充分条件，所以q ⇒p ，但p ⇒/ q ，其等价于p ⇒q ，但q ⇒/ p ，故选A.]3．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( )A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件D [非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．]考点2 充分条件、必要条件的应用根据充要条件求参数值(或范围)的方法是先把充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合的关系列出关于参数的不等式(组)求解．已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S的必要条件，则m 的取值范围为________．[0,3] [由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 又S 为非空集合， 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.即所求m 的取值范围是[0,3]．][母题探究] 把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m 的取值范围． [解] 由x ∈P 是x ∈S 的充分条件，知P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，即所求m 的取值范围是[9，＋∞)．利用充要条件求参数的2个关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍． 提醒：含有参数的问题，要注意分类讨论．设n ∈N *，则一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.3或4 [由Δ＝16－4n ≥0，得n ≤4， 又n ∈N *，则n ＝1,2,3,4. 当n ＝1,2时，方程没有整数根； 当n ＝3时，方程有整数根1,3， 当n ＝4时，方程有整数根2. 综上可知，n ＝3或4.]。
2021高考江苏版(理)数学一轮复习讲义： 第1章 第2课 四种命题和充分、必要条件
第2课四种命题和充分、必要条件[最新考纲]要求内容A B C命题的四种形式√充分条件、必要条件、充分必要条件√1．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系图2-1(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有一样的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇔q，那么p与q互为充分必要条件．(3)如果pD q，且qD p，那么p是q的既不充分又不必要条件．3．集合与充分必要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，那么有：(1)假设A⊆B，那么p是q的充分条件，假设A B，那么p是q的充分不必要条件．(2)假设B⊆A，那么p是q的必要条件，假设B A，那么p是q的必要不充分条件．(3)假设A＝B，那么p是q的充分必要条件．1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)命题“假设p那么q〞的否命题是“假设p，那么非q〞．()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(4)“假设p不成立，那么q不成立〞等价于“假设q成立，那么p成立〞．()[解析](1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的．(2)错误．否命题既否认条件，又否认结论．(3)正确．q是p的必要条件说明p⇒q，所以p是q的充分条件．(4)正确．原命题与逆否命题是等价命题．[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)命题“假设α＝π4，那么tan α＝1”的逆否命题是________．假设tan α≠1，那么α≠π4[“假设p那么q〞的逆否命题是“假设非q，那么非p〞，显然非q：tan α≠1，非p：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“假设tanα≠1，那么α≠π4〞．]3．(2021·镇江期中)实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，那么“ac＜0”是“该方程有实数根〞的________条件．(选填“充分不必要〞“必要不充分〞“充分必要〞或“既不充分又不必要〞)充分不必要[一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根，那么判别式Δ＝b2－4ac ≥0，即b2≥4ac.当ac＜0时，显然有b2≥4ac；但b2≥4ac未必推出ac＜0，故“ac ＜0〞是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根的充分不必要条件．]4．命题“假设a＞－3，那么a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为________．2[原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“假设a＞－6，那么a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个假命题．]5．(2021·南京三模)记不等式“x2＋x－6<0”的解集为集合A，函数y＝lg(x －a)的定义域为集合B.假设“x∈A〞是“x∈B〞的充分条件，那么实数a的取值范围为________．(－∞，－3][由x2＋x－6<0得－3<x<2，即A＝{x|－3<x<2}．由x－a>0得x>a，即B＝{x|x>a}．∵“x∈A〞是“x∈B〞的充分条件，∴A⊆B，∴a≤－3.]四种命题的关系及其真假判断(1)命题“假设x，y都是偶数，那么x＋y也是偶数〞的逆否命题是________．(2)原命题为“假设z1，z2互为共轭复数，那么|z1|＝|z2|〞，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的选项是________．(填序号)①真，假，真；②假，假，真；③真，真，假；④假，假，假．(1)假设x＋y不是偶数，那么x，y不都是偶数(2)②[(1)“假设x，y都是偶数，那么x＋y也是偶数〞的逆否命题为“假设x＋y不是偶数，那么x，y不都是偶数〞．(2)由共轭复数的性质，原命题为真命题，因此其逆否命题也为真命题．当z1＝1＋2i，z2＝2＋i时，显然|z1|＝|z2|，但z1与z2不共轭，所以逆命题为假命题，从而它的否命题也为假命题．][规律方法] 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“假设p，那么q〞形式的命题，需先改写；(2)假设命题有大前提，写其他三种命题时需保存大前提．2．给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．3．由于原命题与其逆否命题的真假性一样，所以有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．[变式训练1](1)命题p：正数a的平方不等于0，命题q：假设a不是正数，那么它的平方等于0，那么p是q的________．(填“逆命题〞“否命题〞“逆否命题〞或“否认〞)(2)给出以下四个命题：①“假设x＋y＝0，那么x，y互为相反数〞的逆命题；②“全等三角形的面积相等〞的否命题；③“假设q≤－1，那么x2＋x＋q＝0有实根〞的逆否命题；④假设ab是正整数，那么a，b都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)(1)否命题(2)①③[(1)把命题p可改成“假设a是正数，那么它的平方不等于0”，显然q是p的否命题．(2)①的逆命题为：假设x，y互为相反数，那么x＋y＝0，显然是真命题；②的否命题为：不全等的三角形的面积不相等，显然是假命题；③假设x2＋x＋q＝0有实根，那么Δ＝1－4q≥0，即q≤14.故当q≤－1时，方程x2＋x＋q＝0有实根是真命题，其逆否命题也是真命题；④是假命题，如a＝2，b＝1，那么ab＝1.]2充分条件与必要条件的判断(1)函数f(x)在x＝x0处导数存在．假设p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，那么p是q的________条件. 【导学号：62172006】(2)(2021·南通、扬州、泰州、淮安三调)给出以下三个命题：①“a>b〞是“3a>3b〞的充分不必要条件；②“α>β〞是“cos α<cos β〞的必要不充分条件；③“a＝0〞是函数“f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数〞的充要条件．其中真命题的序号为________．(1)必要不充分(2)③[(1)当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，比方，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号一样，因而x＝0不是y＝x3的极值点．由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．(2)①∵y＝3x是单调递增函数，∴“a>b〞是“3a>3b〞的充要条件，故①错误；②由于α，β的范围不明确，故当α>β时无法判断“cos α，cos β〞的大小关系．故②错误；③当a＝0时，f(x)＝x3是奇函数；反之由f(x)为奇函数可知a＝0，故③正确．][规律方法]充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进展判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进展判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进展判断，适用于条件和结论带有否认性词语的命题．[变式训练2] (2021·南昌调研)m ＝－1是直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋9＝0垂直的________条件．充分不必要 [由直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0与3x ＋my ＋9＝0垂直可知3m ＋m (2m －1)＝0，∴m ＝0或m ＝－1，∴m ＝－1是两直线垂直的充分不必要条件．] 充分条件、必要条件的应用(典例迁移)P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．假设x ∈P是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围. 【导学号：62172007】[解] 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}．∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，那么S ⊆P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m ≤10，1－m ≤1＋m ，∴0≤m ≤3.综上可知，当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．[迁移探究1] 本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．[解] 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}．假设x ∈P 是x ∈S 的充要条件，那么P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，即这样的m 不存在．[迁移探究2] 本例条件不变，假设非P 是非S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．[解] 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}．∵非P 是非S 的必要不充分条件，∴P 是S 的充分不必要条件，∴P ⇒S 且SD P ， ∴[－2,10][1－m,1＋m ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10，∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．[规律方法] 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．[变式训练3] (1)(2021·徐州模拟)命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x <0，假设p 是q 的充分不必要条件，那么a 的取值范围是________．(2)方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ∈R ，a 为常数)的解集只有一个负实根的充要条件是________．(1)(0,3) (2)a ≤0或a ＝1 [(1)令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}．∵p 是q 的充分不必要条件，∴M N ，(2)当a＝0时，原方程为2x＋1＝0，∴原方程有一个负实根x＝－12.当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0只有一个负实根，∴方程有一个正根和一个负根或方程有两个相等的负根，当方程有一正一负根时，那么x1x2＜0，∴1＜0，且Δ＝4－4a＞0，解得a＜0.a当方程有两个相等的负根时，Δ＝4－4a＝0，a＝1，此时方程的根为－1，符合题意，综上，方程的解集只有一个负实根的充要条件是a≤0或a＝1.][思想与方法]1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．充分条件、必要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断“假设p，那么q〞“假设q，那么p〞的真假．(2)等价法：利用A⇒B与非B⇒非A；B⇒A与非A⇒非B；A⇔B与非B⇔非A的等价关系，对于条件或结论是否认形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，假设A⊆B，那么p是q的充分条件或q是p的必要条件；假设A B，那么p是q的充分不必要条件，假设A＝B，那么p是q的充要条件．[易错与防范]1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保存大前提．2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的构造，可以先把命题改写成“假设p，那么q〞的形式．3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分不必要条件是q〞等语言的含义．课时分层训练(二)A组根底达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．设m∈R，命题“假设m>0，那么方程x2＋x－m＝0有实根〞的逆否命题是________．假设方程x2＋x－m＝0没有实根，那么m≤0[根据逆否命题的定义，命题“假设m>0，那么方程x2＋x－m＝0有实根〞的逆否命题是“假设方程x2＋x－m ＝0没有实根，那么m≤0〞．]2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.那么“m∥β〞是“α∥β〞的________条件．必要不充分[m⊂α，m∥βDα∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β〞是“α∥β〞的必要不充分条件．]3．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的________条件．充分必要[因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，为x＝1，所以“x＝1〞是“x2－2x＋1＝0〞的充分必要条件．]4．a，b，c都是实数，那么在命题“假设a＞b，那么ac2＞bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________.【导学号：62172021】2[由a＞bD ac2＞bc2，但ac2＞bc2⇒a＞b.所以原命题是假命题，它的逆命题是真命题．从而否命题是真命题，逆否命题是假命题．]5．“m＜14〞是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解〞的________条件.【导学号：62172021】充分不必要[x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤14，因为m＜14⇒m≤14，反之不成立．故“m＜14〞是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解〞的充分不必要条件．]6．给出以下命题：①“假设a2<b2，那么a<b〞的否命题；②“全等三角形面积相等〞的逆命题；③“假设a>1，那么ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R〞的逆否命题；④“假设3x(x≠0)为有理数，那么x为无理数〞的逆否命题．其中为真命题的是________．(填序号)③④[对于①，否命题为“假设a2≥b2，那么a≥b〞，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形〞，是假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故命题③④为真命题．] 7．(2021·金陵中学期中)设a，b∈R，那么“a＋b>4”是“a>2且b>2”的________条件．(填“充要〞“充分不必要〞“必要不充分〞“既不充分又不必要〞)必要不充分[当a>2且b>2时，a＋b>4.但当a＝1，b＝6时，有a＋b＝7>4，故“a＋b>4〞是“a>2且b>2〞的必要不充分条件．]8．“sin α＝cos α〞是cos 2α＝0的________条件．充分不必要[∵cos 2α＝cos2α－sin2α，∴假设sin α＝cos α，那么cos 2α＝0，反之不一定，如当cos α＝－sin α时也成立．]9．命题“假设a2＋b2＝0，那么a＝0且b＝0”的逆否命题是________.【导学号：62172021】假设a≠0或b≠0，那么a2＋b2≠0[“假设a2＋b2＝0，那么a＝0且b＝0〞的逆否命题是“假设a≠0或b≠0，那么a2＋b2≠0〞．]10．假设x＜m－1或x＞m＋1是x2－2x－3＞0的必要不充分条件，那么实数m 的取值范围是________．[0,2] [由易得{x |x 2－2x －3＞0}{x |x ＜m －1或x ＞m ＋1}，又{x |x 2－2x －3＞0}＝{x |x ＜－1或x ＞3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1，m ＋1＜3或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2.] 二、解答题11．函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，对命题“假设a ＋b ≥0，那么f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )〞．(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论．(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．[解] (1)否命题：函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，假设a ＋b <0，那么f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．该命题是真命题，证明如下：因为a ＋b <0，所以a <－b ，b <－a .又因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．所以f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )，因此f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，所以否命题为真命题．(2)逆否命题：函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，假设f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，那么a ＋b <0.该命题是真命题，证明如下：因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b ，b ≥－a ，因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，所以f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．12．集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．假设“x ∈A 〞是“x ∈B 〞的充分条件，求实数m 的取值范围. 【导学号：62172021】[解] y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ 716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A 〞是“x ∈B 〞的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2021·南通第一次学情检测)对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|F (x )|的图象关于y 轴对称〞是“y ＝f (x )是奇函数〞的________条件．(填“充分不必要〞，“必要不充分〞，“充分必要〞，“既不充分又不必要〞)必要不充分 [“y ＝f (x )是奇函数〞，那么y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称；反之假设f (x )＝x 2，那么y ＝|x 2|的图象关于y 轴对称，但y ＝f (x )是偶函数．]2．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＜0}，集合B ＝{x ||x ＋a |＜1}，设命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，假设p 是q 的必要不充分条件，那么实数a 的取值范围是________．[0,2] [因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集． 又集合A ＝(－3,1)，B ＝(－a －1，－a ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1≥－3，－a ＋1＜1或⎩⎪⎨⎪⎧－a －1＞－3，－a ＋1≤1，解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围是0≤a ≤2.]3．求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充分必要条件是a ＋b ＋c ＝0.[证明] 必要性：假设方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，那么x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0，∴a ＋b ＋c ＝0.充分性：假设a ＋b ＋c ＝0，那么b ＝－a －c ，∴ax 2＋bx ＋c ＝0可化为ax 2－(a ＋c )x ＋c ＝0，∴(ax －c )(x －1)＝0，∴当x ＝1时，ax 2＋bx ＋c ＝0，∴x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．综上，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充分必要条件是a ＋b ＋c ＝0.4．(2021·南通第一次学情检测)c >0，设p ：函数y ＝c x 在R 上递减；q ：函数f (x )＝x 2－c 2的最小值不大于－116.如果p ，q 均为真命题，求实数c 的取值范围．[解] 因为c >0，p ：函数y ＝c x 在R 上递减，所以p 为真时，0<c <1；q 为真时，－c 2≤－116，所以c ≤－14或c ≥14，因为c >0，所以c ≥14.因为p ，q 均为真命题，所以⎩⎨⎧ 0<c <1，c ≥14，解得14≤c <1，所以，实数c 的取值范围为14≤c <1.。
苏教版高中数学必修第一册2.2充分条件、必要条件、充要条件【授课课件】
2.2 充分条件、必要条件、 充要条件
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定义法判断充分条件、必要条件 1确定谁是条件，谁是结论. 2尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件， 否则就不是充分条件. 3尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件， 否则就不是必要条件.
2.2 充分条件、必要条件、 充要条件
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
2.2 充分条件、必要条件、 充要条件
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
2．“同位角相等”是“两直线平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
C [两直线平行，同位角相等．两条直线被第三条直线所截得
()
(3)若 q 是 p 的必要条件，则 q 成立，p 也成立．
()
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2.2 充分条件、必要条件、 充要条件
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
知识点2 充要条件 (1)如果p⇒q，．指出下列各组命题中，p 是 q 的什么条件． (1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形； [解] 因为四边形的对角线相等 四边形是平行四边形，四边 形是平行四边形 四边形的对角线相等，所以p是q的既不充分也不 必要条件．
2021高考一轮复习 数学之 第2讲充分必要条件
第一章第2讲充分条件与必要条件[回扣课本]阅读选修2-1课本9-13页,依据以下目标背诵、记忆，并完成知识梳理。
1．理解充要条件的定义．[知识梳理]1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的__ 条件，q是p的__条件p是q的__________条件p⇒q且q pp是q的__________条件p q且q⇒pp是q的__________条件p⇔qp是q的____________条件p q且q p导师提醒1．区别两个说法(1)A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B⇒/A.(2)A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A⇒/B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．2．掌握充要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．[辨析感悟] 1．对充分条件、必要条件的理解(1)“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件是“x＝0”．()(2)在△ABC中，“A＝60°”是“cos A＝12”的充分不必要条件．()(3)已知函数f(x)＝A cos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的充分必要条件．() 考点一充分条件、必要条件的判断【例1】(1)【2016高考天津理数】设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n−1+a2n<0”的（）（A）充要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件(2)【2014上海,理15】设Rba∈,,则“4>+ba”是“2,2>>ba且”的（）（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件【训练1】【2015高考安徽，理3】设:12,:21xp x q<<>，则p是q成立的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件考点二充分条件、必要条件的探求【例2】(1) 【2016高考山东理数】已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件(2)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x，x＞0，2x－a，x≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是()．A．a≤0或a＞1 B．0＜a＜12C.12＜a＜1 D．a＜0【训练2】“直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是()．A．－1＜k＜3 B．－1≤k≤3 C．0＜k＜3 D．k＜－1或k＞3【自主体验】1.(2017·浙江卷)已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S 5”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.(2018·天津卷)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2018·北京卷)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2019·华大新高考联盟质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2mx ＋1，x ≥0，－x －1x ，x <0.则“m >1是f [f (－1)]>4”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.(2018·浙江卷)已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．给定两个命题p ，q .若非p 是q 的必要而不充分条件，则p 是非q 的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且非q 的一个充分不必要条件是非p ，则a 的取值范围是( )．A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]8.(2015·四川)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 9.已知条件p ：x >1或x <－3，条件q ：5x －6>x 2，则非p 是非q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10.设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 11.已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12.(2019·济南调研)“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的________条件.13.已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．14.已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．15. 已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，且非p 是非q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．第一章 第2充分条件与必要条件辨析感悟：（1）√ （2）×（3）× 例1. （1）C (2) B 【训练1】A 例2. （1）A (2)D 【训练2】C【自主体验】1.C 2.A 3.C 4.A 5.A 6.A 7. A 8. 答案 A解析 对于①，否命题为“若a 2≥b 2，则a ≥b ”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a >1时，Δ＝－12a <0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确．故选A. 9. B 10.A 11. A 12.充要条件13. 解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]． 14. 解 y ＝x 2－32x ＋1＝(x －34)2＋716，∵x ∈[34，2]，∴716≤y ≤2.∴A ＝{y |716≤y ≤2}．由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是(－∞，－34]∪[34，＋∞)．15. 解 法一 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ，∴非q ：A ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0}，由p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10，∴非p ：B ＝{x |x ＞10或x ＜－2}．∵非p 是非q 的必要而不充分条件．∴AB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，即m ≥9或m ＞9.∴m ≥9.故实数m 的取值范围是[9，＋∞)．法二 ∵非p 是非q 的必要而不充分条件，∴p 是q 的充分而不必要条件，由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ，∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，由p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10，∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}．∵p 是q 的充分而不必要条件，∴PQ ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥ 10，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，即m ≥9或m ＞9.∴m ≥9.故实数m 的取值范围是[9，＋∞)．。
2021版高考数学苏教版(新课程版)一轮复习 二充要条件、全称量词与存在量词
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核心素养测评二充要条件、全称量词与存在量词(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2【解析】选D.原命题是全称命题,条件为“∀x∈R”,结论为“∃n∈N*,使得n≥x2”,其否定形式为特称命题,条件中改量词,并否定结论,只有D选项符合.2.命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>nB.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>nC.∃n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>nD.∃n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n【解析】选D.全称命题的否定为特称命题,因此命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是“∃n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n”.3.(2019·莆田模拟)王安石在《游褒禅山记》中写道:“世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也。
”请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪,非常之观”的( )A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件【解析】选D.“非有志者不能至也”的等价说法是“到达奇伟、瑰怪,非常之观的人是有志的人”,因此“有志”是“到达奇伟,瑰怪,非常之观”的必要条件,但“有志”也不一定“能至”,故充分性不成立;即必要不充分条件.4.“m>n”是“log2m>log2n”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.m>n得不到log2m>log2n,比如2>-1,log2(-1)无意义;log2m>log2n,根据对数函数y=log2x在定义域上是增函数便得到m>n;所以“m>n”是“log2m>log2n”的必要不充分条件.5.“x<0”是“ln(x+1)<0”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.ln(x+1)<0⇔0<x+1<1⇔-1<x<0,x<0 -1<x<0,-1<x<0⇒x<0,所以“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要而不充分条件.6.(2020·苏州模拟)“函数f(x)=-x2+2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是( )A.1<m<3B.1<m<4C.2≤m≤3D.2<m<【解析】选B.f(x)=-x2+2mx,对称轴x=m,若函数f(x)=-x2+2mx在区间[1,3]上不单调,则1<m<3,所以“函数f(x)=-x2+2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是1<m<4.7.(多选)命题“任意x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A.a>4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≥6【解析】选A、C、D.命题“任意x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4,+∞)的真子集,正确选项为A、C、D.二、填空题(每小题5分,共15分)8.在△ABC中,“A=B”是“tan A=tan B”的______条件.【解析】在△ABC中,由A=B,得tan A=tan B,反之,若tan A=tan B,则A=B+kπ,k∈Z.因为0<A<π,0<B<π.所以A=B.该题中特别注意原题是在三角形中.答案:充要9.已知函数f(x)的定义域为(a,b),若“∃x∈(a,b),f(x)+f(-x)≠0”是假命题,则f(a+b)=________. 世纪金榜导学号【解析】若“∃x∈(a,b),f(x)+f(-x)≠0”是假命题,则“∀x∈(a,b), f(x)+f(-x)=0”是真命题,即f(-x)=-f(x),则函数f(x)是奇函数,所以a+b=0,所以f(a+b)=0.答案:010.已知命题“∀x∈R,x2-5x+a>0”的否定为假命题,则实数a的取值范围是________. 世纪金榜导学号【解析】由“∀x∈R,x2-5x+a>0”的否定为假命题,可知原命题必为真命题,即不等式x2-5x+a>0对任意实数x恒成立.设f(x)=x2-5x+a,则其图象恒在x轴的上方.故Δ=25-4×a<0,解得a>,即实数a的取值范围为.答案:(15分钟35分)1.(5分)给出下列命题:①∃x∈R,ln(x2+1)<0;②∀x>2,x2>2x;③∀α,β∈R,sin(α-β)=sin α-sin β;④a>b是2a>2b的充要条件.其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选A.由于∀x∈R,y=ln(x2+1)≥ln 1=0,故①错;令x=4,则x2=2x=16,故②错;③应为∀α,β∈R,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,故③错;④因为a>b⇒2a>2b;2a>2b⇒a>b,故④正确.其中真命题的个数为1.2.(5分)若x>5是x>a的充分条件,则实数a的取值范围为( )A.a>5B.a≥5C.a<5D.a≤5【解析】选D.由x>5是x>a的充分条件知,{x|x>5}⊆{x|x>a},所以a≤5.【变式备选】“m<”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的________条件. 【解析】x2+x+m=0有实数解等价于Δ=1-4m≥0,即m≤,因为m<⇒m≤,反之不成立.故“m<”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的充分不必要条件. 答案:充分不必要3.(5分)条件p:-2<x<4,条件q:(x+2)(x+a)<0;若q是p的充分条件,则a的取值范围是________.【解析】设集合A={x|-2<x<4},B={x|(x+2)(x+a)<0},因为q是p的充分条件,所以B⊆A.①当a=2时,B={x|(x+2)2<0}= ,显然B⊆A.②当a≠2时,因为B⊆A,所以B={x|-2<x<-a},所以即-4≤a<2.综上可知,a∈[-4,2].答案:[-4,2]4.(10分)已知条件p:k-2≤x≤k+5,条件q:0<x2-2x<3,若p是q的必要不充分条件,求实数k的取值范围.【解析】q:解得-1<x<0或2<x<3,p:k-2≤x≤k+5,因为p是q的必要不充分条件,所以q⇒p,p q,所以所以-2≤k≤1,即k∈[-2,1].5.(10分)求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.【证明】必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个根为1,则x=1满足方程ax2+bx+c=0,所以a+b+c=0.充分性:若a+b+c=0,则b=-a-c,所以ax2+bx+c=0可化为ax2-(a+c)x+c=0,所以(ax-c)(x-1)=0,所以当x=1时,ax2+bx+c=0,所以x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根.综上,关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.关闭Word文档返回原板块快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
2021年高考数学一轮复习 专题1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件(讲)理(含解析)
2021年高考数学一轮复习专题1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件（讲）理（含解析）【课前小测摸底细】1. 【课本典型习题】【选修1-1， P5练习第2题改编】命题“若，则”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是（）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】D2. 【xx高考天津，理4】设，则“ ”是“ ”的( )（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A3. 【河南许昌平顶山新乡三市xx届10月高三第一次调研考试，理3】若，且；关于的一元二次方程：的一个根大于零，另一个根小于零，则是A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分条件也不必要条件【答案】A4.【基础经典试题】有下列四个命题（1）若“，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若AB=B，则”的逆否命题。
其中真命题为（）A、（1）（2） B、（2）（3） C、（4） D、（1）（3）【答案】D5.【改编自吉林市普通高中 xx届高三毕业年级摸底考试】已知条件p : ，条件q : ,且q是p 的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【考点深度剖析】高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要有两个：一是考查命题的四种形式以及真假判断，考查等价转化数学思想；二是以函数、方程、不等式、立体几何线面关系为背景的充分条件和必要条件的判定以及由充分条件和必要条件探求参数的取值范围．【经典例题精析】考点1四种命题的关系及真假判断【1-1】给出命题：已知实数满足，则,它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【1-2】命题“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是（）A．若是偶数，则与不都是偶数B．若是偶数，则与都不是偶数C．若不是偶数，则与不都是偶数D．若不是偶数，则与都不是偶数【答案】C【1-3】以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若，则函数在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若，则”与命题“若，则”等价．【答案】②④【课本回眸】一．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．二．四种命题及其关系1．四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若，则逆否命题若，则即：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。
(江苏专用)2021新高考数学一轮复习第一章集合、常用逻辑用语和不等式1.2充分条件与必要条件练习
1.2 充分条件与必要条件1．“log 2(2x －3)<1”是“4x>8”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 由log 2(2x －3)<1⇔0<2x －3<2⇔32<x <52，4x>8⇔2x >3⇔x >32，所以“log 2(2x －3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件，故选A.2．设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 由(a －b )a 2<0可知a 2≠0，则一定有a －b <0，即a <b ；但是a <b 即a －b <0时，有可能a ＝0，所以(a －b )a 2<0不一定成立，故“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件，故选A. 3．“|x －1|<2”是“x <3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 由|x －1|<2，可得－1<x <3， ∵{x |－1<x <3}{x |x <3}，∴“|x －1|<2”是“x <3”的充分不必要条件．4．(2019·东莞模拟)若实数a ，b 满足a >0，b >0，则“a >b ”是“a ＋ln a >b ＋ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 C解析 设f (x )＝x ＋ln x ，显然f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∵a >b ，∴f (a )>f (b )， ∴a ＋ln a >b ＋ln b ，充分性成立； ∵a ＋ln a >b ＋ln b ，∴f (a )>f (b )，∴a >b ，必要性成立，故“a >b ”是“a ＋ln a >b ＋ln b ”的充要条件，故选C.5．若“x >1”是“不等式2x>a －x 成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >3B ．a <3C ．a >4D ．a <4 答案 A解析 若2x >a －x ，即2x ＋x >a .设f (x )＝2x ＋x ，则函数f (x )为增函数．由题意知“2x＋x >a 成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．因为当x >1时，f (x )>3，∴a >3. 6．已知p ：x ≥k ，q ：(x ＋1)(2－x )<0，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，－1]答案 B解析 由q ：(x ＋1)(2－x )<0，得x <－1或x >2，又p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，即实数k 的取值范围是(2，＋∞)，故选B.7．(多选)若x 2－x －2<0是－2<x <a 的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 BCD解析 由x 2－x －2<0，解得－1<x <2. ∵x 2－x －2<0是－2<x <a 的充分不必要条件， ∴(－1,2)(－2，a )，∴a ≥2. ∴实数a 的值可以是2,3,4.8．(多选)下列叙述中不正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充要条件是“b 2－4ac ≤0” B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C ．“a <1”是“方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D ．“a >1”是“1a<1”的充分不必要条件答案 AB解析 A 错误，当a ＝0，b ＝0，c <0时，满足b 2－4ac ≤0，但此时ax 2＋bx ＋c ≥0不成立，故若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充要条件是“b 2－4ac ≤0”错误； B 错误，若a ，b ，c ∈R ，“a >c ”且b ＝0时，推不出“ab 2>cb 2”，故错误；C 正确，若方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根，则Δ＝1－4a >0，x 1x 2＝a <0，则a <0，又“a <1”是“a <0”的必要不充分条件，故正确；D 正确，“a >1”⇒“1a <1”但是“1a<1”推不出“a >1”，故正确．9．已知命题p ：1a >14，命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则p 成立是q 成立的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要解析 命题p 等价于0<a <4.命题q ：对∀x ∈R ，ax2＋ax ＋1>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，1>0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，则0≤a <4，所以命题p 成立是命题q 成立的充分不必要条件．10．(2019·福州模拟)已知f (x )是R 上的奇函数，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 充分不必要解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴若x 1＋x 2＝0，则x 1＝－x 2，则f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)＝0成立，即充分性成立；若f (x )＝0，满足f (x )是奇函数，当x 1＝x 2＝2时，满足f (x 1)＝f (x 2)＝0，此时满足f (x 1)＋f (x 2)＝0，但x 1＋x 2＝4≠0，即必要性不成立．故“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件．11．若x ∈{－1，m }是不等式2x 2－x －3≤0成立的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32解析 不等式可转化为(x ＋1)(2x －3)≤0，解得－1≤x ≤32，由于x ∈{－1，m }是－1≤x ≤32的充分不必要条件，结合集合元素的互异性，得到m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32. 12．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(其中a >0)，q ：实数x 满足x －3x －2≤0.若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解 设A ＝{x |a <x <3a }，B ＝{x |2<x ≤3}，p 是q 的必要不充分条件，则BA ，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤2，3a >3，则1<a ≤2.所以实数a 的取值范围是(1,2]．13．(2020·深圳模拟)对于任意实数x ，〈x 〉表示不小于x 的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 B解析 令x ＝1.8，y ＝0.9，满足|x －y |<1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，〈x 〉≠〈y 〉，可知充分性不成立．当〈x 〉＝〈y 〉时，设〈x 〉＝x ＋m ，〈y 〉＝y ＋n ，m ，n ∈[0,1)，则|x －y |＝|n －m |<1，可知必要性成立．所以“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的必要不充分条件．故选B.14．求ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．解 (1)当a ＝0时，为一元一次方程，其根为x ＝－12，符合题目要求．(2)当a ≠0时，为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a ≥0，从而a ≤1. 又设方程ax 2＋2x ＋1＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a.①方程ax 2＋2x ＋1＝0有一个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a<0，得a <0.②方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2a<0，1a >0，得0<a ≤1.综上，ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1.15．已知集合2613x x A x --⎧⎫⎪⎪⎛⎫=⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭≤1，B ＝{x |log 3(x ＋a )≥1}，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0]解析 由2613x x x --⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭≤1，得x 2－x －6≥0，解得x ≤－2或x ≥3，则A ＝{x |x ≤－2或x ≥3}．由log 3(x ＋a )≥1，得x ＋a ≥3，即x ≥3－a ，则B ＝{x |x ≥3－a }．由题意知B A ，所以3－a ≥3，解得a ≤0.16．已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0. 证明 (1)必要性：因为a ＋b ＝1，所以a ＋b －1＝0.所以a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b －1)·(a 2－ab ＋b 2)＝0. (2)充分性：因为a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0， 即(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0， 又ab ≠0， 所以a ≠0且b ≠0.因为a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2>0，所以a ＋b －1＝0，即a ＋b ＝1.综上可得当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.。
充分条件与必要条件(含真题解析)——2021届江苏省新高考数学一轮复习专用讲义
专题02 充分条件与必要条件2021年江苏新高考考点分析充分必要条件的判定是新高考的考查的方向，常与集合，函数，不等式等知识一起考查，题型多为选择题，难度适中.2021年江苏新高考考点梳理1．定义（1）对于两个条件，如果命题“若则”是真命题，则称条件能够推出条件，记为， （2）充分条件与必要条件：如果条件满足，则称条件是条件的充分条件；称条件是条件的必要条件 2.充要条件考点1 充分必要条件的判断,p q p q p q p q ⇒,p q p q ⇒p q q p例1 在△ABC 中，“A ≠60°”是“cos A ≠12”的（ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件 变式训练1. (2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的（ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件 变式训练2. 设x ∈R ，则“|x −2|<1 ”是“x 2+x −2>0 ”的( )A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件考点2 利用充分必要条件求参数的取值范围例2. 设命题p:|4x −3|≤1；命题q:x 2−(2a +1)x +a(a +1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.A. (0,12) B. (0,14) C. (0,12] D. (0,14]变式训练3. 已知p ：a ≤x ≤a ＋1，q ：x 2－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ) A. (0,3] B. (0,3) C. (0,2) D. (0,2]变式训练4. 满足函数f(x)=ln(mx +3)在(−∞,1]上单调递减的一个充分不必要条件是( )A. −4<m <−2B. −3<m <0C. −4<m <0D. −3<m <−1新高考模拟试题过关测试一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．） 1.ac 2>bc 2是a >b 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3. 若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设x ∈R ，则“”是“”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 若1a >，则“y x a a >”是“log log a a x y >”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 函数)(x f 在0x x =处导数存在,若00':,0)(:x x q x f p ==是)(x f 的极值点,则 ( ) A.p 是q 的充分必要条件 B.p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件 C.p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件 D.p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 7 . 一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是 ( ) A.0a < B.0a > C.1a <- D.1a >8. 设x ∈R ，则“31x <”是“1122x -<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．） 9. 下列说法正确的是( )A. “|x|=2019”是“x =2019”的充分条件B. “x =−1”的必要不充分条件是“x 2−2x −3=0”C. “m 是实数”的充分必要条件是“m 是有理数”D. 若b <a <0，则1a <1b250x x -<|1|1x -<12. 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m },x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的值可能（ ） A.1 B.2 C ．3 D ．4 三、填空题（本大题共4小题，共计20分．）13. 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围是________．14. 已知p ：1x －1<1，q ：x 2＋(a －1)x －a >0，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．15. 已知集合A ＝{x ∈R|12<2x<8}，B ＝{x ∈R|－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是__________．16. 设命题实数使曲线表示一个圆；命题实数使曲线表示双曲线.若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.四、解答题（本大题共6小题，共计70分．）17. 记不等式x 2+x −6<0的解集为集合A ，函数y =lg(x −a)的定义域为集合B ．(1)当a =−1时，求A ∩B ；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数a 的取值范围．:p m 222426120x y x y m m +---++=:q m 221x y m m a-=-p q a18．已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}．(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围．(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．专题02 充分条件与必要条件考点1 充分必要条件的判断例2 在△ABC 中，“A ≠60°”是“cos A ≠12”的（ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件 【答案】C【解析】法一：在△ABC 中A ≠60可以推得os A ≠12，cos A ≠12可以推得A ≠60°. 即“A ≠60°”是“cos A ≠12”的充要条件.故选C法二：当A ＝60°时，可以推得cos A ＝12；当cos A ＝12时，由于A ∈(0，π)，也可以推得A ＝60°，故“A ＝60°”是“cos A ＝12”的充要条件. 即“A ≠60°”是“cos A ≠12”的充要条件．故选C变式训练1. (2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的（ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件 【答案】B【解析】若(2x －1)x ＝0，则x ＝12或x ＝0，即不一定是x ＝0；若x ＝0，则一定能推出(2x －1)x ＝0.故“(2x －1)x＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件，故选B.变式训练2. 设x ∈R ，则“|x −2|<1 ”是“x 2+x −2>0 ”的( )A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】|x −2|<1的解集为（1，3），x 2+x −2>0的解集为(−∞,−2)∪(1,+∞)，故|x −2|<1 是x 2+x −2>0的充分不必要条件,故选A.考点2 利用充分必要条件求参数的取值范围例2. 设命题p:|4x −3|≤1；命题q:x 2−(2a +1)x +a(a +1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.A. (0,12) B. (0,14) C. (0,12] D. (0,14]【答案】A【解析】由题意知p 是q 的充分不必要条件.p:|4x −3|≤1⇔12≤x ≤1；q:x 2−(2a +1)x +a(a +1)≤0即(x −a )[x −(a +1)]≤0，所以a ≤x ≤a +1 ∵p 是q 的充分不必要条件，即[12,1]⊆[a,a +1]，则{a <12a +1>1，∴0<a <12,选A.即a 的取值范围是a ∈(0,12).变式训练3. 已知p ：a ≤x ≤a ＋1，q ：x 2－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ) A. (0,3] B. (0,3) C. (0,2) D. (0,2] 【答案】B【解析】令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}．因为p 是q 的充分不必要条件，所以M ⊆N ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋1<4，解得0<a <3,选B.变式训练4. 满足函数f(x)=ln(mx +3)在(−∞,1]上单调递减的一个充分不必要条件是( )A. −4<m <−2B. −3<m <0C. −4<m <0D. −3<m <−1【答案】D【解析】若f(x)=ln(mx +3)在(−∞,1]上单调递减， 则满足m <0且m +3>0， 即m <0且m >−3， 则−3<m <0，。
江苏专用高考数学一轮复习考点02命题及其关系充分条件与必要条件必刷题含解析
江苏专用高考数学一轮复习考点02命题及其关系充分条件与必要条件必刷题含解析1、命题“若x>0，则x2>0”的否命题是________命题(填“真”或“假”)．【答案】假【解析】命题“若x>0，则x2>0”的否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题．也可以由逆命题为“若x2>0，则x>0”来判断，逆命题为假命题，因此否命题是假命题．2、给出下列三个命题：①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；②“α>β”是“cosα<cosβ”的必要不充分条件；③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2，x∈R为奇函数”的充要条件．其中正确命题的序号为____．【答案】③【解析】①因为函数y＝3x是R上的增函数，所以“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①是假命题；②若α＝3π2，β＝π2，则α>β，但cosα＝cosβ，充分性不得证，若α＝3π2，β＝2π，cosα<cosβ，但α<β，必要性不得证，所以“α>β”是“cosα<cosβ”的既不充分又不必要条件，故②是假命题；③若a＝0，则f(x)＝x3，x∈R，f(－x)＝－f(x)，且定义域关于原点对称，所以函数f(x)是奇函数，若f(x)＝x3＋ax(x∈R)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)对任意的x∈R恒成立，即(－x)3＋a(－x)2＝－(x3＋ax2)，即ax2＝－ax2，即a＝0，所以“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax，x∈R为奇函数”的充要条件，故③是真命题，故填③.3、设有如下三个命题：甲：m∩l＝A，m，l⊂α，m，l⊄β；乙：直线m，l中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时，乙是丙的________条件．【答案】充要【解析】由题意当甲成立时乙⇒丙，丙⇒乙．故当甲成立时乙是丙的充要条件．4、i、j是不共线的单位向量，若a＝5i＋3j，b＝3i－5j，则a⊥b的充要条件是________．【答案】i⊥j【解析】a⊥b⇔a·b＝0，即(5i＋3j)·(3i－5j)＝0，即15i 2－16i ·j －15j 2＝0，∵|i |＝|j |＝1， ∴16i ·j ＝0，即i ·j ＝0，∴i ⊥j . 5、有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________． 【答案】②③【解析】①原命题的否命题为“若a ≤b 则a 2≤b 2”错误． ②原命题的逆命题为：“x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确． ③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．6、记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg (x －a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a 的取值范围为____． 【答案】(－∞，－3]【解析】由x 2＋x －6<0得－3<x<2，即A ＝(－3，2)，由x －a>0，得x>a ，即B ＝(a ，＋∞)．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A ⊆B ，所以a≤－3，故实数a 的取值范围为(－∞，－3]． 7、给定下列四个命题：①“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件；②若“p ∨q ”为真，则“p ∧q ”为真； ③若a <b ，则am 2<bm 2； ④若集合A ∩B ＝A ，则A ⊆B .其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号) 【答案】①④【解析】①中，若x ＝π6，则sin x ＝12，但sin x ＝12时，x ＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z)．故“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件，故①为真命题；②中，令p 为假命题，q 为真命题，有“p ∨q ”为真命题，则“p ∧q ”为假命题，故②为假命题；③中，当m ＝0时，am 2＝bm 2，故③为假命题；④中，由A ∩B ＝A 可得A ⊆B ，故④为真命题．8、在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的________条件．【答案】必要不充分【解析】在△ABC 中，A >30°⇒0<sin A ≤1，不能推出sin A >12，而sin A >12⇒30°<A <150°，所以在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的必要不充分条件．9、下列命题的否命题为假命题的个数是________． ①p ：存在x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0； ②p ：有的三角形是正三角形； ③p ：所有能被3整除的整数为奇数； ④p ：每一个四边形的四个顶点共圆． 【答案】1【解析】①p 的否命题：任意x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，为真命题； ②p 的否命题：所有的三角形都不是正三角形，为假命题；③p 的否命题：存在一个能被3整除的整数不是奇数，0是能被3整除的非奇数，该命题为真命题； ④p 的否命题：存在一个四边形的四个顶点不共圆，为真命题．10、已知||a ＝2||b ，命题p ：关于x 的方程x 2＋||a x ＋a ·b ＝0没有实数根．命题q ：〈a ，b 〉∈[0，π3]，命题p 是命题q 的________条件． 【答案】充分不必要【解析】方程x 2＋||a x ＋a ·b ＝0没有实根，∴Δ＝||a 2－4a ·b ＝||a 2－4||a ||b cos 〈a ，b 〉＝||a 2－2||a 2cos 〈a ，b 〉<0，∴cos 〈a ，b 〉>12，又∵0≤〈a ，b 〉≤π，∴0≤〈a ，b 〉<π3，∵[0，π3)⊆[0，π3]，∴p 是q 的充分不必要条件．11、“函数y ＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象全在x 轴的上方”，这个结论成立的充分必要条件是________． 【答案】1≤a <19【解析】函数的图象全在x 轴上方，若f (x )是一次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5＝0－4a －1＝0⇒a ＝1.若函数是二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0[－4a －1]2－12a 2＋4a －5<0⇒1<a <19.反之若1≤a <19，由以上推导，函数的图象在x 轴上方．综上，充要条件是1≤a <19.12、(1)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围； (2)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围． 【答案】(1) p ≥4 (2) 不存在实数p 满足题设要求 【解析】(1)当x >2或x <－1时，x 2－x －2>0， 由4x ＋p <0，得x <－p4，故－p4≤－1时，“x <－p4”⇒“x <－1”⇒“x 2－x －2>0”．∴p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件． (2)不存在实数p 满足题设要求．13、已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}；命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围． 【答案】(－∞，－34]∪[34，＋∞)【解析】化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1＝(x －34)2＋716，∵x ∈[34，2]，∴y min ＝716，y max ＝2.∴y ∈[716，2]，∴A ＝{y |716≤y ≤2}．化简集合B ，由x ＋m 2≥1， ∴x ≥1－m 2，B ＝{x |x ≥1－m 2}． ∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B . ∴1－m 2≤716，∴m ≥34或m ≤－34.∴实数m 的取值范围是(－∞，－34]∪[34，＋∞)．14、在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．(1)写出这个命题的逆命题；(2)判断逆命题是否为真？并给出证明．【答案】(1) 在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列 (2) 此时逆命题为真【解析】(1)逆命题：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．(2)当q ＝1时，逆命题为假，当q ＝－12时，逆命题为真，证明如下：数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 由题意知：2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1， 即2·a 1·qm ＋1＝a 1·qm －1＋a 1·q m.∵a 1≠0，q ≠0，∴2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，有S m ＝ma 1，S m ＋2＝(m ＋2)a 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1.显然：2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，此时逆命题为假． 当q ＝－12时，有2S m ＋2＝2a 1[1－－12m ＋2]1＋12＝43a 1[1－(－12)m ＋2]， S m ＋S m ＋1＝a 1[1－－12m]1＋12＋a 1[1－－12m ＋1]1＋12＝43a 1[1－(－12)m ＋2]， ∴2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，此时逆命题为真．15、设集合A ＝{x|x 2＋2x －3<0}，集合B ＝{x||x ＋a|<1}． (1) 若a ＝3，求A ∪B ；(2) 设命题p ：x ∈A ；命题q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) (－4，1) (2) [0，2]【解析】(1) 解不等式x 2＋2x －3<0，得－3<x<1，即A ＝(－3，1)． 当a ＝3时，由|x ＋3|<1，解得－4<x<－2，即集合B ＝(－4，－2)， 所以A ∪B ＝(－4，1)．(2) 因为p 是q 成立的必要不充分条件， 所以集合B 是集合A 的真子集．又集合A ＝(－3，1)，B ＝(－a －1，－a ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a －1≥－3，－a ＋1≤1，解得0≤a≤2，即实数a 的取值范围是[0，2]．16、设函数y ＝lg (－x 2＋4x －3)的定义域为A ，函数y ＝2x ＋1，x ∈(0，m)的值域为B.(1) 当m ＝2时，求A∩B；(2) 若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 【答案】(1) (1，2) (2) (0，1] 【解析】(1) 由－x 2＋4x －3>0，解得1<x<3， 所以A ＝(1，3)．因为函数y ＝2x ＋1在区间(0，m)上单调递减，所以y ∈⎝⎛⎭⎪⎫2m ＋1，2，即B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1，2，所以当m ＝2时，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2，所以A∩B＝(1，2)． (2) 由题意得m>0.因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件， 所以B A ，即⎝⎛⎭⎪⎫2m ＋1，2(1，3)，所以2m ＋1≥1，解得0<m≤1，故实数m 的取值范围为(0，1].17、已知非空集合A ＝{x|x －2x －（3a ＋1）<0}，B ＝{x|x －a 2－2x －a <0}．(1) 当a ＝12时，求∁R B ∩A ；(2) 命题p ：x ∈A ；命题q ：x ∈B .若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1) ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |94≤x <52 (2) a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3－52 【解析】(1) 当a ＝12时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2<x <52，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <94，∁R B ＝{x |x ≤12或x ≥94}，所以∁R B ∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |94≤x <52. (2) 由q 是p 的必要条件可得A ⊆B . 由a 2＋2>a ，得B ＝{x |a <x <a 2＋2}．①当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，解得13<a ≤3－52；②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，符合题意；③当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，解得－12≤a <13.综上所述，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3－52.18、已知命题“∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题． (1) 求实数m 的取值集合M ；(2) 设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若“x ∈N ”是“x ∈M ”的必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2 (2) (－∞，－14)∪(94，＋∞)【解析】(1) 由题意知，方程x 2－x －m ＝0在区间(－1，1)上有解，即m 的取值范围即为函数y ＝x 2－x 在区间(－1，1)上的值域，易得－14≤m <2，所以M ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2.(2) 因为“x ∈N ”是“x ∈M ”的必要条件，所以M ⊆N . 当a ＝1时，集合N 为空集，不满足题意；当a >2－a ，即a >1时，此时集合N ＝{x |2－a <x <a }，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，解得a >94； 当a <2－a ，即a <1时，此时集合N ＝{x |a <x <2－a }，则⎩⎪⎨⎪⎧a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，－14)∪(94，＋∞).。
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p是q的充要条件p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p
2．数学中的定义、判定定理、性质定理与必要条件、充分条件的联系
①判定定理中前提是结论的充分条件；
②性质定理中结论是前提的必要条件；
③数学定义中条件是结论的充要条件．即定义可以用于判定也可以作为性质．
3．充分条件与必要条件的两个特征
①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”则“q⇐p”．
②传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”，则“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”，则“p⇐r”)．[常用结论]
1．p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推．
2．集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，p是q 的充分不必要条件⇔A B；p是q的必要不充分条件⇔A B；p是q的充要条件⇔A＝B.
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
4.△ABC 中，“sin A ＝4
5
”是“cos
A ＝－3
5”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既
不充分也不必要”)
必要不充分 [△ABC 中，sin A ＝45，所以cos A ＝±35，所以“sin A ＝4
5”是
“cos A ＝－3
5
”的必要不充分条件．]
考点1 充分、必要条件的判定
充分条件和必要条件的3种判断方法
(1)定义法：可按照以下三个步骤进行
①确定条件p 是什么，结论q 是什么； ②尝试由条件p 推结论q ，由结论q 推条件p ； ③确定条件p 和结论q 的关系．
(2)等价转化法：对于含否定形式的命题，如
p 是
q 的什么条件，利用
原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q 是p 的什么条件．
(3)集合法：根据p ，q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．
(1)(2019·浙江高
考)设a ＞0，b ＞0，则“a ＋b ≤4 ”是“ab ≤4”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
(2)(20xx·天津高考)设x ∈R ，则“x 2－5x ＜0”是“|x －1|＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
(3)(20xx·北京高考)设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|＞|BC →|”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
(1)A (2)B (3)C [(1)由a ＞0，b ＞0，若a ＋b ≤4，得4≥a ＋b ≥2ab ，即ab ≤4，充分性成立；当a ＝4，b ＝1时，满足ab ≤4，但a ＋b ＝5＞4，不满足a ＋b ≤4，必要性不成立．故“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件，选A.
(2)由x 2－5x ＜0得0＜x ＜5，记A ＝{x |0＜x ＜5}，由|x －1|＜1得0＜x ＜2，记B ＝{x |0＜x ＜2}，显然B
A ，
∴“x 2－5x ＜0”是“|x －1|＜1”的必要而不充分条件，故选B. (3)|AB →＋AC →|＞|BC →|⇔|AB →＋AC →|＞|AC →－AB →|⇔AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →
＞AB →2＋AC →2－2AB →·AC →⇔AB →·AC →＞0，由点A ，B ，C 不共线，得〈AB →，AC →〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故AB →·AC →＞
0⇔AB →，AC →的夹角为锐角．故选C.]
[逆向问题] (20xx·湘东五校联
考)“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A ．m ＞1
4
B ．0＜m ＜1
C ．m ＞0
D ．m ＞1
C [若不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m ＜0，解得m ＞1
4
，因此当不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立时，必有m ＞0，但当m ＞0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m ＞0.]
2．给定两个命题p，q，若p是q的必要不充分条件，则p是q的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
A[因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，但p⇒/q，其等价于p⇒q，但q⇒/p，故选A.]
3．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( )
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件
D[非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．]
考点2充分条件、必要条件的应用
根据充要条件求参数值(或范
围)的方法是先把充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合的关系列出关于参数的不等式(组)求解．。