极限及导数练习题及答案

极限及导数练习题及答案

淮南联合大学基础部

2008年10月

第一章映射，极限，连续

习题一集合与实数集

基本能力层次：

1: 已知：A＝{x|1≤x≤2}∪{x|5≤x≤6}∪{3},B={y|2≤y≤3} 求：在直角坐标系内画出A×B

解：如图所示A×B＝{| x?A,y?B }.2：

证明：∵ P为正整数，∴p＝2n或p＝2n+1，当p＝2n+1时，p2＝4n2+4n+1，不能被2整除，故p＝2n。即结论成立。基本理论层次：

习题二函数、数列与函数极限

基本能力层次

1：

解：2：证明：由所以命题成立

得cxy?ay?ax?b即 x?

ay?b

，所以 x?f cy?a

3：

y?2?xy?y??解：

4：用极限定义证明： lim

2

lg?0,x?0?

?

1,x?0??

n?1

?1

n??nn?1111

?1|成立,只要n?取N＝[]，则当n>N时,就有证明：因为 ?? 有|nn??

n?11n?1|?1|有定义变知lim?1成立

n??nnn

5：求下列数列的极限

n12?22n2

limnlim

n??3n??n3

n

nnn2n2n

解：? n?n,又?limn?0,所以 0?limn?0 , 故：limn ＝0

n??3n??3x??333

12?22n2n111

?? 由于

n3n36nn111112?22n21

又因为：lim?,所以：limn??6n??nn3n3

因为：

所以：

因为：1?n

11

?1?，并且lim?1,故由夹逼原理得

n??nn

n?1

6：

解：由于

7：解：

8：

9：

习题三无穷小与无穷大、极限运算法则及两个重要极限

基本理论层次

1：

解：

习题1.2

3.求下列极限

?limn??n?0

??1?为无穷小量。 ?n

3.求下列函数的极限 x3?2x lim2; x??x?1 1

3x?1?lim解：?lim3?0 x??x?2xx3x2?

x3?2x?lim2不存在。 x??x?1

limtan5x; x?02x

解：原式=limsin5x1? x?02xcos5x

5sin5x1?lim??lim x?025xx?0cos5x

5?

limtanx?sinx x?0x

1?1sinx解：原式=lim ?2x?0xx

sinx11?cosx?lim?? x?0xcosxx2

sinx11?cosx?lim?lim?lim x?0xx?0cosxx?0x2 x2sin2

?1?1?lim2x?0x

xsin21 ?lim?x?02x2

2

1?

limtanx?0?x2;

解：原式=limlimtanx?0x?0?x2?1?0?0 1

limx

x?0;

1

?2x?2解：原式=lim[)x?0]?e?2

?x?4? lim??xx?1?2x?1；

2x?11?解：原式=lim?1??x5??

令t? x?1,则x??5t?1;x??时t??; ?5

?10t?3?1?原式?lim?1??tt?

??1lim?1??t??t?

?e?10 limt10?1??lim?1?? tt??31?cosmx ; x?0x

2sinmx2) mx2

2?limmx?02sin lim ; x??x?1

解：?limx?1x?1?lim?limx??x3?2xx??x2x??1x2?2x2?12?0 x2 不存在。 ?xlim??x?1

3??1? lim??; x?1?1?x1?x?

?1?x?x23?解：原式=lim? ?3?x?11?x??

?2?x?x2

?limx?1

?lim x?1

??limx?x?11?x?x2

??1 lim?x??1??sinx?xsin?． x??x

解：原式?limsinx?limx??x??x

xsin1?0?1?1

x2?ax?b?5，求a、b．.设limx?11?x

解：由题意limx?ax?b?lim1?x?0 x?1x?12

?1?a?b?0

?b?? x2?ax?bx2?ax??5?lim??limx?1x?11?x1?x

?lim?x?11?x

??lim?x?1

?a??7

?a??7,b?6

?sin3x,x?0?5.若f??ax在点x?0处连续，求a的值． ?x?0?1,

解：有题意limf?f x?0

即limsin3x3sin3x?1?lim??1 x?0x?0aax3x

3sin3x?lim?lim?1 x?0ax?03x

3??1?1 a

?a?3

习题1.4

2.求曲线y?x2?2x?1在点的切线方程，并作出函数的图像及其切线．解：曲线y?x2?2x?1在点的切线的斜率为