二维随机变量及其分布函数

第三章 多维随机变量及其分布
第一节 二维随机变量 一、二维随机变量及其分布函数
定义 设随机试验E的基本空间为Ω，X和Y是定义在Ω上的两个随 机变量，由它们构成的向量(X，Y)叫做二维随机变量．
二维随机变量 (X，Y) 可以看作是 xoy 面上的随机点，它们的取值是 xoy 面上的一个定点（x，y）．(X，Y) 可能落在 xoy 面上的有限个点处， 也可能落在 xoy 面上某个区域内的所有点上．我们把二维随机变量分成 离散型和连续型两类．
2°分布函数 F(x，y) 在点(x，y) 处的值，就是（X，Y）的取 值落在矩形 －∞＜ X ≤ x , －∞＜Y ≤ y 上的概率．
二维随机变量(X，Y)的分布函数F(x，y)具有性质： 1°0≤F(x，y)，且对任意x，y有
F(, y) 0, F(x,) 0,
F(,) 0, F(,) .1 2°F(x，y)是变量x和y的单调不减函数． 3°F(x，y)关于x右连续，关于y也右连续 4°(X，Y)落在矩形区域x1＜X≤x2，y1＜Y≤y2上的概率为
0
0
6
（2）当 x＞0，y＞0时
x
F(x, y)
y
f (x, y)dxdy
x y 6e (2x3 y) dxdy

00
(1 e 2x )(1 e 3y )．
y
对于其它点(x，y)，由于f (x,y)=0，则F(x,y)=0．
于是
G1
(1 e2x )(1 e3y ), x 0, y 0,
y
(x, y)
o
x
定义 设 (X，Y) 为二维随机变量，对任意实数 x，y，二元函数
F(x, y) P{X x,Y y}
称为二维随机变量 (X，Y) 的分布函数，或称为X与Y的联合分布函 数.．
注：1°规定{ X ≤x , Y ≤ y }表示事件 { X ≤x }与{Y ≤ y }的积事 件．
y1
y2
y3
...
p11
p12
p13
...
p21
p22
p23
...
p31
p32
p33
...
例1 设试验E为掷一颗骰子，观察出现的点数，定 义两个随机变量如下
X 表示骰子出现的点数.
1, 当出现奇数点时, Y 2,当出现偶数点时.
试求X与Y的联合分布律．
解 (X，Y)可能取值为(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)、(3,1)、(3,2)、 (4,1)、(4,2)、(5,1)、(5,2)、(6,1)、(6,2)．
Y
X
1
2
1 1/6
0
2
0
1/6
3 1/6
0
4
0
1/6
5 1/6
0
6
0
1/6
二维离散型随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x, y) pij .
xi x yjy
三、二维连续型随机变量
定义 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x,y)， 如果存在非负函数f(x,y)，使对任意x,y有
xy
性质3 在f(x,y)的连续点处有 f (x, y) 2 F (x, y．) xy
性质4 设G为xoy面上一个区域，点(X，Y)落在G内的概
率为
P{(X ,Y )G} f (x, y)dxdy ．
G
例2 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为
k e(2x3y) , x 0, y 0,
设D为xoy面上的有界区域，其面积为S，如果二维随机变量(X，Y)具
有概率密度
f
(x,
y)


1 S
,
(x, y) D,
0, 其它.
则称(X，Y)在区域D上服从均匀分布．
例3 设二维随机变量(X，Y)在 D {(x, y) | 0 y x,0 x 1}
上服从均匀分布，求：
F(x, y)
f (x, y)dxdy


x
wk.baidu.comy
f
(u, v)dudv．
则称(X，Y)为二维连续型随机变量，称f(x,y)为(X，Y)的概率密度或X、Y的 联合概率密度．
性质1 性质2
f (x, y) 0．
f (x, y)dxdy 1.
（1） (X，Y)的概率密度；
P{x1 X x2 , y1 Y y2} F(x2 , y2 ) F(x1, y2 ) F(x2 , y1 ) F(x1, y.1 )
y y2 y1
o x1
x2 x
二、二维离散型随机变量
定义 若二维随机变量 (X，Y) 所有可能取的值是有限 对或可列无穷多对，则称 (X，Y) 为二维离散型随机变 量． 设二维离散型随机变量 (X，Y) 所有可能取值为
11 p11 P{X 1,Y 1} P{X 1}P{Y 1| X 1} 6 1 6 ,
1 p12 P{X 1,Y 2} P{X 1}P{Y 2 | X 1} 6 0,
同理
p22

p31

p42

p51

p62

1, 6
p21 p32 p41 p52 p61 0
(xi , y j ), i 1,2, , j 1,2,
记 且有
pij P{X xi ,Y y j } i, j 1,2,
pij 0,
pij 1
i, j
则称（*）式为(X，Y)的概率分布或X与Y的联合分布律．
（*）
Y
X x1 x2 x3
... ... ... ...
f (x, y) 0,
其它.
（1）求k；（2）求分布函数F(x,y)；（3）求P{X＞
Y解}．（1）由

f (x, y)dxdy 1．而



f (x, y)dxdy

ke(2x3y)dxdy

00
则有k =6．
k e2xdx e3ydy k
F(x, y)

0,
o
其它.
x
（3）以G表示区域{(x,y)|x＞y}，则有
P{X Y} P{(X ,Y)G}
f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy
G
G1


dx
x 6e (2x3y)dy 3
0
0
5
四、均匀分布和正态分布
1．均匀分布